2019高考数学考点突破——随机变量及其分布(理科专用)二项分布与正态分布 Word版含解析

二项分布和正态分布的关系二项分布和正态分布是概率统计中常用的两种分布。

虽然它们的形态不同，但是它们之间有着密切的关系。

二项分布是指在n次独立重复试验中，成功的次数服从参数为n和p的二项分布。

其中，p表示每次试验成功的概率。

二项分布的形态呈现出一种类似梯形的形状。

当试验次数越多，成功概率越小时，梯形的左侧越陡峭，右侧越平缓。

这种形态的分布，适合描述二元事件的概率分布，如抛硬币正反面的概率分布等。

而正态分布则是一种具有对称性的连续概率分布。

其形态呈现出钟形曲线的形状。

正态分布的均值和方差是其分布的两个重要参数。

在实际应用中，许多自然现象和人类行为都可以用正态分布来描述。

例如，身高、体重等连续变量的分布，以及IQ、学习成绩等离散变量的分布等。

二项分布和正态分布之间的关系，主要体现在以下两个方面：1.大样本情况下，二项分布可以近似为正态分布当试验次数n足够大，成功概率p足够小（或足够大），二项分布可以近似为正态分布。

这是因为，二项分布的期望和方差分别为np 和np(1-p)，当n足够大时，np和n(1-p)都足够大，从而使得二项分布的形态逐渐接近于正态分布。

这种近似关系，可以用中心极限定理来证明。

2.正态分布可以用来近似计算二项分布的概率由于二项分布的计算比较繁琐，而且在一些情况下，二项分布的参数也不易确定，因此可以用正态分布来近似计算二项分布的概率。

具体方法是，将二项分布的期望和方差分别用正态分布的均值和方差进行替换，从而得到一个近似的正态分布。

需要注意的是，这种近似计算方法的精度，取决于二项分布的参数和正态分布的均值和方差的选择。

一般来说，当试验次数n足够大时，正态分布的均值和方差可以分别取为np和np(1-p)，此时的近似效果较好。

二项分布和正态分布之间存在着密切的关系。

在实际应用中，可以根据具体问题的特点，选择合适的分布来描述概率分布，并采用相应的数学方法来求解问题。

同时，也需要注意分布的参数和近似方法的选择，以保证计算结果的准确性和可靠性。

二项分布正态分布泊松分布的区别和联系1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊三位数学界的明星：二项分布、正态分布和泊松分布。

这三位在统计学中可是占据了一席之地，像一顿丰盛的盛宴，各有各的特色。

无论你是学霸还是小白，都能从中找到乐趣。

好了，咱们就开始这段有趣的旅程吧！2. 二项分布2.1 概述先来聊聊二项分布。

想象一下，你在抛硬币，每次都有两个结果：正面或反面，简单吧？这就是二项分布的基本思想。

二项分布其实是关于在固定次数的独立实验中，某个事件发生的次数的概率分布。

比如，你抛十次硬币，想知道正面朝上几次的概率，这时候二项分布就派上用场了。

2.2 公式与应用二项分布的公式其实不复杂：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1p)^(nk)。

听起来复杂？其实就是告诉你，C(n, k)是组合数，p是成功的概率，n是实验次数。

应用场景可多了，像调查满意度、投票结果等等，统统能用到它。

3. 正态分布3.1 概述接下来，我们来聊聊正态分布。

说到正态分布，很多人第一反应就是“钟形曲线”。

对，就是这个意思！正态分布常常用来描述自然现象，比如身高、体重等，大家聚在平均值附近，像是一群小鸟围着大树。

大树就是平均值，小鸟就是数据，越远离大树的小鸟，数量就越少。

3.2 特性与应用正态分布的神奇之处在于它有两个参数：平均值和标准差。

平均值决定了“大树”的位置，而标准差则决定了“小鸟”的分布范围。

它在各个领域都能见到，比如心理测试、质量控制等，简直是统计学的万金油！4. 泊松分布4.1 概述最后，我们来说说泊松分布。

泊松分布有点像二项分布的兄弟，但它处理的事情有点不同。

泊松分布主要关注在一个固定的时间或空间内，某个事件发生的次数。

比如说，某个时间段内接到的电话数量，听起来很实用吧？4.2 公式与应用泊松分布的公式是P(X=k) = (λ^k * e^(λ)) / k!，其中λ是平均发生率，k是发生次数。

是不是觉得有点复杂？但它的应用场景相当广泛，比如交通事故、客户到店数量等，完全可以帮助我们更好地做出预测。

2019高考理科全国数学二项分布与正态分布考点突破全讲透普查讲52 二项分布与正态分布1．条件概率(1)(2018河北模拟，5分)据统计，一次性饮酒4.8两诱发脑血管病的概率为0.04，一次性饮酒7.2两诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员一次性饮酒4.8两未诱发脑血管病，则他还能继续饮酒2.4两不诱发脑血管病的概率为( )A.78B.56C.34D.2021(1)答案：A解析：记事件A 为“一次性饮酒4.8两不诱发脑血管病”，事件B 为“一次性饮酒7.2两不诱发脑血管病”，则P (A )＝1－0.04＝0.96，P (B )＝1－0.16＝0.84.由题意可知P (AB )＝P (B )＝0.84，所以一次性饮酒4.8两未诱发脑血管病，还能继续饮酒2.4两不诱发脑血管病的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.840.96＝78.故选A. (2)(经典题，5分)投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ＝{两次的点数均为奇数}，B ＝{两次的点数之和为4}，则P (B |A )＝( )A.112B.14C.29D.23(2)答案：C解析：由题意，每次投掷的点数为奇数的情况有1，3，5，共3种情况，则两次投掷点数均为奇数的情况种数为3×3＝9种，所以事件A 包含的基本事件的个数为3×3＝9，事件AB 包含的基本事件有：第1次投掷的点数为1，第2次投掷点数为3或第1次投掷点数为3，第2次投掷点数为1，共2个，所以P (B |A )＝29.2．二项分布问题(3)(2017全国Ⅱ，5分)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX ＝________．(3)答案：1.96解析：由题意，该试验是有放回地拿取，是一个二项分布模型，其中p ＝0.02，n ＝100，则DX ＝np (1－p )＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.(4)(经典题，12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(Ⅰ)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；(Ⅱ)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(Ⅲ)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．(4)答案：(Ⅰ)(Ⅱ)511512 (Ⅲ)E (X )＝－54，这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知，经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少解：(Ⅰ)X 的所有可能值为－200，10，20，100.P (X ＝－200)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫120⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18， P (X ＝10)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫121⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38， P (X ＝20)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫1－120＝18.(3分)故X 的分布列为(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知，每盘游戏出现音乐的概率是P ＝38＋38＋18＝78，(6分)则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是P 1＝1－C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫780⎝ ⎛⎭⎪⎫1－783＝511512.(8分)(Ⅲ)由(Ⅰ)知，每盘游戏获得的分数X 的数学期望是E (X )＝(－200)×18＋10×38＋20×38＋100×18＝－54.(10分)这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知，经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．(12分)3．复杂的相互独立事件的概率(5)(2015陕西，12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(Ⅰ)求T 的分布列与数学期望E (T )；(Ⅱ)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．(5)答案：(Ⅰ)E(T)＝32(Ⅱ)0.91解：(Ⅰ)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为(3分)E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．(6分)(Ⅱ)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．(8分) (法一)P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.(12分)(法二)＝P(T1＋T2＞70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09，故P(A)＝1－＝0.91.(12分)4．正态分布的应用(6)(2015湖北，5分)设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图52－5所示．下列结论中正确的是()图52－5A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)(6)答案：C解析：对于A项，因为正态分布密度曲线关于直线x＝μ对称，由图像可知μ1﹤μ2，所以P(Y≥μ1)＞0.5＝P(Y≥μ2)，故A项错误；对于B项，因为X的正态分布密度曲线比Y的正态分布密度曲线更“瘦高”，数据更集中，所以标准差小，即σ1﹤σ2，所以P(X≤σ1)＜P(X≤σ2)，故B项错误；对于C，D两项，在y轴右侧作与x轴垂直的一系列平行线，可知在任何情况下，在小于等于t的情况下，X的正态分布密度曲线与x轴之间的图形面积都大于Y的正态分布密度曲线与x 轴之间的图形面积，即对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )，P (X ≥t )<P (Y ≥t )，故C 项正确，D 项错误．(7)(2017全国Ⅰ，12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm )．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(Ⅰ)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(Ⅱ)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得__x =∑=161161i i x =9.97，s=∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1612__161i i x x =∑=-1612__216161i i x x ≈ 0.212,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,i =1,2, (16)用样本平均数__x 作为μ的估计值∧μ,用样本标准差s 作为σ的估计值∧σ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(∧μ-3∧σ,∧μ+3∧σ)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.9974，0.997416≈0.9592，0.008≈0.09.(7)答案：(Ⅰ)P(X≥1)≈0.0408，E(X)＝0.0416 (Ⅱ)(ⅰ)见解答过程(ⅱ)需对当天的生产过程进行检查∧μ=10.02,∧σ≈0.09解：(Ⅰ)由题可知，抽取的一个零件的尺寸落在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，所以落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X～B(16，0.0026)．所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈1－0.9592＝0.0408.X的数学期望E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(4分)(Ⅱ)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．(7分)(ⅱ)由__x＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为∧μ＝9.97，σ的估计值为∧σ＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(∧μ-3∧σ,∧μ+3∧σ)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(∧μ-3∧σ,∧μ+3∧σ)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02.(10分)134.159197.916212.016221612≈⨯+⨯≈∑=i i x剔除(∧μ-3∧σ,∧μ+3∧σ)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.(12分)随堂普查练521．(经典题，5分)袋中有3红5黑共8个大小、形状相同的小球，从中依次摸出2个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为( )A.38B.27C.14D.371．答案：B解析：(法一)由题意，第一次摸得红球的概率为38，两次都摸得红球的概率为C 23C 28＝328，所以在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为32838＝27，故选B.(法二)若第一次摸得红球，则第二次是从2红5黑7个大小、形状相同的小球中摸出1个小球，摸得红球的概率为27，故选B.2．(2016四川，5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________．2．答案：32解析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34， 所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34，故均值是2×34＝32. 3．(经典题，12分)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(Ⅰ)设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；(Ⅱ)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．3．答案：(Ⅰ)(Ⅱ)0.896解：(Ⅰ)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6 元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，∵利润＝产量×市场价格－成本，∴X所有可能的取值为500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800，(2分)P(X＝4000)＝P(__A)P(__B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2000)＝P(__A)P(B)＋P(A)P(__B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，(5分)∴X的分布列为(6分)(Ⅱ)设C i表示事件“第i季利润不少于2000元”(i＝1，2，3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(Ⅰ)知，P(C i)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)，3季利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83＝0.512；(9分)3季中恰有2季利润不少于2000元的概率为P (__C 1C 2C 3)P (C 1__C 2C 3)P (C 1C 2__C 3)＝3×0.82×0.2＝0.384，∴这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.(12分)4．(2015山东，5分)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%4．答案：B解析：设长度误差为ξ毫米．由题意，P (－3<ξ<3)＝68.26%，P (－6<ξ<6)＝95.44%，则P (3<ξ<6)＝12×(95.44%－68.26%)＝13.59%，故选B .5．(2018辽宁模拟，12分)近年来，双十一购物狂欢节(简称“双11”)活动已成为中国电子商务行业年度盛事，某网络商家为制定2018年“双11”活动营销策略，调查了2017年“双11”活动期间每位网购客户用于网购的时间T (单位：小时)，发现T 近似服从正态分布N (2，0.49)．(Ⅰ)求P (T ＞1.3)的估计值；(Ⅱ)该商家随机抽取参与2017年“双11”活动的10000名网购客户，这10000名客户在2017年“双11”活动期间，用于网购的时间T 属于区间(2，3.4)的客户数为X .该商家计划在2018年“双11”活动前对这X 名客户发送广告，所发广告的费用为每位客户0.05元．(ⅰ)求该商家所发广告总费用的平均估计值；(ⅱ)求使P (X ＝k )取最大值时的整数k 的值．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.9974.5．答案：(Ⅰ)0.8413 (Ⅱ)(ⅰ)238.6元 (ⅱ)4772解：(Ⅰ)因为T ～N (2，0.49)，即μ＝2，σ＝0.49＝0.7，(1分)所以P (T >1.3)＝P (T >μ－σ)＝1－1－P （μ－σ<T <μ＋σ）2＝0.8413.(3分)(Ⅱ)(ⅰ)根据题意知P (2<T <3.4)＝P (μ<T <μ＋2σ)＝P （μ－2σ<T <μ＋2σ）2＝0.4772.(4分)由题意可知X ～B (10000，0.4772)，所以E (X )＝10000×0.4772＝4772，所以所发广告费的平均估计值为4772×0.05＝238.6元．(7分)(ⅱ)因为X ～B (10000，0.4772)，所以P (X ＝k )＝C k 100000.4772k ·(1－0.4772)10000－k ＝C k 100000.4772k ·0.522810000－k ，其中k ≤10000且k ∈N .(9分)设X ＝k 时P (X ＝k )最大，显然k ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧P （X ＝k ）≥P （X ＝k －1），P （X ＝k ）≥P （X ＝k ＋1）， 整理得⎩⎨⎧4772k ≥522810001－k ，522810000－k ≥4772k ＋1，解得4771.4772≤k ≤4772.4772.又k ∈N ，所以k ＝4772.(12分)课后提分练52 二项分布与正态分布本套试题详细图解精讲参见E 册《图解力详解答案》A 组(巩固提升)1．(经典题，5分)某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是________．图52－11．答案：47解析：设“某次射中”为事件A ，“随后一次射中”为事件B ，则P (AB )＝0.4，P (A )＝0.7，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.40.7＝47. 2．(经典题，5分)如图52－1所示，四边形EFGH 是以O 为圆心的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________．2．答案：14解析：由题意知P (A )＝正方形EFGH 的面积圆O 的面积， 又∵P (AB )＝△OEH 的面积圆O 的面积，∠EOH ＝90°， ∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝△OEH 的面积正方形EFGH 的面积＝14.3．(2018全国Ⅲ，5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p ＝( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.33．答案：B解析：由已知可得X ～B (10，p )，则DX ＝10p (1－p )＝2.4，整理得10p 2－10p ＋2.4＝0，解得p ＝0.4或p ＝0.6.又P (X ＝4)＝C 410p 4(1－p )6，P (X ＝6)＝C 610p 6(1－p )4，且P (X ＝4)<P (X ＝6)，则C 410p 4(1－p )6<C 610p 6(1－p )4，解得p >0.5.所以p ＝0.6.故选B.4．(经典题，5分)甲命题：若随机变量ξ～N (3，σ2)，且P (ξ≤2)＝0.3，则P (ξ≤4)＝0.7.乙命题：随机变量η～B (n ，p )，且Eη＝300，Dη＝200，则p ＝13，则( )A ．甲正确，乙错误B ．甲错误，乙正确C ．甲错误，乙也错误D ．甲正确，乙也正确4．答案：D解析：随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，∴ξ的正态分布密度曲线关于x ＝3对称，∴P (ξ≤4)＝1－P (ξ≤2)＝0.7，∴甲命题正确；随机变量η～B (n ，p )，且Eη＝300，Dη＝200，则⎩⎪⎨⎪⎧np ＝300，np （1－p ）＝200，解得p ＝13，乙命题正确，故选D.5．(2015湖南，5分)在如图52－2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )图52－2A ．2386B ．2718C ．3413D ．4772附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544.5．答案：C解析：由正态分布N (0，1)的密度曲线的几何意义，知题图中阴影部分的面积为P (0＜x ≤1)＝12×0.6826＝0.3413，故落入阴影部分的点的个数的估计值为0.3413×10000＝3413，故选C.6．(经典题，12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(Ⅰ)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(Ⅱ)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X 的分布列及数学期望．6．答案：(Ⅰ)827 827 427 (Ⅱ)79解：(Ⅰ)设“甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C ，由题意，最后一局必是甲队胜利，则P (A )＝23×23×23＝827，P (B )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827，P (C )＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427.(5分)(Ⅱ)X 的所有可能值为0，1，2，3，则P (X ＝0)＝P (A )＋P (B )＝1627，P (X ＝1)＝P (C )＝427，P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23×13＝19，(10分)∴X 的分布列为∴E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.(12分)7．(2018全国Ⅰ，12分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p (0<p <1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(Ⅰ)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0. (Ⅱ)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(Ⅰ)中确定的p 0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 7．答案：(Ⅰ)0.1 (Ⅱ)(ⅰ)490元 (ⅱ)应该，理由见解答过程解：(Ⅰ)设20件产品中不合格品件数为ξ，由题意，ξ～B (20，p )，所以f (p )＝P (ξ＝2)＝C 220p 2(1－p )18(0<p <1)，所以f ′(p )＝C 220[2p (1－p )18－18p 2(1－p )17]＝C 2202p (1－p )17(1－p －9p )＝C 2202p (1－p )17(1－10p )．(3分) 当0<p <0.1时， f ′(p )>0, f (p )单调递增；当0.1<p <1时， f ′(p )<0, f (p )单调递减．所以当p ＝0.1时， f (p )取得极大值，也是最大值．所以p 0＝0.1.(6分)(Ⅱ)(ⅰ)设剩下的180件产品中，不合格品的数量为Z 件，则Z ～B (180，0.1)，所以EZ ＝180×0.1＝18.因为X ＝20×2＋25Z ＝40＋25Z ，所以EX ＝40＋25EZ ＝490(元)．(9分)(ⅱ)如果作检验，则检验费用为2×200＝400(元)．如果不作检验，由(ⅰ)可知，检验费用与赔偿费用的和的期望值为490元． 因为400<490，所以应该对这箱余下的所有产品作检验．(12分)B 组(冲刺满分)8.(经典题，5分)已知随机变量ξ服从正态分布，且方程x 2＋2x ＋ξ＝0有实数解的概率为12，若P (ξ≤2)＝0.75，则P (0≤ξ≤2)＝________．8．答案：0.5解析：设随机变量ξ～N (μ，σ2)，因为方程x 2＋2x ＋ξ＝0有实数解的概率为12，即P (4－4ξ≥0)＝12，所以P (ξ≤1)＝12，所以μ＝1.又P (ξ≤2)＝0.75，所以P (ξ>2)＝0.25，则P (0≤ξ≤2)＝1－2P (ξ>2)＝0.5.9．(经典题，12分)某闯关游戏规则是：先后掷两枚骰子，将此试验重复n轮，第n 轮的点数分别记为x n ，y n ，如果点数满足x n <6y n y n ＋6，则认为第n 轮闯关成功，游戏终止，否则进行下一轮投掷，直到闯关成功，游戏结束．(Ⅰ)求第一轮闯关成功的概率；(Ⅱ)如果游戏只进行到第四轮，第四轮后不论游戏成功与否，都终止游戏，记进行的轮数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．9．答案：(Ⅰ)29 (Ⅱ)2080729解：(Ⅰ)当y 1＝6时， x 1<3612＝3，因此x 1＝1，2；当y 1＝5时， x 1<3011，因此x 1＝1，2；当y 1＝4时， x 1<2410＝125，因此x 1＝1，2；当y 1＝3时， x 1<189＝2，因此x 1＝1；当y 1＝2时， x 1<128＝32，因此x 1＝1；当y 1＝1时， x 1<67，因此x 1无整数解，(4分)所以第一轮闯关成功的概率为86×6＝29.(6分) (Ⅱ)依题意，随机变量X 的可能取值为1，2，3，4，设游戏第n 轮闯关后结束的概率为P n ，则P 1＝29，P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－29×29＝1481，P 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－292×29＝98729，P 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－293×1＝343729，(10分)所以X 的分布列为则E (X )＝1×29＋2×1481＋3×98729＋4×343729＝2080729.(12分)。

考点11.5 二项分布与正态分布1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P (AB )P (A )(P (A )>0)． 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB )n (A ). (2)条件概率具有的性质 ①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件， 则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2．相互独立事件(1)对于事件A ，B ，若事件A 的发生与事件B 的发生互不影响，则称事件A ，B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)P (AB )＝P (A )P (B )⇔A 与B 相互独立． 3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．4．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． 5．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝12πσ22()2ex μσ--，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3.概念方法微思考1．条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？提示不一样，P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率．2．“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．1．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：)cm．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X 及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s =≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1i =，2，⋯，16．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，160.99740.9592≈，0.09≈．【解析】（1）由题可知尺寸落在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974， 则落在(3,3)μσμσ-+之外的概率为10.99740.0026-=，因为001616(0)(10.9974)0.99740.9592P X C ==⨯-⨯≈， 所以(1)1(0)0.0408P X P X =-==， 又因为~(16,0.0026)X B ， 所以()160.00260.0416E X =⨯=；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由9.97x =，0.212s ≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查． 剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为 1(169.979.22)10.0215⨯-=， 因此μ的估计值为10.02．162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为 221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，因此σ0.09．1．（2020•青羊区校级模拟）设随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，~(2,)X B p ，若5(1)9P X =，则()(D Y =)A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】A【解析】随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，~(2,)X B p ，5(1)9P X =， 0224(0)1(1)(1)9P X P X C p ∴==-=-=， 解得13p =，1~(2,)3X B ∴，114()2(1)339D X ∴=⨯⨯-=，4()9()949D Y D X ∴==⨯=． 故选A ．2．（2020•奎文区校级模拟）设随机变量X 服从1(6,)2B ，则(3)P X =的值是()A ．316B ．516C ．38D ．58【答案】B【解析】随机变量X 服从1(6,)2，3336611205(3)()()22216P X C ∴====故选B ．3．（2019•道里区校级三模）已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ．若()2E X =，4()3D X =，则(p =) A ．34B ．23C ．13D ．14【答案】C【解析】由随机变量X 服从二项分布(,)B n p ． 又()2E X =，4()3D X =， 所以24(1)3np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：13p =，故选C ．4．（2019•道里区校级一模）设随机变量~(2,)B p ξ，~(4,)B p η，若5(1)9P ξ=，则(2)P η的值为() A ．3281B ．1127C ．6581D ．1681【答案】B【解析】随机变量~(2,)B p ξ，5(1)9P ξ=， 002251(1)9C p p ∴--=，13P ∴=，1~(4,)3B η∴，22233144044412121211(2)()()()()()()33333327P C C C η∴=⨯+⨯+=，故选B ．5．（2020•某某模拟）已知随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，若(2)(8)0.15P P ξξ<=>=，则(25)(P ξ<=)A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7 【答案】B【解析】根据题意，正态分布2(,)N μσ， 若(2)(8)0.15P P ξξ<=>=，则5μ=，即这组数据对应的正态曲线的对称轴5x =，则(5)0.5P ξ<=， 又由(2)0.15P ξ<=，得(25)0.50.150.35P ξ<=-=． 故选B ．6．（2020•红岗区校级模拟）在如图所示的正方形中随机投掷40000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布(2,4)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为()（附2:~(,)x N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<+=．)A ．906B ．1359C ．2718D ．3413 【答案】B 【解析】~(2,4)X N -∴阴影部分的面积(02)S P X =1[(62)(10)]2P x P x =--- 1(0.95450.6827)0.13592=-=， 则在正方形中随机投一点， 该点落在阴影内的概率为0.13594P =，∴落入阴影部分的点的个数的估计值为0.13594000013594⨯≈． 故选B ．7．（2020•某某三模）已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，且(02)0.3P X =，则(4)(P X >=)A ．0.6B ．0.2C ．0.4D ．0.35 【答案】B【解析】由随机变量X 服从正态分布2(2,)N o ， 所以正态曲线的对称轴是2x =， 又(02)0.3P X =，所以(4)(0)0.50.30.2P X P X >=<=-=． 故选B ．8．（2020•某某模拟）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布(1N ，2)(0)σσ>，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.6，则ξ在(2,)+∞内取值的概率为() A ．0.8B ．0.4C ．0.3D ．0.2 【答案】D【解析】2~(1,)N ξσ，(2)(0)P P ξξ∴>=<， 又(02)0.6P ξ<<=，∴10.6(2)0.22P ξ->==． 故选D ．9．（2020•某某模拟）若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<+=，设2~(1,)N ξσ，且(3)0.15865P ξ=，在平面直角坐标系xOy 中，若圆222x y σ+=上恰有两个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值X 围为() A ．(26-，13)(13-⋃，26)B ．(26,26)- C ．(39-，13)(13-⋃，39)D ．(39,39)- 【答案】C【解析】由题意知：1(3)(1)[1(13)]2P P P ξξξ=-=--<<，(13)0.6827P ξ∴-<<=，11σ∴-=-，13σ+=．2σ∴=．故圆的方程为224x y +=，圆心为(0,0)，半径为2．如图，1L ，2L 表示与1250x y c -+=平行的直线，OA ，OB ，OC 共线且垂直于1L ，2L ． 当1BC AC ==时，圆上分别恰有1个，3个点到直线的距离等于1，此时圆心到直线的距离分别为3，1．当直线介于1L ，2L 之间时，符合题意． 故13<<，13||39c ∴<<，3913c ∴-<<-或1339c <<．故选C ．10．（2020•某某二模）2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标~(15,0.0025)N ξ，单位为g ，该厂每天生产的质量在(14.9,15.05)g g 的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g 以上的口罩数量为()参考数据：若2~(,)N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<<+=，(33)0.9973P μσξμσ-<<+=．A ．158 700B ．22 750C ．2 700D ．1 350 【答案】D【解析】由题意知，~(15,0.0025)N ξ，即15μ=，20.0025σ=，即0.05σ=； 所以0.68270.9545(14.915.05)(2)0.81862P P ξμσξμσ+<<=-<<+==，所以该厂每天生产的口罩总量为8186000.81861000000÷=（件)， 又10.9973(15.15)(3)2P P ξξμσ->=>+=， 所以估计该厂每天生产的质量在15.15g 以上的口罩数量为10.9973100000013502-⨯=（件)． 故选D ．11．（2020•某某模拟）若随机变量X 服从正态分布(N μ，2)(0)σσ>，则(||)0.6826P X μσ-≈，(||2)0.9544P X μσ-≈，(||3)0.9974P X μσ-≈．已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布(110,100)N ，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为() A ．159B ．46C ．23D ．13 【答案】C【解析】由题意，110μ=，10σ=， 故10.9544(130)(2)0.02282P X P X μσ->=>+==． ∴估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为10000.022822.823⨯=≈．故选C ．12．（2020•某某模拟）已知随机变量(2,1)X N ∽，其正态分布密度曲线如图所示．若在边长为1的正方形OABC 内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为()附：若随机变量2~(,)N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-+=，(22)0.9544P μσξμσ-+=．A ．0.1359B ．0.6587C ．0.7282D ．0.8641 【答案】D【解析】由题意1(01)(0.95440.6826)0.13592P X <=⨯-=．在正方形OABC 内随机取一点，则该点恰好落在阴影部分的概率为110.13590.864111P ⨯-==⨯．故选D ．13．（2020•某某模拟）某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x 服从正态分布2(100,)N σ且(80)0.2P x <=．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为()A ．200B ．300C ．400D ．600 【答案】B【解析】因为综合质量指标值x 服从正态分布2(100,)N σ且(80)0.2P x <=． (80)(120)0.2P x P x ∴<=>=，(100)(100)0.5P x P x ==． (100120)(100)(120)0.3P x P x P x ∴=->=．故综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为10000.3300⨯=． 故选B ．14．（2020•某某一模）已知随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，随机变量Y 服从正态分布(1,1)N ，且(1)0.1587P X >=，则(12)(P Y <<=)A ．0.1587B ．0.3413C ．0.8413D ．0.6587 【答案】B【解析】由已知得(1)0.1587(2)P X P Y >==>， (2)1(2)0.8413P Y P Y ∴<=->=．又(1)(1)0.5P Y P Y ==，(12)(2)(1)0.3413P Y P Y P Y ∴<<=<-=．故选B ．15．（2020•某某模拟）已知随机变量X 服从正态分布(1,4)N ，(2)0.3P X >=，(0)(P X <=) A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8 【答案】B【解析】随机变量X 服从正态分布(1,4)N ，∴正态分布曲线的对称轴为1X =，2μ=，又(2)0.3P X >=，(0)(2)0.3P X P X <=>=， 故选B ．16．（2020•道里区校级一模）某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布(120,9)N ，成绩在(117，126]之外的人数估计有()（附：若X 服从2(,)N μσ，则()0.682P X μσμσ-<+=，(22)0.9545)P X μσμσ-<+= A ．1814人B ．3173人C ．5228人D ．5907人 【答案】A【解析】由数学分数服从正态分布(120,9)N ，得120μ=，3σ=． 则(117126)(117123)(123126)P x P X P X <=<+<1()[(22)()]2P X P X P X μσμσμσμσμσμσ=-<++-<+--<+10.682(0.95450.682)0.818252=+-=．则成绩在(117，126]之内的人数估计有8183，∴成绩在(117，126]之外的人数估计有1817，与1814最接近．故选A ．17．（2020•某某模拟）已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额ξ（单位：元）服从正态分布(2000N ，2100)，则该市某居民手机支付的消费额在(1900,2200)内的概率为()附：随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=，(33)0.9974P μσξμσ-<<+=．A ．0.9759B ．0.84C ．0.8185D ．0.4772 【答案】C【解析】ξ服从正态分布(2000N ，2100)， 2000μ∴=，100σ=，则1(19002200)()[(22)()]2P P P P ξμσξμσμσξμσμσξμσ<<=-<<++-<<+--<<+10.6826(0.95440.6826)0.81852=+-=．故选C ．18．（2020•某某市模拟）已知2~(1,)X N σ，若(11)P X a -<<=，则(3)(P X >=) A ．12a -B ．1a -C ．a D ．12a + 【答案】A【解析】作出该函数图象，易知关于直线1x =对称，所以(11)(13)P X P X a -<<=<<=， 则121(3)(1))22a P X P X a ->=<-==-即为所求． 故选A ．19．（2019•某某模拟）设随机变量1~(6,)2X B ，则(3)P X ==__________．【答案】516【解析】随机变量X 服从二项分布1(6,)2B ，3336115(3)()(1)2216P X C ∴==⨯-=．故答案为：516． 20．（2020•呼和浩特模拟）为了更好地贯彻党的“五育并举”的教育方针，某市要对全市中小学生“体能达标”情况进行了解，决定通过随机抽样选择几个样本校对学生进行体能达标测试，并规定测试成绩低于60分为不合格，否则为合格，若样本校学生不合格人数不超过其总人数的5%，则该样本校体能达标为合格．已知某样本校共有1000名学生，现从中随机抽取40名学生参加体能达标测试，首先将这40名学生随机分为甲、乙两组，其中甲乙两组学生人数的比为3:2，测试后，两组各自的成绩统计如下：甲组的平均成绩为70，方差为16，乙组的平均成绩为80，方差为36．（Ⅰ）估计该样本校学生体能测试的平均成绩； （Ⅱ）求该样本校40名学生测试成绩的标准差s ；（Ⅲ）假设该样本校体能达标测试成绩服从正态分布2(,)N μσ，用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值估计该样本校学生体能达标测试是否合格？ （注：①本题所有数据的最后结果都精确到整数；②若随机变量z 服从正态分布，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974)P Z μσμσ-<<+=．【解析】（1）由题知，甲、乙两组学生数分别为24和16， 则这40名学生测试成绩的平均分702480167440x ⨯+⨯==．故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为74． （2）由2211()n i i s x x n ==-∑变形得22211()n i i s x nx n ==-∑，设第一组学生的测试成绩分别为1x ，2x ，3x ，⋯，24x ， 第二组学生的测试成绩分别为25x ，26x ，27x ，⋯，40x ， 则第一组的方差为222222112241[()2470]424s x x x =++⋯+-⨯=， 解得：222212224(1670)x x x ++⋯+=⨯+． 第二组的方差为22222225264021[()1680]616s x x x =++⋯+-⨯=， 解得：222225264016(3680)x x x ++⋯+=⨯+． 这40名学生的方差为2222222212242526401[()40]40s x x x x x x x =++⋯++++⋯- 2221[24(1670)16(3680)4074]4840=⨯++⨯+-⨯=，所以7s =≈． 综上，标准差7s =．（3）由74x =，7s ≈，得μ的估计值为ˆ74μ=，σ的估计值ˆ7σ=，故(74277427)0.9544P X -⨯<<+⨯=，即(6088)0.9544P X <<=， 所以11(60)(88)[1(6088)](10.9544)0.022822P X P X P X <==-<<=-=．从而，在全校1000名学生中，“不合格”的有10000.022822.823⨯=≈（人)． 而235%1000<， 故可估计该样本校学生“体能达标”测试合格．21．（2020•潍坊模拟）为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10000个零件，并测量其内径（单位：)cm ．根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X 服从正态分布2(,)N μσ．如果加工的零件内径小于3μσ-或大于3μσ+均为不合格品，其余为合格品．（1）假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为多少； （2）若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损．已知每件产品的利润L （单位：元）与零件的内径X 有如下关系：5,3,4,3,6,3,5,3.X X L X X μσμσμσμσμσμσ-<-⎧⎪--⎪=⎨-+⎪⎪->+⎩求该企业一天从生产线上随机抽取10000个零件的平均利润．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=．【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974， 从而抽取一个零件为不合格品的概率为0.0026． 因此一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为： 100000.002626⨯=；（2）由题意，(3)0.0013P X μσ<-=．1(3)(0.99740.6826)0.15742P X μσμσ-<+=-=；(3)0.99740.15740.8400P X μσμσ-+=-=； (3)0.0013P X μσ>+=．故随机抽取10000个零件的平均利润：为1000010000(50.001340.157460.840050.0013)56566L =-⨯+⨯+⨯-⨯=元．22．（2020•某某模拟）法国数学家庞加是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包，面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布．（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000g 的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如表，经计算25个面包总质量为24468g ． 庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：)g尽管上述数据都落在(950,1050)上，但庞加菜还是认为面包师撒谎，根据所附信息，从概率角度说明理由 附：①若2~(,)X N μσ，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ，则由统计学知识可知：随机变量2~(,)25Y N σμ；②若2~(,)N ημσ，则()0.6826P μσημσ-<<+=，(22)0.9544P μσημσ-<<+=，(33)0.9974P μσημσ-<<+=；③通常把发生概率在0.05以下的事件称为小概率事件． 【解析】（1）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2， 0022111(0)()()224P C ξ===；12111(1)222P C ξ==⨯⨯=；2202111(2)()()224P C ξ===．ξ∴的分布列为：1110121424E ξ∴=⨯+⨯+⨯=；（2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X ． 假设面包师没有撒谎，则~(1000X N ，250)，根据附①，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ， 则~(1000Y N ，210)，庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X 的取值中随机抽取了25个数据． 这25个数据的平均值为24468978.72100021098025Y ==<-⨯=． 由附②数据知，10.9544(980)0.02280.052P Y -<==<． 由附③知，事件“980Y <”为小概率事件．∴“假设面包师没有撒谎”有误．故庞加莱认为面包师撒谎．。

二项分布与正态分布了解二项分布与正态分布的性质与应用二项分布与正态分布二项分布和正态分布是概率统计学中两个重要的分布形式。

二项分布适用于独立重复试验，每次试验只有两种可能的结果，成功或失败；而正态分布则是一种连续性的概率分布，常用于描述一组数据的分布情况。

本文将介绍二项分布和正态分布的性质与应用。

一、二项分布二项分布，又称为伯努利分布，是最基本的离散型概率分布之一。

它描述了在一系列相互独立的、同类的随机试验中，成功的次数的概率分布。

一次伯努利试验中，只有两个可能的结果，例如抛硬币的正反面。

二项分布的概率质量函数如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，X表示成功的次数，n表示试验的总次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示从n次试验中选取k次成功的组合数。

从公式中可以看出，二项分布的参数为n和p。

二项分布的性质：1.期望和方差：二项分布的期望为E(X) = np，方差为Var(X) = np(1-p)。

2.形状特点：二项分布的形状呈现对称性，随着试验次数n的增加，其形状逐渐接近正态分布。

二项分布的应用：1.质量控制：在质量控制中，可以使用二项分布来描述合格品和不合格品的比例，判断产品是否符合生产标准。

2.市场调查：通过市场调查统计来预测某个事件的发生概率，例如选举候选人的支持率。

3.投资决策：根据二项分布的特点，可以计算在不同投资情况下的预期收益和风险。

二、正态分布正态分布，也称为高斯分布，是一种连续型的概率分布。

在自然界和社会科学中，许多现象都可以被正态分布描述，例如身高、体重等。

正态分布的概率密度函数如下：f(x) = 1/(σ*sqrt(2π)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，x表示连续随机变量的取值，μ表示均值，σ表示标准差。

正态分布的参数为μ和σ。

正态分布的性质：1.对称性：正态分布是对称分布，其均值和中位数重合。

2.标准正态分布：当μ=0、σ=1时，得到标准正态分布。

高中数学知识点总结：随机变量及其分布随机变量及其分布1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n X 取每一个值 x i (i=1,2,......）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列4、分布列性质① p i ≥0, i =1，2， … ； ② p 1 + p 2 +…+p n = 1．5、二点分布：如果随机变量X 的分布列为：其中0<p<1，q=1-p ，则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布6、超几何分布：一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M n N C C P X k k m C --===，其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤7、条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率8、公式： .0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。

)()()(B P A P B A P ⋅=⋅10、n 次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验11、二项分布： 设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数，A 发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，事件A 不发生的概率为q=1-p ，那么在n 次独立重复试验中)(k P =ξk n k k n q p C -=（其中 k=0,1, ……,n ，q=1-p ）于是可得随机变量ξ的概率分布如下：这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p) ，其中n ，p 为参数12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 E ξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn ＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。

突破点一 事件的相互独立性及条件概率[基本知识]1．条件概率2.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( )(2)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( ) (3)相互独立事件就是互斥事件．( )(4)在条件概率中，一定有P (AB )＝P (B |A )P (A )．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、填空题1．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机投掷一点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________. 答案：142．抛掷两枚质地均匀的硬币，A ＝{第一枚为正面向上}，B ＝{第二枚为正面向上}，则事件C ＝{两枚向上的面为一正一反}的概率为________． 答案：123．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________． 答案：0.72[全析考法]考法一 条件概率[例1] (1)(2019·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( ) A.29 B.13 C.49D.59(2)(2019·信丰联考)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A.310 B.29 C.78D.79[解析] (1)小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，即n (B )＝108,4个人去的景点不同的情况有A 44＝4×3×2×1＝24种，即n (AB )＝24， ∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝24108＝29.(2)设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”， 则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730.则所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝730310＝79.[答案] (1)A (2)D[方法技巧] 条件概率的3种求法[例2] (2019·洛阳模拟)在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格．小明同学“立定投篮”的命中率为12，“三步上篮”的命中率为34，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响．(1)求小明同学一次测试合格的概率；(2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ，求ξ的分布列．[解] (1)设小明第i 次“立定投篮”命中为事件A i ，第i 次“三步上篮”命中为事件B i (i ＝1,2)，依题意有P (A i )＝12，P (B i )＝34(i ＝1,2)，“小明同学一次测试合格”为事件C . (1)P (C －)＝P (A －1 A －2)＋P (A －1 A 2 B －1 B －2)＋P (A 1B －1 B －2) ＝P (A －1)P (A －2)＋P (A －1)P (A 2)P (B －1)P (B －2)＋P (A 1)·P (B －1)P (B －2) ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫1－12×12×⎝⎛⎭⎫1－342＋12×⎝⎛⎭⎫1－342＝1964. ∴P (C )＝1－1964＝4564.(2)依题意知ξ＝2,3,4， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＋P (A －1A －2) ＝P (A 1)P (B 1)＋P (A －1)P (A －2)＝58，P (ξ＝3)＝P (A 1B －1B 2)＋P (A －1A 2B 1)＋P (A 1B －1B －2)＝P (A 1)P (B －1)P (B 2)＋P (A －1)P (A 2)P (B 1)＋P (A 1)·P (B －1)P (B －2)＝516，P (ξ＝4)＝P (A －1A 2B －1)＝P (A －1)P (A 2)P (B －1)＝116.故投篮的次数ξ的分布列为：[方法技巧]相互独立事件同时发生的概率的2种求法(1)直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式．(2)间接法：从对立事件入手计算．[集训冲关]1.[考法一]已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( ) A.1127 B.1124 C.827D.924解析：选C 设“从1号箱取到红球”为事件A ，“从2号箱取到红球”为事件B .由题意，P (A )＝42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49，所以P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝49×23＝827，所以两次都取到红球的概率为827.2.[考法二]为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( ) A.12 B.13 C.14D.16解析：选D 记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意，事件A i ，B i ，C i (i ＝1,2,3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16，i ＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝A 33P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16. 3.[考法二]为备战2018年瑞典乒乓球世界锦标赛，乒乓球队举行公开选拔赛，甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单．现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为35，丙胜甲的概率为34，乙胜丙的概率为p ，且各场比赛结果互不影响．若甲获第一名且乙获第三名的概率为110.(1)求p 的值；(2)设在该次对抗比赛中，丙得分为X ，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为110.即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙的概率为110，∴35×14×(1－p )＝110，∴p ＝13. (2)依题意，丙得分X 的所有取值为0,3,6. ∵丙胜甲的概率为34，丙胜乙的概率为23，∴P (X ＝0)＝14×13＝112，P (X ＝3)＝34×13＋14×23＝512，P (X ＝6)＝34×23＝12，∴X 的分布列为∴E (X )＝0×112＋3×512＋6×12＝174.突破点二 独立重复试验与二项分布[基本知识]1．独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )． 2．二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )． [基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P ＝C 13·⎝⎛⎭⎫131·⎝⎛⎭⎫1－133－1＝49.( ) (2)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n 二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( )(3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1．设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)等于________． 答案：5162．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是________．答案：5163．若ξ～B (n ，p )且E (ξ)＝6，D (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为________．答案：3×2－10[全析考法]考法一 独立重复试验的概率[例1] (1)如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为( ) A.23 B.12 C.34 D.14(2)投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为p ，连续掷一枚图钉3次，若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率，则p 的取值范围为________．[解析] (1)设女孩个数为X ，女孩多于男孩的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝ C 23⎝⎛⎭⎫122×12＋C 33⎝⎛⎭⎫123＝3×18＋18＝12.故选B.(2)设P (B k )(k ＝0,1,2,3)表示“连续投掷一枚图钉，出现k 次钉尖向上”的概率，由题意得P (B 2)＜P (B 3)，即C 23p 2(1－p )＜C 33p 3.∴3p 2(1－p )＜p 3.由于0＜p ＜1，∴34＜p ＜1. [答案] (1)B (2)⎝⎛⎭⎫34，1 [方法技巧]n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次可看作是C k n 个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k 个A 事件与n －k 个A －事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k (1－p )n －k .因此n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为C k n p k (1－p )n －k .考法二 二项分布的应用[例2] (2019·顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．(1)求a ，b ，c 的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w 定为多少？(精确到小数点后2位) (3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X ，求其分布列及均值．[解] (1)∵前四组频数成等差数列，∴所对应的频率组距也成等差数列，设a ＝0.2＋d ，b ＝0.2＋2d ，c ＝0.2＋3d ，∴0.5×(0.2＋0.2＋d ＋0.2＋2d ＋0.2＋3d ＋0.2＋d ＋0.1＋0.1＋0.1)＝1， 解得d ＝0.1，∴a ＝0.3，b ＝0.4，c ＝0.5.居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7＜0.8， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米． 应规定w ＝2.5＋0.10.15×0.5≈2.83.(3)将频率视为概率，设A (单位：立方米)代表居民月用水量， 可知P (A ≤2.5)＝0.7， 由题意，X ～B (3,0.7)，P (X ＝0)＝C 03×0.33＝0.027， P (X ＝1)＝C 13×0.32×0.7＝0.189， P (X ＝2)＝C 23×0.3×0.72＝0.441， P (X ＝3)＝C 33×0.73＝0.343.∴X 的分布列为∴E (X )＝np ＝2.1. [方法技巧]某随机变量是否服从二项分布的特点(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．[集训冲关]1.[考法一]将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P ⎝⎛⎭⎫P ≥1516，则n 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7 解析：选A 由P ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ≥1516，解得n ≥4，即n 的最小值为4.2.[考法二]若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是( )A.125729 B.80243 C.665729D.100243解析：选C 一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－13＝1－49＝59，设X 为3次试验中成功的次数，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，59，故所求概率P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 03×⎝⎛⎭⎫590×⎝⎛⎭⎫493＝665729，故选C. 3.[考法二]一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列及数学期望．解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此 P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X ～B (3,0.6)，X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为 P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216. 故X 的分布列为E (X )＝3×0.6＝1.8.突破点三 正态分布[基本知识]1．正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x )＝1σ2πe －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ＞0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时， 曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定：⎩⎪⎨⎪⎧σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. 2．正态分布[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)当x 无穷大时，正态曲线可以与x 轴相交．( ) (2)正态曲线与x 轴之间的面积大小不确定．( )(3)X 服从正态分布，通常用X ～N(μ，σ2)表示，其中参数μ和σ2分别表示X 的均值和方差．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝18π·e －(x －10)28，则这个正态总体的平均数与标准差分别是________． 答案：10 22．已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，其中P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 4.设ξ～N (1，σ2)，且P (ξ≥3)＝0.158 7，则σ＝________. 答案：23．(2019·广州模拟)按照国家规定，某种大米每袋质量(单位：kg)必须服从正态分布ξ～N (10，σ2)，根据检测结果可知P (9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有2 000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg 以下的职工人数大约为________．解析：∵每袋大米质量服从正态分布ξ～N (10，σ2)，∴P (ξ＜9.9)＝12[1－P (9.9≤ξ≤10.1)]＝0.02，∴分发到的大米质量在9.9 kg 以下的职工人数大约为2 000×0.02＝40.答案：40[典例] (2019·石家庄模拟)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x －(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，利用该正态分布，求Z 落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝142.75≈11.95； 若ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4.[解] (1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数x －＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(2)①∵Z 服从正态分布N (μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95， ∴P (14.55＜Z ＜38.45)＝P (26.5－11.95＜Z ＜26.5＋11.95)＝0.682 6， ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6.②根据题意得X ～B ⎝⎛⎭⎫4，12，P (X ＝0)＝C 04⎝⎛⎭⎫124＝116； P (X ＝1)＝C 14⎝⎛⎭⎫124＝14；P (X ＝2)＝C 24⎝⎛⎭⎫124＝38； P (X ＝3)＝C 34⎝⎛⎭⎫124＝14；P (X ＝4)＝C 44⎝⎛⎭⎫124＝116. ∴X 的分布列为∴E (X )＝4×12＝2.[方法技巧]求正态总体在某个区间内取值概率的关键点(1)熟记P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)的值； (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等．②P (X ＜a )＝1－P (X ≥a )，P (X ≤μ－a )＝P (X ≥μ＋a )． [针对训练]1．(2019·正阳模拟)已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，则P (2＜X ＜4)＝( ) A ．0.682 6 B ．0.341 3 C ．0.460 3D ．0.920 7解析：选A ∵随机变量X 服从正态分布N (3,1)，∴正态曲线的对称轴是直线x ＝3，∵P (X ≥4)＝0.158 7，∴P (2＜X ＜4)＝1－2P (X ≥4)＝1－0.317 4＝0.682 6.故选A.2．(2018·湘潭二模)某校高三年级有1 000人，某次数学考试不同成绩段的人数ξ～N (127,72)． (1)求该校此次数学考试平均成绩； (2)计算得分超过141的人数；(3)甲同学每次数学考试进入年级前100名的概率是14，若本学期有4次考试，X 表示进入前100名的次数，写出X 的分布列，并求期望与方差．(注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝95.44%) 解：(1)由不同成绩段的人数ξ服从正态分布N (127,72)，可知平均成绩为μ＝127. (2)P (ξ＞141)＝P (ξ＞127＋2×7)＝12×[1－P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)]＝0.022 8，故得分超过141分的人数为1 000×0.022 8≈23. (3)由题意知X ～B ⎝⎛⎭⎫4，14， 故X 的所有可能取值为0,1,2,3,4， P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫344＝81256， P (X ＝1)＝C 14⎝⎛⎭⎫141⎝⎛⎭⎫343＝2764， P (X ＝2)＝C 24⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫342＝27128， P (X ＝3)＝C 34⎝⎛⎭⎫143⎝⎛⎭⎫341＝364， P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫144＝1256， 故X 的分布列为期望E (X )＝np ＝4×14＝1，方差D (X )＝np (1－p )＝4×14×34＝34.[课时跟踪检测]1．用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为( )A.127 B.23 C.827D.49解析：选C 由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于13的概率为P ＝1－13＝23，则用该电脑连续生成3个实数，这3个实数都大于13的概率为⎝⎛⎭⎫233＝827.故选C. 2．(2019·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ) A.34 B.23 C.57D.512解析：选D 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是23×⎝⎛⎭⎫1－34＋34×⎝⎛⎭⎫1－23＝512，故选D. 3．(2018·厦门二模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( ) A.25 B.35 C.18125D.54125解析：选D 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率为35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P ＝C 23⎝⎛⎭⎫352⎝⎛⎭⎫1－35＝54125. 4．(2018·唐山二模)甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( ) A.29 B.49 C.23D.79解析：选D 甲不跑第一棒共有A 13·A 33＝18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：(1)乙跑第一棒，共有A 33＝6种情况；(2)乙不跑第一棒，共有A 12·A 12·A 22＝8种情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为6＋818＝79.故选D.5．(2019·福建四校联考)某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩X 近似服从正态分布N (100，a 2)(a ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为( ) A ．400 B ．500 C ．600D ．800解析：选A 由题意得，P (X ≤90)＝P (X ≥110)＝110，所以P (90≤X ≤110)＝1－2×110＝45，所以P (100≤X ≤110)＝25，所以此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为1 000×25＝400.故选A. 6．(2018·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) A.110 B.15 C.25D.12解析：选C 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1512＝25.故选C. 7．(2019·淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X ，且X ～N (800,502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4 ) A ．0.977 2 B ．0.682 6 C ．0.997 4D ．0.954 4解析：选A ∵X ～N (800,502)，∴P (700≤X ≤900)＝0.954 4，∴P (X ＞900)＝1－0.954 42＝0.022 8，∴P (X ≤900)＝1－0.022 8＝0.977 2.故选A.8．(2019·茂名一模)设X ～N (1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( ) (注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝95.44%) A ．7 539 B ．6 038 C ．7 028D ．6 587解析：选D ∵X ～N (1,1)，∴μ＝1，σ＝1.∵P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝68.26%，∴P (0＜X ＜2)＝68.26%，则P (1＜X ＜2)＝34.13%，∴阴影部分的面积为1－0.341 3＝0.658 7.∴向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7＝6 587.故选D.9．(2019·珠海一模)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( ) A ．0.05 B ．0.007 5 C.13D.16解析：选C 设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B 为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P (A )＝0.15，P (AB )＝0.05，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.050.15＝13.故选C. 10．(2019·江西名校联考)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 6， P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 4. A ．1 193 B ．1 359 C ．2 718D ．3 413解析：选B 对于正态分布N (－1,1)，可知μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于直线x ＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×[P (－3＜X ＜1)－P (－2＜X ＜0)]＝12×[P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)]＝12×(0.9544－0.682 6)＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率P ＝0.135 91＝0.135 9， 投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.135 9＝1 359.故选B.11．(2019·南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________．解析：口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A 表示“第一次取得红球”，事件B 表示“第二次取得白球”，则P (A )＝26＝13，P (AB )＝26×35＝15，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1513＝35.答案：3512．(2019·郑州一中月考)科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲通过科目二的概率均为34，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为________．解析：甲第3次考试才通过科目二，则前2次都未通过，第3次通过， 故所求概率为⎝⎛⎭⎫1－342×34＝364.答案：36413．(2019·合肥名校联考)已知随机变量X ～N (1，σ2)，若P (X ＞0)＝0.8，则P (X ≥2)＝________. 解析：随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，∴正态曲线关于x ＝1对称， ∴P (X ≥2)＝P (X ≤0)＝1－P (X ＞0)＝0.2. 答案：0.214．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，则乙队连胜四局的概率为________．解析：设乙队连胜四局为事件A ，有下列情况：第一局中乙胜甲(A 1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A 2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A 3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A 4)，其概率为0.5，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4)＝0.62×0.52＝0.09. 答案：0.0915．九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美．某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：(1)若购进这批九节虾35 000 g ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X ，求X 的分布列．解：(1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为140×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因为35 000÷29.5≈1 186(只)， 所以这批九节虾的数量约为1 186只．(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5,25)间的概率p ＝4＋1240＝25，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4， 则P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫354＝81625， P (X ＝1)＝C 14×25×⎝⎛⎭⎫353＝216625， P (X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫352＝216625， P (X ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫253×35＝96625， P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫254＝16625. 所以X 的分布列为16．(2019·惠州模拟)某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率p ＝23，记该班级完成n 首背诵后的总得分为S n .(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1,2,3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)当S 6＝20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．由S i ≥0(i ＝1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首； 若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确 2首． 则所求的概率P ＝⎝⎛⎭⎫232×C 24⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫132＋23×13×23×C 23⎝⎛⎭⎫232×13＝1681. (2)由题意知ξ＝|S 5|的所有可能的取值为10,30,50，又p ＝23，∴P (ξ＝10)＝C 35⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫132＋C 25⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫133＝4081，P (ξ＝30)＝C 45⎝⎛⎭⎫234×⎝⎛⎭⎫131＋C 15⎝⎛⎭⎫231×⎝⎛⎭⎫134＝3081， P (ξ＝50)＝C 55⎝⎛⎭⎫235×⎝⎛⎭⎫130＋C 05⎝⎛⎭⎫230×⎝⎛⎭⎫135＝1181， ∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝10×4081＋30×3081＋50×1181＝1 85081.17．(2018·濮阳二模)近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业．某商家为了准备2018年“双十一”的广告策略，随机调查了1 000名客户在2017年“双十一”前后10天内网购所花时间T (单位：时)，并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图．由频率分布直方图可以认为，这10天网购所花的时间T 近似服从N (μ，σ2)，其中μ用样本平均值代替，σ2＝0.24.(1)计算μ，并利用该正态分布求P (1.51＜T ＜2.49)．(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体，将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户，对目标客户发送广告提醒．现若随机抽取10 000名客户，记X 为这10 000人中目标客户的人数． (ⅰ)求EX ；(ⅱ)问：10 000人中目标客户的人数X 为何值的概率最大？ 附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4. 0.24≈0.49.解：(1)μ＝0.4×(0.050×0.8＋0.225×1.2＋0.550×1.6＋0.825×2.0＋0.600×2.4＋0.200×2.8＋0.050×3.2)＝2， 从而T 服从N (2,0.24)， 又σ＝0.24≈0.49，从而P (1.51＜T ＜2.49)＝P (μ－σ＜T ＜μ＋σ)＝0.682 6. (2)(ⅰ)任意抽取1名客户，该客户是目标客户的概率为P (2＜T ＜2.98)＝P (μ＜T ＜μ＋2σ) ＝12P (μ－2σ＜T ＜μ＋2σ)＝12×0.954 4＝0.477 2. 由题意知X 服从B (10 000,0.477 2)， 所以EX ＝10 000×0.477 2＝4 772. (ⅱ)X 服从B (10 000,0.477 2)，P (X ＝k )＝C k 10 0000.477 2k (1－0.477 2)10 000－k ＝ C k 10 0000.477 2k ·0.522 810 000－k (k ＝0,1,2，…，10 000)． 设当X ＝k (k ≥1，k ∈N)时概率最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧P (X ＝k )＞P (X ＝k ＋1)，P (X ＝k )＞P (X ＝k －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧0.522 8C k 10 000＞0.477 2C k ＋110 000，0.477 2C k 10 000＞0.522 8C k －110 000， 解得k ＝4 772.故10 000人中目标客户的人数为4 772的概率最大．。

二项分布与正态分布在概率统计学中，二项分布和正态分布是两个非常重要的概率分布。

二项分布是描述离散型随机变量的分布，而正态分布则是描述连续型随机变量的分布。

本文将对二项分布和正态分布进行详细介绍和比较。

一、二项分布二项分布是由进行多次独立的二元实验而引起的概率分布。

在每次实验中，结果只有两种可能，成功或失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p。

进行n次实验后，成功的次数就构成了一个二项分布。

二项分布的概率质量函数可以用公式表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个实验中取出k个成功的组合数，p表示成功的概率，(1-p)表示失败的概率。

二、正态分布正态分布又称为高斯分布，是自然界中非常常见的一种连续型概率分布。

正态分布的概率密度函数在数学上表达为：f(x) = (1/σ√(2π)) * e^-(x-μ)^2/(2σ^2)其中，μ表示分布的均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底。

正态分布的形状是一个钟形曲线，呈现对称性，并且均值、中位数、众数都位于曲线中心。

三、二项分布与正态分布的关系当二项分布中的实验次数n足够大，并且成功的概率p足够接近于0.5时，二项分布可以近似地用正态分布来描述。

这是由于中心极限定理的作用，即大量相互独立的随机变量的和近似服从正态分布。

具体来说，当n比较大时，二项分布的均值μ=n*p和方差σ^2=n*p*(1-p)的值也比较大。

而正态分布的均值和方差可以通过对二项分布的均值和方差进行适当的变换得到。

当n趋近于无穷大时，二项分布与正态分布的差别越来越小，因此可以用正态分布来近似描述二项分布。

四、应用场景二项分布常用于描述二元实验的结果，比如投掷硬币的结果、产品的合格率等。

通过对二项分布进行分析，可以计算出实验成功的概率、失败的概率以及在一定实验次数下成功的期望次数。

而正态分布则广泛应用于自然和社会科学的各个领域。

由于其对称性和中心极限定理的作用，正态分布可以用于描述和分析连续型随机变量的分布情况。

⾼数笔记之⼆项分布,柏松分布,正态分布0x00 概述主要介绍以下三种相互关联的概率分布：# 离散型随机变量的概率分布：⼆项分布，柏松分布# 连续性随机变量的概率分布：正态分布。

0x01 ⼆项分布满⾜条件：'''1）每次试验中事件只有两种结果：事件发⽣或者不发⽣，如硬币正⾯或反⾯，患病或没患病；2）每次试验中事件发⽣的概率是相同的，每次抛硬币正⾯和反⾯的概率都为0.5；每次投篮命中率都为0.6等等。

3）n次试验的事件相互之间独⽴。

'''特征：'''1，当p较⼩且n不⼤时，分布是偏倚的。

但随着n的增⼤，分布逐渐趋于对称。

2，当p约等于1-p，且n趋近于⽆穷⼤时，⼆项分布的极限分布为正态分布。

当p很⼩，且n很⼤时，⼆项分布的极限分布为柏松分布'''概率分布函数为：也为若随机变量满x(或者k)=0，1，2，3，....满⾜该分布函数，则称随机变量x(或者k)服从参数为n和p的⼆项分布，记为：x(k)~B(n, p)。

'''应⽤：判断n次独⽴重复事件中成功或者失败次数为k的概率，其中成功的概率为p，失败的概率为1-p。

'''0x02 柏松分布由⼆项分布推导⽽来。

柏松分布是⼆项分布的极限情况，即⼆项分布的伯努利试验中，如果试验次数n很⼤，⼆项分布的概率p很⼩，且乘积λ= np⽐较适中，则事件出现的次数的概率可以⽤泊松分布来逼近。

推导例⼦：如下图，满⾜条件：'''a, 事件发⽣为⼩概率事件b, 事件独⽴发⽣c, 事件发⽣的概率稳定'''特征：1，柏松分布的⼀⼤特征为平均数等于⽅差等于lamda，即。

2，是柏松分布的唯⼀参数，当⼤于等于20时，接近于正态分布，可以⽤正态分布来处理柏松分布问题。

概率分布函数为：若随机变量满x(或者k)=0，1，2，3，....满⾜该分布函数，则称随机变量x(或者k)服从参数为lamda的柏松分布，记为：x(k)~P()。