61.课标全国卷理科概率试题的统计“情结”之概率分布

年全国高考理科数学试题分类汇编八、概率与统计第部分.【年陕西卷（理）】从正方形四个顶点及其中心这个点中，任取个点，则这个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ） 【答案】【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525=== .【年重庆卷（理）】已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ） 【答案】【解析】根据正相关知回归直线的斜率为正，排除,C D ，回归直线经过点(,)x y --，故选A .【年陕西卷（理）】设样本数据1210,,,x x x 的均值与方差分别为与，若i i y x a =+（a 为非零常数， 1,2,,10i =），则12,10,y y y 的均值与方差分别为（ ）【答案】【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，. .【年湖南卷（理）】对一个容量为的总体抽取容量为的样本，若选取简单随机抽样、系统抽样与分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ，2p ，3p ，则 【答案】【解析】根据随机抽样的原理可得三种抽样方式都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即 321p p p ==，故选 .【年山东卷（理）】为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[),[),[),[),[],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有人，第三组中没有疗效的有人，则第三组中有疗效的人数为 【答案】【解析】第一组与第二组频率之与为200.450÷=500.361818612⨯=-=.【年全国新课标Ⅰ（理）】位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 【答案】：【解析】：位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天人有246C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867168+=；或间接解法：位同学都在周六或周日参加公益活动有种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627168-=；选. .【年全国新课标Ⅱ（理）】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） 【答案】 【解析】.【年广东卷（理）】已知某地区中小学生人数与近视情况分别如图与图所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量与抽取的高中生近视人数分别为 【答案】【解析】由题意知：该地区中小学生总人数为：35004500200010000++=人，所以样本容量为100002%200⨯=，应抽取高中生人数为：420040794⨯=++，所以抽取的高中生近视人数为4050%20⨯=人.故选..【年湖北卷（理）】根据如下样本数据得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则【答案】【解析】画出散点图如图所示，的值大致随的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以0<b ，0>a10.【年湖北卷（理）】由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ） 【答案】【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图， 由几何概型概率公式知，该点落在2Ω内的概率为111221722218222BDFCEFBDFSSP S⨯⨯-⨯⨯-===⨯⨯. .【年江西卷（理）】某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这个变量之间的关系，随机抽查名中学生，得到统计数据如表至表，则与性别有关联的可能性最大的变量是 【答案】【解析】根据独立性检验相关分析知，阅读量与性别相关数据较大，选.【年浙江卷（理）】已知甲盒中仅有个球且为红球，乙盒中有m 个红球与n 个蓝球(3m ≥，3)n ≥，从乙盒中随机抽取(1i i =，2)个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为(1i i ξ=，2)；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取个球是红球的概率记为(1i p i =，2).则 【答案】【解析】，，，所以＞；由已知ξ的取值为、，ξ的取值为、、，所以，（ξ）﹣（ξ）．故选第部分.【年辽宁卷（理）】正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-与2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形中，学科网则质点落在阴影区域的概率是 . 【答案】【解析】∵（﹣，﹣），（，﹣），（，），（﹣，），∴正方体的的面积×，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积[（﹣）﹣（﹣）]×，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．故答案为：.【年广东卷（理）】从，中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是的概率为 。

2009年全国高考理科数学试题及答案（全国卷Ⅱ）一、选择题： 1.10i2-i=A.-2+4iB.-2-4iC.2+4iD.2-4i解：原式10i(2+i)24(2-i)(2+i)i ==-+.故选A.2.设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = A.∅B.()3,4 C.()2,1-D.()4.+∞解：{}{}1|0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -⎧⎫=<=--<=<<⎨⎬-⎩⎭.(3,4)A B ∴=.故选B. 3.已知ABC ∆中，12cot5A =-，则cos A = A.1213 B.513 C.513-D.1213-解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2A ππ∴∈.12cos 13A ===-故选D. 4.曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为A.20x y --=B.20x y +-=C.450x y +-=D.450x y --=解：111222121||[]|1(21)(21)x x x x x y x x ===--'==-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-=故选B.5.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB=，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为A.10B.15C.10D.35解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B与BE 所成的角。

在1A BE ∆中由余弦定理易得1cos 10A BE ∠=。

故选C6.已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =A.C.5D.25解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。

专题15 概率统计考纲解读三年高考分析1.事件与概率2.古典概型3.随机数与几何概型4.随机抽样5.用样本估计总体(1)了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点.(2)理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差.(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并给出合理的解释.(4)会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想.6.变量的相关性(1)会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系.(2)了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.7.概率（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性. 统计的综合运算和概率的计算是考查的重点，解题时常用到概率的计算、回归方程的应用、独立性检验的思想、抽样方法的应用等，考查学生的数学抽象能力、逻辑推理能力、数学建模能力、数学运算能力、直观想象能力、数据分析能力，题型以选择填空题和解答题为主，较大难度.1、全国Ⅰ对古典概型每年都会考查，主要考查实际背景的可能事件，通常与互斥事件、对立事件一起考查．在高考中单独命题时，通常以选择题、填空题形式出现，属于中低档题；与统计等知识结合在一起考查时，以解答题形式出现，属中档题.2、以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集、定积分等知识交汇考查．在高考中多以选择、填空题的形式考查，难度为中档.3、以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法．在高考中以解答题的形式进行考查，难度多为中档或较难.(2)理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.(3)了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.(4)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.(5)利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.8.统计案例1．【2019年新课标3理科03】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.82．【2019年全国新课标2理科05】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A．中位数B．平均数C．方差 D．极差3．【2019年新课标1理科06】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．4．【2019年浙江07】设0＜a＜1．随机变量X的分布列是X0 a 1P则当a在（0，1）内增大时，（）A．D（X）增大B．D（X）减小C．D（X）先增大后减小D．D（X）先减小后增大5．【2018年新课标1理科03】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半6．【2018年新课标1理科10】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2+p37．【2018年新课标2理科08】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．8．【2018年新课标3理科08】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P（x＝4）＜P（X＝6），则p＝（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.39．【2018年浙江07】设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ0 1 2P则当p在（0，1）内增大时，（）A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小10．【2017年新课标1理科02】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．11．【2017年新课标3理科03】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳12．【2017年浙江08】已知随机变量ξi满足P（ξi＝1）＝p i，P（ξi＝0）＝1﹣p i，i＝1，2．若0＜p1＜p2，则（）A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）13．【2019年全国新课标2理科13】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为．14．【2019年新课标1理科15】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是．15．【2019年江苏05】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．16．【2019年江苏06】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．17．【2018年江苏03】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．18．【2018年上海09】有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．19．【2017年江苏03】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．20．【2017年江苏07】记函数f（x）定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．21．【2017年新课标2理科13】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX＝．22．【2019年天津理科16】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．23．【2019年新课标3理科17】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．24．【2019年全国新课标2理科18】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P（X＝2）；（2）求事件“X＝4且甲获胜”的概率．25．【2019年新课标1理科21】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i﹣1+bp i+cp i+1（i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设α＝0.5，β＝0.8．（i）证明：{p i+1﹣p i}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．26．【2019年北京理科17】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（0，1000] （1000，2000] 大于2000 仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．27．【2019年江苏25】在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．28．【2018年新课标1理科20】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p ＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？29．【2018年新课标2理科18】如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：99+17.5t．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．30．【2018年新课标3理科18】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2，P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82831．【2018年北京理科17】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数140 50 300 200 800 510好评率0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢．“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k＝1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．32．【2018年天津理科16】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．33．【2017年江苏26】已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k＝1，2，3，…，m+n）．1 2 3 …m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）．34．【2017年新课标1理科19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得9.97，s0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.997416≈0.9592，0.09．35．【2017年新课标2理科18】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg 旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828K2．36．【2017年新课标3理科18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？37．【2017年上海19】根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n，b n＝n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n＝﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？38．【2017年北京理科17】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（2）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）；（3）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．（只需写出结论）39．【2017年天津理科16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．1．【云南省玉溪市第一中学2019届高三下学期第五次调研】教育部选派3名中文教师到外国任教中文，有4个国家可供选择，每名教师随机选择一个国家，则恰有2名教师选择同一个国家的概率为（ ） A ．38B ．49C ．916D ．9322．【2019年3月浙江省绍兴市选考科目适应性考试】一个袋中有m 个红球，n 个白球，p 个黑球（15m n ≤<≤，4p ≥），从中任取1个球（每球取到的机会均等），设1ξ表示取出的红球个数，2ξ表示取出的白球个数，则A ．()()()()1212,E E D D ξξξξ>>B ．()()()()1212,E E D D ξξξξ><C ．()()()()1212,E ED D ξξξξ<>D ．()()()()1212,E E D D ξξξξ<<3．【河北省张家口市2020届高三上学期入学摸底联合考试】已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数： 321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506 318 230 113 507 965据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率为（） A ．0.25B ．0.30C ．0.35D ．0.404．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟】先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为,x y ，则2log 1x y =的概率为 ( ) A ．16B ．536C ．112D ．125．【2019年山东省肥城市高三第一次统考】十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相。

K 单元 概率K1 随机事件的概率K2 古典概型6.J1,J2,K2[2019·全国卷Ⅰ] 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“- -”,图1-3就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )图1-3A .516B .1132C .2132D .11166.A [解析] 每一重卦由6个爻组成,每个爻可以是阳爻也可以是阴爻,所以共有26=64(种)重卦,恰有3个阳爻的情况有C 63=20(种),所以对应的概率为2064=516.17.I1,I2,K2,K6,K9[2019·北京卷] 改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B 两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B 两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下:支付金额(元)支付方式(0,1000] (1000,2000] 大于2000 仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B 两种支付方式都使用的概率. (2)从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人,以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X 的分布列和数学期望.(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A 的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.17.解:(1)由题意知,样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30(人),仅使用B 的学生有10+14+1=25(人),A,B 两种支付方式都不使用的学生有5人. 故样本中A,B 两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40(人).所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B 两种支付方式都使用的概率估计为40100=0.4. (2)X 的所有可能值为0,1,2.记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”,事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”. 由题设知,事件C ,D 相互独立,且P (C )=9+330=0.4,P (D )=14+125=0.6. 所以P (X=2)=P (CD )=P (C )P (D )=0.24,P (X=1)=P (C ∪C D ) =P (C )P (D )+P (C )P (D ) =0.4×(1-0.6)+(1-0.4)×0.6 =0.52,P (X=0)=P (C D )=P (C )P (D )=0.24.所以X 的分布列为 X0 1 2 P0.240.520.24故X 的数学期望E (X )=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.(3)记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅使用A 的学生中,本月支付金额大于2000元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得P (E )=1C 303=14060.答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.6.K2[2019·江苏卷]从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.6.7[解析]3名男同学记为A,B,C,2名女同学记为D,E.10基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个,其中至少.有1名女同学的基本事件有7个,故所求概率为710K3 几何概型K4 互斥事件有一个发生的概率15.K4,K5[2019·全国卷Ⅰ]甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是.15.0.18[解析]由题意可知,甲、乙两队共比赛了5场,前4场甲队只输了其中1场,且第5场甲队获胜.分两种情况:①甲在第1,2场的主场比赛中输了1场,由独立事件的概率计算公式得,其概率为C21×0.4×0.6×0.5×0.5×0.6=0.072;②甲在第3,4场的客场比赛中输了1场,同理可得其对应的概率为C21×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.108.所以由互斥事件的概率加法计算公式得所求的概率为0.072+0.108=0.18.18.K4,K5[2019·全国卷Ⅱ]11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.18.解:(1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分,因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.16.K4,K5,K6,K8[2019·天津卷]设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.16.解:(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为2 3,故X~B(3,23),从而P(X=k)=C3k(23)k(13)3-k,k=0,1,2,3.所以,随机变量X的分布列为X0123P12729 49 827随机变量X 的数学期望E (X )=3×23=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ,则Y~B (3,23),且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,从而由(1)知P (M )=P ({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P (X=3,Y=1)+P (X=2,Y=0)=P (X=3)P (Y=1)+P (X=2)P (Y=0)=827×29+49×127=20243.K5 相互对立事件同时发生的概率15.K4,K5[2019·全国卷Ⅰ] 甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .15.0.18 [解析] 由题意可知,甲、乙两队共比赛了5场,前4场甲队只输了其中1场,且第5场甲队获胜.分两种情况:①甲在第1,2场的主场比赛中输了1场,由独立事件的概率计算公式得,其概率为C 21×0.4×0.6×0.5×0.5×0.6=0.072;②甲在第3,4场的客场比赛中输了1场,同理可得其对应的概率为C 21×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.108.所以由互斥事件的概率加法计算公式得所求的概率为0.072+0.108=0.18.18.K4,K5[2019·全国卷Ⅱ] 11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X 个球该局比赛结束. (1)求P (X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.18.解:(1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分,因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.16.K4,K5,K6,K8[2019·天津卷]设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.16.解:(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为2 3,故X~B(3,23),从而P(X=k)=C3k(23)k(13)3-k,k=0,1,2,3.所以,随机变量X的分布列为X0123P 1272949827随机变量X的数学期望E(X)=3×23=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B(3,23),且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P (X=3,Y=1)+P (X=2,Y=0)=P (X=3)P (Y=1)+P (X=2)P (Y=0)=827×29+49×127=20243.K6 离散型随机变量及其分布列21.D3,K6[2019·全国卷Ⅰ] 为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X. (1)求X 的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i (i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p 0=0,p 8=1,p i =ap i-1+bp i +cp i+1(i=1,2,…,7),其中a=P (X=-1),b=P (X=0),c=P (X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明{p i+1-p i }(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ii)求p 4,并根据p 4的值解释这种试验方案的合理性. 21.解:(1)X 的所有可能取值为-1,0,1.P (X=-1)=(1-α)β, P (X=0)=αβ+(1-α)(1-β), P (X=1)=α(1-β).所以X 的分布列为X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)(2)(i)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此p i=0.4p i-1+0.5p i+0.1p i+1,故0.1(p i+1-p i)=0.4(p i-p i-1),即p i+1-p i=4(p i-p i-1).又因为p1-p0=p1≠0,所以{p i+1-p i}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.(ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)=48-1p1.3,所以由于p8=1,故p1=348-1p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=44-1p13.=1257p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为≈0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=1257试验方案合理.17.I1,I2,K2,K6,K9[2019·北京卷]改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:支付金额(元)支付方式(0,1000] (1000,2000] 大于2000 仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B 两种支付方式都使用的概率. (2)从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人,以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X 的分布列和数学期望.(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A 的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.17.解:(1)由题意知,样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30(人),仅使用B 的学生有10+14+1=25(人),A,B 两种支付方式都不使用的学生有5人. 故样本中A,B 两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40(人).所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B 两种支付方式都使用的概率估计为40100=0.4. (2)X 的所有可能值为0,1,2.记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”,事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”. 由题设知,事件C ,D 相互独立,且P (C )=9+330=0.4,P (D )=14+125=0.6. 所以P (X=2)=P (CD )=P (C )P (D )=0.24,P (X=1)=P (C D ∪C D ) =P (C )P (D )+P (C )P (D ) =0.4×(1-0.6)+(1-0.4)×0.6 =0.52,P(X=0)=P(C D)=P(C)P(D)=0.24.所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于2000元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得P(E)=1C303=1 4060.答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.16.K4,K5,K6,K8[2019·天津卷]设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.16.解:(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为2 3,故X~B(3,23),从而P(X=k)=C3k(23)k(13)3-k,k=0,1,2,3.所以,随机变量X 的分布列为X 0123P12729 49 827随机变量X 的数学期望E (X )=3×23=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ,则Y~B (3,23),且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,从而由(1)知P (M )=P ({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P (X=3,Y=1)+P (X=2,Y=0)=P (X=3)P (Y=1)+P (X=2)P (Y=0)=827×29+49×127=20243. 7.B5,K6[2019·浙江卷] 设0<a<1,随机变量X 的分布列是则当a 在(0,1)内增大时, ( )A .D (X )增大B .D (X )减小C .D (X )先增大后减小 D .D (X )先减小后增大7.D [解析] 方法一:因为E (X )=0×13+a ×13+1×13=a+13, 所以D (X )=(0−a+13)2×13+(a −a+13)2×13+(1−a+13)2×13=29(a 2-a+1),其图像的对称轴为a=12,所以选D .方法二:因为E (X )=0×13+a ×13+1×13=a+13, 所以E (X 2)=0×13+a 2×13+1×13=a 2+13, 所以D (X )=E (X 2)-E 2(X )=29(a 2-a+1),其图像的对称轴为a=12, 所以选D .K7 条件概率与事件的独立性K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布23.K8[2019·江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中,设点集A n ={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n ,0)},B n ={(0,1),(n ,1)},C n ={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n ,2)},n ∈N *.令M n =A n∪B n ∪C n .从集合M n 中任取两个不同的点,用随机变量X 表示它们之间的距离. (1)当n=1时,求X 的概率分布;(2)对给定的正整数n (n ≥3),求概率P (X ≤n )(用n 表示). 23.解:(1)当n=1时,X 的所有可能取值是1,√2,2,√5.X 的概率分布为P (X=1)=7C 62=715,P (X=√2)=4C 62=415,P (X=2)=2C 62=215,P (X=√5)=2C 62=215.(2)设A (a ,b )和B (c ,d )是从M n 中取出的两个点. 因为P (X ≤n )=1-P (X>n ),所以仅需考虑X>n 的情况.①若b=d ,则AB ≤n ,不存在X>n 的取法;②若b=0,d=1,则AB=√(a -c)2+1≤√n 2+1,所以X>n 当且仅当AB=√n 2+1,此时a=0,c=n 或a=n ,c=0,有2种取法;③若b=0,d=2,则AB=√(a -c)2+4≤√n 2+4.因为当n ≥3时,√(n -1)2+4≤n ,所以X>n 当且仅当AB=√n 2+4,此时a=0,c=n 或a=n ,c=0,有2种取法;④若b=1,d=2,则AB=√(a -c)2+1≤√n 2+1,所以X>n 当且仅当AB=√n 2+1,此时a=0,c=n 或a=n ,c=0,有2种取法.综上,当X>n时,X 的所有可能取值是√n 2+1和√n 2+4,且P (X=√n 2+1)=4C 2n+42,P (X=√n 2+4)=2C 2n+42.因此,P (X ≤n )=1-P (X=√n 2+1)-P (X=√n 2+4)=1-6C 2n+42.16.K4,K5,K6,K8[2019·天津卷] 设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X 的分布列和数学期望;(2)设M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M 发生的概率.16.解:(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故X~B (3,23),从而P (X=k )=C 3k (23)k (13)3-k,k=0,1,2,3.所以,随机变量X 的分布列为X 0123P12729 49 827随机变量X 的数学期望E (X )=3×23=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ,则Y~B (3,23),且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,从而由(1)知P (M )=P ({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P (X=3,Y=1)+P (X=2,Y=0)=P (X=3)P (Y=1)+P (X=2)P (Y=0)=827×29+49×127=20243.K9 单元综合17.I1,I2,K2,K6,K9[2019·北京卷] 改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B 两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B 两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下:支付金额(元)支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B 两种支付方式都使用的概率. (2)从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人,以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X 的分布列和数学期望.(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A 的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.17.解:(1)由题意知,样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30(人),仅使用B 的学生有10+14+1=25(人),A,B 两种支付方式都不使用的学生有5人. 故样本中A,B 两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40(人).所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B 两种支付方式都使用的概率估计为40100=0.4. (2)X 的所有可能值为0,1,2.记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”,事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1000元”. 由题设知,事件C ,D 相互独立,且P (C )=9+330=0.4,P (D )=14+125=0.6. 所以P (X=2)=P (CD )=P (C )P (D )=0.24,P (X=1)=P (C D ∪C D ) =P (C )P (D )+P (C )P (D ) =0.4×(1-0.6)+(1-0.4)×0.6 =0.52,P (X=0)=P (C D )=P (C )P (D )=0.24.所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于2000元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得P(E)=1C303=1 4060.答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.11.[2019·安徽合肥一检]某商场进行购物摸奖活动,规则是:在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球,每次摸奖需要同时取出两个球,每位顾客最多有两次摸奖机会.规定:若第一次取出的两个小球的号码连号,则中奖,摸奖结束;若第一次未中奖,则将这两个小球放回后进行第二次摸奖,若与第一次取出的两个小球的号码相同,则中奖,否则不中奖.按照这样的规则摸奖,中奖的概率为()A.45B.1925C.2350D.4110011.C[解析]根据题意可知中奖的概率为4C52+C52-4C52·1C52=25+350=2350,故选C.1.[2019·长沙一检] 已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年时还可以正常工作,则这个元件的使用寿命超过2年的概率为( )A .0.75B .0.6C .0.52D .0.481.A [解析] 设“这种元件的使用寿命超过1年”为事件A ,“这种元件的使用寿命超过2年”为事件B ,则P (A )=0.8,P (AB )=0.6,故P (B|A )=P(AB)P(A)=0.60.8=0.75,故选A .3.[2019·江西上饶联考] 某校为某项数学比赛选拔人才,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格.该校有900名学生参加了初赛,所有学生的分数均在区间(30,150]内,按(30,50],(50,70],(70,90],(90,110],(110,130],[130,150]分组后,得到频率分布直方图如图T11-1所示.图T11-1(1)求本次初赛分数的中位数.(2)从初赛分数在区间(110,150]内的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流会,那么从分数在区间(110,130]与(130,150]内的参赛者中各抽取多少人?(3)从(2)抽取的7人中,选出4人参加全市座谈交流会,设X 表示分数在(110,130]内参加全市座谈交流会的人数,学校打算给这4人一定的物质奖励,若该生分数在(110,130]内则给予500元奖励,若该生分数在(130,150]内则给予800元奖励,用Y 表示学校发的奖金数额,求Y 的分布列和数学期望.3.解:(1)由题意知分数在(30,90]内的频率为20×(0.002 5+0.007 5+0.007 5)=0.35,分数在(110,150]内的频率为20×(0.005 0+0.012 5)=0.35,所以分数在(90,110]内的频率为1-0.35-0.35=0.3, 从而分数在(90,110]内的频率组距=0.320=0.015. 设本次初赛分数的中位数为x ,则由题意得0.35+(x-90)×0.015=0.5,解得x=100. (2)分组区间(110,130]与(130,150]的频率之比为0.012 5∶0.005 0=5∶2.因为要从得分在区间(110,150]内的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取7人, 所以应从分数在区间(110,130]与(130,150]内的参赛者中各抽取5人,2人. (3)X 的可能取值为2,3,4,则P (X=2)=C 52C 22C 74=27,P (X=3)=C 53C 21C 74=47,P (X=4)=C 54C 20C 74=17,从而Y 的分布列为Y 2600 23002000P274717∴Y 的数学期望E (Y )=2600×27+2300×47+2000×17=16 4007. 6.[2019·广东揭阳期末] 某公司培训员工的某项技能,培训有如下两种方式:方式一,周一到周五每天培训1小时,周日测试;方式二,周六一天培训4小时,周日测试.并规定,本周测试达标后,下周不再培训,否则继续培训,直到测试达标.公司有多个班组,每个班组60人,现任选两个班组(记为甲组、乙组)先培训,甲组选方式一,乙组选方式二,并记录每周培训后测试达标的人数如下表.第一周 第二周 第三周 第四周 甲组 20 25 10 5 乙组8162016其中第一、二周达标的员工评为优秀. (1)在甲组内任选两人,求恰有一人优秀的概率.(2)若每个员工技能测试是否达标相互独立,且以频率作为概率.(i)设公司员工在方式一、方式二下的受训时间分别为ξ1,ξ2,求ξ1,ξ2的分布列,若选平均受训时间少的,则公司应选哪种培训方式?(ii)按(i)中所选方式从公司任选两人,求恰有一人优秀的概率.6.解:(1)因为甲组60人中有45人优秀,所以从中任选两人,恰有一人优秀的概率为C 451C 151C 602=45×1530×59=45118. (2)(i)ξ1的分布列为ξ1 5101520P13512 16 112E (ξ1)=5×13+10×512+15×16+20×112=10. ξ2的分布列为ξ2 481216P215415 13 415E (ξ2)=4×215+8×415+12×13+16×415=4×4115=16415, ∵E (ξ1)<E (ξ2),∴公司应选培训方式一.(ii)按培训方式一,从公司任选一人,其优秀的概率为13+512=34, 则从公司任选两人,恰有一人优秀的概率为C 21×34×(1-34)=38.。