排列与组合计数问题中的策略与方法
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２ ． 直 接 分 类 较 多 采 用 间接 处 理 或 正 难 则 反 的策 略． ３ ． 特 殊 元 素 优 先 安 排 或 特 殊 位 置 优 先 安 排 的策 略． ４ ． 相 邻元素捆绑处理的策略．
做就错． 存在的问题在于不会避免“ 重复” 和“ 遗漏” ， 在 学 习
的 过 程 中死 记 解 题 方 法 ， 不会选择恰 当的解题策略． 针 对 以 上 出现的问题 ， 本 论 文 从 三 个 角 度 选 择 不 同 的解 题 策 略 ， 引 导 学 生 对计 数 问 题 形 成 一 种 整 体认 识 ， 克 服 计 数 中 出现 的误 区．
互不干扰 ， 彼此之间交集 为 空集 ， 并 集 为 全 集． “ 分 步” 强 调 各
经典 Ｉ ： 排数问题． 例 １ 用 ０ ， １ ， ２ ， ３ ， ４ ， ５这 ６ 个 数字排数 ， 求：
（ １ ） （ ２ ） 能组 成 多 少 个 １不 在 百 位 ， ５不 在 个 位 的 没 有 重 复 数
字的三位数 ？
步骤缺一不 可， 必须把 各步骤 均完 成 ， 才能 完成所 给事 件． 在 处理计数问题综合题 中， 往 往 先 按 元 素 的性 质 “ 分 类” ， 再 按 事 情发生的连续过程“ 分 步” ， 两 者 的 有 机 结 合 是 解 决 计 数 综 合
题的策略之一 ， 也是避免 出现“ 重复 ” 和“ 遗漏” 最 佳 的 解 题 途
第 三类 ： 当各 位 为 ４时 ， 与 第二 类 相 同． 综上 知 ， 一 共 有
２ Ｏ ＋１ ６ ＋１ ６ —５ ２个 三 位 数 ． （ ２ ） 第一类 ： 当 百 位 为 ２时 ， 个位从 ０ 、 １ 、 ３ 、 ４从 选 １个 ， 有 ４种 选 法 ， 十 位 有 ４种 选 法 ， 所 以有 １ ６个 三 位 数 ；
排 列 与组 合 计 数 问题 中的 策 略 与方 法
一 成 军
《 全 日制 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 》 明确 指 出 ， 计 数 问 题 是
数 学 中 的重 要研 究 对 象 之 一 ， 在 本模 块 中 ， 学 生 将 学 习计 数 基
计 数 问题 还 需 要 一 定 的解 题 方 法 策 略 ． 因此 ， 注 重 对 常 规 题 型 的解 题 方 法 的 掌握 ， 避 免繁琐 的、 技巧性 过 高的计数 问题 ， 也 是 解 决 计 数 问题 重 要 的 策 略 之 一 ． 下 面 列 举 了几 种 常 规 题 型 的解题策略．
第二类 ： 当百 位 为 ３或 ４时 与 第 一 类 相 似 ， 所 以有 ３ ２个
三位数 ；
第三类 ： 当百 位 为 ５时 ， 个 位从 ０ 、 １ 、 ２ 、 ３ 、 ４从 选 １ 个， 有 ５
种选法 ， 十 位 有 ４种 选 法 ， 所 以有 ２ Ｏ个 三 位 数 ． 综 上知 ， 一 共
策略一 ： 理解概念 、 区分 异 同
５ ． 不 相 邻 元 素 插 空 处 理 的策 略 ．
６ ． 分 配 问 题 采 用 隔 板 处 理 或 合 理 分 类 的策 略 ．
在 计 数 问 题 中常 常 出 现 “ 重 复” 和“ 遗漏 ” ， 主 要 原 因 在 于
对相关 概念的理解不准确 ， 尤 其 是 两 者 问 的异 同认 识 模 糊 ， 导
种选法 ， 十位 有 ４种选 法 ， 所 以有 ４ ×４ —１ ６ 个 三位 数 ；
２ ． 排列数与组合数． 计 数 问 题 中 排 列 与 组 合 的应 用 主要 表 现 在 排 列 数 与 组 合 数的应用 ， 因此 区 分 排 列 数 与 组 合 数 的 异 同 是 解 题 的 关 键 之 所在 ． 排列数 Ａ ｍ与 组 合 数 ｃ ． 的共 同点 在 于 两 者 都 是 从 ”个 不 同元 素 中 取 出 ｍ 个 不 同 的 元 素 ， 不 同点 在 于 排 列 数 比 组 合 数 多 了一 步 ， 将取 出 的 ｍ 个元 素按 一定 的顺 序再 进 行排列 ． 因此 ， 在 计 数 问题 中选 择 排列 数 还 是 组 合 数 ， 关键在于 看取 出
径之一．
解： （ １ ） 第一类 ： 当个 位 为 ０时 ， 百位从 １ ～ ５中选 １ 个， 有 ５ 种选法 ， 十 位 有 ４种 选 法 ， 所以有 ５ ×４ ＝２ ０个 三 位 数 ； 第二类 ： 当 个 位 为 ２时 ， 百位从 １ 、 ３ 、 ４ 、 ５中 选 １个 ， 有４
反三 ， 融会贯通．
致 处 理 问题 时 混 为 一 团． 在 本 模 块 的 学 习 中要 注 重 四 对 概 念
的理 解 ， 能准确地 区分它们之间的异同．
１ ． 分类 原理与分步原理． 分 类 加 法 计 数原 理 和 分 步 乘 法 计 数 原 理 是 处 理 计 数 问 题 的两种基本思想 方法 ， 它 们 为 解 决 很 多 实 际 问 题 提 供 了思 想 和工具． “ 分类” 表 现 为 其 中任 何 一 类 均 可 独 立 完 成 ， 各 类 办 法
７ ． 定 序 问 题 或 重 叠 元 素 的只 选 不 排 或 除 法 处 理 的策 略 ． 策略三 ： 熟记经典 、 融 会 贯 通 在解决计 数问题过程中 ， 除 了 以上 介 绍 的 解 题 策 略 ， 还 需 要熟练记住一 部分经典 的题 型的解法 ， 并 能 将 这 些 题 型 举 一
本原理 、 排列 、 组 合及 其 应 用 ， 了解 计 数 与 现 实 生 活 的 联 系 ， 会 解 决 简 单 的计 数 问题 ． 从近几年高考命题 来看 ， 计 数 问 题 的试 题 难 度 有 下 降 的趋 势 ． 在本模 块 的教学 中 ， 学生一 听就 会 ， 而
一
１ ． 合 理 分 类 与 准 确 分 步 的策 略．
做就错． 存在的问题在于不会避免“ 重复” 和“ 遗漏” ， 在 学 习
的 过 程 中死 记 解 题 方 法 ， 不会选择恰 当的解题策略． 针 对 以 上 出现的问题 ， 本 论 文 从 三 个 角 度 选 择 不 同 的解 题 策 略 ， 引 导 学 生 对计 数 问 题 形 成 一 种 整 体认 识 ， 克 服 计 数 中 出现 的误 区．
互不干扰 ， 彼此之间交集 为 空集 ， 并 集 为 全 集． “ 分 步” 强 调 各
经典 Ｉ ： 排数问题． 例 １ 用 ０ ， １ ， ２ ， ３ ， ４ ， ５这 ６ 个 数字排数 ， 求：
（ １ ） （ ２ ） 能组 成 多 少 个 １不 在 百 位 ， ５不 在 个 位 的 没 有 重 复 数
字的三位数 ？
步骤缺一不 可， 必须把 各步骤 均完 成 ， 才能 完成所 给事 件． 在 处理计数问题综合题 中， 往 往 先 按 元 素 的性 质 “ 分 类” ， 再 按 事 情发生的连续过程“ 分 步” ， 两 者 的 有 机 结 合 是 解 决 计 数 综 合
题的策略之一 ， 也是避免 出现“ 重复 ” 和“ 遗漏” 最 佳 的 解 题 途
第 三类 ： 当各 位 为 ４时 ， 与 第二 类 相 同． 综上 知 ， 一 共 有
２ Ｏ ＋１ ６ ＋１ ６ —５ ２个 三 位 数 ． （ ２ ） 第一类 ： 当 百 位 为 ２时 ， 个位从 ０ 、 １ 、 ３ 、 ４从 选 １个 ， 有 ４种 选 法 ， 十 位 有 ４种 选 法 ， 所 以有 １ ６个 三 位 数 ；
排 列 与组 合 计 数 问题 中的 策 略 与方 法
一 成 军
《 全 日制 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 》 明确 指 出 ， 计 数 问 题 是
数 学 中 的重 要研 究 对 象 之 一 ， 在 本模 块 中 ， 学 生 将 学 习计 数 基
计 数 问题 还 需 要 一 定 的解 题 方 法 策 略 ． 因此 ， 注 重 对 常 规 题 型 的解 题 方 法 的 掌握 ， 避 免繁琐 的、 技巧性 过 高的计数 问题 ， 也 是 解 决 计 数 问题 重 要 的 策 略 之 一 ． 下 面 列 举 了几 种 常 规 题 型 的解题策略．
第二类 ： 当百 位 为 ３或 ４时 与 第 一 类 相 似 ， 所 以有 ３ ２个
三位数 ；
第三类 ： 当百 位 为 ５时 ， 个 位从 ０ 、 １ 、 ２ 、 ３ 、 ４从 选 １ 个， 有 ５
种选法 ， 十 位 有 ４种 选 法 ， 所 以有 ２ Ｏ个 三 位 数 ． 综 上知 ， 一 共
策略一 ： 理解概念 、 区分 异 同
５ ． 不 相 邻 元 素 插 空 处 理 的策 略 ．
６ ． 分 配 问 题 采 用 隔 板 处 理 或 合 理 分 类 的策 略 ．
在 计 数 问 题 中常 常 出 现 “ 重 复” 和“ 遗漏 ” ， 主 要 原 因 在 于
对相关 概念的理解不准确 ， 尤 其 是 两 者 问 的异 同认 识 模 糊 ， 导
种选法 ， 十位 有 ４种选 法 ， 所 以有 ４ ×４ —１ ６ 个 三位 数 ；
２ ． 排列数与组合数． 计 数 问 题 中 排 列 与 组 合 的应 用 主要 表 现 在 排 列 数 与 组 合 数的应用 ， 因此 区 分 排 列 数 与 组 合 数 的 异 同 是 解 题 的 关 键 之 所在 ． 排列数 Ａ ｍ与 组 合 数 ｃ ． 的共 同点 在 于 两 者 都 是 从 ”个 不 同元 素 中 取 出 ｍ 个 不 同 的 元 素 ， 不 同点 在 于 排 列 数 比 组 合 数 多 了一 步 ， 将取 出 的 ｍ 个元 素按 一定 的顺 序再 进 行排列 ． 因此 ， 在 计 数 问题 中选 择 排列 数 还 是 组 合 数 ， 关键在于 看取 出
径之一．
解： （ １ ） 第一类 ： 当个 位 为 ０时 ， 百位从 １ ～ ５中选 １ 个， 有 ５ 种选法 ， 十 位 有 ４种 选 法 ， 所以有 ５ ×４ ＝２ ０个 三 位 数 ； 第二类 ： 当 个 位 为 ２时 ， 百位从 １ 、 ３ 、 ４ 、 ５中 选 １个 ， 有４
反三 ， 融会贯通．
致 处 理 问题 时 混 为 一 团． 在 本 模 块 的 学 习 中要 注 重 四 对 概 念
的理 解 ， 能准确地 区分它们之间的异同．
１ ． 分类 原理与分步原理． 分 类 加 法 计 数原 理 和 分 步 乘 法 计 数 原 理 是 处 理 计 数 问 题 的两种基本思想 方法 ， 它 们 为 解 决 很 多 实 际 问 题 提 供 了思 想 和工具． “ 分类” 表 现 为 其 中任 何 一 类 均 可 独 立 完 成 ， 各 类 办 法
７ ． 定 序 问 题 或 重 叠 元 素 的只 选 不 排 或 除 法 处 理 的策 略 ． 策略三 ： 熟记经典 、 融 会 贯 通 在解决计 数问题过程中 ， 除 了 以上 介 绍 的 解 题 策 略 ， 还 需 要熟练记住一 部分经典 的题 型的解法 ， 并 能 将 这 些 题 型 举 一
本原理 、 排列 、 组 合及 其 应 用 ， 了解 计 数 与 现 实 生 活 的 联 系 ， 会 解 决 简 单 的计 数 问题 ． 从近几年高考命题 来看 ， 计 数 问 题 的试 题 难 度 有 下 降 的趋 势 ． 在本模 块 的教学 中 ， 学生一 听就 会 ， 而
一
１ ． 合 理 分 类 与 准 确 分 步 的策 略．
