初中数学一元二次方程的应用题型分类——商品销售问题A （附答案）1．家乐商场销售某种衬衣，每件进价100元，售价160元，平均每天能售出30件为了尽快减少库存，商场采取了降价措施．调查发现，这种衬衣每降价1元，其销量就增加3件．商场想要使这种衬衣的销售利润平均每天达到3600元，每件衬衣应降价多少元？ 2．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%3a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值. 3．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价4元，则平均每天销售数量为 件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1050元？4．名闻遐迩的秦顺明前茶，成本每斤500元，某茶场今年春天试营销，每周的销售量y （斤）与销售单价x （元/斤）满足的关系如下表：（1）请根据表中的数据猜想并写出y 与x 之间的函数关系式；（2）若销售每斤茶叶获利不能超过40%，该茶场每周获利w 元，试写w 与x 之间的函数关系式，并求出茶场每周的最大利润．（3）若该茶场每周获利不少于40000元，试确定销售单价x 的取值范围．5．华为手机与苹果手机受消费者喜爱，某商户每周都用25000元购进250张华为手机壳和150张苹果手机壳．（1）商户在第一周销售时，每张华为手机壳的售价比每张苹果手机壳的售价的2倍少10元，且两种手机壳在一周之内全部售完，总盈利为5000元，商户销售苹果手机壳的价格每张多少元?（2）商户在第二周销售时，受到各种因素的影响，每张华为手机壳的售价比第一周每张华为手机壳的售价增加5%3a,但华为手机壳的销售量比第一周华为手机壳的销售量下降了a%；每张苹果手机壳的售价比第一周每张苹果手机壳的售价下降了a%，但苹果手机壳销售量与第一周苹果手机壳销售量相同，结果第二周的总销售额为30000元，求a（0a ）的值．6．某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个．（1）当售价上涨x元时，那么销售量为_____个；（2）为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？这时售出台灯多少个？7．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？8．某批发商以每件50元的价格购500件T恤，若以单价70元销售，预计可售出200件，批发商的销售策略是：第一个月为了增加销售，在单价70元的基础上降价销售，经过市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价高于购进的价格，每一个月结束后，将剩余的T恤一次性亏本清仓销售，清仓时单价为40元．（1）若设第一个月单价降低x元，当月出售T恤获得的利润为1y元，清仓剩下T恤亏本2y元，请分别求出1y、2y与x的函数关系式；（2）从增加销售量的角度看，第一个月批发商降价多少元时，销售完这批T恤获得的利润为1000元？9．某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？10．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：（1）填空：每天可售出书本（用含x的代数式表示）；（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？11．毎年6月，学校门口的文具店都会购进毕业季畅销商品进行销售．已知校门口“小光文具店“在5月份就售出每本8元的A种品牌同学录90本，每本10元的B种品牌同学录175本．（1）某班班长帮班上同学代买A种品牌和B种品牌同学录共27本，共花费246元，请问班长代买A种品牌和B种品牌同学录各多少本？（2）该文具店在6月份决定将A种品牌同学录每本降价3元后销售，B种品牌同学录每本降价a%（a＞0）后销售．于是，6月份该文具店A种品牌同学录的销量比5月份多了149a%，B种品牌同学录的销量比5月份多了（a+20）%，且6月份A、B两种品牌的同学录的销售总额达到了2550元，求a的值．12．我县寿源壹号楼盘准备以每平方米5000元均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格进行两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘均价购买一套120平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米70元．试问哪种方案更优惠？13．一件商品进价100元，标价160元时，每天可售出200件，根据市场调研，每降价1元，每天可多售出10件，反之，价格每提高1元，每天少售出10件．以160元为基准，标价提高m元后，对应的利润为w元．（1）求w与m之间的关系式；（2）要想获得利润7000元，标价应为多少元？14．为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件元,出厂价为每件元,每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数:．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?（2）设李明获得的利润为（元）,当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润? （3）物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于元．如果李明想要每月获得的利润不低于元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元?15．某水果店在两周．．内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：时间x（天）1≤x≤78≤x≤14售价（元/斤）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量（斤）80﹣3x 120﹣x储存和损耗费用（元）40+3x 3x2﹣64x+400已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x （1≤x≤14）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？16．国内猪肉价格不断上涨，已知今年10月的猪肉价格比今年年初上涨了80%，李奶奶10月在某超市购买1千克猪肉花了72元钱．（1）今年年初猪肉的价格为每千克多少元？（2）某超市将进货价为每千克55元的猪肉按10月价格出售，平均一天能销售出100千克，随着国家对猪肉价格的调控，超市发现猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪肉每天有1800元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元？17．某商场购进了一批名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利50元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么该商场平均每天可多售出2件．（1）若该商场计划平均每天盈利2100元，则每件衬衫应降价多少元?（2）该商场平均每天盈利能否达到2500元?18．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，则第一次降价后至少要售出该种商品多少件?19．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？20．某商店购进一种商品，单价30元，试销中发现这种商品每天的销售量ρ（件）与每件的销售价x（元）满足关系： =100-2x．若商店每天销售这种商品要获得200元的销售利润，那么每件商品的售价应定为多少元?每天要售出这种商品多少件?21．某商店以每件40元的价格进了一批商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．（1）求该商品平均每月的价格增长率；（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时销售此商品每月的利润可达到4000元．22．某汽车专卖店经销某种型号的汽车.已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆.（1）当售价为22万元/辆时，平均每周的销售利润为___________万元；（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．23．今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？24．某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元．如果批发商希望通过销售这批T 恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？ 25．某商店以每盏20元的价格采购了一批节能灯，运输过程中损坏了2 盏，然后以每盏25元的价格售完，共获得利润150元．该商店共购进了多少盏节能灯？26．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价.据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱. （1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？（2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？（3）能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由.27．某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元．① 若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元；② 如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）28．某商场试销一种成本为每件60元的服装，经试销发现，每天的销售量y (件)与销售单价x （元）的关系符合次函数()150 110y x x =-+<．（1）如果要实现每天2000元的销售利润，该如何确定销售单价？（2）销售单价为多少元时，才能使每天的利润最大？其每天的最大利润是多少？ 29．利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件．（1）若降价6元，则平均每天销售数量为 件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？30．2019年6月18日是重庆直辖22年的纪念日．22年来，巴渝大地发生了翻天覆地的变化，一大波网红景点成为城市新地标的同时，也见证着城市面貌的改变，并让一大批重庆特产走出重庆，享誉世界在网红景点“洪崖洞”某重庆特产专卖店销售特产“合川桃片”，其进价为每千克15元，按每千克30元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销量可增加20千克．（1）若该专卖店“合川桃片”3月31日的销量为280千克，则该天每千克的售价为多少元？（2）若该专卖店要想4月1日的获利比（1）中3月31日的获利多320元，则每千克“合川桃片”应为多少元？参考答案1．30元【解析】【分析】设每件衬衣降价x 元，根据商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数列出方程求解即可.【详解】解：设每件衬衣降价x 元，依题意，得：（160﹣100﹣x ）（30+3x ）＝3600，整理，得：x 2﹣50x +600＝0，解得：x 1＝20，x 2＝30，∵为了尽快减少库存，∴x ＝30．答：每件衬衣应降价30元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数；每件的盈利=原来每件的盈利-降价数．2．（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30.【解析】【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可.【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥，解这个不等式，得56x ≤，答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件，根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2323a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=， 解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =，即a 的值是30.【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．3．（1）28；（2）当每件商品降价5元时，该商店每天销售利润为1050元【解析】【分析】（1）由销售单价每降低1元平均每天可多售出2件，结合没降价前的日均销售量，即可求出结论；（2）设每件商品降价x 元，则平均每天可售出()202x +件，根据总利润=每件商品的利润×日均销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可求出x 的值，再结合每件盈利不少于25元，即可确定x 的值，此题得解．【详解】解：（1）202428+⨯=（件）故答案为：28（2）设每件商品降价x 元，则平均每天可售出()202x +件根据题意得：()()402021050x x -+=整理得：2301250x x -+=解得：15=x ，225x =又∵每件盈利不少于25元∴4025x -≥，即15x ≤∴25x =不合题意舍去∴5x=答：当每件商品降价5元时，该商店每天销售利润为1050元．【点睛】本题考查了方程和不等式的实际应用，解题的关键是找到关键描述语，确定等量关系或不等量关系，然后准确的列出方程或不等式是解决问题的关键，最后要判断所求的解是否符合题意，要舍去不合题意的解．4．（1）y＝﹣x+1000；（2）w＝﹣（x﹣750）2+62500，最大利润为60000元；（3）600≤x≤900【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解可得一次函数解析式；（2）根据“总利润＝每斤的利润×周销售量”可得函数解析式，再利用二次函数的性质结合x 的取值范围可得答案；（3）求出w＝40000时x的值，利用二次函数的性质可得．【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意，得：550450 600400k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：k1b1000=-⎧⎨=⎩，则y＝﹣x+1000；（2）w＝（x﹣500）（﹣x+1000）＝﹣x2+600x﹣500000，＝﹣（x﹣750）2+62500，∵x﹣500≤500×40%，即x≤700，∴当x＝700时，w取得最大值，最大值为60000，即最大利润为60000元．（3）当w＝40000时，﹣（x﹣750）2+62500＝40000，解得：x＝900或x＝600，∵a＝﹣1，∴当40000w ≥时，600≤x≤900．∴该茶场每周获利不少于40000元，销售单价x 的取值范围为600≤x≤900．【点睛】本题主要考查待定系数法，二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握待定系数法，二次函数的图象和性质，一元二次方程的解法是解题的关键．5．（1）50；（2）20【解析】【分析】（1）设苹果手机壳的售价为每张x 元，华为手机壳的售价为每张y 元，列出方程组求解即可；（2）根据题意表示出第二周华为手机壳的售价及销售量，和苹果手机壳第二周的售价，然后再由第二周的总销售额为30000元，列出方程求解即可.【详解】解：（1）设苹果手机壳的售价为每张x 元，华为手机壳的售价为每张y 元，依题意，得：210150250250005000y x x y =-⎧⎨+-=⎩，解得：5090x y =⎧⎨=⎩， 则苹果手机壳的售价为每张50元；（2）由题得第二周华为手机壳的售价为：901%53a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，第二周华为手机壳的销售量为：250(1%)a -，第二周苹果手机壳的售价为：50(1%)a -， 依题意，得：901%250(1%)50(1%)1503000035a a a ⎛⎫+⨯-+-⨯= ⎪⎝⎭， 整理，得：23.75750a a -=，解得：10a =（不合题意，舍去），220a =，则a 的值为20．【点睛】本题是对一元二次方程运用的考查，熟练掌握二元一次方程组及一元二次方程的运用是解决本题的关键.6．（1）（600－10x ）；（2）为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为50元，这时售出台灯500个【解析】【分析】（1）根据“这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个”即可得出结论；（2）根据“总利润=每个的利润×个数”列出一元二次方程即可求出结论．【详解】解：（1）由题意可知：当售价上涨x 元时，那么销售量为（600－10x ）个故答案为（600－10x ）；（2）设售价上涨x 元,根据题意可得()()60010100004030x x =+-－解得： 1210,40x x ==此时每个台灯的售价为40＋10=50元或40＋40=80元（不符合题中取值范围，故舍去） ∴这时售出台灯600－10×10=500个答：为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为50元，这时售出台灯500个．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 7．（1）100+200x ；（2）1．【解析】试题分析：（1）销售量=原来销售量﹣下降销售量，列式即可得到结论；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论．试题解析：（1）将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是100+0.1x ×20=100+200x 斤；（2）根据题意得：(42)(100200)300x x --+=，解得：x=12或x=1，∵每天至少售出260斤，∴100+200x≥260，∴x≥0.8，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．考点：1．一元二次方程的应用；2．销售问题；3．综合题．8．（1）1y =()2104000020x x -+<<；2y =()3000100020x x -<<；（2）第一个月批发商降价10元时，销售完这批T 恤获得的利润为1000元．【解析】【分析】(1)根据()()1 705020010y x x =--+， ()()2 4050 500 20010 ,y x =-+⎡⎤⎣⎦-展开计算即可．(2)依题意列出方程即可解决问题．【详解】（1）1(7050)(20010)y x x =--+=2104000(020)x x -+<<．2(5040)[500(20010)]y x =--+=3000100(020)x x -<<．（2）设第一个月批发商降价x 元，销售完这批T 恤获得的利润为1000元，由题意2(104000)(1003000)1000x x -++-=,整理得2100x x -=，解得x =0或10（0x =不合题意，会去）， 10x ∴=，∴第一个月批发商降价10元时，销售完这批T 恤获得的利润为1000元．【点睛】本题考查二次函数的应用、方程等知识，解题的关键是构建二次函数和方程解决实际问题，属于常考题型．9．应该降价20元．【解析】【分析】设每件童装应降价x 元，那么就多卖出2x 件，根据每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，可列方程求解．【详解】设每件童装应降价x 元，由题意得：()()402021200x x -+=，解得：10x =或20x =．因为减少库存，所以应该降价20元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键找到降价和卖的件数的关系，根据利润列方程求解． 10．（1）（300﹣10x ）．（2）每本书应涨价5元．【解析】试题分析：（1）每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x 元，则每天就会少售出10x 本，所以每天可售出书（300﹣10x ）本；（2）根据每本图书的利润×每天销售图书的数量=总利润列出方程，解方程即可求解.试题解析：（1）∵每本书上涨了x 元，∴每天可售出书（300﹣10x ）本．故答案为300﹣10x ．（2）设每本书上涨了x 元（x≤10），根据题意得：（40﹣30+x ）（300﹣10x ）=3750，整理，得：x 2﹣20x+75=0，解得：x 1=5，x 2=15（不合题意，舍去）．答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．11．（1）班长代买A 种品牌同学录12本，B 种品牌同学录15本；（2）a 的值为20．【解析】【分析】（1）设班长代买A 种品牌同学录x 本，B 种品牌同学录y 本，根据总价＝单价×数量结合购买A 、B 两种品牌同学录27本共花费246元，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总价＝单价×数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）设班长代买A 种品牌同学录x 本，B 种品牌同学录y 本，依题意，得：+27810246x y x y =⎧⎨+=⎩， 解得：1215x y =⎧⎨=⎩．答：班长代买A 种品牌同学录12本，B 种品牌同学录15本．（2）依题意，得：（8﹣3）×90（1+149a %）+10（1﹣a %）×175[1+（a +20）%]＝2550， 整理，得：a 2﹣20a ＝0，解得：a 1＝20，a 2＝0（舍去）．答：a 的值为20．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用，根据实际问题找出等量关系，列出方程是解题的关键．12．（1）10%；（2）选择方案①更优惠．【解析】【分析】（1）此题可以通过设出平均每次下调的百分率为x ，根据等量关系“起初每平米的均价(1⨯-下调百分率）(1⨯-下调百分率）=两次下调后的均价”，列出一元二次方程求出． （2）对于方案的确定，可以通过比较两种方案得出的费用：①方案：下调后的均价1000.98⨯⨯+两年物业管理费②方案：下调后的均价100⨯，比较确定出更优惠的方案． 【详解】解：（1）设平均每次降价的百分率是x ，依题意得25000(1)4050x -=，解得：110%x =，21910x =（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的百分率为10%．（2）方案①购房优惠：4050×120×(1-0.98)=9720(元) 方案②购房优惠：70×120=8400(元)9720(元)＞8400(元)答：选择方案①更优惠．【点睛】本题结合实际问题考查了一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系从而列出函数关系式是解题的关键．13．（1）w＝﹣10m2﹣400m+12000（0≤m≤20）；（2）标价应为110元或170元．【解析】【分析】（1）表示出价格变动后的利润和销售件数，然后根据利润＝售价×件数列式整理即可得解；（2）代入w＝7000得到一元二次方程，求解即可．【详解】解：（1）w＝（160+m﹣100）（200﹣10m）＝﹣10m2﹣400m+12000（0≤m≤20）（2）当利润7000元时，即w＝7000，即﹣10m2﹣400m+12000＝7000，整理得m2+40m﹣500＝0，解得m1＝﹣50，m2＝10．当m＝﹣50时，标价为160+（﹣50）＝110元，当m＝10时，标价为160+10＝170元．∴要想获得利润7000元，标价应为110元或170元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握计算法则列出之前的方程.14．（1）政府这个月为他承担的总差价为600元;（2）当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000元;（3）销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元．【解析】试题分析：（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数,然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价;（2）由利润=销售价﹣成本价,得w=（x﹣10）（﹣10x+500）,把函数转化成顶点坐标式,根据二次函数的性质求出最大利润;（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000,求出x的值,结合图象求出利润的范围,然后设设政府每个。
专题04 二次函数1．（2019•深圳）已知y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则y=ax+b和ycx=的图象为A．B．C．D．【答案】C【解析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，可得a<0，b>0，c<0，∴y=ax+b过第一、二、四象限，双曲线ycx=在第二、四象限，∴选项C是正确的．故选C．【名师点睛】此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．2．（2019·广东初三中考模拟）抛物线y=（x-4）2-5的顶点坐标和开口方向分别是A．（4，-5），开口向上B．（4，-5），开口向下C．（-4，-5），开口向上D．（-4，-5），开口向下【答案】A【解析】由y=（x-4）2-5，得开口方向向上，顶点坐标（4，-5）．故选A．【名师点睛】本题考查了二次函数的性质，利用y=a（x-h）2+k，a>0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a<0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．3．（2019·广东初三中考模拟）将抛物线()213y x =-+向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的解析式是A ．()22y x =-B ．()226y x =-+C ．2y x =D ．26y x =+ 【答案】C【解析】∵向左平移1个单位，再向下平移3个单位，∴y =（x -1+1）2+3-3．故得到的抛物线的函数关系式为：y =x 2．故选C ．【名师点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．4．（2019·广州大学附属中学初三中考模拟）在二次函数221y x x =-++的图象中，若y 随着x 的增大而增大，则x 的取值范围是A ．x <1B ．x >1C ．x <2D ．x >-1【答案】A【解析】∵a =-1<0，∴二次函数图象开口向下，∵对称轴是直线x =1，∴当x <1时，函数图象在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大．故选A ．【名师点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是根据a 的取值判断图象的开口方向，并计算出二次函数的对称轴，根据图象性质判定x 的取值范围．5．（2019·广东初三中考模拟）二次函数y =x 2+bx 的对称轴为直线x =2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx -t =0（t 为实数）在-1<x <4的范围内有解，则t 的取值范围是A ．0<t <5B ．-4≤t <5C ．-4≤t <0D ．t ≥-4【答案】B【解析】∵对称轴为直线x =2，∴b =-4，∴y=x2-4x，关于x的一元二次方程x2+bx-t=0的解可以看成二次函数y=x2-4x与直线y=t的交点，∵-1<x<4，∴二次函数y的取值为-4≤y<5，∴-4≤t<5，故选B．【名师点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．6．（2019·广东初三中考模拟）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax-b和二次函数y=-ax2-b的大致图象是A．B．C．D．【答案】A【解析】A、由一次函数y=ax-b的图象可得：a>0，-b>0，此时二次函数y=-ax2-b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标-b大于零，故A正确；B、由一次函数y=ax-b的图象可得：a<0，-b>0，此时二次函数y=-ax2-b的图象应该开口向上，顶点的纵坐标-b大于零，故B错误；C、由一次函数y=ax-b的图象可得：a<0，-b>0，此时二次函数y=-ax2-b的图象应该开口向上，故C错误；D、由一次函数y=ax-b的图象可得：a>0，-b>0，此时抛物线y=-ax2-b的顶点的纵坐标大于零，故D错误，故选A．【名师点睛】本题考查了二次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．7．（2019·广东初三中考模拟）二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图，则下列说法：①对称轴是直线x =－1；②c =3：③ab >0；④当x <1时，y >0；⑤方程20ax bx c ++=的根是13x =-和21x =，正确的有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【解析】由图象可知对称轴为直线x =-1，故①正确，∵抛物线与y 轴的交点为（0，3），∴c =3，故②正确，∵对称轴x =-2b a=-1， ∴ab >0，故③正确，∵对称轴为x =-1，抛物线与x 轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点为（-3，0），∴当-3<x <1时，y >0，故④错误，∴方程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1=-3和x 2=1，故⑤正确，综上所述：正确的结论有①②③⑤共4个，故选C ．【名师点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．8．（2019·广东初三中考模拟）如图，二次函数y =ax 2+bx +c 图象的对称轴是直线x =1，与x 轴一个交点A （3，0），则与x 轴的另一个交点坐标是A ．（0，12-） B ．（12-，0） C ．（0，-1）D ．（-1，0）【答案】D 【解析】∵点A 的坐标为（3，0），∴点A 关于x =1的对称点的坐标为（-1，0）．故选D ．【名师点睛】本题主要考查的是抛物线与x 轴的交点，利用抛物线的对称性求得点A 的对称点的坐标是解题的关键．9．（广东省广州市天河区2019届九年级第一次诊断性检测数学试题）下列关于函数y =x 2-6x +10的四个命题：①当x =0时，y 有最小值10；②n 为任意实数，x =3+n 时的函数值大于x =3-n 时的函数值；③若n >3，且n 是整数，当n ≤x ≤n +1时，y 的整数值有（2n -4）个；④若函数图象过点（x 0，m ）和（x 0-1，n ），则m <n ，其中真命题的个数是A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】B【解析】①y =（x -3）2+1，所以函数的最小值是当x =3时，y 有最小值1，故①错误；②n 为任意实数，x =3+n 与x =3-n 关于对称轴x =3对称，所以函数值相等，故②错误；③若n >3，且n 是整数，当x =n 时，y =（n -3）2+1，当x =n +1时，y =（n -2）2+1，相减得2n -5，所以整数值有（2n -4）个，故③正确；④函数开口向上，所以距离对称轴越近函数值越小，若m <n ，所以（x 0，m ）更靠近对称轴x =3，在不能确定x 0的值时，该项错误，故只有一个正确的真命题，故选B ．【名师点睛】本题考查了命题真假的判断，二次函数的性质，属于简单题，熟悉二次函数的性质是解题关键．10．（2019·广东初三中考模拟）已知抛物线y =ax 2-3ax -4a （a ≠0）．（1）直接写出该抛物线的对称轴．（2）试说明无论a 为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．【解析】（1）该抛物线的对称轴为x =-32a a -=32． （2）234y ax ax a =--可化为()()14y a x x =+-，当()()140x x +-=，即1x =-或4时，0y =，∴抛物线一定经过点()1,0-，()4,0．【名师点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键时了解抛物线的对称轴方程，难度不大．11．（2019·汕头市潮南区阳光实验学校初三中考模拟）某纪念品专卖店上周批发买进100件A 纪念品和300件B 纪念品，花费9600元；本周批发买进200件A 纪念品和100件B 纪念品，花费6200元． （1）求每件A 纪念品和B 纪念品的批发价各为多少元？（2）经市场调研，当A 纪念品每件的销售价为30元时，每周可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每周的销售数量将减少10件．当每件的销售价a 为多少时，该纪态品专卖店销售A 纪念品每周获得的利润W 最大？并求出最大利润．【解析】（1）设每件A 纪念品的批发价为x 元，B 纪念品的批发价的为y 元，依题意10030096002001006200x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得1826x y =⎧⎨=⎩， 即每件A 纪念品的批发价为18元，B 纪念品的批发价的为26元．（2）由（1）知每件A 纪念品的批发价为18元，依题意得W =（a -18+a -30）[200-10（a -30）]=（2a -48）（500-10a ）=-20a 2+1480a -24000整理得W =-20（a -37）2+3380∵-20<0∴W 有最大值，即当a =27时，有最大值3380，即当每件的销售价a 为37元时，该纪态品专卖店销售A 纪念品每周获得的利润W 最大为3380元．【名师点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准各量间的关系，正确列出方程组或解析式是解题的关键．12．（2019·广东初三中考模拟）在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x （x ≥60）元，销售量为y套．[参考公式：抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标是（2b a -，244ac b a -）]． （1）求出y 与x 的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？【解析】（1）y =240-60205x -⨯， ∴y =-4x +480（x ≥60）．（2）根据题意可得，x （-4x +480）=14000，解得，x 1=70，x 2=50（不合题意舍去），∴当销售价为70元时，月销售额为14000元．（3）设一个月内获得的利润为w 元，根据题意，得w =（x -40）（-4x +480），=-4x 2+640x -19200，=-4（x -80）2+6400，∵-4<0，∴当x =80时，w 的最大值为6400，∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值，弄清题意，找准各量间的关系并熟练相关的公式是解题的关键．。
