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26.3(1)二次函数y=a(x+m)2+k的图像

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26．3（1）二次函数y=a(x+m)22+k的图像
上海市市北初级中学 梁芳

一、教学内容分析
本课通过对抛物线y=ax2平移至y=a(x+m)2+k的过程，总结抛物

线图像的性质，同时感悟类比、转化的数学思想．
二、教学目标设计

1．掌握把抛物线y=ax2平移至y=a(x+m)2+k的规律，同时感悟类比、
转化思想；
2．掌握抛物线y=ax2平移的有关规律，并能运用这些知识进行有关的
计算．
三、教学重点及难点
掌握抛物线y=ax2平移的一般方法．
感悟类比思想、转化思想．
四、教学用具准备
实物投影仪
五、教学流程设计

六、教学过程设计
一、复习引入
1．抛物线的上下平移

性质举例 反思小结 小试牛刀 复习引入
课外延伸
（1）把二次函数y=(x+1)2的图像，沿y轴向上平移３个单位，得到
_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，沿y轴向下平移2个单位，
得到y=x2+1的图像.
2．抛物线的左右平移
（1）把二次函数y=(x+1)2的图像，沿x轴向左平移３个单位，得到
_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，沿x轴向右平移2个单位，
得到y=x2+1的图像.
3．抛物线的平移：
（1）把二次函数y=3x2的图像，先沿x轴向左平移３个单位，再沿y
轴向下平移2个单位，得到_____________的图像；
（2）把二次函数_____________的图像，先沿y轴向下平移2个单位，
再沿x轴向右平移3个单位，得到y=-3(x+3)2－2的图像.
[说明]二次函数的图像经过上下平移只影响其常数项的大小,故用
一般式与顶点式两种形式比较.
二次函数y=a(x+m)2+k的图像经过左右平移只会影响其m的大小,其
它系数的值不变，以加深对抛物线平移的理解．
对于抛物线图像平移的性质，始终引导学生从对抛物线y=a(x+m)2+k
的m、k的变化角度去比较，这样便于对抛物线平移的综合理解．
二、二次函数图像的性质探讨
问题1 抛物线

31

212xy与212

1

xy
的图像、221xy的图像都是形
状相同的抛物线，开口方向和开口大小都相同，位置有何不同？
（1） 抛物线2121xy的顶点坐标是________；

（2） 抛物线2121xy向上平移3个单位后，顶点的坐标是
________；
（3） 抛物线31212xy的对称轴是________.
通过本例，学生可以对抛物线的顶点、对称轴进行回顾与反思．
[说明]通过抛物线y=a(x+m)2+k的m、k的变化角度去比较，其顶点
为（－m,k），对称轴是直线x=－m．
问题2 将抛物线221xy通过左右、上下两次平移，分别得到下列抛物
线。
（1）221xy_____平移_____单位，_____平移_____单位得到抛物线


23212xy
；

（2）221xy_____平移_____单位，_____平移_____单位得到抛物线

23212xy
；

（3）221xy_____平移_____单位，_____平移_____单位得到抛物线

23212xy
.

[说明]在问题1的基础上，二次函数的图像的上下平移，只影响
二次函数y=a(x+m)2+k中k的值；左右平移，只影响m的值，抛物线的
形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的
函数关系式及平移的路径．此外，图像的平移与平移的顺序无关．这
两次平移可以是：先向左（m > 0 时）或向右（m < 0 时）平移
m

个单位，再向上（k > 0 时）或向下（k < 0 时）平移k个单位．

通过本例，可得出抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”．
抛物线平移的性质：

抛物线y=a(x+m)2+k（其中a、m、k是常数，且0a）的对称
轴是过点（－m，0），且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x=－m；
顶点坐标是（－m,k）. 当0a时，抛物线开口向上，顶点是抛物线
的最低点；当0a时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点.

[说明]所选2例，目的是让同学们熟悉抛物线的平移规律，与以往学
过的顶点位置之间的关系，更重要的是引导同学感悟类比思想、以
及“从特殊到一般”的思想．
三、小试牛刀，运用性质
1．把二次函数y=4(x－1)2的图像，先沿x轴向______平移３个单位，
再沿y轴向下平移2个单位，得到图像的对称轴是直线x=3.
2．把抛物线y=－3(x+2)2，先沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向
下平移1个单位，得到_____________的图像．
3．把二次函数y=－2x2的图像，先沿x轴向左平移３个单位，再沿y
轴向下平移2个单位，得到图像的顶点坐标是___________．
[说明]所选3个习题都比较基本，分别试图达到以下目的：
---基本思路“抛物线平移对对称轴位置的影响”;
---基本思路“抛物线平移后函数解析式的变化规律”;
---基本思路“抛物线平移顶点坐标的变化规律”.
四、反思小结,谈谈收获
１．这节课你学会了什么？
 抛物线平移对对称轴位置的影响．
 抛物线平移后函数解析式的变化规律．
 抛物线平移顶点坐标的变化规律．
２．你认为有哪些要注意的地方？
 注意合理转化，知识之间的综合运用．
３．你还有什么疑惑吗？
抛物线y=a(x+m)2+k平移的规律“左加右减，上加下减”．
五、布置作业：
练习册：习题26.3(1)
六、拓展思考，课外延伸
习题1：与抛物线y=－4
x
2

形状相同，顶点为（2，-3）的抛物线

解析式为 ．
习题2：抛物线y=－3x
2
+2x-5经过 平移，得到

y=－3x2+2x-8的图像．

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二次函数y=a(x+m)2+k的图象与性质

二次函数y=a(x+m)2+k的图象与性质


１．对于函数y=-x2-2x+1,请回答下列问题：
（１）函数y=-x2-2x+1的图象可以由什么抛物 线经怎样的平移得到的？
（２）函数图象的对称轴、顶点坐标各是什么？
（３）x为何值时函数有最大值或最小值，最大 值或最小值是多少？
y=-x2-2x+1
y
o
x
当x=-2时，函数y
有最小值 y最小值 0
当x=-2时，函数y
有最小值 y最小值 2
y=a(x+m)2+k的图象性质
１．顶点坐标是(-m,k),对称轴是直线x=-m 2. 平移规律是：
ya(xm) k y ax当m2<0向右（或m>0向左）平移ImI个单位
2
当k>0向上（或k<0向下）平移IkI个单位
26.2 二次函数的 图象与性质
二次函数y=a(x+m)2+k的图象与性质
（第4课时）
1.y=a(x+m)2的图象与y=ax2的图象 之间的位置关系是怎样的?
2.函数y=-2(x+1)2的图象可以由抛物 线y=-2x2经过怎样的平移得到的?它 的对称轴、顶点坐标、开口方向及最 大值分别是什么？
在同一坐标系内画出函数 y1(x2)2
y1(x2)2 2 的图象
2
2
x
… -5 -4 -3 -2 -1 0 1 …
y1(x2)2 2
…
41 2
…
y1(x2)2 2 2
21 2
1 22
0 11
2
1 02
-2
11 2
2 41 …
2
0 21 … 2
y1(x2)2 2
1.2.2二次函数y=a(x+m)2+k的图像及其特征

1.2.2二次函数y=a(x+m)2+k的图像及其特征


2、填写下表：
抛物线
开口方向
y =2(x+3)2
y = -3(x-1)2
向上 向下
y = -4(x-3)2 向下
对称轴
直线x=-3 直线x=1 直线x=3
顶点坐标 ( -3 , 0 ) (1,0) ( 3, 0)
3、填空：
（1）由抛物线y=2x²向 左 平移 1 个单位可得到y=
2(x+1)2 （2）函数y= -5(x -4)2 的图象。可以由抛物
y 1 ( x 2) 2 2
o
x
y 1 x2 2
顶点坐标(0,0)
向右平移2个单位
y 1 (x 2) 2 2
(2,0) 对称轴:直线x=0
直线x=2
y 1 x2 2
顶点坐标(0,0)
向左平移2个单位
y 1 (x 2) 2 2
(-2,0) 对称轴:直线x=0
直线x=-2
1、请根据图象归纳一下二次函数y=a(x+m)2的性质; (顶点坐标,对称轴,开口方向,最高点和最低点)
合作学习
用描点法，在同一直角坐标系中作出下列二次函数 的图象
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
y 1 x 22
2
x
… -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y 1 x2 …
2
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
…
y 1 x 22 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
2、请归纳出二次函数y=a(x+m)2与y=ax2之间的位置关系;
y 1 x2
y 1 x 22
2
y 1 x 22
2
26.3 第2课时 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系(课件)九年级数学下册(华东师大版)

26.3 第2课时 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系(课件)九年级数学下册(华东师大版)

例3 若函数y＝ax2﹣(a+3)x﹣1的图象与x轴只有一个
公共点，则实数a的值为______．
【分析】根据函数y＝ax2﹣(a+3)x﹣1的图象与x轴 只有一个公共点，分a≠0和a＝0两种情况进行讨论，
从而确定出a的值．
解：当a≠0时，
∵关于x的函数y＝ax2﹣(a+3)x﹣1的图象与x轴只有
一个公共点， ∴Δ＝[-(a+3)]2﹣4a(-1)＝a2+10a+9＝0， 解得：a＝-1或-9，
y
y ax2 bx c
O
k1
k2 x
y=0
二次函数的图象 与 x 轴的交点.
问题1 二次函数 y = ax2 + bx+ c 的图象与 x 轴 (直线 y = 0) 的交点的横坐标是一元二次方程 ax2 + bx+ c = 0 的根，那么二次函数 y = ax2 + bx + c 与直线 y = h 的 交点的横坐标是否也是某一个一元二次方程的根呢？
∵函数 y m 1 x2 3x 2 的图象与 x 轴有且只有一个交点，
∴m1 x2 3x 2 0 有 2 个相等的实数根，
∴ 9 8m1 0 ，
解得 m 1 ．
8
故答案为：
1
或
1 8
．
课堂练当习堂练习
1.抛物线 y＝x2＋x＋c 与 x 轴只有一个公共点，则 c 的 值为( B ) A．－1
解：如图，连结AE，BE， ∵当x＝0时，y1＝1， ∴A(0，1)．
∵B(3，1)，
∴△ACE的CE边上的高与△BDE的DE边上的高相等．
∵△ACE与△BDE的面积相等，∴CE＝DE，
26.3(4 5)二次函数y=a(x+m)2 的图象和性质

26.3(4 5)二次函数y=a(x+m)2 的图象和性质

26.3（4、5）二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象和性质一、学习目标：1．熟记二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标公式. 2．会画二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象．3．知道二次函数中a ，b ，c 以及△＝b 2－4ac 对图象的影响． 4．会用待定系数法求二次函数的解析式； 5．知道二次函数与一元二次方程的关系． 二、探索新知：例1.通过配方把二次函数2y ax bx c =++化成2()y a x m k =++的形式： 解：配方法步骤：(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式。

归纳：①抛物线2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是直线 ； ②顶点坐标是 ；③当0a >时，抛物线2y ax bx c =++的开口 ，顶点是抛物线的最 点，抛物线在对称轴（即 直线2bx a=-）左侧的部分是 的，在对称轴的右侧的部分是 的； 当0a <时，抛物线2y ax bx c =++的开口 ，顶点是抛物线的最 点，抛物线在对称轴（即直线2bx a=-）左侧的部分是 的，在对称轴的右侧的部分是 的.例2 ①抛物线y ＝2x 2－4x －6与x 轴交点坐标是 ；一元二次方程2x 2－4x －6=0的两根是 ； 而y ＝2x 2－4x －6=2（x-3）(x+1)所以，2y ax bx c =++ . （ ） ②抛物线y ＝x 2－4x +4与x 轴交点坐标是 ；抛物线y ＝x 2－4x +6与x 轴交点坐标是 ；抛物线2y ax bx c =++与x 轴交点情况由 决定。

③抛物线y ＝2x 2－4x －6与y 轴交点坐标是 ； 抛物线2y ax bx c =++与y 轴交点坐标是 .三、课堂练习1.二次函数22y x x =--图像的对称轴是 ．抛物线左侧的部分是 ，在对称轴的右侧的部分是 ；2二次函数2221y x x =--图像的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小．当x 时，y 随x 的增大而增大．3.抛物线246y ax x =--的顶点横坐标是2-，则a = ．4. 把抛物线228y x x =- 向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线2246y x x =-+ ．5．抛物线2y ax bx c =++如图：由图可得：a_______0b_______0 c_______0△＝b 2－4ac______0四、理一理知识点：1. 抛物线位置与系数a ，b ，c 的关系： ⑴ a 决定抛物线的开口方向：a ＞0 开口 ． a ＜0 开口 ．a大，开口小 ．⑵ c 决定抛物线与y 轴交点的位置：c ＜0；c ＞0；c=0⑶ a ，b 决定对称轴的位置: ．2.用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：① 已知抛物线过三点，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ．② 已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y ＝a(x +m)2＋k ．③ 已知抛物线与x 轴有两个交点（或已知抛物线与x 轴交点的横坐标），设两根式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2) ．（其中x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标）五、目标检测1．若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax 2+bx-3 的大致图象是 ( )2.如图，二次函数的图象如图所示，则( ) A. a >0，b >0，c >0B. a >0，b <0，c >0C. a <0，b >0，c >0D. a <0，b <0，c >03. 函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）4. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．21y y <B ．21y y =C ．21y y >D ．不能确定2y ax bx c =++5. 已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的为 ．6.抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线 ．7.把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()2y a x m k =++的形式 ．8.将y =3x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．9.把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2－3x+5，则a+b+c=__________10．已知二次函数的图像过点A （－1，0），B （3，0），C （0，3）三点，求这个二次函数解析式．11. 已知：m n 、是方程2650x x -+=的两个实数根，且m n <，抛物线2y x bx c =-++的图像 经过点A(,0m )、B(0n ，). (1) 求这个抛物线的解析式；(2) 设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积； ⑶ P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部份，请求出P 点的坐标.。