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Renormalization of Black Hole Entropy and of the Gravitational Coupling Constant

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arXiv:hep-th/9506066v1 9 Jun 1995,

PUPT1541,IASSNS95/49

hep-th/9506066

June1995

RenormalizationofBlackHoleEntropyand

oftheGravitationalCouplingConstant

FinnLarsen⋆

DepartmentofPhysics

JosephHenryLaboratories

PrincetonUniversity

Princeton,N.J.08544

FrankWilczek†

SchoolofNaturalSciences

InstituteforAdvancedStudy

OldenLane

Princeton,N.J.08540ABSTRACT

Thequantumcorrectionstoblackholeentropy,variouslydefined,suffer

quadraticdivergencesreminiscentoftheonesfoundintherenormalizationofthe

gravitationalcouplingconstant(Newtonconstant).Weconsiderthesuggestion,

duetoSusskindandUglum,thatthesedivergencesareproportional,andattempt

toclarifyitsprecisemeaning.Wearguethatiftheblackholeentropyisidentified

usingaEuclideanformulation,includingthenecessarysurfacetermasproposedby

GibbonsandHawking,thentheproportionalityis,uptosmallidentifiablecorrec-

tions,afairlyimmediateconsequenceofbasicprinciples–alow-energytheorem.

ThusinthisframeworkrenormalizingtheNewtonconstantrenderstheentropy

finite,andequal,inthelimitoflargemass,toitssemiclassicalvalue.Asapartial

checkonourformalargumentswecomparetheoneloopdeterminants,calculated

usingheatkernelregularization.Analternativedefinitionofblackholeentropyre-

latesittobehavioratconicalsingularitiesintwodimensions,andthustoasuitable

definitionofgeometricentropy.Adefinitionofgeometricentropy,naturalfromthe

pointofviewofheatkernelregularization,permitsthesamerenormalization,but

itdoesnotyieldanintrinsicallypositivequantity.Thepossibility,forscalarfields,

ofnon-minimalcouplingtobackgroundcurvatureallowsonetoconsidertestthe

frameworkinacontinuousfamilyoftheories,andcruciallyinvolvesasubtlesen-

sitivityofgeometricentropytocurvedspacecouplings.Fermionsandgaugefields

areconsideredaswell.Theirfunctionaldeterminantsarecloselyrelatedtothe

determinantsfornon-minimallycoupledscalarfieldswithspecificvaluesforthe

curvaturecoupling,andposenofurtherdifficulties.

21.Introduction

Ithasbeenproposedthatthedivergencesoftheentropyinblackholethermo-

dynamicshavethesameoriginas,andindeedareproportionalto,thedivergences

ofthegravitationalcouplingconstantinna¨ıveperturbativequantumgravity[1].

Thepossibilityofsuchaconnectioniscertainlyappealing,butseveralobjections

havebeenraisedtoit[1–3].Foronething,thedivergencesarisinginrenormaliza-

tionofGarecertainlysensitivetonon-minimalcouplingsofthematterfieldsto

curvature,whereastherelevantentropycanbeidentifiedinflatspace.Also,the

divergentrenormalizations,atoneloop,canhaveeithersigndependingonthespin

andcurvaturecouplingofthefieldinvolved,whereastheentropywouldappearto

beintrinsicallypositivebydefinition.Moreover,sincebothsidesoftheproposed

equalityareinfinite,andtheprecisedefinitionofoneside(theblackholeentropy)

isnotoriouslycontroversial,clearlysomenon-trivialquestionsofinterpretationare

involved.Inthispaperweshallproposeaninterpretationinwhichtheclaimis

bothpreciseandtrue,asalow-energytheorem.Weshallalsodiscusstheten-

sionsthatariseinotherinterpretations,andshowthatatleastsomeofthese–

specifically,thetwomentionedabove–arelessseverethanappearsatfirstsight.

WewillfirstconsiderthedefinitionofblackholeentropyproposedbyGibbons

andHawking[4–5],withintheirEuclideanapproachtoquantumgravity.Ifwe

acceptthatframeworkforconsideringblackholeentropy,thenthisentropyarises

fromasurfacetermintheeffectiveaction,whosecoefficientisrelatedinaprecise

numericalfashiontothebulkEinstein-Hilbertterm.ThecoefficientoftheEinstein-

Hilbertterm,ofcourse,inturndefinestheobservedNewtonconstantG.Thusone

obtains,inthelimitoflargeblackholes,alow-energytheoremfortheblackhole

entropy,expressingitdirectlyintermsofthefullyrenormalizedNewtonconstant.

Thisresultreliesonlyonthestructureoftheaction,soitisvalidupontherather

mildassumptionthattheeffectivequantumactionhasthesamestructureasthe

classicalone.Inthisregard,notethattotreatlargeblackholesintheEuclidean

formalismoneneedonlyconsidersmoothmanifoldsofuniformlysmallcurvature.

3Unfortunatelytheseargumentsareofcoursepurelyformal,sincetherearese-

riousproblemswiththeultravioletbehavioroftheunderlyingtheory,andallthe

quantitiesinvolvedareinfiniteunlessregulated.WithintheEuclideanframework

thedivergencesintheentropyandinthequantumcorrectionstoNewton’scon-

stanthaveacommonorigininlocalvacuumpolarization.Heatkernelmethods

provideanappropriatewaytoregulatesuchdivergencesfortheone-loopcontri-

butionofmatterfields,whilemaintainingsymmetryandlocality[6–9].Usingthis

regularization,wecalculatetheleadingcutoffdependenceexplicitlyinauniform

mannerforvariousspinsandstatistics(andforminimalornon-minimalcoupling).

TheGibbons–Hawkingdefinitionofblackholeentropydoesnotonthefaceof

itofferasatisfactoryunderstandingofthisentropybasedonthesameprinciplesas

conventionaldefinitionsofentropyinstatisticalphysics.Thusitisnotsuperfluous

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关于奇点的公式

关于奇点的公式

关于奇点的公式

奇点是一个在物理学和宇宙学中非常神秘且令人着迷的概念，可要说关于奇点的公式，那可真是复杂又深奥。

我记得有一次参加一个物理学的研讨会，当时有一位知名的教授在台上讲解关于奇点的相关知识。那场面，台下坐满了来自各地的学者和爱好者，大家都全神贯注，生怕错过任何一个关键的点。教授在黑板上写下一个个复杂的公式和符号，一边写一边讲解。

咱们先来说说奇点的定义哈。奇点通常被认为是时空曲率变得无限大的点，在这个点上，现有的物理定律都失效了。就好比你在一个正常的道路上走着，突然前面出现了一个“黑洞”，啥规则都不管用了。

关于奇点的公式，比如在广义相对论中，著名的爱因斯坦场方程：$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = 8\pi GT_{\mu\nu}$ ，这个方程在描述奇点时就发挥了重要作用。这里面的$R_{\mu\nu}$ 是里奇张量，$g_{\mu\nu}$ 是度规张量，$R$ 是里奇标量，$G$ 是引力常数，$T_{\mu\nu}$ 是能量 - 动量张量。

要理解这些公式可不容易。就拿度规张量来说，它描述了时空的几何性质，想象一下，要把时空的形状和性质用数学的形式表达出来，这得多难啊！而且在奇点处，这些张量和标量的数值会变得异常复杂，让计算和理解都变得超级困难。 再比如说，在研究黑洞奇点的时候，会用到史瓦西半径的公式：$R_s = \frac{2GM}{c^2}$ ，这里的$M$ 是黑洞的质量，$G$ 是引力常数，$c$ 是真空中的光速。当一个天体的半径小于它的史瓦西半径时，就会形成黑洞，而黑洞的中心就是一个奇点。

学习和研究这些关于奇点的公式，就像是在黑暗中摸索，有时候你觉得自己好像快摸到门道了，结果又发现前面还有更多的未知等待着你。但这也正是物理学的魅力所在，不断地挑战未知，不断地探索真理。

回想起来，那次研讨会虽然让我对奇点的公式有了更深入的了解，但也让我清楚地认识到，自己在这个领域还有很长的路要走。就像攀登一座高耸入云的山峰，每前进一步都充满了艰辛，但当你站在更高的地方回望，会发现那一路的风景都是值得的。

史瓦西黑洞视界表面引力的两种研究方法(1)

史瓦西黑洞视界表面引力的两种研究方法(1)

史瓦西黑洞视界表面引力的研究与黑洞热性质的研究

物理与电子信息学院物理学专业2008级 指导老师：张洁

摘 要：在史瓦西黑洞时空中，通过用定义求视界表面引力和研究Hamiton-Jacobi方程，采用tortoise坐标变换计算了史瓦西黑洞的视界表面引力，两种方法给出了相同的结论。通过对热力学三大定律的研究，经过演绎和推算，我们可以推到出黑洞的三大力学定律；然后，对热力学第一定律的研究，找出系统热平衡的条件是：整个系统的热容量大于零，最后，以史瓦西黑洞为例计算出史瓦西黑洞的热容量为负值，得出两个史瓦西黑洞达到的热平衡不是稳定热平衡的结论。

关键词：史瓦西黑洞；视界表面引力；H-J方程；黑洞的热性质

一、史瓦西黑洞视界表面引力的两种研究方法

史瓦西黑洞时空线元为：

222222122222sin)21()21(drdrdrrcGMdtcrcGMds

其度规张量的非零分量与逆变度规张量的非零分量分别为：

00g)21(2rcGM 00g12)21(rcGM

11g12)21(rcGM 11g)21(2rcGM

22g2r 22g2r

33g22sinr 33g122)sin(r

1、用定义求视界表面引力

视界的表面引力是相对于视界静止的质点的固有加速度和红移因子的乘积，在质点趋于视界时的极限，即：

00^limgbhrr21hrrlim0011ggrg)(00

因为：0011gg=)21(2rcGM12)21(rcGM=1

rg)(00=222rCGM

所以 21hrrlim0011ggrg)(00=22hrcGM

（1）

史瓦西度规 宇宙常数

史瓦西度规 宇宙常数

史瓦西度规：

史瓦西度规（Schwarzschild metric）是描述非旋转、不带电、球对称引力场的度规。它是根据阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论推导得出的。史瓦西度规在描述质量为M的球对称物体周围的空间时，可以告诉我们物体周围空间的几何性质。

史瓦西度规的形式如下：

ds^2 = -(1 - 2GM/r)dt^2 + (1 - 2GM/r)^(-1)dr^2 + r^2(dθ^2 + sin^2θdϕ^2)

在这个度规中，r是离球心的距离，θ和ϕ是极坐标系中的两个角度，t是时间，G是引力常数，M是球对称物体的质量。

宇宙常数：

宇宙常数（cosmological constant）是广义相对论的一个参数，通常用Λ（lambda）表示。它最早由阿尔伯特·爱因斯坦引入，用于描述宇宙中的一个常数能量密度，可以产生一个反重力效应。宇宙常数可以用来解释宇宙膨胀的现象。

在广义相对论中，宇宙常数可以被看作是一种类似于能量的东西，它具有负的压强。宇宙常数的引入可以使得宇宙在没有物质或辐射的情况下仍然膨胀，从而解释了观测到的宇宙膨胀现象。宇宙常数也与暗能量的概念相关，暗能量被认为是导致宇宙膨胀加速的原因。然而，对于宇宙常数的具体物理解释仍然是一个活跃的研究领域。

值得注意的是，宇宙常数在过去的几个世纪中一直是一个非常具有争议的话题，因为其存在与否以及具体数值的确定都对宇宙和宇宙学的理解产生了深远影响。

典型黑洞质量计算公式

典型黑洞质量计算公式

典型黑洞质量计算公式

引言。

黑洞是宇宙中一种神秘而又令人着迷的天体，它的存在在很长一段时间内都是科学家们的猜想和假设。直到上世纪，人类才通过先进的天文观测技术和理论物理计算，确认了黑洞的存在。而黑洞的质量是其最重要的特征之一，也是科学家们研究的焦点之一。本文将从典型黑洞质量计算公式出发，探讨黑洞质量的计算方法及其意义。

典型黑洞质量计算公式。

在爱因斯坦的广义相对论中，黑洞的质量与其引力场之间存在着密切的联系。根据爱因斯坦场方程，我们可以得到描述黑洞质量的典型公式如下：

\[M = \frac{c^3 R_s}{2G}\]

其中，M代表黑洞的质量，c代表光速，G代表引力常数，\(R_s\)代表黑洞的Schwarzschild半径。

解析。

上述公式中，\(R_s\)是描述黑洞特性的重要参数，它由黑洞的质量计算而来，具体表达式如下：

\[R_s = \frac{2GM}{c^2}\]

通过这两个公式，我们可以看出黑洞的质量与其Schwarzschild半径之间存在着确定的关系。而Schwarzschild半径是描述黑洞引力影响范围的重要参数，它的大小取决于黑洞的质量。当质量越大时，Schwarzschild半径也会越大，黑洞的引力影响范围也会越广。

意义。 黑洞的质量不仅仅是一个天体物理学的研究问题，更是一个关乎宇宙演化和结构的重要课题。通过对黑洞质量的研究，我们可以更好地理解宇宙中的引力作用和物质运动规律。同时，黑洞的质量也与其形成和演化过程密切相关，通过对黑洞质量的计算和观测，我们可以更深入地了解宇宙的产生和发展。

应用。

黑洞的质量计算公式在天文观测和理论研究中有着广泛的应用。通过对黑洞质量的计算，我们可以更准确地预测黑洞的引力影响范围和物质吸积速度，为天文观测和宇宙结构研究提供重要依据。同时，黑洞的质量也是宇宙中物质运动和引力相互作用的重要参量，通过对黑洞质量的研究，我们可以更深入地了解宇宙的演化规律和结构形成。