【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：8.5抛物线及其标准方程(第二课时)

●课 题

§8.5.2 抛物线及其标准方程（二）

●教学目标

（一）教学知识点

1.利用抛物线的标准方程和定义来解决问题.

2.抛物线焦点弦的性质及焦点弦长的求法.

（二）能力训练要求

1.熟练掌握利用抛物线的标准方程和定义来解决问题.

2.掌握抛物线焦点弦的性质及焦点弦长的求法.

（三）德育渗透目标

1.通过灵活运用抛物线定义，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.

2.通过对学生进行分类讨论思想的教学，培养学生对现实生活中的真善美的识别能力.

●教学重点

1.抛物线定义的应用.

2.抛物线的焦点弦长求法.

3.抛物线综合知识的应用.

●教学难点

抛物线各个知识点的综合应用.

●教学方法

讲练结合法.

●教具准备

投影片三张

第一张：例1与例2（记作§8.5.2 A）

第二张：例3与例4（记作§8.5.2 B）

第三张：练习题（记作§8.5.2 C）

●教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］通过上一节课的学习，现在请大家回答下面两个问题：

1.抛物线的定义是什么？

2.抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么，并说出对应的焦点坐标和准线方程？

［生］1.平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

2.抛物线的标准方程共四种形式：

开口向右，y2=2px(p＞0),F(2p,0),l:x=-2p

开口向左，y2=-2px(p＞1),F(-2p,0),l:x=2p

开口向上，x2=2py(p＞0),F(0, 2p),l:x=-2p

开口向下，x2=-2py(p＞0),F(0,- 2p),l：y=2p

［师］回答得很好，下面我们看几个例题.

（打出投影片§8.5.2 A)

Ⅱ.讲授新课

［例1］点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程.

［师］想想怎样求点M的轨迹方程？

［生甲］先设M的坐标为（x,y)，接着用两点间距离公式及点到直线距离公式表示出上面的关系及条件，则得到有关x与y的一个关系，再化简即得出结论.

［师］此同学按的是求轨迹方程的一般方法，大家可利用这个办法来求解.

［生乙］老师，我求的点M的轨迹方程是y2=16x,我想说说另外一种解法:由题可知，点、M应在直线l的右边，否则点M到F的距离大于它到l的距离；其次，“点M与点F的距离为它到直线x+4=0的距离”，由此可知点M的轨迹是以F为焦点，直线x+4=0为准线的抛物线.则得到方程也是y2=16x.

[师]生乙说得很好，大家要在实践中比较两种方法，他很灵活地运用了我们学过的抛物线的定义，使该题目变得简单.

解：如右图所示，设点M的坐标为（x,y)

由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线.

∵2p=4

∴p=8

因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为y2=16x.

［例2］斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.

先请两名学生在黑板上做，最后老师与全体同学一起订正并归纳，可得以下三种解法.

如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F（1，0），准线方程x=-1. 由题可知，直线AB的方程为y=x-1

代入抛物线方程y2=4x，整理得

x2-6x+1=0

解法一：解上述方程得

x1=3+22,x2=3-22

分别代入直线方程得

y1=2+22,y2=2-22

即A、B的坐标分别为（3+22，2+22），（3-22，2-22）

∴|AB|=864)222222(2)223223(22

解法二：设A(x1,y1)、B(x2,y2),则

x1+x2=6,x1·x2=1

∴|AB|=2|x1-x2|

84624)(2221221xxxx

解法三：设A（x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x=-1的距离|AA′| 即|AF|=|AA′|=x1+1

同理|BF|=|BB′|=x2+1

∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8

小结：对于直线被圆锥曲线所截得弦长的求法，解法二是最常见的，并能推广到任意二次曲线，而解法三在抛物线中显得更为灵活，所以应记住弦长公式为|AB|=x1+x2+p.

(打出投影片§8.5.2 B)

［例3］已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M（-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值.

分析：焦点在x轴上的抛物线有两种形式，一种开口向右，另一种开口向左，因为M的横坐标是-3，所以开口向左.先设出抛物线标准方程，根据M在抛物线上与M到焦点的距离等于5可得出两个方程.从而得出方程组，解方程组即可.另外也可根据抛物线定义，M到焦点的距离等于M到准线的距离.因准线方程为x=2p，则有2p+3=5，即可求得p，从而得出抛物线方程.

解法一：设抛物线方程y2=-2px(p＞0)，则焦点F（-2p,0)，由题设可得：

5)23(6222pmpm

解得624624mpmp或

故抛物线的方程为y2=-8x,m的值为±62.

解法二：设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则焦点F（-2p,0），准线方程为x=2p.

根据抛物线的定义，M到焦点的距离等于5，也就是M到准线的距离等于5，则

2p+3=5

∴p=4

因此抛物线方程为y2=-8x

又点M（-3，m)在抛物线上，于是

m2=24

∴m=±62

评述：比较两种解法，可看出运用定义的方法简捷.

［例4］在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小.

分析：P是抛物线上任一点，如按一般思路设出坐标，再用两点间距离表示出P到焦点F的距离及P到点A的距离，接着得出一关系，从而求最值的话，计算上太繁；此题可用抛物线的定义，用P到焦点F的距离等于P到准线l的距离即可作出.

解：如下图所示，设抛物线的点P到准线的距离为|PQ|

由抛物线定义可知：|PF|=|PQ| ∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|

显然当P、Q、A三点共线时，|PQ|+|PA|最小.

∵A(3,2)，可设P（x0,2)代入y2=2x得x0=2

故点P的坐标为（2，2）.

Ⅲ.课堂练习

（打出投影片§8.5.2 C)

1.焦点在y轴上的抛物线被直线x-2y-1=0截得的弦长为15，求这抛物线的标准方程.

分析：焦点是在y轴正半轴上还是在y轴负半轴上？本题没有指明，应当有两种情况，可以分两种情况来解，但我们可以统一地设抛物线方程x2=ay(a≠0).

解：设抛物线方程为:x2=ay(a≠0)

由方程组0122yxayx

消去y得：2x2-ax+a=0

∵直线与抛物线有两个交点.

∴Δ=(-a)2-4×2×a＞0

即a＜0或a＞8

设两交点坐标为A（x1,y1）、B(x2,y2),则

x1+x2=2a,x1·x2=2a

∴|AB|=2212))(1(xxk

)8(54124)2()411(22aaaa

∵|AB|=15

∴)8(5412aa=15

即a2-8a-48=0

解得a=-4或a=12

∴所求抛物线标准方程为

x2=-4y或x2=12y

2.已知抛物线y=x2，动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.

分析一：要求AB中点纵坐标最小值，可求出y1+y2最小值.从形式上看变量较多，结合图形可以观察到y1、y2是梯形ABC′D′的两底，这样就使中点纵坐标y成为梯形的中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解.

解法一：设抛物线y=x2的弦AB的端点A（x1,y1）、B(x2,y2)，中点M（x,y），抛物线y=x2的焦点F（0，41），准线y=-41.设A、B、M到准线距离分别为AD、BC、MN.

∴2|MN|=|AD|+|BC|,且|MN|=y+41

根据抛物线定义，有

|AD|=|AF|,|BC|=|BF|

∴2（y+41)=|AF|+|BF|

∵在△ABF中，|AF|+|BF|≥|AB|=2

∴2(y+41)≥2

∴y≥43

即M点纵坐标的最小值为43.

分析二：要求AB中点纵坐标的最小值，可列出纵坐标y关于某一变量的函数，然后求此函数的最小值.

解法二：设抛物线y=x2上点A（a,a2)、B(b,b2),AB中点M（x,y).

∴x=2,222bayba

∵|AB|=2

∴(a-b)2+(a2-b2)2=4

则(a+b)2-4ab+(a2+b2)2-4a2b2=4

由2x=a+b,2y =a2+b2,得ab=2x2-y

∴4x2-4(2x2-y)+4y2-4(2x2-y)2=4

整理得

y=x2+1412x

∴y=41(4x2+1)+ 1412x- 41

≥241- 41

=1-41=43

当且仅当41(4x2+1)= 1412x即x=±21时等号成立.

∴AB中点纵坐标的最小值为43.

Ⅳ.课时小结

抛物线的定义反映了抛物线的本质，灵活利用定义往往可以化繁为简，化难为易，且思路清晰，解法简捷，巧妙的解法常常来源于对定义的恰当运用，要很好地体会.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P119习题8.5 3、7 （二）预习内容：抛物线的简单几何性质.

●板书设计

§8.5.2 抛物线及其标准方程（二）

例题 练习题 课时小结