6微元法的妙用(教师版)
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;. 例1. 如图，水平放置的导体电阻为R ，R与两根光滑的平行金属导轨相连，导轨间距为L ，其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为B的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab质量为m以初速度v0向右运动。
① 体棒将做什么运动？
②请描绘出运动的v-t 图像
③全过程一共产生多少焦耳热？
④能否求出这个过程的总位移呢？
⑤能否求出全过程中通过导体某个横截面的电量？
变式1： 如图，水平放置的导体电阻为R ，R与两根光滑的平行金属导轨相连，导轨间距为L ，其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为B的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab质量为m受到大小为F的恒力作用从静止开始向右运动。
1棒将做什么运动？
2请描绘出运动的v-t 图像
3末速度多大？
4若在t时刻，棒作匀速运动，求这段时间内的总位移。（t > t0）
变式2：如图，竖直放置的光滑U形导轨宽为L，上端串有一个电容，电容为C，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向里。金属棒ab的质量为m，与导轨接触良好，不计摩擦及各部分电阻，试通过计算说明金属棒的运动情况。
要说明运动情况，可能有哪些？
匀速，匀加速还是变加速？
需要通过计算说明什么问题？
找出F-t，或 a-t 的关系
小结——微元法在电磁感应问题中的应用
在处理问题时，从对事物的极小部分(微元)分析入手，达到解决事物整体的方法。
在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法（累计求和）进而使问题求解。
在电磁感应问题中，常常遇到非匀变速运动过程中求位移，电量，能量等问题，灵活运用微元的思想，可以帮助我们更深刻的理解物理过程。
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思考题
如图,空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场, 竖直方向磁场区域足够长， 磁感应强度为B=1T ，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d=0.5m,现有一边长l=0.2m、质量m=0.1kg、电阻R＝0.1Ω的正方形线框MNOP以v0=7m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场
求①线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q
②线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n。
∴能完整的穿过4个条形磁场区域
3如图所示，在光滑的水平面上，有竖直向下的匀强磁场，分布在宽度为L的区域里，现有一边长为a(a
v0 P
O M
N .
;.
A．1：1 B．2：1C. 3：1 D．4：1
1.如图所示，在光滑水平面上有一个竖直向上的匀强磁场，分布在宽度为l的区域内。现有一个边长为a的正方形闭合导线框（a< l），以初速度v0垂直于磁场边界沿水平面向右滑过该磁场区域，滑出时的速度为v。下列说法中正确的是
A.导线框完全进入磁场中时，速度大于(v0+ v)/2
B.导线框完全进入磁场中时，速度等于(v0+ v)/2
C.导线框完全进入磁场中时，速度小于(v0+ v)/2
D.以上三种都有可能
20．(2014丰台一模)如图光滑水平面上有竖直向下的有界匀强磁场，磁场宽度为2L、磁感应强度为B。正方形线框abcd的电阻为R，边长为L，线框以与ab垂直的速度3v进入磁场，线框穿出磁场时的速度为v，整个过程中ab、cd两边始终保持与磁场边界平行。设线框进入磁场区域过程中产生的焦耳热为Q1，穿出磁场区域过程中产生的焦耳热为Q2。则Q1：Q2等于
A．1：1 B．2：1 C．3：2 D．5：3
20．（2014石景山一模）如图所示，a、b是边界范围、磁感应强度大小和方向都相同的两个匀强磁场区域，a的下端离水平地面的高度比b高一些。甲、乙是两个完全相同的闭合正方形导线框，分别位于a、b的正上方，两线框的下端离地面的高度相同。两线框由静止同时释放，穿过磁场后落到地面，下落过程中线框平面始终保持与磁场方向垂直。下列说法正确的是
A 乙线框先落地
B．两线框同时落地
C．穿过磁场的过程中，乙线框产生的热量较少
D．穿过磁场的过程中，两线框产生的热量相同
先根据线框进入磁场时安培力的大小，比较安培力做功的大小，再根据功能关系比较线框落地时速度的大小．再对全过程，运用动量定理列式，即可比较时间的长短．
解答：解：先比较甲、乙线框落地时速度的大小：乙线框进入磁场时速度较大，安培力较大，线框克服安培力做功较多，即产生的热量较多；根据能量守恒定律得知乙线框落地时的速度较小．
线框穿过磁场区域过程受到的安培力是变力，设受到的平均安培力为F，穿过磁场的时间为△t，下落全过程的时间为t，落地速度为v．
对全过程，由动量定理得： l
a v0 v
× × × ×
× × × × × × × × × × ×
× × × × × d c b
a
a
b 甲 乙 .
;. mgt-F△t=mv
而F△t=BIL△t=BLq，又感应电荷量 q=△Φ/R，因为磁通量△Φ相同，通过线框截面的电荷量相等，则两个下落过程线框所受的安培力冲量相同．
因为v乙＜v甲，所以t乙＜t甲，即乙线框先落地，故A正确，BCD错误．
故选：A．
点评：本题的关键要运用动量定理分析时间关系，还要掌握感应电荷量的公式q=△Φ/R．对于变力情形，运用动量定理研究时间是常用的方法，要学会应用．
变式训练 如图所示，两固定竖直光滑金属导轨电阻不计，完全相同的导体棒ab、cd水平置于匀强磁场上方且相距一定距离。匀强磁场上、下边界水平，方向垂直纸
面向里，现同时由静止释放ab、cd，ab进入磁场时恰好做匀速运动，
ab出磁场时，cd刚好进入磁场，已知导体棒与导轨接触良好。竖直导
轨足够长，则在导体棒cd穿越磁场的过程中
A．d端电势低于c端电势
B．始终做匀速直线运动
C 运动时间小于导体棒ab在磁场中的运动时间
D．克服安培力做的功等于ab穿越磁场过程中克服安培力做的功
（房山）21、如图甲所示， 光滑且足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在同一水平面上，两导轨间距L=0.3m。导轨电阻忽略不计，其间连接有固定电阻R=0.4Ω。导轨上停放一质量m=0.1kg、电阻r=0.2Ω的金属杆ab，整个装置处于磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下。利用一外力F沿水平方向拉金属杆ab，使之由静止开始运动，电压传感器可将R两端的电压U即时采集并输入电脑，获得电压U随时间t变化的关系如图乙所示。
（1）试证明金属杆做匀加速直线运动，并计算加速度的大小；
（2）求第2s末外力F的瞬时功率；
（3）如果水平外力从静止开始拉动杆2s所做的功为0.3J，求回路中定值电阻R上产生的焦耳热是多少。
（房山）21、
（1）设路端电压为U，金属杆的运动速度为v，则感应电动势E = BLv，……………………1分
通过电阻R的电流 rREI……………………1分
电阻R两端的电压U=rRBLvRIR ……………………1分
由图乙可得 U=kt，k=0.10V/s……………………1分
解得tBLRrRkv，……………………1分
因为速度与时间成正比，所以金属杆做匀加速运动，加速度2m/s0.1BLRrRka。……1分
（用其他方法证明也可以,只要得出加速度a=1m/s2即可给6分） 甲 乙 a
M
b Q N
F R P 电压传感器 接电脑
t/s U/V
0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.1 0.2 .
;. （2）在2s末，速度v2=at=2.0m/s， ……………………1分
电动势E=BLv2，通过金属杆的电流rREI
金属杆受安培力rRvBLBILF22)(安……………………1分
设2s末外力大小为F2，由牛顿第二定律，maFF安2 ，……………………1分
故2s末时F的瞬时功率 P=F2v2……………………1分
P=0.35W ……………………1分
(3) 在2s末，杆的动能210.2J2kEmv……………………1分
由能量守恒定律，回路产生的焦耳热Q=W-Ek=0.1J ……………………1分
根据Q=I2Rt，有RQRQRr……………………1分
故在R上产生的焦耳热0.067JRRQQRr……………………1分
22.（2008北京理综，22）均匀导线制成的单位正方形闭合线框abcd，每边长为L，总电阻为R，总质量为m。将其置于磁感强度为B的水平匀强磁场上方h处，如图所示。线框由静止自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且cd边始终与水平的磁场边界平行。当cd边刚进入磁场时，
（1）求线框中产生的感应电动势大小;
（2）求cd两点间的电势差大小;
（3）若此时线框加速度恰好为零，求线框下落的高度h所应满足的条件。
22.答案（16分）
（1）cd边刚进入磁场时，线框速度v=
(2)此时线框中电流 I=
cd两点间的电势差U=I()=
(3)安培力 F=BIL=
根据牛顿第二定律mg-F=ma,由a=0
解得下落高度满足 h=
24. （2014丰台一模，24）如图所示，直角坐标系xoy位于竖直平面内，y轴正方向竖直向上，x轴正方向水平向右。空间中存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强磁场垂直xoy平面向里，磁感应强度大小为B。匀强电场（图中未画出）方向平行于xoy平面，小球（可视为质点）的质量为m、带电量为+q，已知电场强度大小为mgEq＝，g为重力加速度。
（1）若匀强电场方向水平向左，使小球在空间中做直线运动，求小球在空间中做直线运动的速度大小和方向；
（2）若匀强电场在xoy平面内的任意方向，确定小球在xoy平面内做直线运动的速度大小的范围；
（3）若匀强电场方向竖直向下，将小球从O点由静止释放，求小球运动过程中距x轴的最大距离。
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× × × × × × × O y
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