第六节二次函数
?基础知识
1．二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．二次函数的图象与性质
二次函数系数的特征
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定图象的开口方向及开口大小；
(2)－b
2a的值决定图象对称轴的位置；
(3)c的取值决定图象与y轴的交点；
(4)b2－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数．
? 常用结论
1．一元二次不等式恒成立的条件
(1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0，且Δ<0”． (2)“ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0，且Δ<0”． 2．二次函数在闭区间上的最值
设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，闭区间为[m ，n ]． (1)当－b
2a
≤m 时，最小值为f (m )，最大值为f (n )；
(2)当m <－b 2a ≤m ＋n
2时，最小值为f ????－b 2a ，最大值为f (n )； (3)当m ＋n 2<－b
2a ≤n 时，最小值为f ????－b 2a ，最大值为f (m )； (4)当－b
2a >n 时，最小值为f (n )，最大值为f (m )．
考点一 求二次函数的解析式
求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同. [典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
[解] 法一：利用二次函数的一般式
设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得???
??
4a ＋2b ＋c ＝－1，
a －
b ＋
c ＝－1，
4ac －b 2
4a ＝8，
解得????
?
a ＝－4，
b ＝4，
c ＝7.
故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.
法二：利用二次函数的顶点式 设f (x )＝a (x －m )2＋n .
∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝1
2.
∴m ＝1
2，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，
∴y ＝f (x )＝a ???
?x －1
22＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ????2－1
22＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4????x －1
22＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：利用零点式
由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.
又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 2
4a ＝8.
解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，
故所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.
[题组训练]
1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________.
解析：法一：设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．
由已知得???
－b
2a
＝－2，4ac －b
2
4a
＝－1，a ＋b ＋c ＝0，
解得?????
a ＝19
，b ＝49，
c ＝－59，
所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －5
9
.
法二：设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．
依题意得????
?
－b
2a
＝－2，4a －2b ＋c ＝－1，
a ＋
b ＋
c ＝0，
解得?????
a ＝19
，b ＝4
9，
c ＝－59，
所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －5
9.
法三：设所求解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k . 由已知得f (x )＝a (x ＋2)2－1， 将点(1,0)代入，得a ＝1
9，
所以f (x )＝1
9(x ＋2)2－1，
即f (x )＝19x 2＋49x －5
9.
答案：19x 2＋49x －5
9
2．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则函数的解析式f (x )＝____________.
解析：∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， ∴f (x )的对称轴为x ＝2.
又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3.
设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)． 又∵f (x )的图象经过点(4,3)， ∴3a ＝3，a ＝1.
∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3. 答案：x 2－4x ＋3
考点二 二次函数的图象与性质
考法(一) 二次函数图象的识别
[典例] 若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )
[解析] 因为一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，所以a <0，b <0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x ＝－b
2a
<0，只有选项C 适合． [答案] C
考法(二) 二次函数的单调性与最值问题 [典例]
(1)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为________．
(2)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．
[解析] (1)函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .
当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， 所以1－a ＝2，所以a ＝－1. 当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1， 所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0， 所以a ＝1±5
2
(舍去)．
当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.
(2)依题意a ≠0，二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 图象的对称轴是直线x ＝1，因为函数f (x )在区间[0,1]上单调递减，所以a >0，即函数图象的开口向上，所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. [答案] (1)－1或2 (2)[0,2]
[解题技法]
1．二次函数最值问题的类型及解题思路 (1)类型：
①对称轴、区间都是给定的； ②对称轴动、区间固定； ③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题． 2．二次函数单调性问题的求解策略
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．
考法(三) 与二次函数有关的恒成立问题 [典例]
(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________；
(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为________．
[解析] (1)作出二次函数f (x )的草图如图所示，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，
则有?
????
f (m )<0，f (m ＋1)<0，
即?????
m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，
解得－
2
2
∴k <1.故k 的取值范围为(－∞，1)． [答案] (1)?
??
?
－
22，0 (2)(－∞，1) [解题技法]
由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立?a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立?a ≤f (x )min .
[题组训练]
1．(2019·杭州模拟)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，则a 的值为( )
A.5
4 B ．1或54
C ．－1或5
4
D ．－5或5
4
解析：选D f (x )＝－4????x －a 22－4a ，对称轴为直线x ＝a 2
. ①当a
2≥1，即a ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递增，
∴f (x )max ＝f (1)＝－4－a 2.
令－4－a 2＝－5，得a ＝±1(舍去)．
②当0 2<1，即0 . ③当a 2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2. 令－4a －a 2＝－5，得a ＝－5或a ＝1(舍去)． 综上所述，a ＝5 4 或－5. 2．若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为???? 74，4，则m 的取值范围为( ) A ．(0,4] B.???? 32，4 C.???? 32，3 D.????32，＋∞ 解析：选C y ＝x 2－3x ＋4＝????x －322＋7 4的定义域为[0，m ]，显然，在x ＝0时，y ＝4，又值域为????74，4，根据二次函数图象的对称性知3 2 ≤m ≤3，故选C. 3．已知函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________． 解析：令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1 a ≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，显然g (t )在????1a ，a 上 单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以a的最大值为2. 答案：2 [课时跟踪检测] A级 1．(2019·重庆三校联考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴方程是x＝1，并且过点P(－1,7)，则a，b的值分别是() A．2,4B．－2,4 C．2，－4 D．－2，－4 解析：选C∵y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴是x＝1，∴－b 2a＝1. ① 又图象过点P(－1,7)，∴a－b＋1＝7，即a－b＝6. ② 由①②可得a＝2，b＝－4. 2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则a的值为() A．－1 B．0 C．1 D．－2 解析：选D函数f(x)＝－x2＋4x＋a的对称轴为直线x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x＋a在[0,1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2. 3．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是() 解析：选C若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D； 对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－b 2a<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C. 4．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0 解析：选A 由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b 2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)， f (4)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0，故选A. 5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞) D ．(－∞，－6) 解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ， 令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)， 所以f (x ) 6．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ， 所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数， 应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. 答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞) 7．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为????－3 2，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________． 解析：设f (x )＝a ??? ?x ＋3 22＋49(a ≠0)， 方程a ????x ＋3 22＋49＝0的两个实根分别为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|＝2 －49 a ＝7， 所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40. 答案：f (x )＝－4x 2－12x ＋40 8．(2018·浙江名校协作体考试)y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________． 解析：当a ＝0时，y ＝4x －1，值域为[0，＋∞)，满足条件；当a ≠0时，要使y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的 值域为[0，＋∞)，只需? ???? 2a >0，Δ＝16－8a (a －1)≥0，解得0 答案：[0,2] 9．求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值． 解：函数f (x )＝－????x －a 22＋a 2 4的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2<－1，－1≤a 2≤1，a 2 >1，即a <－2，－2≤a ≤2和a >2三种情形讨论． (1)当a <－2时，由图①可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ＝－(a ＋1)． (2)当－2≤a ≤2时，由图②可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ??? ?a 2＝a 2 4. (3)当a >2时，由图③可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1. 综上可知，f (x )max ＝????? －(a ＋1)，a <－2， a 2 4，－2≤a ≤2，a －1，a >2. 10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)， 由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x . 所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1， 因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1. (2)因为当x ∈[－1,1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方， 所以在[－1,1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立； 即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1,1]上恒成立． 所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝????x －322－5 4， 因为g (x )在[－1,1]上的最小值为g (1)＝－1， 所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1)． B 级 1.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结 论： ①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a D ．①③ 解析：选B 因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确； 对称轴为x ＝－1，即－b 2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误； 结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误； 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a . 又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a 2．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈????－2，－1 2时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( ) A.1 3 B.12 C.34 D ．1 解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，因为x ∈????－2，－1 2，所以f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，所以m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.所以m －n 的最小值是1. 3．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3. (1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴为x ＝－3 2∈[－2,3]， ∴f (x )min ＝f ????－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15， ∴函数f (x )的值域为????－21 4，15. (2)∵函数f (x )的对称轴为x ＝－2a －1 2. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3， ∴6a ＋3＝1，即a ＝－1 3 ，满足题意； ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1， ∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意． 综上可知，a ＝－1 3 或－1. 4．求函数y ＝x 2－2x －1在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值． 解：函数y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2的图象的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，－2)，函数图象如图所示，对t 进行讨论如下： (1)当对称轴在闭区间右边，即当t ＋1<1，即t <0时，函数在区间[t ，t ＋1]上单调递减，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －1. (2)当对称轴在闭区间内时，0≤t ≤1，有两种情况： ①当t ＋1－1≤1－t ，即0≤t ≤1 2时， f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －1； ②当t ＋1－1>1－t ，即1 2 f (x )max ＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2－2(t ＋1)－1＝t 2－2. (3)当对称轴在闭区间左侧，即当t >1时，函数在区间[t ，t ＋1]上单调递增， f (x )max ＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2－2(t ＋1)－1＝t 2－2. 综上所述，t ≤12时，所求最大值为t 2－2t －1；t >1 2时，所求最大值为t 2－2. 二次函数知识点总结及典型题目 一.定义： 一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点. 二.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0 高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 . 2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念 1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设 二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结 （一）二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数， 叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 22424b ac b y a x a a -??=++ ???，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为 2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当 2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时， y 有最大值2 44ac b a -． 二次函数一、二次函数的几何变换 二、二次函数的图象和性质 (Ⅰ) y=a(x-h)2+k (a≠0)的图象和性质 (Ⅱ) y=ax2+bx+c (a≠0)的图象和性质 (Ⅲ) a 、b 、c 的符号对抛物线形状位置的影响 三、待定系数法求二次函数的解析式 1、一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式。 2、顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 3、交点式：已知图像与x 轴的交点横坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=。 4、顶点在原点，可设解析式为y=ax 2 。 5、对称轴是y 轴（或者顶点在y 轴上），可设解析式为y= ax 2 +c 。 6、顶点在x 轴上，可设解析式为()2 h x a y -=。 7、抛物线过原点，可设解析式为y=ax2+bx 。 四、抛物线的对称性 1、抛物线与x 轴有两个交点（x 1,0）（x 2,0），则对称轴为x= 2x x 2 1+。 2、抛物线上有不同的两个交点（m ，a ）（n,a ），则对称轴为x=2 n m +。 3、抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）与y 轴交点关于对称轴的对称点为(a b -, c)。 五、二次函数与一元二次方程的关系 对于抛物线c bx ax y ++=2 （a ≠0），令y=0，即为一元二次方程02=++c bx ax ，一元二次方程的解就是二次函数与x 轴交点的横坐标。要分三种情况： 1、 判别式△=b 2 -4ac ＞0?抛物线与x 轴有两个不同的交点（a b 24ac b -2+，0） （a b 24ac b --2，0）。有韦达定理可知x 1+x 2=a b - ，x 1·x 2= a c 。 2、 判别式△=b 2 -4ac=0?抛物线与x 轴有一个交点（a b 2-，0）。 3、 判别式△=b 2 -4ac=0?抛物线与x 轴无交点。 六、二次函数与一元二次不等式的关系 1、a ＞0：（1）02＞c bx ax ++的解集为：x ＜x 1或x ＞x 2（x 1＜x 2）。 （2）02 ＜c bx ax ++的解集为：x 1＜x ＜x 2（x 1＜x 2）。 2、a ＜0：（1）02＞c bx ax ++的解集为：x 1＜x ＜x 2（x 1＜x 2）。 （2）02 ＜c bx ax ++的解集为：x ＜x 1或x ＞x 2（x 1＜x 2）。 七、二次函数的应用 1、面积最值问题。 2、长度、高度最值问题。 3、利润最大化问题。 4、利用二次函数求近似解。 高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m ),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 二次函数考点和题型归纳 一、基础知识 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； 顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； 两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．二次函数的图象与性质 二次函数系数的特征 (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，系数a 的正负决定图象的开口方向及开口大小； (2)－ b 2a 的值决定图象对称轴的位置； (3)c 的取值决定图象与y 轴的交点； (4)b 2－4ac 的正负决定图象与x 轴的交点个数． 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ??? ?4ac －b 24a ，＋∞ ? ???－∞，4ac －b 24a 单调性 在??? ?－b 2a ，＋∞上单调递增；在????－∞，－b 2a 上单调递减 在? ???－∞，－b 2a 上单调递增；在??? ?－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ????－b 2a ，4ac －b 24a 对称性 图象关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形 二、常用结论 1．一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0，且Δ<0”． (2)“ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0，且Δ<0”． 2．二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，闭区间为[m ，n ]． (1)当－b 2a ≤m 时，最小值为f (m )，最大值为f (n )； (2)当m <－b 2a ≤m ＋n 2时，最小值为f ????－b 2a ，最大值为f (n )； (3)当 m ＋n 2<－b 2a ≤n 时，最小值为f ????－b 2a ，最大值为f (m )； (4)当－b 2a >n 时，最小值为f (n )，最大值为f (m )． 考点一 求二次函数的解析式 求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同. [典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． [解] 法一：利用二次函数的一般式 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得?? ? 4a ＋2b ＋c ＝－1， a － b ＋ c ＝－1， 4ac －b 2 4a ＝8， 解得????? a ＝－4， b ＝4， c ＝7. 故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：利用二次函数的顶点式 设f (x )＝a (x －m )2＋n . 浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法--------五点作图法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 【例1】、已知函数y=x 2 -2x-3， （1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图； （2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积： （3）根据第（1）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程02 =++c bx ax 有实根1x 和 2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式 ))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3）三顶点 顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我 最全高中数学知识点总结（最全集） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 二次函数知识点总结——题型分类总结 一、二次函数的定义 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①142 +-=x x y ； ②2 2x y =； ③x x y 422 +=； ④x y 3-=； ⑤12--=x y ； ⑥p nx mx y ++=2 ； ⑦()x y ,4=； ⑧x y 5-=。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为t t s 252 +=，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 _________ 。 3、若函数( ) 54722 2 ++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 4、若函数()1522 ++-=-x x m y m 是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 6、已知函数()35112 -+-=+x x m y m 是二次函数，求m 的值。 二、二次函数的对称轴、顶点、最值 记忆：如果解析式为顶点式：()k h x a y +-=2 ，则对称轴为： _ , 最值 为： ； 如果解析式为一般式：c bx ax y ++=2 ，则对称轴为： __ ，最值为： ； 如果解析式为交点式：()()21x x x x a y --=, 则对称轴为： ，最值为： 。 1．抛物线m m x x y -++=2 2 42经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线x x y 32+=的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线x ax y 62-=经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5．若直线b ax y +=不经过二、四象限，则抛物线c bx ax y ++=2 ( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线()4 1 12- -+=x m x y 的顶点的横坐标是2，则m 的值是 . 7．抛物线322 -+=x x y 的对称轴是 。 8．若二次函数332 -+=mx x y 的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 9．当n ＝______，m ＝______时，函数()()x n m x n m y n -++=的图象是抛物线， 二次函数知识点总结及典型例题讲解 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， （3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1 x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 三、二次函数的性质 二次函数知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、二次函数解析式的三种形式及图像 1. 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：2 ()(0)f x ax bx c a =++≠； （2）顶点式：2 ()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程. （3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 2．二次函数的图像 二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2b x a =- ，顶点坐标为24(,)24b ac b a a --. (1) 单调性与最值 ①当0a >时，如图2-8所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞- 上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b x a =-时， 2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图2-9所示，抛物线开口向下，函数在(,] 2b a -∞-上递增，在[,) b -+∞上递减，当 b x =- 时，；24()4ac b f x a -=. (2) 当2 40b ac ?=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和 22(,0)M x ，1212|||||| M M x x a =-== . 二、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ， 图2-9 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化 归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（ 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋b 2 ＝(a＋b) 2 －2ab＝(a－b) 2 ＋2ab； a 2 ＋ab＋b 2 ＝(a＋b) 2 －ab＝(a－b) 2 ＋3ab＝(a＋ b 2) 2 ＋（ 3 2b） 2 ； a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋ab＋bc＋ca＝ 1 2[(a＋b) 2 ＋(b＋c) 2 ＋(c＋a) 2 ] a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝(a＋b＋c) 2 －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) 2 －2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） 2 ； x 2 ＋ 1 2 x＝(x＋ 1 x) 2 －2＝(x－ 1 x) 2 ＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x 2 ＋y 2 －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4 高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 二次函数知识点总结及典型例题 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法---五点法： 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， （3）当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程0 2=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2 可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这 样表示。 三、抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴所在直线；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0 高中数学知识点总结 1. 首先对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 请问你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 5015392522 ∈-- 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210二次函数知识点总结及典型题目
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