二次函数知识点总结——题型分类总结
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授课教师学生姓名上课时间
学科数学年级九年级课时计划第次共次提交时间学管师教学主管
课题名称二次函数知识点总结——题型分类总结
教学目标：
1. 掌握二次函数表达式的三种形式，能灵活选用三种形式提高解题效率。
2. 掌握二次函数的图像与性质，结合解析式确定图像顶点、对称轴和开口方向；
熟练掌握其与一元二次方程和一元二次不等式的关系；能通过基本性质解决图像
的系数符号问题、共存问题、对称性问题、以及应用问题。
教学重难点：
教学重点：1、二次函数的三种解析式形式
2、二次函数的图像与性质
教学难点：1、二次函数与其他函数共存问题
2、根据二次函数图像，确定解析式系数符号
3、根据二次函数图像的对称性、增减性解决相应的综合问题。
教学过程
【回顾与思考】
一、二次函数的定义
定义：一般地，如果
c
b
a
c
bx
ax
y,
,
(
2+
+
=
是常数，
)0
≠
a，那么y叫做x的二次函数.
（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）精典例题：
例1：在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（）
A．2xy+x2=1 B．y2-ax+2=0 C．y+x2-2=0 D．x2-y2+4=0 考点：二次函数的定义．
分析：根据二次函数的定义对四个选项进行逐一分析即可，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
解答：解：A、2xy+x2=1当x≠0时，可化为的形式的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；
B、y2-ax+2=0可化为y2=ax-2不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；
C、y+x2-2=0可化为y=x2+2，符合一元二次方程的一般形式，故本选项正确；
D、x2-y2+4=0可化为y2=x2+4的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查的是二此函数的一般形式，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a 是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
例2：函数y=(m+3)x m2+m-4，当m= 时，它的图象是抛物线．
考点：二次函数的定义．
分析：二次函数的图象是抛物线的，由二次函数的定义列出方程与不等式解答即可．
解答：解：∵它的图象是抛物线，
∴该函数是二次函数，
∴，解得m=2或-3，m≠-3，∴m=2．
点评：用到的知识点为：二次函数的图象是抛物线；二次函数中自变量的最高次数是2，二次项的系数不为0．
例3：若y=x m-2是二次函数，则m=
考点：二次函数的定义．
分析：根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．
解答：解：∵函数y=x m-2是二次函数，
∴m-2=2，
∴m=4．
故答案为4．
点评：本题考查了二次函数的定义，比较简单，属于基础题．
学以致用：
1、下列函数中，是二次函数的是 .
①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x；
⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为。
3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。
4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。
二、二次函数的对称轴、顶点、最值
考点连接：如果解析式为顶点式：y=a(x－h)2+k，则对称轴为：，最值为：；
如果解析式为一般式：y=ax2+bx+c，则对称轴为：，最值为：；
如果解析式为交点式：y=(x-x1)(x-x2), 则对称轴为：，最值为：。
精典例题：
例1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。
考点：二次函数图象与几何变换．
分析：利用二次函数图象的性质．
解答：解：经过原点，说明（0，0）适合这个解析式．那么m2+2m-3=0，（m+3）（m-1）=0．解得：m1=-3，m2=1．
点评：本题应用的知识点为：在函数图象上的点一定适合这个函数解析式．
例2．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
分析：由抛物线y=ax2-6x经过点（2，0），求得a的值，再求出函数顶点坐标，求得顶点到坐标原点的距离．
解答：解：由于抛物线y=ax2-6x经过点（2，0），则4a-12=0，a=3，
抛物线y=3x 2-6x ，变形，得：y=3（x-1）2
-3，则顶点坐标M （1，-3）， 抛物线顶点到坐标原点的距离|OM|=
故选B ．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求解析式，再求顶点坐标，最后求距离．
学以致用：
1．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴
2．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n
＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.
3．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。
三、函数y=ax 2
+bx+c 的图象和性质
知识点：（1）①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；
②当0 （2）顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-= （3）①当0>a 时，在对称轴左边，y 随x 的增大而减小；在在对称轴右边，y 随x 的增大而 增大；