产销问题的数学建模
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产销问题的数学模型
电子信息工程学系
詹宗福 张娜 何怿潍
1 / 24 产销问题的数学模型
摘要
以产销为主的公司对成本的花费和利润的回收是十分重视的，本文则针对这个问题，建立了关于该企业手工产品产销问题的优化模型[1]，解决了该企业最优产销方案的问题。
企业产品产销始于购入物料，经加工制成或经组合装配成为产品，最后通过销售获取利润，所以当成本最小的时候，公司可获得最大利润。在问题一中根据成本的类型，可以分为两类，即产品成本与人力成本。本文先将各成本定义成不同的数学变量，再依据时间与各成本间的关系可得出在计划期内的各成本的花费，最后由公式：
得出计划期内的成本总和Q。最后运用多元函数的极值的求解方法并借助LINGO/LINDO软件来计算，便可求出成本Q的最小值842504，以及获得最大利润SMAX=897496元。
促销[2]是营销者为扩大销售而进行的商业活动，但是如果不合理安排促销的活动及做好适当的成本利润评估，就很容易让营销者在此商业活动中亏损。在问题二中，就在淡季的一月促销产品和在旺季的四月促销产品这两种方案进行了成本和利润的分析。在此问题中，我们依然用问题一的方法，即多元函数的极值的求解法来求出这两种方案的成本和利润。由结果可知，若在淡季的一月促销产品，则在这个计划期内的成本为842214元，利润为875086元；而在旺季的四月促销产品，计划期内的成本为842454元，利润为868306元。由第一问可知，在无促销的计划期内的成本是842504元，利润为897496元。所以，将以上三组数据进行对比，可得出以下结论：降价促销会引起总收入减少，但促销带来的增长会使需求的变化变得平稳引起总成本的下降。一般在淡季进行促销时总成本下降的幅度较大，使需求平稳的同时生产的安排也更加平稳。所以在这三种方案中，计划期内无促销为最佳方案。
由于以上的问题都主要考虑的是生产产品的问题，本文建议可再通过对客户需求以及市场波动进行数据处理，也可建立一个价格策略[3]模型与本模型结合起来，将得到更加精确的产销模型。
关键词：
数学规划 多元函数的极值法 LINGO/LINDO软件 最优产销方案
66666666111111112181218()100200102050100iiiiiiiiiiiiiiiiiQWWTxyhkab2 / 24 1． 问题重述
某企业主要生产一种手工产品，在现有的营销策略下，年初对上半年6个月的产品需求预测如表1所示。
表1. 产品需求预测估计值（件）
月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月
预计需求量 1000 1100 1150 1300 1400 1300
1月初工人数为10人，工人每月工作21天，每天工作8小时，按规定，工人每个月加班时间不得超过10个小时。1月初的库存量为200台。产品的销售价格为240元/件。该产品的销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示。6月末的库存为0（不允许缺货）。各种成本费用如表2所示。
表2. 产品各项成本费用
原材料成本 库存成本 缺货损失 外包成本 培训费用
100元/件 10元/件/月 20元/件/月 200元/件 50元/人
解聘费用 产品加工时间 工人正常工资 工人加班工资
100元/人 1.6小时/件 12元/小时/人 18元/小时/人
（1）若你是公司决策人员，请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案；
（2）公司销售部门预测：在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为220元/件时，则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生。试就一月份（淡季）促销和四月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（1）进行对比分析，进而选取最优的产销规划方案。
2． 模型的分析
这是企业生产产品前做产销计划欲求产销优化的问题，目标是使得成本低、利润大。现知道，成本为：原材料成本、库存成本、缺货损失成本、外包成本、工人培训费用、工人的正常工资及加班工资、解聘工人的费用。且这些成本为线性函数。约束条件为：聘用和解雇人员的限制，生产能力的限制，库存的限制，加班限制等。
结合以上，找出各个变量之间的关系，列出目标函数，把实际问题转化成数学问题进行分析和求解，建立多变量求目标函数最值的非线性规划模型。
根据分析，在合理假设条件下，列出各方面因素对利润和成本影响的关系式，借助LINGO/LINDO软件进行问题求解。
3． 模型的假设与符号说明
3.1 模型的假设
（1）生产过程是连续的,即每天都生产；
（2）每个员工的健康状况、每月的工作时间、工作效率等相同；
（3）六月末为零库存，但不缺货； 3 / 24 （4）预测的各月的产品需求均为定值。
3.2 符号的说明
S——六个月的总利润（单位：元）；
L——六个月总的销售额（单位：元）；
Q——上半年企业生产所需的成本（单位：元）；
Di——第i个月产品需求预测估计值（单位：件）；
Wi——第i个月的员工数（W0=10）(单位：人）；
Ti——第i个月每个员工工作总时间 （单位：小时）；
xi——第i 个月员工生产量（单位：件）；
yi——第i个月外包生产量（单位：件）；
ai——第i个月新聘用的工人数（单位：人）；
bi——第i个月解聘工人数（单位：人）；
hi——第i个月库存量（单位：件）；
ki——第i个月缺货量（单位：件）。
4． 模型的建立
4.1 生产成本与各方面因素的关系如图1所示：
4.2 模型建立 库存费
缺货量
外包量
物力成本
生产成本Q
人力成本 当月员工数
当月初招聘人数
当月末解聘人数
当月加班时间 当月生产量
即为z
图1 生产成本与各方面因素的关系示意图 4 / 24 通过以上的全面分析，此时可以对该问题建立数学模型求产销最优解。
模型建立：
根据题目已知条件：
因为6月末的库存为0（不允许缺货）,说明货物全部卖出；
所以L=(1000+1100+1150+1300+1400+1300)*240，即L为定值。
当成本Q最低时，企业达到利润最大。
根据各变量的关系可列出关于成本Q的式子：
MIN：
66666666111111112181218()100200102050100iiiiiiiiiiiiiiiiiQWWTxyhkab
ST
00h
00k
6611200iiiizD
i=1,2,3,4,5,6
5． 模型的求解
模型求解结果：
（1）由以上的分析、假设、LINGO/LINDO程序的运行，同时考虑到模型在实际当中有些的决策变量只能取整数，对得到的计算结果进行必要的取整，可得到该公司的总生产计划如表3所示：
表3. 该公司生产计划表
0 0 0 10 0 200 0 0 0 5 / 24 1 0 2 8 0 40 0 0 840
2 2 0 10 8 0 5 0 1055
3 1 0 11 0 0 0 0 1155
4 2 0 13 0 65 0 0 1365
5 0 0 13 0 30 0 0 1365
6 0 1 12 16 0 0 0 1270
结论：总成本为842504元。
而产品的销售价格为240元/件，则计划期间的销售收入为：
L=1740000元；
计划期间的利润为S1= L-Q=897496（元）；
因此，若我是公司决策人员，我会选：
W1=10，W2=11，W3=13，W4=13，W5=13，W6=12;
T1=0，T2=8，T3=0，T4=0，T5=0，T6=16;
x1=1055,x2=840,x3=1155,x4=1365,x5=1365,x6=1270;
y1=0,y2=0,y3=0,y4=0,y5=0,y6=0;
h1=40,h2=0,h3=0,h4=65,h5=30,h6=0;
k1=0,k2=5,k3=0,k4=0,k5=0,k6=0;
a1=0,a2=2,a3=1,a4=2,a5=0,a6=0;
b1=2,b2=0,b3=0,b4=0,b5=0,b6=1.
的产销方案来达到成本最低、利润最大。
（2）依题意，两种促销方案的预计产品需求量如表4所示：
表4. 两种促销方案预计产品需求量表
一月份促销预计需求量 1135 1034 1081 1300 1400 1300
四月份促销预计需求量 1000 1100 1150 1462 1316 1222
一月份促销计划结果：
利用前面给出的成本最小规划模型，将相关参数值代入该模型进行求解，得到一月份促销方案的结果为：
一月份促销方案，总成本为842214元；
销售收入为220×1135+240×﹙1034+1081+1300+1400+1300﹚=1717300元；
S2=1717300-842214=875086元。
四月份促销计划结果：
四月份促销方案，总成本为842454元；
销售收入为L=220×1462+240×﹙1000+1100+1150+1316+1222﹚=1710760元；
利润为S3=1710760-842454=868306元。
因此，我们选不促销方案（1）为最优产销规划方案。
6． 模型的进一步分析与讨论
