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公选课-数学建模论文-钢管下料问题钢管下料问题摘要生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成所需大小这种工艺过程,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.针对钢管下料问题，我们采用数学中的线性规划模型.对模型进行了合理的理论证明和推导，然后借助于解决线性规划的专业软件Lingo 11.0，对题目所提供的数据进行计算，从而得出最优解.关键词线性规划最优解钢管下料1、问题的提出某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm ，现在一顾客需要15根290 mm ，28根315 mm ，21根350 mm 和30根455 mm 的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm ，为了使总费用最小，应该如何下料？2、问题的分析首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少.3、基本假设假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行.4、定义符号说明（1）设每根钢管的价格为a ，为简化问题先不进行对a 的计算.（2）四种不同的切割模式：1x 、2x 、3x 、4x .（3）其对应的钢管数量分别为：i r 1、i r 2、i r 3、i r 4（非负整数）.5、模型的建立由于不同的模式不能超过四种，可以用i x 表示i 按照第种模式（i =1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产290mm ，315mm,,350mm 和455mm 的钢管数量分别为i r 1，i r 2，i r 3，i r 4（非负整数）. 决策目标 切割钢管总费用最小，目标为：Min=（1x ⨯1.1+2x ⨯1.2+3x ⨯1.3+4x ⨯1.4）⨯a (1)为简化问题先不带入a约束条件 为满足客户需求应有11r ⨯1x +12r ⨯2x +13r ⨯3x +14r ⨯4x ≧15 (2) 21r ⨯1x +22r ⨯2x +23r ⨯3x +24r ⨯4x ≧28 (3) 31r ⨯1x +32r ⨯2x +33r ⨯3x +34r ⨯4x ≧21 (4) 41r ⨯1x +42r ⨯2x +43r ⨯3x +44r ⨯4x ≧15 (5) 每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm 也不能小于1750mm.于是：1750≦290⨯11r +315⨯21r +350⨯31r +455⨯41r ≦1850 （6） 1750≦290⨯12r +315⨯22r +350⨯32r +455⨯42r ≦1850 （7） 1750≦290⨯13r +315⨯23r +350⨯33r +455⨯43r ≦1850 （8） 1750≦290⨯14r +315⨯24r +350⨯34r +455⨯44r ≦1850 （9）由于排列顺序无关紧要因此有 1x ≧2x ≧3x ≧4x (10) 又由于总根数不能少于（15⨯290+28⨯315+21⨯350+30⨯455）/1850≧18.47 (11) 也不能大于（15⨯290+28⨯315+21⨯350+30⨯455）/1750≦19.525 (12) 由于一根原钢管最多生产5根产品，所以有i r 1+i r 2+i r 3+i r 4≦5 (13)7、模型的求解将（1）~（13）构建的模型输入Lingo11.0即取1x 切割模式14根及2x 切割模式5根，即可得到最优解：Min=（14⨯11/10+5⨯12/10）⨯a=21.4a6、结果分析、模型的评价与改进下料问题的建模主要有两部分组成，一是确定下料模式，二是构造优化模型.对于下料规格不太多时，可以采用枚举出下料模式，对规格太多的，则适用于本模型.而从本模型中可以看出尽管切割模式x3、x4的余料最少，但是其成本比较高因而舍弃.7、参考文献【1】姜启源，谢金星，叶俊,数学模型(第三版)，清华大学出版社，第121页.8、附录模型求解的算法程序：model:min=x1*1.1+x2*1.2+x3*1.3+x4*1.4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=15;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850; 290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850; 290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850; 290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750; 290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750; 290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750; 290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750;x1+x2+x3+x4>=19;x1+x2+x3+x4<=20;x1>=x2;x2>=x3;x3>=x4;r11+r21+r31+r41<=5;r12+r22+r32+r42<=5;r13+r23+r33+r43<=5;r14+r24+r34+r44<=5;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x2);@gin(x4);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14); @gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24); @gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34); @gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);@gin(r44); end经运行得到输出如下：Global optimal solution found.Objective value: 21.40000Objective bound: 21.40000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 1Total solver iterations: 34507Variable Value Reduced Cost X1 14.00000 -0.1000000 X2 5.000000 0.000000 X3 0.000000 0.1000000 X4 0.000000 0.2000000 R11 0.000000 0.000000 R12 3.000000 0.000000 R13 0.000000 0.000000 R14 0.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R22 0.000000 0.000000 R23 1.000000 0.000000 R24 0.000000 0.000000 R31 2.000000 0.000000 R32 0.000000 0.000000 R33 3.000000 0.000000 R34 0.000000 0.000000 R41 1.000000 0.000000 R42 2.000000 0.000000 R43 1.000000 0.000000 R44 4.000000 0.000000。
钢管下料数学建模摘要：本论文通过数学建模的方法研究了钢管下料问题。
首先，提出了一个钢管下料的数学模型，建立了目标函数和约束条件，以求解钢管的最优下料方案。
接着，采用了一种基于遗传算法的优化方法对模型进行求解，通过对实际钢管下料问题的实例进行仿真实验，验证了模型的可行性和有效性。
最后，对论文的研究结果进行了分析和总结，并对进一步的研究方向进行了展望。
关键词：钢管下料；数学建模；遗传算法；最优化1. 引言钢管的下料是制造业中常见的生产工艺之一。
通过合理的下料方案，可以最大限度地利用原材料，提高钢管的利用率。
因此，钢管下料问题的研究对于降低生产成本、提高生产效率具有重要意义。
2. 钢管下料的数学模型2.1 目标函数钢管下料的目标是使得原材料的浪费最小化。
因此，我们可以将下料的浪费量作为目标函数，即最小化浪费的总量。
2.2 约束条件钢管下料的约束条件主要包括原材料的长度限制、钢管的尺寸要求、切割工具的限制等。
这些约束条件需要在数学模型中进行描述和考虑。
3. 遗传算法优化方法遗传算法是一种基于生物进化理论的优化算法，可以通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，搜索最优解。
我们可以将钢管下料问题转化为一个优化问题，通过遗传算法来求解最优下料方案。
4. 实验仿真我们通过对一组实际钢管下料问题的实例进行仿真实验，验证了数学模型和遗传算法的可行性和有效性。
实验结果表明，采用遗传算法可以得到较优的下料方案，并且在一定时间内可以找到满足约束条件的最优解。
5. 结果分析和总结通过对实验结果的分析和总结，我们可以得出以下结论：数学模型和遗传算法在钢管下料问题中具有较好的应用效果，可以提高下料方案的优化效果和生产效率。
6. 进一步展望在进一步的研究中，我们可以考虑对模型进行改进和扩展，以适应更复杂的钢管下料问题。
此外，可以结合其他优化算法和数据挖掘技术，进一步提高钢管下料的效果和精度。
下料问题的基本建模方法嘿，伙计们！今天咱们聊聊那个让人又爱又恨的问题——下料问题。
想象一下，你在厨房里准备一顿大餐，你得从超市买一堆食材，然后小心翼翼地切、煮、炒、炖，最后端上桌。
这个过程就像我们在处理下料问题时一样，既要有条理，又要灵活应变。
别急，让我来给你娓娓道来。
咱们得搞清楚什么是下料问题。
简单来说，就是根据设计图或者需求，计算出需要多少原材料，然后按照规格去采购和加工。
这听起来是不是有点像我们做数学题，列式子、解方程？没错，就是这么回事！接下来，咱们说说建模。
建模就像是给下料问题画一幅详细的地图，让你一目了然。
比如，你有个项目，需要生产一批零件，每个零件的尺寸和重量都不一样。
这时候，你就需要用到建模了。
建模的方法有很多，比如线性规划、整数规划、网络流等等。
这些方法就像各种交通工具，帮你高效地运送材料。
举个例子，假设你要生产一批汽车零件，每个零件的重量和尺寸都不一样。
这时，你就可以用线性规划来建模。
线性规划就像是一条直线，它告诉你在这条线上，哪些地方可以放置零件，哪些地方不能放，这样就能保证零件的质量。
而整数规划呢，就像是一些特殊的点，它们的位置是固定的，不能移动。
网络流则像是一张网，它把各个工厂、仓库连起来，让材料能够高效地流动。
当然啦，建模只是第一步，实际操作才是关键。
你需要根据模型来制定计划，然后分配资源。
在这个过程中，你可能会遇到各种问题，比如材料不够、机器故障、工人罢工等等。
这时候，你就要灵活应变，根据实际情况调整计划。
就像我们在做饭时，有时候需要加点儿调料，有时候要换个做法，这样才能做出好吃的菜来。
我想说，下料问题虽然复杂，但只要我们用心去建模、去实践，就一定能找到解决问题的办法。
就像我们在厨房里，通过不断的尝试和创新，最终能做出一道道美味的大餐一样。
所以，别担心下料问题会难倒你，只要你肯动脑筋，有耐心，就一定能搞定！好了，今天的分享就到这里。
如果你对下料问题还有疑问，或者想听听更多关于建模的小窍门，记得关注我哦！我们下期再见！。
钢管下料数学建模一、引言钢管下料是工业生产中常见的一项工艺，它涉及到如何将原始的钢管按照预定的尺寸进行切割，以便于后续加工和使用。
在进行钢管下料时，数学建模可以帮助我们计算出最佳的下料方案，以最大程度地减少浪费，提高生产效率。
本文将以钢管下料数学建模为主题，探讨如何利用数学方法求解钢管下料问题。
二、问题描述假设有一根长度为L的钢管，需要按照给定的尺寸进行切割。
切割时需要考虑以下几个因素：1. 切割后的钢管长度需要满足给定的要求；2. 切割时需要考虑钢管的浪费情况，即尽量减少剩余钢管的长度；3. 切割时需要考虑生产效率，即尽量减少切割次数。
三、数学建模钢管下料问题可以抽象为一个数学模型，通过建立数学模型，我们可以计算出最佳的下料方案。
下面将介绍两种常见的数学建模方法。
1. 贪心算法贪心算法是一种简单而常用的数学建模方法，它通过每一步都选择局部最优解来达到全局最优解。
在钢管下料问题中，贪心算法可以按照以下步骤进行：1）将钢管初始长度L赋值给一个变量remain；2）根据给定的尺寸要求，选择一个长度小于等于remain的最大钢管尺寸，将其切割出来；3）将remain减去切割出来的钢管长度，得到剩余的钢管长度；4）重复步骤2和3，直到remain小于等于0。
2. 动态规划动态规划是一种更加复杂但是更加精确的数学建模方法，它通过将原问题划分为多个子问题，并保存子问题的解来求解原问题。
在钢管下料问题中，动态规划可以按照以下步骤进行：1）建立一个长度为L+1的数组dp，dp[i]表示长度为i的钢管的最佳下料方案所需的最少切割次数；2）初始化dp数组，将dp[0]设置为0，其余元素设置为正无穷大；3）从长度为1开始，依次计算dp[1]、dp[2]、...、dp[L]的值；4）最终dp[L]即为所求的最佳下料方案所需的最少切割次数。
四、案例分析为了更好地理解钢管下料数学建模，我们以一个具体的案例进行分析。
假设有一根长度为9米的钢管，需要切割成长度分别为2米、3米和4米的三段钢管。
钢管下料数学建模
钢管下料数学建模需要考虑以下几个方面：
1.确定下料长度：根据实际需要，确定每段钢管的下料长度。
这需
要考虑管道的使用场合、管径、壁厚等因素。
2.计算下料余量：在实际下料过程中，需要留有一定的余量，以防
止切割误差或加工误差导致下料长度不足。
一般建议留出
0.5-1mm的余量。
3.建立数学模型：根据实际需要，可以建立数学模型来优化下料过
程。
例如，可以通过优化算法来寻找最短的下料长度组合，或者通过建立数学方程来计算下料长度等。
4.考虑切割角度：在某些情况下，需要对钢管进行切割角度的调整，
以适应实际安装或加工需要。
这时需要在数学模型中考虑切割角度的影响。
5.确定加工误差：需要考虑加工误差对下料长度的影响。
加工误差
包括切割误差、打磨误差、钻孔误差等。
总体来说，钢管下料数学建模需要考虑实际应用场景、管材特性、加工设备等因素，以建立符合实际需求的数学模型。
B 题： 实用下料问题“下料问题(cutting stock problem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用. 这里的“实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。
现考虑单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为L ,宽度为W ，现在需要将一批这种长方形原料分割成m 种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为),(,),,(11m m w l w l ，其中w i ＜m i W w L l i i ,,1,, =<<. m 种零件的需求量分别为m n n ,,1 .下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。
这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。
特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即m i W w i ,,1, ==，则问题称为一维下料问题。
一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经济效益。
其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。
因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。
此外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。
因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小.请你们为某企业考虑下面两个问题。
1． 建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题，制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料数，所采用的下料方式数和废料总长度. 单一原材料的长度为 3000mm, 需要完成一项有53种不同长度零件的下料任务. 具体数据见表一，其中 i l 为需求零件的长度，i n 为需求零件的数量. 此外，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm. 据估计，该企业每天最大下料能力是100块 ，要求在4天内完成的零件标号(i )为: 5,7,9,12,15,18,20,25,28,36,48; 要求不迟于6天完成的零件标号(i )为:4,11,24,29,32,38,40,46,50. (提示：可分层建模。
防盗窗下料问题摘要本文针对寻找经济效果最优的钢管下料方案，建立了优化模型。
问题中的圆形管下料设定目标为切割原料圆形管数量尽可能少且在使用一定数量圆形管的过程中使被切割利用过的原料总进价尽可能低。
问题中的方形管原料不足以提供所需截得的所用钢管，故设目标为使截得后剩余方形管总余量最小。
模型的建立过程中，首先运用了C语言程序，利用逐层分析方法，罗列出针对一根钢材的截取模式；然后根据条件得出约束关系，写出函数关系并对圆形管下料建立了线性模型，对方形管下料建立了非线性模型；接着，在对模型按实际情况进行简化后，借助lingo程序对模型求解，得出了模型的最优解，并给出了最符合经济效果最优原则的截取方案。
关键词：钢管下料；最优化；lingo；问题提出某不锈钢装饰公司承接了一住宅小区的防盗窗安装工程，为此购进了一批型号为304的不锈钢管，分为方形管和圆形管两种，方管规格为25×25×1.2(mm),圆管规格Φ19×1.2(mm)。
每种管管长有4米和6米两种，其中4米圆形管5000根，6米圆形管9000根，4米方形管2000根，6米方形管2000根。
根据小区的实际情况，需要截取1.2m圆管8000根， 1.5m圆管16500根，1.8m圆管12000根，1.4m方形管6000根，1.7m方形管4200根，3m方形管2800根。
请根据上述的实际情况建立数学模型，寻找经济效果最优的下料方案。
基本假设和符号说明1、假设钢管切割过程中无原料损耗或损坏；2、假设余料不可焊接；3、假设同种钢材可采用的切割模式数量不限；4、假设不同长度钢管运费、存储资源价值没有区别；5、假设该304型号不锈钢管未经切割则价值不变，可在其它地方使用。
为便于描述问题，文中引入一些符号来代替基本变量，如表一所示：问题分析与模型建立问题中的圆形管原料足够，寻找经济效果最优的下料方案，即目标为切割原料圆形管数量尽可能少。
考虑到6米圆形管与4米圆形管的采购价格应该是不同的，所以我们寻求的是在使用一定数量6米圆形管与4米圆形管的过程中使被切割利用过的原料总进价尽可能低。
