高一数学集合间的基本关系的知识点

高一数学集合间的基本关系的知识点

1.1.2集合间的基本关系

1.Venn图

在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.

比如，中国的直辖市组成的集合为A，用Venn图表示如图所示.

【例1】试用Venn图表示集合A={x|x2-16=0}.

解：集合A是方程x2-16=0的解集，解方程x2-16=0，得x1=4，x2=-4，所以A={-4,4}，用Venn图表示如图所示.

对Venn图的理解Venn图表示集合直观、明确，封闭曲线可以是矩形、椭圆或圆等等，没有限制.

2.子集

定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.记法

与读法记作AB(或BA)，读作“A含于B”(或“B包含A”).图示或示例具有北京市东城区户口的人组成集合M，具有北京市户口的人组成集合P，由于任意一个具有北京市东城区户口的人都具有北京市户口，所以有MP.结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA.

(2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC.对子集的理解(1)“AB”的含义：若xA就能推出xB.

(2)集合A是集合B的子集不能理解为集合A是由集合B中的“部分元素”组成的，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.

(3)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A.此时记作AB或BA. (4)注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N;“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N.

【例2-1】已知集合M={0,1}，集合N={0,2,1-m}，若MN，则实数m=__________.

解析：由题意知MN，又集合M={0,1}，因此1N，即1-m=1.故m=0.

答案：0

【例2-2】已知集合M={xZ|-1≤x<3}，N={x|x=|y|，yM}，试判断集合M，N的关系.

解：∵xZ，且-1≤x<3，

∴x的可能取值为-1,0,1,2.

∴M={-1,0,1,2}.

又∵yM，

∴|y|分别是0,1,2.

∴N={0,1,2}.

∴NM.

3.集合相等

如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，那么集合A与集合B相等，记作A=B.用Venn图表示如图所示.

对集合相等的理解(1)A=BAB，且BA，这是证明两个集合相等的重要依据;

(2)集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等; (3)同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在;

(4)集合中的关系与实数中的结论类比

实数集合a≤b包含两层含义：a=b，或a

A.P={1,4,7}，Q={1,4,6}

B.P={x|2x+2=0}，Q={-1}

C.3P,3Q

D.PQ

解析：对于A项，7P，而7Q，故P≠Q;对于B项，P={x|2x+2=0}={-1}=Q;对于C项，由3P,3Q，不能确定PQ，QP是否同时成立;对于D项，仅由PQ无法确定P与Q是否相等.

答案：B

【例3-2】设集合A={x，y}，B={0，x2}，若A=B，求实数x，y的值.

解：由集合相等的定义，得或

(1)由得x=0，y=0，不满足集合中元素的互异性，故舍去;

(2)由得x=0，y=0或x=1，y=0，由(1)知x=0，y=0应舍去，x=1，y=0符合集合中元素的互异性.

综上，可得x=1，y=0.

4.真子集

定义如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集.记法记作AB(或BA).图示结论(1)AB且BC，则AC;

(2)AB且A≠B，则AB.对真子集的理解(1)若集合A是集合B的子集，则集合A中所有元素都属于集合B，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A; (2)子集包括集合相等与真子集两种情况，真子集是以子集为前提的.若集合A不是集合B的子集，则集合A一定不是集合B的真子集;

(3)与任何集合是它自身的子集不同，任何集合都不是它自身的真子集.

【例4】已知集合P={2012,2013}，Q={2011,2012，2013，2014}，则有()

A.P=QB.QP

C.PQD.QP

解析：很明显，集合P中的元素都属于集合Q，则PQ，但是2014Q,2014P，所以PQ.

答案：C

5.空集

定义我们把不含任何元素的集合，叫做空集.记法规定空集是任何集合的子集，即A特性(1)空集只有一个子集，即它本身，

(2)是任何非空集合的真子集，即若A≠，则A{0}与的区别

{0}与

的区别{0}是含有一个元素的集合是不含任何元素的集合，因此{0}，注意不能写成={0}，{0}【例5-1】下列集合为空集的是()

A.{0}B.{1}

C.{x|x<0}D.{x|1+x2=0}

解析：很明显{0}和{1}都不是空集;因为{x|x<0}是全体负数组成的集合，所以{x|x<0}也不是空集;集合{x|1+x2=0}是一元二次方程1+x2=0的解集，但是方程1+x2=0无实数解，所以{x|1+x2=0}=.

答案：D 【例5-2】有下列命题：①空集没有子集;②任一集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若A，则A≠.其中正确的有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

解析：对于①，空集是任何集合的子集，故，①错;对于②，只有一个子集，是其自身，②错;对于③，空集不是空集的真子集，③错;空集是任何非空集合的真子集，④正确.

答案：B

6.集合间的关系判断

(1)集合A，B间的关系

(2)判断两集合间关系的关键是弄清所给集合是由哪些元素组成的，也就是把抽象的集合具体化，这就要求熟练地用自然语言、符号语言(列举法和描述法)、图形语言(Venn图)来表示集合.

(3)判断集合间的关系，其方法主要有三种：

①一一列举观察;

②集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.

一般地，设集合A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，若p(x)推出q(x)，则AB;若q(x)推出p(x)，则BA;若p(x)，q(x)互相推出，则A=B;若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系.

③数形结合法：利用数轴或Venn图.

(4)当MN和MN均成立时，MN比MN更准确地反映了集合M和N的关系.当MN和M=N均成立时，M=N比MN更准确地反映了集合M和N的关系.

例如，集合M={1}，集合N={1,2}，这时MN和MN均成立，MN比MN更准确地反映了集合M={1}和集合N={1,2}的关系.又例如，集合M={3}，集合N={3}，这时MN，NM，M=N均成立，M=N比MN更准确地反映了集合M={3}和集合N={3}的关系.【例6-1】指出下列各对集合之间的关系：

(1)A={-1,1}，B={(-1，-1)，(-1,1)，(1，-1)，(1,1)};

(2)A={x|x是等边三角形}，B={x|x是等腰三角形};

(3)A={x|-1

(4)M={x|x=2n-1，nN*}，N={x|x=2n+1，nN*}.

分析：先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合之间的关系.

解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.

(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.

(3)集合B={x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB.

(4)由列举法知M={1,3,5,7，…}，N={3,5,7,9，…}，故NM.

怎样用数轴表示集合对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法.注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示;若端点值不是集合的元素，则用空心点表示.

【例6-2】已知集合，，则集合M，N的关系是()

A.MNB.MN

C.NMD.NM

解析：设n=2m或2m+1，mZ，

则有

.

又∵， ∴MN.

答案：B

7.求已知集合的子集(或真子集)

(1)在写出某个集合的子集时，可以按照集合中元素的个数从无到有、从少到多的顺序依次写出，要做到不重不漏.一定要考虑这一特殊的集合，因为是任何集合的子集;若是要求写出某个集合的真子集，则不能将集合自身计算在内，因为任何一个集合都是它自身的子集，但不是它自身的真子集.

例如：写出集合{1,2,3}的所有子集和真子集.我们可以按照元素个数从少到多依次写出，其中元素个数分别为0,1,2,3.可以得到集合{1,2,3}的所有子集为，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3};所有真子集为，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}.

(2)当集合A中含有n个元素时，其子集的个数为2n，真子集的个数为2n-1，非空子集的个数为2n-1，非空真子集的个数为2n-2.

【例7-1】已知集合M满足{1,2}M{1,2,3,4,5}，请写出集合M.

分析：根据题目给出的条件可知，集合M中至少含有元素1,2，至多含有元素1,2,3,4,5，且M中必须含有元素1,2，故可按M中所含元素的个数分类写出集合M.

解：(1)当M中含有两个元素时，M为{1,2};

(2)当M中含有三个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1，2,5};

(3)当M中含有四个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5};

(4)当M中含有五个元素时，M为{1,2,3,4,5}.

因此满足条件的集合M为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}.

有限集合子集的确定技巧(1)确定所求的集合;