高中数学学业水平测试必背知识点

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高中数学学业水平测试必背知识点

必修一

一、 集合与函数概念

并集：由集合A和集合B的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。记作：A∪B

交集：由集合A和集合B的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作：A∩B

补集：就是作差。

1、集合naaa,...,,21的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子有2n–2个.

2、（1）函数定义域：①分母不为0；②开偶次方被开方数0；③指数的真数属于R、对数的真数0.

3、函数的单调性：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

4、奇函数：是()()fxfx-=-，函数图象关于原点对称（若0x在其定义域内，则(0)0f）；

偶函数：是()()fxfx-=，函数图象关于y轴对称。

5、指数幂的含义及其运算性质：

（1）函数)10(aaayx且叫做指数函数。

（2）指数函数(0,1)xyaaa当 01a为减函数，当 1a为增函数；

①rsrsaaa；②()rsrsaa；③()(0,0,,)rrrabababrsQ。

（3）指数函数的图象和性质

xay 0 < a < 1 a > 1

图 象

性

质

定义域 R

值域 (0 , +∞)

定点 过定点（0，1），即x = 0时，y = 1

（1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 < y < 1。

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（2）0 < a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1。

单调性 在R上是减函数 在R上是增函数

对称性 xya和xya关于y轴对称

奇偶性 非奇非偶函数

7、对数函数的含义及其运算性质：

（1）函数log(0,1)ayxaa叫对数函数。

（2）对数函数log(0,1)ayxaa当 01a为减函数，当 1a为增函数；

①负数和零没有对数；②1的对数等于0 ：01loga；③底真相同的对数等于1：1logaa，

（3）对数的运算性质：如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么：

①NMMNaaalogloglog； ②NMNMaaalogloglog；

③)(loglogRnMnMana。

（4）换底公式：)0,10,10(logloglogbccaaabbcca且且

(5)对数函数的图象和性质：

xyalog 0 < a < 1 a > 1

图

象

定义域 (0 , +∞)

值域 R

性

质 （1）过定点（1，0），即x = 1时，y = 0

（2）在R上是减函数 （2）在R上是增函数

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3 （3）同正异负，即0 < a < 1 , 0 < x < 1或a > 1 , x > 1时，log a x > 0；

0 < a < 1 , x > 1或a > 1 , 0 < x < 1时，log a x < 0。

（4）非寄非偶函数。

8、幂函数：函数xy叫做幂函数（只考虑21,1,3,2,1的图象）。

9、方程的根与函数的零点：如果函数)(xfy在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么，函数)(xfy在区间 (a , b) 内有零点，即存在),(bac，使得0)(cf，这个c也就是方程0)(xf的根。

必修二

一、直线 平面 简单的几何体

1、长方体的对角线长2222cbal；正方体的对角线长al3

2、球的体积公式： 334　Rv； 球的表面积公式：24　RS

3、柱体、锥体、台体的体积公式：

柱体V=Sh (S为底面积，h为柱体高)； 锥体V=Sh31 (S为底面积，h为柱体高)

台体V=31(S’+SS'+S)h (S’, S分别为上、下底面积，h为台体高)

4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理：

（1）四公理三推论:

公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。

公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。

推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

（2）空间线线，线面，面面的位置关系：

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空间两条直线的位置关系：

相交直线——有且仅有一个公共点；

平行直线——在同一平面内，没有公共点；

异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。

空间直线和平面的位置关系：

（1）直线在平面内（无数个公共点）；

（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；

（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aAI，//a。

空间平面和平面的位置关系：

（1）两个平面平行——没有公共点；

（2）两个平面相交——有一条公共直线。

5、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。

符号表示：////abaab。 图形表示：

6、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

符号表示：//////ababPabI。图形表示：

7、. 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。

符号表示：////aaabbI。 图形表示：

8、两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的平行。符号表示：

9、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么

这条直线垂直于这个平面。符号表示：

//,,//ababII,,,,ababPlalblI

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5 10、.两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

符号表示：

11、直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

符号表示：//aabb。

12、平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。符号表示：

13、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。

直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。（如右图）

14、异面直线所成角的取值范围是90,0；

直线与平面所成角的取值范围是90,0；

二面角的取值范围是180,0；

两个向量所成角的取值范围是180,0

二、直线和圆的方程

1、斜 率：tank，),(k；直线上两点),(),,(222111yxPyxP，则斜率为

2、直线的五种方程 ：

（1）点斜式 11()yykxx (直线l过点111(,)Pxy，且斜率为k)．

（2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

（3）两点式112121yyxxyyxx( (111(,)Pxy、222(,)Pxy； (12xx)、(12yy)).

(4)截距式 1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)

（5）一般式 0AxByC(其中A、B不同时为0).

3、两条直线的平行、重合和垂直：

(1)若111:lykxb，222:lykxb

①1l‖1212bkkl且≠;2b

②22121bbkkll且重合时与；

③12121llkk.

(2)若1111:0lAxByC,2222:0lAxByC,且A1、A2、B1、B2都不为零,

①11112222||ABCllABC；②1212120llAABB

4、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的距离公式 │P1P2│=212212)()(yyxx

5、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的中点坐标公式 M（221xx，221yy） 2121yykxx,ll,,.lmlmlIPHl

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ax2+bx+c=0(a≠0) 6、点P（x0，y0）到直线（直线方程必须化为一般式）Ax+By+C=0的距离公式d=2200BACByAx

7、平行直线Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0的距离公式d=2212BACC

8、圆的方程：标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为r；

一般方程220xyDxEyF，（配方：44)2()2(2222FEDEyDx）

0422FED时，表示一个以)2,2(ED为圆心，半径为FED42122的圆；

9、点与圆的位置关系：

点00(,)Pxy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种：

若2200()()daxby，则

dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.

10、直线与圆的位置关系：

直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:

0相离rd;0相切rd;

0相交rd.其中22BACBbAad.

11、弦长公式：

若直线y=kx+b与二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交于A(x1，y1)，B（x2，y2）两点，则由

二次曲线方程

y=kx+m

则知直线与二次曲线相交所截得弦长为：

AB=212212)()(yyxx

=21k21xx =21221241xxxxk）（）（

=2122122124)()11(11yyyykyyk

=aacbk4122

13、 空间直角坐标系，两点之间的距离公式：

⑴ xoy平面上的点的坐标的特征A（x，y，0）：竖坐标z=0

xoz平面上的点的坐标的特征B（x，0，z）：纵坐标y=0 zyxFEDCBAXYZO