2020—2021学年人教版九年级数学下册第27章《相似》常考题型综合练习五( 含答案)

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九年级数学下册第27章《相似》常考题型综合练习五

1．如图，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，BE平分∠ABC且交AD于点P，交CD的延长线于点E；作EO交AD于点F，交BC于点G．

（1）求证：DF＝BG；

（2）若AB＝6，AD＝9，求DF的长．

2．已知：如图，在△ABC中，点D为边BC上的点，＝，∠BAD＝∠CAE．

（1）求证：△BAC∽△DAE；

（2）当∠BAC＝90°时，求证：EC⊥BC．

3．探究：如图①，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高线，以点D为中点作线段EF，且EF不与BC边重合，以EF为边作等边三角形EFG，连结AG，GD，CF．求证：△ADG∽△CDF；

应用：如图②，将线段EF绕着点D逆时针旋转，当点F落在AD上时，延长CF交AG于点H，求∠AHF的度数．

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4．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上，∠EDF＝60°．

（1）当点D为AB中点时，且∠EDF的两边分别交线段AC、BC于点E、F，连接CD，过点D作DG⊥AC于点G，DH⊥BC于点H，如图（1），求证：DE＝DF；

（2）过C作BC的垂线交AB恰好为D，若∠EDF的两边分别交线段AC、BC于点E，F，如图（2），求的值．

5．阅读下列短文：

图1所示的是两个相似的长方体，它们的相似比为3：5，求它们的体积之比．

解：长方体（甲）的体积是3a•3b•3c＝33abc，长方体（乙）的体积是5a•5b•5c＝53abc，

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所以长方体（甲）与长方体（乙）的体积的比是33abc：53abc＝33：53＝（3：5）3，所以，相似形的体积之比，等于它的相似比的立方．

请仿上例解答下题：

鱼是一种高蛋白食物，所以谁都希望买到价廉物美的鱼．假定现在市场上出售同一种鱼（体形是相似形），以大小论价，大鱼A每斤1.5元，小鱼B每斤1元．如果大鱼的高度为13厘米，小鱼的高度为10厘米（图2所示），那么买哪种鱼更便宜呢？

6．如图，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：

（1）△DFB∽△AFD；

（2）AB：AC＝DF：AF．

7．小明和小强晚上在路灯下朝着路灯的方向行走（小明、小强和路灯在同一条直线上）从下面两人的对话中请你计算出路灯的高度．

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（1）写出两对相似三角形；

（2）计算路灯的高度．

8．如图，AE是等边三角形ABC边BC上的高，AB＝4，DC⊥BC，垂足为C，CD＝，BD与AE、AC分别交于点F、M．

（1）求AF的长；

（2）求证：AM：CM＝3：2；

（3）求△BCM的面积．

9．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC

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重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF交于AC于M点．

（1）求证：△ABE∽△ECM；

（2）探究：在△DEF运动过程中，△DEF与△ABC的重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

10．有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．

（1）问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖善于反思，她又提出了如下的问题．

（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，

这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请计算．

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参考答案

1．（1）证明：连接FB、DG，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CD，又BO＝OD，

∴GO＝OF，

∴四边形FBGD是平行四边形，

∴DF＝BG；

（2）∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE，

∵AD∥BC，

∴∠APB＝∠EBC，

∴∠ABE＝∠APB，

∴AP＝AB＝6，

∴PD＝9﹣6＝3，

∵AD∥BC，PD＝3，BC＝9，

∴＝，又BG＝DF，

∴PF＝DF，又PD＝3，

∴DF＝．

2．（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，

∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，即∠DAE，

∵＝，

∴＝，

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∴△BAC∽△DAE；

（2）解：∵△BAC∽△DAE，

∴∠B＝∠ACE，

∵∠BAC＝90°，

∴∠B+∠ACB＝90°，

∴∠ACB+∠ACB＝90°，即∠BCE＝90°，

∴EC⊥BC．

3．解：探究：如图①∵△EFG是等边三角形，D是EF的中点，

∴GD⊥EF，

∵AD⊥BC，

∴∠ADF+∠ADG＝∠CDF+∠ADF，

∴∠ADG＝∠CDF，

∵△ABC与△EFG是等边三角形，

∴△ABC∽△EFG，

∴，

∴△ADG∽△CDF；

应用：如图②，

∵△ADG∽△CDF，

∴∠GAD＝∠FCD，

∵∠FDC＝90°，∠AFH＝∠CFD，

∴∠GAD+∠AFH＝∠FCD+∠CFD＝90°，

∴∠AHF＝90°．

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4．（1）证明：∵DG⊥AC，DH⊥BC，

∴∠DGE＝∠DHF＝90°，

∵AC＝BC，点D为AB中点，

∴CD平分∠ACB，

∴DG＝DH，

∵∠ACB＝120°，∠EDF＝60°，

∴∠DEC+∠DFH＝180°，

∵∠DEC+∠DEG＝180°，

∴∠DFH＝∠DEG，

在△DGE与△DHF中，

，

∴△DGE≌△DHF，

∴DE＝DF，

（2）∵CD⊥BC，

∴∠DCB＝90°，

∵∠ACB＝120°，AC＝BC，

∴∠ACD＝∠A＝∠B＝30°，

∴BD＝2CD，∴∠BDC＝60°，

∴∠BDF+∠CDF＝60°，

∵∠EDF＝60°，

∴∠CDF+CDE＝60°，

∴∠CDE＝∠BDF，

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∴△CDE∽△BDF，

∴．

5．解：大鱼A与小鱼B相似比为13：10，

则大鱼A与小鱼B体积之比（）3＝2.197，

而其价格比是1.5：1＝1.5，A的体积是B的2.197倍，买大鱼A比买小鱼B合算．

6．解：（1）∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，

∴∠BAC＝∠ADB＝90°，

∴∠BAD+∠ABD＝∠ABD+∠C＝90°，

∴∠BAD＝∠C，

∵E是AC的中点，

∴DE＝CE，

∴∠C＝∠EDC，

∵∠EDC＝∠BDF，

∴∠BAD＝∠BDF，

∵∠F＝∠F，

∴△DFB∽△AFD；

（2）∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∴∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，

∴∠BAD＝∠ACD，

∵∠ADB＝∠ADC，

∴△ABD∽△CAD；

∴＝，

∵△DFB∽△AFD；

∴，

∴AB：AC＝DF：AF．

7．解：（1）△ABN～△EFN△ABM～△CDM；

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（2）根据题意，MN＝FD＝0.5米，

∵△ABM∽△CDM，

∴＝，即＝﹣﹣﹣﹣﹣①，

∵△ABN∽△EFN，

∴＝，即＝﹣﹣﹣﹣﹣②，

①②两式联立解得AB＝10．

故路灯的高度10米．

8．解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC＝4，

∵AE⊥BC，

∴BE＝BC＝2，AE＝2，

∵DC⊥BC，

∴CD∥AE，

∴EF＝CD＝，

∴AF＝AE﹣EF＝；

（2）∵AF∥CD，

∴△AFM∽△CDM，

∴，

由（1）知，AF＝，CD＝，

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∴AM：CM＝AF：CD＝3：2；

（3）过M作MN⊥BC于N，

∴MN∥AE，

∴△CMN≌△CAE，

∴，

由（2）知AM：CM＝3：2；

∴CM：AC＝2：5，

∴MN＝，

∴S△BCM＝BC•MN＝＝．

9．（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵△ABC≌△DEF，

∴∠AEF＝∠B，

又∵∠AEF+∠CEM＝∠AEC＝∠B+∠BAE，

∴∠CEM＝∠BAE，

∴△ABE∽△ECM；

（2）能．

解：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，

∴∠AME＞∠AEF，

∴AE≠AM；

当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，

∴CE＝AB＝5，