人教版九年级数学下《第27章相似》专项训练含答案

人教版九年级下册数学第27章相似单元综合测试卷一．选择题（共8小题，满分40分）1．若x﹣3y＝0且y≠0，则的值为（）A．11B．﹣C．D．﹣112．已知线段AB＝2，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则线段AP的长为（）A．+1B．﹣1C．D．3．下列图形一定是相似图形的是（）A．任意两个菱形B．任意两个正三角形C．两个等腰三角形D．两个矩形4．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（）A．B．C．D．5．如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知△ABC相似（）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，点H为AF与DG的交点．若AC＝9，则DH为（）A．1B．2C．D．37．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，CD＝6，BD＝4，则AB的长为（）A．10B．11C．12D．138．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（）A．﹣2a+3B．﹣2a+1C．﹣2a+2D．﹣2a﹣2二．填空题（共8小题，满分40分）9．已知：＝，则＝．10．已知A、B两地的实际距离为100千米，地图上的比例尺为1：2000000，则A、B两地在地图上的距离是cm．11．在△OAB中，OA＝OB，点C在直线AB上，BC＝3AC，点E为OA边的中点，连接OC，射线BE交OC于点G，则的值为．12．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为．13．如图，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC，若∠A＝60°，EF＝2，则BC＝．14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从点A出发，沿着A→C→A的方向运动，设点E的运动时间为秒（0≤t≤12），连接DE，当△CDE是直角三角形时，t的值为．15．△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，点E在AB边上，∠BEC＝2∠ABC，若AB＝9，DE＝1，则AD的长为．16．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的两倍，得到线段AB，则线段AB的中点E的坐标为．三．解答题（共6小题，满分40分）17．阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且＝，求证：＝．证明：∵＝，∴+1＝+1．∴＝．根据以上方法，解答下列问题：（1）若＝，求的值；（2）若＝，且a≠b，c≠d，证明＝．18．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对应的边间距都为1，DE＝15，求△DEF的面积．19．如图，已知△ABC∽△DEC，∠D＝45°，∠ACB＝60°，AC＝3cm，BC＝4cm，CE＝6cm．求：（1）∠B的度数；（2）AD的长．20．阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是．21．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？22．如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：∵x﹣3y＝0且y≠0，∴x＝3y，∴＝＝．故选：C．2．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝×AB＝×2＝﹣1，故选：B．3．解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；B、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意．故选：B．4．解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵DE＝3，DF＝8，∴，即＝，故选：B．5．解：根据题意得：AC＝＝，AB＝＝，BC＝1，∴BC：AB：AC＝1：：，A、三边之比为1：：，选项A符合题意；B、三边之比：：3，选项B不符合题意；C、三边之比为2：：，选项C不符合题意；D、三边之比为：：4，选项D不符合题意．故选：A．6．解：∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，∴DH＝EF，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝，即＝，解得：EF＝3，∴DH＝EF＝×3＝，故选：C．7．解：根据射影定理，CD2＝AD•BD，∴AD＝9，∴AB＝AD+BD＝13．故选：D．8．解：设点B′的横坐标为x，则B、C间的水平距离为a﹣1，B′、C间的水平距离为﹣x+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2（a﹣1）＝﹣x+1，解得：x＝﹣2a+3，故选：A．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：∵＝，∴＝，设a＝2k，b＝3k，∴＝＝＝﹣，故答案为：﹣．10．解：根据比例尺＝图上距离：实际距离．100千米＝10000000厘米得：A，B两地的图上距离为10000000÷2000000＝5cm，故答案为：5．11．解：如图1，点C在线段AB上，过E作EF∥AB交OC于F，∵点E为OA边的中点，EF∥AB，∴OF＝CF，∴EF＝AC，∵BC＝3AC，∴BC＝6EF，∵EF∥AB，∴，∴CG＝6FG，∴FC＝OF＝7FG，∴OG＝OF+FG＝8FG，∴＝＝；如图2，点C在线段BA的延长线上，过E作ED∥BC交OC于D，∵点E为OA边的中点，ED∥BC，∴OD＝CD，∴DE＝AC，即AC＝2DE，∵BC＝3AC，∴BC＝6DE，∵ED∥BC，∴，∴CG＝6DG，∴CD＝OD＝5DG，∴OG＝OD﹣DG＝4DG，∴＝＝；故答案为：或．12．解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，∴∠B＝∠D＝90°，∴当时，△ABP∽△CDP，即；解得x＝，BP＝14﹣＝8.4；当时，△ABP∽△PDC，即；整理得x2﹣14x+24＝0，解得x1＝2，x2＝12，BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2，∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．故答案为：8.4或2或12．13．解：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AFB∽△AEC，∴，即，又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BF⊥AC，且∠A＝60°，∴∠ABF＝30°，∴AF＝AB，∴BC＝2EF＝4．故答案为：4．14．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝4cm，∴AC＝2BC＝8cm，∵D为BC中点，∴CD＝2cm，∵0≤t≤12，∴E点的运动路线为从A到C，再从C到AC的中点，按运动时间分为0≤t≤8和8＜t≤12两种情况，①当0≤t≤8时，AE＝tcm，CE＝BC﹣AE＝（8﹣t）cm，当∠EDC＝90°时，则有AB∥ED，∵D为BC中点，∴E为AC中点，此时AE＝4cm，可得t＝4；当∠DEC＝90°时，∵∠DEC＝∠B，∠C＝∠C，∴△CED∽△BCA，∴，即，解得t＝7；②当8＜t≤12时，则此时E点又经过t＝7秒时的位置，此时t＝8+1＝9；当t＝12时，此时E点在AC的中点，DE∥AB，此时△CDE是直角三角形．综上可知t的值为4或7或9或12，故答案为：4或7或9或1215．解：以C为圆心，CE长为半径画弧，交AB于F，则CE＝CF，∴∠CFE＝∠BEC＝2∠ABC，∵∠CFE＝∠ABC+∠BCF，∴∠ABC＝∠BCF，∴BF＝CF，∵CD⊥AB，∴DF＝DE＝1，设BF＝CF＝x，∵AB＝9，∴AD＝8﹣x，∵∠ACB＝∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠ACD+∠A＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴CD2＝AD•BD＝x（8﹣x），又∵CD2＝CF2﹣DF2＝x2﹣12，∴x（8﹣x）＝x2﹣12，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝，∴BF＝，∴AD＝AB﹣BF﹣DF＝9﹣﹣1＝．故答案为：．16．解：∵C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的两倍，∴A（6，6），B（8，2），∵E是AB中点，∴E（7，4），故答案为：（7，4）．三．解答题（共6小题，满分40分）17．解：（1）∵＝，∴＝+1＝+1＝．（2）∵＝，∴﹣1＝﹣1，∴＝，∵＝，∴÷＝÷，∴＝．18．解：（1）观点一正确；观点二不正确．理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，∴AB∥DE，AC∥DF，∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，∴△ABC∽△DEF，∴观点一正确；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，则新矩形邻边为4和8，∵＝，＝，∴，∴新矩形于原矩形不相似，∴观点二不正确；（2）如图（3），延长DA、EB交于点O，∵A到DE、DF的距离都为1，∴DA是∠FDE的角平分线，同理，EB是∠DEF的角平分线，∴点O是△ABC的内心，∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴△ABC是直角三角形，设△ABC的内切圆的半径为r，则6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2，过点O作OH⊥DE于点H，交AB于G，∵AB∥DE，∴OG⊥AB，∴OG＝r＝2，∴＝＝，同理＝＝＝，∴DF＝9，EF＝12，∴△DEF的面积为：×9×12＝54．19．解：（1）∵△ABC∽△DEC，∴∠B＝∠E，∠A＝∠D＝45°，∵∠ACB＝60°，∴∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°；（2）∵△ABC∽△DEC，∴＝，∵AC＝3cm，BC＝4cm，CE＝6cm，∴＝，∴DC＝（cm），故AD＝3+＝（cm）．20．（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，∵CE∥AD，∴＝，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴＝；（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝5，∵AD平分∠BAC，∴＝，即＝，∴BD＝BC＝，∴AD＝＝＝，∴△ABD的周长＝+3+＝．故答案为．21．解：（1）在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理知PD＝＝＝，∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP＝﹣1，DM＝AD﹣AM＝3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于＝，∴点M是AD的黄金分割点．22．解：设运动了ts，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，则AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时，，即，解得：t＝；当△APQ∽△ACB时，，即，解得：t＝4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．。

人教版数学九年级下册第二十七章相似习题练习（附答案）一、选择题1.如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及x，那么x的值()A．只有一个B．可以有2个C．可以有3个D．无数个2.如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D.①△OB1C∽△OA1D;②OA·OC＝OB·OD；③OC·G＝OD·F1；④F＝F1.其中正确的说法有()A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个3.如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB延长线于E，则图中一定相似的三角形是()A．△AED与△ACBB．△AEB与△ACDC．△BAE与△ACED．△AEC与△DAC4.如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD.且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是()A ． 6米B ． 8米C ． 10米D ． 12米5.如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 的三个顶点均在格点上，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABC 缩小，则点C 的对应点C ′的坐标为( )A ． (1，32)B ． (2,6)C ． (2,6)或(－2，－6)D ． (1，32)或(－1，−32)6.如图，AD ∥BC ，∠D ＝90°，AD ＝2，BC ＝5，DC ＝8.若在边DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个7.志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费( )A ． 540元B ． 1 080元C ． 1 620元D ． 1 800元8.△ABC 的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF 的最短边是9 cm ，则其最长边的长是( ) A ． 5 cm B ． 10 cm C ． 15 cm D ． 30 cm9.如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论中正确的是( )A ．CD EF ＝AD AFB ．AB CD ＝BC ECC．ADBC ＝AFBED．CEBE ＝AFAD10.如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为()A． 4∶9B． 2∶5C． 2∶3D．√2∶√311.若a5＝b7＝c8，且3a－2b＋c＝3，则2a＋4b－3c的值是()A． 14 B． 42 C． 7 D．14312.一个数与3、4、6能组成比例，这个数是()A． 2或8B． 8 或4.5C． 4.5 或2D． 2,8或4.513.两个相似三角形的面积比为1∶4，那么它们的周长比为()A． 1∶√2B． 2∶1 C． 1∶4 D． 1∶2二、填空题14.如图，已知△ABC中，D为BC中点，E，F为AB边三等分点，AD分别交CE，CF于点M，N，则AM∶MN∶ND等于____________．15.如图所示，已知∠DAB＝∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是________________．(写出一个即可)16.如图，AD ＝DF ＝FB ，DE ∥FG ∥BC ，则S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ＝__________.17.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为______________．18.某同学用一等边三角形木板制作一些相似的直角三角形．如图，其方法是：过C 点作CD 1⊥AB 于D 1，再过D 1作D 1D 2⊥CA 于D 2，再过D 2作D 2D 3⊥AB 于D 3，…，若△ABC 的边长为a ，则CD 1＝√32a ，D 1D 2＝√34a ，D 2D 3＝√38a ，依此规律，则D 5D 6的长为________．19.如图是测量玻璃管内径的示意图，点D 正对“10 mm”刻度线，点A 正对“30 mm”刻度线，DE ∥AB .若量得AB 的长为6 mm ，则内径DE 的长为____________ mm.三、解答题20.如图，△ABC 在方格纸中．(1)请建立平面直角坐标系．使A 、C 两点的坐标分别为(2,3)、C (5,2)，求点B 的坐标．(2)以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的图形△A ′B ′C ′.(3)计算△A ′B ′C ′的面积S .21.如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．22.如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形．(1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(－6，－1)，点C1的坐标为(－3,2)，则点B 的坐标为____________；(2)以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2，使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1∶2；(3)在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P，并写出点P的坐标为________，计算四边形ABCP 的周长为____________．23.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC 的长．图①图②答案解析1.【答案】B【解析】∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，∴x可能是斜边或4是斜边，∴x＝5或√7.∴x的值可以有2个．故选B.2.【答案】D【解析】∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，∴B1C∥A1D，∴△OB1C∽△OA1D，故①正确；∴OCOD ＝OBOA1，由旋转的性质，得OB＝OB1，OA＝OA1，∴OA·OC＝OB·OD，故②正确；由杠杆平衡原理，OC·G＝OD·F1，故③正确；∴F1G ＝OCOD＝OB1OA1＝OBOA是定值，∴F1的大小不变，∴F＝F1，故④正确．综上所述，说法正确的是①②③④.故选D.3.【答案】C【解析】∵斜边中线长为斜边的一半，∴AD＝BD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∵∠BAE＋∠BAD＝90°，∠DAC＋∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAC，∴∠C＝∠BAE，∵∠E＝∠E，∴△BAE∽△ACE.故选C.4.【答案】B【解析】∵∠APB ＝∠CPD ，∠ABP ＝∠CDP ，∴△ABP ∽△CDP ，∴AB CD ＝BP PD， 即1.4CD ＝2.112，解得CD ＝8米．故选B.5.【答案】D【解析】∵以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABC 缩小，∴点C 的对应点C ′的坐标(1，32)或(－1，−32)．故选D.6.【答案】C【解析】∵AD ∥BC ，∠D ＝90°，∴∠C ＝∠D ＝90°，∵DC ＝8，AD ＝2，BC ＝5，设PD ＝x ，则PC ＝8－x .①若PD ∶PC ＝AD ∶BC ，则△PAD ∽△PBC ，则x 8−x ＝25，解得x ＝167；②若PD ∶BC ＝AD ∶PC ，则△PAD ∽△BPC ，则x 5＝28−x ，解得PD ＝4±√6，所以这样的点P 存在的个数有3个．故选C.7.【答案】C【解析】∵一块10 cm×5 cm 的长方形版面要付广告费180元， ∴每平方厘米的广告费为180÷50＝185元， ∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为30×15×185＝1 620元故选C.8.【答案】C【解析】∵△ABC 和△DEF 相似，∴△DEF 的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF 的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x ，则3∶5＝9∶x ，解得x ＝15，∴△DEF 的最长边为15 cm ，故选C.9.【答案】C【解析】∵AB ∥CD ∥EF ，∴AD AF ＝BC BE ，A 错误；AD DF ＝BC EC ，B 错误；AD AF ＝BC BE ，∴AD BC ＝AF BE ，C 正确；CE BE ＝DF AF ，D 错误，故选C.10.【答案】A【解析】∵四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，OA ∶OA ′＝2∶3， ∴DA ∶D ′A ′＝OA ∶OA ′＝2∶3，∴四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的面积比为(23)2＝49， 故选A.11.【答案】D【解析】设a ＝5k ，则b ＝7k ，c ＝8k ，又3a －2b ＋c ＝3，则15k －14k ＋8k ＝3，得k ＝13，即a ＝53，b ＝73，c ＝83，所以2a ＋4b －3c ＝143.故选D.12.【答案】D【解析】设这个数是x ，则3x ＝4×6或4x ＝3×6或6x ＝3×4， 解得x ＝8或x ＝4.5或x ＝2，所以，这个数是2,8或4.5.故选D.13.【答案】D【解析】∵两个相似三角形的面积比为1∶4，∴它们的相似比为1∶2，∴它们的周长比为1∶2.故选D.14.【答案】5∶3∶2【解析】如图，作PD ∥BF ，QE ∥BC ，∵D 为BC 的中点，∴PD ∶BF ＝1∶2，∵E ，F 为AB 边三等分点，∴PD ∶AF ＝1∶4，∴DN ∶NA ＝PD ∶AF ＝1∶4，∴ND ＝15AD ，AQ ∶AD ＝QE ∶BD ＝AE ∶AB ＝1∶3， ∴AQ ＝13AD ，QM ＝14QD ＝14×23AD ＝16AD ， ∴AM ＝AQ ＋QM ＝12AD ，MN ＝AD －AM －ND ＝310AD ，∴AM ∶MN ∶ND ＝5∶3∶2.15.【答案】∠D ＝∠B【解析】这个条件可能是∠D ＝∠B ；理由如下： ∵∠DAB ＝∠CAE ，∴∠DAB ＋∠BAE ＝∠CAE ＋∠BAE ，即∠DAE ＝∠BAC ，又∵∠D ＝∠B ，∴△ADE ∽△ABC .16.【答案】1∶3∶5【解析】∵DE ∥FG ∥BC ，∴△ADE ∽△AFG ∽△ABC ，∵AD ＝DF ＝FB ，∴AD ∶AF ∶AB ＝1∶2∶3，∴S △ADE ∶S △AFG ∶S △ABC ＝1∶4∶9，∴S Ⅰ∶S Ⅱ∶S Ⅲ＝1∶3∶5.17.【答案】113°或92°【解析】∵△BCD ∽△BAC ，∴∠BCD ＝∠A ＝46°，∵△ACD 是等腰三角形，∠ADC ＞∠BCD ，∴∠ADC ＞∠A ，即AC ≠CD ，①当AC ＝AD 时，∠ACD ＝∠ADC ＝12(180°－46°)＝67°，∴∠ACB ＝67°＋46°＝113°，②当DA ＝DC 时，∠ACD ＝∠A ＝46°，∴∠ACB ＝46°＋46°＝92°. 18.【答案】√364a 【解析】CD 1＝√32a ＝√321a ， D 1D 2＝√34a ＝√322a ， D 2D 3＝√38a =√323a ， 则D 5D 6的长为√326a ＝√364a ， 19.【答案】2【解析】由题意可得DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ，∴DE AD ＝DC AC ， 即DE 6＝1030，解得DE ＝2，20.【答案】解 (1)如图画出原点O ，x 轴、y 轴，建立直角坐标系，可知B 的坐标为(2,1)；(2)如(1)中图，画出图形△A ′B ′C ′，即为所求；(3)S △A ′B ′C ′＝12×4×6＝12.【解析】(1)根据A ，C 点坐标进而得出原点位置，进而得出B 点坐标；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)直接利用三角形面积求法得出答案．21.【答案】解在△ABC与△AMN中，ACAB ＝3054＝59，AMAN＝1?0001?800＝59，∴ACAB＝AMAN，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AMN，∴BCMN ＝ACAM，即45MN＝301?000，解得MN＝1 500米，答：M、N两点之间的直线距离是1 500米；【解析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN，再利用相似三角形的性质解答即可．22.【答案】解(1)如图所示：点B的坐标为(－2，－5)；故答案为(－2，－5)；(2)如图所示：△AB2C2，即为所求；(3)如图所示：P点即为所求，P点坐标为(－2,1)，四边形ABCP的周长为√42+42＋√22+42＋√22+22＋√22+42＝4√2＋2√5＋2√2＋2√5＝6√2＋4√5.故答案为6√2＋4√5.【解析】(1)直接利用已知点位置得出B点坐标即可；(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)直接利用位似图形的性质得出对应点交点即可位似中心，再利用勾股定理得出四边形ABCP的周长．23.【答案】(1)证明∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BPE和△CQE中，∵{BE＝CE，∠B＝∠C，BP＝CQ，∴△BPE≌△CQE(SAS)；(2)解连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°，∴∠BEP＝∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴BPCE ＝BECQ，∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18，∴BE＝CE＝3√2，∴BC＝6√2【解析】。

成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。

九年级数学下册第二十七章相似[27.1 第1课时 相似图形]一、选择题1．观察图K －6－1中各组图形，其中相似的图形有()图K －6－1A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组2．在图K －6－2(b)中，由图K －6－2(a)放大或缩小而得到的图形有()图K －6－2A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．图K －6－4中与图K －6－3相似的图形是链接听课例题归纳总结()图K －6－3成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。

图K －6－44．下列关于相似图形的说法错误的是( )A ．相似图形的形状一定相同，大小不一定相同B ．全等图形是一种特殊的相似图形C ．同一个人在平面镜和在哈哈镜中的形象是相似图形D ．若甲与乙是相似图形，乙与丙是相似图形，则甲与丙是相似图形二、填空题5．图K －6－5②～⑥中，与图①相似的图形有________(填图形的序号).链接听课例题归纳总结图K －6－56．放大镜下的图形和原来的图形________相似图形；哈哈镜中的图形和原来的图形________相似图形．(填“是”或“不是”)三、解答题7．如图K －6－6是用相似图形设计的图案．成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。

图K －6－6(1)想一想：各个图案的基本图形是什么？(2)做一做：自己设计几个漂亮有趣的图案(至少两个)．如何将图K －6－7中的图形ABCDE放大，使新图形的各个顶点仍在格点上？图K －6－7详解详析[课堂达标]1．[解析] B 由观察知(a)(b)(c)(e)中的图形是相似图形．故选B.2．[解析] B 由观察知图(b)中的第3个图形与图(a)相似．应选B.[点评] 注意相似的要求是形状相同，这是判断两个图形是不是相似图形的根本标准．3．D 4.C5．③⑤⑥6．[答案] 是不是[解析] 放大镜下的图形与原来的图形形状相同，大小不相等，所以是相似图形；哈哈镜中的图形与原来的图形形状不同，大小也不相等，所以不是相似图形．7．解：(1)各个图案的基本图形分别是直角三角形、正方形、正五边形．(2)答案不唯一，只要是用相似图形做的，都符合要求．如图：[素养提升][解析] 相似图形只要求形状相同，而与位置无关，这样同学们可以有不同的画法，下图中的图形A′B′C′D′E′只是其中的一种．解：答案不唯一，如图所示．[点评]先确定各个顶点在方格图中的位置，然后再依次连接构成新图形．成功是一段路程，而非终点，所以只要在迈向成功的过程中一切顺利，便是成功。

九年级数学下册第二十七章《相似》测试题-人教版（含答案）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.1.如图，四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，则下列角的度数正确的是( )A.81D ∠=︒B.83F ∠=︒C.78G ∠=︒D.91H ∠=︒2.若线段a b c d ，，，成比例，且5cm 2.5cm 8cm a b c ===，，，则d 等于( ) A.2 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm3.已知ABC A B C '''∽，AD 和A D ''是它们的对应中线，若10AD =，6A D ''=，则ABC 与A B C '''的周长比是( )A.3:5B.9:25C.5:3D.25:94.如图，小明为了测量大楼MN 的高度，在离N 点20 m 的A 处放了一个平面镜，小明沿射线NA 的方向后退1.5 m 到C 点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M 点，已知小明的眼睛（点B ）到地面的高度BC 是1.6 m ，则大楼MN 的高度（精确到0.1 m ）约是( )A.18.75 mB.18.8 mC.21.3 mD.19 m5.如图，直线123////l l l ，直线AC 分别交直线1l 、2l 、3l 于点A 、B 、C ，直线DF 分别交直线1l 、2l 、3l 于点D 、E 、F ，直线AC 、DF 交于点P ，则下列结论错误的是( )A.AB DEBC EF= B.PA PDPC PF= C.PA PEPB PF= D.PB ACPE DF=6.如图，下列四个选项中的结论不一定成立的是( )A.COD AOB∽ B.AOC BOD∽ C.DCA BAC∽ D.PCA PBD∽7.如图，在ABC中，ABC C∠=∠，将ABC绕点B逆时针旋转得到DBE，点E在AC上，若3ED=，1EC=，则EB=( )A.3B.32C.312+D.28.如图，点A在第一象限内，AB x⊥轴于点B，以点O为位似中心，把AB缩小为原来的1 2得到A B''（AB与A B''在点O的两侧）.若把点O向上平移2个单位长度，得到点O'，再以点O'为位似中心，把AB缩小为原来的12得到A B''''（AB与A B''''在点O'的两侧），则A'与A''之间的距离为( )A.2B.2.5C.3D.49.如图，直线////a b c，ABC的边AB被这组平行线截成四等份，ABC的面积为32，则图中阴影四边形DFIG 的面积是( )A.12B.16C.20D.2410.将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B '，折痕为EF .已知6AB AC ==，8BC =，若以点B '，F ，C 为顶点的三角形与ABC 相似，那么BF 的长度是( )A.247B.4C.127或2 D.4或247二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.如图，在平面直角坐标系中，已知(1,0)A ，(3,0)D ，ABC 与DEF 位似，原点O 是位似中心.若 1.3AB =，则DE =______________.12.如图，在ABC 中，AB AC ≠，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，3AC AD =，3AB AE =，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：_____________，可以使得FDB 与ADE 相似.（只需写出一个）13.如图，在Rt ABC 中，904ACB AB ∠=︒=，，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2,3DB AD AE EC ==，连接BE 、CD ，相交于点O ，则ABO 面积的最大值为________.14.如图，在ABC 中，点D 为AC 边上一点，且12CD AD =，过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，连接CE ，过点D 作//DF CE 交AB 于点F .若15AB =，则EF =________.15.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()()4,00,4-，，点()3C n ，在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_______________.三、解答题：本题共2小题，第一小题10分，第二小题15分，共25分.16.如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上的A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ，再将镜子放到C 处，后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上），测得2AC =m, 2.1BD = m ，小明的眼睛距地面的高度BF ，DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE .17.回答下列问题：问题背景 如图（1），已知ABC ADE ∽，求证：ABD ACE ∽；尝试应用 如图（2），在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒，AC 与DE 相交于点F .点D 在BC 边上，3AD BD =DFCF的值； 拓展创新 如图（3），点D 是ABC 内一点，30BAD CBD ∠=∠=︒，90BDC ∠=︒，4AB =，23AC =AD 的长.参考答案1.答案：A 解析：四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，78B F ∴∠=∠=︒，118A E ∠=∠=︒，83C G ∠=∠=︒，360781188381D H ∴∠=∠=︒-︒-︒-︒=︒.故选A.2.答案：B 解析：线段a b c d ，，，成比例，a cb d∴=，5cm a =， 2.5cm b =，8cm c =，582.5d∴=，4cm d ∴=，故选B.3.答案：C 解析：ABC A B C '''∽，AD 和A D ''是它们的对应中线，10AD =，6A D ''=，ABC ∴与A B C '''的周长比:10:65:3AD A D ===''.故选C.4.答案：C解析：BC CA ⊥，MN AN ⊥，90C MNA ∴∠=∠=︒.BAC MAN ∠=∠，BCA MNA ∴∽，BC AC MN AN ∴=，即1.6 1.520MN =， 1.620 1.521.3MN ∴=⨯÷≈（m ），即大楼MN 的高度约为21.3 m.故选C. 5.答案：C解析：123////l l l ，AB DE BC EF ∴=，A 中结论正确，不符合题意；PA PDPC PF=，B 中结论正确，不符合题意；PA PD PB PE =，C 中结论错误，符合题意；PB PC PA PE PF PD ==，PB AC PE DF∴=，D 中结论正确，不符合题意.故选C. 6.答案：C解析：OCD OAB ∠=∠，COD AOB ∠=∠， COD AOB ∴∽.ACO BDO ∠=∠，AOC BOD ∠=∠，AOC BOD ∴∽.180PCA ACD ∠+∠=︒，180ACD ABD ∠+∠=︒， PCA PBD ∴∠=∠，又P P ∠=∠，PCA PBD ∴∽.故选C.7.答案：A解析：由旋转可得ABC DBE ≌，BC BE ∴=,3DE AC ==，C BEC ∴∠=∠.又ABC C ∠=∠，ABC BEC ∴∠=∠，又C C ∠=∠，ABC BEC ∴∽，EC BCBC AC∴=，即2BC CE CA =⋅，BC ∴=，BE ∴.故选A.8.答案：C解析：如图，连接A A '''，由题意易知A B ''和A B ''''都与AB 平行，且在同一条直线上，////A A AB OO ''''∴.由题意知，OA B OAB ''∽△△，12OA A B OA AB '''∴==，23OA AA ∴='.//A A OO ''''，AO O AA A ''''∴∽△△，23OO OA A A AA '∴==''''，2OO '=，3A A '''∴=.9.答案：B 解析：直线////a b c ，ABC 的边AB 被这组平行线截成四等份，14AD AB ∴=，34AF AB =，ADG ABC ∽，AFI ABC ∽，211()416ADG ABCS S∴==，239()416AFI ABCS S==.ABC 的面积为32，1216ADGABCS S ∴==，91816AFIABCSS ==，18216AFIADGS SS∴=-=-=阴影.故选B.10.答案：D 解析：ABC 沿EF 折叠后点B 和'B 重合，BF B F '∴=.设(0)BF x x =>，则8CF x =-.要使B FC '与ABC 相似，只需B FC C '∠=∠或FB C C '∠=∠.当B FC C '∠=∠时，B FC ABC '∽，B F CF AB BC ∴='，6AB =，8BC =，868x x -∴=，解得247x =，即247BF =；当FB C C ∠'=∠时，FB C ABC '∽，FB FC AB AC ∴='，即866x x-=，解得4x =，即4BF =，故4BF =或247.故选D. 11.答案：3.9 解析：(1,0)A ，(3,0)D ，1OA ∴=，3OD =.ABC 与DEF 位似，//AB DE ∴，ABO DEO ∴∽，AB OA DE OD ∴=，即1.313DE =，解得 3.9DE =.12.答案：A BDF ∠=∠(或A BFD ∠=∠或ADE BFD ∠=∠或ADE BDF ∠=∠或//DF AC 或BD BF AE ED =或BD BFDE AE=) 解析：3AC AD =，3AB AE =，13AD AE AC AB ∴==，又A A ∠=∠，ADE ACB ∴∽，AED B ∴∠=∠. 故要使FDB 与ADE 相似，只需再添加一角相等，或夹角的两边成比例即可. 13.答案：83解析：本题考查平行线分线段成比例、三角形面积公式.如图,过点D 作//DF AE 交BE 于点F ,则21.,2,33DF BD EC DF EC DO AE BA AE ===∴=∴=222,,,33ADO ADC BDO OC DO DC S S S ∴=∴==22,90,33.BDC ABO ABC S S S ACB ︒∴=∠=∴点C 在以AB 为直径的圆上,设圆心为G ,当CG AB ⊥时，ABC 的面积最大,最大面积为1424,2⨯⨯=此时ABO 面积的最大值为284.33⨯=14.答案：103解析：//,AD AEDE BC AC AB∴=. 12,23CD AD AD AC =∴=，即23AE AB =. 15,10AB AE =∴=.//,AF AD DF CE AE AC ∴=，即2103AF =，解得203AF =， 则20101033EF AE AF =-=-=.故答案为103. 15.答案：2.8解析：本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征、相似三角形的判定与性质如图，过点C 作CD y ⊥轴于点D ，设AC 交y 轴于点E ，//CD x ∴轴， CAO ACD∠∠∴=，又DEC OEA ∠∠=，DEC OEA ∴~，2,BCA CAO BCD ACD ∠∠∠∠=∴=，BD DE ∴=，设BD DE x ==，则42OE x =-DC DE OA OE ∴=即3442xx=-，解得 1.2x =， 242 1.6, 1.2 1.6 2.8OE x n OD DE OE ∴=+=∴==+=+=.16.答案：如图，设E 关于O 的对称点为M ，延长GC 与FA ，易知GC 、FA 的延长线相交于点M ，连接GF 并延长，交OE 于点H .易知//GF AC ，MAC MFG ∴∽， AC MA MOFG MF MH∴==， AC OE OE OEBD MH MO OH OE BF ∴===++， 21.62.1OE OE ∴=+， 32OE ∴=.答：楼的高度OE 为32 m. 17.答案：问题背景 证明：ABC ADE ∽，AB ACAD AE∴=，BAC DAE ∠=∠， AB ADAC AE∴=，BAD CAE ∠=∠， ABD ACE ∴∽.尝试应用连接CE ，设BD t =，则AD =. 易得ADE ABC ∽，AB ACAD AE∴=， AB ADAC AE∴=. 又BAC DAE ∠=∠， BAD CAE ∴∠=∠， ACE ABD ∴∽，CE AC BD AB ∴=，CE ∴=，3ADCE∴==.ADE ABC ∠=∠，ABC ACE ∠=∠，30ACE ADE ∴∠=∠=.又AFD EFC ∠=∠， ADF ECF ∴∽，3DF ADCF CE∴==. 拓展创新 AD.解法提示：过点D 作AD 的垂线交AB 于点M ，连接CM . 易证ADB MDC ∽，AB ADCM MD∴==30DMC DAB ∠=∠=，CM ∴=，90AMC AMD DMC AMD DAB ∠=∠+∠=∠+∠=，AM ∴=，cos AD AM MAD ∴=⋅∠。

人教版九年级数学下册第27章相似专项训练1（含答案）专训1证明三角形相似的方法名师点金：要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)考虑平行线截三角形相似定理及相似三角形的“传递性．．．”．利用平行线判定两三角形相似1．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；(2)求BP PQ QR.(第1题)利用边或角的关系判定两直角三角形相似2．下面关于直角三角形相似叙述错误的是()A．有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B．两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C．有一条直角边相等的两个直角三角形相似D．两个等腰直角三角形相似3．如图，BC⊥AD，垂足为C，AD＝6.4，CD＝1.6，BC＝9.3，CE＝3.1，求证：△ABC∽△DEC.(第3题)利用角判定两三角形相似4．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE交于点E.(1)求证：△ABD∽△CED；(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．(第4题)利用边角判定两三角形相似5．如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．(第5题)求证：△ABD∽△CAE.利用三边判定两三角形相似6．如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.(第6题)专训2巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．巧连线段的中点构造相似三角形1．如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP PQ QD.(第1题)过顶点作平行线构造相似三角形2．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BF AF＝32，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BEEC的值．(第2题)3．如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AE ED＝2AF FB.(第3题)过一边上的点作平行线构造相似三角形4．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BDEC.(第4题)过一点作平行线构造相似三角形5．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD.作辅助线的方法一：(第5题①)作辅助线的方法二：(第5题②)作辅助线的方法三：(第5题③)作辅助线的方法四：(第5题④)专训3用线段成比例法解四边形问题名师点金：利用线段成比例不仅能解三角形问题，还能解四边形问题．在中考中涉及相似﹨线段成比例的四边形的题型有填空题﹨选择题﹨解答题，是中考热门命题点之一．一﹨选择题1．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF ＝NM＝2，ME＝3，则AN＝()(第1题)A．3 B．4 C．5 D．62．如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为()(第2题)A.12B.98C．2 D．43．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG＝42，则△EFC的周长为() A．11 B．10 C．9 D．8(第3题)(第4题)二﹨填空题4．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB ＝4，BC＝2，那么线段EF的长为________．三﹨解答题5．如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.(1)设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1________S2＋S3(填“>”“＝”或“<”)；(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．(第5题)6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A，C 重合，直线MN交AC于O.(1)求证：△COM∽△CBA；(2)求线段OM的长度．(第6题)7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求AE的长．(第7题)8．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.(1)求证：△ADE≌△DCF.(2)若E为CD的中点，求证：Q为CF的中点．(3)连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．(第8题)9．如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G.求证：(第9题)(1)CG＝BH；(2)FC2＝BF·GF；(3)FC2AB2＝GFGB.10．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G.(1)求证：△APB≌△APD；(2)已知DF FA＝12，设线段DP的长为x，线段PF的长为y.①求y与x的函数关系式；②当x＝6时，求线段FG的长．(第10题)专训4用线段成比例法解与圆有关问题名师点金：线段成比例法求解有关线段问题在三角形﹨四边形中有着广泛的应用，是近几年中考命题的必考内容；在中考中，它的另一重点是与圆的知识相结合进行考查；题型既有选择题﹨填空题，也有解答题，也常以压轴题的形式出现．一﹨选择题1．如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D 的⊙O的切线交BC于点E.若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是()A．3 B．4 C.256D.258(第1题)(第2题)2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC 于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为()A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.23．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝3，ED＝4，则AB的长为()A．3 B．2 3 C.21 D．3 5(第3题)(第4题)二﹨填空题4．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形有________个．5．如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点(不与点A重合)，过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA.设PA＝x，PB＝y，则x－y 的最大值是________．(第5题)三﹨解答题6．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E.(1)求证：∠BAD＝∠E；(2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求BE的长．(第6题)7．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.(第7题)(1)求证：DE为半圆O的切线；(2)求证：DB2＝AB·BE.8．如图，AB是圆O的直径，点C，D在圆O上，且AD平分∠CAB.过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F.(1)求证：EF与圆O相切；(2)若AB＝6，AD＝42，求EF的长．(第8题)9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F.(1)猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；(2)若AB＝6，AD＝5，求AF的长．(第9题)10．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是AB ︵上的一点，∠DBC ＝∠BED.(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)已知AD ＝3，CD ＝2，求BC 的长．(第10题)11．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，AE 和过点C 的切线互相垂直，垂足为E ，AE 交⊙O 于点D ，直线EC 交AB 的延长线于点P ，连接AC ，BC ，PB PC ＝1 2.(1)求证：AC 平分∠BAD ；(2)探究线段PB ，AB 之间的数量关系，并说明理由；(3)若AD ＝3，求△ABC 的面积．(第11题)答案专训11．解：(1)△BCP ∽△BER ，△PCQ ∽△PAB ，△PCQ ∽△RDQ ，△PAB ∽△RDQ.(2)∵四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形．∴BC ＝AD ＝CE ，AC ∥DE ，∴△BCP ∽△BER ，则PCRE＝BPBR＝BCBE＝12，∴BP＝PR，PCRE＝12.∵点R是DE的中点，∴DR＝RE.又PC∥DR，∴PQQR＝PCDR＝PCRE＝12.∴QR＝2PQ.又∵BP＝PR＝PQ＋QR＝3PQ，∴BP PQ QR＝31 2. 2．C3．证明：∵AD＝6.4，CD＝1.6，∴AC＝AD－CD＝6.4－1.6＝4.8.∴ACCD＝4.81.6＝3.又∵BCEC＝9.33.1＝3，∴ACCD＝BCEC.又∵BC⊥AD，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DEC.(第4题) 4．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°.∴∠ACF＝120°.∵CE是外角平分线，∴∠ACE＝12∠ACF＝12×120°＝60°.∴∠A＝∠ACE.又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED.(2)解：如图，作BM⊥AC于点M，则AM＝CM＝3，BM＝3 3. ∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4.则MD＝1.在Rt△BDM中，BD＝BM2＋MD2＝27.由△ABD∽△CED得BDED＝ADCD，即27ED＝2，∴ED＝7.∴BE＝BD＋ED＝37.5．证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，∴∠DBA＝∠CAE，又∵ABAC＝BDAE＝3，∴△ABD∽△CAE.方法规律：本题运用了数形结合思想和演绎推理，通过已知条件寻找两边成比例并且夹角相等，从而证明两三角形相似．6．证明：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BD. 又∵E，F分别是AB，AC的中点．∴在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线．∴DE＝12AB，即DEAB＝12.同理DFAC＝12.∵EF为△ABC的中位线，∴EF＝12BC，即EFBC＝12.∴DEAB＝EFBC＝DFAC.∴△DEF∽△ABC.专训21．解：如图，连接DF，∵E，F是边BC上的两个三等分点，∴BE＝EF＝FC.∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∴DF是△ACE的中位线．∴DF∥AE，且DF＝12AE.∴DF∥PE.∴△BEP∽△BFD.∴BEBF＝BPBD.∵BF＝2BE，∴BD＝2BP.∴BP＝PD.∴DF＝2PE. ∵DF∥AE，∴∠APQ＝∠FDQ，∠PAQ＝∠DFQ.∴△APQ∽△FDQ.∴PQQD＝APDF.设PE＝a，则DF＝2a，AP＝3a.∴PQ QD＝AP DF＝3 2.∴BP PQ QD＝53 2.(第1题)(第2题)2．解：如图，过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G.∵CG ∥AB ，∴∠DAF ＝∠G.又∵D 为CF 的中点，∴CD ＝DF.在△ADF 和△GDC 中，⎩⎨⎧∠DAF ＝∠G ，∠ADF ＝∠CDG ，DF ＝CD ，∴△ADF ≌△GDC(AAS )．∴AF ＝CG.∵BF AF ＝32，∴AB AF ＝5 2.∵AB ∥CG.∴△ABE ∽△GCE. ∴BE EC ＝AB CG ＝AB AF ＝52. 3．证明：如图，过点B 作BN ∥CF 交AD 的延长线于点N.∴AF FB ＝AE EN ，∠ECD ＝∠NBD.又∵∠CDE ＝∠BDN ，∴△EDC ∽△NDB.∴ED DN ＝CD BD .∵BD ＝CD ，∴ED ＝DN ＝12EN.∴AF FB ＝AE 2ED .∴AE ED ＝2AF FB.(第3题)(第4题)4．证明：如图，过点C 作CF ∥AB 交DP 于点F ，∴△PCF ∽△PBD.∴BP CP ＝BD CF .∵AD ∥CF ，∴∠ADE ＝∠EFC.∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED.∵∠AED ＝∠CEP ，∴∠EFC ＝∠CEP.∴EC ＝CF.∴BP CP ＝BD EC .5．证明：(方法一)过点C 作CF ∥AB ，交DE 于点F ，∴△CDF ∽△BDE.∴CF BE ＝CD BD .∵点M 为AC 边的中点，∴AM ＝CM.∵CF ∥AB ，∴∠BAC ＝∠MCF.又∵∠AME＝∠CMF，∴△AME≌△CMF.∴AE＝CF.∵AE＝14AB，BE＝AB－AE，∴BE＝3AE.∴AEBE＝13.∵CFBE＝CDBD，∴AEBE＝CDBD＝13，即BD＝3CD.又∵BD＝BC＋CD，∴BC＝2CD.(方法二)过点C作CF∥DE，交AB于点F，∴AEAF＝AMAC.又∵点M为AC边的中点，∴AC＝2AM. ∴2AE＝AF.∴AE＝EF.又∵AE＝14AB，∴BFEF＝2.又∵CF∥DE，∴BFFE＝BCCD＝2.∴BC＝2CD.(方法三)过点E作EF∥BC，交AC于点F，∴△AEF∽△ABC.由AE＝14AB，知EFBC＝AEAB＝AFAC＝14，∴EF＝14BC，AF＝14AC.∵EF∥CD，∴△EFM∽△DCM，∴EFCD＝MFMC.又∵AM＝MC，∴MF＝12MC，∴EF＝12CD.∴BC＝2CD.(方法四)过点A作AF∥BD，交DE的延长线于点F，∴△AEF∽△BED.∴AEBE＝AFBD.∵AE＝14AB，∴AE＝13BE.∴AF＝13BD.由AF∥CD，易证得△AFM∽△CDM. 又∵AM＝MC，∴AF＝CD.∴CD＝13BD.∴BC＝2CD.点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形．专训3一﹨1.B 2.C 3.D二﹨4. 5三﹨5.解：(1)＝(2)△BCF ∽△DBC ∽△CDE ；选△BCF ∽△CDE ，证明：在矩形ABCD 中，∠BCD ＝90°，且点C 在边EF 上，∴∠BCF ＋∠DCE ＝90°.在矩形BDEF 中，∠F ＝∠E ＝90°，∴在Rt △BCF 中，∠CBF ＋∠BCF ＝90°，∴∠CBF ＝∠DCE ，∴△BCF ∽△CDE.(答案不唯一)6．(1)证明：由折叠可知，∠COM ＝90°，∴∠B ＝∠COM.又∠MCO ＝∠ACB ，∴△COM ∽△CBA.(2)解：∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∴OC ＝12AC ＝5，∵△COM ∽△CBA ，∴OM AB ＝CO BC ，即OM 6＝58，∴OM ＝154.7．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠C ＋∠B ＝180°，∠ADF ＝∠DEC.∵∠AFD ＋∠AFE ＝180°，∠AFE ＝∠B ，∴∠AFD ＝∠C.在△ADF 与△DEC 中，⎩⎨⎧∠AFD ＝∠C ，∠ADF ＝∠DEC ，∴△ADF ∽△DEC. (2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝8.由(1)知△ADF ∽△DEC ，∴AD DE ＝AF CD ，∴DE ＝AD·CD AF ＝63×843＝12.在Rt △ADE 中，由勾股定理得AE ＝DE2－AD2＝122－（63）2＝6.8．(1)证明：由AD ＝CD ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°，DE ＝CF 得△ADE ≌△DCF. (2)证明：易证△ADE ∽△ECQ ，所以CQ DE ＝CE AD .因为CE AD ＝CE CD ＝12，所以CQ DE ＝CQ CF ＝12，即点Q 是CF 的中点．(3)解：S 1＋S 2＝S 3成立．理由：因为△ADE ∽△ECQ ，所以CQ DE ＝QE AE ，所以CQ CE ＝QE AE .因为∠C ＝∠AEQ ＝90°，所以△AEQ ∽△ECQ ，所以△AEQ ∽△ECQ ∽△ADE ，所以S1S3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EQ AQ 2，S2S3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AQ 2，所以S1S3＋S2S3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EQ AQ 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AQ 2＝EQ2＋AE2AQ2.因为EQ 2＋AE 2＝AQ 2，所以S 1＋S 2＝S 3. 9．证明：(1)∵BF ⊥AE ，CG ∥AE ，∴∠BAH ＋∠ABH ＝90°，CG ⊥BF.∴∠CBG ＋∠BCG ＝90°.∵在正方形ABCD 中，∠ABH ＋∠CBG ＝90°，∴∠BAH ＝∠CBG ，∠ABH ＝∠BCG.∵AB ＝BC ，∴△ABH ≌△BCG ，∴CG ＝BH.(2)∵∠BFC ＝∠CFG ，∠BCF ＝∠CGF ＝90°，∴△CFG ∽△BFC ，∴FC BF ＝GF FC ，即FC 2＝BF·GF. (3)∵∠CBG ＝∠FBC ，∠CGB ＝∠BCF ＝90°，∴△BCG ∽△BFC ，∴BC BF ＝BG BC ，即BC 2＝BG·BF.∵AB ＝BC ，∴AB 2＝BG·BF ，∴FC2AB2＝FG·BF BG·BF ＝FG BG ，即FC2AB2＝GF GB .10．(1)证明：∵点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，∴∠DAP ＝∠PAB ，AD ＝AB.在△APB 和△APD 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠PAB ＝∠PAD ，AP ＝AP ，∴△APB ≌△APD(SAS )．(2)解：①∵△APB ≌△APD ，∴DP ＝PB ，∠ADP ＝∠ABP. 在△DFP 和△BEP 中，⎩⎨⎧∠FDP ＝∠EBP ，DP ＝BP ，∠FPD ＝∠EPB ，∴△DFP ≌△BEP(ASA )，∴PF ＝PE ，DF ＝BE.∵GD ∥AB ，∴△FDG ∽△FAB ，∴DF FA ＝GD AB .∵DF FA ＝12，∴GD AB ＝12，BE AB ＝13，∴DG BE ＝32.∵DG ∥BE ，∴△DPG ∽△EPB ，∴DP PE ＝DG EB .∵PE ＝PF ，∴32＝x y ，∴y ＝23x.②当x ＝6时，y ＝23×6＝4，∴PF ＝PE ＝4，DP ＝PB ＝6，∵△FDG ∽△FAB ，∴FG BF ＝DG AB ＝12，∴FG 10＝12，解得FG ＝5，故线段FG 的长为5.方法规律：本题运用了演绎推理，考查了相似三角形﹨全等三角形和函数知识，是一个综合性的问题．推出DG AB ＝12，BE AB ＝13是解题的关键．专训4一﹨1.D 2.B 3.C二﹨4.4 5.2三﹨6.(1)证明：∵⊙O与DE相切于点B，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°.又∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°，∴∠BAD ＝∠E.(2)解：如图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AC＝8，AB＝2×5＝10，∴BC＝AB2－AC2＝6.又∵∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAC＝∠E，∴△ABC∽△EAB，∴ACEB＝BCAB.∴8EB＝610.∴BE＝403.(第6题)(第7题)7．证明：(1)如图，连接OD.∵AB为半圆O的直径，∴∠ADB＝90°.∵AB ＝BC，∴D为AC中点．∵O为AB中点，∴OD∥BC.∵DE⊥BC，∴∠ODE＝∠CED＝90°，∴DE为半圆O的切线．(2)∵AB＝BC，∠ADB＝90°，∴∠CBD＝∠DBA.又∠ADB＝∠DEB＝90°，∴△ADB∽△DEB.∴ABDB＝DBBE，即DB2＝AB·BE.8．(1)证明：连接OD，如图．因为OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA.又因为AD平分∠BAC，所以∠OAD＝∠CAD，所以∠ODA＝∠CAD.所以OD∥AE.又因为EF垂直于AE，所以OD垂直于EF，所以EF与圆O相切．(2)解：如图，连接CD，BD，BC，则CD＝BD.因为AB是直径，所以∠ACB ＝∠ADB＝90°.又因为AB＝6，AD＝42，所以BD＝AB2－AD2＝62－（42）2＝2，所以CD＝2.因为∠OAD＝∠CAD，∠ADB＝∠E＝90°，所以△ADE∽△ABD，所以ABAD＝BDDE，所以642＝2DE，所以DE＝423.在Rt△CDE中，CE＝CD2－DE2＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫4232＝23.易得四边形CEDG 是矩形，所以DG ＝CE ，∠OGB ＝90°.所以DG ＝23，OG ＝3－23＝73.在Rt △OGB 中，GB ＝OB2－OG2＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫732＝423.因为∠ACB ＝∠E ＝90°，所以BC ∥EF ，所以△OGB ∽△ODF ，所以OG OD ＝GB DF ，所以733＝423DF ，所以DF ＝1227.所以EF ＝DE＋DF ＝423＋1227＝64221.(第8题)(第9题)9．解：(1)ED 与⊙O 相切．证明：如图，连接OD.∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2.∵AD 平分∠CAB ，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴OD ∥AE.∵AE ⊥DE ，∴OD ⊥DE.∵D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线．(2)如图，连接BD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，则BD 2＝AB 2－AD 2＝11.∵∠3＝∠4，∠3＝∠2，∴∠2＝∠4.∵∠ADB ＝∠BDF ＝90°，∴△DFB ∽△DBA.∴BD AD ＝DF BD ，∴DF ＝BD2AD ＝115.则AF ＝AD －DF ＝5－115＝145.10．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵∠BAD ＝∠BED ，∠BED ＝∠DBC ，∴∠BAD ＝∠DBC ，∴∠BAD ＋∠ABD ＝∠DBC ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABC ＝90°，∴BC 是⊙O 的切线．(2)解：∵∠BAD ＝∠DBC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BDC ，∴BC CD ＝CA BC ，即BC 2＝AC·CD ＝(AD ＋CD)·CD ＝10，∴BC ＝10.(第11题)11．(1)证明：如图，连接OC.∵PE 与⊙O 相切，∴OC ⊥PE.∴∠OCP ＝90°.∵AE ⊥PE ，∴∠AEP ＝90°＝∠OCP.∴OC ∥AE.∴∠CAD ＝∠OCA.∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC.∴∠CAD ＝∠OAC.∴AC 平分∠BAD.(2)解：PB ，AB 之间的数量关系为AB ＝3PB.理由如下：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠BAC ＋∠ABC ＝90°.∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠ABC.∵∠PCB ＋∠OCB ＝90°，∴∠PCB ＝∠PAC.∵∠P ＝∠P.∴△PCA ∽△PBC.∴PC PB ＝PA PC .∴PC 2＝PB·PA.∵PB PC ＝12，∴PC ＝2PB.∴PA ＝4PB.∴AB ＝3PB.(3)解：过点O 作OH ⊥AD 于点H ，如图，则AH ＝12AD ＝32，四边形OCEH是矩形．∴OC ＝HE.∴AE ＝32＋OC.∵OC ∥AE ，∴△PCO ∽△PEA.∴OC AE ＝PO PA .∵AB ＝3PB ，AB ＝2OB ，∴OB ＝32PB.∴OC 32＋OC＝PB ＋OB PB ＋AB ＝PB ＋32PB PB ＋3PB ＝58，∴OC ＝52，∴AB ＝5.∵△PBC ∽△PCA ，∴PB PC ＝BC AC ＝12，∴AC ＝2BC.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，∴(2BC)2＋BC 2＝52，∴BC ＝5，∴AC ＝2 5.∴S △ABC ＝12AC·BC ＝5，即△ABC 的面积为5.。

第二十七章相似全章测试一、选择题1.如图，ciABCD 中，EF 〃AB, DE : EA=2 : 3, EF = 4,则 CD 的长为（）16A. —B. 8C. 10D. 163 【答案】CEF DE 2【解析】试题分析：由EF 〃AB 可得△ DEF^ADAB,根据相似三角形的性质可得一=——=-,再由EF=4AB AD 5 即可得AB=10,根据平行四边形的性质可得CD=AB=10.故答案选C. 考点：相似三角形的判泄及性质；平行四边形的性质.2.如图，ZACB=ZADC=90°, BC=a, AC=b, AB=c, S^A ABC^ACAD,只要 CD 等于（）ab C.— c【解析】解:假设厶ABC-A CAD, 即・・・要使△ ABC-ACAD,只要CD 等于故AC ABAB cc3.在菱形ABCD'P ，BFE 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F,若EC=2BE,则一的值是（）Fl ）c a【答案】A选A.1 1 1A•— B•— C. _2 3 41 D.-5【答案】B【解析】解：如图，VABCD 是菱形，月.4D=BC, •••△BEFSAD4F,BF BE 1・：EC=2BE, ：•吟BE,即 AZ>3BE, 故选 B.点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质.关键是由平行线得出相似三角形，由菱形的性 质得出线段的长度关系.4.己知：如图，DE 〃BC, AD:DB=1:2,则下列结论不正确的是（）【答案】ADE AD AD I•••△ADESGBC ,・••芫荷莎面=亍・・•相似三角形周长比等于相似比,:・B, C 选项正确，：•四边形BCED 的面积=ZBC 的面积-AADE 的面积，•ID 选项正确. 故选A.5.如图，铁路道口的栏杆短臂长lm,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高（杆的宽度忽A. 4mB. 6mC. 8mD. 12m竺=匹又FD ADAADE 的面积_1AABC 的面积9 AADE 的周长_ 1 AABC 的周长3 AADE 的面积 _ 1 四边形BCED 的面积8 面积比为相似比的平方, A' ^=2 B - 略不计）（ ）•【答案】C【解析】试题分析：设长臂端点升高X 米，则—/.解得：x 二&故选C. x 16 考点：相似三角形的应用. 止方形ABCD 与止方形BEFG 是以原点0为位似屮心的位似图形，且相似比【解析】试题解析：・・•正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点0为位似中心的位似图形，且相似比为£ AD 1OA 1 OA 1 , z ,•••— , •: BG=J :.AD=BC=2, •: AD//BG, ：./XOAD^/XOBG, :.― 一，••- ------ ,解得：04=1, BG 3 OB 3 2 + OA 3 :・0B=3, ・・・C 点坐标为：（3, 2）,故选A.7. 平面直角坐标系中，有一条“鱼J 它有六个顶点，则（）A.将各点横坐标乘以2,纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似B. 将各点纵坐标乘以2,横坐标不变，得到的鱼与原來的鱼位似C. 将各点横、纵坐标都乘以2,得到的鱼与原来的鱼位似D. 将各点横坐标乘以2,纵坐标乘以丄，得到的鱼与原来的鱼位似2 【答案】C【解析】解：平面直角樂标系中图形的各个顶点，如果横纵坐标同吋乘以同一个非0的实数匕得到的图形 与原图形关于原点成位似图形，位似比是冈・若乘的不是同一个数，得到的图形一定不会与原图形关于原点 对称.故选C ・8. 对于平面图形上的任意两点P, Q,如果经过某种变换得到新图形上的对应点P'，Q',保持PQ=P r Q\我为点A, B, E 在x 轴上, 若正方形BEFG 的边长为6,则C 点坐标为（C. (2, 2)D. (4, 2)6.如图，在平面直角坐标屮,y个■屮 ■ I* JI ■ !■丄们把这种变换称为“等距变换”，下列变换屮不一定是等距变换的是（） A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似【答案】D【解析】试题解析：平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与 原图形的形状和大小完全相同，则平移变换是“等距变换旋转的性质：旋转前、后的图形全等，则旋转变换是“等距变换〃； 轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等，则轴对称变换是“等距变换〃； 位似变换的性质：位似变换的两个图形是相似形，则位似变换不一定是等距变换， 故选D.在格点上）为顶点的三角形与AABC 相似，则点E 的坐标不可能是（） A. (6, 0) B. (4, 2) C. (6, 5) D. (6, 3) 【答案】D【解析】解：•・•点人、B 、C 的坐标分别是(1, 7) , (1, 1) ,(4, 1),・・・AB=6, BC=3, ZABC=90°.AB BC 3 AED=4, CD=2, ZEDO90。

第二十七章《相似》单元练习题一、选择题1.下列说法正确的是()A．分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形B．两位似图形的面积之比等于位似比C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比D．位似图形的周长之比等于位似比的平方2.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的面积比为()A． 1∶3B． 1∶4C． 1∶8D． 1∶93.△ABC的三边之比为3∶4∶5，与其相似的△DEF的最短边是9 cm，则其最长边的长是() A． 5 cmB． 10 cmC． 15 cmD． 30 cm4.若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是()A． 16 cmB． 12 cmC． 24 cmD． 36 cm5.如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于()A．B．C．D．6.如图，已知在正方形网格中的两个格点三角形是位似形，它们的位似中心是()A．点AB．点BC．点CD．点D7.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为()A． 1.25尺B． 57.5尺C． 6.25尺D． 56.5尺8.已知A、B两地的实际距离AB＝5 km，画在图上的距离A′B′＝2 cm，则图上的距离与实际距离的比是()A． 2∶5B． 1∶2 500C． 250 000∶1D． 1∶250 000二、填空题9.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________ cm.10.已知：如图，A′B′∥AB，A′C′∥AC，AA′的延长线交于BC于点D，△ABC与△A′B′C′是__________图形，其中____________点是位似中心．11.已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝16∶9，若AB＝4，则A′B′＝__________.12.已知△ABC∽△DEF，＝，且AD为BC边上的中线，DG为EF边上的中线，则AD∶DG ＝__________.13.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝________.14.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝__________.15.若a∶b∶c＝1∶3∶2，且a＋b＋c＝24，则a＋b－c＝________.16.如图，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换：______________(请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换)．三、解答题17.有一个测量弹跳力的体育器材，如图所示，竖杆AC、BD的长度分别为200厘米、300厘米，CD＝300厘米．现有一人站在斜杆AB下方的点E处，直立、单手上举时中指指尖(点F)到地面的高度为EF，屈膝尽力跳起时，中指指尖刚好触到斜杆AB上的点G处，此时，就将EG与EF的差值y(厘米)作为此人此次的弹跳成绩．(1)设CE＝x(厘米)，EF＝a(厘米)，求出由x和a表示y的计算公式；(2)现有一男生，站在某一位置尽力跳起时，刚好触到斜杆．已知该同学弹跳时站的位置为x＝150厘米，且a＝205厘米．若规定y≥50，弹跳成绩为优；40≤y＜50时，弹跳成绩为良；30≤y＜40时，弹跳成绩为及格，那么该生弹跳成绩处于什么水平？18.已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD＝a，BC＝b，AE∶ED＝m∶n；(1)当点A、D重合，即a＝0时(如图1)，试求EF.(用含m，n，b的代数式表示)(2)请直接应用(1)的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0，①如图2这种情况时，试求EF.(用含a，b，m，n的代数式表示)图1图2图3②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想．19.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m的空地，其他三侧内墙各保留1 m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2?解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2x m，根据题意，得x·2x＝288.解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12，所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.结果为何正确呢？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．20.如图⊙O的内接△ABC中，外角∠ACF的角平分线与⊙O相交于D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为H.问：(1)∠PDC与∠HDC是否相等，为什么？(2)图中有哪几组相等的线段？(3)当△ABC满足什么条件时，△CPD∽△CBA，为什么？21.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上．(1)求证：△ABC∽A′B′C′；(2)A′B′C′与△ABC是位似图形吗？如果是，在图形上画出位似中心并求出位似比．第二十七章《相似》单元练习题答案解析1.【答案】C【解析】∵分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC 放大或缩小后的图形，∴A错误．∵位似图形是特殊的相似形，满足相似形的性质，∴B，D错误，正确的是C.故选C.2.【答案】D【解析】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴＝＝，∴＝＝，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为1∶3，∴△A′B′C′与△ABC的面积的比1∶9，故选D.3.【答案】C【解析】∵△ABC和△DEF相似，∴△DEF的三边之比为3∶4∶5，∴△DEF的最短边和最长边的比为3∶5，设最长边为x，则3∶5＝9∶x，解得x＝15，∴△DEF的最长边为15 cm，故选C.4.【答案】C【解析】∵AB＝3 cm，BC＝5 cm，∴矩形ABCD的周长＝2×(3＋5)＝16 cm，∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2∶3，∴矩形EFGH的周长为24 cm，故选C.5.【答案】A【解析】假设△ABC∽△CAD，∴＝，即CD＝＝，∴要使△ABC∽△CAD，只要CD等于，故选A.6.【答案】A【解析】如图，位似中心为点A.故选A.7.【答案】B【解析】依题意有△ABF∽△ADE，∴AB∶AD＝BF∶DE，即5∶AD＝0.4∶5，解得AD＝62.5，BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5尺．故选B.8.【答案】D【解析】∵5千米＝500 000厘米，∴比例尺＝2∶500 000＝1∶250 000；故选D.9.【答案】6【解析】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，∴＝，即＝，∴BC＝6 cm.10.【答案】位似O【解析】∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠A′B′C′＝∠B，∠A′C′B′＝∠C，∴△A′B′C′∽△ABC，∵AA′的延长线交于BC于点D，∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中O点是位似中心．11.【答案】3【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B″C′＝16∶9，∴AB∶A′B′＝4∶3，∵AB＝4，∴A′B′＝3.12.【答案】【解析】∵△ABC∽△DEF，∴BC∶EF＝AD∶DG，∵＝，∴BC∶EF＝3∶2，∴AD∶DG＝3∶2.13.【答案】16【解析】由图形的变化规律可得×256＝，解得n＝16.14.【答案】【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝.故答案为.15.【答案】8【解析】∵a∶b∶c＝1∶3∶2，∴设a＝k，则b＝3k，c＝2k，又∵a＋b＋c＝24，∴k＋3k＋2k＝24，∴k＝4，∴a＋b－c＝k＋3k－2k＝2k＝2×4＝8.16.【答案】相似变换【解析】由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化．17.【答案】解(1)过A作AM⊥BD于点M，交GE于N.∵AC⊥CD，GE⊥CD，∴四边形ACEN为矩形，∴NE＝AC，又∵AC＝200，EF＝a，FG＝y，∴GN＝GE－NE＝a＋y－200，∵DM＝AC＝200，∴BM＝BD－DM＝300－200＝100，又∵GN∥BD，∴△ANG∽△AMB，∴＝，即＝，∴y＝x－a＋200；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，y＝×150－205＋200＝45( cm)，y＝45＞40.故该生弹跳成绩处于良好水平．【解析】(1)利用相似三角形的判定与性质得出△ANG∽△AMB，进而得出＝，即可得出答案；(2)当x＝150 cm，a＝205 cm时，直接代入(1)中所求得出即可．18.【答案】解(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，又BC＝b，∴＝，∴EF＝；(2)①如图2，连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，∵EF＝EH＋HF，∴EF＝；②猜想：EF＝，证明：连接DE，并延长DE交BC于G，由已知，得BG＝，EF＝，∵GC＝BC－BG，∴EF＝(BC－BG)＝＝.【解析】(1)由EF∥BC，即可证得△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得＝，根据比例变形，即可求得EF的值；(2)①连接BD，与EF交于点H，由(1)知，HF＝，EH＝，又由EF＝EH＋HF，即可求得EF的值；②连接DE，并延长DE交BC于G，根据平行线分线段成比例定理，即可求得BG的长，又由EF＝与GC＝BC－BG，即可求得EF的值．19.【答案】解(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m．”前补充以下过程：设温室的宽为x m，则长为2x m.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x－1－1)m，长为(2x－3－1)m.∵＝＝2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1；(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要＝，即＝，即＝，即2AB－2(b＋d)＝2AB－(a＋c)，∴a＋c＝2(b＋d)，即＝2.【解析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m，然后由题意得＝＝2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1，再利用小明的解法求解即可；(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得＝，即＝，然后利用比例的性质，即可求得答案．20.【答案】解(1)相等．理由如下：∵CD为∠ACF的角平分线(已知)，∴∠DCP＝∠DCH，DP⊥AC，DH⊥BF.∴∠DPC＝∠DHC＝90°.∴∠PDC＝∠HDC.(2)PC＝HC，DP＝DH，AP＝BH，AD＝BD.(3)∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.∵∠CPD＝90°，∴∠ABC＝90°.∵CD为∠ACF的角平分线，∠PCD＝∠DCF＝∠ACB，∴∠ACB＝60°.∴∠ABC＝90°且∠ACB＝60°时，△CPD∽△CBA.【解析】(1)根据角平分线与垂线的性质证明角相等；(2)发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等；(3)根据其中一个是直角三角形得到AC必须是直径．再根据另一对角对应相等，结合利用平角发现必须都是60°才可．21.【答案】(1)证明∵AB＝，BC＝，AC＝2，A′B′＝2，B′C′＝2，A′C′＝4，∴＝＝，∴△ABC∽A′B′C′；(2)解如图所示：两三角形对应点的连线相交于一点，故A′B′C′与△ABC是位似图形，O即为位似中心，位似比为2.【解析】(1)分别求出三角形各边长，进而得出答案；(2)利用位似图形的性质得出答案．。

人教版数学九年级下册第二十七章相似期中专项复习一、单选题1．如图，取一张长为a ，宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a 、b 应满足的条件是（ ）A ．a ＝bB ．a ＝2bC ．a ＝2bD ．a ＝4b2．将矩形按照如图所示的方式向外扩张得到新矩形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸(0)a a > ，若所得新矩形与原矩形相似，则a 的值的个数可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无数个3．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在 x 轴上， OC 在y 轴上， 如果矩形 OA B C ''' 与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OA B C ''' 的面积等于矩形 OABC 面积的14，那么点 B 的坐标是( )A ．3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 或 3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(3，2)或（-3，-2）4．如图,要判定ABC 与AED 相似,欲添加一个条件,下列可行的条件有( 1 )::AE BE AD DC =;(2)::AE AD AC AB =;(3)::AD AC DE BC =;(4)180BED C ︒∠+∠=;(5)BED C ∠=∠.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在Rt ABC 纸片中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，点,D E 分别在,AB AC 上，连结DE ，将ADE 沿DE 翻折，使点A 的对应点F 落在BC 的延长线上，若FD 平分EFB ∠，则AD的长为（ ）A ．259B ．258C ．157D ．2076．如图，等边三角形ABC 中，AB=3，点D 在边AB 上，且AD=1，点E 是边B 上的一动点，作射线ED ．射线ED 绕点E 顺时针旋转60°得到射线EF ，交AC 于点F ，则点E 从B→C 的运动过程中，CF 的最大值是（ ）A B ．1C ．98D 7．如图，已知点M 是△ABC 的重心，AB ＝18，MN ∥AB ，则MN 的值是（ ）A．9B．94C．92D．68．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（ ）A．5︰3B．4︰3C︰2D．2︰9．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且AB：DE＝3：2，则△ABC的面积与△DEF面积之比为（ ）A．3：2B．3：5C．9：4D．9：510．如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C、D、E在同一直线上，顶点B、C、G在同一条直线上.O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH，以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△FHG；③BCCG=-1；④2HOMHOGSS=正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 出发向B 以2cm 秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向A 以1cm/秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t 秒表示移动的时间（0<x<6）那么，当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与ABC 相似？　　．12．在ABC 中，14AB BC sin ABC ==∠=，，点P 在直线AC 上，点P 到直线AB 的CP 的长为　　．13．已知：3(0)2x y y =≠，则x x y=+ ．14．我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ，AD ＝1，BC ＝2，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，且EF BC ，如果四边AEFD 与四边形EBCF 相似，那么AEEB的值是 ．15．在平面直角坐标系中，已知点E （-4，2），F （-2，-2），以原点O 为位似中心，相似比为2，把△EFO 放大，则点E 的对应点E′的坐标是 ．16．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，2BC =，AB =D 在边AC 上， :1:3CD AD =，联结BD ，点E 在线段BD 上，如果BCE A ∠=∠，那么CE = ．17．如图，在 ABCD 中，E 是 AB 的中点，F 在 AD 上，且 13AF AD =：： ， EF 交AC 于G.若 40AC = ，则 AG = .18．将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为 .三、解答题19．如图，a ∥b ∥c ，直线m ，n 交于点O ，且分别与直线a ，b ，c 交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，已知OA ＝1，OB ＝2，BC ＝4，EF ＝5，求DE 的长度是？20．已知91114x y z== ，且x+y+z ＝68．求x ，y ，z 的值． 21．已知：如图，在△ABC 中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，延长DE 、BC 交于点F ．求证：BF·EC=CF·AE ．22．如图，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点F ，若 AEF ∆ 的面积为1，求平行四边形 ABCD 的面积．23．如图，已知点 D 为 ABC 的边 AB 上一点，过点 B 作 BE //AC ， BE 交 CD 的延长线于点 E ，且 ACD ABC ∠=∠ ， ABC BED S :S 4:9= ， AC 10= ，求 AD 的长．24．已知：如图，在 ABC 中， 6AB = ， 8AC = ， D 、 E 分别在 AB 、 AC 上，2BD = ， 5CE = ．求证： AED ABC ∽ ．25．请阅读下列材料，并完成相应的任务．正方形网格是认识数和形的绝好途径．在网格中构造几何图形具有直观性和可操作性，网格中的数学问题具有显著的数形结合和转化的特征．下面网格图中每个小正方形的边长都为1．如图1，点A 、B 、C 、D 都是格点，连接AC ，BD 交于点O ，则AC ，BD 互相平分．如图2，点A 、B 、C 、D 都是格点，连接AC ，BD 交于点M ，则点M 是线段AC 的四等分点．任务一：请你观察图1，连接AD 、DC 、CB 、AB ，则AC ，BD 互相平分，其理由是 ▲ ．任务二：请你观察图2，说明点M 是AC 的四等分点的理由．任务三：在下面网格图中按要求作图．要求：①仅用无刻度直尺；②保留必要的思考痕迹．在图3中的线段BC 上做两点M 、N ，使得△ABM 与△ABN 都为等腰三角形．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】A9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】1.2s或3s12．13．【答案】3 514．15．【答案】（-8，4）或（8，-4）16．17．【答案】818．【答案】15 419．【答案】解：∵OA=1，OB=2，∴AB=3，∵a∥b∥c，∴AB DE BC EF=，即345DE =，∴154 DE=；∴DE 的长度是154．20．【答案】解：设 91114k y zk === ， 则x ＝9k ，y ＝11k ，z ＝14k ，∴9k+11k+14k ＝68，解得：k ＝2，∴x ＝18，y ＝22，z ＝28．答：x ，y ，z 的值分别为18，22，28．21．【答案】证明：作DG ∥BC ，DH ∥AC ，则△ADG ∽△ABC ，∵D 是AB 中点，∴G 是AC 中点，H 是BC 中点，BC=2DG ，AC=2AG ，∵△DGE ∽△FCE ，∴DG EGCF CE = ，∴22DG EG CF CE = ，即 2BC EGCF EC = ，∴211BC EGCF EC+=+ ，即BC CF EG EG ECCF EC+++= ，∵EG+EC=GC=AG ，∴EG+EG+EC=EG+AG=AE ，∴BC CF AE CF EC += ，即 BF AECF EC= ，∴BF·EC=CF·AE ．22．【答案】解：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴,//AB CD AB CD = ，∴AEF CDF ∆~∆ ，∵点 E 是 AB 的中点，∴12AF AE AE FC CD AB === ，∴21124AEF CDF S S ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∵AEF ∆ 的面积为1，∴14422CDF AEF ADF CDF S S S S ∆∆∆∆====， ，∴6ACD ADF CDF S S S ∆∆∆=+= ，∴平行四边形 ABCD 的面积= 212ACD S ∆= ．23．【答案】解：∵BE ∥AC ，∴∠EBD=∠A ，∠E=∠ACD ，∵∠ACD=∠ABC ，∴∠E=∠ABC ，∴△BED ∽△ABC.∵ABC BED S :S 4:9= ，∴24()9AC BD = ，∴23AC BD = .∴1023BD = ，解得BD=15.∵∠ACD=∠ABC ，∠A=∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC ADAB AC= ，即 2AC AD AB =⋅ ，设AD=x ，则 210(15)x x =+ ，解这个方程，得 15x = ， 220x =- （不合题意，舍去），∴AD=5.24．【答案】证明：∵6AB = ， 2BD = ，∴4AD = ，∵8AC = ， 5CE = ，∴3AE = ，∴3162AE AB == ， 4182AD AC == ．∴AE ADAB AC= ，∵EAD BAC ∠=∠∴AED ABC ∽ ．25．【答案】解：任务一：矩形的对角线互相平分；任务二：如图，连接AD ，BC∵//AD BC∴,DAM BCM DMA BMC ∠=∠∠=∠∴ADM CBM ∆~∆∴13AD AM CB CM ==∴M 是AC 的四等分点；任务三：如图，取点D ，E ，连接DE ，交BC 于点M ，连接MA ，则△MBA 是等腰三角形，如图：理由是：∵,DE AB BE AE ⊥=即DE 是AB 的垂直平分线，∴MA=MB∴△MBA 是等腰三角形；取点F ，连接AF ，AF 与BC 交于点N ，△ABN 是等腰三角形，如图：理由是：AB=4，AC=3，由勾股定理得，BC= 5=又CF=1，CF//AB∴1=4CN CFNB AB=，即445BN BC==∴AB=NB=4∴△ABN是等腰三角形．。

人教版九年级数学下册第27章 相似综合测试卷（时间90分钟，满分120分）一、选择题（共10小题，3*10=30）1．如图，在正方形网格上有五个三角形，其中与△ABC 相似(不包括△ABC 本身)的三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是( )A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABCC.AP AB ＝AB ACD.AB BP ＝AC CB3．如图，已知△ABC 和△ABD 都是⊙O 的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与△ADE 相似的三角形是( )A ．△BCEB ．△ABCC ．△ABD D ．△ABE4．(2019·哈尔滨)如图，在▱ABCD 中，点E 在对角线BD 上，EM ∥AD ，交AB 于点M ，EN ∥AB ，交AD 于点N ，则下列式子一定正确的是( )A.AM BM ＝NE DEB.AM AB ＝AN ADC.BC ME ＝BE BDD.BD BE ＝BC EM5．在△ABC 中，∠A ＝30°，BD 是AC 边上的高，若BD AD ＝CD BD，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．30°或90°6. 如图，在△ABC 中，两条中线BE ，CD 相交于点O ，则S △DOE ∶S △DCE ＝( )A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．2∶37．如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD ＝∠B.若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为( )A ．2aB ．52a C ．3a D ．72a8．如图，∠ABD ＝∠BDC ＝90°，∠A ＝∠CBD ，AB ＝3，BD ＝2，则CD 的长为( )A.34B.43C ．2D ．39．如图，为了测量一池塘的宽DE ，在岸边找到一点C ，测得CD ＝30 m ，在DC 的延长线上找一点A ，测得AC ＝5 m ，过点A 作AB ∥DE 交EC 的延长线于点B ，测出AB ＝6 m ，则池塘的宽DE 为( )A ．25 mB ．30 mC ．36 mD ．40 m10. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为( )A ．五丈B ．四丈五尺C ．一丈D ．五尺二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，要使△ABC 与△DBA 相似，则只需添加一个适当的条件____________________________．(填一个即可)12. 如图，在四边形ABCD 与四边形EFGH 中，∠A ＝100°，∠B ＝90°，∠C ＝120°，∠F ＝ 90°， ∠G ＝120°，∠H ＝50°，则四边形ABCD 与四边形EFGH______________．(填“一定相似”或“不一定相似”)13. 在平面直角坐标系中，已知点E(－6，4)，F(－2，－2)，以原点O 为位似中心，相似比为1∶2，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E′的坐标是___________________．14. 如图，正方形ABCD 中，AB ＝12，AE ＝14AB ，点P 在BC 上运动(不与B ，C 重合)，过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为_____.15. 如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则BD AD的值为_________．16．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的数据，蜡烛在暗盒中所成像CD 的长为_________．17. 如图，在▱ABCD 中，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使DE ∶AD ＝1∶3，连接EF 交DC 于点G ，则S △DEG ∶S △CFG ＝_________．18. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB.若AD＝2，BD＝3，则AC的长为_______.三．解答题（共7小题，66分）19．(8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.求证：△ACD∽△BFD.20．(8分)如图，在▱ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于点E，F，试证明：AF·AD ＝AG·BF.21．(8分)如图，△ABC是边长为3的等边三角形，点E，F分别在AC，BC边上，连接AF，BE相交于点P，∠APE＝60°.(1)求证：△APE∽△ACF；(2)若AE＝1，求AP·AF的值．22．(10分)如图，△ABC在方格纸中．(1)请在方格板上建立平面直角坐标系，使A(2，3)，C(6，2)，并求出B点坐标；(2)以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′；(3)计算△A′B′C′的面积S.23. (10分)如图，在▱ABCD中，E是AD上的一点，已知AE∶ED＝2∶1，AO＝4，求OC的长．24．(10分)如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.(1)求证：BD2＝AD·CD；(2)若CD＝6，AD＝8，求MN的长．25．(12分) 街道旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌，有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处G，而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点E，已知BC＝5米，半圆形的直径为6米，DE＝2米．(1)求电线杆落在广告牌上的影长(即弧CG的长度，精确到0.1米)；(2)求电线杆的高度．参考答案1-5 BDADD 6-10 BCBCB11. ∠C ＝∠BAD 或∠BAC ＝∠BDA(答案不唯一)12. 不一定相似13. (－3，2)或(3，－2)14. 4 15.2－116．1 cm17．4∶9 18. 1019. 证明：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠BDF ＝∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴∠C ＋∠DBF ＝90°，∠C ＋∠DAC ＝90°，∴∠DBF ＝∠DAC ，∴△ACD ∽△BFD20. 证明：∵在▱ABCD 中，AD ∥BC ，DG ∥AB ，∴∠DGA ＝∠GAB ，∠DAG ＝∠AFB ，∴△BFA ∽△DAG ，∴AF BF ＝AG AD， ∴AF ·AD ＝AG·BF21. 解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠C ＝60°，∵∠APE ＝60°，∴∠C ＝∠APE ，又∵∠PAE ＝∠CAF ，∴△APE ∽△ACF(2)∵△APE ∽△ACF ，∴AE AF ＝AP AC， ∴AP ·AF ＝AE·AC ＝322. 解：(1)画出原点O ，x 轴、y 轴如图，B(2，1)(2)图形△A′B′C′如图(3)S ＝12×4×8＝1623. 解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴△AOE ∽△COB ，∴AO OC ＝AE BC，又∵AE ∶ED ＝2∶1，∴AE ∶AD ＝2∶3，又∵AD ＝BC ，∴AE ∶BC ＝2∶3，∴AO OC ＝23， 又∵AO ＝4，∴OC ＝624. 证明：(1)∵DB 平分∠ADC ，∴∠ADB ＝∠CDB ，且∠ABD ＝∠BCD ＝90°，∴△ABD ∽△BCD ，∴AD BD ＝BD CD， ∴BD 2＝AD·CD(2)∵BM ∥CD ，∴∠MBD ＝∠BDC ，∴∠ADB ＝∠MBD ，且∠ABD ＝90°，∴BM ＝MD ，∠MAB ＝∠MBA ，∴BM ＝MD ＝AM ＝4，∵BD 2＝AD·CD ，且CD ＝6，AD ＝8，∴BD 2＝48，∴BC 2＝BD 2－CD 2＝12，∴MC 2＝BM 2＋BC 2＝28，∴MC ＝27，∵BM ∥CD ，∴△MNB ∽△CND ，∴BM CD ＝MN CN ＝23， 且MC ＝27，∴MN ＝457 25. 解：(1)∵G 是半圆广告牌的最高处，∴CG ︵＝12CD ︵， ∵CD ︵为半圆，半圆直径为6米，∴CD ︵＝12d π＝12×6π＝3π， CG ︵＝3π2≈4.7(米)，即电线杆落在广告牌上的影长约为4.7米 (2)连接OF ，过点G 作GH ⊥AB 于点H ，则四边形BOGH 是矩形，OG ＝3，BO ＝BC ＋CO ＝8， ∴BH ＝3，GH ＝8，∵FE 为⊙O 的切线，∴∠OFE ＝90°，FE ＝OE 2－OF 2＝4，∵太阳光是平行的，∴AG ∥FE ，又∵GH ∥OE ，∠OFE ＝∠AHG ＝90°，∴△AGH ∽△OEF ，∴FE HG ＝OF AH ，即48＝3AH， 解得AH ＝6，即AB ＝AH ＋HB ＝6＋3＝9(米)，即电线杆的高度为9米.。

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE =1：2，那么下列等式一定成立的是 A ．BC ：DE =1：2B ．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 【答案】D2．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，且AB =1，CD =3，那么EF 的长是A ．13B ．23 C ．34D ．45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF DF AB DB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +=1，∴EF =34．故选C ．3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC=A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=23AB=23CD，∵AB∥CD，∴EFFC=BEDC=23，故选B．4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且32AEDE=，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长为A．10cm B．5cmC．6cm D．9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，∴DE∥BC，且AD=BC，∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴BC BF ED DF=，∵32AEDE=，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，52BC BFED DF==，∵BF=15cm，∴DF=25BF═6cm．故选C．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为A．9：1 B．1：9C．3：1 D．1：3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选B．6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为A．63°B．72°C．73°D．83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=A．32B．1C．12D．23【答案】C【解析】∵E为AB中点，∴AE=12AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB，∴12AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．两个三角形相似，相似比是12，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________．【答案】36【解析】∵两个三角形相似，相似比是12，∴两个三角形的面积比是14，∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36．9．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．【答案】65或310．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________．【答案】3≤AP<4【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0<AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP<4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4．故答案为：3≤AP<4．11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________．【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）【解析】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ．求证：111ABC A B C S S △△=k 2；证明：作AD ⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应， ∴∠B =∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ，△A 1B 1C 1的高线， ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11ABA B =k ， ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2．13．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线，已知AC =9cm ，CB =12cm ，DE =3cm ．（1）求CM 和EN 的长； （2）你发现CMEN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB =22AC CB +=22912+=15，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM =12AB=7.5， ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE DF AC AB =，即319315DF==， ∴DF =5，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴EN =12DF =2.5； （2）∵7.532.51CM EN ==，相似比为9331AC DE ==，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB ．（1）求∠APB 的大小．（2）说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系．15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD =CD ，则∠ACB =__________°． （2）如图2，在△ABC 中，AC =2，BC 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知得AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x3–1，∵△BCD∽△BAC，∴CD BDAC BC=32，∴CD 312-×62．故答案为：96．。

人教版九年级数学第27章相似综合训练一、选择题1. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是()A．(2,4) B．(－1，－2)C．(－2，－4) D．(－2，－1)2. (2019•雅安)如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与相似的是A．B．C．D．3. （2020·重庆B卷）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA:OD=1:2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:54. (2019•重庆)下列命题是真命题的是A．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9 C．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3 D．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶95. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为()A. (32，2) B. (2，2) C. (114，2) D. (4，2) 6. (2019•贺州)如图，在ABC△中，D E，分别是AB AC，边上的点，DE BC∥，若23AD AB==，，4DE=，则BC等于A．5 B．6C．7 D．87. （2020·铜仁）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（）A．3 B．2 C．4 D．58. （2020•丽水）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则ABCDEFGHSS正方形正方形的值是（）A．12+B．22+C．52-D．154二、填空题9. (2019•郴州)若32x y x +=，则yx=__________．10. （2020·吉林）如图，////AB CD EF ．若12=AC CE ，5BD =，则DF =______．11. 在平面直角坐标系中，点A 关于y 轴的对称点为点B ，点A 关于原点O 的对称点为点C .(1)若点A 的坐标为(1,2)，请你在给出的坐标系中画出△ABC .设AB 与y 轴的交点为D ，则S △ADOS △ABC＝__________； (2)若点A 的坐标为(a ，b )(ab ≠0)，则△ABC 的形状为____________．12. (2020·绥化)在平面直角坐标系中，△ABC和△A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，若点A 的坐标为(2，4)，则其对应点A 1的坐标是______．13. （2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________.14. (2019•辽阳)如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO CO ，分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(86)-，，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE △∽CBO △，当APC △是等腰三角形时，P 点坐标为__________．三、解答题15. （2020·凉山州）（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC ＝120 mm ，高AD ＝80mm ，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？16. (2019•张家界)如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线AC ，延长AB 至点E ，使BE AB =，连接DE ，分别交BC ，AC 交于点F ，G ． (1)求证：BF CF =；(2)若6BC =，4DG =，求FG 的长．HKFEBA17. 如图，AB是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠A ＝2∠BCD ，点E 在AB的延长线上，∠AED ＝∠ABC. (1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)若BF ＝2，DF ＝10，求⊙O 的半径．人教版 九年级数学 第27章 相似 综合训练-答案一、选择题1. 【答案】C 解析：根据以原点O 为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以－2，故点A 的坐标是(1,2)，则点A ′的坐标是(－2，－4)．2. 【答案】B【解析】因为111A B C △中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等，故选B ．3. 【答案】C【解析】本题考查了相似三角形的性质， ∵△ABC 与△DEF 位似，且1=2OA OD ，∴211=24ABC DEFS S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此本题选C ．4. 【答案】B【解析】A 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；B 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是真命题；C 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题；D 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题， 故选B ．5. 【答案】B【解析】∵点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7， ∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ，∵EF ⊥x 轴，EF=GF=DG=2，∴EF ∥AC ，D ，E 两点的纵坐标均为2， ∴EF BF AC BC ，即269BF ，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D 点的横坐标为2，∴点D 的坐标为 (2，2)．6. 【答案】B【解析】∵DE BC ∥，∴ADE ABC △∽△，∴AD DE AB BC =，即243BC =，解得：6BC =，故选B ．7. 【答案】A 【解析】相似三角形的周长之比等于相似比，所以△FHB 和△EAD的相似比为30∶15=2∶1，所以FH ∶EA=2∶1，即6∶EA=2∶1，解得EA=3.因此本题选A ．8. 【答案】C【解析】∵四边形EFGH 为正方形，∴∠EGH ＝45°，∠FGH ＝90°，∵OG ＝GP ，∴∠GOP ＝∠OPG ＝67.5°，∴∠PBG ＝22.5°，又∵∠DBC ＝45°，∴∠GBC ＝22.5°，∴∠PBG ＝∠GBC ，∵∠BGP ＝∠BG ＝90°，BG ＝BG ，∴△BPG ≌△BCG ，∴PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，∵O 为EG ，BD 的交点，∴EG ＝2x ，FG 2=.∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF ＝CG ＝x ，∴BG ＝x 2+x ，∴BC2＝BG2+CG2()2222(21)422x x x =++=+， ∴()22422222ABCD EFGHx S S x +==+正方形正方形D ．二、填空题9. 【答案】12【解析】∵32x y x +=，∴223x y x +=， 故2y =x ，则12y x =，故答案为：12．10. 【答案】10【解析】∵////AB CD EF ，∴AC BDCE DF=， 又∵12=AC CE ，5BD =，∴512DF =，∴10DF =，故答案为：10．11. 【答案】(1)△ABC如图 14 (2)直角三角形 解析：(1)因为点A 的坐标为(1,2)，所以点A 关于y 轴的对称点B 的坐标为(－1,2)，关于原点的对称点C 的坐标为(－1，－2)．连AB ，BC ，AC ，作△ABC .设AB 交y 轴于D 点，如图， D 点坐标为(0,2)， ∵OD ∥BC ， ∴△ADO ∽△ABC . ∴S △ADO S △ABC ＝AD 2AB 2＝14.(2)∵ab≠0，∴a≠0，且b≠0，∴点A不在坐标轴上，∴AB∥x轴，BC⊥x轴．∴∠ABC＝90°.∴△ABC是直角三角形．12. 【答案】(－4，－8)或(4，8)【解析】∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于12，∴△A1B1C1和△ABC的相似比等于2．因此将点A(2，4)的横、纵坐标乘以±2即得点A1的坐标，∴点A1的坐标是(－4，－8)或(4，8)．13. 【答案】145或2.8【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C作CD⊥y轴于点D，设AC交y轴于点E，∴CD∥x轴，∴∠CAO=∠ACD, △DEC∽△OEA，∵2BCA CAO∠=∠，∴∠BCD=∠ACD, ∴BD=DE,设BD=DE=x，则OE=4-2x,∴DCAO=DEEO,即34=x4-2x,解得x=1.2．∴OE=4-2x=1.6，∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.14. 【答案】326()55-，或(43)-，【解析】∵点P在矩形ABOC的内部，且APC△是等腰三角形，∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO 的交点即是E，如图1所示，∵PE BO⊥，CO BO⊥，∴PE CO∥，∴PBE△∽CBO△，∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为(86)-，，∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =， ∵PBE △∽CBO △， ∴PE BE CO BO =，即468PE =， 解得：3PE =，∴点(43)P -，． ②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ， 过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示，∵CO BO ⊥，∴PE CO ∥， ∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，， ∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==， ∴22228610BC BO OC +=+=，∴2BP =， ∵PBE △∽CBO △， ∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==， 解得：65PE =，85BE =， ∴832855OE =-=，∴点326()55P -，， 综上所述：点P 的坐标为：326()55-，或(43)-，， 故答案为：326()55-，或(43)-，．三、解答题15. 【答案】解：设这个正方形零件的边长为x mm ，则△AEF 的边EF 上的高AK ＝(80－x)mm ．∵四边形EFHG 是正方形，∴EF ∥GH ，即EF ∥BC ．∴△AEF ∽△ABC ． ∴EF AK BC AD =，即8012080x x-=．∴x ＝48．∴这个正方形零件的边长是48 mm ．16. 【答案】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD CD ∥，AD BC =， ∴EBF EAD △∽△， ∴BF BEAD EA=， ∵BE =AB ，AE =AB +BE ， ∴12BF AD =， ∴1122BF AD BC ==， ∴BF CF =．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD CD ∥， ∴FGC DGA △∽△， ∴FG FC DG AD =，即142FG =， 解得，2FG =．17. 【答案】(1)证明：如解图，连接DO ， ∴∠BOD ＝2∠BCD ＝∠A ，(2分)解图又∵∠DEA ＝∠CBA ，∴∠DEA ＋∠DOE ＝∠CAB ＋∠CBA ， 又∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠ACB ＝90°，(5分) ∴OD ⊥DE ，又∵OD 是⊙O 的半径， ∴DE 与⊙O 相切．(7分)(2)解：如解图，连接BD ， 可得△FBD ∽△DBO ， ∴BD BO ＝DF OD ＝BF BD ，(8分) ∴BD ＝DF ＝10，∴OB ＝5，(10分)即⊙O 的半径为5.。

人教版数学九年级下学期第27章《相似》测试题（测试时间：120分钟 满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．如果23a b =，则a bb +=（ ） A ．13 B ．12 C ．53 D ． 352．如图△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，31==ACAD ABAE ,则BCED ADE S S 四边形△:的值为（ ）A 、3:1B 、1:3C 、1:8D 、1:93．如图，Rt △ABC 和Rt △DCA 中，∠B=∠ACD=90°，AD ∥BC ，AB=2，DC=3，则△ABC 与△DCA 的面积比为（ ）A ．2：3B ．2：5C ．4：9D ．2:34．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ．AC 与DF 相交于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5，则DEEF的值为（ ）.A ．12 B ．2 C ．25 D ．355．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3 米，则地面上阴影部分的面积为（ ）A ．0..36π米2B ． 0.81π米2C ．2π米2D ．3. 24π米26．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 、C 、D 的坐标分别为B （5，0）、C （1，2）、D （2，0），则点A 的坐标是（ ）A ．（2.5，5）B ．（2.5，3）C ．（3，5）D ．（2.5，4）7．如图，△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ， OB ，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ）A ．1：2B ．1：4C ．1：5D ．1：68．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若EF ：AF=2：5，则DEFEFBCSS 四边形：为（ ）A ．2：5B ．4：25C ．4：31D ．4：359．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）A ．0.5mB ．0.55mC ．0.6mD ．2.2m10．如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE=45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE 分别交于点G 、H ，∠CBE=∠BAD ．有下列结论：①FD=F E ；②AH=2CD ；③BC •AD=AE 2；④S △ABC =4S △ADF ．其中正确的有（ ）A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个二、填空题（每小题3分，共30分）11．已知两个相似三角形的周长比是，它们的面积比是________．12．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）．13．李明同学利用影长测学校旗杆的高度，某一时刻身高1.8米的李明的影长为1米，同时测得旗杆的影长为7米，则学校的旗杆的高为________米.14．在中，，是的中点，过点作直线，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线有________条．15．如图，在□ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：__________________.16．如图，数学趣闻：上世纪九十年代，国外有人传说：“从月亮上看地球，长城是肉眼唯一看得见的建筑物．”设长城的厚度为，人的正常视力能看清的最小物体所形成的视角为，且已知月、地两球之间的距离为，根据学过的数学知识，你认为这个传说________．（请填“可能”或“不可能”，参考数据：）17．△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为_______．18．如图，等边△ ABC 的边长为30，点M 是边AB 上一动点，将等边△ ABC 沿过点M 的直线折叠，该直线与直线AC 交于点N，使点A 落在直线BC 上的点D 处，且BD：DC=1 :4，折痕为MN，则AN 的长为_____.19．如图：已知在中，是斜边上的高．在这个图形中，与相似的三角形是________（只写一个即可）．20．如图，在梯形中，，点、、、是两腰上的点，，，且四边形的面积为，则梯形的面积为________．三、解答题（共60分）21．（本题7分）如图，D是△ABC外一点，E是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4.（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请分别说明两对三角形相似的理由.22．（本题7分）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．(1)、若D（2，3），请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF ∽△ABC，且相似比为2∶1；(2)、求△ABC中AC边上的高；(3)、若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为23．（本题7分）如图，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点．EF与BD相交于点M．（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若DB=9，求BM．24．（本题6分）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．25．（本题8分）如图，在△ABC中，AD是角平分钱，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE．（1）求证：△DCE∽△BCA；（2）若AB=3，AC=4．求DE的长．26．（本题8分）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC 的费马点．（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA=3，PC=4，则PB= ．（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．27．（本题8分）如图1，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的一动点（不与端点A、D重合），连结PC，过点P作P E⊥PC交AB于点E，在P点运动过程中，图中各角和线段之间是否存在的某种关系和规律？特例求解当E为AB的中点，且AP＞AE时，求证：PE=PC．深入探究当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中B E的取值范围．28．（本题9分）如图，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AE⊥l交直线l于点E、交⊙O于点F，BD⊥l交直线l于点D．（1）求证：△AEC∽△CDB；（2）求证：AE+EF=AB；cm s的速度运动，点Q从点B出发沿（3）若AC=8cm，BC=6cm，点P从点A出发沿线段AB向点B以2/cm s的速度运动，两点同时出发，当点P运动到点B时，两点都停止运动．设运动时线段BC向点C以1/间为t秒，求当t为何值时，△BPQ为等腰三角形？答案（测试时间：120分钟 满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．如果23a b =，则a bb +=（ ） A ．13 B ．12 C ．53 D ． 35【答案】C 【解析】先根据比例的性质可得a b +1=23+1，进而可得53a b b +=． 故选C ．2．如图△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，31==ACAD ABAE ,则BCED ADE S S 四边形△:的值为（ ）A 、3:1B 、1:3C 、1:8D 、1:9【答案】C 【解析】根据题意可得：△ADE ∽△ACB ，则ADE ACB S S △△：=1:9，则BCED ADE S S 四边形△:=1:8.故选C3．如图，Rt △ABC 和Rt △DCA 中，∠B=∠ACD=90°，AD ∥BC ，AB=2，DC=3，则△ABC 与△DCA 的面积比为（ ）A ．2：3B ．2：5C ．4：9D ．2:3 【答案】C 【解析】由AD ∥BC ，得出∠ACB=∠DAC ，证得△A BC ∽△DCA ，可得AB BC ACDC AC AD==，再由面积的比等于相似比的平方，即可得到24()9ABC DCAS AB SDC ==， 故选C ．4．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ．AC 与DF 相交于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5，则DEEF的值为（ ）.A ．12 B ．2 C ．25 D ．35【答案】D ．5．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图．已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米．若灯泡离地面3 米，则地面上阴影部分的面积为（ ）A ．0..36π米2B ． 0.81π米2C ．2π米2D ．3. 24π米2【答案】B 【解析】如图设C ，D 分别是桌面和其地面影子的圆心，依题意可以得到△OBC ∽△OAD ，然后由它们的对应边成比例可以得CB OC AD OD =，再把OD=3，CD=1代入可求出OC= OD-CD=3-1=2，BC=12×1.2=0.6，然后求出地面影子的半径AD=0.9，这样可以求出阴影部分的面积S ⊙D =π×0.92=0.81πm 2，这样地面上阴影部分的面积为0.81πm 2． 故选B6．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 、C 、D 的坐标分别为B （5，0）、C （1，2）、D （2，0），则点A 的坐标是（ ）A ．（2.5，5）B ．（2.5，3）C ．（3，5）D ．（2.5，4） 【答案】A7．如图，△D EF 是由△ABC 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D ，E ，F 分别是OA ， OB ，OC 的中点，则△DEF 与△ABC 的面积比是（ ）A ．1：2B ．1：4C ．1：5D ．1：6【答案】B 【解析】由D ，F 分别是OA ，OC 的中点，根据三角形的中位线的性质得DF=12AC ，根据三角形相似的性质可知△DEF 与△ABC 的相似比是1：2，因此△DEF 与△ABC 的面积比是1：4． 故选B ．8．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若EF ：AF=2：5，则DEFEFBCSS 四边形：为（ ）A ．2：5B ．4：25C ．4：31D ．4：35 【答案】C9．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）A ．0.5mB ．0.55mC ．0.6mD ．2.2m 【答案】A【解析】 根据题意可得：1.185.07.1x，解得：x=2.2，则2.2-1.7=0.5m ，即小刚举起的手臂超出头顶0.5m. 10．如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE=45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE 分别交于点G 、H ，∠CBE=∠BAD ．有下列结论：①FD=FE ；②AH=2CD ；③BC •AD=AE 2；④S △ABC =4S △ADF ．其中正确的有（ ）A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个【答案】D二、填空题（每小题3分，共30分）11．已知两个相似三角形的周长比是，它们的面积比是________．【答案】【解析】∵两个相似三角形的周长比是1：3，∴它们的面积比是，即1：9．故答案为：1：9．12．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）．【答案】6.2【解析】由题意知AC:AB=BC:AC，∴AC:AB≈0.618，∴AC=0.618×10cm≈6.2(结果精确到0.1cm)故答案为：6.2.13．李明同学利用影长测学校旗杆的高度，某一时刻身高1.8米的李明的影长为1米，同时测得旗杆的影长为7米，则学校的旗杆的高为________米.【答案】12.614．在中，，是的中点，过点作直线，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线有________条．【答案】【解析】作DE∥AB,DF∥BC，可得相似，作∠CDG=∠B，∠ADH=∠C，也可得相似三角形.所以可作4条.故答案为：4.15．如图，在□ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：__________________.【答案】答案不唯一，如△DFE∽△CBE【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//AD，即BC//DF，∴△DEF∽△CEB，故答案为：△DEF∽△CEB（答案不唯一）.16．如图，数学趣闻：上世纪九十年代，国外有人传说：“从月亮上看地球，长城是肉眼唯一看得见的建筑物．”设长城的厚度为，人的正常视力能看清的最小物体所形成的视角为，且已知月、地两球之间的距离为，根据学过的数学知识，你认为这个传说________．（请填“可能”或“不可能”，参考数据：）【答案】不可能这就是说,按照人的最小视角1′观察地球上长城的厚度，最远的距离只能是34.4km，而月球与地球之间的距离为380000km，这个数字很大，它相当于34.4km的11046倍，从这么远看长城，根本无法看见. 17．△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为_______．【答案】【解析】由三边对应成比例的两个三角形相似,易得相似比为:,故要使△ABC和△A1B1C1的三边成比例,则第三边长为2÷=,故答案为:.18．如图，等边△ ABC 的边长为30，点M 是边AB 上一动点，将等边△ ABC 沿过点M 的直线折叠，该直线与直线AC 交于点N，使点A 落在直线BC 上的点D 处，且BD：DC=1 :4，折痕为MN，则AN 的长为_____.【答案】21或65【解析】①当点A落在如图1所示的位置时，∵BD：DC=1：4，BC=30，∴DB=6，CD=24，设AN=x，则CN=30-x，∴=，∴DM=，BM=，∵BM+DM=30，∴+=30，解得x=21，∴AN=21；②当A在CB的延长线上时，如图2，与①同理可得△BMD∽△CDN，∴得，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=10，CD=40，设AN=x，则CN=x-10，∴=，∴DM=，BM=，∵BM+DM=30，∴+=10，解得：x=65，∴AN=65．故答案为：21或65．19．如图：已知在中，是斜边上的高．在这个图形中，与相似的三角形是________（只写一个即可）．【答案】20．如图，在梯形中，，点、、、是两腰上的点，，，且四边形的面积为，则梯形的面积为________．【答案】18【解析】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G、H是两腰上的点，AE=EF=FB，CG=GH=HD，∴2EH=AD+FG，2FG=EH+BC，∴EH=，FG=，∵四边形EFGH的面积为6cm2，∴（EH+FG）h=6，∴四边形ADEH的面积和四边形FBCG的面积和为：（EH+AD）h+（BC+FG）h=12，则梯形ABCD的面积为：18．故答案为：18．三、解答题（共60分）21．（本题7分）如图，D是△AB C外一点，E是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4.（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请分别说明两对三角形相似的理由.【答案】(1)、△ABD∽△AEC；△ABE∽△ADC；(2)、证明见解析22．（本题7分）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．(1)、若D（2，3），请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF ∽△ABC，且相似比为2∶1；(2)、求△ABC中AC边上的高；(3)、若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为【答案】(1)图形见解析；(2)、105；(3)、（2,6）.【解析】(1)、如图所示；(2)、高105(3)、（2,6）；23．（本题7分） 如图，梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB=2CD ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点．EF 与BD 相交于点M ．（1）求证：△EDM ∽△FBM ； （2）若DB=9，求BM ．【答案】(1)、证明见解析；(2)、BM=3.24．（本题6分）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM 上的对应位置为点C ，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D 时，看到“望月阁”顶端点A 在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方O yxAB CDEF法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．【答案】99m25．（本题8分）如图，在△ABC中，AD是角平分钱，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE．（1）求证：△DCE∽△BCA；（2）若AB=3，AC=4．求DE的长．【答案】（1）、证明见解析；（2）、12 7【解析】（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DA，∵∠EAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∴AB∥DE,∴△DCE∽△BCA；（2）、∵∠EAD=∠ADE,∴AE=DE,设DE=x,∴CE=AC﹣AE=AC﹣DE=4﹣x,∵△DCE∽△BCA,∴DE：AB=CE：AC,即x：3=（4﹣x）：4,解得：x=127，∴DE的长是127．26．（本题8分）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC 的费马点．（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA=3，PC=4，则PB= ．（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析在△ACE和△ABD中，AC ADEAC BADEA AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠1=∠2,∵∠3=∠4，∴∠CPD=∠6=∠5=60°；②∵△ADF∽△CFP，∴AF•PF=DF•CF，∵∠AFP=∠CFD，∴△AFP∽△CDF．∴∠APF=∠ACD=60°，∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，∴∠BPC=120°，∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，∴P点为△ABC的费马点．27．（本题8分）如图1，已知在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，P 是线段AD 边上的一动点（不与端点A 、D 重合），连结PC ，过点P 作PE ⊥PC 交AB 于点E ，在P 点运动过程中，图中各角和线段之间是否存在的某种关系和规律？ 特例求解当E 为AB 的中点，且AP ＞AE 时，求证：PE=PC ． 深入探究当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求整个运动过程中BE 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）87≤BE ＜2． (2)深入探究,设AP=x ，AE=y ，∵△AP E ∽△DCP ，∴AP AE DC DP ，即x （3﹣x ）=2y ，∴y=12x 3﹣x ）=﹣12x +32x=﹣12（x ﹣32）2+98，∴当x=32时，y 的最大值为98，∵AE=y 取最大值时，BE 取最小值为2﹣98=78BE的取值范围为78≤BE ＜2．28．（本题9分）如图，AB 是⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ，AE ⊥l 交直线l 于点E 、交⊙O 于点F ，BD ⊥l 交直线l 于点D ．（1）求证：△AEC∽△CDB；（2）求证：AE+EF=AB；（3）若AC=8cm，BC=6cm，点P从点A出发沿线段AB向点B以2/cm s的速度运动，点Q从点B出发沿线段BC向点C以1/cm s的速度运动，两点同时出发，当点P运动到点B时，两点都停止运动．设运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPQ为等腰三角形？【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）t=103或t=6017或t=258时又∵AE⊥DE，BD⊥DE，∴OC∥BD∥AE，又∵O是AB的中点，∴OC//AE//BD∴OC=1()2BD AE+，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BFE=90°，又∵∠AED=∠BDE=90°，∴四边形BDEF是矩形，∴BD=FE ，∴AE+EF=AE+BD，∴1(AE)2EF+。

人教版数学九年级下学期第27章《相似》测试卷（测试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．已知：线段a、b，且,则下列说法错误的是( )A．a＝2cm，b＝3cm B．a＝2k，b＝3k(k≠0)C．3a＝2b D．2．下列命题正确的是（）A．有一个角对应相等的平行四边形都相似B．对应边成比例的两个平行四边形相似C．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似D．有一个角对应相等的菱形是相似多边形3．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应），那么下列等式中不一定成立的是（）A．B．∠B=∠E C．D．4．在比例尺为1∶8 000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，那么矩形运动场的实际尺寸应为( )A．80 m×160 m B．8 m×16 m C．800 m×160 m D．80 m×800 m5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（）A．(-1, 2)B．(-9, 18)C．(-9, 18)或(9, -18) D．(-1, 2)或(1, -2)6．如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( ) A．1对B．2对C．3对D．4对7．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，在平行四边形中，是上的一点，直线与的延长线交于点，并与交于点，下列式子中错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在中，是边上一点，连接，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数是（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 10．点是线段的黄金分割点，且，下列命题：，中正确的有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个二、填空题（每小题3分，共30分） 11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，23AD DB =，则DEBC = ．12． 如图，直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，10=AB ， 6=BC ，在线段AB 上取一点D ，作AB DF ⊥交AC 于点F .现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点 记为H ；AD 的中点E 的对应点记为G. 若GFH ∆∽GBF ∆，则AD =______ ____.13．如图，等边ABC △的边长为3，P 为BC 上一点，且1BP =，D 为AC 上一点，若60APD ∠=°，则CD 的长为 .14．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，AE 、CD 相交于点O ， 若S △DOE ：S △COA =1：25，则S △BDE 与S △CDE 的比=___________．15．如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm ，OA′=20cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ．16．把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为 17．如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C ，交AB 的延长线于M ，交AD 的延长线于N ，则AM1+AN1= ．18．如图，在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE 交BD 于点F ，若EC=2BE ，则BFFD的值是 ．19．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是米．2.244 1.520．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=，在边CD上有一点E，使EB平分∠AEC．若P为BC 边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．给出以下五个结论：①点B平分线段AF；②PF=DE；③∠BEF=∠FEC；④S矩形ABCD=4S△BPF ；⑤△AEB是正三角形．其中正确结论的序号是．三、解答题（共60分）21．（本题6分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm，BD=4cm，求AC的长．22．（本题6分）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O，按要求画出格点△A1B1C1和格点△A2B2C2．（1）将△ABC绕O点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1；（2）以A1为一个顶点，在网格内画格点△A1B2C2，使得△A1B1C1∽△A1B2C2，且相似比为1：2．23．（本题6分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．24．（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．25．（本题7分）为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC=2米，CD=6米，求树ED的高．26．（本题8分）如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3…，C n在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0）．（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，的位似中心坐标；（2）正方形A4A3B4C4四个顶点的坐标．27．（本题8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．（1）求证：AE•BC=BD•A C；（2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长．28．（本题11分） (1)、问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．(2)、探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．(3)、应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．答案（测试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．已知：线段a、b，且,则下列说法错误的是( )A．a＝2cm，b＝3cm B．a＝2k，b＝3k(k≠0)C．3a＝2b D．【答案】A【解析】选项A，两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关，选项A错误；选项B，，根据等比性质，a=2k，b=3k（k≠0），选项B正确；选项C，，根据比例的基本性质可得3a=2b，选项C正确；选项D，，根据比例的基本性质可得a=b，选项D正确．故选A．2．下列命题正确的是（）A．有一个角对应相等的平行四边形都相似B．对应边成比例的两个平行四边形相似C．有一个角对应相等的两个等腰梯形相似D．有一个角对应相等的菱形是相似多边形【答案】D3．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应），那么下列等式中不一定成立的是（）A．B．∠B=∠E C．D．【答案】C【解析】△ABC∽△DEF，故：A．∠A＝∠D正确，故本选项错误；B．∠B=∠E正确，故本选项错误；C．AB＝DE不一定成立，故本选项正确；D．正确，故本选项错误．故选C．4．在比例尺为1∶8 000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，那么矩形运动场的实际尺寸应为( )A．80 m×160 m B．8 m×16 m C．800 m×160 m D．80 m×800 m【答案】A解得y=16000（cm）=160（m）∴矩形运动场的实际尺寸是80m×160m.故选A.5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（）A．(-1, 2)B．(-9, 18)C．(-9, 18)或(9, -18) D．(-1, 2)或(1, -2)【答案】D6．如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( )A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D【解析】因为点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,所以DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,所以DE//AB,DF//AC,EF//BC,所以△DOE∽△AOD,△DOF∽△AOC,△EOF∽△BOC,因为DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,所以,,所以，所以△DEF∽△ABC,因此有四对相似三角形,故选D.7．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】C8．如图，在平行四边形中，是上的一点，直线与的延长线交于点，并与交于点，下列式子中错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BE，∵CG∥AE，∴四边形AGCF是平行四边形，△BCG∽△BEA，△CEF∽△BEA，∴，，CF=AG，∴DF=BG，，∴选项A、B正确；∵AD∥BE，∴，∴，∴选项C正确，D不正确；故选D．9．如图，在中，是边上一点，连接，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B10．点是线段的黄金分割点，且，下列命题：，中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B二、填空题（每小题3分，共30分） 11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，23AD DB =，则DEBC = ．【答案】25【解析】根据AD:DB=2:3可得：AD:AB=2:5，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴25DE AD BC AB . 12． 如图，直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，10=AB ， 6=BC ，在线段AB 上取一点D ，作AB DF ⊥交AC 于点F .现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点 记为H ；AD 的中点E 的对应点记为G. 若GFH ∆∽GBF ∆，则AD =______ ____.【答案】3.2 【解析】利用勾股定理列式求出AC=8，设AD=2x ，得到AE=DE=DE 1=A 1E 1=x ，然后求出BE 1=10-3x ，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF=32x ，然后利用勾股定理列式求出E 1F=132x ，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x=85，从而可得AD 的长为2×85=165=3.2． 13．如图，等边ABC △的边长为3，P 为BC 上一点，且1BP =，D 为AC 上一点，若60APD ∠=°，则CD的长为 .【答案】23．14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥A C，AE、CD相交于点O，若S△DO E：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比=___________．【答案】1：4【解析】根据S△DOE：S△COA=1：25可得：DE:AC=1:5，则BE：BC=1:4，即BE:CE=1:4，△BDE和△CDE是登高三角形，则S△BDE：S△CDE=BE:EC=1:4.15．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是．【答案】1：2【解析】由五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，可得五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，又由OA=10cm，OA′=20cm，即可求得其相似比为1:2，根据相似多边形的周长的比等于其相似比，即可求得答案为五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA ：OA′=1：2．16．把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为 【答案】152【解析】设原矩形的长为x ，宽为y ，则剩下的矩形的长为y ，宽为(x －y)，根据矩形相似可求出比值. 17．如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C ，交AB 的延长线于M ，交AD 的延长线于N ，则AM1+AN1= ．【答案】1．18．如图，在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE 交BD 于点F ，若EC=2BE ，则BFFD的值是 ．【答案】13【解析】根据菱形的性质得出AD=BC ，AD ∥BC ，求出AD=3BE ，根据相似三角形的判定得出△AFD ∽△EFB ，根据相似得出比例式BF BE DF AD =，代入求出即可求得结果为13． 19．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是 米．41.52.24【答案】3.08 【解析】根据三角形相似的性质可得：x24.25.144=+，则x=3.08 20．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=，在边CD 上有一点E ，使EB 平分∠AEC．若P 为BC 边上一点，且BP=2CP ，连接EP 并延长交AB 的延长线于F ．给出以下五个结论： ①点B 平分线段AF ；②PF=DE ；③∠BEF=∠FEC；④S 矩形ABCD =4S △BPF ；⑤△AEB 是正三角形．其中正确结论的序号是．【答案】①②③⑤在Rt△BPF 中，BF=2，由勾股定理可求得PF=22BF BP +=22343⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=433，∵DE=1，∴PF=433DE ，故②正确；在Rt△BCE 中，EC=1，BC=3，由勾股定理可求得BE=2，∴BE=BF，∴∠BEF=∠F，又∵AB∥CD，∴∠FEC=∠F，∴∠BEF=∠FEC， 故③正确；∵AB=2，AD=3，∴S 矩形ABCD =AB×AD=2×3=23，∵BF=2，BP=433，∴S △BPF =12BF×BP=12×2×433=433， ∴4S △BPF =1633，∴S 矩形ABCD =≠4S △BPF ，故④不正确； 由上可知AB=AE=BE=2，∴△AEB 为正三角形，故⑤正确； 综上可知正确的结论为：①②③⑤．故答案为：①②③⑤． 三、解答题（共60分）21．（本题6分）如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm ，BD=4cm ，求AC 的长．【答案】4622．（本题6分）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）和格点O ，按要求画出格点△A 1B 1C 1和格点△A 2B 2C 2． （1）将△ABC 绕O 点顺时针旋转90°，得到△A 1B 1C 1；（2）以A 1为一个顶点，在网格内画格点△A 1B 2C 2，使得△A 1B 1C 1∽△A 1B 2C 2，且相似比为1：2．【答案】（1）图形见解析；（2）图形见解析.【解析】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A1B2C2，即为所求．23．（本题6分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．【答案】4．【解析】∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，又∠C=90°，∴∠BED=∠C．又∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴BD DEAB AC，∴DE=BD ACAB⋅=8714⨯=4．24．（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．【答案】(1)证明见解析；(2) AD=3525．（本题7分）为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC=2米，CD=6米，求树ED的高．【答案】8米【解析】如图，过A作AH垂直ED，垂足为H，交线段FC与G,由题知，FG//EH, △AFG∽△AEH，FG AG EH AH=又因为AG=BC=2,AH=BD=2+6=8,FG=FC-GC=3.2 -1.6=1.6，所以1.628EH=，EH=6.4，∴ED=EH+HD=6.4+1.6=8 树ED的高为8米26．（本题8分）如图，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，如图位置依次摆放，已知点C1，C2，C3…，C n在直线y=x上，点A1的坐标为（1，0）．（1）写出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，…A n a n+1B n C n，的位似中心坐标；（2）正方形A4A3B4C4四个顶点的坐标．【答案】（1）（0，0）；（2）A4（8，0），A5（16，0），B4（16，8），C4（8，8）．27．（本题8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．（1）求证：AE•BC=BD•AC；（2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长．【答案】(1)证明见解析；(2) BC=10.28．（本题11分） (1)、问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．(2)、探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．(3)、应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) t=1秒或5秒.【解析】(1)、如图1 ∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP =∠BPC ∴△ADP∽△BPC．∴ADBP=APBC.即AD·BC=AP·BP．(2)结论AD·BC=AP·BP 仍成立．理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC =∠A+∠ADP，∵∠DPC =∠A=θ，∴∠BPC =∠ADP ，又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴ADBP=APBC.，∴AD·BC=AP·BP．(3)如图3，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3，由勾股定理得DE=4，∴DC=DE=4，∴BC=5-4=1，又∵AD=BD，∴∠A=∠B，由已知，∠DPC =∠A，∴∠DPC =∠A=∠B，由（1）、（2）可得：AD·BC=AP·BP，又AP=t，BP=6-t，∴t（6-t）=5×1，解得t1=1，t2=5，∴t的值为1秒或5秒．。

九年级数学下册第27章相似测试题（含答案新人教版）实用精品文献资料分享知识点3 相似多边形 6．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为(A) A.23 B.32 C.49 D.94 7．(2021?重庆A卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为(C) A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm 8．下列四组图形中，一定相似的是(D) A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形 9．如图是两个相似四边形，已知数据如图所示，则x＝325，α＝80°． 10．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．解：四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．理由：∵A′，B′分别是OA，OB的中点，∴A′B′∥AB，A′B′＝12AB. ∴∠OA′B′＝∠OAB，A′B′AB＝12. 同理，∠OA′D′＝∠OAD，A′D′AD＝12. ∴∠B′A′D′＝∠BAD，A′B′A B＝A′D′AD. 同理，∠A′D′C′＝∠ADC，∠D′C′B′＝∠DCB，∠C′B′A′＝∠CBA，A′B′AB＝A′D′AD＝D′C′DC＝B′C′BC，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．易错点没有分情况讨论导致漏解 11．已知三条线段的长分别为1实用精品文献资料分享cm、2 cm、2 cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为2__cm，22__cm或22__cm.02 中档题 12．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为(C) A．150° B．105° C．15° D．无法确定大小 13．已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x的值为(B) A．2 B．3 C．－3 D．3或－3 14．如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(B)A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F 15．(教材P28习题T5变式)如图，DE∥BC，DE＝3，BC＝9，AD＝1.5，AB＝4.5，AE＝1.8，AC＝5.4. (1)求ADAB，AEAC，DEBC的值； (2)求证：△ADE与△ABC相似. 解：(1)ADAB＝1.54.5＝13， AEAC＝1.85.4＝13， DEBC＝39＝13. (2)证明：∵DE∥BC, ∴∠D＝∠B，∠E＝∠C. 又∵∠DAE＝∠BAC，ADAB＝AEAC＝DEBC，∴△ADE与△ABC相似．16．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝45°. 又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG. ∴AE＝EG＝FG＝AF. 又∵∠EAF＝90°，∴四边形AFGE为正方形．∴AFAB＝FGBC＝GECD＝AEAD，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC. ∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．03 综合题 17．(教材P28习题T8变式)如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4. (1)求AD的长； (2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．解：(1)若设AD＝x(x＞0)，则DM＝x2. ∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴ADAB＝DCDM，即x4＝4x2.解得x＝42(舍负)．∴AD的长为42. (2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为 DCAD＝442＝22. 27．2 相似三角形 27．2.1 相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例 01 基础题知识点1 相似三角形的有关概念 1．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A) A.ADAC＝AEAB＝DEBC B.ADAB＝AEAC C.ADAE＝ACAB＝DEBC D.AEEC＝DEBC 2．已知△ABC和△A′B′C′相实用精品文献资料分享似，且△ABC与△A′B′C′的相似比为R1，△A′B′C′与△ABC的相似比为R2，则R1与R2的关系是(D) A．R1＝R2 B．R1R2＝－1 C．R1＋R2＝0 D．R1R2＝1知识点2 平行线分线段成比例定理及推论 3．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论不正确的是(C) A.ACCE＝BDDF B.ACAE＝BDBF C.BDCE＝ACDF D.AECE＝BFDF 4．(教材P31练习T2变式)如图，在△ABC中，DE∥BC.若ADDB＝23，则AEEC＝(C) A.13 B.25 C.23 D.35 5．(2021?临沂)如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若BOOC＝23，AD＝10，则AO＝4． 6．(2021?嘉兴)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F.已知ABAC＝13，则EFDE＝2． 7．如图，EG∥B C，GF∥CD，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．解：∵EG∥BC，∴AEEB＝AGGC. ∵GF∥CD，∴AGGC＝AFFD. ∴AEEB＝AFFD，即32＝6FD. ∴FD＝4. ∴AD＝AF＋FD＝10. 知识点3 相似三角形判定的预备定理 8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.若BD＝2AD，则(B) A.ADAB＝12 B.AEEC＝12 C.ADEC＝12 D.DEBC＝12 9．(2021?自贡)如图，在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为1. 10．如图，在△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC.易错点图形的不唯一导致漏解 11．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点P是直线AB上一点，且AP＝2，过点P作BC边的平行线，交直线AC于点M，则MC的长为6或12．02 中档题 12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且DE＝2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为(C) A．4 B．3 C．2.4 D．213．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm，则线段BC＝12cm. 14．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE＝10米，BC＝18米，小明从底部固定点B开始攀登，攀行8米，实用精品文献资料分享遇上第二个固定点D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A? 解：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE. ∴ADAB＝DEBC，即ADAD＋8＝1018.∴AD＝10. 答：小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A. 15．如图，已知：AB＝AD，AC＝AE，FG∥DE.求证：△ABC∽△AFG. 证明：∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC≌△ADE. ∴BC＝DE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED. ∵FG∥DE，∴△AFG∽△ADE. ∴AFAD＝AGAE＝FGDE. ∴AFAB＝AGAC＝FGBC. 又∵∠C＝∠AED＝∠G，∠B＝∠ADE＝∠F，∠BAC＝∠FAG，∴△ABC∽△AFG.03 综合题 16．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．解：∵在△ABC中，EG∥BC，∴△AEG∽△ABC. ∴EGBC＝AEAB，即EG10＝35.∴EG＝6. ∵在△BAD中，EF∥AD，∴△BEF∽△BAD.∴EFAD＝BEBA，即EF6＝5－35.∴EF＝125. ∴FG＝EG－EF＝185. 第2课时相似三角形的判定定理1，2 01 基础题知识点1 三边成比例的两个三角形相似1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5，乙三角形木框的三边长分别为5，5，10，则甲、乙两个三角形(A) A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断 2．(教材P34练习T3变式)已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组数据时，这两个三角形相似(C) A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm 3．下列四个三角形中，与图甲中的三角形相似的是(B) 4．如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20.在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．解：相似．理由：∵ACAE＝2021＝53，ABAD＝2515＝53， BCDE＝4024＝53，∴ACAE＝ABAD＝BCDE. ∴△ABC∽△ADE.知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 5．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(C) 6．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的(C) A.ACAD＝ABAE B.ACAD＝BCDE C.ACAD＝ABDE D.ACAD＝BCAE 7．在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，实用精品文献资料分享BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝3时，△ABC∽△A′B′C′. 8．如图，已知AB?AD ＝AC?AE，∠B＝30°，则∠E＝30°． 9．如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP. 证明：设正方形的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a. ∵Q是CD的中点，BP＝3PC，∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a. ∴DQPC＝ADCQ＝21. 又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.易错点对应边没有确定时容易漏解 10. (2021?随州)在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝125或53时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似． 02 中档题 11．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在________处(C) A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 12．如图，在等边△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且AD∶AC＝1∶3，AE＝BE，则有(B) A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 13．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC＝DFCG. (1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若ADAC＝12，求AFFG的值．解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∴∠ADF＝∠C. 又∵ADAC＝DFCG，∴△ADF∽△ACG. (2)∵△ADF∽△ACG.∴ADAC＝AFAG＝12. ∴AFFG＝1.14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.若以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．解：由题意，得BP＝5t，QC＝4t，AB＝10 cm，BC＝8 cm. ①∵∠PBQ＝∠ABC，∴若△BPQ∽△BAC，则还需BPBA＝BQBC，即5t10＝8－4t8.解得t＝1. ②∵∠PBQ＝∠CBA，∴若△BPQ∽△BCA，则还需BPBC＝BQBA，即5t8＝8－4t10.解得t＝3241. 综上所述，当t＝1或3241时，以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．03 综合题 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝5－12，在AC边上截取AD＝BC，连接BD. (1)通过计算，判断AD2与AC?CD 的实用精品文献资料分享大小关系； (2)求∠ABD 的度数．解：(1)∵AD＝BC＝5－12，∴AD2＝(5－12)2＝3－52. ∵AC＝1，∴CD＝1－5－12＝3－52. ∴AD2＝AC?CD. (2)∵AD2＝AC?CD，∴BC2＝AC?CD，即BCCD＝ACBC. 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.∴ABBD＝ACBC. 又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD. ∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝感谢您的阅读，祝您生活愉快。

人教版九年级数学下册第27章《相似》测试带答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(本大题12个小题，每小题4分，共48分)1．下列选项中的两个图形一定相似的是（）A．两个等边三角形B．两个矩形C．两个菱形D．两个等腰梯形2．如图，D，E是△ABC边上的两个点，请你再添加一个条件，使得△ABC∽△AED，则下列选项不成立的是（）A．ABAE =ACADB．ABAE=BCDEC．∠C=∠ADE D．∠B=∠AED3．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，DB＝2AD，则S△ADE：S△ABC ＝（）A．19B．14C．16D．134．如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC:OC=1:2，过C作CD∥OB 交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（）5．如图，东汉末年数学家刘徽利用青朱出入图，证明了勾股定理，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”．若CE=4，DE=2，则正方形BFGH的面积为（）A．15 B．25 C．100 D．1176．如图，在平面直角坐标系中，以A（0，1）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C，若点B的坐标为（﹣1，3），则点B的对应点B'的坐标为（）A．（2，﹣4）B．（1，﹣4）C．（2，﹣3）D．（1，﹣3）7．如图，在△ABC和△AED中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC、AE＝AD，连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F、G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论：①DE＝GE；②CD∥AB；③∠ADC＝∠AEB；④BF ＝CF•AC．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个(k>0,x>0)的图象上，x过点A 8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=kx作x轴的垂线，与函数y=−kx(x>0)的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A 的横坐标为1，BC=3BD，则点B的横坐标为（）A．32B．2C．52D．39．如图，已知△ABC．（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N．（2）分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P．（3）作射线AP交BC于点D．（4）分别以A，D为圆心，以大于12AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F．依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD＝32，则CD的长是（）A．910B．1 C．94D．410．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在BC的延长线上取一点E，连接OE交CD于点F．已知AB=5，CE=1，则CF的长是（）A．23B．34C．35D．5711．如图，已知点A(0,4),B(4,1),BC⊥x轴于点C．点P为线段OC上一点，且PA⊥PB．则点P的坐标为（）A．(1,0)B．(1.5,0)C．(1.8,0)D．(2,0)12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，AF⊥x轴，垂足为F．若OE=3，EF=1．以下结论正确的个数是（）①OA=3AF；②AE平分∠OAF；③点C的坐标为(−4,−√2)；④BD=6√3；⑤矩形ABCD 的面积为24√2．A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题(本大题4个小题，每小题4分，共16分)13．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件_________，使△ADE∽△ABC．14．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，且Rt△ABC与△AEM在同一个平面内．已知AC=0.8米，BC=0.5米，目测点A到地面的距离AD=1.5米，到旗杆的水平距离AE=20米，则旗杆MN的高度为_____米．15．如图，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转到菱形AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E，若AB=5，BB′=3则CE的长为________．（x<0）16．如图，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=kx的图象经过线段AB点的中点C，△ABO的面积为1，则k的值是______．三、解答题（共9个小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）17．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．求证：△ACD∽△ABC．18．已知：如图ΔABC三个顶点的坐标分别为A(−2,−2)、B(−3,−4)、C(−1,−4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．(1)以点C为位似中心，在网格中画出△A1B1C，使△A1B1C与ΔABC的位似比为2:1，并直接写出点A1的坐标______；(2)△A1B1C的面积为______．19．如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，4)，B(2，2)，C(4，6)(正方形网格中，每个小正方形的边长为1)．(1)以点O为位似中心，在第三象限画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为1：2；(2)画出将线段AB绕点A顺时针旋转90°所得的线段AB2，并求出点B旋转到点B2所经过的路径长．20．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，−4)．(1)画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1(2)在y轴右侧画出以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来12后得到的△A2B2C2 21．如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是BD̂的中点，延长AD交BC的延长线于点E．(1)求证：CE=CD；(2)若AB=3，BC=√3，求AD的长．22．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若OAOD =23，BE=3，求DA的长．23．如图，一次函数y=−x−2的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=−3x(x<0)的图象交于点B．(1)求点B的坐标；(2)点C是线段AB上一点（不与点A、B重合），若ACBC =12，求点C的坐标．24．如图，AC与BD交于点O，OA=OD,∠ABO=∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF//CD，交BD的延长线于点F．（1）求证△AOB≌△DOC；（2）若AB=2,BC=3,CE=1，求EF的长．25．如图，DP是⊙O的切线，D为切点，弦AB//DP，连接BO并延长，与⊙O交于点C，与DP交于点E，连接AC并延长，与DP交于点F，连接OD．(1)求证：AF//OD；(2)若OD＝5，AB＝8，求线段EF的长．参考答案：1．A【分析】根据相似图形的概念进行判断即可；【详解】解：A、两个等边三角形，三个角都是60°∴它们是相似图形，符合题意；B、两个矩形四个角都是90°，但对应边的比不一定相等∴它们不是相似图形，不符合题意；C、两个菱形角不一定相等∴它们不是相似图形，不符合题意；D、两个等腰梯形对应边的比不一定相等，∴它们不是相似图形；故选：A．【点睛】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．2．B【分析】根据题意，已知一个公共角相等，所以再添加一组角相等，或者夹这个角的两边对应成比例即可判断两三角形相似，据此即可求解．【详解】解：已知∠BAC=∠EAD，A. ABAE =ACAD，两边成比例，夹角相等，可证明△ABC∽△AED，不符合题意，B. ABAE =BCDE，不能证明△ABC∽△AED，符合题意，C. ∠C=∠ADE加上条件∠BAC=∠EAD，可证明△ABC∽△AED，不符合题意，D. ∠B=∠AED加上条件∠BAC=∠EAD，可证明△ABC∽△AED，不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．3．A【分析】根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB=1：3，因而面积的比是1：9．【详解】解：如图：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB∴△ADE∽△ABC，∵DB＝2AD∴AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，∴S△ADE：S△ABC=1：9．故选：A．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．4．C【分析】根据CD∥OB得出ACAO =CDOB，根据AC:OC=1:2，得出ACAO=13，根据C、D两点纵坐标分别为1、3，得出OB=6，即可得出答案．【详解】解：∵CD∥OB，∴ACAO =CDOB，∵AC:OC=1:2，∴ACAO =13，∵C、D两点纵坐标分别为1、3，∴CD=3−1=2，∴2OB =13，解得：OB=6，∴B点的纵坐标为6，故C正确．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出ACAO=CD OB =13，是解题的关键．5．D【分析】先求出BC=AD=AB=CD=6，证明△DEF∽△CEB，求出DF=3，则AF=AD+DF=9，由勾股定理得到BF2=AF2+AB2=117，则正方形BFGH的面积为117．【详解】解：∵CE=4，DE=2，∴CD=DE+CE=6，∴BC=AD=AB=CD=6，∵AD∥BC，∴△DEF∽△CEB，∴DFBC =DECE，即DF6=24，∴DF=3，∴AF=AD+DF=9，∴BF2=AF2+AB2=117，∴正方形BFGH的面积为117，故选D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形性质，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键．6．C【分析】过点A作x轴的平行线DD′，作BD⊥DD′于D，作B′D′⊥DD′于D′，设出B点坐标（x，y），分别表示出AD，BD，A′D′，B′D′，根据位似比列出等式，求解即可解决问题．【详解】解：如图所示，过点A作x轴的平行线DD′，作BD⊥DD′于D，作B′D′⊥DD′于D′，设B′（x，y），则BD＝3﹣1＝2，AD＝1，B′D′＝﹣y+1，AD′＝x，∵△ABC与△A′B′C的位似比为1：2，∴BDB′D′=ADAD′=12，即2−y+1=1x=12解得：x＝2，y＝﹣3，∴点B′得坐标为（2，﹣3）．故选：C．【点睛】本题考查位似图形的性质，懂得利用位似图形的相似比求解是解题的关键．7．C【分析】利用SAS证明△DAC≌△EAB可得∠ADC＝∠AEB，可判断③正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠ACB的度数，利用角平分线的定义求得∠ACD＝∠ABE＝36°，即可得∠ACD＝∠CAB，进而可证明CD∥AB，即可判断②正确；根据已知条件可求出∠BCF=∠BFC=72°，从而可以得出BC=BF，证明△ABC∽△BFC，即可证明BF2=CF⋅AC，可判断④正确，无法证明DE=GE，即可判断①错误，进而可求解．【详解】∵∠CAB＝∠DAE＝36°，∴∠CAB−∠CAE＝∠DAE−∠CAE，即∠DAC＝∠EAB，∵在△DAC和△EAB中{AD＝AE∠DAC＝∠EABAC＝AB，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴∠ADC＝∠AEB，AC=AB，∠ACD＝∠ABE，故③正确；∴∠ACB＝∠ABC，∵∠CAB＝∠DAE＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝（180°−36°）÷2＝72°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝36°，∴∠ACD＝∠ABE＝36°，∵∠DCA＝∠CAB＝36°，∴CD∥AB，故②正确；∵∠BFC=180°−∠ACB−∠CBE=180°−72°−36°=72°，∴∠BFC=∠BCF=72°，∴BF=BC，∵∠BAC=∠CBF=36°，∠ACB=∠BCF，∴△ACB∽△BCF，∴ACBC =BCCF，∴BC2=CF⋅AC，即BF2=CF⋅AC，故④正确；根据题目中的已知条件无法证明DE=GE，故①错误；综上分析可知，正确的个数为3个，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，证明△DAC≌△EAB是解题的关键．8．B【分析】首先设出A的坐标，根据题意得出C的坐标，表示出CE的长度，过点B作BF垂直x轴，证明△CED∼△BFD，由题目条件BC=3BD得出相似比，代换出点B的纵坐标，即可求出B的横坐标．【详解】设点A的坐标为(1,k)，设AC与x轴的交点为E，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，如图：∵点C在函数y=−kx(x>0)的图象上，且AC⊥x轴，∴C的坐标为(1,−k)，∴EC=k，∵BF⊥x轴，CE⊥x轴，∴△CED∼△BFD,∴BFCE =BDCD,又∵BC=3BD，∴BDCD =12,∴BFCE =12=BFk，即BF=12k,∴点B的纵坐标为12k，代入反比例函数解析式：y=kx当y=12k时，x=k12k=2，∴B点的横坐标是2，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数及相似三角形，解题关键是将线段比转化为两个相似三角形的相似比，由相似三角形的对应边得出点的坐标．9．C【分析】首先根据题意可知AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，再证明四边形AEDF为菱形，可知AE，然后根据平行线分线段成比例得CDDB =CEEA，再代入数值求出答案.【详解】由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，∴∠EAD＝∠F AD，EA＝ED，F A＝FD.∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠F AD＝∠EDA，∴DE∥AF，同理可得AE∥DF，∴四边形AEDF为平行四边形，而EA＝ED，∴四边形AEDF为菱形，∴AE＝AF＝2.∵DE∥AB，∴CDDB =CEEA，即CD32=32，∴CD=94.故选：C．【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，作线段垂直平分线，特殊平行四边形的判定，平行线分线段成比例等，根据两直线平行列出比例式是解题的关键．10．D【分析】作OG∥CD交BC于点G，根据平行线分线段成比例定理证明BG＝CG，根据菱形的性质可得OB＝OD，则GO是△BCD的中位线，可求出BG、CG和OG的长，再求出GE 的长，由CF∥GO可得△ECF∽△EGO，根据相似三角形的对应边成比例即可求出CF的长．【详解】解：如图，作OG∥CD交BC于点G，∵四边形ABCD 是菱形，且AB ＝5，∴BC ＝CD ＝AB ＝5，OB ＝OD ，∴BG CG =BO DO =1 ，∴BG ＝CG ＝12BC =52 ，∴GO 是△BCD 的中位线∴GO ＝12CD ＝52，GO ∥CD ∵CE ＝1，∴GE ＝CG +CE ＝52+1＝72，∵CF ∥GO ，∴∠ECF =∠EGO∵∠E =∠E∴△ECF ∽△EGO ，∴CF GO =CE GE ，∴CF ＝GO•CE GE =52×172=57， ∴CF 的长为57，故选：D ．【点睛】此题考查菱形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．11．D【分析】先证△AOP ∽△PCB ，设OP =x ，CP =4-x ，得出44-x =x 1，解方程即可．【详解】解：∵BC ⊥OC ，∴∠BCP =90°，∠PBC +∠BPC =90°，∵PA⊥PB∴∠APB=90°，∠APO+∠BPC=90°，∴∠APO=∠PBC∵∠AOP=90°，∴∠AOP=PCB=90°，∴△AOP∽△PCB，∴OACP =OPCB，设OP=x，CP=4-x，4 4-x =x1，整理得x2−4x+4=0，解得x=2，经检验4-x=4-2=2≠0，∴x=2是原方程的解∴点P（2，0）．故选择D．【点睛】本题考查图形与坐标，三角形相似判定与性质，可化为一元二次方程的分式方程，掌握图形与坐标，三角形相似判定与性质，可化为一元二次方程的分式方程是关键．12．C【分析】根据相似三角形的判定得出△EOB∽△EFA，利用相似三角形的性质及已知OE，EF 的值即可判断结论①；由①分析得出的条件，结合相似三角形、矩形的性质（对角线）即可判断结论②；根据直角坐标系上点的表示及结论①OA=3AF，利用勾股定理建立等式求解可得点A坐标，再根据关于原点对称的点的坐标得出点D坐标，即可判断结论③；由③可知AF=√2，进而得出OA的值，根据矩形的性质即可判断结论④；根据矩形的性质及④可知BD=6√2，利用三角形的面积公式求解即可判断结论⑤．【详解】解：∵矩形ABCD的顶点A在第一象限，AF⊥x轴，垂足为F，∴∠EOB=∠EFA=90°,AC=BD，OD=OA=OB=OC．∵∠AEF=∠BEO，∴△EOB∽△EFA．∵OE=3，EF=1，∴EFEO =AFOB=AFOA=13，即OA=3AF．（①符合题意）∵OA=OB，△EOB∽△EFA，∴∠OAB=∠OBA，∠EAF=EBO．∴∠OAB=∠EAF．∴AE平分∠OAF．（②符合题意）∵OF=OE+EF=3+1=4，∴点A的横坐标为4．∵OA=3AF，∴9AF2−AF2=OF2，即8AF2=16．∴AF=√2，点A的纵坐标为√2．∴A(4,√2)．∵点A与点C关于原点对称，∴C(−4,−√2)．（③符合题意）∵OA=3AF=3√2，∴BD=OD+OB=2OA=6√2．（④不符合题意）∵S矩形ABCD=S△BCD+S△BAD=2S△BAD，∴S矩形ABCD =2×12×6√2×4=24√2．（⑤符合题意）∴结论正确的共有4个符合题意．故选：C．【点睛】本题考查矩形与坐标的综合应用．涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角坐标系上点的表示，关于原点对称的点的坐标，三角形的面积公式等知识点．矩形的对角线相等且互相平分；两角分别相等的两个三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边成比例；两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点位P′(−x,−y)．灵活运用相关知识点，通过已知条件建立等式关系是解本题的关键．13．∠ADE=∠B（答案不唯一）．【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．【详解】解∶∵∠A=∠A，∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证△ADE∽△ABC相似；根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件ADAB =AEAC证△ADE∽△ABC相似．故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．14．14【分析】利用相似三角形的性质求出EM，利用矩形的性质求出EN，可得结论．【详解】解：∵∠CAB=∠EAM，∠ACB=∠AEM=90°，∴△ACB∽△AEM，∴ACAE =BCEM，∴0.820=0.5EM，∴EM=12.5，∵四边形ADNE是矩形，∴AD=EN=1.5米，∴MN=ME+EN=12.5+1.5=14（米）．故旗杆MN的高度为14米，故答案为：14．【点睛】本题考查相似三角形的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．15．158【分析】过C作CF∥C′D′交B′C′于F，根据菱形和旋转的性质求得△ABB′∽△B′FC，△ABB′≌△ADD′，可得CF和C′D的长，再由△CFE∽△DC′E求得CE和DE的比即可解答；【详解】解：如图，过C作CF∥C′D′交B′C′于F，AB ′C ′D ′是菱形，则AB ′∥C ′D ′，∴CF ∥AB ′，∴∠B ′FC =∠AB ′F ，∠B ′CF =∠AB ′B ，∵∠AB ′C ′=∠B ，∴∠B ′FC =∠B ，∴△ABB ′∽△B ′FC ，∴AB ′∶B ′C =BB ′∶FC ，AB ′=5，BB ′=3，则B ′C =2，∴FC =65，由旋转性质可得∠BAB ′=∠DAD ′，∵AB =AB ′=AD =AD ′，∴△ABB ′≌△ADD ′，∴BB ′=DD ′=3，∴DC ′=2，∵CF ∥C ′D ′，∴△CFE ∽△DC ′E ，∴CF ∶DC ′=CE ∶DE =65∶2=3∶5，∴CE =DC ×38=158； 故答案为：158； 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识；掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．16．−12 【分析】取AO 的中点为M ，取BO 的中点为N ，连接CM ，CN ．根据三角形中位线定理，平行线的的性质，矩形的判定定理确定四边形CMON 是矩形，根据相似三角形的判定定理和性质求出△ACM 和△CBN 的面积，进而求出矩形CMON 的面积，再根据反比例函数比例系数k 的几何意义求解即可．【详解】解：如下图所示，取AO 的中点为M ，取BO 的中点为N ，连接CM ，CN ．∵C是AB中点，M是AO中点，N是BO中点，∴CM是△ABO中位线，CN是△ABO中位线，AMAO =12，BNBO=12，∴CM∥BO，CN∥AO，∴△ACM∽△ABO，△CBN∽△ABO，∠AMC=∠AOB=90°，∠CNB=∠AOB=90°，∴S△ACMS△ABO =(AMAO)2=14，S△CBNS△ABO=(BNBO)2=14，∠CNO=90°，∠CMO=90°，∴四边形CMON是矩形，∵△ABO的面积是1，∴S△ACM=14S△ABO=14，S△CBN=14S△ABO=14，∴S矩形CMON=S△ABO−S△ACM−S△CBN=12，∵反比例函数y=kx（x<0）的图象经过线段AB点的中点C，∴k=−12，故答案为：−12．【点睛】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，三角形中位线定理，平行线的性质，矩形的判定定理，相似三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键．17．见解析【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可．【详解】证明：如图，∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高∴∠ADC=∠ACB=90°∵∠A是公共角∴△ACD∽△ABC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明．18．(1)作图见解析；(−3,0)(2)8【分析】（1）延长CA到A1使AA1=CA，延长CB到B1使BB1=CB，从而得到△A1B1C；然后写出点A1的坐标；（2）利用面积公式直接进行求解即可．【详解】（1）解：如图，△A1B1C为所作；点A1的坐标为(−3,0)；（2）解：由图可知：S△A1B1C =12B1C⋅A1B=12×4×4=8．【点睛】本题考查位似三角形的作图，解题的关键是：熟练掌握位似三角形的定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个三角形叫做位似三角形．19．(1)见解析(2)√2π【分析】（1）把A、B、C点的横纵坐标都乘以−12得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B的对应点B2，从而得到AB2，然后利用弧长公式计算点B旋转到点B2所经过的路径长．（1）解：∵△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，4)，B(2，2)，C(4，6)△A1B1C1与△ABC位似，且位似比为1：2；∴A1(0,−2),B1(−1,−1),C1(−2,−3),如图所示，△A1B1C1即为所求，（2）如图，AB2即为所求，∵AB=√22+22=2√2，=√2π∴点B旋转到点B2所经过的路径长为=90×π×2√2180【点睛】本题考查了求弧长，旋转的性质，位似变换作图，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，掌握以上知识是解题的关键20．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平移的性质作图即可；（2）根据位似的性质作图，由图可得出答案．【详解】（1）解：如图，△A1B1C1为所作；（2）解：如图，△A2B2C2为所作；．【点睛】本题考查了作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换．21．(1)见解析(2)1【分析】（1）连接AC，根据圆周角推论得∠ACB=∠ACE=90°，根据点C是BD̂的中点得∠CAE=∠CAB，CD=CB，用ASA证明△ACE≌△ACB，即可得；（2）根据题意和全等三角形的性质得AE=AB=3，根据四边形ABCD内接于圆O和角之间的关系得∠CDE=∠ABE，即可得ΔEDC∽ΔEBA，根据相似三角形的性质得DEBE =CDAB，即可得（1）证明：如图所示，连接AC，∵AB为直径，∴∠ACB=∠ACE=90°，又∵点C是BD̂的中点∴∠CAE =∠CAB ，CD =CB ，在△ACE 和△ACB 中，{∠ACE =∠ACB AB =AC ∠CAE =∠CAB∴ΔACE ≅ΔACB(ASA)，∴CE =CB ，∴CE =CD ；（2）解：∵ΔACE ≅ΔACB ，AB =3，∴AE =AB =3，又∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴∠ADC +∠ABC =180°，又∵∠ADC +∠CDE =180°，∴∠CDE =∠ABE ，又∵∠E =∠E ，∴ΔEDC ∽ΔEBA ，∴DE BE =CD AB ， 即：2√3=√33， 解得：DE =2，∴AD =AE −DE =1．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．22．(1)见解析(2)910【分析】（1）连接OC ，先根据等腰三角形的性质可得∠1=∠2，再根据圆周角定理可得∠ACB =∠1+∠3=90°，从而可得∠OCD =90°，然后根据圆的切线的判定定理即可得证；（2）设OA =OB =OC =2x ，则OD =3x ，AD =x,BD =5x ，再根据相似三角形的判定证出△DCO ∼△DEB ，然后根据相似三角形的性质求出x 的值，由此即可得出答案．（1）证明：如图，连接OC，∵OC=OB，∴∠1=∠2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°，∵∠ACD=∠2，∴∠ACD+∠3=90°，即∠OCD=90°，∴DC⊥OC，又∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线．（2）解：∵OAOD =23，∴设OA=OB=OC=2x，则OD=3x，∴AD=OD−OA=3x−2x=x，BD=OB+OD=5x，∵CO⊥DC，BE⊥DC，∴BE∥CO，∴△DCO∼△DEB，∴ODBD =OCBE，即3x5x=2x3，解得x=910，∴DA=x=910．【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定定理和相似三角形的判定定理是解题关键．23．(1)(−3,1)(2)(−1,−1)【分析】（1）由两函数交点的求解方法可得：联立一次函数与反比例函数解析式，求解交点坐标即可．（2）过点C 、B 分别作CD 、BE 垂直于y 轴于D 、E ，易证△ACD ∽△ABE ，根据对应线段成比例以及点C 在直线AB 上，即可求解．【详解】（1）解：∵一次函数和反比例函数交于点B ，∴{y =−x −2y =−3x ，解得：{x 1=−3y 1=1 ，{x 2=1y 2=−3， ∵x ＜0∴B(−3,1) ；（2）解：如图，过点C 、B 分别作CD 、BE 垂直于y 轴于D 、E ，∴CD ∥BE ，∴∠ACD =∠ABE,∠ADC =∠AEB ，∴△ACD ∽△ABE ，∴AC AB =CD BE ， ∵AC BC =12， ∴AC AB=13 ， ∴CD BE =AC AB =13，由（1）得：BE =3，∴CD =1 ，∵C 不与点A 、B 重合，点C 是线段AB 上一点，∴C 的横坐标为-1，将其代入直线y =−x −2，可得：y =−1 ，∴C(−1,−1) ．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数图象与性质，交点问题，一次函数和坐标轴交点以及一次函数图象上的点的坐标特点，三角形相似的判定与性质，牢固掌握一次函数和二次函数图象与性质是解题的关键．24．（1）证明见解析；（2）EF=83【分析】（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可；（2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可．【详解】解：（1）∵OA=OD,∠ABO=∠DCO，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC(AAS)；（2）∵△AOB≌△DOC(AAS)，AB=2,BC=3,CE=1∴AB=DC=2，BE=BC+CE=3+1=4，∵EF//CD，∴△BEF∽△BCD，∴EFCD =BEBC，∴EF2=43，∴EF=83，∴EF的长为83．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等．25．(1)见解析(2)83【分析】（1）延长DO交AB于点H，根据切线的性质得到OD⊥DP，根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，根据平行线的判定定理证明结论；（2）根据垂径定理求出AH、BH，根据勾股定理求出OH，根据相似三角形的性质计算即可．(1)证明：延长DO交AB于点H，∵DP是⊙O的切线，∴OD⊥DP，∵AB//DP，∴HD⊥AB，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴AF//OD；(2)∵OH⊥AB，AB＝8，∴BH＝AH＝4，∴OH＝√OB2−BH2＝√52−42＝3，∵BH//ED，∴△BOH∽△EOD，∴BHED ＝OHOD，即4ED＝35，解得：ED＝203，∵∠BAC ＝90°，DH ⊥AB ，DH ⊥DP ，∴四边形AFDH 为矩形，∴DF ＝AH ＝4，∴EF ＝ED ﹣DF ＝203﹣4＝83．【点睛】本题考查的是切线性质、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．。

第二十七章 相似全章测试一、选择题1．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，DB ＝2，则BCDE的值为( )第1题图A ．32B ．41C ．31 D ．212．如图所示，△ABC 中DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，则下列结论中正确的是( )第2题图A ．21=BC DEB ．21=∆∆的周长的周长ABC ADE C ．的面积的面积ABC ADE ∆∆31=D ．的周长的周长ABC ADE ∆∆31=3．如图所示，在△ABC 中∠BAC ＝90°，D 是BC 中点，AE ⊥AD 交CB 延长线于E 点，则下列结论正确的是( )第3题图A ．△AED ∽△ACB B ．△AEB ∽△ACDC ．△BAE ∽△ACED ．△AEC ∽△DAC4．如图所示，在△ABC 中D 为AC 边上一点，若∠DBC ＝∠A ，6=BC ，AC ＝3，则CD长为( )第4题图A ．1B ．23 C ．2 D ．25 5．若P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，截得的三角形与原△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条6．如图所示，△ABC 中若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是( )第6题图A ．BC DEDB AD =B ．AD EF BC BF = C ．FC BF EC AE =D ．BCDE AB EF =7．如图所示，⊙O 中，弦AB ，CD 相交于P 点，则下列结论正确的是( )第7题图A ．P A ·AB ＝PC ·PB B ．P A ·PB ＝PC ·PD C ．P A ·AB ＝PC ·CD D ．P A ∶PB ＝PC ∶PD 8．如图所示，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，对于下列中的每一个条件第8题图①∠B ＋∠DAC ＝90° ②∠B ＝∠DAC ③CD ：AD ＝AC ：AB ④AB 2＝BD ·BC 其中一定能判定△ABC 是直角三角形的共有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个D ．0个二、填空题9．如图9所示，身高1.6m 的小华站在距路灯杆5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为2.5m ，则路灯的高度AB 为______．图910．如图所示，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上一点，且61=EB AE ，射线CF 交AB 于E 点，则FDAF等于______．第10题图11．如图所示，△ABC中，DE∥BC，AE∶EB＝2∶3，若△AED的面积是4m2，则四边形DEBC 的面积为______．第11题图12．若两个相似多边形的对应边的比是5∶4，则这两个多边形的周长比是______．三、解答题13．已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．(1)求证：△ABD∽△CBA；(2)作DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．14．已知：如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD＝4cm，DB＝9cm，求CB的长．15．如图所示，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，试在这个网格上画一个与△ABC相似，且面积最大的△A1B1C1(A1，B1，C1三点都在格点上)，并求出这个三角形的面积．16．如图所示，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1，0)，B(0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC与△OAB相似(相似比不为1)，并写出C点的坐标．17．如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC交AB于E点．(1)求∠D的度数；(2)求证：AC2＝AD·CE．18．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合)，∠ADE＝45°．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．19．已知：如图，△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 边上的一个动点，DE ∥BC ，连结DC ，设△ABC的面积为S ，△DCE 的面积为S ′．(1)当D 为AB 边的中点时，求S ′∶S 的值；(2)若设,,y SS x AD ='=试求y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围．20．已知：如图，抛物线y ＝x 2－x －1与y 轴交于C 点，以原点O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于另一点D ．设点P 为抛物线y ＝x 2－x －1上的一点，作PM ⊥x 轴于M 点，求使△PMB ∽△ADB 时的点P 的坐标．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知关于x 的二次函数y ＝x 2＋(k －1)x ＋2k －1的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，－3)． 求这个二次函数的解析式及A ，B 两点的坐标．22．如图所示，在平面直角坐标系xOy 内已知点A 和点B 的坐标分别为(0，6)，(8，0)，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P ，Q 移动的时间为t 秒． (1)求直线AB 的解析式；(2)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似? (3)当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位?23．已知：如图，□ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAD ＝120°，E 为BC 上一动点(不与B 点重合)，作EF ⊥AB 于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE ＝x ，△DEF 的面积为S ． (1)求证：△BEF ∽△CEG ；(2)求用x 表示S 的函数表达式，并写出x 的取值范围； (3)当E 点运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少?第二十七章 相似全章测试答案与提示1．C ． 2．D ． 3．C ． 4．C ． 5．C ． 6．C ． 7．B ． 8．A ．9．4．8m ． 10．⋅3111．21m 2． 12．5∶4．13．(1),BABDCB AB =CBA ABD ∠=∠，得△HBD ∽△CBA ；(2)△ABC ∽△CDE ，DE ＝1.5． 14．.cm 133提示：连结AC ．15．提示：.52,10,25111111===C B B A C A △A 1B 1C 1的面积为5． 16．C (4，4)或C (5，2)．17．提示：(1)连结OB ．∠D ＝45°．(2)由∠BAC ＝∠D ，∠ACE ＝∠DAC 得△ACE ∽△DAC ．18．(1)提示：除∠B ＝∠C 外，证∠ADB ＝∠DEC ．(2)提示：由已知及△ABD ∽△DCE 可得.22x x CE -=从而y ＝AC －CE ＝x 2－.12+x (其中20<<x )．(3)当∠ADE 为顶角时：.22-=AE 提示：当△ADE 是等腰三角形时， △ABD ≌△DCE ．可得.12-=x当∠ADE 为底角时：⋅=21AE19．(1)S ＇∶S ＝1∶4；(2)).40(41162<<+-=x x x y 20．提示：设P 点的横坐标x P ＝a ，则P 点的纵坐标y P ＝a 2－a －1．则PM ＝｜a 2－a －1｜，BM ＝｜a －1｜．因为△ADB 为等腰直角三角形，所以欲使△PMB ∽△ADB ，只要使PM ＝BM .即｜a 2－a －1｜＝｜a －1｜．不难得a 1＝0．.2.2.2432-===a a a∴P 点坐标分别为P 1(0，－1)．P 2(2，1)．).21,2().21,2(43+--P P 21．(1)y ＝x 2－2x －3，A (－1，0)，B (3，0)；(2))49,43(-D 或D (1，－2)． 22．(1);643+-=x y (2)1130=t 或;1350(3)t ＝2或3． 23．(1)略；(2));30(8311832≤<+-=x x x S (3)当x ＝3时，S 最大值33=．。

专题1 相似三角形的基本模型模型1 A 字型及其变形(1)如图1，公共角所对的边平行(DE ∥BC)，则△ADE ∽△ABC ；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一组角相等(∠AED ＝∠ABC 或∠ADE ＝∠ACB)，则△AED ∽△ABC.【例1】 如图，在△ABC 中，AB ＝5，D ，E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，求AD ·BC 的值．解：∵∠ADE ＝∠B ，∠EAD ＝∠CAB ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AD AB. ∴AD ·BC ＝DE ·AB. 又∵DE ＝2，AB ＝5， ∴AD ·BC ＝2×5＝10.1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ＝3，AC ＝5，BC ＝10，则BF 的长为 .2．如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.模型2 X字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行(AB∥CD)，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，则△ABO∽△CDO.【例2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.求证：△ABO∽△CDO.证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC.∴△ABO∽△CDO.【补充设问】△AOD与△BOC相似吗？试说明理由．解：△AOD 与△BOC 不相似． 理由如下：∵∠AOD ＝∠COB ， 要使△AOD 与△BOC 相似， ∴当满足DO CO ＝AO BO 或DO BO ＝AOCO时，即DO ·BO ＝AO ·CO 或DO ·CO ＝AO ·BO 时，△AOD 与△BOC 相似．由已证可知△ABO ∽△CDO ，∴AO CO ＝BO DO， 即AO ·DO ＝BO ·CO ，不满足证明△AOD 与△BOC 相似的条件． ∴△AOD 与△BOC 不相似．【变式】 如图，在四边形ABDC 中，若AB 不平行于CD ，∠ABC ＝∠ADC ，则图中的相似三角形有△COD ∽△AOB ，△AOC ∽△BOD ．3．如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于点E ，对角线BD 交AG 于点F ，已知FG ＝2，则线段AE 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．124．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是 ．5．如图，已知∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．模型3 子母型若两个三角形有一个公共角和一条公共边，且有另一对角相等，则这两个三角形相似．如图，若∠ACD ＝∠B ，则△ACD ∽△ABC ，从而可得结论：AC 2＝AD ·AB.【例3】 如图，P 是△ABC 的边AB 上的一点．(1)如果∠ACP ＝∠B ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？(2)如果AP AC ＝AC AB ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？如果AC CP ＝BCAC呢？解：(1)△ACP ∽△ABC.理由如下： ∵∠ACP ＝∠ABC ， ∠PAC ＝∠CAB ， ∴△ACP ∽△ABC.(2)AP AC ＝ACAB 时，△ACP ∽△ABC.理由如下：∵∠PAC ＝∠CAB ，且AP AC ＝ACAB ，∴△ACP ∽△ABC.由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似． ∵AC 与CP 的夹角为∠ACP ，BC 与AC 的夹角为∠ACB ， 而∠ACP 与∠ACB 不相等，∴由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似．6．如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( )A ．4B ．4 2C ．6D ．4 37．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A ，若BC ＝22，AB ＝3，则BD 的长为 ．模型4 双垂直型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD ，从而可得结论：CD 2＝BD ·AD ，BC 2＝BD ·AB ，AC 2＝AD ·AB.【例4】 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D. (1)请指出图中所有的相似三角形；(2)你能得出AD2＝BD·DC吗？解：(1)△BAD∽△BCA∽△ACD.(2)能得出AD2＝BD·DC.理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BDA＝∠ADC＝90°.∴∠BAD＝∠ACD.又∵∠BDA＝∠ADC，∴△BAD∽△ACD.∴ADCD＝BDAD，即AD2＝BD·DC.8．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为() A．3 6B．15C．9 5D．3＋3 59．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝，AC＝．模型5 一线三等角型(1)如图1，AB⊥BC，CD⊥BC，AP⊥PD，垂足分别为B，C，P，且三个垂足在同一直线上，则有△ABP∽△PCD(此图又叫作“三垂图”)．(2)如图2，∠B＝∠APD＝∠C，且B，P，C在同一直线上，则①△ABP∽△PCD；②连接AD，当点P为BC的中点时，△ABP∽△PCD∽△APD.【例5】如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF ＝90°.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.(2)∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF ＝1，CF ＝3. ∵△ABE ∽△DEF ， ∴AE DF ＝AB DE ，即4－DE 1＝4DE . ∴DE ＝2.又∵ED ∥CG ，∴△EDF ∽△GCF. ∴ED GC ＝DFCF.∴GC ＝6. ∴BG ＝BC ＋CG ＝10.10．如图，在等腰△ABC 中，点E ，F ，O 分别是腰AB ，AC 及底BC 边上任意一点，且∠EOF ＝∠B ＝∠C.求证：OE ·FC ＝FO ·OB.1．如图，在矩形ABCD 中，作DF ⊥AC ，垂足为F ，延长DF 交AB 于点E ，在图中一定和△DFC 相似的三角形有 个．2．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝.3．【分类讨论思想】如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD ＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为.4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定类型1 利用相似三角形求线段长1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.当AM ⊥BM 时，则BC 的长为 .2．如图，已知菱形BEDF 内接于△ABC ，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上．若AB ＝15 cm ，BC ＝12 cm ，则菱形的边长为 cm.3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且∠ADE ＝∠B.如果DE ∶AD ＝2∶5，BD ＝3，那么AC ＝ .4．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝ .5．如图，在△ABC 中，点D 是BA 边延长线上一点，过点D 作DE ∥BC ，交CA 的延长线于点E ，点F 是DE 延长线上一点，连接AF. (1)如果AD AB ＝23，DE ＝6，求边BC 的长；(2)如果∠FAE ＝∠B ，FA ＝6，FE ＝4，求DF 的长．类型2 利用相似三角形求角度6．如图，A ，B ，C ，P 四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC 的度数是 .7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且AB 2＝BD ·CE.若∠BAC ＝40°，则∠DAE ＝ . 类型3 利用相似三角形求比值8．如图，AB ∥DC ，AC 与BD 交于点E ，EF ∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB 等于( )A.23B.14C.13D.359．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶2510．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA ⊥CA 交DB 的延长线于点E.若AB ＝3，BC ＝4，则AOAE的值为 .类型4 利用相似三角形证明等积式与比例式11．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证： (1)△ADE ∽△ABC ； (2)DF ·BF ＝EF ·CF.12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DF CF ＝BCAC.类型5 利用相似求点的坐标13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB 并延长到点C ，连接CO.若△COB ∽△CAO ，则点C 的坐标为( )A ．(1，52)B ．(43，83)C ．(5，25)D ．(3，23)14．如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一点C ，使B ，O ，C 三点构成的三角形与△AOB 相似，则点C 的坐标为专题3 圆与相似1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，交BC 边于点E ，AD ＝5，BD ＝2，则DE 的长为( )A.35B.425 C.225 D.452．如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E.若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．1.23．如图，⊙O 的两弦AB ，CD 交于点P ，连接AC ，BD ，得S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，则AC ∶BD ＝ ．4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，作PD ∥AB ，交CA 的延长线于点P ，连接AD ，BD.求证： (1)PD 是⊙O 的切线； (2)△PAD ∽△DBC.5．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C 的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN.求证：(1)△ABC为等腰三角形；(2)AM·CP＝AN·CB.6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．参考答案：专题1 相似三角形的基本模型1． 4.2．证明：∵AF ⊥DE ，AG ⊥BC ，∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°. ∵∠EAF ＝∠GAC ， ∴∠AEF ＝∠ACG. 又∵∠DAE ＝∠BAC ， ∴△ADE ∽△ABC.3．D4．35．解：∵∠ADE ＝∠ACB ，∴180°－∠ADE ＝180°－∠ACB ， 即∠BDF ＝∠ECF. 又∵∠BFD ＝∠EFC ， ∴△BDF ∽△ECF. ∴BD EC ＝DF CF ，即84＝DF 2. ∴DF ＝4. 6．B7．83． 8．B910．证明：∵∠EOC ＝∠EOF ＋∠FOC ，∠EOC ＝∠B ＋∠BEO ，∠EOF ＝∠B ， ∴∠FOC ＝∠OEB. 又∵∠B ＝∠C ， ∴△BOE ∽△CFO. ∴OE OF ＝OB FC， 即OE ·FC ＝FO ·OB.1． 5 ． 2．43. 3．43或3. 4．解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF. ∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DEEF.∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE. ∴CE CF ＝DE EF .∴CE DE ＝CF EF. ∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF. ∴∠DFE ＝∠CFE ，即FE 平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定1．8. 2．203.3．152.4．3.5．解：(1)∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC .∴23＝6BC . ∴BC ＝9.(2)∵∠FAE ＝∠B ，∠B ＝∠D ， ∴∠FAE ＝∠D. 又∵∠F ＝∠F ， ∴△FAE ∽△FDA. ∴FE FA ＝FA DF.∴DF ＝FA2FE ＝9.6．135°. 7．110°. 8．B 9．B 10．724.11．证明：(1)∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴AB ＝3AD ，AC ＝3AE. ∴AD AB ＝AE AC ＝13. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC. (2)∵AD AB ＝AE AC ＝13，∴DE ∥BC. ∴△DEF ∽△CBF. ∴DF CF ＝EF BF. ∴DF ·BF ＝EF ·CF.12．证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ACD ＝∠ACD ＋∠BCD ，∠ACB ＝∠BDC ＝90°. ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ABC ∽△CBD.∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD CD. 又∵E 为AC 的中点，∴AE ＝CE ＝ED.∴∠A ＝∠EDA.∵∠EDA ＝∠BDF ，∴∠FCD ＝∠BDF.又∵∠F 为公共角，∴△FDB ∽△FCD.∴DF CF ＝BD CD. ∴DF CF ＝BC AC. 13．B14． (－4，0)或(4，0)或(－1，0)或(1，0)．专题3 圆与相似1．D2．C3．4∶3．4．证明：(1)连接OD.∵∠DCA ＝∠DCB ，∴AD ︵＝BD ︵.∴OD ⊥AB.∵AB ∥PD ，∴OD ⊥PD.∵点D 在⊙O 上，OD 为⊙O 的半径，∴PD 是⊙O 的切线．(2)∵∠PAD ＋∠CAD ＝180°，∠DBC ＋∠CAD ＝180°，∴∠PAD ＝∠DBC.由(1)可得：∠PDA ＝∠BCD ＝45°，∴△PAD ∽△DBC.5．证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ANC ＝90°.∵PC 是⊙O 的切线，∴∠BCP ＝∠CAN.∵∠BCP ＝∠BAN ，∴∠BAN ＝∠CAN.又∵AN ⊥BC ，∴AB ＝AC.∴△ABC 为等腰三角形．(2)连接MN ∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵∠PBC ＋∠ABC ＝∠AMN ＋∠ACN ＝180°，∴∠PBC ＝∠AMN.由(1)知∠BCP ＝∠BAN ，∴△BPC ∽△MNA.∴CB AM ＝CP AN，即AM ·CP ＝AN ·CB. 6．解：(1)证明：连接OE ，∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB.∵BE 平分∠ABC ，∠OBE ＝∠EBC.∴∠OEB ＝∠EBC.∴OE ∥BC.又∵∠C ＝90°，∴∠OEA ＝90°，即AC ⊥OE.又∵OE 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线．(2)在△BCE 与△BED 中，∵∠C ＝∠BED ＝90°，∠EBC ＝∠DBE ，∴△BCE ∽△BED.∴BE BD ＝BC BE ，即BC ＝BE 2BD. ∵BE ＝4，BD 是⊙O 的直径，即BD ＝5，∴BC ＝165. 又∵OE ∥BC ，∴AO AB ＝OE BC .∵AO ＝AD ＋2.5，AB ＝AD ＋5，∴AD ＋2.5AD ＋5＝2.5165. 解得AD ＝457.。

人教版 九年级数学 第27章 相似 同步训练一、选择题1. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为中心，将△ABO 扩大到原来的2倍，得到△A ′B ′O .若点A 的坐标是(1,2)，则点A ′的坐标是( )A ．(2,4)B ．(－1，－2)C ．(－2，－4)D ．(－2，－1)2. （2020·绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2︰5，且三角板的一边长为8cm ．则投影三角板的对应边长为（ ）A ．20cmB ．10cmC ．8cmD ．3.2cm3. (2019•沈阳)已知△ABC ∽△A'B'C'，AD 和A'D'是它们的对应中线，若AD =10，A'D'=6，则△ABC 与△A'B'C'的周长比是 A ．3∶5 B ．9∶25 C ．5∶3 D ．25∶94. （2020·内江）如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S ∆=（ ）A. 30B. 25C. 22．5D. 205. （2020·哈尔滨）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作EF ∥BC ，交AD 于点F,过点E 作EG ∥AB ，交BC 于点G,则下列式子一定正确的是（ ）A ．CDEF ECAE = B ．ABEG CDEF = C ．GCBG FDAF = D ．AD AF BCCG =6. （2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC中，BC ＝120，高AD ＝60，正方形EFGH 一边在BC 上，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．307. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC 是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE ∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE 只算一个)，这样的格点三角形一共有（ ） 个 D.7个AB二、填空题8. （2020·吉林）如图，////AB CD EF ．若12=AC CE ，5BD =，则DF =______．9. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF 的顶点都在网格线的交点上，设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则12C C 的值等于 ▲ ． ABCDEF10. (2019•郴州)若32x y x +=，则yx=__________．11. (2019•永州)如图，已知点F 是△ABC 的重心，连接BF 并延长，交AC 于点E ，连接CF 并延长，交AB 于点D ，过点F 作FG ∥BC ，交AC 于点G ．设三角形EFG ，四边形FBCG 的面积分别为S 1，S 2，则S 1：S 2=__________．12.如图，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3， BC ＝4， CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F ，则DF 的长为_________．FE DB CA13. （2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC .已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________.14. （2020湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知R t△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与R t△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是．三、解答题15. 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ(0°<θ<180°)，得到△A′B′C.(1)如图①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D.证明：△A′CD是等边三角形；(2)如图②，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；(3)如图③，设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝________°时，EP长度最大，最大值为________．图①图②图③16. （2020·江苏徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BC AB AB AC=，那么称点B为线段AC的黄金分割点.51-.（1）在图①中，若AC=20cm，则AB的长为cm；（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B的对应点H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E （AE>DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.A CBHGB CA DPEFDA图①图②图③17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C，与直线AD交于点A(43，53)，点D的坐标为(0，1)．(1)求直线AD的解析式；(2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD 与△BCE相似时，求点E的坐标．人教版九年级数学第27章相似同步训练-答案一、选择题1. 【答案】C解析：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以－2，故点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是(－2，－4)．2. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形的对应边之比等于相似比，所以8︰（投影三角形的对应边长）=2︰5，则投影三角形的对应边长是20 cm．因此本题选A．3. 【答案】C【解析】∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD=10，A'D'=6，∴△ABC与△A'B'C'的周长比=AD∶A′D′=10∶6=5∶3．故选C．4. 【答案】D【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE 是中位线，从而判断△ADE ∽△ABC ，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．首先判断出△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积．根据题意，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，则DE ∥BC 且DE=12BC ，故可以判断出△ADE ∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知ADE S ∆：ABC S ∆=1：4，则BCED S 四边形：ABC S ∆=3：4，题中已知15BCED S =四边形，故可得ADE S ∆=5，ABC S ∆=20，因此本题选D ．5. 【答案】C 【解析】本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，∵EF ∥BC ，∴EC AE FD AF =，∵EF ∥BC ，∴ECAE GC BG =，∴GC BGFD AF =因此本题选C ．6. 【答案】B【解析】设正方形EFGH 的边长EF ＝EH ＝x ， ∵四边EFGH 是正方形，∴∠HEF ＝∠EHG ＝90°，EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ， ∵AD 是△ABC的高，∴∠HDN ＝90°， ∴四边形EHDN 是矩形， ∴DN ＝EH ＝x ， ∵△AEF ∽△ABC ， ∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC ＝120，AD ＝60， ∴AN ＝60﹣x ， ∴，解得：x ＝40，∴AN ＝60﹣x ＝60﹣40＝20．因此本题选B ．7. 【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：C因此本题选A．二、填空题 8. 【答案】10【解析】∵////AB CD EF ，∴AC BDCE DF=， 又∵12=AC CE ，5BD =，∴512DF =，∴10DF =，故答案为：10．9. 【答案】2【解析】由图形易证△ABC 与△DEF 相似，且相似比为1:1:2．10. 【答案】12【解析】∵32x y x +=，∴223x y x +=， 故2y =x ，则12y x =，故答案为：12．11. 【答案】18【解析】∵点F 是△ABC 的重心，∴BF =2EF ，∴BE =3EF ， ∵FG ∥BC ，∴△EFG ∽△EBC ，∴13EF BE =，1EBC S S =△(13)219=， ∴S 1∶S 2，故答案为：18．12. 【答案】5485【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．已知∠ACB ＝90°，AC ＝3， BC ＝4，由勾股定理，得AB ＝5．CD ⊥AB ，由三角形的面积，得CD ＝AC BC AB ⋅＝125．易得△ABC ∽△ACD ∽△CBD ，由相似三角形对应边成比例，得AD ＝AC AC AB ⋅＝95，BD ＝BC BC AB ⋅＝165．过点E 作EG ∥AB 交CD于点G ，由平行线分线段成比例，得DG ＝12CD ＝65，EG ＝85，所以DF ADGF EG=，即956855DFDF =-，所以DF ＝，故答案为5485． GF E DB CA13. 【答案】145或2.8【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，设AC 交y 轴于点E ，∴CD ∥x 轴，∴∠CAO=∠ACD, △DEC ∽△OEA ，∵2BCA CAO ∠=∠，∴∠BCD=∠ACD, ∴BD=DE,设BD=DE=x ，则OE=4-2x ,∴DC AO =DE EO ,即34=x4-2x ,解得x =1.2．∴OE=4-2x =1.6，∴n =OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.14. 【答案】解：∵在R t △ABC 中，AC ＝1，BC ＝2，∴AB ，AC ：BC ＝1：2，∴与R t △ABC 相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE ，EF ＝2，DF ＝5的三角形， ∵，∴△ABC ∽△DEF ，∴∠DEF ＝∠C ＝90°，∴此时△DEF 的面积为：22＝10，△DEF 为面积最大的三角形，其斜边长为：5．故答案为：5．三、解答题15. 【答案】(1)证：∵AB ∥CB ′，∴∠BCB ′＝∠ABC ＝30°， ∴∠ACA ′＝30°；又∵∠ACB ＝90°，∴A ′CD ＝60°，又∠CA ′B ′＝∠CAB ＝60°. ∴△A ′CD 是等边三角形．(2)证：∵AC ＝A ′C ，BC ＝B ′C ，∴AC BC ＝A ′CB ′C.又∠ACA ′＝∠BCB ′，∴△ACA ′∽△BCB ′. ∵AC BC ＝tan30°＝33，∴S △ACA ′∶S △BCB ′＝AC 2∶BC 2＝1∶3.(3)120，3a2.16. 【答案】解： （1）10.解：∵ABAC=，AC=20，∴AB=10.（2）延长CG 交DA 的延长线于点J ，由折叠可知：∠BCG=∠ECG ，∵AD ∥BC ，∴∠J=∠BCG=∠ECG ，∴JE=CE.由折叠可知：E 、F 为AD 、BC 的中点，∴DE=AE=10，由勾股定理可得：==∴EJ=AJ=JE-AE=，∵AJ ∥BC ，∴△AGJ ∽△BGC，∴AG AJ BG BC ==,∴G 是AB 的黄金分割点.J（3）PB=BC ，理由如下：∵E 为AD 的黄金分割点，且AE>DE ，∴ a.∵CF ⊥BE ，∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90˚,∴∠ABE=∠FCB,在△BEA 和△CFB 中，∵90ABE FCB AB BC A FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△BEA ≌△CFB ，∴a.∴AF BF BF AB==,∵AE ∥BP ，∴△AEF ∽△BPF,∴AE AF BF PB BF AB ==, ∵AE=BF,∴PB=AB ，∴PB=BC.17. 【答案】解：(1)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b(k≠0)，将D(0，1)、A(43，53)代入解析式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝143k ＋b ＝53， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1k ＝12，解图∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.(3分)(2)直线AD 的解析式为 y ＝12x ＋1，令y ＝0，得x ＝－2， ∴B(－2，0)，即OB ＝2.∵直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，令y ＝0，得x ＝3， ∴C(3，0)，即BC ＝5，设E(x ，12x ＋1)，①当E 1C ⊥BC 时，∠BOD ＝∠BCE 1＝90°，∠DBO ＝∠E 1BC ， ∴△BOD ∽△BCE 1，此时点C 和点E 1的横坐标相同，将x ＝3代入y ＝12x ＋1，解得：y ＝52，∴E 1(3，52)．(6分)②当CE 2⊥AD 时，∠BOD ＝∠BE 2C ＝90°，∠DBO ＝∠CBE 2， ∴△BOD ∽△BE 2C ，如解图，过点E 2作E 2F ⊥x 轴于点F ，则∠E 2FC ＝∠BFE 2＝90°. ∵∠E 2BF ＋∠BE 2F ＝90°， ∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°， ∴∠E 2BF ＝∠CE 2F ，∴△E 2BF ∽△CE 2F ，则E 2F BF ＝CFE 2F ，即E 2F 2＝CF·BF ， (12x ＋1)2＝(3－x)(x ＋2)，解得：x1＝2，x2＝－2(舍去)，∴E2(2，2)；(9分)③当∠EBC＝90°时，此情况不存在．综上所述，点E的坐标为E1(3，52)或E2(2，2)．(10分)。

人教版九年级数学下第二十七章相似单元练习题（含答案）含答案一、选择题1.如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB＝5，BC＝10，DE＝4，则EF的长为()A．12.5B．12C．8D．42.一个数与3、4、6能组成比例，这个数是()A．2或8B．8 或4.5C．4.5 或2D．2,8或4.53.如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1∶2 的位似图形，点O为位似中心，若△OAB 内一点P(x，y)与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标为()A．(－x，－y)B．(－2x，－2y)C．(－2x,2y)D．(2x，－2y)4.在下列图形中，不是位似图形的是()A．B．C．D．5.如果两个相似三角形的周长比为1∶4，那么这两个三角形的相似比为()A．1∶2B．1∶4C．1∶8D．1∶166.已知图(1)、(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是()A．只有(1)相似B．只有(2)相似C．都相似D．都不相似7.如图，在直角坐标系xOy中，A(－4,0)，B(0,2)，连接AB并延长到C，连接CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为()A．(1，)B．(，)C．(，2)D．(，2)8.已知△ABC∽△DEF，△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，则△ABC与△DEF的周长之比为()A．1∶2B．1∶4C．2∶1D．4∶19.如图，直角坐标系中，线段AB两端点坐标分别为A(4,2)、B(8,0)，以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到对应线段A1B1，若B1的坐标为(－4,0)，则A1的坐标为()A．(2,1)B．(－2，－1)C．(－1,2)D．(－4，－2)10.两个相似三角形的最短边分别是5 cm和3 cm，它们的周长之差为12 cm，那么小三角形的周长为()A．14 cmB．16 cmC．18 cmD．30 cm二、填空题11.如图，△ABC中，BC＝1.若AD1＝AB，且D1E1∥BC，则D1E1＝；照这样继续下去，D1D2＝D1B，且D2E2∥BC；D2D3＝D2B，且D3E3∥BC；…；Dn－1Dn＝Dn－1B，且DnEn∥BC，则DnEn ＝____________(用含n的式子表示)．12.小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图1.图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量：AB＝CD＝136 cm，OA＝OC＝51 cm，OE＝OF＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32 cm.垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于__________ cm时，连衣裙才不会拖落到地面上．图1图213.如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°.若PF＝，则CE＝________.14.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1,0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是______________．15.若＝＝，且a＋b＋c＝6，则a－b＋c＝________.16.如图，在△ABC中，AB≠AC.D、E分别为边AB、AC上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：________________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)17.已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，那么△ABC 与△A2B2C2的相似比为__________．18.如图，点A1，A2在射线OA上，B1在射线OB上，依次作A2B2∥A1B1，A3B2∥A2B1，A3B3∥A2B2，A4B3∥A3B2，….若△A2B1B2和△A3B2B3的面积分别为1,9，则△A1007B1007A1008的面积是__________．19.如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，AD与OC交于点E，连接CD、BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD＝CD；③CD2＝CE·CO，其中正确结论的序号是________．20.如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知＝，则＝__________.三、解答题21.如图，点C为线段AB上任意一点(不与A、B两点重合)，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC.(1)求证：△ACE≌△DCB；(2)请你判断△AMC与△DPM的形状有何关系，并说明理由．22.课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．(1)加工成的正方形零件的边长是多少mm?(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算．(3)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．23.如图，延长△ABC的边BC到D，使CD＝BC.取AB的中点F，连接FD交AC于点E.求EC∶AC 的值．24.已知：△ABC∽△A′B′C′，它们的周长之差为20，面积比为4∶1，求△ABC和△A′B′C′的周长．25.如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，求BC、BF的长．26.如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC＝6，BD＝4，F是BC上一点，S△BEF∶S△EFC ＝2∶3.(1)求EF的长；(2)如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．27.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F＝∠C.(1)若BC＝8，求FD的长；(2)若AB＝AC，求证：△ADE∽△DFE.28.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB＝A D.(1)判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由．(2)AF与DF相等吗？为什么？答案解析1.【答案】C【解析】∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，解得EF＝8，故选C.2.【答案】D【解析】设这个数是x，则3x＝4×6或4x＝3×6或6x＝3×4，解得x＝8或x＝4.5或x＝2，所以，这个数是2,8或4.5.故选D.3.【答案】B【解析】∵P(x，y)，相似比为1∶2，点O为位似中心，∴P′的坐标是(－2x，－2y)．故选B.4.【答案】D【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．故选D.5.【答案】B【解析】∵两个相似三角形的周长比为1∶4，∴这两个三角形的相似比为1∶4，故选B.6.【答案】C【解析】对于图(1)：180°－75°－35°＝70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以(1)图中的两个三角形相似；对于(2)图：由于＝，∠AOC＝∠DOB，所以△AOC∽△DOB.故选C.7.【答案】B【解析】∵A(－4,0)，B(0,2)，∴OA＝4，OB＝2，∵△COB∽△CAO，∴＝＝＝＝，∴CO＝2CB，AC＝2CO，∴AC＝4CB，∴＝，过点C作CD⊥y轴于点D，∵AO⊥y轴，∴AO∥CD，∴△AOB∽△CDB，∴＝＝＝，∴CD＝AO＝，BD＝OB＝，∴OD＝OB＋BD＝2＋＝，∴点C的坐标为.故选B.8.【答案】A【解析】∵△ABC∽△DEF，∴△ABC的面积：△DEF的面积＝△ABC与△DEF的周长之比的平方，而△ABC的面积为1，△DEF的面积为4，∴△ABC与△DEF的周长之比＝1∶2.故选A.9.【答案】B【解析】∵线段AB两端点坐标分别为A(4,2)、B(8,0)，以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到对应线段A1B1，若B1的坐标为(－4,0)，∴对应点在原点的两侧，且位似比为2∶1，则A1的坐标为(－2，－1)．故选B.10.【答案】C【解析】根据题意，得两三角形的周长的比为5∶3，设两三角形的周长分别为5x cm,3x cm，则5x－3x＝12，解得x＝6，所以3x＝18，即小三角形的周长为18 cm.故选C.11.【答案】1－【解析】∵D1E1∥BC，∴△AD1E1∽△ABC，∴＝，∵BC＝1，AD1＝AB，∴D1E1＝；∵D1D2＝D1B，∴AD2＝AB，同理可得：D2E2＝＝1－＝1－，D3E3＝＝1－，∴DnEn＝1－.12.【答案】120【解析】∵AB、CD相交于点O，∴∠AOC＝∠BOD∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝(180°－∠BOD)，同理可证：∠OBD＝∠ODB＝(180°－∠BOD)，∴∠OAC＝∠OBD，∴AC∥BD，在Rt△OEM中，OM＝＝30(cm)，过点A作AH⊥BD于点H，同理可证：EF∥BD，∴∠ABH＝∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH，∴＝，AH＝＝＝120(cm)，所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于120 cm时，连衣裙才不会拖落到地面上．13.【答案】【解析】如图，连接EF.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB＝90°，∠DCP＝45°，∴AM＝BM＝1，在Rt△ADM中，DM＝＝＝，∵AM∥CD，∴＝＝，∴DP＝DM＝，∵PF＝，∴DF＝DP＝PF＝，∵∠EDF＝∠PDC，∠DFE＝∠DCP，∴△DEF∽△DPC，∴＝，∴＝，∴DE＝，∴CE＝CD－DE＝2－＝.故答案为.14.【答案】(a＋3)【解析】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为－1－x，B′、C间的横坐标的长度为a＋1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2(－1－x)＝a＋1，解得x＝(a＋3)．15.【答案】3【解析】设＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝7k，∵a＋b＋c＝6，∴2k＋3k＋7k＝6，解得k＝，所以，a＝2×＝1，b＝3×＝，c＝7×＝，所以，a－b＋c＝1－＋＝3.16.【答案】DF∥AC(或∠BFD＝∠A)【解析】DF∥AC，或∠BFD＝∠A.理由：∵∠A＝∠A，＝＝，∴△ADE∽△ACB，∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，∴△BDF∽△EAD.②当∠BFD＝∠A时，∵∠B＝∠AED，∴△FBD∽△AED.17.【答案】2∶5【解析】∵△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，∴AB∶A1B1＝2∶3，A1B1∶A2B2＝3∶5，设AB＝2x，则A1B1＝3x，A2B2＝5x，∴AB∶A2B2＝2∶5，∴△ABC与△A2B2C2的相似比为2∶5.18.【答案】34 031【解析】∵△A2B1B2和△A3B2B3的面积分别为1,9，A3B3∥A2B2，A3B2∥A2B1，∴∠B1B2A2＝∠B2B3A3，∠A2B1B2＝∠A3B2B3，∴△A2B1B2∽△A3B2B3,∴＝＝＝＝，∵A3B2∥A2B1，∴△OA2B1∽△OA3B2，∴＝＝＝，∴△OB1A2的面积为，△A1B1A2的面积为，△A2B2A3的面积为3，△A3B3A4的面积为27，…∴△A1 007B1 007A1 008的面积为×3(2 017－1)＝34 031，故答案为34 031.19.【答案】①②③【解析】①∵OC⊥AB，∴∠BOC＝∠AOC＝90°.∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC＝45°.∵AC∥OD，∴∠BOD＝∠CAO＝45°，∴∠DOC＝45°，∴∠BOD＝∠DOC，∴OD平分∠COB.故①正确；②∵∠BOD＝∠DOC，∴BD＝CD.故②正确；③∵∠AOC＝90°，∴∠CDA＝45°，∴∠DOC＝∠CDA.∵∠OCD＝∠OCD，∴△DOC∽△EDC，∴＝，∴CD2＝CE·CO.故③正确．故答案为①②③.20.【答案】【解析】∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵＝，∴＝.21.【答案】(1)证明∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB，又∵CA＝CD，CE＝CB，在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB(SAS)．(2)解△AMC∽△DMP.理由：∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，又∵∠AMC＝∠DMP，∴△AMC∽△DMP.【解析】(1)证明∠ACE＝∠DCB，根据“SAS”证明全等；(2)由(1)得∠CAM＝∠PDM，又∠AMC＝∠DMP，所以两个三角形相似．22.【答案】解(1)如图1，设正方形的边长为x mm，则PN＝PQ＝ED＝x，∴AE＝AD－ED＝80－x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝48.∴加工成的正方形零件的边长是48 mm；(2)如图2，设PQ＝x，则PN＝2x，AE＝80－x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝，∴2x＝，∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；(3)如图3，设PN＝x(mm)，矩形PQMN的面积为S(mm2)，由条件可得△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得PQ＝80－x.则S＝PN·PQ＝x(80－x)＝－x2＋80x＝－(x－60)2＋2 400，故S的最大值为2 400 mm2，此时PN＝60 mm，PQ＝80－×60＝40(mm)．【解析】(1)设正方形的边长为x mm，则PN＝PQ＝ED＝x，AE＝AD－ED＝80－x，通过证明△APN∽△ABC，利用相似比可得到＝，然后根据比例性质求出x即可；(2)由于矩形是由两个并排放置的正方形所组成，则可设PQ＝x，则PN＝2x，AE＝80－x，然后与(1)的方法一样求解；(3)设PN＝x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答．23.【答案】解取BC中点G，则CG＝BC，连接GF，如图所示：又∵F为AB中点，∴FG∥AC，且FG＝AC，∴EC∥FG，∴＝，∵CG＝BC，DC＝BC，设CG＝k，那么DC＝BC＝2k，DG＝3k，∴＝＝即EC＝FG，∵FG＝AC∴EC＝AC，∴EC∶AC＝1∶3.【解析】取BC中点G，则CG＝BC，连接GF，得出FG∥AC，FG＝AC，证出EC＝FG，进而得出答案．24.【答案】解∵△ABC∽△A′B′C′，面积比为4∶1，∴相似比为2∶1，周长比为2∶1.∵周长比相差1，而周长之差为20，∴每份周长为20，∴△ABC的周长是2×20＝40，△A′B′C′的周长是1×20＝20.【解析】根据面积的比等于相似比的平方可求出相似比的值，相似三角形周长的比等于相似比可分别求出周长．25.【答案】解∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝3，AD＝2，DE＝4，∴＝，解得BC＝6，∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，解得BF＝2.5.【解析】由平行线分线段成比例解答即可．26.【答案】解(1)∵AC∥BD，∴＝，∵AC＝6，BD＝4，∴＝＝.∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF∶S△CEF＝2∶3，∴＝，∴＝.∴EF∥BD，∴＝，∴＝，∴EF＝.(2)∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴△BEF∽△ABC，∴＝.∵＝，∴＝.∵S△BEF＝4，∵＝，∴S△ABC＝25.【解析】27.【答案】解(1)∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE＝BC，DE∥BC.∴∠AED＝∠C.∵∠F＝∠C，∴∠AED＝∠F，∴FD＝DE＝BC＝4；(2)∵AB＝AC，DE∥BC.∴∠B＝∠C＝∠AED＝∠ADE，∵∠AED＝∠F，∴∠ADE＝∠F，又∵∠AED＝∠AED，∴△ADE∽△DFE.【解析】(1)利用三角形中位线的性质得出DE∥BC，进而得出∠AED＝∠F，即可得出FD＝DE，即可得出答案；(2)利用等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B＝∠C＝∠AED＝∠ADE，即可得出∠ADE ＝∠F，即可得出△ADE∽△DFE.28.【答案】解(1)∵DE是BC垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∴△FDB∽△ABC；(2)∵△FDB∽△ABC，∴＝＝，∴AB＝2FD，∵AB＝AD，∴AD＝2FD，∴DF＝AF.【解析】(1)易证∠EBC＝∠ECB和∠ABC＝∠ADB，即可判定△FDB与△ABC相似；(2)根据相似三角形对应边比例相等的性质即可求得DF＝AB，即可解题．人教版九年级下学期相似三角形单元过关测试卷与参考答案一、选择题（每小题5分，共25分）1．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确的是（ ）A ．12DE BC =B ．AD AE AB AC= C ．△ADE ∽△ABC D ．S △ADE ：S △ABC =1：2 2．在△ABC ∽△'''A B C 中，有下列条件：①.''''AB BC A B B C =；②. ''''BC AC B C A C =；③.'A A ∠=∠;④.'C C ∠=∠.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△'''A B C 共有（ ）A.1组B.2组C.3组D.4组3．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB=9，BD=3，则CF 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（第1题） （第3题） （第4题 ） （第5题 ）4．在四边形ABCD 中，∠B=90°，AC=4，AB ∥CD ，DH 垂直平分AC ，点H 为垂足．设AB=x ，AD=y ，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A →B 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜4），连接DE ，当以B 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，t 的值为（ ）A ．2B ．2.5或3.5C ．2或3.5D ．2或2.5二、填空题（每小题5分，共15分）6．两个相似三角形的一对对应边长分别为20cm ，25cm ，它们的周长差为12cm ，则这两个三角形的周长分别是________．7.如图，一束光线从点A （3，3）出发，经过y 轴上点C 反射后经过点B （1，0），则光线从点A 到点B 经过的路径长为 ．第8题图 第7题图8. 如图，在已建立直角坐标系中，Rt △ABO 的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，ABO 90∠=,OA 与反比例函数()k y x 0x=<的图象交于点D ,且OD 2AD =,过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C . 若S 四边形ABCD 10=，则k 的值为 ．三、解答题(共60分 第9、10题各10分，第11题12分，第12题13分，第13题15分)9.如图，已知,AB 3AC BD 3AE ==,且BD ∥AC ,点B A E 、、在同一直线上.求证：△ABD ∽△CAE ;10 .如图，在□ABCD 中，点E 在BC 边上，点F 在DC 的延长线上，且∠DAE =∠F ． 若AB =5，AD =8，BE =2，求FC 的长．F E A DC BB11．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，试判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由12．如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE．（1）求证：AD∥BC；（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长．13．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．（1）求证：△BDG∽△DEG；（2）若EG•BG=4，求BE的长．单元测试卷与参考答案一、选择题1．D 2．C 3．B 4．D 5．C二、填空题6．48cm 和60cm 7．5 8．-16三、解答题9.证明：∵ BD ∥AC,点B,A,E 在同一条直线上，∴ ∠DBA=∠CAE,又∵,AB 3AC BD 3AE ==.3BD AE ==.∴ABD CAE ∆∆∽.10．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC . ∴∠B =∠ECF ，∠DAE =∠AEB. 又∵∠DAE =∠F ，∴∠AEB =∠F .∴△ABE ∽△ECF ． ∵△ABE ∽△ECF ，∴AB BE EC CF=. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC =AD =8.∴EC =BC -BE =8-2=6.∴526CF =.∴125CF =. 11．解：∵∠AED +∠CEF=90°，∠DAE +∠ADE=90°，∴∠DAE=∠CEF ，∵∠ADE=∠ECF=90°， ∴△ADE ∽△ECF ，且相似比为2，∴AE=2EF ，AD=2DE ，又∵∠ADE=∠AEF ，∴△ADE ∽△AEF ，∴∠1=∠2．12．（1）证明：∵AD 平分∠CAE ，∴∠DAG=12∠CAG ，∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB ， ∵∠CAG=∠B +∠ACB ，∴∠B=12∠CAG ，∴∠B=∠CAG ，∴AD ∥BC ； （2）解：∵CG ⊥AD ，∴∠AFC=∠AFG=90°，在△AFC 和△AFG 中，CAF GAF AF AFAFC AFG ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩， ∴△AFC ≌△AFG （ASA ），∴CF=GF ，∵AD ∥BC ，∴△AGF ∽△BGC ，∴GF ：GC=AF ：BC=1：2，∴BC=2AF=2×4=8．13．（1）证明：∵将△BCE 绕点C 顺时针旋转到△DCF 的位置，∴△BCE ≌△DCF ，∴∠FDC=∠EBC ，∵BE 平分∠DBC ，∴∠DBE=∠EBC ，∴∠FDC=∠EBD ，∵∠DGE=∠DGE ，∴△BDG ∽△DEG ．（2）解：∵△BCE ≌△DCF ，∴∠F=∠BEC ，∠EBC=∠FDC ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°，∵BE 平分∠DBC ，∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC ， ∴∠BEC=67.5°=∠DEG ，∴∠DGE=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°，即BG ⊥DF ，∵∠BDF=45°+22.5°=67.5°，∠F=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠BDF=∠F，∴BD=BF，∴DF=2DG，∵△BDG∽△DEG，BG×EG=4，∴DG BGEG DG，∴BG×EG=DG×DG=4，∴DG2=4，∴DG=2，∴BE=DF=2DG=4九年级数学第27章《相似》同步提高测试（有答案）一、选择题：1、观察下列每组图形，相似图形是（）2、（2018•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．：B．2：3 C．4：9 D．8：273、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）4、（2018•内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：95、如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（）A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：46、已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32 B．8 C．4 D．167、如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度()A．变长了1.5米B．变短了2.5米C．变长了3.5米D．变短了3.5米8、（2018•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm9、如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB 于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．=B．=C．=D．=10、如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S211、如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．1612、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1二、填空题：13、已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为14、（2018•邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：．15、已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为16、（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．17、学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD 为18、如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝19、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为。