2021年春新人教版九年级数学下册《第27章相似》单元测试卷

第27章相似单元测试卷一、选择题（共8小题）.1．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC＝（）A．30B．25C．22.5D．202．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（）A．（﹣1，﹣1）B．（﹣，﹣1）C．（﹣1，﹣）D．（﹣2，﹣1）3．下列命题是真命题的是（）A．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为2：3B．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9C．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为2：3D．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为4：94．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（）5．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（）A．B．C．D．6．如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3B．3：2C．9：4D．4：97．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（）A．2B．3C．2D．58．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（）二、填空题（共8小题）.9．若＝，则＝．10．如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B （3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为．11．如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则的值为．12．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为．13．如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝．14．在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C．（1）若点A的坐标为（1，2），请你在给出的坐标系中画出△ABC．设AB与y轴的交点为D，则＝；（2）若点A的坐标为（a，b）（ab≠0），则△ABC的形状为．15．如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝．16．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D 在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为．三、解答题17．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．18．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP：PQ：QR．19．三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是△ABC的重心．求证：AD＝3GD．20．如图，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分别是AB、A′B′上一点，＝．（1）当＝＝时，求证：△ABC∽△A′B′C′．证明的途径可以用框图表示，请填写其中的空格．（2）当＝＝时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．参考答案一、选择题（共8小题）.1．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC＝（）A．30B．25C．22.5D．20解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S△ADE：S四边形BCED＝1：3，即S△ADE：15＝1：3，∴S△ADE＝5，∴S△ABC＝5+15＝20．故选：D．2．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O 为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（）A．（﹣1，﹣1）B．（﹣，﹣1）C．（﹣1，﹣）D．（﹣2，﹣1）解：∵以点O为位似中心，位似比为，而A（4，3），∴A点的对应点C的坐标为（﹣，﹣1）．故选：B．3．下列命题是真命题的是（）A．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为2：3B．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9C．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为2：3D．如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为4：9解：A、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9，是假命题；B、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9，是真命题；C、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为16：81，是假命题；D、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为16：81，是假命题；故选：B．4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（）A．B．C．D．解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴点O为线段BD的中点．又∵点E是CD的中点，∴线段OE为△DBC的中位线，∴OE∥BC，OE＝BC，∴△DOE∽△DBC，∴＝（）2＝．故选：B．5．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（）A．B．C．D．解：∵DE∥AB，∴＝＝，∴的值为，故选：A．6．如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3B．3：2C．9：4D．4：9解：设DE＝x，∵DE：AD＝1：3，∴AD＝3x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，∵点F是BC的中点，∴CF＝BC＝x，∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴＝（）2＝（）2＝，故选：D．7．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（）A．2B．3C．2D．5解：设AD＝2x，BD＝x，∴AB＝3x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE＝4，＝，∵∠ACD＝∠B，∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠ACD，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴＝，设AE＝2y，AC＝3y，∴＝，∴AD＝y，∴＝，∴CD＝2，另解：∵∠ACD＝∠B，∠EDC＝∠DCB，∴△CDE∽△CBD，∴，∴CD2＝BC•DE，∴CD＝2．故选：C．8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（）A．1+B．2+C．5﹣D．解：∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，又∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG，∴△BPG≌△BCG（ASA），∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FG＝x，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x+x，∴BC2＝BG2+CG2＝＝，∴＝．故选：B．二、填空题9．若＝，则＝．解：∵＝，∴2x+2y＝3x，故2y＝x，则＝．故答案为：．10．如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B （3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为18．解：∵△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），∴A′（4，4），C′（12，2），∴△A'B'C'的面积为：6×8﹣×2×4﹣×6×6﹣×2×8＝18．故答案为：18．11．如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则的值为2．解：∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，∴AB•DE＝16，∵AB+DE＝10，∴AB＝2，DE＝8，∴，故答案为：2．12．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为．解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面积为，∴△ABC的面积为2，∴四边形DBCE的面积＝2﹣＝，故答案为：．13．如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝．解：∵点F是△ABC的重心，∴BF＝2EF，∴BE＝3EF，∵FG∥BC，∴△EFG∽△EBC，∴＝，＝（）2＝，∴S1：S2＝；故答案为：．14．在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C．（1）若点A的坐标为（1，2），请你在给出的坐标系中画出△ABC．设AB与y轴的交点为D，则＝；（2）若点A的坐标为（a，b）（ab≠0），则△ABC的形状为直角三角形．解：（1）∵点A的坐标为（1，2），∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（﹣1，2），关于原点的对称点C的坐标为（﹣1，﹣2）．连AB，BC，AC，作△ABC，如图所示设AB交y轴于D点，则D点坐标为（0，2），∵OD∥BC，∴△ADO∽△ABC．∴＝＝．故答案为：．（2）∵ab≠0，∴a≠0，且b≠0，∴点A不在坐标轴上，∴AB∥x轴，BC⊥x轴．∴∠ABC＝90°．∴△ABC是直角三角形．故答案为：直角三角形．15．如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝18．解：∵PA＝3PE，PD＝3PF，∴＝＝，∴EF∥AD，∴△PEF∽△PAD，∴＝（）2，∵S△PEF＝2，∴S△PAD＝18，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△PAD＝S平行四边形ABCD，∴S1+S2＝S△PAD＝18，故答案为18．16．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D 在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为．解：过D作DH⊥AC于H，∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∴AC＝BC＝15，∴∠CAD＝45°，∴AH＝DH，∴CH＝15﹣DH，∵CF⊥AE，∴∠DHA＝∠DFA＝90°，∴∠HAF＝∠HDF，∴△ACE∽△DHC，∴＝，∵CE＝2EB，∴CE＝10，∴＝，∴DH＝9，∴AD＝9，故答案为：9．三、解答题17．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）解：①∵EF∥AB，∴＝＝，∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∴＝，解得：BE＝4；②∵＝，∴＝，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．18．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP：PQ：QR．解：（1）∵四边形ACED是平行四边形，∴∠BPC＝∠BRE，∠BCP＝∠E，∴△BCP∽△BER；同理可得∠CDE＝∠ACD，∠PQC＝∠DQR，∴△PCQ∽△RDQ；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAP＝∠PCQ，∵∠APB＝∠CPQ，∴△PCQ∽△PAB；∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，∴△PAB∽△RDQ，（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，∵AC∥DE，∴BC：CE＝BP：PR，∴BP＝PR，∴PC是△BER的中位线，∴BP＝PR，又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ．又∵点R是DE中点，∴DR＝RE．，∴QR＝2PQ．又∵BP＝PR＝PQ+QR＝3PQ，∴BP：PQ：QR＝3：1：219．三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是△ABC的重心．求证：AD＝3GD．【解答】证明：连接DE，∵点G是△ABC的重心，∴点E和点D分别是AB和BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC且DE＝AC，∴△DEG∽△ACG，∴，∴，∴，∴AD＝3DG，即AD＝3GD．20．如图，在△ABC和△A′B′C′中，D、D′分别是AB、A′B′上一点，＝．（1）当＝＝时，求证：△ABC∽△A′B′C′．证明的途径可以用框图表示，请填写其中的空格．（2）当＝＝时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．解：（1）证明：∵＝，∴＝，∵＝＝，∴＝＝，∴△ADC∽△A′D′C'，∴∠A＝∠A′，∵＝，∴△ABC∽△A′B′C′．故答案是：＝，∠A＝∠A′．（2）如图，过点D、D’分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于点E，D′E′交A′C′于点E′．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴＝＝．同理＝＝．又＝，∴＝，∴＝．同理＝．∴＝，即＝．∴＝．又＝＝，∴＝＝，∴△DCE∽△D′C′E′．∴∠CED＝∠C′E′D′．∵DE∥BC，∴∠CED+∠ACB＝180°．同理∠C′E′D′+∠A′C′B′＝180°．∴∠ACB＝∠A′C′B′．又＝∴△ABC∽△A′B′C′．。

人教版九年级数学下册《第27章相似》单元测试题【含答案】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（每小题3分，共10小题）1．已知a=2b，则下列选项错误的是（）A．a+c=c+2b B．a﹣m=2b﹣m C．D．2．如图，在△ABC中，点D、E分不在边AB、AC上，联结DE，如果AD：BD=2：3，那么下列条件中能判定DE∥BC的是（）A．=B．=C．=D．=3．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应面积的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：94．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则NM：MC等于（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：55．如图，BE，CF为△ABC的两条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则AE的长为（）A．B．4 C． D．6．下列讲法中不正确的是（）A．相似多边形对应边的比等于相似比B．相似多边形对应角平线的比等于相似比C．相似多边形周长的比等于相似比D．相似多边形面积的比等于相似比7．如图，在菱形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，交于点O，若S△AOB：S△DOE=25：9，则C E：BC等于（）A．2：5 B．3：5 C．16：25 D．9：258．如图，l1∥l2∥l3，BC=1，=，则AB长为（）A．4 B．2 C．D．9．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则S△ABE：S△ECF等于（）A．1：2 B．4：1 C．2：1 D．1：410．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分不交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（每小题3分，共8小题）11．如图，在△ABC中，点D、E分不在AB、AC边上，DE∥BC，若=，AE=4，则EC等于．12．如图△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若DE=2AD，AE=2，那么AC=．13．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分不在边AB、AC上，如果BC= 5，△ABC的面积是10，那么那个正方形的边长是．14．如图，△ABC中，D在BC上，F是AD的中点，连CF并延长交AB于E，已知=，则等于．15．从美学角度来讲，人的上身长与下身长之比为黄金比时，能够给人一种和谐的美感．某女老师上身长约61. 8cm，下身长约94cm，她要穿约cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感成效（精确到1cm）．16．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，延长AE与BC延长线交于点F，则F C：FB=．17．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则点D到线段AB的距离等于（结果保留根号）．18．如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是AB边的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，若∠DFE=45°，PF=，则DP的长为；则CE=．评卷人得分三．解答题（共7小题）19．已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分不是F、E，试证明：（1）△BAF∽△BCE．（2）△BEF∽△BCA．20．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分不为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；（3）四边形AA2C2C的面积是平方单位．[来源:学科网ZXXK]21．如图，实验中学某班学生在学习完《利用相似三角形测高》后，利用标杆BE测量学校体育馆的高度．若标杆BE的高为1.5米，测得AB=2米，BC=14米，求学校体育馆CD的高度．22．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFMN的一边MN在边BC上，顶点E、F分不在AB、AC上，其中BC=24cm，高AD=12cm．（1）求证：△AEF∽△ABC：（2）求正方形EFMN的边长．23．如图，在正方形ABCD中，E、F分不是边AD、CD上的点，且E为AD的中点，FC=3DF，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求△BEG的面积．24．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于BC 的长．（1）若AB=12，BE=3，求EF的长；（2）求∠EOF的度数；（3）若OE=OF，求的值．25．已知：正方形ABCD中，AB=4，E为CD边中点，F为AD边中点，AE交BD于G，交BF于H，连接D H．（1）求证：BG=2DG；（2）求AH：HG：GE的值；（3）求的值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：A、因为a=2b，因此a+c=c+2b，正确；B、因为a=2b，因此a﹣m=2b﹣m，正确；C、因为a=2b，因此，正确；D、因为a=2b，当b≠0，因此，错误；故选：D．2．【解答】解：只有选项B正确，理由是：∵AD：BD=2：3，∴=，∵=，∴=，∴==，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，按照选项A、C、D的条件都不能推出DE∥BC，故选：B．3．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，∴对应面积的比为（）2=9：4，[来源:学#科#网Z#X#X#K][来源:学科网]故选：C．4．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，∴DM∥BC，DM=ME=BC．∴△NDM∽△NBC，==．∴=．故选：B．5．【解答】解：∵BE，CF为△ABC的两条高，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵∠A=∠A，∴△AEB∽△AFC，∴=，∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴=，∵AB=6，BC=5，EF=3，∴=，∴AE=，故选：A．6．【解答】解：若两个多边形相似可知：①相似多边形对应边的比等于相似比；②相似多边形对应角平线的比等于相似比③相似多边形周长的比等于相似比，④对应面积的比等于相似比的平方，故选：D．7．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD，CD∥AB∴△AOB∽△EOD∴S△AOB：S△DOE=（AB）2：（DE）2=25：9∴AB：DE=5：3∴设AB=5a，则DE=3a∴BC=CD=5a，EC=2a故选：A．8．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，BC=1，=，∴==，∴AB=，故选：C．9．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，∵AE⊥EF，∴∠AEF=∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEC=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴S△ABE：S△ECF=AB2：CE2，∵E是BC的中点，∴BC=2CE=AB∴==，即S△ABE：S△ECF=4：1故选：B．10．【解答】解：①错误，假设∠BAD=∠ABC，则=，∵=，∴==，明显不可能，故①错误．②正确．连接OD．∵GD是切线，∴DG⊥OD，∴∠GDP+∠ADO=90°，∵OA=OD，∴∠ADO=∠OAD，∵∠APF+∠OAD=90°，∠GPD=∠APF，∴∠GPD=∠GDP，∴GD=GP，故②正确．③正确．∵AB⊥CE，∴=，∵=，∴=，∴∠CAD=∠ACE，∴PC=PA，∵AB是直径，∴∠ACQ=90°，∴∠ACP+∠QCP=90°，∠CAP+∠CQP=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ=PA，∵∠ACQ=90°，∴点P是△ACQ的外心．故③正确．④正确．连接BD．∵∠AFP=∠ADB=90°，∠PAF=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴=，∴AP•AD=AF•AB，∵∠CAF=∠BAC，∠AFC=∠ACB=90°，∴△ACF∽△ABC，可得AC2=AF•AB，∵∠ACQ=∠ACB，∠CAQ=∠ABC，∴△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ•CB，∴AP•AD=CQ•CB．故④正确，故选：B．二．填空题（共8小题）11．【解答】解：∵DE∥BC，=，∴AE：AC=AD：AB=2：3，∴AE：EC=2：1．∵AE=4，∴CE=2，故答案为：2．12．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠DEB=∠DBE，∴DB=DE，∵DE=2AD，∴BD=2AD，∵DE∥BC，∴=，∴=，∴EC=4，∴AC=AE+EC=2+4=6，故答案为6．13．【解答】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，∵△ABC的面积是10，∴BC•AH=10，∴AH=4，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=4﹣x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴=，即=，解得x=，即正方形DEFG的边长为．故答案为．14．【解答】解：作DG∥CE，如图，∵DG∥CE，∴==，设BG=2x，则GE=3x，∵EF∥DG，∴==1，∴AE=EG=3x，∴==．故答案为：．15．【解答】解：设她要穿xcm的高跟鞋，由题意得，=0.618，解得x=6，故答案为：6．16．【解答】解：作EH⊥AB于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠DAH=∠EHA=90°，∴四边形AHED是矩形，∴AD=BC=EH，DE=AH，∵AB=2BC，设AD=BC=a，则AB=CD=2a，在Rt△AEH中，AE=AB=2a，EH=AD=a，∴AH==a，∴EC=BH=2a﹣a，∵EC∥AB，∴△FEC∽△FAB，∴===，故答案为17．【解答】解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，∴=（）2=4，∵S△ABC=，∴S△ADE=，∵△ABC是等边三角形，△ABC∽△ADE，∴△ADE是等边三角形，∴AD2=，∴AD=1．[来源:学科网ZXXK]如图，过点D作DH⊥AB于H．在△ADH中，∵∠HAD=45°，∴DH=AD•sin∠HAD=1×=．故答案为．18．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB=90°，∠DCP=45°，∵点M是AB边的中点，∴AM=BM=1，在Rt△ADM中，DM==，∵AM∥CD，∴=，∴DP=，∵PF=，∴DF=DP﹣PF=﹣=，∵∠EDF=∠PDC，∠DFE=∠DCP=45°，∴△DEF∽△DPC，∴，∴，∴DE=，∴CE=CD﹣DE=2﹣=．故答案为：，．三．解答题（共7小题）19．【解答】解：（1）∵AF⊥BC，CE⊥AB，∴∠AFB=∠CEB=90°，∵∠B=∠B，∴△BAF∽△BCE．（2）∵△BAF∽△BCE，∴=，∴=，∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BCA．20．【解答】解：（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，（3）四边形AA2C2C的面积是=；故答案为：（1）（2，﹣2）；（2）7.521．【解答】解：依题意得BE∥CD，∴△AEB∽△ADC，∴，即，则CD=12．22．【解答】（1）证明：∵四边形EFMN是正方形，∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴△AEF∽△ABC．（2）解：设正方形EFMN的边长为x．∵△AEF∽△ABC，AD⊥BC，∴=，∴=，∴x=8，∴正方形的边长为8cm．23．【解答】（1）证明：设正方形的边长为4a，∵E为AD的中点，∴AE=ED=2a，∵FC=3DF，∴DF=a，FC=3a，∴=，=，∴=，又∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEF；（2）∵AD=4，∴DE=2，∵AD∥BC，∴△EDF∽△GCF，∴==3，∴CG=6，∴BG=BC+CG=10，∴△BEG的面积=×BG×AB=20．24．【解答】解：（1）设BF=x，则FC=BC﹣BF=12﹣x，∵BE=3，且BE+BF+EF=BC，∴EF=9﹣x，在Rt△BEF中，由BE2+BF2=EF2可得32+x2=（9﹣x）2，解得：x=4，则EF=9﹣x=5；（2）如图，在FC上截取FM=FE，连接OM，∵C△EBF的周长=BE+EF+BF=BC，则BE+EF+BF=BF+FM+MC，∴BE=MC，∵O为正方形中心，∴OB=OC，∠OBE=∠OCM=45°，在△OBE和△OCM中，∵，∴△OBE≌△OCM，∴∠EOB=∠MOC，OE=OM，∴∠EOB+∠BOM=∠MOC+∠BOM，即∠EOM=∠BOC=90°，在△OFE与△OFM中，∵，∴△OFE≌△OFM（SSS），∴∠EOF=∠MOF=∠EOM=45°．（3）证明：由（2）可知：∠EOF=45°，∴∠AOE+∠FOC=135°，∵∠EAO=45°，∴∠AOE+∠AEO=135°，∴∠FOC=∠AEO，∵∠EAO=∠OCF=45°，∴△AOE∽△CFO．∴===，∴AE=OC，AO=CF，∵AO=CO，∴AE=×CF=CF，∴=．25．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∵AB∥CD，AB=CD，∵DE=CE，∴==，∴BG=2DG．（2）解：∵∵AB∥CD，AB=CD，∵DE=CE，∴===，在Rt△ADE中，∵AD=4，DE=2，∴AE=2，∴EG=，同法可得BF=2，∵AB=AD，∠BAF=∠ADE，AF=DE，∴△BAF≌△ADE，∴∠ABF=∠DAE，∵∠DAE+∠BAH=90°，∴∠ABF+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AE⊥BF，∴AH===，∴HG=2﹣﹣=，∴AH：HG：GE=：：=6：4：5．（3）作DM⊥AE于M．由（2）可知：DM=AH=，∴EM==，∴HM=EH﹣EM=，∴DH=，∵BH==，∴==．。

第27章相似单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.若△ABC∽△A΄B΄C΄，∠A=40°，∠B=110°，则∠C΄=（）.A. 40°B. 110°C. 70°D. 30°2.已知：a、b是不等于0的实数，2a=3b，那么下列等式中正确的是（）A. ；B. ；C. ；D. ．3.下列4组条件中，能判定△ABC∽△DEF的是（）A. AB=5，BC=4，∠A=45°；DE=10，EF=8，∠D=45°B. ∠A=45°，∠B=55°；∠D=45°，∠F=75°C. BC=4，AC=6，AB=9；DE=18，EF=8，DF=12D. AB=6，BC=5，∠B=40°；DE=5，EF=4，∠E=40°4.如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A. ∠ABD=∠CB. ∠ADB=∠ABCC.D.5.如果x：（x+y）=3：5，那么的值是（）A. B. C. D.6.如图，已知===，且△ABC的周长为15cm，则△ADE的周长为（）A. 6cmB. 9cmC. 10cmD. 12cm7.如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（）A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：168.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的点，且DE∥BC，如果AD=2cm，DB=1cm，DE=1.6cm，则BC=（）A. 0.8cmB. 2cmC. 2.4cmD. 3.2cm9.将两个长为a cm，宽为b cm的矩形铁片加工成一个长为c cm，宽为d cm的矩形铁片，有人就a，b，c，d的关系写出了如下四个等式，但是有一个写错了，它是( )A. B. C. D.10.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2013个正方形的面积为（）A. B. C. D.二、填空题（共10题；共30分）11.如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC上的点,若DE∥BC, ,则=________.12.如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设B′的坐标是（3，﹣1），则点B的坐标是________．13.在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D，E均与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE=________14.已知= ，那么的值是________．15.如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m．16.在直角坐标系中，△ABC的坐标分别是A（﹣1，2），B（﹣2，0），C（﹣1，1），若以原点O为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C′，那么落在第四象限的A′的坐标是________17.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m．在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是________m．18.如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点．= ，点F为BC边上一点，添加一个条件：________，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）19.已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D在直线AC上，且CD=2，连接BD，作BD的垂直平分线交三角形的两边于E、F，则EF的长为________ ．20.如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD= AE2；④S△ABC=2S△ADF．其中正确结论的序号是________．（把你认为正确结论的序号都填上）三、解答题（共8题；共60分）21.已知：如图，△ABC∽△ADE ，∠A=45°，∠C=40°．求：∠ADE的度数．22.如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE，证明：△ABC∽△CDE．23.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，求证：△ABE∽△DEF．24.如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．25.已知AD⊥BC，BE=CE，∠ABC=2∠C，BF为∠B的平分线．求证：AB=2DE．26.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．27.在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM=DN．直线BD与MN相交于E．（1）如图1，当点M在BC上时，求证：BD－2DE=BM；（2）如图2，当点M在BC延长线上时，BD、DE、BM之间满足的关系式是什么？；（3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若DE=，且AF：FD=1：2时，求线段DG的长．28.（1）如图1,在等边△ABC中,点M是边BC上的任意一点（不含端点B、C）,连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2,在等边△ABC中,点M是边BC延长线上的任意一点（不含端点C）,其它条件不变,（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是边BC上的任意一点（不含端点B、C）,联结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC．联结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】∵∠A=40°，∠B=110°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-110°=30°又∵△ABC∽△A΄B΄C΄，∴∠C΄=∠C=30°．故选D ．【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，即可解答．2.【答案】B【考点】比例的性质【解析】【解答】∵2a=3b，∴，∴，∴A、C、D选项错误，B选项正确，故答案为：B.【分析】利用比例的性质进行等式变形即可。

2021-2022人教版九年级数学下册第27章图形的相似单元检测试卷考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.四条线段，，，成比例，其中，，，则等于（）A.D.B. C.2.若两个相似三角形的面积比为，则它的周长之比为（）A. B. C. D.3.若是线段的黄金分割点，设，则的长约为（）A. B. C. D.4.如图所示，不能判定的条件是（）A. B.C. D.5.在小孔成像问题中，根据如图所示，若到的距离是，到的距离是，则像的长是物体长的（）D.倍A.倍B. C.6.如图，已知，，则下列比例式中错误的是（）A. B.C. D.7.如图，，若，，则的值为（）A. B. C. D.8.如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点，，．与相交于点，且，，，则的值为（）A.B.C. D.9.利用复印机的缩放功能，将原图中边长为的一个等边三角形放大成边长为的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为（）A. B. C. D.10.如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（）A. B. C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.如果整张报纸与半张报纸相似，则此报纸的长与宽的比是________．12.如图，，的面积为面积的，则________．13.如图，中，为上一点，，，，则的长为________．14.如图，，，，，，一动点从点向点运动，当的值是________时，与是相似三角形．15.在中，交于，交于，，，，那么________．16.如图，要使和相似，已具备条件________，还需补充的条件是________，或________，或________．17.两个相似三角形一组对应中线的长分别为和，周长之和为，则这两个三角形的周长分别为________．18.如图：中，，，，把边长分为，，，…的个正方形依次放在中，则________．19.小明利用太阳光下的影子来测量学校旗杆的高度，他测得旗杆的影长为米，同时测得米长的标杆的影长为米，则旗杆的高度为________米．20.如图，正方形的顶点，在半圆的直径上，顶点，在半圆上，连接，，则________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.画出以点为位似中心的位似图形且与的位似比是．22.已知在中，，．如图，是的中点，在边上取一点，使得与相似，求线段的长．图②和图③分别是由个边长为的正方形组成的的网格，请在图②和图③中各画一个，使得它们同时满足以下条件：①的三个顶点都是网格内正方形的顶点；②；③所画的两个三角形与和都互不全等．23.为了测量一条河的高度，测量人员发现，该河两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔有一棵树，在河的另一岸每隔有一根电线杆，你能想办法，测出河的宽度吗？测量人员是这样做的：他们发现，站在离有数的河岸处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，利用相似三角形的知识计算河宽，请你帮助测量人员计算一下河宽．24.如图所示，在中，已知．与相似吗？为什么？它们是位似图形吗？如果是，请指出位似中心．25.如图，在等腰三角形中，，是边上一点，以为一边，向上作等腰，使，连，求证：；．26.已知在中，，，点在上，且．当点为线段的中点，点、分别在线段、上时（如图）．过点作于点，请探索与之间的数量关系，并说明理由；当，①点、分别在线段、上，如图时，请写出线段、之间的数量关系，并给予证明．②当点、分别在线段、的延长线上，如图时，请判断①中线段、之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明）答案1.D2.B3.D4.C5.C6.B7.B8.D9.D10.C11.12.13.14.或或15.16.17.，18.19.20.21.解：如图（说明：正向或反向位似都可以）22.解：∵在中，，是的中点，在边上取一点，使得与相似，∴只有当时，，故，则，解得：；如图所示：．23.河宽为．24.解：与相似．∵，∴；是位似图形．由知：．∵和的对应顶点的连线，相交于点，∴和是位似图形，位似中心是点．25.证明∵，∴，∴；由知，∵，∴，∴∴，∴，∴．26.解：，理由：如图，作，∵，，∴，，∴四边形是矩形，∴∴是的中点，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，在中，，∴，即．解；①，如图在中，过点作于，于点∴四边形是矩形，∴∴，又∵和中，，∴，∴优质资料∵∴，即：②如图，成立．11 / 11。

人教版九年级数学下册《第27章相似数》单元测试题一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若＝，则的值为（）A．5 B．C．3 D．2．已知＝，则代数式的值为（）A．B．C．D．3．以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与△ABC相似的三角形图形为（）A．B．C．D．4．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，如下结论：①BE＝GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．87．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：168．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）A．28°B．32°C．42°D．52°9．如图，小明为了测量大楼MN的高度，在离N点30米放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度是（）A．32米B．米C．36米D．米10．如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝10，BD＝6，则BC的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．如图，用长3m、4m、5m的三根木棒正好搭成一个Rt△ABC，AC＝3，∠C＝90°，用一束垂直于AB的平行光线照上去，AC、BC在AB的影长分别为AD、DB，则AD＝，BD＝．12．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝．13．已知两个相似三角形△ABC与△DEF的相似比为3．则△ABC与△DEF的面积之比为．14．如图，三角形ABC和三角形A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝3：4，三角形ABC的面积为9，则三角形A'B'C'的面积为．15．如图，小明为了测量楼房MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA 方向后退到C点，正好从镜子中看到楼顶M点．若AC＝1.6m，小明的眼睛B点离地面的高度BC为1.5m，则楼高MN＝m．16．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在边AB上，AM＝3，过点M作直线MN 与边AC交于点N，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB＝6，BC＝8．（1）求的值；（2）当AD＝5，CF＝19时，求BE的长．18．（8分）已知如图，E为平行四边形ABCD的边AB的延长线上的一点，DE分别交AC、BC 于G、F，试说明：DG是GE、GF的比例中项．19．（8分）如图，△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；（1）证明：△ABC∽△ADE．（2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件为：．20．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中建立平面直角坐标系，格点△ABC（顶点是网格线的交点）的坐标分别是A（﹣2，2）、B（﹣3，1）、C（﹣1，0）．（1）将△ABC先向右平移2个单位长度，向下平移7个单位长度，得到△DEF，画出△DEF；（2）以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，在网格内画出放大后的△A1B1C1，若P（x，y）为△ABC中的任意一点，其对应点P1的坐标为．21．（8分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，并交AB于点E，连接EG，EF．（1）求证：BG＝CF．（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．23．（10分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．24．（12分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝3时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？参考答案与试题解析一．选择题1．解：由＝，得4b＝a﹣b．，解得a＝5b，＝＝5，故选：A．2．解：由＝得到：a＝b，则＝＝．故选：B．3．解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为：2，，，同理求得：A中三角形的各边长为：，1，，与△ABC的各边对应成比例，所以两三角形相似；故选：A．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCB＝90°，AB＝BC，∵AG＝CE，∴BG＝BE，由勾股定理得：BE＝GE，∴①正确；∵BG＝BE，∠B＝90°，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°，∴∠GAE+∠AEG＝45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∵∠BEG＝45°，∴∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠GAE＝∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△AGE≌△ECF，∴②正确；∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正确；∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有3个．故选：C．5．解：当＝或＝时，DE∥BD，即＝或＝．故选：D．6．解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC＝2，∴AC＝AE+EC＝4+2＝6；故选：C．7．解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4，∴这两个相似多边形的相似比是1：2，则这两个相似多边形的周长之比是1：2，故选：A．8．解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，∴∠B＝42°，∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E．∴∠E＝42°．故选：C．9．解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C＝∠MNA＝90°，∵∠BAC＝∠MAN，∴△BCA∽△MNA．∴＝，即＝，∴MN＝32（m），答：楼房MN的高度为32m．故选：A．10．解：根据射影定理得：AB2＝BD×BC，∴BC＝＝．故选：D．二．填空题11．解：依题意知，AC＝3cm，AB＝5cm，BC＝4cm，∠C＝90°．∵CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，则9＝5AD，16＝5BD，所以AD＝，BD＝．故答案是：；．12．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，∴DF＝2BD＝2×5＝10．故答案为10．13．解：∵△ABC与△DEF的相似比为3，∴△ABC与△DEF的面积之比为9．故答案为9．14．解：∵三角形ABC和三角形A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA'＝3：4，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝3：4，∵三角形ABC的面积为9，∴三角形A'B'C'的面积为：16．故答案为：16．15．解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C＝∠N＝90°，∵∠BAC＝∠MAN，∴△BCA∽△MNA．∴，即，∴MN＝（m），答：楼房MN的高度为m，故答案为：．16．解：∵△AMN和△ABC相似，∴①如图1，△AMN∽△ABC，∴，∵AM＝3，AC＝6，BC＝12，AB＝9，∴，MN＝4．②如图2，△AMN∽△ACB，∴，∵AM＝3，AC＝6，BC＝12，∴，MN＝6，综上MN为4或6．故答案为：4或6．三．解答题17．解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴＝＝＝；（2）过D点作DM∥AC交CF于M，交BE于N，如图，∵AD∥BN∥CM，AC∥DM，∴四边形ABND和四边形ACMD都是平行四边形，∴BN＝AD＝5，CM＝AD＝5，∴MF＝CF﹣CM＝19﹣5＝14，∵NF∥MF，∴＝＝，∴NE＝MF＝×14＝6，∴BE＝BN+NE＝5+6＝11．18．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AE，∴＝，∵AD ∥BC ， ∴＝， ∴＝，∴DG 2＝GE •GF ，∴DG 是GE 、GF 的比例中项．19．（1）证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC ＝∠2+∠DAC ，∴∠BAC ＝∠DAE ．∵∠C ＝∠E ，∴△ABC ∽△ADE ．（2）补充的条件为：AB ＝AD （答案不唯一）；理由如下： 由（1）得：∠BAC ＝∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，，∴△ABC ≌△ADE ；故答案为：AB ＝AD （答案不唯一）．20．解：（1）如图所示：△DEF 即为所求；（2）如图所示：△A 1B 1C 1即为所求，若P （x ，y ）为△ABC 中的任意一点， 其对应点P 1的坐标为：（﹣2x ，﹣2y ）．21．（1）证明：∵BG∥AC，∴∠C＝∠GBD，∵D是BC的中点，∴BD＝DC，在△CFD和△BGD中，∴△CFD≌△BGD，∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF，理由如下：∵△CFD≌△BGD，∴CF＝BG，在△BGE中，BG+BE＞EG，∵△CFD≌△BGD，∴GD＝DF，ED⊥GF，∴EF＝EG，∴BG+CF＞EF．22．（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形．（2）解：∵四边形AEBD是矩形，∴∠AEB＝90°，∵∠ABE＝30°，AE＝2，∴BE＝2，BC＝4，∴EC＝2，∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴＝＝，∴EF＝EC＝．23．解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，∴，∴，②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴，∴；∴或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝3t，，，，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴解得：；24．解：（1）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，因此Rt△CPQ的面积为S＝cm2；（2）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，由勾股定理得PQ＝；（3）分两种情况：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t＝．因此t＝3或t＝时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．。

九年级数学下册第27章相似测试题（含答案新人教版）实用精品文献资料分享知识点3相似多边形6．两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为(a)a.23b.32c.49d.947．(2021?重庆a卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为(c)a．3cmb．4cmc．4.5cmd．5cm8．下列四组图形中，一定相似的是(d)a．正方形与矩形b．正方形与菱形c．菱形与菱形d．正五边形与正五边形9．如图是两个相似四边形，已知数据如图所示，则x＝325，α＝80°．10．如图，四边形abcd的对角线相交于点o，a′，b′，c′，d′分别是oa，ob，oc，od的中点，判断四边形abcd与四边形a′b′c′d′是否相似，并说明理由．解：四边形abcd与四边形a′b′c′d′相似．理由：∵a′，b′分别是oa，ob的中点，∴a′b′∥ab，a′b′＝12ab.∴∠oa′b′＝∠oab，a′b′ab＝12.同理，∠oa′d′＝∠oad，a′d′ad＝12.∴∠b′a′d′＝∠bad，a′b′ab＝a′d′ad.同理，∠a′d′c′＝∠adc，∠d′c′b′＝∠dc b，∠c′b′a′＝∠cba，a′b′ab＝a′d′ad＝d′c′dc＝b′c′bc，∴四边形abcd与四边形a′b′c′d′相似．易错点没分后情况探讨引致漏解11．未知三条线段的长分别为1实用精品文献资料分享cm、2cm、2cm，如果另外一条线段与它们就是变成比例线段，那么另外一条线段的短为2__cm，22__cm或22__cm.02中档题12．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为(c)a．150°b．105°c．15°d．无法确定大小13．已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x的值为(b)a．2b．3c．－3d．3或－314．如图，正五边形fghmn与正五边形abcde相似，若ab∶fg＝2∶3，则下列结论正确的是(b)a．2de＝3mnb．3de＝2mnc．3∠a＝2∠fd．2∠a＝3∠f15．(教材p28习题t5变式)如图，de∥bc，de＝3，bc＝9，ad＝1.5，ab＝4.5，ae＝1.8，ac＝5.4.(1)求adab，aeac，debc 的值；(2)求证：△ade与△abc相似.解：(1)adab＝1.54.5＝13，aeac＝1.85.4＝13，debc＝39＝13.(2)证明：∵de∥bc,∴∠d＝∠b，∠e＝∠c.又∵∠dae＝∠bac，adab＝aeac＝debc，∴△ade与△abc相似．16．例如图，g就是正方形abcd对角线ac上一点，作ge⊥ad，gf⊥ab，像距分别为点e，f.澄清：四边形afge与四边形abcd相近．证明：∵四边形abcd就是正方形，ac就是对角线，∴∠dac＝∠bac＝45°.又∵ge⊥ad，gf⊥ab，∴eg＝fg，且ae＝eg，af＝fg.∴ae＝eg＝fg＝af.又∵∠eaf＝90°，∴四边形afge为正方形．∴afab＝fgbc＝gecd＝aead，且∠eaf＝∠dab，∠afg＝∠abc，∠fge＝∠bcd，∠aeg＝∠adc.∴四边形afge与四边形abcd相近．03综合题17．(教材p28习题t8变式)如图，把矩形abcd对折，折痕为mn，矩形dmnc与矩形abcd相似，已知ab＝4.(1)求ad的长；(2)求矩形dmnc与矩形abcd的相似比．解：(1)若设ad＝x(x＞0)，则dm＝x2.∵矩形dmnc与矩形abcd相似，∴adab＝dcdm，即x4＝4x2.解得x＝42(舍负)．∴ad的长为42.(2)矩形dmnc与矩形abcd的相似比为dcad＝442＝22.27．2相似三角形27．2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例01基础题知识点1相似三角形的有关概念1．如图所示，△ade∽△acb，∠aed＝∠b，那么下列比例式成立的是(a)a.adac＝aeab＝debcb.adab＝aeacc.adae＝acab＝debcd.aeec＝debc2．已知△abc和△a′b′c′相新颖精品文献资料互动似，且△abc与△a′b′c′的相似比为r1，△a′b′c′与△abc的相似比为r2，则r1与r2的关系是(d)a．r1＝r2b．r1r2＝－1c．r1＋r2＝0d．r1r2＝1知识点2平行线分后线段成比例定理及推断3．例如图，ab∥cd∥ef，则以下结论不恰当的就是(c)a.acce＝bddfb.acae＝bdbfc.bdce＝acdfd.aece＝bfdf4．(教材p31练t2变式)例如图，在△abc中，de∥bc.若addb＝23，则aeec＝(c)a.13b.25c.23d.355．(2021?临沂)例如图，未知ab∥cd，ad与bc平行于点o.若booc＝23，ad＝10，则ao＝4．6．(2021?嘉兴)例如图，直线l1∥l2∥l3，直线ac交l1，l2，l3于点a，b，c；直线df交l1，l2，l3于点d，e，f.未知abac＝13，则efde＝2．7．例如图，eg∥bc，gf∥cd，ae＝3，eb＝2，af＝6，谋ad的值．求解：∵eg∥bc，∴aeeb＝aggc.∵gf∥cd，∴aggc＝affd.∴aeeb＝affd，即32＝6fd.∴fd＝4.∴ad＝af＋fd＝10.知识点3相近三角形认定的trained定理8．例如图，在△abc中，点d，e分别在边ab，ac上，de∥bc.若bd＝2ad，则(b)a.adab＝12b.aeec＝12c.adec＝12d.debc＝129．(2021?自贡市)例如图，在△abc中，mn∥bc分别交ab，ac于点m，n.若am＝1，mb＝2，bc＝3，则mn的短为1.10．例如图，在△abc中，点d在bc上，ef∥bc，分别交ab，ac，ad于点e，f，g，图中共存有几对相近三角形？分别就是哪几对？求解：共计3对相近三角形，分别就是：△aeg∽△abd，△agf∽△adc，△aef∽△abc.易错点图形的不唯一导致漏解11．在△abc中，ab＝6，ac＝9，点p是直线ab上一点，且ap＝2，过点p作bc边的平行线，交直线ac于点m，则mc的长为6或12．02中档题12．例如图，在△abc中，ab＝ac＝12，ad⊥bc于点d，点e在ad上，且de＝2ae，相连接be并缩短交ac于点f，则线段af短为(c)a．4b．3c．2.4d．213．例如图，练习本中的横格线都平行，且相连两条斜格线间的距离都成正比，同一条直线上的三个点a，b，c都在横格线上．若线段ab＝4cm，则线段bc＝12cm.14．小明正在登山一个如图所示的攀登架，de和bc就是两根互相平行的固定架，de＝10米，bc＝18米，小明从底部固定点b已经开始登山，攀行8米，实用精品文献资料分享碰上第二个固定点d，小明再攀行多少米可以抵达这个攀登架的顶部a?求解：∵de∥bc，∴△abc∽△ade.∴adab＝debc，即adad＋8＝1018.∴ad＝10.请问：小明再攀行10米可以抵达这个攀登架的顶部a.15．例如图，未知：ab＝ad，ac＝ae，fg∥de.澄清：△abc∽△afg.证明：∵ab＝ad，ac＝ae，∠bac＝∠dae，∴△abc≌△ade.∴bc＝de，∠b＝∠ade，∠c＝∠aed.∵fg∥de，∴△afg∽△ade.∴afad＝agae＝fgde.∴afab＝agac＝fgbc.又∵∠c＝∠aed＝∠g，∠b＝∠ade＝∠f，∠bac＝∠fag，∴△abc∽△afg.03综合题16．如图，ad∥eg∥bc，eg分别交ab，db，ac于点e，f，g，已知ad＝6，bc＝10，ae＝3，ab＝5，求eg，fg的长．解：∵在△abc中，eg∥bc，∴△aeg∽△abc.∴egbc＝aeab，即eg10＝35.∴eg＝6.∵在△bad中，ef∥ad，∴△bef∽△bad.∴efad＝beba，即ef6＝5－35.∴ef＝125.∴fg＝eg－ef＝185.第2课时相似三角形的判定定理1，201基础题知识点1三边成比例的两个三角形相似1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5，乙三角形木框的三边长分别为5，5，10，则甲、乙两个三角形(a)a．一定相似b．一定不相似c．不一定相似d．无法判断2．(教材p34练习t3变式)已知△abc的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△def的一边长为4cm，当△def的另两边长是下列哪一组数据时，这两个三角形相似(c)a．2cm，3cmb．4cm，5cmc．5cm，6cmd．6cm，7cm3．下列四个三角形中，与图甲中的三角形相似的是(b)4．如图，在△abc中，ab＝25，bc＝40，ac＝20.在△ade中，ae＝12，ad＝15，de＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．解：相似．理由：∵acae＝2021＝53，abad＝2515＝53，bcde＝4024＝53，∴acae＝abad＝bcde.∴△abc∽△ade.知识点2两边成比例且夹角成正比的两个三角形相近5．例如图，未知△abc，则以下4个三角形中，与△abc相近的就是(c)6．例如图，在△abc与△ade中，∠bac＝∠d，必须并使△abc与△ade相近，还须要满足用户以下条件中的(c)a.acad＝abaeb.acad＝bcdec.acad＝abded.acad＝bcae7．在△abc和△a′b′c′中，若∠b＝∠b′，ab＝6，实用精品文献资料分享bc＝8，b′c′＝4，则当a′b′＝3时，△abc∽△a′b′c′.8．例如图，未知ab?ad＝ac?ae，∠b＝30°，则∠e＝30°．9．例如图，未知在正方形abcd中，p就是bc上的点，且bp＝3pc，q就是cd的中点，澄清：△adq∽△qcp.证明：设立正方形的边长为4a，则ad＝cd＝bc＝4a.∵q就是cd的中点，bp＝3pc，∴dq＝cq＝2a，pc＝a.∴dqpc＝adcq＝21.又∵∠d＝∠c＝90°，∴△adq∽△qcp.易错点对应边没有确定时容易漏解10.(2021?随州)在△abc中，ab＝6，ac＝5，点d在边ab上，且ad＝2，点e在边ac上，当ae＝125或53时，以a，d，e为顶点的三角形与△abc相似．02中档题11．如图，在正方形网格上，若使△abc∽△pbd，则点p应在________处(c)a．p1b．p2c．p3d．p412．如图，在等边△abc中，d，e分别在ac，ab上，且ad∶ac＝1∶3，ae＝be，则有(b)a．△aed∽△bedb．△aed∽△cbdc．△aed∽△abdd．△bad∽△bcd13．如图，在△abc中，点d，e分别在边ab，ac上，∠aed＝∠b，射线ag分别交线段de，bc于点f，g，且adac＝dfcg.(1)求证：△adf∽△acg；(2)若adac＝12，求affg的值．解：(1)证明：∵∠aed＝∠b，∠dae＝∠bac，∴∠adf＝∠c.又∵adac＝dfcg，∴△adf∽△acg.(2)∵△adf∽△acg.∴adac＝afag＝12.∴affg＝1.14．例如图，在rt△abc中，∠acb＝90°，ac＝6cm，bc＝8cm，动点p从点b启程，在ba边上以每秒5cm的速度向点a匀速运动，同时动点q从点c启程，在cb边上以每秒4cm的速度向点b匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，相连接pq.若以b，p，q为顶点的三角形与△abc相近，谋t的值．求解：由题意，得bp＝5t，qc＝4t，ab＝10cm，bc＝8cm.①∵∠pbq＝∠abc，∴若△bpq∽△bac，则还须要bpba＝bqbc，即5t10＝8－4t8.Champsaurt＝1.②∵∠pbq＝∠cba，∴若△bpq∽△bca，则还须要bpbc＝bqba，即5t8＝8－4t10.Champsaurt＝3241.综上所述，当t＝1或3241时，以b，p，q为顶点的三角形与△ab c相近．03综合题15．如图，在△abc中，ab＝ac＝1，bc＝5－12，在ac边上截取ad＝bc，连接bd.(1)通过计算，判断ad2与ac?cd的新颖精品文献资料互动大小关系；(2)求∠abd的度数．解：(1)∵ad＝bc＝5－12，∴ad2＝(5－12)2＝3－52.∵ac＝1，∴cd＝1－5－12＝3－52.∴ad2＝ac?cd.(2)∵ad2＝ac?cd，∴bc2＝ac?cd，即bccd＝acbc.又∵∠c＝∠c，∴△abc∽△bdc.∴abbd＝acbc.又∵ab＝ac，∴bd＝bc＝ad.∴∠a＝∠abd，∠abc＝。

2021-2022学年人教版九年级数学下册《第27章相似》单元综合测试（附答案）一．选择题（共8小题，满分24分）1．如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝10，BD＝6，则BC的值为（）A．B．C．D．2．下列各组数中，不能组成比例的是（）A．2、4、4和8B．0.3、6、0.2和4C．2、5、7和15D．、、和3．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE 为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（）A．B．C．D．4．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（）A．2：1B．：1C．3：D．3：25．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（）A．5：3B．4：3C．：2D．2：6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（）A．（6，4）B．（6，2）C．（4，4）D．（8，4）7．如图，在三角形纸片中，∠A＝80°，AB＝6，AC＝8．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④8．如图，在△ABC中，AC⊥CB，CD是AB边上中线，AE⊥CD于点E，延长AE交BC于点F，则图中不能与△ABC相似的三角形（）A．△CEF B．△ADE C．△ACE D．△ACF二．填空题（共10小题，满分30分）9．已知＝＝，则＝．10．在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC．若AD＝2cm，DC＝4cm，则BD ＝．11．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行直线上，∠BAD＝90°且AB＝2AD，DC⊥l4，则四边形ABCD 的面积是．12．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．13．在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为．14．如图，以点C（0，1）为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC，则点A（1，﹣1）的对应点D的坐标为．15．如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为米．16．如图，在△ABC中，AB＝4，D是边AB中点，∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE 与线段CD交于点F，那么的值是．17．数学兴趣小组计划测量公路上路灯的高度AB，准备了标杆CD，EF及皮尺，按如图竖直放置标杆CD与EF．已知CD＝EF＝2米，DF＝2米，在路灯的照射下，标杆CD的顶端C在EF上留下的影子为G，标杆EF在地面上的影子是FH，测得FG＝0.5米，FH ＝4米，则路灯的高度AB＝米．18．如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为P A、PD上的点，且P A＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△P AB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝．三．解答题（共9小题，满分66分）19．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．（1）求证：BD2＝BA•BE；（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．20．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）当PQ的值为多少时，这个矩形面积最大，最大面积是多少？21．如图，在△P AB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC ∽△PBD．22．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD 是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．23．如图，AB为半圆直径，D为AB上一点，分别在半圆上取点E、F，使EA＝DA，FB＝DB，过D作AB的垂线，交半圆于C．求证：CD平分EF．24．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF ＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．25．如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE 的垂线段，垂足为F．（1）求证：△P AF∽△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出P A的长．26．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．27．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）（3）在（2）的条件下，连接EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．参考答案一．选择题（共8小题，满分24分）1．如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝10，BD＝6，则BC的值为（）A．B．C．D．解：根据射影定理得：AB2＝BD×BC，∴BC＝＝．故选：D．2．下列各组数中，不能组成比例的是（）A．2、4、4和8B．0.3、6、0.2和4C．2、5、7和15D．、、和解：A、2×8＝4×4，能组成比例，故本选项不符合题意；B、4×0.3＝6×0.2，能组成比例，故本选项不符合题意；C、2×15≠5×7，不能组成比例，故本选项符合题意；D、×＝×，能组成比例，故本选项不符合题意．故选：C．3．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE 为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（）A．B．C．D．解：如图，设AB＝1，∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，∴AE＝GF＝，∴BE＝FH＝AB﹣AE＝，∴S3：S2＝（GF•FH）：（BC•BE）＝（×）：（1×）＝．故选：A．4．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（）A．2：1B．：1C．3：D．3：2解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，∴AF＝AB＝a，∵矩形AFED与矩形ABCD相似，∴＝，即＝，∴（）2＝2，∴＝．故选：B．5．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（）A．5：3B．4：3C．：2D．2：解：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，∵，∴△ACE∽△ABD，∴，∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，∴AC：BC：AB＝3：4：5，∴BD：CE＝5：3，故选：A．6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（）A．（6，4）B．（6，2）C．（4，4）D．（8，4）解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴＝，∵BG＝12，∴AD＝BC＝4，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴＝，∴＝，解得：OA＝2，∴OB＝6，∴C点坐标为：（6，4），故选：A．7．如图，在三角形纸片中，∠A＝80°，AB＝6，AC＝8．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．故选：B．8．如图，在△ABC中，AC⊥CB，CD是AB边上中线，AE⊥CD于点E，延长AE交BC于点F，则图中不能与△ABC相似的三角形（）A．△CEF B．△ADE C．△ACE D．△ACF解：∵AC⊥CB，AE⊥CD，∴∠ACB＝∠AEC＝∠CEF＝90°，∵AD＝DB，∴CD＝DB＝DA，∴∠DCB＝∠B，∴△ECF∽△CBA，∵∠ACE+∠ECF＝90°，∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠ECF＝∠CAE，∴△ECF∽△EAC∽△CAF，∴△ABC与△ECF，△AEC，△ACF相似，故选：B．二．填空题（共10小题，满分30分）9．已知＝＝，则＝．解：设＝＝＝k，则x＝，y＝，z＝，所以＝＝＝，故答案为：．10．在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC．若AD＝2cm，DC＝4cm，则BD＝2cm．解：如图，∵BD⊥C，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，∠A+∠ABD＝90°，∴∠A＝∠CBD，∴△ADB∽△BDC，∴＝，∵AD＝2cm，CD＝4cm，∴BD2＝AD•CD＝2×4＝8，∵BD＞0，∴BD＝2（cm），故答案为：2cm．11．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行直线上，∠BAD＝90°且AB＝2AD，DC⊥l4，则四边形ABCD 的面积是9．解：延长DC交l5于点F，延长CD交l1于点E，作点B作BH⊥l1于点H，连接BD，∵DC⊥l4，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，∴DC⊥l1，DC⊥l5，∴∠BHA＝∠DEA＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAH+∠DAE＝90°，∴∠ABH＝∠DAE，∴△BAH∽△ADE，∴＝，∵AB＝2AD，BH＝4，DE＝1，∴AE＝2，AH＝2，∴BF＝HE＝AH+AE＝2+2＝4，在Rt△ADE中，AD＝＝，∴AB＝2AD＝2，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+CD•BF＝×2×+×2×4＝9．故答案为：9．12．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．解：∵＝，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴AC＝a，∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC∴a2＝CE•a，2a2＝AE•a，∴CE＝，AE＝，∴＝，∵△CEF∽△AEB，∴＝（）2＝，故答案为：．13．在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为6．解：根据题意知，∠AFE＝∠BDG＝∠C＝90°，∴∠A＝BDG（同角的余角相等）．∴△AEF∽△DBG，∴＝．又∵EF＝DG，AF＝4，GB＝9，∴＝．∴EF＝6．即正方形铁皮的边长为6．故答案是：6．14．如图，以点C（0，1）为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC，则点A（1，﹣1）的对应点D的坐标为（﹣，2）．解：把△ABC向下平移1个单位得到A点的对应点的坐标为（1，﹣2），点（1，﹣2）以原点为位似中心，在位似中心两侧的对应点的坐标为（﹣，1），把点（﹣，1）先上平移1个单位得到（﹣，2），所以D点坐标为（﹣，2）．故答案为（﹣，2）．15．如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为9米．解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.8米，BC＝8米，CD∥AB，则BE＝BC+CE＝10米，∵CD∥AB，∴△ECD∽△EBA∴＝，即＝，解得AB＝9（米），即路灯的高AB为9米；故答案为：9．16．如图，在△ABC中，AB＝4，D是边AB中点，∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE 与线段CD交于点F，那么的值是．解：∵∠ADF＝∠B+∠BCD，∠ACE＝∠BCD+∠ACD，∠B＝∠ACD，∴∠ADF＝∠ACE，∵∠DAF＝∠CAE，∴△ADF∽△ACE，∴＝，∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AC＝2，∴＝＝，故答案为．17．数学兴趣小组计划测量公路上路灯的高度AB，准备了标杆CD，EF及皮尺，按如图竖直放置标杆CD与EF．已知CD＝EF＝2米，DF＝2米，在路灯的照射下，标杆CD的顶端C在EF上留下的影子为G，标杆EF在地面上的影子是FH，测得FG＝0.5米，FH ＝4米，则路灯的高度AB＝5米．解：如图，延长CG交FH于M，∵∠GMF＝∠CMD，∠GFM＝∠CDM＝90°，∴△GFM∽△CDM，∴，设FM为a米，则a＝（a+2）×，解得：a＝，设BD＝x米，AB＝y米，同理可得，△CMD∽△AMB，∴，，可得，，整理得：，解得：，经检验是分式方程组的解，∴AB＝5米．故答案为：5．18．如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为P A、PD上的点，且P A＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△P AB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝18．解：∵P A＝3PE，PD＝3PF，∴＝＝，∴EF∥AD，∴△PEF∽△P AD，∴＝（）2，∵S△PEF＝2，∴S△P AD＝18，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△P AD＝S平行四边形ABCD，∴S1+S2＝S△P AD＝18，故答案为18．三．解答题（共9小题，满分66分）19．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．（1）求证：BD2＝BA•BE；（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，又∵∠BDE＝∠BAD＝90°，∴△ABD∽△DBE，∴，∴BD2＝BA•BE；（2）∵AB＝6，BE＝8，BD2＝BA•BE，∴BD＝4，∴DE＝＝＝4，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDE+∠EDC，∴∠ABD＝∠CDE，∴∠CDE＝∠DBC，又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴EC＝4，CD＝4．方法二、∵sin∠DBE＝＝＝，∴∠DBE＝30°，∴∠ABD＝∠DBE＝30°，∴∠C＝30°，∴∠C＝∠DBC，∴BD＝CD，∵∠ABD＝30°，∴cos∠ABD＝＝∴BD＝4，∴CD＝4．20．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）当PQ的值为多少时，这个矩形面积最大，最大面积是多少？解：（1）设边长为xmm，∵矩形为正方形，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∵AD⊥BC，∴AD⊥PQ，∴＝，∴＝，解得PQ＝48；答：若这个矩形是正方形，那么边长是48mm；（2）设PQ＝x∵＝，∴＝，∴PN＝80﹣x，∴S四边形PQMN＝x（80﹣x）＝﹣x2+80x＝﹣（x﹣60）2+2400，当PQ＝60时，S四边形PQMN的最大值＝2400mm2．21．如图，在△P AB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC ∽△PBD．证明：∵PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC，∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，又∵∠A＝∠BPD，∴∠B＝∠APC，∴△APC∽△PBD．22．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD 是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．解：（1）当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．（2）结论：CD＝BD．理由：∵△BCD∽△BAC，∴＝，∴＝＝，∴CD＝BD．23．如图，AB为半圆直径，D为AB上一点，分别在半圆上取点E、F，使EA＝DA，FB＝DB，过D作AB的垂线，交半圆于C．求证：CD平分EF．证明：如图，分别过点E、F作AB的垂线，G、H为垂足，连F A、EB．易知：DB2＝FB2＝AB•HB，AD2＝AE2＝AG•AB．二式相减得：DB2﹣AD2＝AB•（HB﹣AG），或（DB﹣AD）•AB＝AB•（HB﹣AG）．于是：DB﹣AD＝HB﹣AG，或DB﹣HB＝AD﹣AG．∴DH＝GD．显然，EG∥CD∥FH．故CD平分EF．24．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF ＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．解：（1）由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，故，即，解得：BC＝3；（2）∵AC＝5.4m，∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴，解得：AG＝1.2（m），答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．25．如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE 的垂线段，垂足为F．（1）求证：△P AF∽△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出P A的长2或5．（1）证明：在正方形ABCD中，∠D＝90°，CD∥AB，∴∠AED＝∠P AF，∵PF⊥AE，∴∠D＝∠PF A＝90°，∴△P AF∽△AED．（2）解：当P A＝PB＝2时，∵DE＝EC，AP＝PB，∴PE∥AD，此时∠DAE＝∠PEF，∠D＝∠PFE＝90°，可得△PEF∽△EAD．当∠AED＝∠PEF，∠D＝∠PFE时，△ADE∽△PFE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠EAP＝∠AEP，∴P A＝PE，∵PF⊥AE，∴AF＝FE，∵AD＝4，DE＝EC＝2，∠D＝90°，∴AE＝＝＝2，∴AF＝，∵△P AF∽△AED，∴＝，∴＝，∴P A＝5，综上所述，满足条件的P A的值为2或5．26．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，∴，∴，②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴，∴；∴或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝3t，，，，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴解得：．27．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）（3）在（2）的条件下，连接EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°．∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，∴∠BPE+∠BEP＝135°，∵∠EPF＝45°，又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°，∴∠BPE+∠CPF＝135°，∴∠BEP＝∠CPF，又∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．（2）解：△BPE∽△CFP；理由：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°．∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，∴∠BPE+∠BEP＝135°，∵∠EPF＝45°，又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°，∴∠BPE+∠CPF＝135°，∴∠BEP＝∠CPF，又∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．（3）解：动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，证明：同（1），可证△BPE∽△CFP，得CP：BE＝PF：PE，而CP＝BP，因此PB：BE＝PF：PE．又因为∠EBP＝∠EPF，所以△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．。

2021-2022学年人教版九年级数学下册《第27章相似》单元过关测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分30分）1．若，则的值为（）A．B．C．D．2．在1：40000的工程示意图上，将于2020年10月1日正式通车的呼和浩特市地铁二号线（塔利东站至阿尔山路站）的长度约为70.5cm，它的实际长度约是（）A．28.2千米B．28.38千米C．27.2千米D．28.3千米3．如图，点F是平行四边形ABCD边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．4．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若AD＝6，AE⊥BD于点E，且DE ＝3BE．则AE＝（）A．2B．3C．3D．45．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则D点坐标为（）A．（，2）B．（，1）C．（1，2）D．（，2）6．顶角为36°的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为黄金比．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝1，则AC的长为（）A．B．C．D．7．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，如果AD＝2，BD＝6，那么AC的长为（）A．4B．5C．6D．78．如图，在△ABC中，BC＝4，BC边上的高AD＝2，正方形EFGH的边FG在△ABC的边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上，那么该正方形的边长为（）A．B．C．D．9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ADC的值为（）A．1：16B．1：18C．1：20D．1：2410．如图，AB∥DC，AD与BC的交点为M，过点M作MH∥AB交BD于H．已知AB＝3，MH＝2，则△ABM与△MCD的面积之比为（）A．1：2B．1：4C．2：3D．4：9二．填空题（共10小题，满分30分）11．已知a、b、c满足，a、b、c都不为0，则＝．12．如图，l1∥l2∥l3，＝，DF＝10，那么DE＝．13．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽△ABC．14．如图，CD⊥DB，AB⊥DB，且AB＝6，CD＝4，DB＝14，点P是线段DB上一动点，当DP＝时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似．15．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，当△QBP与△ABC相似时，运动的时间为秒．16．如图，某测量工作人员的眼睛A与标杆顶端F，铁塔顶端E在一条直线上，已知此人眼睛距离地面的高为1.6m，标杆高为3.2m，且BC＝1m，CD＝5m，则铁塔的高DE＝m．17．如图，在长为8cm，宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是cm2．18．如图，在▱ABCD中，E为边BC的中点，联结AE，与对角线BD相交于点F，则△BEF 与四边形CDFE的面积比为．19．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，BD：CD＝2：1，M是AD中点，过点M 的线段EF平分△ABC的周长，那么线段BE的长是．20．如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有六个大小相同的正方形，点P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的边长为．三．解答题（共6小题，满分60分）21．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E．（1）求证：△AED∽△CDB；（2）如果BC＝10，AD＝6，求AE的值．22．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的跟晴离地面1.6米，凉亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．23．如图，BD是圆O的直径，A、C是圆O上的两个点，且AB＝AC，AD与BC的延长线交于点E．（1）证明：△ABD∽△AEB；（2）若AD＝1，DE＝3，求圆O的直径的长．24．已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且DE∥AC，＝．（1）求证：DF∥BC；（2）如果DF＝2，BE＝4，求的值．25．如图，△ABC内接于⊙O，弦CD平分∠ACB，并与AB相交于点E，过点D作AB的平行线MN．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）若DE＝2，CA＝CE＝6，求AB的长．26．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD相交于点F，过点E作EG∥CD交AC的延长线于点G．若AE平分∠BAC，CE＝CF．（1）①求证：∠ABC＝∠ACD；②求证：△EGC∽△CBD；（2）如图2，若∠BAC＝90°，AD＝2，BD＝6，求CG的长．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：∵，∴b＝3a，∴＝＝．故选：A．2．解：根据比例尺＝图上距离：实际距离，得：它的实际长度为70.5×40 000＝2820 000（cm）＝28.2（km）．故选：A．3．解：根据题意知：DF∥AB，BC∥DE，∴，，，∴A，C，D中的结论正确，B中结论错误，故选：B．4．解：在矩形ABCD中，AO＝CO＝BO＝DO，∵DE＝3BE，BO＝DO，∴BE＝EO，∵AE⊥BD，∴AE垂直平分BO，∴AB＝AO，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO为等边三角形，∴∠BAO＝60°，∠ABO＝60°，∴BD＝2AB，∵AD＝6，在Rt△ABD中，AD2+AB2＝BD2，∴AB＝2，∵AE⊥BD，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝，∴AE＝BE＝3．故选：C．5．解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴＝，AD∥BG，∵BG＝6，∴AD＝BC＝2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴＝＝，即＝，解得：OA＝1，∴D点坐标为：（1，2），故选：C．6．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠DBC＝∠A，∠ABD＝∠A，∠BDC＝36°+36°＝72°＝∠C，∴AD＝BD＝BC，∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴＝，即＝，整理得：AD2﹣AD﹣1＝0，解得：AD1＝，AD2＝（负数不合题意），则AC＝AD+CD＝+1＝，故选：D．7．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，则AC2＝AD•AB，∵AD＝2，BD＝6，∴AC2＝2×（2+6）＝16，∴AC＝4，故选：A．8．解：如图，设EH＝x，AD与EH相交于点O，则AO＝2﹣x，∵正方形EFGH的边FG在△ABC的边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上，∴EH∥BC，∴，即，解得：x＝，故选：A．9．解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，∴，∴，∵DE∥AC，∴△BDE∽△ABC，∴，∴S△BDE：S△BAC＝（）2＝，∴S△ADC＝S△BAC﹣（S△BDE+S△CDE）＝25﹣（1+4）＝20，∴S△BDE：S△ADC＝1：20．故选：C．10．解：∵AB∥DC，∴△ABM∽△MCD，∴＝（）2∵MH∥AB，∴＝＝，∴＝，∴＝，则△ABM与△MCD的面积之比为：1：4．故选：B．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：设＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝5k，把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入＝＝，故答案为：．12．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵＝，DF＝10，∴＝，解得：DE＝，故答案为：．13．解：根据相似三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．已知∠DAB＝∠CAE，则∠DAE＝∠BAC，要使△ADE∽△ABC，则补充的一个条件可以是∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD•AC＝AB•AE．故答案为：∠D＝∠B或∠AED＝∠C或AD：AB＝AE：AC或AD•AC＝AB•AE（任意一个即可）．14．解：∵①若△PCD∽△APB，则，即，解得DP＝2或12；②若△PCD∽△P AB，则，即，解得DP＝5.6．∴DP＝2或12或5.6．故答案为：2或12或5.6．15．解：设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，则AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，∵∠PBQ＝∠ABC，∴当时，△BPQ∽△BAC，即，解得t＝2；当时，△BPQ∽△BCA，即，解得t＝0.8；即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似．故答案为2或0.8．16．解：作AH⊥ED交FC于点G；如图所示：∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，∴FG∥EH，∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，∴AH＝BD，AG＝BC，∵AB＝1.6m，FC＝3.2m，BC＝1m，CD＝5m，∴FG＝3.2﹣1.6＝1.6（m），BD＝6m，∵FG∥EH，∴，∴解得：EH＝9.6，∴ED＝EH+DH＝9.6+1.6＝11.2（m），∴铁塔的高ED是11.2m．故答案为11.2．17．解：长为8cm、宽为4cm的矩形的面积是32cm2，留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，相似比是4：8＝1：2，因而面积的比是1：4，因而留下矩形的面积是32×＝8cm2．故答案为：8．18．解：设△BEF的面积为S，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴，△BEF∽△DAF，∵E是BC的中点，∴，∴，∴S△ABF＝2S，S△ADF＝4S，∴S△ABD＝6S＝S△BCD，∴S△BEF：S四边形CDFE＝1：5，故答案为：1：5．19．解：如图，∵点D是BC上一点，BC＝12，BD：CD＝2：1，∴BD＝8，CD＝4，过点M作MH∥AC交CD于H，∴△DHM∽△DCA，∴，∴点M是AD的中点，∴AD＝2DM，∵AC＝8，∴，∴MH＝4，DH＝2，过点M作MG∥AB交BD于G，同理得，BG＝DG＝4，∵AB＝10，BC＝12，AC＝8，∴△ABC的周长为10+12+8＝30，∵过点M的线段EF平分△ABC的周长，∴CE+CF＝15，设BE＝x，则CE＝12﹣x，∴CF＝15﹣（12﹣x）＝3+x，EH＝CE﹣CH＝CE﹣（CD﹣DH）＝12﹣x﹣2＝10﹣x，∵MH∥AC，∴△EHM∽△ECF，∴，∴，∴x＝2或x＝9，当x＝9时，CF＝12＞AC，点F不在边AC上，此种情况不符合题意，即BE＝x＝2，故答案为：2．20．解：过Q作QE⊥AD于E，如下图所示，在△MDN和△NEQ中，∠MDN＝∠NEQ＝90°，∠DMN＝∠ENQ，∴△MDN∽△NEQ，∴＝＝＝，∴DN＝×10＝2，在△MDN和△PBQ中，，∴△MDN≌△PBQ（ASA），∴DM＝BP，DN＝BQ＝2，∴NE＝AD﹣DN﹣EA＝AD﹣DN﹣BQ＝10﹣2﹣2＝6，∴DM＝×6＝，∴MN＝＝＝．∴每个小正方形的边长为．故答案为：．三．解答题（共6小题，满分60分）21．（1）证明：∵BA＝BC，BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∠A＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEA＝∠BDC＝90°，∴△AED∽△CDB；（2）解：∵BA＝BC，BD⊥AC，∴AD＝DC＝6，∵△AED∽△CDB，∴，∴．22．解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，由题意得：AN＝2米，CN＝1.9﹣1.6＝0.3（米），MN＝38米，∵CN∥EM，∴△ACN∽△AEM，∴，∴，∴EM＝6，∵AB＝MF＝1.7米，∴城楼的高度为：6+1.6﹣1.7＝5.9（米）．23．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ADB，又∵∠BAE＝∠DAB，∴△ABD∽△AEB；（2）解：∵△ABD∽△AEB，∴，∵AD＝1，DE＝3，∴AE＝4，∴AB2＝AD•AE＝1×4＝4，∴AB＝2，∵BD是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝22+12＝5，∴BD＝．24．（1）证明：∵DE∥AC，∴，∵＝，∴＝，∴DF∥BC；（2）解：∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴EC＝DF＝2，∴BC＝BE+EC＝6，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴＝（）2＝＝＝．25．解：（1）如图1，连接OD、OA、OB，设OD交AB于点E，∵弦CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∵∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，∴∠AOD＝∠BOD，∴，∴OD垂直平分AB，∵AB∥MN，∴∠ODM＝∠OF A＝90°，∵MN经过⊙O的半径OD的外端，且MN⊥OD，∴MN是⊙O的切线．（2）如图2，连接AD、BD，∵∠DAE＝∠DCB＝∠DCA，∠ADE＝∠CDA，∴△ADE∽△CDA，∴，∴DB＝DA＝＝4，∴AE＝＝＝3，∵∠DEB＝∠AEC，∠BDE＝∠CAE，∴△DBE∽△ACE，∴，∴BE＝＝＝4，∴AB＝AE+BE＝3+4＝7，∴AB的长为7．26．（1）①证明：∵CE＝CF，∴∠CEF＝∠CFE．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，又∵∠CEF＝∠ABC+∠BAE，∠CFE＝∠ACD+∠CAE，∴∠ABC＝∠ACD；②证明：∵EG∥CD，∴∠CEG＝∠DCB，∠ACD＝∠G，∵∠ABC＝∠ACD，∴∠ABC＝∠G，∴△EGC∽△CBD；（2）解：在△AEB和△AEG中，，∴△AEB≌△AEG（AAS），∴AG＝AB．∠ABC＝∠G，∵AD＝2，BD＝6，∴AB＝AD+BD＝2+6＝8，∴AG＝8．∵∠ABC＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，∴△ABC∽△ACD，∴AB：AC＝AC：AD，∴AC2＝AB•AD＝8×2＝16，∴AC＝4（舍负），∴CG＝AG﹣AC＝8﹣4＝4．。

2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第27章相似》单元测试卷一．选择题1．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．观察下列图形中，是相似图形的一组是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝2：3，若△ADE的周长为2a，则△ABC的周长是（）A．3a B．9a C．5a D．25a4．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（）A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m5．如图，若ΔABC与ΔA'B'C'是位似图形，则位似中心的坐标为（）A．（1，﹣1）B．（1，1）C．（2，0）D．（0，﹣1）6．若x是a，b的比例中项，则下列式子错误的是（）A．x2＝ab B．C．D．ab＝7．如图，l1∥l2∥l3，直线AB，CD与l1、l2、l3分别相交于点A、O、B和点C、O、D．若，CD＝6，则CO的长是（）A．2.4B．3C．3.6D．48．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠F B．且∠B＝∠DC．D．且∠A＝∠D9．线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP，则BP的长度为（）A．8﹣8B．8+8C．4﹣4D．4+410．若两个相似多边形的面积之比为4：9，则这两个多边形的周长之比为（）A．：B．2：3C．4：9D．16：81二．填空题11．已知△ABC∽△A′B′C′，且AB＝3cm，A′B′＝5cm，则相似比为．12．在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．下列结论①CD2＝AD•BD；②AC2＝AD•AB；③BC2＝AB•BD；④BD2＝AC•BC，不正确的是．14．在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为时，使得△BOC∽△AOB．15．一副地图，图上20厘米表示实际距离10千米，这幅地图的比例尺是．16．如图，△ABC中，CA＝CB，点E在BC边上，点D在AC边上，连接AE、DE，若AB ＝AE，2∠AEB+∠ADE＝180°，BE＝8，CD＝，则CE＝．17．如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，DB＝4，AE＝2．那么EC＝．18．如图，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，则河宽AB为米．19．现有30张相同的菱形纸片（如图1，有一个内角为60°），小亮用其中3张密铺成一个如图2所示的正六边形；若小芳想密铺出一个与图②相似但面积比它大的正六边形，则她至少要用张菱形纸片（不得将菱形纸片剪开）．20．设点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），AB＝2厘米，那么线段BP的长是厘米．三．解答题21．如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．（1）α＝，它们的相似比是．（2）求边x、y的长度．22．已知＝＝，且2x+y+3z≠0，求的值．23．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看一到位于A处的树木（即点D在直线AC上）．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，过点C作AB的平行线交∠ABC的平分线于点D，BD交边AC于点E，求DE的长．25．求证：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比．要求：①分别在给出的△ABC与△DEF中用尺规作出一组对应角的平分线，不写作法，保留作图痕迹；②在完成作图的基础上，写出已知、求证，并加以证明．26．如图，已知矩形ABCD，请用尺规作图法，在对角线AC上求作一点P，使△DPA∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）27．如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D．（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵2x＝3y，∴＝．故选：B．2．解：A．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；B．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意；C．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；故选：B．3．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，＝×2a＝5a，∴C△ABC故选：C．4．解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∵BE＝1.5m，AB＝3m，BC＝7m，∴AC＝AB+BC＝10m，∴＝，解得，DC＝5，即建筑物CD的高是5m，故选：D．5．解：延长A′A、B′B交于点P，则点P（1，﹣1）为位似中心，故选：A．6．解：∵线段x是线段b，a的比例中项，∴x2＝ba，故A正确，∴，，故B、C正确；故选：D．7．解：∵l1∥l2∥l3，∴，∴，即，∴CO＝3.6，故选：C．8．解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠F，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；B、＝且∠B＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；故选：B．9．解：∵线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP，∴BP＝AB＝×8＝4﹣4．故选：C．10．解：∵两个相似多边形的面积之比为4：9，∴两个相似多边形的对应边的比为2：3，∴两个相似多边形的周长的比为2：3，故选：B．二．填空题11．解：由题意得，＝，∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为＝，故答案为：．12．解：延长AO、BO、CO、DO分别到Q、P、M、N，则四边形NPMQ是四边形ABCD的位似图形，故答案为：四边形NPMQ．13．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∴CD2＝AD•BD，①正确；AC2＝AD•AB，②正确；BC2＝AB•BD，③正确；BD2＝AC•BC不一定成立，④不正确；故答案为：④．14．解：∵点A为（4，0），∴AO＝4；∵点B为（0，2），∴OB＝2．若△BOC∽△AOB．则：＝．即：＝，∴OC＝1．故点C为（﹣1，0）或者（1，0）．故答案为：（﹣1，0）或者（1，0）．15．解：10千米＝1000000厘米，20：1000000＝1：50000．所以这幅地图的比例尺是1：50000．故答案为：1：50000．16．解：如图，过点A作AM⊥BE于E，过点D作DN⊥EC于N，∵CA＝CB，AB＝AE，∴∠B＝∠CAB，∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠CAB＝∠AEB，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，∴∠C＝∠BAE，∴2∠AEB+∠C＝180°，又∵2∠AEB+∠ADE＝180°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠ADE＝∠C+∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC＝，∵AB＝AE，AM⊥BE，DE＝CC，DN⊥EC，∴BM＝ME＝BE＝4，EN＝NC＝EC，AM∥DN，∴△CDN∽△CAM，∴，∴，∴EC＝12，EC＝﹣5（不合题意舍去），故答案为：12．17．解：∵DE∥BC，∴CE：AE＝BD：AD，∵AD＝3，DB＝4，AE＝2，∴EC＝，故答案为：．18．解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD，∴，则AB＝，∴AB＝＝100（米）．故答案为：100．19．解：观察图象可知，至少要用12张菱形纸片．故答案为：12．20．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜BP，∴BP＝AB＝（﹣1）厘米．故答案为：（﹣1）．三．解答题21．解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴∠A′＝∠A＝62°，∠B′＝∠B＝75°，∴∠C′＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，它们的相似比为：＝，故答案为：83°；；（2）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴＝＝，解得，x＝12，y＝．22．解：∵＝＝，∴x＝y，z＝y，∴＝＝＝﹣．23．解：DH＝100，DK＝100，AH＝15，∵AH∥DK，∴∠CDK＝∠A，而∠CKD＝∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴＝，即＝，∴CK＝．答：出南门步恰好看一到位于A处的树木．24．解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，∵BD平分∠ABC，∴∠DCB＝∠DBA，∵CD∥AB，∴∠D＝∠DBA，∴∠D＝∠DBC，∴CD＝CB＝6，∵CD∥AB，∴△CDE∽△ABE，∴＝＝＝＝，∴CE＝AC＝×8＝3，在Rt△BCE中，BE＝＝＝3，∵＝，∴DE＝．25．解：①如图所示，AG，DH分别是∠BAC与∠EDF的角平分线；②已知：如图，△ABC∽△DEF，＝＝＝k，AG，DH分别是∠BAC与∠EDF的角平分线．求证：＝k；证明：∵AG，DH分别是△ABC与△DEF的角平分线，∴∠BAG＝∠BAC，∠EDH＝∠EDF，∵△ABC∽△DEF，∴∠BAC＝∠EDF，∠B＝∠E，∴∠BAG＝∠EDH，∴△ABG∽△DEH，∴＝＝k．26．解：如图，点P即为所求．27．解：（1）点D是边AB上的黄金分割点，理由如下：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝72°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝36°，∴∠BDC＝∠B＝72°，∠ACD＝∠A＝36°，∴BC＝DC＝AD．∵∠A＝∠BCD，∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝．∴＝．∴D是AB边上的黄金分割点；（2）直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：设△ABC的边AB上的高为h，则S△ADC ＝AD•h，S△DBC＝DB•h，S△ABC＝AB•h，∴＝，＝．∵D是AB的黄金分割点，∴＝，∴＝．∴CD是△ABC的黄金分割线．。

人教版九年级数学《图形的相似》单元测试（附答案）(时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为34，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为( )A.34B.43C.916D.169 2．已知b a ＝513，则a －b a ＋b的值是( )A.23B.32C.94D.493．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O.若AD ＝1，BC ＝3，则AOCO的值为( ) A.12 B.13 C.14 D.194．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB ，AC 相交于点D ，E.若AD ＝12，DB ＝4，则DE ∶BC 的值为( )A.23B.12C.34D.355．如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是( )A．AO·CO＝BO·DO B.AODO＝ABCDC．∠A＝∠D D．∠B＝∠C6．如图，矩形ABCD∽矩形ADFE，AE＝1，AB＝4，则AD＝( )A．2 B．2.4 C．2.5 D．37．已知如图①，②中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图①，②中的两个三角形，下列说法正确的是( )A．只有①相似B．只有②相似C．都不相似D．都相似8．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1.若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D，E，F也都在格点上，则下列与△ABC相似的三角形是( ) A．△ACD B．△ADF C．△BDF D．△CDE9．如图，点M 在BC 上，点N 在AM 上，CM ＝CN ，AM AN ＝BMCM，下列结论正确的是( )A ．△ABM ∽△ACB B ．△ANC ∽△AMB C ．△ANC ∽△ACM D ．△CMN ∽△BCA10．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，EG ∥AB ，且AE ∶EC ＝3∶2.若BC ＝10，则FG 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．411．阳光通过窗口AB 照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙角的距离EC ＝8.7米，窗口高AB ＝1.8米，则窗口底边离地面的高BC 为( )A ．4米B ．3.8米C ．3.6米D ．3.4米12．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，已知∠C ＝∠F ＝90°，在下列条件中：①∠A ＝30°，∠E ＝60°；②AC ＝5，BC ＝4，DF ＝15，EF ＝12；③AB ＝5，AC ＝3，DE ＝10，DF ＝6；④AC ∶AB ＝1∶3，DF ＝a ，DE ＝3a.能够判断Rt △ABC ∽Rt △DEF 的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点重合．若AB ＝2，BC ＝3，则△FCB ′与△DGB ′的面积之比为( )A ．9∶4B ．16∶9C ．4∶3D ．3∶214．如图，将△ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1，S2，S3，S4，则S1∶S2∶S3∶S4等于( )A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶4∶5 C．1∶3∶5∶7 D．3∶5∶7∶915．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD是边AB上的高线，且有2CD＝3AB＝6，CE＝EF ＝DF，则下列判断中不正确的是( )A．∠AFB＝90°B．BE＝ 5C．△EFB∽△BFC D．∠ACB＋∠AEB＝45°16．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P以每秒1 cm的速度从点A出发，沿折线AC—CB运动，到点B停止，过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y(cm)与点P的运动时间x(秒)的函数图像如图2所示．当点P运动5秒时，PD的长是( ) A．1.5 cm B．1.2 cm C．1.8 cm D．2 cm二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上)17．如图，已知AD∥BE∥CF，且AB＝4，BC＝5 ，EF＝4，则DE＝．18．如图，已知△OAB与△OA′B′是位似比为1∶2的位似图形，点O为位似中心．若△OAB 内一点P(x，y)与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标是．19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D是边BC上一动点(不与B，C重合)，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E.则当BD＝4时，CE＝；当∠AED＝90°时，BD＝．三、解答题(本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分8分)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于点F，求CFCD的值．21．(本小题满分9分)如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，3)，C(3，0)．(1)以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且位似比为2；(2)在(1)的条件下，若M(a，b)为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为．22．(本小题满分9分)已知：如图，在△ABC中，BC＝10，BC边上的高h＝5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F，点D为BC上一点，连接DE，DF，△DEF的面积为4，求点E到BC的距离．23．(本小题满分9分)如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于点E，交AC延长线于点F.求证：(1)△ADF∽△EDB；(2)CD2＝DE·DF.24．(本小题满分10分)小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE＝0.8 m，CA＝30 m(点A，E，C在同一直线上)．已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB.(结果精确到0.1 m)25．(本小题满分10分)如图，在△ABC 中，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，点P 从B 出发，沿BC 方向以2 cm/s 的速度移动，点Q 从C 出发，沿CA 方向以1 cm/s 的速度移动，若P ，Q 分别从B ，C 同时出发，设运动的时间为t s ，则△CPQ 能否与△CBA 相似？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．26．(本小题满分11分)如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点．(1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝4，AB ＝6，求ACAF的值．答案一、选择题二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上) 17．165．18．(－2x ，－2y)．19．CE ＝4.8；当∠AED ＝90°时，BD ＝8． 三、解答题20．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°. 又∵AB ＝3，AD ＝BC ＝6，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝3.∵BE ＝1.8，∴DE ＝3－1.8＝1.2.∵AB ∥CD ，∴DFAB ＝DE BE ，即DF 3＝1.21.8.解得DF ＝233.∴CF＝CD－DF＝33.∴CFCD＝333＝13.21．点M′的坐标为(2a，2b)或(－2a，－2b)．解：如图，△DEF和△D′E′F′为所作．22．解：设点E到BC的距离为x.∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC. ∴EFBC＝5－x5.∴EF＝10－2x.∴S△DEF＝12(10－2x)·x＝4.解得x1＝4，x2＝1.∴点E到BC的距离为4或1.23．证明：(1)在Rt△ABC中，∠B＋∠A＝90°.∵DF⊥AB，∴∠BDE＝∠ADF＝90°.∴∠A＋∠F＝90°.∴∠B＝∠F.∴△ADF ∽△EDB.(2)由(1)可知∠B ＝∠F ，∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，∴CD ＝AD ＝DB. ∴∠DCE ＝∠B.∴∠DCE ＝∠F.又∵∠CDE ＝∠FDC ，∴△CDE ∽△FDC. ∴CD DF ＝DE CD，即CD 2＝DE ·DF. 24．解：过点D 作DG ⊥AB ，分别交AB ，EF 于点G ，H ，则EH ＝AG ＝CD ＝1.2 m ，DH ＝CE ＝0.8 m ，DG ＝CA ＝30 m.∵EF ∥AB ，∴FHBG ＝DH DG . 由题意，知FH ＝EF －EH ＝1.7－1.2＝0.5(m)．∴0.5BG ＝0.830，解得BG ＝18.75. ∴AB ＝BG ＋AG ＝18.75＋1.2＝19.95(m)≈20.0 m.答：楼高AB 约为20.0 m.25．解：设经过t s 时△CPQ 与△CBA 相似，此时BP ＝2t ，CQ ＝t ，CP ＝8－2t ，①当△CPQ ∽△CBA 时，CP CB ＝CQ CA ，即8－2t 8＝t 6，解得t ＝2.4；②当△CPQ ∽△CAB 时，CP CA ＝CQ CB ，即8－2t 6＝t 8，解得t ＝3211. 综上可知，经过2.4 s 或3211s 时，△CPQ 与△CBA 相似．26．解：(1)证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠CAB.又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ADC ∽△ACB.∴AD AC ＝AC AB，即AC 2＝AB ·AD. (2)证明：∵E 为AB 的中点，∴CE ＝12AB ＝AE.∴∠EAC ＝∠ECA. 由(1)知∠DAC ＝∠CAB.∴∠DAC ＝∠ECA.∴CE ∥AD.(3)∵CE ∥AD ，∴△AFD ∽△CFE.∴AD CE ＝AF CF. ∵CE ＝12AB ，∴CE ＝12×6＝3. ∴43＝AF CF. ∴AF AC ＝47，即AC AF ＝74.。

2021年人教新版九年级下学期《第27章相似》单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知32x y =，那么下列等式中一定正确的是（ ） A ．392x y = B ．33x y ++ =65 C ．3322x x y y -=⋅- D ．52x y x += 2．已知a ：b ＝3：2，则a ：（a ﹣b ）＝（ ）A ．1：3B ．3：1C ．3：5D ．5：33．在比例尺是1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm ，它的实际长度约为( )A ．320cmB ．320mC ．2000cmD ．2000m 4．已知线段AB ＝1，C 是AB 的黄金分割点，AC ＞BC ，则BC 的长为（ ）A 1BC 35D 5．如图，若DC // FE // AB ，则有（ ）A ．OD OF =OC OEB ．OF OE =OB OAC ．OA OC =OD OB D ．CD EF =ODOE6．我们已经学习了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，是相似图形的有（ ）A ．①③B ．①②C ．①④D ．②③7．如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )A．60°B．75°C．87°D．120°8．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：2B．2：1C．1：4D．4：19．如图，已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC．E是射线BC上的动点（点E与点B 不重合），M是线段DE的中点，连接BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，则线段BE的长为A．3B．6C．3或8D．2或810．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1B．5：3：1C．25：12：5D．51：24：10 11．1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米；在同一时刻，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的高度应是( )A．80米B．85米C．120米D．125米12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AD＝3，BD＝1，则BC的值是（）A．B C．2 D．413．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A．4：9 B．2：5 C．2：3 D二、填空题14．已知线段a＝10cm，b＝2m，则ba＝__．15．若x2=y3=z4≠0，则2x+3yz=________．16．已知线段b=2，c=8，若线段a是线段b与c的比例中项，则a=_____．17．黄金分割比是0.61803398=⋯，将这个分割比用四舍五入法精确到0.001的近似数是．18．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．19．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是________．20．已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，则较大的一个多边形的周长为__；若较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是___．21．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是_____．22．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是______．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）23．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM=AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是．24．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是__________米．25．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点△ABC与△OAB相似（相似比不能为1），则C点坐标为．26．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，AD ＝4，BD ＝1，则CD 的长为_____．27．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC 面积的14，B 的坐标是（4，2），那么点B ′的坐标是___．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，且OA ＝2．OC ＝1，则矩形AOCB 的对称中心的坐标是___；在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O 为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形A 1OC 1B 1，再将矩形A 1OC 1B 1以原点O 为位似中心放大32倍，得到矩形A 2OC 2B ，…，按此规律，则矩形A 4OC 4B 4的对称中心的坐标是___．三、解答题29．若x 、y 、z 满足y z x+＝z x y +＝x y z +＝k ，求k 的值． 30．已知：2a ＝3b ＝4c ，求a b b c ++的值．31．如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BC AB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点． 某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图2），则直线AB 是ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点D ，再过点D 作直线DF CE ，交AB 于点D ，连接AB （如图3），则直线AB 也是ABC 的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点D 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点D 作DF CE ，交AB 于点D ，显然直线AB 是ABCD 的黄金分割线．请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点．32．如果一个矩形ABCD （AB ＜BC）中，AB BC =≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE （如图），请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．33．如图所示，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连接DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．(1)说明点G 是线段BC 的一个三等分点；(2)请你依照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点（保留作图痕迹，不必证明）．34．如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ． 某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当BC FE =时，有22321AO AD ==+，如图（1） （2）当11312AE AC ==+时，有113222n n n n b b -+-=⋅=，如图（2） （3）当11413AE AC ==+时，有数与式，如图（3） 在图（4）中，当11AE AC n =+时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AO AD的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）35．下列每组图形状是否相同？若相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？ （1）正三角形ABC 与正三角形DEF ；（2）正方形ABCD 与正方形EFGH ．36．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m 的空地，其他三侧内墙各保留1 m 的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m 2?解：设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m，则长为2x m，根据题意，得x·2x＝288.解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12，所以温室的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？.结果为何正确呢？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样？(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．37．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连接BF．（1）求证：BF平分∠ABC；（2）若AB＝6，且四边形ABCD∽四边形CEFD，求BC长．38．将两块全等的含30°角的三角尺如图①摆放在一起，它们的较短直角边长为6 （1）将△DCE沿直线l向右平移到图②的位置，使E点落在AB上，求平移的距离；（2）将△DCE绕点C按顺时针方向旋转到图③的位置，使点E落在AB上，则△DCE旋转了多少度数；（3）将△DCE沿直线AC翻折到图④的位置，ED′与AB相交于点F，求证：BF＝EF．39．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）；（2）已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q 出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．40．如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上由点E顺时针向点C运动（点B不与点E、C重合），弦BD交CE于点F，且BD=BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求圆心O到弦CD的距离；（2）当DF•DB=CD2时，求∠CBD的大小；（3）若AB=2AE，且CD=12，求△BCD的面积．41．如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比．42．如图△ABC中，AB＝80cm，高CD＝60cm，矩形EFGH中E、F在AB边上，G在BC边上，H在三角形内，且EF：GF＝2：1（1）在△ABC内画出矩形GFEH的位似图形，使其顶点在△ABC的边上．（保留作图痕迹）（2）求所作的矩形的面积．参考答案1．A【解析】分析：根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积来判断.详解：A.3x•2＝9y，则2x＝3y，所以A选项正确；B.5(x＋3)＝6(y＋3)，则5x﹣6y＝3，所以B选项错误；C.2y(x﹣3)＝3x(y﹣2)，则xy﹣6x＋6y＝0，所以C选项错误；D.2(x＋y)＝5x，则3x＝2y，所以D选项错误．故选A．点睛：本题考查了比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，即a cb d＝，则ad＝bc；反之如果ad＝bc，则a cb d ＝.2．B【解析】试题分析：利用分比性质进行计算．解：∵=，∴==3．故选B．考点：比例的性质．3．D【分析】首先设它的实际长度是xcm，然后根据比例尺的定义，即可得方程：1:800025:x=，解此方程即可求得答案，注意统一单位.【详解】设它的实际长度是xcm，根据题意得：1:800025:x=，解得：200000x=，2000002000cm m=，∴它的实际长度为2000m.故选D.【点睛】此题考查了比例线段.此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位.4．C【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分）叫做黄金比． 【详解】解：根据黄金分割的概念得：∴BC=AB-AC=32. 故选：C ．【点睛】 本题考查黄金分割定理，解题关键是理解黄金分割的概念，熟悉黄金比的值．5．D【解析】根据平行线分线段成比例定理，根据题意直接列出比例等式，对比选项即可得出答案． 解：∵DC ∥FE ∥AB ，∴OD ：OE=OC ：OF （A 错误）；OF ：OE=OC ：OD （B 错误）；OA ：OC=OB ：OD （C 错误）；CD ：EF=OD ：OE （D 正确）．故选D ．6．C【解析】试题分析：根据相似形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．解：①两个圆，形状相同，而大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确；②两个菱形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误；③两个长方形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误；④两个正六边形，形状相同，而大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确．故选C．考点：相似图形．点评：本题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．7．C【解析】【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫故选C【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.8．A【解析】∵两个相似三角形的面积之比为1：4，∴它们的相似比为1：2，(相似三角形的面积比等于相似比的平方)∴它们的周长之比为1：2．故选A．【点睛】相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长的比等于相似比．9．D【解析】【分析】因为如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意，故应分两种情况进行讨论．【详解】设线段BE的长为x．如果三角形ADN和BME相似，因为AD∥BC，所以∠ADN和∠MBE一定不相等，故应分两种情况进行讨论．①如图1，当∠ADN=∠BEM时，那么∠ADB=∠BEM，过点D作DF⊥BE，垂足为F，tan∠ADB=tan∠BEM．AB：AD=DF：FE=AB：（BE–AD）．即2：4=2：（x–4）．解得x=8．即BE=8．②如图2，当∠ADB=∠BME，而∠ADB=∠DBE，∴∠DBE=∠BME，∵∠E是公共角，∴△BED∽△MEB，∴DE BE BE EM，∴BE2=DE•EM=12DE2，∴BE2=x2=12[22+（4–x）2]，∴x1=2，x2=–10（舍去），∴BE=2．综上所述线段BE的长为8或2，故选D．【点睛】考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.10．D【详解】连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣35）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5 设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=512K，∴BH：HG：GM=512k：12k：5k=51：24：10故选：D．11．D【解析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．解：设电视塔的高度应是x，根据题意得：=，解得：x=125米．故选D．命题立意：考查利用所学知识解决实际问题的能力．12．C【解析】【分析】利用射影定理得到BC2=BD•BA，然后把AD=3，BD=1代入计算即可．【详解】解：根据射影定理得BC2=BD•BA，即BC2=1×（1+3），所以BC=2．故选：C．【点睛】本题考查射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．13．A【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：4：9，故选：A．【点睛】本题是对相似图形的考查，熟练掌握多边形相似的性质是解决本题的关键.14．201.【解析】【分析】根据比例的定义即可直接写出（注意保持单位一致）．【详解】解：根据题意，b=2m=200cm，则ba＝20010=201.故答案为：20 1.【点睛】本题考查求线段的比，解题关键是求线段的比的时候，要统一单位．15．134【详解】设x 2=y 3=z 4=k ，即x=2k, ,y=3k , z=4k .代入2x+3y z =2×2k+3×3k 4k =13k 4k =134.考点：比例的应用．16．4【解析】a bc =2 即216a =，则a=4.17．0.618【解析】0.61803398=⋯用四舍五入法精确到0.001的近似数是0.61818．3:2【解析】因为DE ∥BC,所以32AD AE DB EC ==,因为EF ∥AB ,所以23CE CF EA BF ==,所以32BF FC =,故答案为: 3:2.19．1：4【分析】根据是相似三角形周长的比等于三角形边长的比解答即可．【详解】因为原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的周长比为5：20=1：4．故答案为1：4．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，关键是根据相似三角形周长的比等于三角形边长的比解答．20．49，10049. 【解析】【分析】根据相似多边形的对应边的比相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为5：7，较小的一个多边形的周长为35．∴较大的一个多边形的周长为35×75=49； ∵面积之比等于相似比的平方，即(75)2=2549． 较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是4×2549=10049. 故答案为(1). 4； (2).10049. 【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．21．3秒或4.8秒【解析】设运动xs 时，△AED ∽△ABC ，则AE AD AB AC =，即122612x x -=，解得245x =，即运动245s 时，△AED ∽△ABC ．22．∠B=∠DEC（不唯一）【解析】试题解析：答案不唯一，如.B DEC ∠=∠可添加.B DEC ∠=∠B DEC AD ∠=∠∠=∠，， .ABC DEF ∴∽故答案为.B DEC ∠=∠点睛：两角分别相等的两个三角形相似.23．1．【解析】试题分析：如图所示：延长BA 、CD ，交点为E ．∵CM平分∠BCD，CM⊥AB，∴MB=ME．又∵AM=AB，∴AE=AB，∴AE=BE．∵AD∥BC，∴△EAD∽△EBC，∴，∴S四边形ADBC=S△EBC=，∴S△EBC=，∴S△EAD=×=，∴S四边形AMCD=S△EBC﹣S△EAD=﹣=1．故答案为：1．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．24．54【解析】设建筑物的高为x米，根据题意易得△CDG∽△ABG，∴CD DGAB BG=，∵CD＝DG＝2，∴BG＝AB＝x，再由△EFH∽△ABH可得EF FHAB BH=，即24x BH=，∴BH＝2x，即BD＋DF＋FH＝2x，亦即x－2＋52＋4＝2x，解得x＝54，即建筑物的高是54米．25．（4，4）或（5，2）.【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB 的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可．【详解】根据题意得：OA=2，OB=1，∴当AB与AC对应时，有AB OAAC AB=或者AB OBAC AB=，∴AC=52或AC=5，∵C在格点上，∴AC=52（不合题意），则AC=5，∴C点坐标为（5，2），同理当AB与BC对应时，可求得BC=52或者BC=5，也是只有后者符合题意，此时C点坐标为（4，4），∴C点坐标为（5，2）或（4，4）．故答案为（4，4）或（5，2）．26．2．【解析】【分析】根据射影定理得到：CD2=BD•AD，代入求值即可．【详解】∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD=4，BD=1，∴由射影定理得：CD2=BD•AD=1×4=4，∴CD=2（舍去负值）．故答案是：2．【点睛】本题考查了射影定理．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．27．（2，1）或（﹣2，﹣1）．【解析】【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．【详解】解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，∴两矩形面积的相似比为：1：2，∵B的坐标是（4，2），∴点B′的坐标是：（2，1）或（-2，-1）．故答案为（2，1）或（-2，-1）．【点睛】本题考查位似变换的性质，得出位似图形对应点坐标特点是解题关键．28．（﹣1，12），（﹣8116，8132）．【解析】【分析】先利用矩形的性质写出B点坐标，则根据线段中点坐标公式可写出矩形AOCB的对称中心的坐标；再利用以原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系分别写出B1、B2、B3、B4的坐标，然后矩形A4OC4B4的对称中心的坐标．【详解】解：∵OA=2．OC=1，∴B（-2，1），∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（-1，12），∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形A1OC1B1，∴B1（-3，32），同理可得B2（-92，94），B3（-274，278），B4（-818，8116），∴矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是（﹣8116，8132）．故答案为（-1，12），（﹣8116，8132）．【点睛】本题考查作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．29．k＝﹣1；k＝2．【解析】【分析】可分x+y+z=0和x+y+z≠0两种情况代入求值和利用等比性质求解．【详解】①当x+y+z ＝0时，y+z ＝﹣x ，∴k ＝y z x -＝x x-＝﹣1； ②x+y+z≠0时，k ＝y z z x x y x y z +++++++＝()2x y z x y z++++＝2． 即k 的值为：-1或2.【点睛】考查比例性质的应用；分两种情况探讨此题是解题关键．30．57. 【解析】【分析】 设2a ＝3b ＝4c ＝k （k≠0），则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，代入求值即可. 【详解】 设2a ＝3b ＝4c ＝k （k≠0）， 则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ， 则a b b c ++=2334k k k k ++=57． 【点睛】本题考查了比例的性质.31．（1）对，理由见解析（2）不可能（3）理由见解析（4）见解析【详解】（1）直线CD 是ABC 的黄金分割线．理由如下：设ABC 的边AB 上的高为h ．12ADC S AD h =△，12BDC S BD h =△，12ABC S AB h =△， 所以，ADC ABC S AD S AB =，BDC ADC S BD S AD=△△． 又因为点D 为边AB 的黄金分割点，所以有AD BD AB AD =．因此ADC BDC ABCADC S S S S =△△△△． 所以，直线CD 是ABC 的黄金分割线．（2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时1212s s s ==，即 121s s s s ≠，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线． （3）因为DF CE ，所以DEC 和FCE △的公共边CE 上的高也相等，所以有DGE FGC S S =△△．设直线EF 与CD 交于点G ．所以DGE FGC S S =△△．所以ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形．又因为ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，所以BEFC AEF ABC AEFS S S S =四边形△△△． 因此，直线EF 也是ABC 的黄金分割线．（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交AB ，EF 于M ，G 点，则直线DC 就是ABCD 的黄金分割线．画法二：如答图2，在EF 上取一点G ，连接EF ，再过点G 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接DC ，则直线DC 就是ABCD 的黄金分割线．（1）由于,,ACD BCD ABC S S S 是同高，而点D 为边AB 的黄金分割点，则AD BD AB AD =，所以ADC BDC ABC ADCS S S S =△△△△，故直线CD 是ABC 的黄金分割线 （2）只需判断它们面积比是否相等，若相等则中线是三角形的黄金分割线，否则不是 （3）根据平行线间的距离相等，则DGE FGC S S =△△，通过图形面积的转化，直线EF 分三角形的图形面积有BEFC AEF ABC AEFS S S S =四边形△△△，故直线EF 也是ABC 的黄金分割线 （4）画法不惟一，只需分成图形面积比相等即可32．矩形ABFE 是黄金矩形．说明见解析.【分析】只需求得其宽与长的比是否符合黄金比即可．【详解】矩形ABFE 是黄金矩形．∵AD=BC ，DE=AB ，∴11AE AD DE BC AB BC AB AB AB AB --===-=-=∴矩形ABFE 是黄金矩形．【点睛】本题考查黄金分割定理，解题关键是根据已知条件和正方形的性质进行分析求解． 33．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据矩形对角线的性质可以判断E 为BC 的二等分点，再由OE ∥CD ，OE=12CD ，得出EG=12GC ，从而得出GC=23CE=13BC ． （2）依题意，根据平行线分线段成比例定理直接在图中作图即可．【详解】（1）解：∵OE⊥BC，CD⊥BC，∴OE∥CD．∵△OEF∽△CDF， ∴ 12EF OE OB FD CD BD === ． ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC． ∴ 12CG CE EF BG AF FD === ． ∴G 是BC 的三等分点（2）解：依题意画图所示，本题考查的知识点是平行线分线段成比例, 矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例, 矩形的性质.34．AOAD＝22n+,证明见解析.【解析】【分析】作DF∥BE交AC于F，如图4，根据平行线分线段成比例定理，由DF∥BE得到CFEF=CDBD，则EF=CF，再利用比例性质由AEAC=11n+得到AEEF=2n，再由OE∥DF得到AOOD=AEEF=2n，然后根据比例性质求解．【详解】过D作DF∥BE交AC于F，∴AO：AD＝AE：AF．∵D为BC边的中点，∴CF＝EF＝0.5EC．∵AEAC=11n+，∴AE：（AE+2EF）＝1：（1+n），AE+2EF＝AE+AEnAEn＝2EF，∴AE：EF＝2：n．∴AE：AF＝2：（n+2）．∴AOAD＝22n+．本题考查平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．35．（1）形状相同．它们的对应角相等，都是60°．对应边的比相等；（2）形状相同．它们的对应角相等，都是90°．对应边的比相等．【解析】【分析】（1）两个正三角形的形状相同，对应角相等，对应边的比相等．（2）两个正方形的形状相同，对应的角相等，对应边的比相等．【详解】（1）正△ABC与正△DEF的形状相同．它们的对应角相等，都是60°．根据正三角形的边长相等可以得到对应边的比相等．（2）正方形ABCD与正方形EFGH的形状相同．它们的对应角相等，都是90°．根据正方形的边长相等可以得到对应边的比相等．【点睛】本题考查相似图形，相似图形是指形状相同的图形，判断两个正多边形的形状是否相同，就看它们的对应角是否相等，对应边的比是否相等．36．（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由；（2）a cb d++＝2.【解析】【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可;（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得A DA B''''＝ADAB，然后利用比例的性质.【详解】解(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m．”前补充以下过程：设温室的宽为x m，则长为2x m.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x －1－1)m ，长为(2x －3－1)m. ∵23111x x ----＝242x x --＝2， ∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1；(2)要使矩形A ′B ′C ′D ′∽矩形ABCD ， 就要A D A B ''''＝AD AB ，即()() AD a c AB b d -+-+＝21， 即()()2AB a c AB b d -+-+＝21， 即2AB －2(b ＋d )＝2AB －(a ＋c )，∴a ＋c ＝2(b ＋d )，a cb d即++＝2.【点睛】本题考查了相似多边形的性质及比例的性质，如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.37．（1）证明见解析；（2）BC ＝【解析】【分析】（1）首先证明四边形ABEF 是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线证出∠BAE=∠AEB ，证出AB=EB ，得出四边形ABEF 是菱形，即可得出结论；（2）由相似多边形的性质得出对应边成比例，即可得出BC 的长．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠FAE ＝∠AEB ，∵EF ∥AB ，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AE平分∠BAD，∴∠FAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝EB，∴四边形ABEF是菱形，∴BF平分∠ABC；（2）解：∵四边形ABEF为菱形；∴BE＝AB＝6，∵四边形ABCD∽四边形CEFD，∴AB BCCE CD=，即666BCBC=-，解得：BC＝3±，∴BC＝【点睛】本题考查菱形的判定与性质、相似多边形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形ABEF是菱形是解题关键．38．（1）CC′＝6﹣（2）△DCE旋转的度数是30度；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据三角函数求得AC的长，易证△BEC′∽△BAC，根据相似三角形对应边的比相等，即可求得BC′，则可得CC′的长；（2）根据旋转的定义得到：CE=CB，易证△BCE是等边三角形，则∠BCE可得，则△DCE 旋转的度数即可求解；（3）证明△AEF≌△DBF即可证得．【详解】（1）在直角△ABC中，AC＝BC•tan60°＝．∵△BEC′∽△BAC，∴'BCBC＝'C EAC即'6BC，解得：BC′＝∴CC′＝BC﹣BC′＝6﹣（2）∵△BCE中，CE＝CB，∠EBC＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90﹣60＝30°，即△DCE旋转的度数是30度．（3）∵AC＝CD，CE＝CB，∴AE＝BD，又∵∠AFE＝∠DFB，∠A＝∠EDC，∴△AEF≌△DBF，∴BF＝EF．【点睛】本题考查旋转的定义，注意先确定旋转角，并且在证明线段相等的问题时，一般是转化为证明三角形全等的问题来解决．39．（1）3对，分别是：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD ，△ACD∽△CBD；（2）4.8；（3）存在，（1.35，3）或（3.15，1.8）．【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到12AB•CD=12AC•BC，即可求出CD的长；（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD．故答案为3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；。

2021年春人教版九年级数学下册第27章相似单元测试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知四条线段的长度分别为2，x －1，x ＋1，4，且它们是成比例线段，则x 的值为（ ）A ．2B ．3C ．－3D ．3或－32．如图，在ABC 中，DE BC ∥，ADE EFC ∠=∠，:5:3AD BD =，6CF =，则DE 的长为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．103．如图，□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF:FC 等于（ ）A ．3:2B ．3:1C ．1:1D ．1:2 4．如图，在▱ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点F ，已知S △AEF =4，则下列结论：①12AF FD =；②S △BCE =36；③S △ABE =12；④△AEF ～△ACD ，其中一定正确的是（ ）A ．①②③④B ．①④C ．②③④D ．①②③ 5．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，动点P 从A 点出发，按A→B→C 的方向在AB 和BC 上移动，记PA=x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．6．下列图形一定是相似图形的是( )A．任意两个菱形B．任意两个正三角形C．两个等腰三角形D．两个矩形7．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架三边的长分别为50 cm、60 cm、80 cm，乙三角形框架的一边长为20 cm，则符合条件的乙三角形框架共有（）.A．1种B．2种C．3种D．4种8．若将△ABC的三个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以-1，依次连接新的这些点，则所得三角形与原三角形的位置关系是（）A．原三角形向x轴的负方向平移一个单位即为所得三角形B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称9．如图，直线l1∥l2∥l3，两直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F．下列各式中，不一定成立的是（）A．AB DEBC EF=B．AB DEAC DF=C．AD BEBE CF=D．EF BCFD CA=10．已知线段a=3,b=12，线段c是线段a、b的比例中项，则c=（）A．12 B．6 C．6±D．3二、填空题11．如图，已知零件的外径为30 mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）测量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，且量得CD＝12 mm，则零件的厚度x=________mm．12．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片到光源的距离为20 cm，到屏幕的距离为40 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为_______cm．13．比例的基本性质是如果不等于零的四个数成比例，那么___________．反之亦真．即a cb d=⇔______(a，b，c，d不为零)．14．已知2a－3b＝0，b≠0，则a∶b＝______．15．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于F，BE=3,EC=2，S△AFD=10，则S△BEF =____________．16．如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA=3：1，BC=10，则AE的长为___________．三、解答题17．如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．（1）判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；（2）求∠BAC的度数．18．已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′．AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12．求：(1)梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k；(2)A′B′和BC的长；(3)D′C′∶DC．19．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求DE BC的值．20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于点E，交BC延长线于F.求证：CD2＝DE·DF.21．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?参考答案1．B【解析】【分析】根据题意得2：（x-1）=（x+1）：4，根据比例的基本性质即可求解．【详解】根据题意得2：（x-1）=（x+1）：4，解得x=3．故选B．【点睛】本题主要考查比例线段的定义．注意根据已知条件写比例式的时候，一定要注意顺序．然后根据比例的基本性质进行求解．2．D【分析】由DE∥BC可得出∠ADE＝∠B，结合∠ADE＝∠EFC可得出∠B＝∠EFC，进而可得出BD∥EF，结合DE∥BC可证出四边形BDEF为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出DE＝BF，由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出BC＝85 DE，再根据CF＝BC﹣BF＝35DE＝6，即可求出DE的长度．【详解】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B．∵∠ADE＝∠EFC，∴∠B＝∠EFC，∴BD∥EF，∵DE∥BF，∴四边形BDEF为平行四边形，∴DE＝BF．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴58DE AD AD BC AB AD BD ===+， ∴BC ＝85DE ， ∴CF ＝BC ﹣BF ＝35DE ＝6， ∴DE ＝10．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及平行四边形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出BC ＝85DE 是解题的关键． 3．D【分析】根据题意得出△DEF ∽△BCF ，进而得出=DE EF BC FC ，利用点E 是边AD 的中点得出答案即可．【详解】解：∵▱ABCD ，故AD ∥BC ，∴△DEF ∽△BCF ， ∴=DE EF BC FC， ∵点E 是边AD 的中点， ∴AE=DE=12AD ， ∴12EF FC =． 故选D ．4．D【详解】∵在▱ABCD 中，AO =12AC ， ∵点E 是OA 的中点，∴AE =13CE ， ∵AD ∥BC ，∴△AFE ∽△CBE ， ∴AF AE BC CE ==13， ∵AD =BC ，∴AF =13AD ， ∴12AF FD =；故①正确； ∵S △AEF =4， AEF BCE S S =（AF BC ）2=19， ∴S △BCE =36；故②正确；∵EF AE BE CE = =13， ∴AEF ABE S S =13， ∴S △ABE =12，故③正确；∵BF 不平行于CD ，∴△AEF 与△ADC 只有一个角相等，∴△AEF 与△ACD 不一定相似，故④错误，故选D ．5．B【分析】①点P 在AB 上时，点D 到AP 的距离为AD 的长度，②点P 在BC 上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y 与x 的关系式，从而得解．【详解】①点P 在AB 上时，0≤x≤3，点D 到AP 的距离为AD 的长度，是定值4；②点P 在BC 上时，3＜x≤5，∵∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠PAD，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA，∴ABDE=APADAB APDE AD=，即34xy=，∴y=12x，纵观各选项，只有B选项图形符合，故选B．6．B【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．【详解】A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；B、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；D、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意．故选B．【点睛】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．7．C【解析】试题分析：根据相似图形的定义，可由三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．故选：C．点睛：本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．8．D【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】将△ABC的三个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以-1，则所得三角形与原三角形的位置关系是关于y轴对称，故选A．【点睛】此题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，关键是掌握关于y轴对称点的坐标特点．9．C【解析】解：如图．∵直线l1∥l2∥l3，∴AB DEBC EF=，AB DEAC DF=，EF BCFD CA=，∴A、B、D选项中的等式成立，C选项中的等式不一定成立．故选C．点睛：本题主要考查平行线分线段成比例的性质，关键在于认真的逐项分析找到成比例的线段．10．B【分析】根据线段比例中项的概念，得出a：b=b：c，则c2=ab=36，故c的值可求．【详解】∵线段c是a、b的比例中项，∴c2=ab=3×12=36，解得c=±6，又∵线段的长是正数，∴c=6．故选B．【点睛】考查了比例中项的概念：如果a：b=b：c，那么b叫做a与c的比例中项．本题需注意线段的长不能是负数．11．3.【解析】试题分析：要求零件的厚度，由题可知只需求出AB即可．因为CD和AB平行，可得△AOB∽△COD，可以根据相似三角形对应边成比例即可解答：∵两条尺长AC和BD相等，OC=OD，∴OA=OB.∵OC：OA=1：2，∴OD：OB=OC：OA=1：2.∵∠COD=∠AOB，∴△AOB∽△COD．∴CD：AB=OC：OA=1：2.∵CD=12mm，∴AB=24mm∴2x+24=30．∴x=3mm．考点：相似三角形的应用．12．18【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．【详解】如图，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC∴AE DE AC BC=设屏幕上的小树高是x，则206 60x=解得x=18cm．故答案为：18．【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．13．两个内项之积等于两个外项之积ad＝bc．【分析】根据比例的性质求解即可.【详解】比例的基本性质是如果不等于零的四个数成比例，那么两个内项之积等于两个外项之积．反之亦真．即a cb d=⇔ad＝bc (a，b，c，d不为零)．故答案为两个内项之积等于两个外项之积；ad＝bc．【点睛】本题考查了比例的基本性质.14．3∶2．【分析】由已知条件变形得到2a=3b，然后利用比例性质求解．【详解】∵2a-3b=0，∴2a=3b，∴a∶b＝3:2．故答案为3:2．【点睛】本题考查了比例性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．15．18 5【分析】根据题目中的条件和所求问题，由三角形相似和相似三角形的面积比等于相似比的平方可以解答本题．【详解】∵在▱ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于F，BE=3，EC=2，∴AD=BC，BC=BE+EC=5，AD∥BC，∴△AFD ∽△EFB ， ∴35BE AD ＝， ∴23()5BEF DFA SS ＝, ∵S △AFD =10，∴S △BEF =185， 故答案为185． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似解答问题．16．5【详解】解：∵AE ∥BC∴△AEG ∽△BFG∴BG ：GA=3：1=BF ：AE∵D 为AC 边上的中点∴AE ：CF=1：1∴AE=CF∴BF ：AE=（CF+BC ）：AE=3：1∴（AE+10）：AE=3：1解得：AE=5．故答案为：5．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．本题主要利用三角形的相似及中点的性质求AE 的值． 17．（1）相似；（2）135°． 【解析】试题分析：（1）△PBA 与△ABC 相似，利用勾股定理计算出AB 的长，利用两边对应成比例且一个夹角对应相等的两个三角形相似可证明结论成立；（2）由（1）可知：∠BAC =∠BP A ，因为∠BP A 易求，问题得解．试题解析：解：（1）△PBA与△ABC相似．理由如下：∵AB=BC=5，BP=1，∴BP BAAB BC==．∵∠PBA=∠ABC，∴△PBA∽△ABC；（2）∵△PBA∽△ABC，∴∠BAC=∠BP A．∵∠BP A=90°+45°=135°，∴∠BAC=135°．点睛：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，相似三角形的判定与性质，本题中分别求AB，BC，BP三边长是解题的关键．18．(1)k＝2∶3；(2)A＇B＇＝9，BC＝8；(3)3∶2．【分析】根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可求出.【详解】∵梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′相似，∴AD：A′D′=4:6=2:3;（2）由（1）知AB: A′B′=AD：A′D′=2:3，∵AB=6，∴A′B′=9；同理可得，BC＝8；（3）∵梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′相似，∴D′C′∶DC= A′D′：AD=3:2.【点睛】本题考查了相似多边形的性质，主要利用了对应边成比例的性质，熟记性质是解题的关键．19．3 5【解析】试题分析：根据平行线分线段成比例定理得出ADAB=DEBC，再根据AD=3，AB=5，即可得出答案．试题解析：∵DE∥BC，∴ADAB=DEBC，∵AD=3，AB=5，∴DEBC=35．考点：相似三角形的判定与性质．20．见解析【分析】由条件可得CD=DA，则有∠A=∠ECD=∠F，可证明△CDE∽△FDC，可得CD DEDF CD=，可得结论．【详解】∵DF垂直平分AB，且∠ACB=90°，∴CD=DA，∴∠A=∠DCA，且∠A+∠B=∠F+∠B，∴∠A=∠F，∴∠DCA=∠F，且∠CDE=∠FDC，∴△CDE∽△FDC，∴CD DE DF CD=，∴CD2=DE•DF．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．积化比例是解决这类问题的一般思路．21．（1）见解析；（2）当t＝5时，DP⊥AC，理由见解析【分析】（1）根据矩形的性质可得CD∥AB，根据平行线的性质可得∠DCQ=∠QAP，∠PDC=∠QPA，进而可得判定△APQ∽△CDQ；（2）首先证明△ADQ∽△ACD，根据相似三角形的性质可得AD AQAC AD=，然后计算出AC长，进而可得AQ长，再证明△AQP∽△ABC，可得AQ ABAP AC=，则t=，再解即可得到t的值．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠DCQ=∠QAP，∠PDC=∠QPA，∴△APQ∽△CDQ；（2）解：当t=5时，DP⊥AC；∵∠ADC=90°，DP⊥AC，∴∠AQD=∠AQP=∠ADC=90°，∵∠DAQ=∠CAD，∴△ADQ∽△ACD，∴AD AQ AC AD=，则AQ=22ADAC==∵∠AQP=∠ABC=90°，∠QAP=∠BAC，∴△AQP∽△ABC，∴AQ AB AP AC=，则t=，解得：t=5，即当t=5时，DP⊥AC．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握有两个角对应相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例．。

2021年新人教版九年级下数学第27章相似单元测试卷一、选择题1. 如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的点，AE=2DE，连接BE交AC于点F，若△AEF的面积为2，则△BCF的面积为()A.3B.6C.92D.92. 如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∼△ADE的是( )A.ABAD =ACAEB.ABAD=BCDEC.∠B=∠DD.∠C=∠AED3. 如图，在△ABC中，点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点，DE // BC,EF // AB，若AD:DB=3:5，则CF:CB等于( )A.2:5B.3:8C.3:5D.5:84. 如果两个相似三角形对应边之比是1:2，那么它们的对应高之比是( )A.1:2B.1:4C.1:6D.1:85. 已知2x=3y，则下列比例式成立的是()A.x2=3yB.x2=y3C.x3=y2D.xy=236. 下列四条线段中，不能成比例的是( )A.a=4，b=8，c=5，d=10B.a=2，b=2√5，c=√5，d=5C.a=1，b=2，c=3，d=4D.a=1，b=2，c=2，d=47. 下列各组图形中，不是相似图形的是( )A. B.C. D.8. 如图，∠1=∠2，则下列各式不能说明△ABC∼△ADE的是( )A.ADAB =AEACB.ADAB=DEBCC.∠D=∠BD.∠E=∠C9. 已知平行四边形ABCD，点E是DA延长线上一点，则( )A.AEAD =AMCDB.AEAD=EMMCC.BMCD =BFBDD.EDBC=ADBM10. 如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是()A.点AB.点BC.点CD.点D11. 如图，两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是( )A.(−3,2)B.(−3,1)C.(2,−3)D.(−2,3)二、填空题12. 把2米的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为________米．13. 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m.则建筑物CD的高是________.14. 如果两个相似多边形面积的比为25:49，则它们的相似比为________.15. 如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C，若AA′=2OA′，则△ABC与△A′B′C′的周长比为________．16. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，OEOA =35，则FGBC=________．三、解答题17. 如图，BD，CE是△ABC的高，△ADE与△ABC相似吗？为什么？18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为点O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．(1)求证：△DOB∼△ACB；(2)若AD平分∠CAB，求线段BD的长；(3)当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．19. 如图，已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为(3,1)，(2,−1).(1)在y轴的左侧以点O为位似中心作△OAB的位似△OCD,使新图形与原图形的相似比为2:1；(2)分别写出A，B的对应点C，D的坐标.20. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠BAD=90∘，过点D作⊙O的切线与BC的延长线交于点E.(1)求证：∠CDE=∠CAD；(2)若AC//DE，BC=4，CE=1，求AD的长．21. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，△DEF与△ABC是否位似？如果位似，找出位似中心？22. 如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=30cm，测得AM=10m，边DF离地面的高度DM=1.5m，求树高AB．23. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0, 2)，B(1, 4)，C(4, 3).(1)画出△ABC绕点A逆时针旋转90∘后得到的△A1B1C1；(2)画一个以原点O为位似中心，与△ABC位似，相似比为2的△A2B2C2.24. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，请按要求完成下面的问题：(1)以图中的点O为位似中心，将△ABC同向作位似变换且放大到原来的两倍得到ΔA1B1C1，画出ΔA1B1C1(2)在(1)的条件下，若△ABC内有一点P的坐标为(3,2)，求位似变化后对应的点P′的坐标．25. 如图，在锐角△ABC中，BC=30，高AD=20，矩形EFPQ 的一边QP在BC边上，E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点H．(1)当EF=2EQ，求EQ的长．(2)当EQ为何值时，矩形EFPQ的面积为150？试卷第11页，总11页试卷第12页，总1页。

2021年春季人教版九年级下册数学单元测试卷《第27章相似》单元测试卷一．选择题1．把ad＝bc写成比例式，错误的是（）A．a：b＝c：d B．b：d＝a：c C．b：a＝d：c D．b：d＝c：a 2．下列语句中的图形必成相似形的是（）A．只有一个角为30°的等腰三角形B．邻边之比为2的两个平行四边形C．底角为40°的两个等腰梯形D．有一个角为40°的两个等腰梯形3．两个相似三角形的相似比是，其中较小的三角形的面积是14cm2，则较大三角形的面积是（）A．10cm2B．cm2C．cm2D．cm24．△ABC和△DEF满足下列条件，其中使△ABC与△DEF不相似的是（）A．∠A＝∠D＝45°32′，∠C＝26°28′，∠E＝108°B．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝，EF＝，DF＝C．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝24，DF＝18D．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝50°5．在Rt△ABC中，∠A＝15°，∠C＝90°，则斜边上的高与斜边的比为（）A．1：2B．1：3C．1：4D．1：66．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD＝（）A．4B．4﹣4C．﹣4+4D．4﹣4或﹣4+47．梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b，EF∥AD交AB，CD于E，F，且梯形AEFD 与梯形EBCF相似，则EF等于（）A．B．C．D．不能确定8．如图，AB＝BC＝CD＝DE，∠B＝90°，则∠1+∠2+∠3等于（）A．45°B．60°C．75°D．90°9．已知甲、乙两地图的比例尺分别为1：5000和1：20 000，如果甲图上A、B两地的距离与乙图上C、D两地的距离恰好一样长，那么A、B两地的实际距离与C、D两地的实际距离之比为（）A．5：2B．2：5C．1：4D．4：110．如果一个图形上各点的横坐标保持不变，而纵坐标分别都变化为原来的，那么所得的图形与原图形相比（）A．形状不变，图形缩小为原来的一半B．形状不变，图形放大为原来的2倍C．整个图形被横向压缩为原来的一半D．整个图形被纵向压缩为原来的一半二．填空题11．某一时刻，一根4米长的旗杆的影子长6米，同一时刻一座建筑物的影子长36米，则这座建筑物的高度为米．12．长方形地基，长75米，宽30米，把它画在比例尺是1：100的图纸上，长应是cm，宽应是cm．13．在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，若AB＝，DC＝2，则BD＝，AC＝．14．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝1cm，BD＝5cm，BC＝6cm，则DE＝cm．15．把边长为4cm的正方形作相似变换，放大到原来的5倍，放大后所得图形的周长为cm，面积为cm2．16．同一底片印出来的不同尺寸的照片也是．17．如图所示，顶角A为36°的第一个黄金三角形△ABC的腰AB＝1，底边与腰之比为K，三角形△BCD为第二个黄金三角形，依此类推，第2008个黄金三角形的周长为．18．如图，三个全等的正六边形，其中成位似图形关系的有对．19．两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm，则它们对应边上的高之比为．20．如图所示，AD是△ABC的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若AF：FD＝1：3，则AE：AB＝．三．解答题21．已知一矩形长20cm，宽为10cm，另一与它相似的矩形的一边长为10cm，求另一边长．22．若＝，求的值．23．如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，且AB＝2BC，请在图中按如下要求进行操作和证明：（1）用圆规在CA上截取CD＝CB，保留痕迹，标注点D；再以点A为圆心，AD为半径画弧交AB于点P，保留痕迹，标注点P；（2）证明点P是线段AB的黄金分割点．24．如图，AD是△ABC的中线，P是AD的中点，延长BP交AC于点F．（1）试说明PB＝3PF；（2）若AC的长为12，求AF的长．25．同学们都知道，在相同的时刻，物高与影长成比例．某班同学要测量学校旗杆的高度，在某一时刻，量得旗杆的影长是8m，而同一时刻，量得某一身高为1.5m的同学的影长为1 m，求旗杆的高度．26．如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？27．如图，△ABC的顶点分别为（1，1）、（4，1）、（2.5，3），将△ABC作下列变换，画出相应的图形并写出变换后三个顶点的坐标．（1）关于y轴对称；（2）沿y轴向下平移3个单位；（3）以点O为位似中心，放大1倍．参考答案一．选择题1．解：∵ad＝bc，∴写成比例式为：a：b＝c：d、b：d＝a：c、b：a＝d：c，故选：D．2．解：A、只有一个角为30°的等腰三角形，30°的角必定是顶角，所以，底角也一定相等，三角形相似，故本选项正确；B、邻边之比为2，夹角不一定相等，两平行四边形不一定相似，故本选项错误；C、底角为40°的等腰梯形，角对应相等，边不一定对应成比例，两等腰梯形不一定相似，故本选项错误；D、有一个角为40°的等腰梯形，角对应相等，边不一定对应成比例，两等腰梯形不一定相似，故本选项错误．故选：A．3．解：∵两个相似三角形的相似比是，∴S大三角形：S小三角形＝（）2＝，又∵S小三角形＝14，∴S大三角形＝Cm2．故选：D．4．解：A、中三个角对应相等，所以两个三角形相似；B、中对应边不成比例，所以不能判定其相似，B不正确；C、∵AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝24，DF＝18，∴，即＝＝，故即对应边成比例，C对；D、中两边与一角，求是两边的夹角，所以D对．故选：B．5．解：设斜边AB上的高为CD，垂足为D，∴sin A＝，∴AB＝＝，∵cos∠DCB＝cos15°＝，∴CD＝cos15•BC，∴＝＝，故选：C．6．解：∵AB＝AC＝8，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，∴∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD，∴AC：BC＝BC：CD，∴AC：AD＝AD：CD，∴点D为AC的黄金分割点，∴AD＝AC＝×8＝4（）＝4．7．解：梯形AEFD与梯形EBCF相似，则对应边的比相等，因而得到：AD：EF＝EF：BC即a：EF＝EF：b，则EF2＝ab∴EF＝．故选：A．8．解：∵AB＝BC，∠B＝90°，∴∠1＝45°．设AB＝BC＝CD＝DE＝1，则AC＝，CE＝2，∴，∴△ACE∽△DCA，∴∠2＝∠CAE．∵∠1＝∠CAE+∠3＝∠2+∠3，∴∠1+∠2+∠3＝90°．故选：D．9．解：把图上距离看作单位1，设A、B和C、D两地的实际距离分别为x和y，则：1：5000＝1：x，解得x＝5000，1：20000＝1：y，解得y＝20000，∴x：y＝5000：20000＝1：4．故选：C．10．解：∵一个图形上各点的横坐标保持不变，而纵坐标分别都变化为原来的，∴整个图形被纵向压缩为原来的一半故选：D．二．填空题11．解：设建筑物高为x，根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同得，∴建筑物的高为24米，故答案为：24．12．解：根据图上距离＝实际距离×比例尺，得图上长应是75×＝0.75m＝75cm，宽应是30×＝0.3m＝30cm．13．解：根据射影定理可得：AB2＝BD×BC；AC2＝CD×BC，∴解得：BD＝1，AC＝．故答案为：1，．14．解：如图，∵AD＝1cm，BD＝5cm，∴AB＝AD+BD＝6cm．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，则ED＝1cm．故答案是：1．15．解：放大5倍，即边长变为20，所以周长为20×4＝80cm；面积为20×20＝400cm216．解：同一底片印出来的不同尺寸的照片，形状相同，但大小不同，∴是相似图形．17．解：第一个三角形的周长为K+2；第二个三角形的周长K+K+K2＝K（K+2）；第三个周长为K2+K2+K3＝K2（K+2）…所以第2008个三角形的周长为K2007（K+2）18．解：成位似图形关系的有3对．19．解：已知两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm，则它们的相似比是5：16，那么它们对应边上的高之比为5：16．故答案为：5：16．20．解：∵AF：FD＝1：3∴作DG∥CE，交AB于点G∵D是BC的中点∴EC＝2DG∴∴EF＝DG∴∴AG＝4AE∴EG＝BG＝3AE∴AB＝7AE∴AE：AB＝1：7．三．解答题21．解：设另一边是xcm．当所求的边与20cm的边是对应边时，根据题意得：20：10＝x：10解得：x＝20cm；当所求的边与10cm的边是对应边时，根据题意得20：10＝10：x 解得：x＝5cm；因而另一边长长是20cm或5cm．22．解：∵＝，∴8x﹣6y＝x﹣y，x＝，∴＝＝．23．解：（1）如图所示：（2）设BC＝x，则AB＝2x，AC＝x，由题意得，CD＝x，则AP＝AD＝（﹣1）x，＝，则点P是线段AB的黄金分割点．24．解：（1）过D作DE∥AC，交BF于点E，∴∠PDE＝∠PAF，∵P是AD的中点，∴AP＝DP，∵在△PDE和△PAF中，，∴△PDE≌△PAF（ASA），∴PE＝PF，由DE∥AC，得到＝，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∴BE＝EF＝2PF，∴BP＝3PF；（2）∵△PDE≌△PAF，∴DE＝AF，∴＝＝，∴AF＝AC＝×12＝4．25．解：∵物高与影长成比例，∴旗杆的高度：8＝1.5：1，∴旗杆的高度＝1.5×8＝12米．答：旗杆的高度是12米．26．解：若△ABC∽△CDB，则有＝，即＝，∴BD＝，当BD＝时，△ABC∽△CDB．27．解：（1）A1（﹣1，1）、B1（﹣4，1）、C1、（2.5，3）；（2）A2（1，﹣2）、B2（4，﹣2）、C2（2.5，0）；（3）A3（2，2）、B3（8，2）、C3（5，6）．。

2021年春季人教版九年级下册数学单元测试卷第27章：相似精选提升练习1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E在线段AB上，CF⊥CE，CF＝CE，EF交AC于G，连接AF．（1）填空：线段BE、AF的数量关系为，位置关系为；（2）若当＝时，求证：＝2．2．一块直角三角形木板的面积为1.5m2，一条直角边AB为1.5m，怎样才能把它加工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用所学的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗不计，计算结果中的分数可保留）3．在边长为1的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点）．（1）画出△ABC先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1．4．已知：如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果△COD与△BEA相似，求CE：BE的值．5．如图，BO是△ABC的角平分线，延长BO至D使得BC＝CD．（1）求证：△AOB∽△COD．（2）若AB＝2，BC＝4，OA＝1，求OC长．6．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，∠BAE＝∠DAC．（1）求证：△BAE∽△BCA．（2）若AB＝6，AD＝9，求CE的长．7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E在边CB的延长线上，且∠EAC ＝90°，AE2＝EB•EC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）延长DB、AE交于点F，若AF＝AC，求证：AE＝BF．8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ACD∽△BFD；（2）若AC＝BF，求∠ABD的度数．9．在锐角△ABC中，边BC长为18，高AD长为12（1）如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF 交AD于点K，求的值；（2）设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．10．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．（1）当t为何值时，PQ⊥AC？（2）设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？参考答案1．（1）解：∵CF⊥CE，∠ACB＝90°，∴∠FCA+∠ACE＝∠ACE+∠BCE＝90°，∴∠FCA＝∠ECB，在△ACF和△BCE中，，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴BE＝AF，∠FAC＝∠EBC，∵∠EBC+∠CAE＝90°，∴∠FAC+∠CAE＝90°（2）证明：作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，∵△ACF可由△BCE绕点C顺时针方向旋转90°而得到，∴AF＝BE，∠CAF＝∠CBE＝45°．∴AE＝2AF，∠CAF＝∠CAB，∴GM＝GN．∴S△AEG ＝2S△AFG，∴EG＝2GF，∴＝2．2．解：由AB＝1.5m，S△ABC＝1.5m2，可得BC＝2m，由图甲，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高，BH交DE于P，交AC于H．由AB＝1.5m，BC＝2m，得AC＝＝2.5（m），由AC•BH＝AB•BC可得：BH＝＝1.2（m），设甲设计的桌面的边长为xm，∵DE∥AC，∴Rt△BDE∽Rt△BAC，∴＝，即＝，解得x＝（m），由图乙，若设乙设计的正方形桌面边长为ym，由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，∴＝，即＝，解得y＝（m），∵x＝，y＝，∴x＜y，即x2＜y2，∴S正方形甲＜S正方形乙，∴第二个正方形面积大3．解：（1）△A1B1C1；如图所示．（2）△A2B2C2如图所示．4．（1）证明：由题意可知∠CAD+∠CAE＝∠CAE+∠BAE＝45°，∴∠CAD＝∠BAE；∵CP∥AB，∴∠ACD＝∠CAB＝45°．∴△ACD∽△ABE，∴＝，即＝，又∵∠DAE＝∠CAB＝45°，∴△ADE∽△ACB．（2）解：在△COD与△BEA中，∠DCO＝∠B＝45°，∠DOC与∠AEB均为钝角，∴如果△COD与△BEA相似，只能是△COD∽△BEA，∴∠1＝∠2．∵∠AEC＝∠AED+∠3＝45°+∠3，∠AEC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠3，∴CE＝CD．∵CP∥AB，∴∠DCE+∠B＝180°，∴∠DCE＝180°﹣∠B＝135°，∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠DCE）＝22.5°，∴∠2＝∠CAB，即AE为角平分线．如答图2，过点E作EG⊥AB于点G，则EG＝CE，且△BEG为等腰直角三角形．∴EG＝BG＝CE＝CD，BE＝EG，∴CE：BE＝．5．解：（1）∵BO是△ABC的角平分线，∴∠ABO＝∠CBO，∵BC＝CD，∴∠CBO＝∠D，∴∠ABO＝∠D，又∵∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD；（2）∵BC＝4，∴BC＝CD＝4，∵△AOB∽△COD，∴＝，即＝，解得：OC＝2．6．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE＝∠ACB，∵∠B＝∠B，∴△BAE∽△BCA；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝9，由（1）知，△BAE∽△BCA，∴，∴BA2＝BE•BC，∴BE＝＝＝4，∴CE＝BC﹣BE＝9﹣4＝5．7．证明：（1）∵AE2＝EB•EC∴又∵∠AEB＝∠CEA∴△AEB∽△CEA∴∠EBA＝∠EAC而∠EAC＝90°∴∠EBA＝∠EAC＝90°又∵∠EBA+∠CBA＝180°∴∠CBA＝90°而四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形即得证．（2）∵△AEB∽△CEA∴即，∠EAB＝∠ECA ∵四边形ABCD是矩形∴OB＝OC∴∠OBC＝∠ECA∴∠EBF＝∠OBC＝∠ECA＝∠EAB即∠EBF＝∠EAB又∵∠F＝∠F∴△EBF∽△BAF∴∴而AF＝AC∴BF＝AE即AE＝BF得证．8．（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠DAC+∠C＝90°，∠FBD+∠C＝90°，∴∠DAC＝∠FBD，又∠BDF＝∠ADC＝90°，∴△ACD∽△BFD；（2）解：∵△ACD∽△BFD，AC＝BF，∴△ACD≌△BFD，∴DA＝DB，又AD⊥BC，∴∠ABD＝45°．9．解：（1）∵△AEF∽△ABC，∴＝，∵边BC长为18，高AD长为12，∴＝＝；（2）∵EH＝KD＝x，∴AK＝12﹣x，EF＝（12﹣x），∴S＝x（12﹣x）＝﹣（x﹣6）2+54，当x＝6时，S有最大值为54．10．解：（1）∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠C＝90°，∴PQ∥BC，∴＝，在Rt△ACB中，AB＝＝＝5，∴＝，解得t＝，∴t为时，PQ⊥AC．（2）如图，作PH⊥AC于H．∵PH∥BC，∴＝，∴＝，∴PH＝（5﹣t），∴S＝•AQ•PH＝•t•（5﹣t）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，∴t＝，S有最大值，最大值为．。

2021年春季人教版九年级下册数学单元测试卷第27章《相似》常考题型综合练习二1．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE 上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．2．如图，一种拉杆式旅行箱的示意图，箱体长AB＝50cm，拉杆最大伸长距离BC＝30cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，其直径为10cm，⊙A与水平地面切于点D，过A作AE∥DM．当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面（40+5）cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小及点B到水平地面的距离．3．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA 方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？4．已知：▱ABCD，点G在边DC上，直线AG交对角线BD于点F、交DC延长线于点E．（1）如图（1），求证：△ABG∽△EDA；（2）如图（2），若∠GCE＝2∠ADB，AF：FE＝1：2，写图中所有与AD相等的线段．5．探究：如图①，直线l1∥l2∥l3，点C在l2上，以点C为直角顶点作∠ACB＝90°，角的两边分别交l1与l3于点A、B，连结AB，过点C作CD⊥l1于点D，延长DC交l3于点E．求证：△ACD∽△CBE．应用：如图②，在图①的基础上，设AB与l2的交点为F，若AC＝BC，l1与l2之间的距离为2，l2与l3之间的距离为1，则AF的长度是．6．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．（1）求两个路灯之间的距离．（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，且AC＝CD＝，又E，D为CB的三等分点．（1）证明：△ADE∽△BDA；（2）证明：∠ADC＝∠AEC+∠B；（3）若点P为线段AB上一动点，连接PE，则使得线段PE的长度为整数的点P的个数有几个？请说明理由．8．如图所示，要在底边BC ＝160cm ，高AD ＝120cm 的△ABC 铁皮余料上，截取一个矩形EFGH ，使点H 在AB 上，点G 在AC 上，点E 、F 在BC 上，AD 交HG 于点M ． （1）设矩形EFGH 的长HG ＝y ，宽HE ＝x ，确定y 与x 的函数关系式；（提示：S △ABC ＝S △AHG +S 梯形BCGH ）（2）设矩形EFGH 的面积为S ，确定S 与x 的函数关系式； （3）当x 为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？9．如图，在矩形ABCD 中对角线AC 、BD 相交于点F ，延长BC 到点E ，使得四边形ACED 是一个平行四边形，平行四边形对角线AE 交BD 、CD 分别为点G 和点H ． （1）证明：DG 2＝FG •BG ；（2）若AB ＝5，BC ＝6，则线段GH 的长度．10．在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C．∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴＝，∴DE＝＝＝12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝6．2．解：CF＝40+5﹣5＝40（cm）．则sin∠CAF＝＝，则∠CAF＝60°，如图，作BH⊥AF于点G，交DM于点H．则BG∥CF，∴△ABG∽△ACF．，即，解得：BG＝25，点B到水地面的距离为（25+5 ）cm．3．解：∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝＝5，则BP＝t，AQ＝2t，AP＝5﹣t，∵∠P AQ＝∠BAC，当＝时，△APQ∽△ABC，即＝，解得t＝；当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，解得t＝；答：t为s或s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABG＝∠EDA，AB∥DE，∴∠BAG＝∠DEA，∴△ABG∽△EDA（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠GCE＝2∠ADB＝2∠DBC，∵∠GCE＝∠DBC+∠BDC，∴∠DBC＝∠BDC，∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵AD∥BC，∴△ADF∽△BFE，∴＝，∴AD＝BE，∴BC＝CE，∴与AD相等的线段有AB、BC、CD、CE．5．探究：证明：∵l1∥l3，CD⊥l1，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∴△ACD∽△CBE；应用：在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝CE＝1，CD＝BE＝2，∵∠ADC＝CEB＝90°，∴AC＝BC＝＝，∵∠ACB＝90°，∴AB＝，∵l1∥l2∥l3，∴，∴AF＝．故答案为：．6．解：（1）如图1，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，＝，即＝，∴AP＝AB，∵NQ∥AC，∴△BNQ∽△BCA，∴＝，即＝，∴BQ＝AB，而AP+PQ+BQ＝AB，∴AB+12+AB＝AB，∴AB＝18．答：两路灯的距离为18m；（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC，∴＝，即＝，解得BN＝3.6．答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．7．（1）证明：∵AC＝CD＝DE＝EB＝，又∠C＝90°，∴AD＝2，∴＝，＝＝，∴＝，又∵∠ADE＝∠BDA，∴△ADE∽△BDA；（2）证明：∵△ADE∽△BDA，∴∠DAE＝∠B，又∵∠ADC＝∠AEC+∠DAE，∴∠ADC＝∠AEC+∠B；（3）解：∵点P为线段AB上一动点，根据勾股定理得：AE＝＝，BE＝，∴PE的最大值为．作EF⊥AB，则EF＝，则PE的最小值为∴≤EP≤，∵EP为整数，即EP＝1，2，3，结合图形可知PE＝1时有两个点，所以PE长为整数的点P个数为4个．8．解：（1）∵S△ABC ＝S△AHG+S梯形BCGH，∴×160×120＝y（120﹣x）+x（y+160），化简得：y＝﹣x+160；（2）把y＝﹣x+160代入S＝xy，得：S＝﹣x2+160x；（3）将S＝﹣x2+160x，右边配方得：S＝﹣（x﹣60）2+4800；∵﹣（x﹣60）2≤0，∴当﹣（x﹣60）2＝0时，即x＝60时，S＝﹣（x﹣60）2+4800有最大值4800．9．解：（1）证明：∵ABCD是矩形，且AD∥BC，∴△ADG∽△EBG．∴＝．又∵△AGF∽△EGD，∴＝．∴＝．∴DG2＝FG•BG．（2）∵ACED为平行四边形，AE，CD相交点H，∴DH＝DC＝AB＝．∴在直角三角形ADH中，AH2＝AD2+DH2∴AH＝．又∵△ADG∽△EBG，∴＝＝．∴AG＝GE＝×AE＝×13＝．∴GH＝AH﹣AG＝﹣＝．10．解：设AP＝2tcm，DQ＝tcm，∵AB＝12cm，AD＝6cm，∴AQ＝（6﹣t）cm，∵∠A＝∠A，∴①当＝时，△APQ∽△ABD，∴＝，解得：t＝3；②当＝时，△APQ∽△ADB，∴＝，解得：t＝1.2．∴当t＝3或1.2时，△APQ与△ABD相似．。