常见数学建模练习题目及解答

数学建模练习试题

1、放射性废料的处理问题

美国原⼦能委员会以往处理浓缩的放射性废料的⽅法，⼀直是把它们装⼊密封的圆桶⾥，然后扔到⽔深为90多⽶的海底。⽣

态学家和科学家们表⽰担⼼，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞⽽发⽣破裂，从⽽造成核污染。原⼦能委员会分辨说这是不可能

的。为此⼯程师们进⾏了碰撞实验。发现当圆桶下沉速度超过12.2 m 与海底相撞时，圆桶就可能发⽣碰裂。这样为避免圆桶

碰裂，需要计算⼀下圆桶沉到海底时速度是多少? 这时已知圆桶重量为239.46 ，体积为0.2058m3，海⽔密度为1035.713，如

果圆桶速度⼩于12.2 m就说明这种⽅法是安全可靠的，否则就要禁⽌使⽤这种⽅法来处理放射性废料。假设⽔的阻⼒与速度⼤

⼩成正⽐例，其正⽐例常数0.6。现要求建⽴合理的数学模型，解决如下实际问题：

1. 判断这种处理废料的⽅法是否合理?

2. ⼀般情况下，v⼤，k也⼤；v⼩，k也⼩。当v很⼤时，常⽤来代替k，那么这时速度与时间关系如何? 并求出当速度不超过

12.2 m，圆桶的运动时间和位移应不超过多少? (的值仍设为0.6)

鱼雷攻击问题

在⼀场战争中，甲⽅⼀潜艇在⼄⽅领海进⾏秘密侦察活动。当甲⽅潜艇位于⼄⽅⼀潜艇的正西100千⽶处，两⽅潜艇⼠兵同时

发现对⽅。甲⽅潜艇开始向正北60千⽶处的营地逃跑，在甲⽅潜艇开始逃跑的同时，⼄⽅潜艇发射了鱼雷进⾏追踪攻击。假

设甲⽅潜艇与⼄⽅鱼雷是在同⼀平⾯上进⾏运动。已知甲⽅潜艇和⼄⽅鱼雷的速度均匀且鱼雷的速度是甲⽅潜艇速度的两倍。

试建⽴合理的数学模型解决以下问题:

1) 求鱼雷在追踪攻击过程中的运动轨迹；

2) 确定甲⽅潜艇能否安全的回到营地⽽不会被⼄⽅鱼雷击中

3、贷款买房问题

某居民买房向银⾏贷款6万元，利息为⽉利率1%，贷款期为25年，要求建⽴数学模型解决如下问题：

1) 问该居民每⽉应定额偿还多少钱？

2)假设此居民每⽉可节余700元，是否可以去买房?

4、养⽼保险问题

养⽼保险是保险中的⼀种重要险种，保险公司将提供不同的保险⽅案以供选择，分析保险品种的实际投资价值。

1 数学建模模拟试题（一）

一、填空题（每题5分，共20分）

1. 1. 若若,,xzzyµµ则y

与x

的函数关系是的函数关系是 . .

2. 2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有

1m

个顾客，每人都买了

1n

件商品，

队2有

2m

个顾客，每人都买了

2n

件商品，假设每个人付款需p

秒，而扫描每件商品需t

秒，

则加入较快队1的条件是的条件是 . .

3. 3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了

. .

4. . 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作

的方法建立了模型的方法建立了模型的方法建立了模型. .

二、分析判断题（每小题15分，满分30分）

1.1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种.

2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是

),ml/mg(100/56

又过两个小时，含量降为),ml/mg(100/40

试判断，当事故发生时，司

机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)ml/mg(

.

（提示：不妨设开始时刻为)(,0tCt=表示t

时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，

在时间间隔],[tttD+内酒精浓度的改变量为内酒精浓度的改变量为

ttkCtCttCD-=-D+)()()(

其中0>k

为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的..）

三、计算题（每题25分，满分50分）

1. 1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产

《数学建模与实验》练习题

专题一 初等模型

1、如图，矿物局拟自地平面上A掘出一管道至地面下一点C

。设

AB长m600

,BC

长m240

，地平面AB是粘土，掘进费用

m/5元

，地平面以下是岩石，掘进费用是m/13元

。

（1）建立掘进费用的数学模型；

（2）采用什么掘法费用最省？

2、某罐装饮料厂为降低成本要将制罐材料减少到最小，假设罐装饮料筒为正圆柱体（视上、下底

为平面），上下底半径为r，高为h

。若体积为V

，上下底厚度分别是侧面厚度的2倍。

（1）建立用料A的数学模型；

（2）试问当r与h

之比是多少时，用料最少？

3、某大城市出租汽车行程不足km4

，车费11元；行程不足km15

，大于等于km4

部分时，每公

里车费5.1

元；行程大于等于km15

部分，每公里车费5.2

元。计程器每km5.0

计一次价。例

如：当行驶路程x

(km

)满足5.1212x

时，按km5.12

计价；当135.12x

时，按km13

计价；途中因红灯等原因停车等候，等候的时间每min5.2

计一次价，收费1元。例如：等候

时间t

(min)满足55.2t

时，按min5.2

计价；当5.75t

时，按min5

计价。

（1）建立出租车行驶收费的数学模型；

（2）若行驶km13

，停车min4，应付多少车费？

（3）若行驶km28

，停车min8

，应付多少车费？

4、设某商店以每件10元的进价购进一批衬衫，并设此种商品的需求函数pQ280（其中，Q

为需求量，单位为件；p为销售价格，单位为元）。问该商店应将售价定为多少元卖出，才能

获得最大利润？最大利润是多少？

5、某公司在生产中使用A

和B

两种原料，已知A

和B

两种原料分别使用x

单位和y单位可生产

U

单位的产品，这里

226440328),(yxyxxyyxU

，

并且A

种原料每单位的价值为10

美元，B

种原料每单位的价值为4

美元，产品每单位的价值

为40

美元，求：

（1） 生产公司利润的模型；

数学建模练习题

数学建模习题

题⽬11. 在超市购物时你注意到⼤包装商品⽐⼩包装商品便宜这种现象了吗。⽐如洁银⽛膏50g装的每⽀元，120g装的每⽀元，⼆者单位重量的价格⽐是：1.试⽤⽐例⽅法构造模型解释这个现象。（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由⽣产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正⽐，有的与表⾯积成正⽐，还有与w⽆关的因素。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越⼤c越⼩，但是随着w的增加c减⼩的程度变⼩，解释实际意义是什么。

解答：

（1）分析：⽣产成本主要与重量w成正⽐，包装成本主要与表⾯积s成正⽐，其他成本也包含与w和s成正⽐的部分，上述三种成本中都包含有与w,s 均⽆关的成本。⼜因为形状⼀定

时⼀般有3事/ ,故商品的价格可表⽰为1 ⼀.⼀⼀ | ⼀： :（a，B，丫为⼤于0的常数）。

（2）单位重量价格',显然c是w的减函数。说明⼤包装⽐⼩包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变⼤是逐渐降低的，不要追求太⼤包装的商品。函数图像如下图所⽰：

题⽬22. 在考虑最优定价问题时设销售期为T,由于商品的损耗，成本q随时间增长, 设q = * 0 t, B为增长率。⼜设单位时间的销售量为x = a - bp（p为价格）

今将销售期分为⼀⼆，?⼀和?⼕-⼁两段，每段的价格固定，记为/ .

求的最优值，使销售期内的总利润最⼤。如果要求销售期T内的总销售量

为丁 ,再求'的最优值

解答：

由题意得：总利润为 ||| ：；◎,「.=' ⼚ 「I ⼗ 、

^.7 -⼗+ '

' ■■''■' ■■- l ，J

以⼧⼈hPt -(舸 + @ ■ bp$ - b[p2 - (go 3p T/4)]

由⼀=0, — -「，可得最优价格

设总销量为丁 ,

〔a - bpp dt + J'/a - bp^dt - aT - —(pf +

在此约束条件下U

的最⼤值点为$

bT

~ bT a