北京市西城区2013年高三一模理科数学试卷

2024.4 第1页（共6页）西 城 区 高 三 统 一 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2024.4一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）B （ 2 ）D （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）C（ 6 ）A（ 7 ）A（ 8 ）B（ 9 ）D（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11（12）π3 π3（答案不唯一） （13）y =（14）6−n 13−（15）① ③ ④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共14分） 解：（Ⅰ）连接1A B ，设11A BAB E =，连接DE ．………1分因为在三棱柱111ABC A B C −中，四边形11A ABB 是平行四边形， 所以E 为1A B 的中点．………2分因为D 为BC 的中点， 所以1//DE A C ．………3分又因为1A C ⊄平面1AB D ，⊂DE 平面1AB D ， 所以1//AC 平面1AB D ． ………5分（Ⅱ）因为1AB AC ⊥，AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11A ACC ．………6分所以1AB AA ⊥．又1AA AC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系A x yz −．………7分 则(0,0,0)A ，1(2,0,2)B ，(1,1,0)D ，(0,2,0)C ． 所以1(,,)202AB =，(,,)110AD =．2024.4 第2页（共6页）设平面1AB D 的法向量为(,,)x y z =m ，则10,0,AB AD =⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅m m 即220,0.x z x y +=⎧⎨+=⎩令1x =−，则1y =，1z =．于是(1,1,1)=−m ． ………10分因为AC ⊥平面11A ABB ，所以(0,2,0)AC =是平面11A ABB 的一个法向量． ………11分 所以3cos ,3||||AC AC AC 〈〉==⋅m m m ．………13分由题设，二面角11D ABA −−的平面角为钝角， 所以二面角11D AB A −−的余弦值为 ………14分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由tan 2sin a B b A =，得sin 2sin cos a B b A B =．………1分 在ABC △中，由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A B A B B =．………3分因为sin 0,sin 0A B >>， 所以1cos 2B =． ………4分 又0πB <∠<， ………5分 所以π3B ∠=．………6分 （Ⅱ）选条件①：BC………7分设BC 边中点为M ，连接AM ，则AM =，4BM =．在ABM △中，由余弦定理得2222cos AM AB BM AB BM B =+−⋅⋅，………9分 即2π21168cos3AB AB =+−⋅． 整理得2450AB AB −−=． 解得5AB =或1AB =−（舍）．………11分 所以ABC △的面积为1sin 2ABC S AB BC B =⋅⋅=△．………13分2024.4 第3页（共6页）选条件③：7b =．………7分 在ABC △中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+−，………9分即222π7816cos3c c =+−⋅． 整理得28150c c −+=． 解得3c =或5c =．………11分当3c =时，ABC △的面积为1sin 2ABC S ac B ==△ 当5c =时，ABC △的面积为1sin 2ABC S ac B ==△．………13分（18）（共13分）解：（Ⅰ）甲进入决赛，理由如下：丙射击成绩的总环数为26471081892610542⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，甲射击成绩的总环数为16171082492410549⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 因为549542>，所以甲进入决赛．………3分（Ⅱ）根据题中数据，“甲命中9环”的概率可估计为242605=； “甲命中10环” 的概率可估计为242605=； “乙命中9环” 的概率可估计为301602=； “乙命中10环” 的概率可估计为151604=．………5分所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为：222212122212121113()()()()C ()C ()5452524100⨯+⨯+⨯⨯=． ………10分 （Ⅲ）7a =和8．（写出一个即可）………13分2024.4 第4页（共6页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，2222,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪−=⎩………3分解得224,3a b ==．所以椭圆G 的方程为22143x y +=． ………5分（Ⅱ）由题设，直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+．则(2,2)E k m +,直线OE 的方程为()2my k x =+． ………6分 由22,3412,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(43)84120k x kmx m +++−=．………7分由2248(43)0=−+>Δk m ，得2243<+m k ．设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则122843kmx x k +=−+，212241243m x x k −=+． ………8分直线AC 的方程为11(2)2yy x x =++． ………9分联立直线AC 和OE 得11(2)()22y mx k x x +=++． 解得1111111244()44()(2)2M y y kx m x mmx k mx kk x y +===++++−．………11分同理可得224()4N kx m x mx k +=+．所以122112()(4)()(4)4(4)(4)M N kx m mx k kx m mx k x x mx k mx k ++++++=⨯++．………12分因为1221()(4)()(4)+++++kx m mx k kx m mx k22121222222222(4)()82(412)8(4)8(43)4343430kmx x k m x x kmkm m km k m km k k k k =++++−++=−++++=，所以0M N x x +=，即点M 和点N 关于原点O 对称． 所以||||=OM ON ．………15分2024.4 第5页（共6页）（20）（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，()ln e =++x f x x x x ，所以1()1(1)e '=+++x f x x x． ………2分所以(1)2e 2f '=+．所以曲线()y f x =在点(,())11f 处切线的斜率为2e 2+．………4分（Ⅱ）当1a =−时，()ln()e =+−−x f x x x x ，()f x 的定义域为(,0)−∞．11()1(1)e (1)(e )'=+−+=+−x x f x x x x x． ………6分因为1e 0xx−<， 所以(,1)x ∈−∞−时，()0f x '>；(1,0)x ∈−时，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间为(,1)−∞−；单调递减区间为(1,0)−． ………9分 （Ⅲ）1e ()(1)()'=++xf x x x a．当0a >时，()f x 的定义域为(0,)+∞． 所以()0'>f x ，()f x 在(0,)+∞上单调递增．因为1()0>f a ，所以0a >不合题意．………11分当0a <时，()f x 的定义域为(,0)−∞．因为(,1)x ∈−∞−时，()0f x '>；(1,0)x ∈−时，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为(,1)−∞−；单调递减区间为(1,0)−． 所以max 1()(1)1ln()e=−=−+−−f x f a a ． ………13分设1()1ln()e =−+−−g x x x ，则2211e 1()e e +'=+=x g x x x x ， 因为1(,)e ∈−∞−x 时，()0'<g x ；1(,0)e∈−x 时，()0'>g x ，所以()g x 的单调递减区间为1(,)e −∞−；单调递增区间为1(,0)e −．所以min 1()()1e=−=−g x g ．所以集合{|()1}−≥x f x 有且只有一个元素时1ea =−．………15分2024.4 第6页（共6页）（21）（共15分） 解：（Ⅰ）记1122i i i n in t a b a b a b =+++．因为1233,2,0t t t ===， ………3分 所以2=K ．………4分（Ⅱ）（ⅰ）B 不满足3m r =，理由如下：假设B 满足3m r =．因为B 的每行恰有三个1，故B 中满足1==i p i q b b 的(,,)i p q 的个数共有3m 个． 另一方面，从B 中任选两列共有2C n 种可能，且对任意两列，都恰有r 行使得 这两列的数均为1，故B 中满足1==i p i q b b 的(,,)i p q 的个数共有2C n r 个． 所以23C n m r =．当3m r =时，得2C 9n =，此方程无解． 所以B 不满足3m r =．………9分（ⅱ）由（ⅰ）可得23C nm r =，即2C 3nr m =．下面考虑满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,,)i p q 的个数：对B 中满足0≠i t 和3的−m K 行，每行恰有两组(,)p q 使1==i p i q b b 且p q a a ≠，所以满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,,)i p q 的个数为2C 2()2()3−=−n r m K K ．………11分设数列A 中有x 项为1，−n x 项为0．满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,)p q 的个数为()−x n x ． 所以满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,,)i p q 的个数为()−rx n x ．………13分所以2C ()2()3−=−n r rx n x K ．所以222C ()(33)326−=−=−+−nr rx n x r K x nx n n 22222331()()(4)6426424−+−=−−≥≥r n n r n n n n n n ． ………15分。

北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（文科）2013.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{|||5}U x x =∈<Z ，集合{2,1,3,4}A =−，{0,2,4}B =，那么U A B =I ∁（A ）{2,1,4}−（B ）{2,1,3}−（C ）{0,2}（D ）{2,1,3,4}−2．复数1ii−+=（A ）1i+（B ）1i−+（C ）1i−−（D ）1i−3．执行如图所示的程序框图．若输出y =，则输入角=θ（A ）π6（B ）π6−（C ）π3（D ）π3−4．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且10a >．若232S a >，则q 的取值范围是（A ）1(1,0)(0,)2−U （B ）1(,0)(0,1)2−U （C ）1(,1)(,)2−∞−+∞U （D ）1(,)(1,)2−∞−+∞U5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（A）6+（B）12+（C）12+（D）24+6．设实数x ，y 满足条件10,10,20,x x y x y +≥⎧⎪−+≥⎨⎪+−≤⎩则4y x −的最大值是（A ）4−（B ）12−（C ）4（D ）77．已知函数2()f x x bx c =++，则“0c <”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．如图，正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱11B C 的中点，动点P 在底面ABCD 内，且11PA A E =，则点P 运动形成的图形是（A ）线段（B ）圆弧（C ）椭圆的一部分（D）抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量(1,0)=i ，(0,1)=j ．若向量+λi j 与+λi j 垂直，则实数=λ______．10．已知函数2log ,0,()2,0,x x x f x x >⎧=⎨<⎩则1((2)4f f +−=______．11．抛物线22y x =的准线方程是______；该抛物线的焦点为F ，点00(,)M x y 在此抛物线上，且52MF =，则0x =______．12．某厂对一批元件进行抽样检测．经统计，这批元件的长度数据(单位：mm )全部介于93至105之间．将长度数据以2为组距分成以下6组：[9395)，，[9597)，，[9799)，，[99101)，，[101103)，，[103,105]，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在[97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批产品的合格率是_____．13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，且cos 3cos 4A bB a ==．若10c =，则△ABC 的面积是______．14．已知数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ．若1, ,231, ,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数且329S =，则1a =______；3n S =______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()sin cos f x x a x =+的一个零点是3π4．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设22()[()]2sin g x f x x =−，求()g x 的单调递增区间．16．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，AC =22AB BC ==，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求四面体FBCD 的体积；（Ⅲ）线段AC 上是否存在点M ，使EA //平面FDM ？证明你的结论．17．（本小题满分13分）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为31，停车付费多于14元的概率为125，求甲停车付费恰为6元的概率；（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．18．（本小题满分13分）已知函数()e x f x ax =+，()ln g x ax x =−，其中0a ≤．（Ⅰ）求)(x f 的极值；（Ⅱ）若存在区间M ，使)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆22143x y +=的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．（Ⅰ）若点G 的横坐标为14−，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）记△GFD 的面积为1S ，△OED （O 积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得12S S =20．（本小题满分13分）已知集合*12{|(,,,),,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥N L L ．对于12(,,,)n A a a a =L ，12(,,,)n n B b b b S =∈L ，定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =−−−u u u rL ；1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a =∈R L L λλλλλ；A 与B 之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==−∑．（Ⅰ）当5n =时，设(1,2,1,2,5)A =，(2,4,2,1,3)B =，求(,)d A B ；（Ⅱ）证明：若,,n A B C S ∈，且0∃>λ，使AB BC λ=u u u r u u u r，则(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=；（Ⅲ）记20(1,1,,1)I S =∈L ．若A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，求(,)d A B 的最大值．北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B ；2．A ；3．D ；4．B ；5．C ；6．C ；7．A ；8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．0；10．74−；11．12x =−，2；12．80%；13．24；14．5，722n +．注：11、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得3π()04f =，………………1分即，………………3分解得1a =．………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin cos f x x x =+．………………6分22()[()]2sin g x f x x=−22(sin cos )2sin x x x=+−sin 2cos 2x x=+………………8分π)4x =+．………………10分由πππ2π22π242k x k −≤+≤+，得3ππππ88k x k −≤≤+，k ∈Z ．………………12分所以()g x 的单调递增区间为3ππ[π,π]88k k −+，k ∈Z ．………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在△ABC 中，因为AC =2AB =，1BC =，所以BC AC ⊥．………………2分又因为AC FB ⊥，所以⊥AC 平面FBC ．………………4分（Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为FC CD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ．………………6分在等腰梯形ABCD 中可得1==DC CB ，所以1=FC ．所以△BCD 的面积为43=S ．………………7分所以四面体FBCD 的体积为：13F BCD V S FC −=⋅=………………9分（Ⅲ）解：线段AC 上存在点M ，且M 为AC 中点时，有EA //平面FDM ，证明如下：………………10分连结CE ，与DF 交于点N ，连接MN ．因为CDEF 为正方形，所以N 为CE 中点．……………11分所以EA //MN ．………………12分因为⊂MN 平面FDM ，⊄EA 平面FDM ，………………13分所以EA //平面FDM ．所以线段AC 上存在点M ，使得EA //平面FDM 成立．………………14分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A ，………………1分则41)12531(1)(=+−=A P ．所以甲临时停车付费恰为6元的概率是41．………………4分（Ⅱ）解：设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中,6,14,22,30a b =．……………6分则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22),(22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30)，共16种情形．………………10分其中，(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)这4种情形符合题意．……………12分故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为41164P ==．………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ，且()e xf x a ′=+．………………2分①当0a =时，()e xf x =，故()f x 在R 上单调递增．从而)(x f 没有极大值，也没有极小值．………………4分②当0a <时，令()0f x ′=，得ln()x a =−．()f x 和()f x ′的情况如下：x(,ln())a −∞−ln()a −(ln(),)a −+∞()f x ′−0+()f x ↘↗故()f x 的单调减区间为(,ln())a −∞−；单调增区间为(ln(),)a −+∞．从而)(x f 的极小值为(ln())ln()f a a a a −=−+−；没有极大值．………………6分（Ⅱ）解：()g x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax g x a x x−′=−=．………………8分③当0a =时，()f x 在R 上单调递增，()g x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意．………………9分④当0a <时，()0g x ′<，()g x 在(0,)+∞上单调递减．当10a −≤<时，ln()0a −≤，此时()f x 在(ln(),)a −+∞上单调递增，由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意．………………11分当1a <−时，ln()0a −>，此时()f x 在(,ln())a −∞−上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．综上，a 的取值范围是(,1)−∞−．………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，直线AB 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =+．………………1分将其代入22143x y +=，整理得2222(43)84120k x k x k +++−=．………………3分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以2122843k x x k −+=+．………………4分故点G 的横坐标为21224243x x k k +−=+．依题意，得2241434k k −=−+，………………6分解得12k =±．………………7分（Ⅱ）解：假设存在直线AB ，使得12S S =，显然直线AB 不能与,x y 轴垂直．由（Ⅰ）可得22243(,)4343k kG k k −++．………8分因为DG AB ⊥，所以2223431443Dk k k kx k +×=−−−+，解得2243D k x k −=+，即22(,0)43k D k −+．………………10分因为△GFD ∽△OED ，所以12||||S S GD OD =⇔=．………………11分所以2243k k −=+，………………12分整理得2890k +=．………………13分因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得12S S =．………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当5n =时，由51(,)||iii d A B a b ==−∑，得(,)|12||24||12||21||53|7d A B =−+−+−+−+−=，所以(,)7d A B =．………………3分（Ⅱ）证明：设12(,,,)n A a a a =L ，12(,,,)n B b b b =L ，12(,,,)n C c c c =L ．因为0∃>λ，使AB BC λ=u u u r u u u r，所以0∃>λ，使得11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b −−−=−−−L L λ,,，所以0∃>λ，使得()i i i i b a c b λ−=−，其中1,2,,i n =L ．所以i i b a −与(1,2,,)i i c b i n −=L 同为非负数或同为负数．………………6分所以11(,)(,)||||n niiiii i d A B d B C a b b c ==+=−+−∑∑1(||||)ni i i i i b a c b ==−+−∑1||(,)n i i i c a d A C ==−=∑．………………8分（Ⅲ）解法一：201(,)||i ii d A B b a ==−∑．设(1,2,,20)i i b a i −=L 中有(20)m m ≤项为非负数，20m −项为负数．不妨设1,2,,i m =L 时0i i b a −≥；1,2,,20i m m =++L 时，0i i b a −<．所以201(,)||i i i d A B b a ==−∑121212201220[()()][()()]m m m m m m b b b a a a a a a b b b ++++=+++−+++++++−+++L L L L 因为(,)(,)13d I A d I B ==，所以202011(1)(1)i ii i a b ==−=−∑∑，整理得202011i i i i a b ===∑∑．所以2012121(,)||2[()]i i m m i d A B b a b b b a a a ==−=+++−+++∑L L ．………10分因为1212201220()()m m m b b b b b b b b b +++++=+++−+++L L L (1320)(20)113m m ≤+−−×=+；又121m a a a m m +++≥×=L ，所以1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++−+++L L 2[(13)]26m m ≤+−=．即(,)26d A B ≤．……………12分对于(1,1,,1,14)A =L ，(14,1,1,,1)B =L ，有A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，(,)26d A B =．综上，(,)d A B 的最大值为26．……………13分解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有||||||x y x y +≤+．证明：因为||||x x x −≤≤，||||y y y −≤≤，所以(||||)||||x y x y x y −+≤+≤+，即||||||x y x y +≤+．所以202011(,)|||(1)(1)|i i i i i i d A B b a b a ===−=−+−∑∑201(|1||1|)i i i b a =≤−+−∑202011|1||1|26i i i i a b ===−+−=∑∑．……………11分上式等号成立的条件为1i a =，或1i b =，所以(,)26d A B ≤．……………12分对于(1,1,,1,14)A =L ，(14,1,1,,1)B =L ，有A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，(,)26d A B =．综上，(,)d A B 的最大值为26．……………13分。

北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（文科） 2013.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{|||5}U x x =∈<Z ，集合{2,1,3,4}A =-，{0,2,4}B =，那么U A B = ð （A ）{2,1,4}- （B ） {2,1,3}-（C ）{0,2}（D ）{2,1,3,4}-2．复数1ii-+= （A ）1i + （B ）1i -+（C ）1i --（D ）1i -3．执行如图所示的程序框图．若输出3y =-，则输入 角=θ （A ）π6 （B ）π6-（C ）π3（D ）π3-4．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且10a >．若232S a >，则q 的取值范围是（A ）1(1,0)(0,)2- （B ）1(,0)(0,1)2- （C ）1(,1)(,)2-∞-+∞（D ）1(,)(1,)2-∞-+∞5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主） 视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表 面积是（A ）63+ （B ）123+ （C ）1223+ （D ）2423+6．设实数x ，y 满足条件 10,10,20,x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则4y x -的最大值是（A ）4- （B ）12-（C ）4 （D ）77．已知函数2()f x x bx c =++，则“0c <”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E 是棱11B C 的 中点，动点P 在底面ABCD 内，且11PA A E =，则 点P 运动形成的图形是（A ）线段 （B ）圆弧（C ）椭圆的一部分 （D ）抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量(1,0)=i ，(0,1)=j ．若向量+λi j 与+λi j 垂直，则实数=λ______．10．已知函数2log ,0,()2,0,x x x f x x >⎧=⎨<⎩ 则1()(2)4f f +-=______．11．抛物线22y x =的准线方程是______；该抛物线的焦点为F ，点00(,)M x y 在此抛物线上，且52MF =，则0x =______．12．某厂对一批元件进行抽样检测．经统计，这批元件的长度数据 (单位：m m )全部介于93至105之间．将长度数据以2为组距分成以下6组：[9395)，， [9597)，，[9799)，，[99101)，，[101103)，， [103,105]，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在[97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直 方图，估计这批产品的合格率是_____．13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，且cos 3cos 4A bB a ==．若10c =，则△ABC 的面积是______．14．已知数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ．若1, ,231, ,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数且329S =，则1a =______；3n S =______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()sin cos f x x a x =+的一个零点是3π4． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设22()[()]2sin g x f x x =-，求()g x 的单调递增区间．16．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，3AC =，22AB BC ==，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ； （Ⅱ）求四面体FBCD 的体积；（Ⅲ）线段AC 上是否存在点M ，使EA //平面FDM ？ 证明你的结论．17．（本小题满分13分）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为31，停车付费多于14元的概率为125，求甲停车付费恰为6元的概率；（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．18．（本小题满分13分）已知函数()e x f x ax =+，()ln g x ax x =-，其中0a ≤． （Ⅰ）求)(x f 的极值；（Ⅱ）若存在区间M ，使)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆22143x y +=的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．（Ⅰ）若点G 的横坐标为14-，求直线AB 的斜率； （Ⅱ）记△GFD 的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面 积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得12S S =？说明理由．20．（本小题满分13分）已知集合*12{|(,,,),,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥N ．对于12(,,,)n A a a a = ，12(,,,)n n B b b b S =∈ ，定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---；1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a =∈R λλλλλ；A 与B之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==-∑．（Ⅰ）当5n =时，设(1,2,1,2,5)A =，(2,4,2,1,3)B =，求(,)d A B ；（Ⅱ）证明：若,,n A B C S ∈，且0∃>λ，使A B B Cλ=，则(,)(,)(,)d AB dBC d AC +=；（Ⅲ）记20(1,1,,1)I S =∈ ．若A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，求(,)d A B 的最大值．北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1． B ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．C ； 7．A ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．0； 10．74-； 11．12x =-，2； 12．80%； 13．24； 14．5，722n +． 注：11、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：依题意，得3π()04f =， ………………1分 即3π3π22sincos 04422a a +=-=， ………………3分解得1a =． (5)分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ()sin cos f x x x =+． ………………6分22()[()]2sin g x f x x =-22(sin cos )2sin x x x =+-s i n 2c o s 2x x =+ ………………8分π2sin(2)4x =+． ………………10分由 πππ2π22π242k x k -≤+≤+， 得3ππππ88k x k -≤≤+，k ∈Z ． ………………12分所以()g x 的单调递增区间为3ππ[π,π]88k k -+，k ∈Z ． ………………13分16．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：在△ABC 中，因为 3AC =，2AB =，1BC =，所以 BC AC ⊥． ………………2分 又因为 AC FB ⊥，所以 ⊥AC 平面FBC ． ………………4分 （Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为FCCD ⊥，所以⊥FC 平面A B ．………………6分 在等腰梯形ABCD 中可得 1==DC CB ，所以1=FC ．所以△BCD的面积为43=S ． ………………7分 所以四面体F B的体积为：13312F BCD V S FC -=⋅=． ………………9分 （Ⅲ）解：线段AC 上存在点M ，且M 为AC 中点时，有EA // 平面FDM ，证明如下：………………10分连结CE ，与DF 交于点N ，连接MN ． 因为CDEF为正方形，所以N为CE中点． ………………11分所以EA //MN ． ………………12分因为⊂MN 平面F D，⊄EA 平面F D ， ………………13分所以 EA //平面FDM ． 所以线段AC上存在点M，使得EA//平面F D M 成立． ………………14分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A ， ………………1分则 41)12531(1)(=+-=A P ． 所以甲临时停车付费恰为6元的概率是41． ………………4分 （Ⅱ）解：设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中,6,14,22,30a b =． ………………6分则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22),(22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30)，共16种情形． ………………10分其中，(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)这4种情形符合题意． ………………12分故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为41164P ==． ………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ， 且 ()e x f x a '=+． ………………2分① 当0a =时，()e x f x =，故()f x 在R 上单调递增． 从而)(x f 没有极大值，也没有极小值． ………………4分② 当0a <时，令()0f x '=，得ln()x a =-．()f x 和()f x '的情况如下：x(,ln())a -∞- ln()a -(ln(),)a -+∞()f x ' -+()f x↘↗故()f x 的单调减区间为(,ln())a -∞-；单调增区间为(ln(),)a -+∞． 从而)(x f 的极小值为(ln())ln()f a a a a -=-+-；没有极大值． ………………6分（Ⅱ）解：()g x 的定义域为(0,)+∞，且 11()ax g x a x x-'=-=． ………………8分③ 当0a =时，()f x 在R 上单调递增，()g x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意．………………9分④ 当0a <时，()0g x '<，()g x 在(0,)+∞上单调递减．当10a -≤<时，ln()0a -≤，此时()f x 在(ln(),)a -+∞上单调递增，由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意． ………………11分当1a <-时，ln()0a ->，此时()f x 在(,ln())a -∞-上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．综上，a的取值范围是(,1)-∞-． ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，直线AB 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =+． ………………1分将其代入22143x y +=，整理得2222(43)84120k x k x k +++-=． ………………3分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以2122843k x x k -+=+． ………………4分故点G 的横坐标为21224243x x k k +-=+． 依题意，得2241434k k -=-+， ………………6分解得12k =±． ………………7分（Ⅱ）解：假设存在直线AB ，使得 12S S =，显然直线AB 不能与,x y 轴垂直．由（Ⅰ）可得 22243(,)4343k kG k k -++． ………………8分因为 DG AB ⊥，所以 2223431443Dkk k k x k +⨯=---+，解得 2243D k x k -=+，即 22(,0)43k D k -+． ………………10分因为 △GFD ∽△OED ，所以 12||||S S GD OD =⇔=． ………………11分所以 22222222243()()43434343k k k k k k k k ----+=++++， ………………12分整理得 2890k +=． ………………13分因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得 12S S =． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当5n =时，由51(,)||i i i d A B a b ==-∑，得 (,)|12||24||12||21||53|7d A B =-+-+-+-+-=，所以(,)7d A B =． ………………3分 （Ⅱ）证明：设12(,,,)n A a a a = ，12(,,,)n B b b b = ，12(,,,)n C c c c = ．因为 0∃>λ，使AB BC λ= ，所以 0∃>λ，使得 11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=--- λ,,， 所以 0∃>λ，使得 ()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n = ．所以 i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -= 同为非负数或同为负数． ………………6分所以 11(,)(,)||||n n i i i ii i d A B d B C a b b c ==+=-+-∑∑ 1(||||)n i i i i i b a c b ==-+-∑1||(,)n i i i c a d A C ==-=∑． ………………8分（Ⅲ）解法一：201(,)||i ii d A B b a ==-∑． 设(1,2,,20)i i b a i -= 中有(20)m m ≤项为非负数，20m -项为负数．不妨设1,2,,i m = 时0i i b a -≥；1,2,,20i m m =++ 时，0i i b a -<．所以 201(,)||i i i d A B b a ==-∑ 121212201220[()()][()()]m m m m m m b b b a a a a a a b b b ++++=+++-+++++++-+++因为 (,)(,)13d I A d I B ==，所以202011(1)(1)i i i i a b ==-=-∑∑， 整理得 202011i i i i a b ===∑∑． 所以2012121(,)||2[()]i i m m i d A B b a b b b a a a ==-=+++-+++∑ ．……………10分因为 1212201220()()m m m b b b b b b b b b +++++=+++-+++(1320)(20)113m m ≤+--⨯=+；又 121m a a a m m +++≥⨯= ，所以 1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++-+++2[(13)]26m m ≤+-=．即(,)26d A B ≤． ……………12分对于 (1,1,,1,14)A = ，(14,1,1,,1)B = ，有 A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，(,)26d A B =．综上，(d A B 的最大值为26． ……………13分解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有||||||x y x y +≤+．证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤，所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，即 ||||||x y x y +≤+． 所以 202011(,)|||(1)(1)|i i i ii i d A B b a b a ===-=-+-∑∑ 201(|1||1|)i i i b a =≤-+-∑202011|1||1|26i i i i a b ===-+-=∑∑． ……………11分上式等号成立的条件为1i a =，或1i b =，所以 (,)26d A B ≤． ……………12分对于 (1,1,,1,14)A = ，(14,1,1,,1)B = ，有 A ，20B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，(,)26d A B =．综上，(d A B 的最大值为26． ……………13分。

北京市西城区2013年高三一模试卷理科综合能力测试2013.4选择题（共20题每小题6分共120分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．下列关于细胞物质组成、结构及代谢的叙述正确的是A．组成质粒的化学元素为C、H、O、NB．神经递质和生长激素都属于分泌蛋白C．同质量的脂肪氧化分解放能比糖类多D．毛霉和蓝藻的细胞中均不含有线粒体2．下列有关生命活动调节的叙述不．正确．．的是A．甲状腺激素和抗利尿激素的分泌均与下丘脑相关B．血糖浓度升高时，胰岛素分泌增加而胰高血糖素分泌减少C．效应B细胞分泌的抗体能特异性地识别抗原D．人体通过注射抗体而获得的免疫属于非特异性免疫3．某镰刀形细胞贫血症患者因血红蛋白基因发生突变，导致血红蛋白的第六位氨基酸由谷氨酸变成缬氨酸。

下列有关叙述不正确．．．的是A．患者细胞中携带谷氨酸的tRNA与正常人不同B．患者红细胞中血红蛋白的空间结构与正常人不同C．患者血红蛋白mRNA的碱基序列与正常人不同D．此病症可通过显微观察或DNA分子杂交检测4．科研人员研究了甘氨酸对癌细胞代谢和分裂的影响，实验结果如下表所示。

A．甘氨酸进出两种癌细胞都需要载体蛋白协助B．慢速分裂的癌细胞内蛋白质合成不需要甘氨酸C．缺乏甘氨酸可延长快速分裂癌细胞的细胞周期D．癌细胞的细胞膜与正常细胞相比粘连蛋白减少5．西花蓟马是一种外来入侵害虫，主要寄生在各种植物的花内，寄主范围广泛，同时极易对杀虫剂产生抗药性。

西花蓟马在不同寄主上的种群动态如图所示，下列相关叙述正确的是A．可采用标志重捕法调查西花蓟马的种群密度B．西花蓟马在入侵地的种群数量呈现J型增长C．西花蓟马种群数量变化与寄主生长周期特点有关D．杀虫剂难以改变西花蓟马抗药性基因的频率6．下列说法中，不正确．．．的是A．蔗糖可作调味剂B．铁粉可作抗氧化剂C．碳酸氢钠可作抗酸药D．熟石灰可作食品干燥剂7．下列说法中，不正确．．．的是A．HF稳定性比HCl强B．Mg失电子能力比Ca弱C．NaCl与NH4Cl含有的化学键类型相同D．等物质的量的C2H6和H2O2含电子数相同8．下列说法正确的是A．油脂发生皂化反应能生成甘油BCD．向蛋白质溶液中加入CuSO4溶液发生盐析910．下列各组物质混合后，加热、蒸干、灼烧至质量不变，最终能得到纯净物的是A ．向AlCl 3溶液中，加入一定量的NaOHB ．向NaI 和NaBr 混合溶液中，通入过量的Cl 2C ．向含1 mol NaHCO 3溶液中，加入1 mol Na 2O 2粉末D ．向含1 mol Na 2CO 3溶液中，加入含1 mol HCl 的盐酸11．浓度均为0.1 mol/L Na 2CO 3 和NaHCO 3两种溶液各25 mL ，分别加入25 mL 0.1mol/L NaOH 溶液，依次形成混合溶液①和②，①和②中各指定离子的浓度大小关系不正确．．．的是 A ．①中离子浓度：c (OH —)＞c (CO 32—) B ．c (Na +)：①＞② C ．②中离子浓度：c (OH —)＞c (HCO 3—) D ．c (CO 32—)：①=②12．已知：CO(g)＋H 2O(g)CO 2(g)＋H 2(g) ∆H ＝– 41 kJ/mol相同温度下，在体积相同的两个恒温密闭容器中，加入一定量的反应物发生反应。