2019-2020年中考数学常考易错点 4.5 特殊的四边形
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2019-2020年中考数学常考易错点 4.5 特殊的四边形
易错清单
1. 矩形的性质.
【解析】 连接BE,设AB=3x,BC=5x,根据勾股定理求出AE=4x,DE=x,求出x的值,求出AB,BC,即可求出答案.
【答案】 如图,连接BE,则BE=BC.
设AB=3x,BC=5x,
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AB=CD=3x,AD=BC=5x,∠A=90°.
由勾股定理,得AE=4x,
则DE=5x-4x=x,
【误区纠错】 本题考查了矩形的性质,勾股定理的应用,解此题的关键是求出x的值.
2. 菱形面积的计算. 【例2】 (2014·甘肃兰州)如果菱形的两条对角线的长为a和b,且a,b满足那么菱形的面积等于 .
【解析】 根据非负数的性质列式求出a,b,再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解.
【答案】 由题意,得a-1=0,b-4=0,
解得a=1,b=4,
∵ 菱形的两条对角线的长为a和b,
∴ 菱形的面积
【误区纠错】 本题考查了非负数的性质,菱形的性质,主要利用了菱形的面积等于对角线乘积的一半.
3. 正方形的性质.
【例3】 (2014·广东梅州)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
(1)求证:CE=CF;
(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?
【解析】 (1)由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD,从而证出CE=CF.
(2)由(1)得,CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°.又∠GCE=45°,所以可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ECG≌△FCG,即EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立.
【答案】 (1)在正方形ABCD中,
∵ BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,
∴ △CBE≌△CDF(SAS).
∴ CE=CF.
(2)GE=BE+GD成立.理由如下:
∵ 由(1),得△CBE≌△CDF,
∴ ∠BCE=∠DCF. ∴ ∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°,
又 ∠GCE=45°,
∴ ∠GCF=∠GCE=45°.
∵ CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,
∴ △ECG≌△FCG(SAS).
∴ GE=GF.
∴ GE=DF+GD=BE+GD.
【误区纠错】 本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想,在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段,从而证出关系是不是成立.
名师点拨
重点:特殊平行四边形的性质和判定的应用.
难点:以特殊平行四边形为对象,进行图形变换(如旋转、翻折等),以及将图形问题与函数、方程综合应用的问题.
提分策略
1. 在特殊平行四边形的背景中,探究与三角形相关的问题.
以特殊平行四边形为原型,通过图形变换,构造出特殊三角形,提出与三角形相关的问题,解决此类问题的关键是适时添加辅助线,将四边形的问题转化为三角形的问题.
【例1】 如图,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,EH=12厘米,EF=16厘米,则边AD的长是( ).
A. 12厘米 B. 16厘米
C. 20厘米 D. 28厘米
【解析】 本题考查的是翻折变换及勾股定理、全等三角形的判定与性质,解答此题的关键是作出辅助线,构造出全等三角形,再根据直角三角形及全等三角形的性质解答.我们先求出△EFH是直角三角形,再根据勾股定理求出FH=20,再利用全等三角形的性质解答即可.
【答案】 设斜线上两个点分别为P,Q,如图.
∵ 点P是点A对折过去的,
∴ ∠EPH为直角,△AEH≌△PEH.
∴ ∠HEA=∠HEP.
同理∠PEF=∠BEF.
∴ ∠PEH+∠PEF=90°.
∴ 四边形EFGH是矩形.
∴ △DHG≌△BFE,△HEF是直角三角形.
∴ BF=DH=PF.
∵ AH=HP,
∴ AD=HF.
∵ EH=12cm,EF=16 cm,
∴ FH===20(cm).
∴ FH=AD=20cm.
故选C.
2. 以三角形为基本图形,通过图形变换构造四边形问题.
以三角形为起点,经历图形变换形成较为复杂的图形,提出与四边形相关的问题,解决此类问题的关键是明确四边形的形成过程,从而根据四边形的边、角及对角线的特性去判定四边形的形状.
【例2】 如图,已知△ABC,按如下步骤作图:
①分别以A,C为圆心,以大于AC的长为半径在AC两边作弧,交于两点M,N;
②连接MN,分别交AB,AC于点D,O;
③过C作CE∥AB交MN于点E,连接AE,CD.
(1)求证:四边形ADCE是菱形;
(2)当∠ACB=90°,BC=6,△ADC的周长为18时,求四边形ADCE的面积.
【解析】 此题主要考查了菱形的判定以及对角线垂直的四边形面积求法,根据已知得出△ADO∽△ABC,进而求出AO的长是解题关键.
(1)利用直线DE是线段AC的垂直平分线,得出AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°,进而得出△AOD≌△COE,即可得出四边形ADCE是菱形.
(2)利用当∠ACB=90°时,OD∥BC,即有△ADO∽△ABC,即可得出AC和DE的长即可得出四边形ADCE的面积.
【答案】 (1)由题意,知
直线DE是线段AC的垂直平分线,
∴ AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°,
且 AD=CD,AO=CO.
又 CE∥AB,
∴ ∠ADO=∠CEO.
∴ △AOD≌△COE.
∴ OD=OE.
∴ 四边形ADCE是菱形.
(2)当∠ACB=90°时,
∵ OD∥BC,
∴ △ADO∽△ABC.
又 BC=6,
∴ OD=3.
又 △ADC的周长为18,
∴ AD+AO=9,
即 AD=9-AO.
∴ AO=4.
∴ DE=6,AC=8.
3. 利用菱形、正方形的对称性进行解题.
求线段和的最小值问题,就是利用轴对称的性质,解决的方法是先确定一点关于直线的对称点,连接另一点与对称点,即可得到线段和的最小值,而在“确定一点关于直线的对称点”时,就是利用了菱形、正方形的对称性.
【例3】 如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M,N分别是边AB,BC的中点,则PM+PN的最小值是 .
【解析】 由对角线是6和8,知菱形边长为5,作M关于AC的对称点M',连接M'N交AC于点P,则此时PM+PN和最小为线段M'N的长,此时M'N=AB=5.
【答案】 5
4. 与正方形相关的综合性问题.
由于正方形的特殊性质,可以借助正方形进行运动变化,从而使问题具有较强的探究性,也可以与方程、函数联系起来,即用方程或函数研究图形问题.
【例4】 已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°, ∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N,AH⊥MN于点H.
(1)如图(1),当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系: ;
(2)如图(2),当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;
(3)如图(3),已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论)
【解析】 (1)由三角形全等可以证明AH=AB.
(2)延长CB至E,使BE=DN,证明△AEM≌△ANM,能得到AH=AB.
(3)分别沿AM,AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,然后分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3,在Rt△MCN中,由勾股定理,解得x.
【答案】 (1)AH=AB.
(2)数量关系成立.如图(4),延长CB至E,使BE=DN.
∵ ABCD是正方形,
∴ AB=AD,∠D=∠ABE=90°.
∴ Rt△AEB≌Rt△AND.
∴ AE=AN,∠EAB=∠NAD.
∴ ∠EAM=∠NAM=45°.
∵ AM=AM,
∴ △AEM≌△ANM.
∵ AB,AH是△AEM和△ANM对应边上的高,
∴ AB=AH.
(4)
(5)
(3)如图(5)分别沿AM,AN翻折△AMH和△ANH, 得到△ABM和△AND.
∴ BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°.
分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD.
由(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD.
设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3.
在Rt△MCN中,由勾股定理,得
MN2=MC2+NC2.
∴ 52=(x-2)2+(x-3)2.
解得x1=6,x2=-1(不符合题意,舍去).
∴ AH=6.
专项训练
一、 选择题
1. (2014·江苏常熟二模)如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6cm, 8cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是( ).
(第1题)
(第2题)
2. (2014·广西梧州模拟)如图,矩形纸片ABCD中,AD=4,CD=3,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,折痕为AE,记与点B重合的点为F,则△CEF的面积与矩形纸片ABCD的面积的比为( ).
