中考数学专题复习(3) 特殊四边形

特殊的四边形（矩形、菱形）一、选择题1．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．B．C．D．不确定2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（）A．20° B．40° C．80° D．100°3．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC上的三等分点，则S△BEF为（）A．8 B．12 C．16 D．244．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（）A．85° B．90° C．95° D．100°5．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对6．如图，矩形ABCD的周长为68，它被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）A．98 B．196 C．280 D．2847．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A． B．C．D．68．如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′=36°，则∠NFD′等于（）A．144°B．126°C．108°D．72°9．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）A．1 B．2 C．D．10．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．111．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A′、D′处，则整个阴影部分图形的周长为（）A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm12．下列识别图形不正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形13．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（）A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°14．直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，则斜边中线的长是（）A．26 B．13 C．30 D．6.515．将一个矩形的纸对折两次，沿图中虚线将一角剪掉再打开后，得到的图形为（）A．B．C．D．16．菱形一条对角线长为8m，周长为20m，则其面积为（）A．40m2B．20m2C．48m2D．24m217．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形18．已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（）A．AD平分∠BAC B．AB=AC且BD=CD C．AD为中线D．EF⊥AD二、填空题19．矩形ABCD中，对角线AC=10cm，AB：BC=3：4，则它的周长是cm．20．矩形ABCD的两条对角线相交于点O，如果矩形的周长是34cm，又△AOB的周长比△ABC的周长少7cm，则AB= cm，BC= cm．21．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=110°，则∠OAB= 度．22．如图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则∠FAC= 度，∠FCA= 度．23．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F，线段DF与图中的哪一条线段相等？先将猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．即DF= ．（写出一条线段即可）24．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形．若∠CED′=56°，则∠AED的大小是°．25．菱形ABCD的周长为36，其相邻两内角的度数比为1：5，则此菱形的面积为．26．已知菱形的两条对角线长为6cm和8cm，菱形的周长是cm，面积是cm2．27．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是．28．已知菱形的两条对角线的长分别是4cm和8cm，则它的边长为cm．29．若四边形ABCD是平行四边形，使四边形ABCD是菱形，请补充条件（写一个即可）．30．已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为．31．已知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为AD中点，AB=6cm，P为AC上任一点．求PE+PD的最小值是．32．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是．33．已知四边形ABCD为平行四边形，要使四边形ABCD为菱形，还应添加条件．34．用两张对边平行的纸条交叉重叠放在一起，则四边形ABCD为；两张纸条互相垂直时，四边形ABCD 为；若两张纸条的宽度相同，则四边形ABCD为．三、解答题35．如图1中的矩形ABCD，沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平行移动，得到图2．在图2中，△ADC≌△C′BA′，AC∥A′C′，A′B∥DC．除△DAC与△C′BA′外，指出有哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）？选择其中一对加以证明．36．如图，在▱ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得到△AB′C．（1）以A，C，D，B′为顶点的四边形是矩形吗（请填“是”、“不是”或“不能确定”）；（2）若四边形ABCD的面积S=12cm2，求翻转后纸片重叠部分的面积，即S△ACE= cm2．37．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，那么MN⊥BD成立吗？试说明理由．38．如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2020厘米后停下，则这只蚂蚁停在点．39．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．特殊的四边形（矩形、菱形）参考答案与试题解析一、选择题1．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．B．C．D．不确定【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题；动点型．【分析】过P点作PE⊥AC，PF⊥BD，由矩形的性质可证△PEA∽△CDA和△PFD∽△BAD，根据和，即和，两式相加得PE+PF=，即为点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．【解答】解：法1：过P点作PE⊥AC，PF⊥BD∵矩形ABCD∴AD⊥CD∴△PEA∽△CDA∴∵AC=BD==5∴…①同理：△PFD∽△BAD∴∴…②∴①+②得：∴PE+PF=即点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是．法2：连结OP．∵AD=4，CD=3，∴AC==5，又∵矩形的对角线相等且互相平分，∴AO=OD=2.5cm，∴S△APO+S△POD=×2.5•PE+×2.5•PF=×2.5（PE+PF）=×3×4，∴PE+PF=．故选：A．【点评】根据矩形的性质，结合相似三角形求解．2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（）A．20° B．40° C．80° D．100°【考点】矩形的性质．【专题】计算题．【分析】根据矩形的性质，得△BOC是等腰三角形，再由等腰三角形的性质进行答题．【解答】解：图形中∠1=40°，∵矩形的性质对角线相等且互相平分，∴OB=OC，∴△BOC是等腰三角形，∴∠OBC=∠1，则∠AOB=2∠1=80°．故选C．【点评】本题主要考查了矩形的性质，对角线相等且互相平分，矩形被对角线分成四个等腰三角形．3．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC上的三等分点，则S△BEF为（）A．8 B．12 C．16 D．24【考点】矩形的性质．【专题】压轴题．【分析】要求S△BEF只要求出底边EF以及EF边上的高就可以，高可以根据△ABC的面积得到，EF=AC，根据勾股定理得到AC，就可以求出EF的长，从而求出△EFG的面积．【解答】解：S△ABC=×8×6=24．又E、F是AC上的三等分点．∴S△BEF=S△ABC=8．故选A．【点评】本题运用了勾股定理，已知直角三角形的两直角边，求斜边上的高，这类题的解决方法是需要熟记的内容．4．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（）A．85° B．90° C．95° D．100°【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质：对应角相等，对应的线段相等，可得．【解答】解：根据图形，可得：∠EMB′=∠EMB，∠FMB′=∠FMC，∵∠FMC+∠FMB′+∠EMB′+∠BME=180°，∴2（∠EMB′+∠FMB′）=180°，∵∠EMB′+∠FMB′=∠FME，∴∠EMF=90°．故选B．【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．5．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【考点】矩形的性质．【专题】压轴题．【分析】本题考查了矩形的性质，得出△EPD≌△HDP，则S△EPD=S△HDP，通过对各图形的拼凑，得到的结论．【解答】解：在矩形ABCD中，∵EF∥AB，AB∥DC，∴EF∥DC，则EP∥DH；故∠PED=∠DHP；同理∠DPH=∠PDE；又PD=DP；所以△EPD≌△HDP；则S△EPD=S△HDP；同理，S△GBP=S△FPB；则（1）S梯形BPHC=S△BDC﹣S△HDP=S△ABD﹣S△EDP=S梯形ABPE；（2）S□AGPE=S梯形ABPE﹣S△GBP=S梯形BPHC﹣S△FPB=S□FPHC；（3）S梯形FPDC=S□FPHC+S△HDP=S□AGPE+S△EDP=S梯形GPDA；（4）S□AGHD=S□AGPE+S□HDPE=S□PFCH+S□PHDE=S□EFCD；（5）S□ABFE=S□AGPE+S□GBFP=S□PFCH+S□GBFP=S□GBCH故选C．【点评】本题是一道结论开放题，掌握矩形的性质，很容易得到答案．6．如图，矩形ABCD的周长为68，它被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）A．98 B．196 C．280 D．284【考点】矩形的性质．【专题】计算题．【分析】等量关系为：5个小矩形的宽等于2个小矩形的长；6个小矩形的宽加一个小矩形的长等于大长方形周长的一半．【解答】解：设小矩形宽为x，长为y．则大矩形长为5x或2y，宽为x+y．依题意有x+y+5x==34；5x=2y．解得：x=4，y=10．则大矩形长为20，宽为14．所以大矩形面积为280．故选C．【点评】本题考查了矩形的面积和一种很重要的思想：方程思想．7．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A． B．C．D．6【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．【解答】解：∵△CEO是△CEB翻折而成，∴BC=OC，BE=OE，∠B=∠COE=90°，∴EO⊥AC，∵O是矩形ABCD的中心，∴OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6，∴AE=CE，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即62=AB2+32，解得AB=3，在Rt△AOE中，设OE=x，则AE=3﹣x，AE2=AO2+OE2，即（3﹣x）2=32+x2，解得x=，∴AE=EC=3﹣=2．故选：A．【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．8．如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′=36°，则∠NFD′等于（）A．144°B．126°C．108°D．72°【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】计算题．【分析】根据∠A MD′=36°和折叠的性质，得∠NMD=∠NMD′=72°；根据平行线的性质，得∠BNM=∠NMD=72°；根据折叠的性质，得∠D′=∠D=90°；根据四边形的内角和定理即可求得∠NFD′的值．【解答】解：∵∠AMD′=36°，∴∠NMD=∠NMD′=72°．∵AD∥BC，∴∠BNM=∠NMD=72°．又∵∠D′=∠D=90°，∴∠NFD′=360°﹣72°×2﹣90°=126°．故选B．【点评】此题综合运用了折叠的性质、平行线的性质、四边形的内角和定理．9．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）A．1 B．2 C．D．【考点】菱形的性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据题意可知，AC=2BC，∠B=90°，所以根据勾股定理可知AC2=AB2+BC2，即（2BC）2=32+BC2，从而可求得BC的长．【解答】解：∵AC=2BC，∠B=90°，∴AC2=AB2+BC2，∴（2BC）2=32+BC2，∴BC=．故选：D．【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．10．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】连BH，根据折叠的性质得到∠1=∠2，EB=EH，BH⊥EG，则∠EBH=∠EHB，又点E是AB的中点，得EH=EB=EA，于是判断△AHB为直角三角形，且∠3=∠4，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，因此有∠1=∠2=∠3=∠4．【解答】解：连BH，如图，∵沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，∴∠1=∠2，EB=EH，BH⊥EG，而∠1＞60°，∴∠1≠∠AEH，∵EB=EH，∴∠EBH=∠EHB，又∵点E是AB的中点，∴EH=EB=EA，∴△AHB为直角三角形，∠AHB=90°，∠3=∠4，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4．故选B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了若三角形一边上的中线等于这边的一半，则此三角形为直角三角形．11．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A′、D′处，则整个阴影部分图形的周长为（）A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】延长A1E交CD于点G，由题意知GE=EH，FH=GF，则阴影部分的周长与原矩形的周长相等．【解答】解：延长A1E交CD于点G，由题意知，GE=EH，FH=GF，四边形EHD1A1≌四边形EGDA，∴AD=A1D1，AE=A1E，DG=D1H，FH=FG，∴阴影部分的周长=矩形的周长=（12+6）×2=36cm．故选：B．【点评】本题利用了翻折的性质：对应图形全等，对应边相等．12．下列识别图形不正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判定．【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；B、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；C、对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形，错误；D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确．故选C．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判定．13．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（）A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°【考点】矩形的判定．【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．【解答】解：A、一个角为直角的平行四边形为矩形，故A正确．B、矩形的对角线平分且相等，故B正确．C、∠BCD+∠ADC=180°，但∠BCD不一定与∠ADC相等，根据矩形的判定定理，故C不正确．D、因为∠BAD=∠BCD，故AB∥CD，又因为，∠ABC=∠ADC=90°，根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故D正确．故选C．【点评】本题考查的是矩形的判定定理，但考生应注意的是由矩形的判定引申出来的各图形的判定．难度一般．14．直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，则斜边中线的长是（）A．26 B．13 C．30 D．6.5【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【分析】由勾股定理可以求出斜边，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可以求出斜边中线的长．【解答】解：由勾股定理知，斜边c==13，∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半知，∴斜边中线的长=×13=6.5．故选D．【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半．15．将一个矩形的纸对折两次，沿图中虚线将一角剪掉再打开后，得到的图形为（）A．B．C．D．【考点】剪纸问题．【分析】根据题意知，对折实际上就是对称，对折两次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，从而可以得到剪下的图形展开后一定是菱形．【解答】解：根据题意折叠剪图可得，剪下的四边形四条边相等，根据四边形等的四边形是菱形可得剪下的图形是菱形，故选：A．【点评】此题考查了剪纸问题，关键是掌握菱形的判定方法：四边形等的四边形是菱形．16．菱形一条对角线长为8m，周长为20m，则其面积为（）A．40m2B．20m2C．48m2D．24m2【考点】菱形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】菱形对角线互相垂直平分，所以OA2+OB2=AB2，根据已知可得AB=5，BO=4，利用勾股定理求得AO，即可求得AC的长，根据AC、BD即可求菱形ABCD的面积，即可解题．【解答】解：根据题意可得：BD=8m，则BO=DO=4m，∵菱形周长为20m，∴AB=5m，∵菱形对角线互相垂直平分，∴OA2+OB2=AB2，∴AO==3（m），∴AC=6（m），故菱形的面积S=×6×8=24（m2）．故选D．．【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形面积的计算，本题中根据勾股定理求AO的值是解题的关键．17．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【考点】菱形的判定；作图—复杂作图．【分析】关键菱形的判定定理（有四边都相等的四边形是菱形）判断即可．【解答】解：由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，∴四边形ABCD是菱形，故选：B．【点评】本题主要考查对作图﹣复杂作图，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．18．已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（）A．AD平分∠BAC B．AB=AC且BD=CD C．AD为中线D．EF⊥AD【考点】菱形的判定．【专题】几何图形问题．【分析】首先根据题意画出图形，然后由DE∥AC、DF∥AB，判定四边形DEAF为平行四边形，再由菱形的判定定理求解即可求得答案；注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：如图，∵DE∥AC、DF∥AB，∴四边形DEAF为平行四边形，A、∵AD平分∠BAC，DF∥AB，∴∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠ADF，∴∠CAD=∠ADF，∴AF=DF，∴四边形DEAF为菱形；B、∵AB=AC且BD=CD，∴AD平分∠BAC，同理可得：四边形DEAF为菱形；C、∵由AD为中线，得不到AD平分∠BAC，证不出四边形DEAF的邻边相等，∴不能判断四边形DEAF为菱形；D、∵AD⊥EF，∴▱DEAF是菱形．故选C．【点评】此题考查了菱形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题19．矩形ABCD中，对角线AC=10cm，AB：BC=3：4，则它的周长是28 cm．【考点】矩形的性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据矩形的一组邻边和一条对角线组成一个直角三角形，解题即可．【解答】解：根据矩形的性质得到△ABC是直角三角形，因为对角线AC=10cm，AB：BC=3：4，根据勾股定理得到BC2=AC2﹣（BC）2=100﹣BC2解得BC=8，AB=6，故它的周长=2×8+2×6=28cm．故答案为28．【点评】本题考查对矩形的性质以及勾股定理的运用．20．矩形ABCD的两条对角线相交于点O，如果矩形的周长是34cm，又△AOB的周长比△ABC的周长少7cm，则AB= 10 cm，BC= 7 cm．【考点】矩形的性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据矩形的对边相等以及所给的三角形的周长可得到和所求线段相关的两个式子，进而求解．【解答】解：设AB=a，BC=b．∴2OA=2OB=AC=，2a+2b=34，即a+b=17．由题意可知△AOB的周长+7=△ABC的周长．∴AB+OA+OB+7=AB+BC+AC．∴a++7=a+b+．即b=7，a=17﹣7=10．即AB=10，BC=7．故答案为，10，7．【点评】本题综合考查了矩形的性质及勾股定理的运用．21．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=110°，则∠OAB= 35 度．【考点】矩形的性质；三角形内角和定理．【专题】计算题．【分析】根据矩形对角线的性质得到△OAB的形状，进而求得底角的度数．【解答】解：∵矩形的对角线相等且互相平分．∴OA=OC．∴△AOB是等腰三角形．∴∠OAB=∠OBA．∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°．∴2∠OAB+110°=180°．∴∠O AB=35°．故答案为35．【点评】本题考查矩形的性质以及三角形内角和定理．22．如图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则∠FAC= 90 度，∠FCA= 45 度．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案所构成的△AFG≌△CAB，所以AF=AC，∠FAC=90°，∠FCA=45度．【解答】解：由已知△AFG≌△CAB，∴∠AFG=∠CAB，AF=AC∵∠AFG+∠FAG=90°，∴∠CAB+∠FA G=90°，∴∠FAC=90°．又∵AF=AC，∴∠FCA=（180°﹣90°）×=45°．故答案为：90；45．【点评】根据矩形的性质得到全等三角形，进而求得△AFC是等腰直角三角形．23．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F，线段DF与图中的哪一条线段相等？先将猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．即DF= BE ．（写出一条线段即可）【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据矩形的性质得出AD∥BC，推出∠AFD=∠B，推出∠DAF=∠AEB，根据全等三角形的判定推出△AFD≌△EBA即可．【解答】解：DF=BE，理由是：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE，∴∠B=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠DAF=∠AEB，在△AFD和△EBA中∴△AFD≌△EBA（AAS），∴DF=BE，故答案为：DF=BE．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△AFD≌△EBA，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对边平行．24．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形．若∠CED′=56°，则∠AED的大小是62 °．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题；操作型．【分析】易得∠DED′的度数，除以2即为所求角的度数．【解答】解：∵∠CED′=56°，∴∠DED′=180°﹣56°=124°，∵∠AED=∠AED′，∴∠AED=∠DED′=62°．故答案为：62．【点评】考查翻折变换问题；用到的知识点为：翻折前后得到的角相等．25．菱形ABCD的周长为36，其相邻两内角的度数比为1：5，则此菱形的面积为40.5 ．【考点】菱形的性质．【分析】根据相邻两内角的度数比为1：5，可求出一个30°角，根据周长为36，求出菱形的边长，根据直角三角形里30°角的性质求出高，从而求出面积．【解答】解：作AE⊥BC于E点，∵其相邻两内角的度数比为1：5，∴∠B=180°×=30°，∵菱形ABCD的周长为36，∴AB=BC=×36=9．∴AE=×9=．∴菱形的面积为：BC•AE=9×=40.5．故答案为：40.5．【点评】本题考查菱形的性质，菱形的邻角互补，四边相等．26．已知菱形的两条对角线长为6cm和8cm，菱形的周长是20 cm，面积是24 cm2．【考点】菱形的性质；勾股定理．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可得到其面积，根据菱形的性质可求得其边长，从而可得到其周长．【解答】解：如图，四边形ABCD是菱形，BD，AC分别是其对角线且BD=6，AC=8，求其面积和周长．∵四边形ABCD是菱形，BD，AC分别是其对角线，∴BD⊥AC，BO=OD=3cm，AO=CO=4cm，∴AB=5cm，∴菱形的周长=5×4=20cm；S菱形=×6×8=24cm2．故本题答案为：20cm；24cm2．【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．27．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是AC⊥BD ．【考点】中点四边形．【分析】根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直．【解答】解：如图，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形；要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，即AC⊥BD；故答案为：AC⊥BD．【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理的运用．同时熟记此题中的结论：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．28．已知菱形的两条对角线的长分别是4cm和8cm，则它的边长为2cm．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】根据菱形的性质及勾股定理即可求得其边长的值．【解答】解：菱形的两条对角线分别是4cm，8cm，得到两条对角线相交所构成的直角三角形的两直角边是×4=2和×8=4，那么根据勾股定理得到它的斜边即菱形的边长=2cm．故答案为2【点评】本题考查菱形的性质以及勾股定理．29．若四边形ABCD是平行四边形，使四边形ABCD是菱形，请补充条件此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD 等（写一个即可）．【考点】菱形的判定．【专题】开放型．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定定理求解即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD或AB=AD时，四边形ABCD是菱形．故答案为：此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等．【点评】此题考查了菱形的判定．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键．30．已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为或．【考点】菱形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论．【解答】解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，∵AD=AB，DP=BP，∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），在直角△ABM中，∠BAM=30°，∴AM=AB•cos30°=3，BM=AB•sin30°=3，∴PM==，∴AP=AM+PM=4；当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点MAP=AM﹣PM=2；当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2矛盾，舍去．AP的长为4或2．故答案为4或2．【点评】本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系AP⊥BD，这是解决本题的关键．31．已知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为AD中点，AB=6cm，P为AC上任一点．求PE+PD的最小值是3．【考点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据菱形的性质，可得AC是BD的垂直平分线，可得AC上的点到D、B点的距离相等，连接BE交AC与P，可得答案．【解答】解：∵菱形的性质，∴AC是BD的垂直平分线，AC上的点到B、D的距离相等．连接BE交AC于P点，PD=PB，PE+PD=PE+PB=BE，在Rt△ABE中，由勾股定理得BE==3，故答案为：3．【点评】本题考查了轴对称，对称轴上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．32．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 5 ．【考点】轴对称﹣最短路线问题；勾股定理；菱形的性质．【专题】计算题．【分析】AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，根据菱形的性质推出N是AD中点，P与O重合，推出PE+PF=NF=AB，根据勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，∴PN=PE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，∵E为AB的中点，∴N在AD上，且N为AD的中点，∵AD∥CB，∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP，。

板块八【四边形中考】2022年长沙中考板块精炼【高频考点】1.多边形的内角和与外角和的关系与计算；2.特殊四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及综合应用；【真题训练】一、选择题1.（2021常德）一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为（）A．9B．10C．11D．122.（2021株洲）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝（）A．38°B．48°C．58°D．66°3. （2021北京）下列多边形中，内角和最大的是（）A．B．C．D．4.（2021株洲）如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠F AI＝（）A．10°B．12°C．14°D．15°5.（2021娄底）如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6. （2021福建）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（）A．108°B．120°C．126°D．132°7.（2021湘西）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CD，交AD于点F，如果EF＝5.5，那么菱形ABCD的周长是（）A．11B．22C．33D．448. （2021安徽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）A．3B．2+23C．3D．1+239.（2021常德）如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于P．则下列结论成立的是（）A．BE＝12AE B．PC＝PD C．∠EAF+∠AFD＝90°D．PE＝EC10.（2021怀化）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数33yx（x＞0）的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为（）A．ME＝53B．ME＝43C．ME＝1D．ME＝2311.（2021郴州）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．12.（2021衡阳）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③二、填空题13.（2021益阳）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是（限填序号）．14.（2021长沙）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则BC的长为.15. （2021邵阳）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE＝45，AD＝4，则AB的长为．16.（2021衡阳）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O—A—D —O，点Q的运动路线为O—C—B—O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A—D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米．17.（2021张家界）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，若DE＝DP＝1，PC＝6．下列结论：①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③点C到直线DE的距离为6；④S正方形ABCD＝5+22，其中正确结论的序号为．18.（2021北京）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．19.（2021湘潭）如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是边AB 的中点．已知BC ＝10，则OE ＝ ．20.（2021兰州）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3．①以点A 为圆心，以不大于AB 长为半径作弧，分别交边AD ，AB 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，以大于12EF 长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 分别交BD ，BC 于点O ，Q ；②分别以点C ，Q 为圆心，以大于12CQ 长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 交AP 于点G ，则OG 长为 ．三、解答题21.（2021长沙）如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△OAB 是等边三角形，AB ＝4.(1)求证：□ABCD 是矩形； (2)求AD 的长.O QP E D22.（2021怀化）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，AE＝CF．求证：（1）△ADE≌△CBF；（2）ED∥BF．23. （2021湘潭）如图，矩形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折后，点B 恰好落在对角线AC的中点F上．（1）证明：△AEF≌△CEF；（2）若AB＝3，求折痕AE的长度．23.（2021株洲）如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE＝BF＝2．（1）求证：四边形BFED是平行四边形；（2）若tan∠ABD＝23，求线段BG的长度．24.（2021郴州）如图，四边形ABCD中，AB＝DC，将对角线AC向两端分别延长至点E，F，使AE＝CF．连接BE，DF，若BE＝DF．证明：四边形ABCD是平行四边形．25. （2021衡阳）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．26.（2021邵阳）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．（1）证明：△ADE≌△CBF．（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．27.（2021岳阳）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是；（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．28.（2021张家界）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α ＜120°），所得的直线l分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当旋转角α为多少度时，四边形AFCE为菱形？试说明理由．29.（2020长沙）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F.(1)求证：△ABF∽△FCE；(2)若AB＝23，AD＝4，求EC的长；(3)若AE－DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠F AE＝β.求tanα＋tanβ的值．板块八【四边形中考】2022年长沙中考板块精炼【答案或简析】【高频考点】1.多边形的内角和与外角和的关系与计算；2.特殊四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及综合应用；【真题训练】一、选择题1.（2021常德）一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为（）A．9B．10C．11D．12【答案或简析】D.2.（2021株洲）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝（）A．38°B．48°C．58°D．66°【答案或简析】B.3. （2021北京）下列多边形中，内角和最大的是（）A．B．C．D．【答案或简析】D.4.（2021株洲）如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠F AI＝（）A．10°B．12°C．14°D．15°【答案或简析】B.5.（2021娄底）如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案或简析】A.6. （2021福建）如图，点F在正五边形ABCDE的内部，△ABF为等边三角形，则∠AFC等于（）A．108°B．120°C．126°D．132°【答案或简析】C.7.（2021湘西）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CD，交AD于点F，如果EF＝5.5，那么菱形ABCD的周长是（）A．11B．22C．33D．44【答案或简析】D.8. （2021安徽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）A．3+3B．2+23C．2+3D．1+23【答案或简析】B.9.（2021常德）如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于P．则下列结论成立的是（）A．BE＝12AE B．PC＝PD C．∠EAF+∠AFD＝90°D．PE＝EC【答案或简析】C.10.（2021怀化）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，AE⊥BC于E点，交BD于M点，反比例函数33yx（x＞0）的图象经过线段DC的中点N，若BD＝4，则ME的长为（）A．ME＝53B．ME＝43C．ME＝1D．ME＝23【答案或简析】D.解：过N作y轴和x轴的垂线NG，NH，设N（b，a），∵反比例函数y＝33x（x＞0）的图象经过点N，∴ab 3，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，DO＝12BD＝2，∵NH⊥x轴，NG⊥y轴，∴四边形NGOH是矩形，∴NG∥x轴，NH∥y轴，∵N为CD的中点，∴DO•CO＝2a•2b＝4ab43∴CO23∴tan∠CDO＝33 OCDO．∴∠CDO＝30°，∴∠DCO＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝∠ABC＝2∠CDO＝60°，∠ACB＝∠DCO＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AE⊥BC，BO⊥AC，∴AE＝BO＝2，∠BAE＝30°＝∠ABO，∴AM＝BM，∴OM＝EM，∵∠MBE＝30°，∴BM＝2EM＝2OM，∴3EM＝OB＝2，∴ME＝23，故选：D．11.（2021郴州）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．【答案或简析】A.12.（2021衡阳）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【答案或简析】C.二、填空题13.（2021益阳）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是（限填序号）．【答案或简析】①.14.（2021长沙）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则BC的长为.【答案或简析】12.15. （2021邵阳）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE＝45，AD＝4，则AB的长为．【答案或简析】3.16.（2021衡阳）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O—A—D —O，点Q的运动路线为O—C—B—O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A—D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米．【答案或简析】23317.（2021张家界）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，若DE＝DP＝1，PC＝6．下列结论：①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③点C到直线DE的距离为6；④S正方形ABCD＝5+22，其中正确结论的序号为．【答案或简析】B.18.（2021北京）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．【答案或简析】例如AE=EC.19.（2021湘潭）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点．已知BC＝10，则OE＝．【答案或简析】5.20.（2021兰州）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3．①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于12EF 长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于12CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为．【答案或简析】524三、解答题21.（2021长沙）如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4.(1)求证：□ABCD是矩形；(2)求AD的长.【答案或简析】（1）证明：∵△AOB为等边三角形，OQPE D∴∠BAO ＝∠AOB ＝60°，OA ＝OB ， ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴OB ＝OD ＝12BD ，OA ＝OC ＝12AC ， ∴BD ＝AC ，∴▱ABCD 是矩形；（2）解：∵▱ABCD 是矩形， ∴∠BAD ＝90°， ∵∠ABO ＝60°，∴∠ADB ＝90°﹣60°＝30°， ∴AD ＝3AB ＝43．22. （2021怀化）已知：如图，四边形ABCD 为平行四边形，点E 、A 、C 、F 在同一直线上，AE ＝CF ．求证：（1）△ADE ≌△CBF ；（2）ED ∥BF ．【答案或简析】证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴DA ＝BC ，DA ∥BC ， ∴∠DAC ＝∠BCA ，∵∠DAC +∠EAD ＝180°，∠BCA +∠FCB ＝180°， ∴∠EAD ＝∠FCB ， 在△ADE 和△CBF 中，,,,AE CF EAD FCB AD CB ， ∴△ADE ≌△CBF （SAS ）；（2）由（1）知，△ADE ≌△CBF ， ∴∠E ＝∠F ， ∴ED ∥BF ．23. （2021湘潭）如图，矩形ABCD 中，E 为边BC 上一点，将△ABE 沿AE 翻折后，点B恰好落在对角线AC 的中点F 上． （1）证明：△AEF ≌△CEF ；（2）若AB ＝3，求折痕AE 的长度． 【答案或简析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，∵将△ABE 沿AE 翻折后，点B 恰好落在对角线AC 的中点F 上，∴∠AFE ＝∠B ＝90°，AF ＝CF ， ∵∠AFE +∠CFE ＝180°，∴∠CFE ＝180°﹣∠AFE ＝90°， 在△AEF 和△CEF 中，,,,AF CF AFE CFE EF EF ∠∠， ∴△AEF ≌△CEF （SAS ）．（2）解：由（1）知，△AEF ≌△CEF ， ∴∠EAF ＝∠ECF ，由折叠性质得，∠BAE ＝∠EAF ， ∴∠BAE ＝∠EAF ＝∠ECF ， ∵∠B ＝90°，∴∠BAC +∠BCA ＝90°， ∴3∠BAE ＝90°， ∴∠BAE ＝30°，在Rt △ABE 中，AB ＝3，∠B ＝90°，∴AE ＝32cos3032AB ．23.（2021株洲）如图所示，在矩形ABCD 中，点E 在线段CD 上，点F 在线段AB 的延长线上，连接EF 交线段BC 于点G ，连接BD ，若DE ＝BF ＝2． （1）求证：四边形BFED 是平行四边形； （2）若tan ∠ABD ＝23，求线段BG 的长度．【答案或简析】证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴DC ∥AB ， 又∵DE ＝BF ，∴四边形DEFB 是平行四边形； （2）∵四边形DEFB 是平行四边形， ∴DB ∥EF ， ∴∠ABD ＝∠F ，∴tan ∠ABD ＝tan F ＝23， ∴23BG BF ， 又∵BF ＝2， ∴BG ＝43．24.（2021郴州）如图，四边形ABCD 中，AB ＝DC ，将对角线AC 向两端分别延长至点E ，F ，使AE ＝CF ．连接BE ，DF ，若BE ＝DF ．证明：四边形ABCD 是平行四边形．【答案或简析】证明：在△BEA 和△DFC 中，,,,AB DC AE CF BE DF ∴△BEA ≌△DFC （SSS ）， ∴∠EAB ＝∠FCD ， ∴∠BAC ＝∠DCA ， ∴AB ∥DC ， ∵AB ＝DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．25. （2021衡阳）如图，点E 为正方形ABCD 外一点，∠AEB ＝90°，将Rt △ABE 绕A 点逆时针方向旋转90°得到△ADF ，DF 的延长线交BE 于H 点． （1）试判定四边形AFHE 的形状，并说明理由； （2）已知BH ＝7，BC ＝13，求DH 的长．【答案或简析】（1）四边形AFHE 是正方形，理由如下：由旋转得∠AEB =∠AED =90°，AE =AF ,∠DAF =∠EAB. ∴∠AFH =90°.∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DAB =90°，∴∠F AE =∠F AB +∠BAE =∠F AB +∠DAF =∠DAB =90°， ∴∠AEB =∠AFB =∠F AE =90°，∴四边形AFHE 是矩形. 又∵AE =AF ，∴四边形AFHE 是正方形. （2）连接BD ，由题意得，BC =CD =13, ∴在Rt △BCD 中，BD =22132CD CB .∵四边形AFHE 是正方形， ∴∠EHD =90°，∴∠DHB =90°， 在Rt △DHB 中，DH =22,BD BH又∵BH =7,∴DH =17.26.（2021邵阳）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE ＝CF ．连接DE ，DF ，BE ，BF ． （1）证明：△ADE ≌△CBF ． （2）若AB ＝4，AE ＝2，求四边形BEDF 的周长．【答案或简析】（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE ＝∠BCF ＝45°， 在△ADE 和△CBF 中，,,,AD BC DAE BCF AE CF ∠∠ ∴△ADE ≌△CBF （SAS ）． （2）解：∵AB ＝AD ＝42， ∴BD ＝228AB AD ，由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC ＝BD ＝8，DO ＝BO ＝4，OA ＝OC ＝4， 又AE ＝CF ＝2，∴OA ﹣AE ＝OC ﹣CF ， 即OE ＝OF ＝4﹣2＝2， 故四边形BEDF 为菱形． ∵∠DOE ＝90°， ∴DE ＝22224225DO EO ．∴4DE ＝85，故四边形BEDF 的周长为85．27.（2021岳阳）如图，在四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为点E ，F ． （1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF 为平行四边形，你添加的条件是 ；（2）添加了条件后，证明四边形AECF 为平行四边形．【答案或简析】解：（1）添加条件为：AE ＝CF ， 故答案为：AE ＝CF ；（2）证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴AE ∥CF ， ∵AE ＝CF ，∴四边形AECF 为平行四边形．28.（2021张家界）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠AOB ＝60°，对角线AC 所在的直线绕点O 顺时针旋转角α（0°＜ α ＜120°），所得的直线l 分别交AD ，BC 于点E ，F ． （1）求证：△AOE ≌△COF ；（2）当旋转角α为多少度时，四边形AFCE 为菱形？试说明理由．【答案或简析】 证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，AO ＝CO ， ∴∠AEO ＝∠CFO ， 在△AOE 和△COF 中，,,,AEO CFO AOE COF AO CO ∠∠∠∠， ∴△AOE ≌△COF （AAS ）；（2）当α＝90°时，四边形AFCE 为菱形， 理由：∵△AOE ≌△COF ， ∴OE ＝OF ， 又∵AO ＝CO ，∴四边形AFCE 为平行四边形， 又∵∠AOE ＝90°，∴四边形AFCE 为菱形．29.（2020长沙）在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，把△ADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F . (1)求证：△ABF ∽△FCE ；(2)若AB ＝23，AD ＝4，求EC 的长；(3)若AE －DE ＝2EC ，记∠BAF ＝α，∠F AE ＝β.求tan α＋tan β的值．【答案或简析】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠CEF ＋∠EFC ＝90°， ∵△AEF 由△AED 翻折得到， ∴∠AFE ＝∠D ＝90°， ∴∠AFB ＋∠EFC ＝90°， ∴∠CEF ＝∠AFB ， ∴△ABF ∽△FCE ； (2)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ＝23，AD ＝BC ＝4，设CE ＝x ，则DE ＝23－x ， ∵△AEF 由△AED 翻折得到， ∴AD ＝AF ＝4，DE ＝EF ＝23－x ，在Rt △ABF 中，BF ＝AF 2－AB 2＝42－（23）2＝2， ∴CF ＝BC －BF ＝4－2＝2，在Rt △CEF 中，EF 2＝CE 2＋CF 2，即(23－x )2＝x 2＋22， 解得x ＝233，即EC ＝233；(3)如解图，设EC ＝x ，DE ＝a ，则易得EF ＝a ，AB ＝a ＋x ， ∵AE －DE ＝2EC ，∴AE －a ＝2x ，即AE ＝2x ＋a ，由勾股定理得：AF ＝AE 2－EF 2＝（2x ＋a ）2－a 2＝4ax ＋4x 2， CF ＝EF 2－CE 2＝a 2－x 2，由(1)知∠CEF ＝∠AFB ，∴∠BAF ＝∠CFE ＝α，∴cos ∠BAF ＝AB AF ＝a ＋x 4ax ＋4x 2，cos ∠CFE ＝CFEF ＝a 2－x 2a ，∴a ＋x 4ax ＋4x2＝a 2－x 2a ， a ＋x4x （a ＋x ）＝（a ＋x ）（a －x ）a，a (a ＋x )＝(a ＋x )4x （a －x ）， a ＝4ax －4x 2， 整理得(a －2x )2＝0， ∴a ＝2x ，∴sin ∠CFE ＝CE EF ＝x a ＝x 2x ＝12，即∠CFE ＝∠BAF ＝α＝30°，∴∠DAF ＝60°， ∴∠EAF ＝β＝30°.∴tan α＋tan β＝tan 30°＋tan 30°＝233.。

2023年九年级中考数学复习：二次函数（特殊四边形问题）综合题1．已知抛物线()21=++4(0)2y a x m m am -≠过点()0,4A(1)若=2m ，求a 的值；(2)如图，顶点M 在第一象限内，B 、C 是抛物线对称轴l 上的两点，且MB MC =，在直线l 右侧以BC 为边作正方形BCDE ，点E 恰好在抛物线上．①求am 的值；①试判断点E 和点A 是否关于直线l 对称，如果对称，请说明理由，如果不对称，请举出反例．2．如图，抛物线y ＝ax 2-2x +c (a ≠0)与直线y ＝x +3交于A ，C 两点，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上一动点，且在直线AC 下方，当①ACP 的面积为6时，求点P 的坐标．（3）D 为抛物线上一点，E 为抛物线的对称轴上一点，请直接写出以A ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形时点D 的坐标．3．如图1，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接AC 和BC ，①OAC ＝60°．（1）求二次函数的表达式．（2）如图2，线段BC 上有M 、N 两动点（N 在M 上方），且MN 3P 是直线BC 下方抛物线上一动点，连接PC 、PB ，当①PBC 面积最大时，连接PM 、AN ，当MN 运动到某一位置时，PM +MN +NA 的值最小，求出该最小值．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AP ，将AP 绕着点A 逆时针旋转60°至AQ ．点E 为二次函数对称轴上一动点，点F 为平面内任意一点，是否存在这样的点E 、F ，使得四边形AEFQ 为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．4．直线3y x =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线2y ax 2x c =++经过点A ，B ，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为直线AB上方的抛物线上的一动点，求四边形APBO的面积的最大值；D为抛物线上的一点，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，（3）如图2，(2,3)∥轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四过H作HK y边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．5．综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值为______．（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N①当ANC面积最大时的P点坐标为______；最大面积为______．①点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．。

2022年中考数学：几何专题复习之特殊四边形专题（较难）一．选择题1．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，将△ACD沿对角线AC折叠得到△ACE，AE与BC交于点F，则下列说法正确的是（）A．当∠B＝90°时，则EF＝2B．当F恰好为BC的中点时，则▱ABCD的面积为12C．在折叠的过程中，△ABF的周长有可能是△CEF的2倍D．当AE⊥BC时，连接BE，四边形ABEC是菱形2．如图，E为正方形ABCD边CD上一点，连接BE，AC．若EC＝1，2∠ABE＝3∠ACB，则AB＝（）A．B．C．D．3．如图，点A、B在函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，且点A在点B的左侧过点A作AM⊥x轴，垂足为M，过点B作BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C，连接AB、MN．若△CMN和△ABC的面积分别为1和4，则k的值为（）A．4 B．4C．D．64．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB 的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．则正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．①③④D．②③④5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为边BC的中点，P为BD的一个动点，则PC+PE 的最小值是（）A．B．C．D．6．已知点M是平行四边形ABCD内一点（不含边界），设∠MAD＝θ1，∠MBA＝θ2，∠MCB＝θ3，∠MDC＝θ4．若∠AMB＝110°，∠CMD＝90°，∠BCD＝60°．则（）A．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝10°B．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝30°C．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝30°D．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝40°7．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．188．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．B．C．2 D．二．填空题9．如图，▱ABCD的面积为32，E，F分别为AB、AD的中点，则△CEF的面积为．10．如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．（1）若BE＝5，则正方形CEFG的面积为；（2）连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为．11．如图，菱形ABCD的边长为2，点E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF ＝BD＝2，设△BEF的面积为S，则S的取值范围是．12．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝6，E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点．连接EF，FM，则FM＝；线段EF的最大值为．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝7，连接BD，把线段BD绕点D逆时针方向旋转90°得线段DQ．在BC边上取点P，使BP＝2，连接PQ交DC延长线于点E，则线段DE长为．14．在三角形ABC中，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，AH⊥BC于点H，若∠DEF＝50°，则∠CFH＝．15．如图是一张三角形纸片，其中∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，从纸片上裁出一矩形，要求裁出的矩形的四个顶点都在三角形的边上，其面积为2，则该矩形周长的最小值＝．16．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3，BC＝5，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形ACN，连接MN，D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，则四边形DEFG的周长为．17．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为．18．直线y＝a分别与直线y＝x和双曲线y＝交于D、A两点，过点A、D分别作x轴的垂线段，垂足为点B，C．若四边形ABCD是正方形，则a的值为．19．如图，矩形ABCD中，E为CD上一点，F为AB上一点，分别沿AE，CF折叠，D，B两点刚好都落在矩形内一点P，且∠APC＝120°，则AB：AD＝．20．如图，矩形ABCD中，点G是AD的中点，GE⊥CG交AB于E，BE＝BC，连接CE 交BG于F，则∠BFC等于．三．解答题21．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．（1）求证：AF∥CH．（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段PH的长．（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．22．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，设点P是∠DAB平分线上的一个动点（不与点A重合）．（1）证明：PD＝PE．（2）连接PC，求PC的最小值．（3）设点O是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P，使∠DPO＝90°？若存在，请直接写出AP的长．23．当k值相同时，我们把正比例函数y＝x与反比例函数y＝叫做“关联函数”．（1）如图，若k＞0，这两个函数图象的交点分别为A，B，求点A，B的坐标（用k表示）；（2）若k＝1，点P是函数y＝在第一象限内的图象上的一个动点（点P不与B重合），设点P的坐标为（m，），其中m＞0且m≠2．作直线PA，PB分别与x轴交于点C，D，则△PCD是等腰三角形，请说明理由；（3）在（2）的基础上，是否存在点P使△PCD为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，E是AD上一点，△ABE沿BE折叠，点A恰好落在线段CE上的点F处．（1）求证：CF＝DE．（2）设＝m．①若m＝，试求∠ABE的度数；②设＝k，试求m与k满足的关系．25．如图，正方形ABCD中，G是对角线BD上一个动点，连接AG，过G作GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分别为垂足（1）求证：GE+GF＝AB；（2）①写出GE、GF、AG三条线段满足的等量关系，并证明；②求当AB＝6，AG＝时，BG的长．26．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D两点重合），连接AE，作EF⊥AE于E，交直线CB于F．（1）如图1，当点F在线段CB上时，通过观察或测量，猜想△AEF的形状，并证明你的猜想；（2）如图2，当点F在线段CB的延长线上时，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若AE将△ABD的面积分成1：2的两部分，求AF：CF的值．27．如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点E，连接BE，作EF⊥BE交AD于点F．过点E作直线CD的对称点G，连接CG，DG，EG．（1）求证：△BEC≌△DGC；（2）求证：四边形FEGD为平行四边形；（3）若AB＝4，▱FEGD有可能成为菱形吗？如果可能，此时CE长；如果不可能，请说明理由．28．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．29．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AC上一点，点E，点F关于CD对称．（1）若ED∥CF，①求证：四边形ECFD是菱形．②若点E为AC的中点，求证：AD＝EF．（2）连接BD，BE，BF，若四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，求的值．30．（1）如图1，将一矩形纸片ABCD沿着EF折叠，CE交AF于点G，过点G作GH∥EF，交线段BE于点H．①判断EG与EH是否相等，并说明理由．②判断GH是否平分∠AGE，并说明理由．（2）如图2，如果将（1）中的已知条件改为折叠三角形纸片ABC，其它条件不变．①判断EG与EH是否相等，并说明理由．②判断GH是否平分∠AGE，如果平分，请说明理由；如果不平分，请用等式表示∠EGH，∠AGH与∠C的数量关系，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、如图1中，∵∠B＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠DAC＝∠CAE，∴∠ACF＝∠CAF，∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，在Rt△ABF中，则有x2＝62+（8﹣x）2，解得x＝，∴EF＝8﹣＝，故选项A不符合题意．B、如图2中，当BF＝CF时，∵AF＝CF＝BF，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴S平行四边形ABCD＝AB•AC＝6×2＝12，故选项B符合题意．C、在折叠过程中，△ABF与△EFC的周长相等，选项C不符合题意．D、如图3中，当AE⊥BC时，四边形ABEC是等腰梯形，选项D不符合题意．故选：B．2．解：如图，AC，BE交于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∵2∠ABE＝3∠ACB，∴∠ABE＝＝67.5°，∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠ABE＝∠AFB，∴AB＝AF，∵AB∥CE，∴∠ABF＝∠CEF＝67.5°，∵∠CFE＝∠AFB＝67.5°，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，设AB＝x，则AC＝x+1，在Rt△ABC中，AC＝，∴x+1＝，解得x＝+1，故选：B．3．解：设点M（a，0），N（0，b）∵AM⊥x轴，且点A在反比例函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，∴点A的坐标为（a，），BN⊥y轴，同理可得：B（，b）则点C（a，b）s△CMN＝＝ab＝1∴ab＝2∵AC＝，BC＝＝＝4即，且ab＝2（k﹣2）2＝16解得：k＝6，k＝﹣2（舍去）故选：D．4．解：连接FC，如图所示：∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，∴FA＝FB＝FC，∵△ACE是等边三角形，∴EA＝EC，∵FA＝FC，EA＝EC，∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．∵∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠EAF＝90°，∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，∴DF∥AE，DA∥EF，∴四边形ADFE为平行四边形而不是菱形；∵四边形ADFE为平行四边形，∴DA＝EF，AF＝2AG，∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝2AF＝4AG；在△DBF和△EFA中，，∴△DBF≌△EFA（SAS）；综上所述：①③④正确，故选：C．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴点A和点C关于BD对称，BC＝AB＝4，∵E为边BC的中点，∴BE＝BC＝2，连接AE交BD于P，则此时，PC+PE的值最小，PC+PE的最小值＝AE，∵AE＝＝＝2，∴PC+PE的最小值是2，故选：A．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∴∠BAM＝60°﹣θ1，∠DCM＝60°﹣θ3，∴△ABM中，60°﹣θ1+θ2+110°＝180°，即θ2﹣θ1＝10°①，△DCM中，60°﹣θ3+θ4+90°＝180°，即θ4﹣θ3＝30°②，由②+①，可得（θ4﹣θ3）+（θ2﹣θ1）＝40°，即θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝40°，故选：D．7．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，∴S阴＝8+8＝16，（本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题）故选：C．8．解：延长GH交AD于M点，如图所示：∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，∴CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG，∴DG＝CG﹣CD＝3﹣1＝2，∠HAM＝∠HFG，∵AF的中点H，∴AH＝FH，在△AMH和△FGH中，，∴△AMH≌△FGH（ASA）．∴AM＝FG＝1，MH＝GH，∴MD＝AD﹣AM＝3﹣1＝2，在Rt△MDG中，GM＝＝＝2，∴GH＝GM＝，故选：A．二．填空题（共12小题）9．解：连接AC、DE、BD，如图：∵E为AB中点，∴S△BCE＝S△ABC＝S平行四边形ABCD＝8，同理可得：S△CDF＝8，∵F为AD中点，∴S AEF＝S△AED＝S△ABD＝S平行四边形ABCD＝4，∴S△CEF＝S平行四边形ABCD﹣S△AEF﹣S△BCE﹣S△CDF＝32﹣8﹣8﹣4＝12；故答案为：12．10．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，∠A＝∠ADC＝90°，∵BE＝5，∴AE＝＝＝3，∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1，∴EC2＝DE2+CD2＝12+42＝17，∴正方形CEFG的面积＝EC2＝17．故答案为17．（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝，∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，∴S△DFG＝（x2+16）﹣×x×4＝x2﹣2x+8＝（x﹣2）2+6，∵＞0，∴x＝2时，△DFG的面积的最小值为6．故答案为6．11．解：∵菱形ABCD的边长为2，BD＝2，∴△ABD和△BCD都为正三角形，∴∠BDE＝∠BCF＝60°，BD＝BC，∵AE+DE＝AD＝2，而AE+CF＝2，∴DE＝CF，∴△BDE≌△BCF（SAS）；∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°，∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°，∴△BEF为正三角形；设BE＝BF＝EF＝x，则S＝•x•x•sin60°＝x2，当BE⊥AD时，x最小＝2×sin60°＝，∴S最小＝×（）2＝，当BE与AB重合时，x最大＝2，∴S最大＝×22＝，∴≤S≤．故答案为：≤S≤．12．解：连接EM，∵E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点，∴FM＝，EM＝，当EF＝EM+MF时，线段EF最大，即EF＝1+3＝4，故答案为：1；4．13．解：如图，过点Q作QH⊥CD于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝7，∵BP＝2，∴CP＝5，∵把线段BD绕点D逆时针方向旋转90°得线段DQ，∴BD＝DQ，∠BDQ＝90°，∴∠BDC+∠QDC＝90°，且∠BDC+∠DBC＝90°，∴∠QDC＝∠DBC，且BD＝DQ，∠BCD＝∠DHQ＝90°，∴△BDC≌△DQH（AAS）∴DC＝HQ＝5，BC＝DH＝7，∴CH＝DH﹣CD＝2，∵CP＝HQ＝5，∠PEC＝∠QEH，∠PCE＝∠QHE，∴△PCE≌△QHE（AAS）∴CE＝EH，且CH＝2，∴CE＝EH＝1，∴DE＝DC+CE＝5+1＝6，故答案为：6．14．解：∵点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，∴EF∥BC，DE∥AC（三角形的中位线的性质）又∵EF∥BC，∠DEF＝50°，∴∠DEF＝∠EDB＝50°（两直线平行，内错角相等），∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠FCH＝50°（两直线平行，同位角相等），又∵AH⊥BC，∴△AHC是直角三角形，∵HF是斜边上的中线，∴HF＝AC＝FC，∴∠FHC＝∠FCH＝50°．∴∠CFH＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故答案为：80°．15．解：①当矩形的其中一边在AC上时，如图1所示：设CE＝x，则BE＝3﹣x，∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴DE＝（3﹣x），∴S矩形DECF＝CE•DE＝x（3﹣x）＝2，整理得：x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，当x＝1时，该矩形周长＝（CE+DE）×2＝（1+2）×2＝4+2，当x＝2时，该矩形周长＝（CE+DE）×2＝2+4，∵（4+2）﹣（2+4）＝2﹣2＝2（﹣1）＞0，∴矩形的周长最小值为2+4；②当矩形的其中一边在AB上时，如图2所示：设CF＝x，则BF＝3﹣x，∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴FG＝2x，EF＝（3﹣x），∴S矩形DECF＝FG•EF＝2x•（3﹣x）＝2，整理得：x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，所以和（1）的结果一致，综上所述：矩形周长的最小值为2+4．故答案为：2+4．16．解：连接BN、CM，作NP⊥BC于P，如图所示：∵△ABM和△ACN是等边三角形，∴AB＝AM，AN＝AC＝CN＝3，∠BAM＝∠CAN＝∠ACN＝60°，∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，即∠CAM＝∠NAB，在△CAM和△NAB中，，∴△CAM≌△NAB（SAS），∴CM＝NB，∵D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，∴DG是△BMN的中位线，EF是△BCN的中位线，DE是△BCM的中位线，∴DG∥BN，DG＝BN，EF∥BN，EF＝BN，DE＝CM，∴DG∥EF，DG＝EF，DG＝DE，∴四边形DEFG是平行四边形，又∵DG＝DE，∴四边形DEFG是菱形，∴DE＝DG＝EF＝FG＝BN，∵∠BAC＝60°，∴∠NCP＝180°﹣∠ACB﹣∠ACN＝60°，∵NP⊥BC，∴∠CNP＝90°﹣60°＝30°，∴PC＝CN＝，PN＝PC＝，∴BP＝BC+PC＝5+＝，∴BN＝＝＝7，∴DE＝DG＝EF＝FG＝BN＝，∴四边形DEFG的周长＝4×＝14，故答案为：14．17．解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°＝4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝500°，∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°，故答案为：40°．18．解：∵直线y＝a分别与直线y＝x和双曲线y＝交于点D、A，∴A（，a），D（2a，a），当直线在x轴的正半轴时，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，即2a﹣＝a，解得a＝﹣1或a＝1．当直线在x轴的负半轴时，同理可得，2a﹣＝﹣a，解得a＝±．故答案为：±1或±．19．解：如图，设AD＝BC＝x．过点P作PH⊥AC于H．由翻折的性质可知，PA＝PC＝BC＝x，∵∠APC＝120°，PH⊥AC，∴AH＝CH，∠APH＝∠CPH＝60°，∴AC＝2AH＝2•PA•sin60°＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∴CD＝AB＝＝＝x，∴＝＝，故答案为：1．20．解：∵BE＝BC，∠ABC＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴∠BCE＝∠BEC＝45°，∵GE⊥CG，∴∠AGE+∠CGD＝90°，∵∠DCG+∠CGD＝90°，∴∠AGE＝∠DCG，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△AGE∽△DCG，∴，∵G是AD的中点，∴AG＝DG，∴，∵∠D＝∠CGE＝90°，∴△CDG∽△CGE，∴∠DCG＝∠GCE＝（90°﹣45°）＝22.5°，∵G是AD的中点，∴由矩形的对称性可知∠ABG＝∠DCG＝22.5°，由三角形的外角性质得，∠BFC＝∠ABG+∠BEC＝22.5°+45°＝67.5°．故答案为：67.5°．三．解答题（共10小题）21．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，又∵∠DAF+∠FAB＝∠EAB＝90°，∴∠ABE+∠FAB＝90°，∴∠APB＝90°，∴AF⊥BE，又∵CH⊥BE，∴AF∥CH；（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，AE＝2，∴BE＝＝＝4，∵S△ABE＝AB•AE＝BE•AP，∴AP＝＝，在Rt△ABP中，BP＝＝＝3，∵∠APB＝∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，∴∠ABP＝∠HCB，∵CH⊥BE，∴∠HCB＝90°，又∵AB＝BC，∴△ABP≌△BCH（AAS），∴BH＝AP＝，∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣．（3）解：在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，∵CH⊥BP，PH＝BH，∴CP＝BC，∴∠CBP＝∠CPB，∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，∴∠QPE＝∠QEP，在Rt△APE中，∠QAP＝∠QPA，∴QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，∵DC2+DQ2＝CQ2，∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，∴b2＝4ab，即b＝4a，∴＝4．22．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB＝90°，∵AP平分∠DAB，∴∠DAP＝∠EAP＝45°，在△DAP和△EAP中，，∴△DAP≌△EAP（SAS）∴PD＝PE；（2）解：如图1，作CP′⊥AP′于P′，则P′C最小，∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠EAP，∵∠DAP＝∠EAP，∴∠DAP＝∠DFA＝45°，∴FC＝DF＝AD＝2，∠P′FC＝45°，∴P′C＝FC×＝，∴PC的最小值为；（3）解：如图2，∵DF＝FC，OA＝OC，∴OF∥AD，∴∠DFO＝180°﹣∠ADF＝90°，∴当点P与点F重合时，∠DPO＝90°，此时，AP＝＝2，当点P在AF上时，作PG⊥AD于G，PH⊥AB于H，∵AP平分∠DAB，PG⊥AD，PH⊥AB，∴PG＝PH，设PG＝PH＝a，由勾股定理得，DP2＝（2﹣a）2+a2，OP2＝（2﹣a）2+（1﹣a）2，OD2＝5，当∠DPO＝90°时，DP2+OP2＝OD2，即（2﹣a）2+a2+（2﹣a）2+（1﹣a）2＝5，解得，a1＝2（舍去），a2＝，当a＝时，AP＝，综上所述，∠DPO＝90°时，AP＝2或．23．解：（1）∵两个函数图象的交点分别为A，B，∴，∴x2＝k2，∴x＝±k，∴点A坐标为（﹣k，﹣1），点B坐标（k，1），（2）∵k＝1，∴点A坐标为（﹣1，﹣1），点B坐标（1，1），∵点P的坐标为（m，），∴直线PA解析式为：y＝+，当y＝0时，x＝m﹣1，∴点C（m﹣1，0）同理可求直线PB解析式为：y＝﹣x+，当y＝0时，x＝m+1，∴点D（m+1，0）∴PD＝＝，PC＝＝，∴PC＝PD，∴△PCD是等腰三角形；（3）如图，过点P作PH⊥CD于H，∵△PCD为直角三角形，PH⊥CD，∴CD＝2PH，∴m+1﹣（m﹣1）＝2×∴m＝1，∴点P（1，1），∵点B（1，1），且点P是函数y＝在第一象限内的图象上的一个动点（点P不与B 重合），∴不存在点P使△PCD为直角三角形．24．（1）证明：由折叠的性质可知，∠BEA＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠EBC，∠BCF＝∠CED，∴∠BEF＝∠EBC，∴BC＝CE，∵∠BFC＝∠D＝90°，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴CF＝DE．（2）解：①由翻折可知BA＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，在Rt△BFC中，sin∠BCF＝＝＝＝，∴∠BCF＝60°，∴∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABF＝90°﹣30°＝60°，∵∠ABE＝∠FBE，∴∠ABE＝∠ABF＝30°．②∵＝k，＝m，∴AE＝kAD，AB＝mAD，∴DE＝AD﹣AE＝AD（1﹣k），在Rt△CED中，CE2＝CD2+DE2，即AD2＝（mAD）2+[AD（1﹣k）]2，整理得，m2＝2k﹣k2．25．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，∠ABD＝∠CDB＝∠CBD＝45°，AB＝BC＝CD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD，∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴△DGE和△BGF是等腰直角三角形，∴GE＝DG，GF＝BG，∴GE+GF＝（DG+BG）＝BD，∴GE+GF＝AB；（2）解：GE2+GF2＝AG2，理由如下：连接CG，如图所示：在△ABG和△CBG中，，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD＝90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CE＝GF，∴GE2+CE2＝CG2，∴GE2+GF2＝AG2；设GE＝x＝CF，则GF＝6﹣x＝BF，由勾股定理得：x2+（6﹣x）2＝（）2，∴x＝1或x＝5当x＝1时，∴BF＝GF＝5，∴BG＝＝＝5，当x＝5时，∴BF＝GF＝1，∴BG＝＝＝，26．解：（1）△AEF是等腰直角三角形，理由如下：过点E作直线MN∥AB，交AD于M，交BC于N，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，且MN∥AB，∴四边形ABNM和四边形MNCD都是矩形，△NEB和△MDE都是等腰直角三角形，∴AM＝BN，∠AME＝∠ENF＝90°，EN＝BN，∴AM＝EN，∵EF⊥AE，∴∠AEM+∠FEN＝∠AEM+∠EAM＝90°，∴∠EAM＝∠FEN，在△AME和△ENF中，，∴△AME≌△ENF（ASA），∴AE＝EF，∵AE⊥EF，∴△AEF是等腰直角三角形；（2）（1）中的结论还成立，理由如下：过点E作直线MN∥DC，交AD于M，交BC于N，如图2所示：由（1）同理可得：AM＝BN＝EN，∠EAM＝∠FEN，∵∠AME＝∠ENF＝90°，在△AME和△ENF中，，∴△AME≌△ENF（ASA）；∴AE＝EF，∵AE⊥EF，∴△AEF是等腰直角三角形；（3）分两种情况：①△ADE的面积：△ABE的面积＝1：2时，如图1所示：则BE＝2DE，设正方形ABCD的边长为3a，则BD＝3a，由（1）得：AE＝EF，ME＝NF，DM＝CN，△AEF、△NEB和△MDE都是等腰直角三角形，∴AF＝AE，BE＝BN＝2a，DE＝ME＝a，∴AM＝BN＝2a，CN＝NF＝DM＝ME＝a，∴CF＝NF+CN＝2a，AE＝＝＝a，∴AF＝AE＝a，∴＝＝；②△ADE的面积：△ABE的面积＝2：1时，如图2所示：则DE＝2BE，设正方形ABCD的边长为3a，则BD＝3a，同（1）得：AF＝AE，BE＝BN＝a，DE＝ME＝2a，∴AM＝BN＝a，CN＝NF＝DM＝ME＝2a，∴CF＝NF+CN＝4a，AE＝＝＝a，∴AF＝AE＝a，∴＝＝；综上所述，若AE将△ABD的面积分成1：2的两部分，则AF：CF的值为或．27．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCA＝∠DCA＝45°，AD∥DC，∵点E与点G关于直线CD对称，∴EC＝GC，∠DCG＝∠DCA＝45°，EG⊥CD，∴∠BCE＝∠DCG，在△BEC和△DGC中，，∴△BEC≌△DGC（SAS）；（2）证明：∵EG⊥CD，AD⊥DC，AD∥BC，∴EG∥DF∥BC，∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝45°，∴∠DGE＝∠DGC﹣45°，∵BE⊥EF，∴∠FEG＝360°﹣90°﹣45°﹣∠BEC＝225°﹣∠BEC，∵△BEC≌△DGC，∴∠DGC＝∠BEC，∴∠DGE+∠FEG＝∠DGC﹣45°+225°﹣∠BEC＝180°，∴EF∥DG，∴四边形FEGD为平行四边形；（3）解：过E作MN⊥AD于N，MN⊥BC于M，如图所示：则∠EBM+∠BEM＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEM+∠FEN＝90°，∴∠EBM＝∠FEN，∵BM＝AN，AN＝EN，∴BM＝EN，在△BME和△ENF中，，∴△BME≌△ENF（ASA），∴BE＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴BE＝DE，∴DE＝EF，当四边形GD为菱形时，DF＝EF，∴△DEF是等边三角形，∴∠EBM＝∠FEN＝∠FED＝30°，设CM＝x，则EM＝x，∵∠EBM＝30°，∴BM＝x，∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，∴BC＝BM+EM＝（+1）x＝4，解得：x＝2（﹣1），∴CE＝x＝2﹣2．28．（1）证明：连接MN，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，∴∠EAM＝∠FCN，AC＝＝＝5，∵M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，∴四边形ABNM是平行四边形，又∵∠B＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴MN＝AB＝3，在△AME和△CNF中，，∴△AME≌△CNF（SAS），∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，∴∠MEF＝∠NFE，∴EM∥FN，∴四边形EMFN是平行四边形，又∵AE＝CF＝1，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3，∴MN＝EF，∴四边形EMFN为矩形．（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：则四边形ABHM是矩形，∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝0.5，∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42，解得：x＝2±，∵0＜x＜2，∴x＝2﹣．29．（1）证明：①如解图1，∵点E，点F关于CD对称．∴DE＝DF；CE＝CF，OE＝OF，CD⊥EF，∴∠ECO＝∠FCO，∵ED∥CF，∴∠FCO＝∠EDO，∴∠ECO＝∠EDO，∴DE＝EC，∴DE＝DE＝EC＝CF，∴四边形ECFD是菱形．②由得①得四边形ECFD是菱形，∴EO＝OF＝，OD＝OC，又∵AE＝EC，∴OF＝．∴AD＝EF（2）解：四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，则有以下情况：Ⅰ．第一种情况：若∠BFD＝90°时，E、F、C三点重合，BF＝BE，即．Ⅱ．第二种情况：若∠BDF＝90°时，如解2，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BDC＝∠DBC＝45°，BE＝DE，∴∠FDC＝45°，∵E，点F关于CD对称，∴∠EDC＝45°，即E为AC与BD的交点，EF⊥CD，∴EF∥BC，∴∠DEF＝∠BDC＝45°，∴△EFD为等腰直角三角形，∴DF＝DE＝BE，在Rt△BDF中，BF＝＝，∴即＝．Ⅲ．点E为AC上一点，所以∠DBF＝90°不存在．综上所述：若四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，的值为1或．30．解：（1）①EG＝EH，理由如下：如图，∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴AF∥BE，且GH∥EF∴四边形GHEF是平行四边形∴∠GHE＝∠GFE∵将一矩形纸片ABCD沿着EF折叠，∴∠1＝∠GEF∵AF∥BE，GH∥EF∴∠1＝∠GFE，∠HGE＝∠GEF∴∠GEF＝∠HGE∴∠GHE＝∠HGE∴HE＝GE②GH平分∠AGE理由如下：∵AF∥BE∴∠AGH＝∠GHE，且∠GHE＝∠HGE ∴∠AGH＝∠HGE∴GH平分∠AGE（2）①EG＝GH理由如下，如图，∵将△ABC沿EF折叠∴∠CEF＝∠C'EF，∠C＝∠C'∵GH∥EF∴∠GEF＝∠HGE，∠FEC'＝∠GHE ∴∠GHE＝∠HGE∴EG＝EH②∠AGH＝∠HGE+∠C理由如下：∵∠AGH＝∠GHE+∠C'∴∠AGH＝∠HGE+∠C。

中考(Kao)数学复习专题特殊平行四边形小(Xiao)题）1．下列性质中，菱形具有(You)而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平(Ping)行且相等B．对角线互(Hu)相平分C．对角线互相(Xiang)垂直 D．对角互补2．能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等4．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD5．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC 和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．138．如(Ru)图，E，G，F，H分(Fen)别是矩形(Xing)ABCD四条边上的(De)点，EF⊥GH，若(Ruo)AB=2，BC=3，则(Ze)EF：GH=（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确(Que)定9．如(Ru)图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12 B．6 C．12.5 D．2510．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°11．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°12．如(Ru)图，矩形(Xing)ABCD中(Zhong)，O为(Wei)AC中点(Dian)，过点(Dian)O的(De)直线分别与(Yu)AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4评卷人得分二．填空题（共6小题）13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于度．14．如图，在平面直角坐标系中(Zhong)，菱形(Xing)ABCD在第一象(Xiang)限内，边(Bian)BC与(Yu)x轴(Zhou)平行，A，B两点(Dian)的纵坐标分别为(Wei)3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为．15．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE 垂直AC交AD于点E，则DE的长是．16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是．17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=．18．如图所示(Shi)，在矩形(Xing)ABCD中(Zhong)，AB=6，AD=8，P是(Shi)AD上(Shang)的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于(Yu)F，则(Ze)PE+PF的值(Zhi)为．评卷人得分三．解答题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE 交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．20．已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．求证：GE与FD互相垂直平分．22．如图(Tu)：在△ABC中(Zhong)，CE、CF分(Fen)别平分∠ACB与它的(De)邻补角∠ACD，AE⊥CE于(Yu)E，AF⊥CF于(Yu)F，直(Zhi)线(Xian)EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．23．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．24．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．2017---2018学年中(Zhong)考数学复习专题(Ti)--《特殊平行(Xing)四边形》参考答案与试题解(Jie)析一．选择(Ze)题（共(Gong)12小(Xiao)题）1．下列性质(Zhi)中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角互补【解答】解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．故选C．2．能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角【解答】解：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴A、B、D都不正确．∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形．故C正确．故选C．3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；菱(Ling)形的性质有：①菱形的四条(Tiao)边都相等，且对边平行，②菱(Ling)形的对角相等，③菱形的对角(Jiao)线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；∴矩形具有而菱形不一定具有的性质(Zhi)是对角线相等，故(Gu)选(Xuan)D．4．以下条件不(Bu)能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD【解答】解：如图：A、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；C、∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，根据OA=OC，OB=OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；故选D．5．顺(Shun)次连接四边形(Xing)ABCD各边(Bian)中点所成的四边形为菱形，那么四边形(Xing)ABCD的(De)对角线(Xian)AC和(He)BD只需满足的条件(Jian)是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分【解答】解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；②原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；③原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；④原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．故选A．6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm【解答】解：如图：∵菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，∴OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，在直角三角形AOD中AD===5cm．故选D．7．如图，在(Zai)平行四边形(Xing)ABCD中，用直尺(Chi)和圆规作∠BAD的(De)平分线(Xian)AG交(Jiao)BC于(Yu)点(Dian)E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．13【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AO平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，同理：AF=BE，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA===8，∴AE=2OA=16．故选：A．8．如(Ru)图，E，G，F，H分别(Bie)是矩形(Xing)ABCD四(Si)条边上的点，EF⊥GH，若(Ruo)AB=2，BC=3，则(Ze)EF：GH=（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法(Fa)确定【解(Jie)答】解：过F作FM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，则∠4=∠5=90°=∠AMF∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠A=∠D=90°=∠AMF，∴四边形AMFD是矩形，∴FM∥AD，FM=AD=BC=3，同理HN=AB=2，HN∥AB，∴∠1=∠2，∵HG⊥EF，∴∠HOE=90°，∴∠1+∠GHN=90°，∵∠3+∠GHN=90°，∴∠1=∠3=∠2，即∠2=∠3，∠4=∠5，∴△FME∽△HNG，∴==∴EF：GH=AD：CD=3：2．故(Gu)选(Xuan)B．9．如(Ru)图：点(Dian)P是(Shi)Rt△ABC斜(Xie)边(Bian)AB上的一(Yi)点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12 B．6 C．12.5 D．25【解答】解：如图，连接CP．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB===25，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF=CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，=BC•AC=AB•CP，此时，S△ABC即(Ji) ×20×15=×25•CP，解(Jie)得(De)CP=12．故(Gu)选(Xuan)A．10．如图(Tu)，在菱形(Xing)ABCD中(Zhong)，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°【解答】解：如图，连接BF，在△BCF和△DCF中，∵CD=CB，∠DCF=∠BCF，CF=CF∴△BCF≌△DCF∴∠CBF=∠CDF∵FE垂直平分AB，∠BAF=×80°=40°∴∠ABF=∠BAF=40°∵∠ABC=180°﹣80°=100°，∠CBF=100°﹣40°=60°∴∠CDF=60°．故(Gu)选(Xuan)D．11．如图(Tu)，在菱形(Xing)ABCD中(Zhong)，∠A=110°，E，F分别(Bie)是边(Bian)AB和(He)BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°【解答】解：延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：在△BGF与△CPF中，，∴△BGF≌△CPF（ASA），∴GF=PF，∴F为PG中点．又∵由题可知，∠BEP=90°，∴EF=PG，∵PF=PG，∴EF=PF，∴∠FEP=∠EPF，∵∠BEP=∠EPC=90°，∴∠BEP﹣∠FEP=∠EPC﹣∠EPF，即(Ji)∠BEF=∠FPC，∵四(Si)边形(Xing)ABCD为(Wei)菱形，∴AB=BC，∠ABC=180°﹣∠A=70°，∵E，F分(Fen)别为(Wei)AB，BC的中(Zhong)点，∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=（180°﹣70°）=55°，∴∠FPC=55°；故(Gu)选：A．12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平(Ping)分，∵O为(Wei)AC中(Zhong)点，∴BD也(Ye)过(Guo)O点(Dian)，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三(San)角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，在(Zai)△OBF与△CBF中∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，易证△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴③正确，∵△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错(Cuo)误．∴②错(Cuo)误，∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，∴MB=，OF=，∵OE=OF，∴MB：OE=3：2，∴④正(Zheng)确；故(Gu)选：C．二(Er)．填空题（共(Gong)6小(Xiao)题）13．如图(Tu)，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C 落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于75度．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在(Zai)△DEC中(Zhong)，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．故答案(An)为：75．14．如图，在平面直角坐标系中(Zhong)，菱形(Xing)ABCD在第一象(Xiang)限内，边(Bian)BC与(Yu)x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为4．【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=2，S菱(Ling)形(Xing)ABCD=底(Di)×高(Gao)=2×2=4，故(Gu)答案为(Wei)4．15．如图(Tu)：在矩形(Xing)ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是3．【解答】解：如图，连接CE，，设DE=x，则AE=8﹣x，∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，∴OE是AC的垂直平分线，∴CE=AE=8﹣x，在Rt△CDE中，x2+42=（8﹣x）2解得x=3，∴DE的(De)长是(Shi)3．故(Gu)答案为：3．16．平(Ping)行四边形(Xing)ABCD中，对(Dui)角线(Xian)AC、BD相交(Jiao)于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是①②④．【解答】解：令GF和AC的交点为点P，如图所示：∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，且EF=CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，且AB=CD，∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），∵点G为AB的中点，∴BG=AB=CD=FE，在△EFG和△GBE中，，∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，∴∠EGF=∠GEB，∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），∵BD=2BC，点(Dian)O为平行四边形对角线交(Jiao)点，∴BO=BD=BC，∵E为(Wei)OC中(Zhong)点，∴BE⊥OC，∴GP⊥AC，∴∠APG=∠EPG=90°∵GP∥BE，G为(Wei)AB中(Zhong)点，∴P为(Wei)AE中(Zhong)点，即AP=PE，且GP=BE，在△APG和△EGP中，，∴△APG≌△EPG（SAS），∴AG=EG=AB，∴EG=EF，即①成立，∵EF∥BG，GF∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形，∴GF=BE，∵GP=BE=GF，∴GP=FP，∵GF⊥AC，∴∠GPE=∠FPE=90°在(Zai)△GPE和(He)△FPE中(Zhong)，，∴△GPE≌△FPE（SAS），∴∠GEP=∠FEP，∴EA平(Ping)分∠GEF，即(Ji)④成(Cheng)立．故(Gu)答案为：①②④．17．如(Ru)图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=30°．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OB=OC，OB=OA，∴∠OCB=∠OBC，∵AB=BE，∠ABE=90°，∴∠BAE=∠AEB=45°，∵∠1=15°，∴∠OCB=∠AEB﹣∠EAC=45°﹣15°=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠AOB=30°+30°=60°，∵OA=OB，∴△AOB是(Shi)等边三角形，∴AB=OB，∵∠BAE=∠AEB=45°，∴AB=BE，∴OB=BE，∴∠OEB=∠EOB，∵∠OBE=30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°，∴∠OEB=75°，∵∠AEB=45°，∴∠2=∠OEB﹣∠AEB=30°，故(Gu)答案为：30°．18．如图所示(Shi)，在矩形(Xing)ABCD中(Zhong)，AB=6，AD=8，P是(Shi)AD上(Shang)的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于(Yu)F，则PE+PF的值为．【解答】解：连接OP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，AC=2AO=2OC，BD=2BO=2DO，AC=BD，∴OA=OD=OC=OB，∴S △AOD =S △DOC =S △AOB =S △BOC =S 矩(Ju)形(Xing)ABCD =×6×8=12，在(Zai)Rt △BAD 中，由勾股(Gu)定理得：BD===10，∴AO=OD=5，∵S △APO +S △DPO =S △AOD ， ∴×AO ×PE +×DO ×PF=12，∴5PE +5PF=24， PE +PF=，故答(Da)案为：．三．解(Jie)答题（共(Gong)6小(Xiao)题） 19．如(Ru)图，在(Zai)Rt △ABC 中(Zhong)，∠ACB=90°，D 为(Wei)AB 的中(Zhong)点，AE ∥CD ，CE ∥AB ，连(Lian)接(Jie)DE 交(Jiao)AC 于点O ．（1）证明：四边形ADCE 为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．【解答】证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=AB=AD，又∵AE∥CD，CE∥AB∴四边形ADCE是平行四边形，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）在Rt△ABC中，AC===8．∵平行四边形ADCE是菱形，∴CO=OA，又∵BD=DA，∴DO是△ABC的中位线，∴BC=2DO．又∵DE=2DO，∴BC=DE=6，===24．∴S菱(Ling)形(Xing)ADCE20．已知(Zhi)，如图，BD为平(Ping)行四边形(Xing)ABCD的对(Dui)角线，O为(Wei)BD的(De)中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．【解答】答：四边形BFDE的形状是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴▱BEDF是菱形．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．求证：GE与FD互相垂直平分．【解(Jie)答】证(Zheng)明：∵DE⊥AC，DG⊥AB，EK⊥AB，GH⊥AC，∴∠DGB=∠DEC=90°，EK∥DG，DE∥GH，∴四(Si)边形(Xing)DEFG是平行四边(Bian)形，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在(Zai)△DGB和(He)△DEC中(Zhong)，，∴△DGB≌△DEC（AAS），∴DG=DE，∵四边形DEFG是平行四边形，∴四边形DEFG是菱形，∴GE与FD互相垂直平分．22．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．【解(Jie)答】（1）证(Zheng)明：∵AE⊥CE于(Yu)E，AF⊥CF于(Yu)F，∴∠AEC=∠AFC=90°，又(You)∵CE、CF分别(Bie)平分∠ACB与它的(De)邻补角∠ACD，∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，∴∠ACE+∠ACF=（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）=×180°=90°，∴三个角为直角的(De)四边形AECF为矩形．（2）结论：MN∥BC且MN=BC．证明：∵四边形AECF为矩形，∴对角线相等且互相平分，∴NE=NC，∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，∴MN∥BC，又∵AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），∴N是AC的中点，若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，则(Ze)M1N是(Shi)△ABC的中位(Wei)线，MN∥BC，而(Er)MN∥BC，M1即(Ji)为点(Dian)M，。

特殊的四边形（矩形、菱形）一、选择题1．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．B．C．D．不确定2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（）A．20°B．40°C．80°D．100°3．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC上的三等分点，则S△BEF为（）A．8 B．12 C．16 D．244．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M 或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（）A．85°B．90°C．95°D．100°5．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对6．如图，矩形ABCD的周长为68，它被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）A．98 B．196 C．280 D．2847．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A．B．C．D．68．如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′=36°，则∠NFD′等于（）A．144°B．126°C．108° D．72°9．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）10．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．111．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A′、D′处，则整个阴影部分图形的周长为（）A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm12．下列识别图形不正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形13．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（）A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°14．直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，则斜边中线的长是（）15．将一个矩形的纸对折两次，沿图中虚线将一角剪掉再打开后，得到的图形为（）A．B．C．D．16．菱形一条对角线长为8m，周长为20m，则其面积为（）A．40m2B．20m2C．48m2D．24m217．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形18．已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（）A．AD平分∠BAC B．AB=AC且BD=CD C．AD为中线D．EF⊥AD二、填空题19．矩形ABCD中，对角线AC=10cm，AB：BC=3：4，则它的周长是cm．20．矩形ABCD的两条对角线相交于点O，如果矩形的周长是34cm，又△AOB的周长比△ABC的周长少7cm，则AB=cm，BC=cm．21．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=110°，则∠OAB=度．22．如图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则∠FAC=度，∠FCA=度．23．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F，线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．即DF=．（写出一条线段即可）24．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形．若∠CED′=56°，则∠AED的大小是°．25．菱形ABCD的周长为36，其相邻两内角的度数比为1：5，则此菱形的面积为．26．已知菱形的两条对角线长为6cm和8cm，菱形的周长是cm，面积是cm2．27．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是．28．已知菱形的两条对角线的长分别是4cm和8cm，则它的边长为cm．29．若四边形ABCD是平行四边形，使四边形ABCD是菱形，请补充条件（写一个即可）．30．已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为．31．已知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为AD中点，AB=6cm，P为AC上任一点．求PE+PD的最小值是．32．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是．33．已知四边形ABCD为平行四边形，要使四边形ABCD为菱形，还应添加条件．34．用两张对边平行的纸条交叉重叠放在一起，则四边形ABCD为；两张纸条互相垂直时，四边形ABCD为；若两张纸条的宽度相同，则四边形ABCD为．三、解答题35．如图1中的矩形ABCD，沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平行移动，得到图2．在图2中，△ADC≌△C′BA′，AC∥A′C′，A′B∥DC．除△DAC与△C′BA′外，指出有哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）？选择其中一对加以证明．36．如图，在▱ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC 翻转180°，得到△AB′C．（1）以A，C，D，B′为顶点的四边形是矩形吗（请填“是”、“不是”或“不能确定”）；=cm2．（2）若四边形ABCD的面积S=12cm2，求翻转后纸片重叠部分的面积，即S△ACE37．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，那么MN⊥BD成立吗？试说明理由．38．如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在点．39．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．特殊的四边形（矩形、菱形）参考答案与试题解析一、选择题1．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．B．C．D．不确定【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题；动点型．【分析】过P点作PE⊥AC，PF⊥BD，由矩形的性质可证△PEA∽△CDA和△PFD∽△BAD，根据和，即和，两式相加得PE+PF=，即为点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．【解答】解：法1：过P点作PE⊥AC，PF⊥BD∵矩形ABCD∴AD⊥CD∴△PEA∽△CDA∴∵AC=BD==5∴…①同理：△PFD∽△BAD∴∴…②∴①+②得：∴PE +PF=即点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是．法2：连结OP ． ∵AD=4，CD=3， ∴AC==5，又∵矩形的对角线相等且互相平分， ∴AO=OD=2.5cm ，∴S △APO +S △POD =×2.5•PE +×2.5•PF=×2.5（PE +PF ）=×3×4， ∴PE +PF=．故选：A ．【点评】根据矩形的性质，结合相似三角形求解．2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（ ）A ．20°B ．40°C ．80°D ．100° 【考点】矩形的性质． 【专题】计算题．【分析】根据矩形的性质，得△BOC 是等腰三角形，再由等腰三角形的性质进行答题． 【解答】解：图形中∠1=40°，∵矩形的性质对角线相等且互相平分，∴OB=OC，∴△BOC是等腰三角形，∴∠OBC=∠1，则∠AOB=2∠1=80°．故选C．【点评】本题主要考查了矩形的性质，对角线相等且互相平分，矩形被对角线分成四个等腰三角形．3．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC上的三等分点，则S△BEF为（）A．8 B．12 C．16 D．24【考点】矩形的性质．【专题】压轴题．【分析】要求S△BEF只要求出底边EF以及EF边上的高就可以，高可以根据△ABC的面积得到，EF=AC，根据勾股定理得到AC，就可以求出EF的长，从而求出△EFG的面积．【解答】解：S△ABC=×8×6=24．又E、F是AC上的三等分点．∴S△BEF =S△ABC=8．故选A．【点评】本题运用了勾股定理，已知直角三角形的两直角边，求斜边上的高，这类题的解决方法是需要熟记的内容．4．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在B′M 或B′M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是（ ）A ．85°B ．90°C ．95°D ．100°【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质：对应角相等，对应的线段相等，可得．【解答】解：根据图形，可得：∠EMB′=∠EMB ，∠FMB′=∠FMC ，∵∠FMC +∠FMB′+∠EMB′+∠BME=180°，∴2（∠EMB′+∠FMB′）=180°，∵∠EMB′+∠FMB′=∠FME ，∴∠EMF=90°．故选B ．【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．5．如图，在矩形ABCD 中，EF ∥AB ，GH ∥BC ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，图中面积相等的四边形有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对【考点】矩形的性质．【专题】压轴题．【分析】本题考查了矩形的性质，得出△EPD ≌△HDP ，则S △EPD =S △HDP ，通过对各图形的拼凑，得到的结论．【解答】解：在矩形ABCD 中，∵EF ∥AB ，AB ∥DC ，∴EF ∥DC ，则EP ∥DH ；故∠PED=∠DHP ；同理∠DPH=∠PDE ；又PD=DP ；所以△EPD ≌△HDP ；则S △EPD =S △HDP ；同理，S △GBP =S △FPB ；则（1）S 梯形BPHC =S △BDC ﹣S △HDP =S △ABD ﹣S △EDP =S 梯形ABPE ；（2）S □AGPE =S 梯形ABPE ﹣S △GBP =S 梯形BPHC ﹣S △FPB =S □FPHC ；（3）S 梯形FPDC =S □FPHC +S △HDP =S □AGPE +S △EDP =S 梯形GPDA ；（4）S □AGHD =S □AGPE +S □HDPE =S □PFCH +S □PHDE =S □EFCD ；（5）S □ABFE =S □AGPE +S □GBFP =S □PFCH +S□GBFP =S □GBCH故选C ．【点评】本题是一道结论开放题，掌握矩形的性质，很容易得到答案．6．如图，矩形ABCD 的周长为68，它被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ）A ．98B ．196C ．280D ．284【考点】矩形的性质．【专题】计算题．【分析】等量关系为：5个小矩形的宽等于2个小矩形的长；6个小矩形的宽加一个小矩形的长等于大长方形周长的一半．【解答】解：设小矩形宽为x ，长为y ．则大矩形长为5x 或2y ，宽为x +y ．依题意有x +y +5x==34；5x=2y ．解得：x=4，y=10．则大矩形长为20，宽为14．所以大矩形面积为280．故选C ．【点评】本题考查了矩形的面积和一种很重要的思想：方程思想．7．如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A．B．C．D．6【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．【解答】解：∵△CEO是△CEB翻折而成，∴BC=OC，BE=OE，∠B=∠COE=90°，∴EO⊥AC，∵O是矩形ABCD的中心，∴OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6，∴AE=CE，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即62=AB2+32，解得AB=3，在Rt△AOE中，设OE=x，则AE=3﹣x，AE2=AO2+OE2，即（3﹣x）2=32+x2，解得x=，∴AE=EC=3﹣=2．故选：A．【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．8．如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′=36°，则∠NFD′等于（）A．144°B．126°C．108° D．72°【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】计算题．【分析】根据∠AMD′=36°和折叠的性质，得∠NMD=∠NMD′=72°；根据平行线的性质，得∠BNM=∠NMD=72°；根据折叠的性质，得∠D′=∠D=90°；根据四边形的内角和定理即可求得∠NFD′的值．【解答】解：∵∠AMD′=36°，∴∠NMD=∠NMD′=72°．∵AD∥BC，∴∠BNM=∠NMD=72°．又∵∠D′=∠D=90°，∴∠NFD′=360°﹣72°×2﹣90°=126°．故选B．【点评】此题综合运用了折叠的性质、平行线的性质、四边形的内角和定理．9．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）A．1 B．2 C．D．【考点】菱形的性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据题意可知，AC=2BC，∠B=90°，所以根据勾股定理可知AC2=AB2+BC2，即（2BC）2=32+BC2，从而可求得BC的长．【解答】解：∵AC=2BC，∠B=90°，∴AC2=AB2+BC2，∴（2BC）2=32+BC2，∴BC=．故选：D．【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．10．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】连BH，根据折叠的性质得到∠1=∠2，EB=EH，BH⊥EG，则∠EBH=∠EHB，又点E是AB的中点，得EH=EB=EA，于是判断△AHB为直角三角形，且∠3=∠4，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，因此有∠1=∠2=∠3=∠4．【解答】解：连BH，如图，∵沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，∴∠1=∠2，EB=EH，BH⊥EG，而∠1＞60°，∴∠1≠∠AEH，∵EB=EH，∴∠EBH=∠EHB，又∵点E是AB的中点，∴EH=EB=EA，∴△AHB为直角三角形，∠AHB=90°，∠3=∠4，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4．故选B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了若三角形一边上的中线等于这边的一半，则此三角形为直角三角形．11．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A′、D′处，则整个阴影部分图形的周长为（）A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】延长A1E交CD于点G，由题意知GE=EH，FH=GF，则阴影部分的周长与原矩形的周长相等．【解答】解：延长A1E交CD于点G，由题意知，GE=EH，FH=GF，四边形EHD1A1≌四边形EGDA，∴AD=A1D1，AE=A1E，DG=D1H，FH=FG，∴阴影部分的周长=矩形的周长=（12+6）×2=36cm．故选：B．【点评】本题利用了翻折的性质：对应图形全等，对应边相等．12．下列识别图形不正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判定．【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；B、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；C、对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形，错误；D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确．故选C．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判定．13．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（）A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°【考点】矩形的判定．【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．【解答】解：A、一个角为直角的平行四边形为矩形，故A正确．B、矩形的对角线平分且相等，故B正确．C、∠BCD+∠ADC=180°，但∠BCD不一定与∠ADC相等，根据矩形的判定定理，故C不正确．D、因为∠BAD=∠BCD，故AB∥CD，又因为，∠ABC=∠ADC=90°，根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故D正确．故选C．【点评】本题考查的是矩形的判定定理，但考生应注意的是由矩形的判定引申出来的各图形的判定．难度一般．14．直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，则斜边中线的长是（）A．26 B．13 C．30 D．6.5【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【分析】由勾股定理可以求出斜边，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可以求出斜边中线的长．【解答】解：由勾股定理知，斜边c==13，∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半知，∴斜边中线的长=×13=6.5．故选D．【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半．15．将一个矩形的纸对折两次，沿图中虚线将一角剪掉再打开后，得到的图形为（）A．B．C．D．【考点】剪纸问题．【分析】根据题意知，对折实际上就是对称，对折两次的话，剪下应有4条边，并且这4条边还相等，从而可以得到剪下的图形展开后一定是菱形．【解答】解：根据题意折叠剪图可得，剪下的四边形四条边相等，根据四边形等的四边形是菱形可得剪下的图形是菱形，故选：A．【点评】此题考查了剪纸问题，关键是掌握菱形的判定方法：四边形等的四边形是菱形．16．菱形一条对角线长为8m，周长为20m，则其面积为（）A．40m2B．20m2C．48m2D．24m2【考点】菱形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】菱形对角线互相垂直平分，所以OA2+OB2=AB2，根据已知可得AB=5，BO=4，利用勾股定理求得AO，即可求得AC的长，根据AC、BD即可求菱形ABCD的面积，即可解题．【解答】解：根据题意可得：BD=8m，则BO=DO=4m，∵菱形周长为20m，∴AB=5m，∵菱形对角线互相垂直平分，∴OA2+OB2=AB2，∴AO==3（m），∴AC=6（m），故菱形的面积S=×6×8=24（m2）．故选D．．【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形面积的计算，本题中根据勾股定理求AO的值是解题的关键．17．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【考点】菱形的判定；作图—复杂作图．【分析】关键菱形的判定定理（有四边都相等的四边形是菱形）判断即可．【解答】解：由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，∴四边形ABCD是菱形，故选：B．【点评】本题主要考查对作图﹣复杂作图，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．18．已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（）A．AD平分∠BAC B．AB=AC且BD=CD C．AD为中线D．EF⊥AD【考点】菱形的判定．【专题】几何图形问题．【分析】首先根据题意画出图形，然后由DE∥AC、DF∥AB，判定四边形DEAF为平行四边形，再由菱形的判定定理求解即可求得答案；注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：如图，∵DE∥AC、DF∥AB，∴四边形DEAF为平行四边形，A、∵AD平分∠BAC，DF∥AB，∴∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠ADF，∴∠CAD=∠ADF，∴AF=DF，∴四边形DEAF为菱形；B、∵AB=AC且BD=CD，∴AD平分∠BAC，同理可得：四边形DEAF为菱形；C、∵由AD为中线，得不到AD平分∠BAC，证不出四边形DEAF的邻边相等，∴不能判断四边形DEAF为菱形；D、∵AD⊥EF，∴▱DEAF是菱形．故选C．【点评】此题考查了菱形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题19．矩形ABCD中，对角线AC=10cm，AB：BC=3：4，则它的周长是28cm．【考点】矩形的性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据矩形的一组邻边和一条对角线组成一个直角三角形，解题即可．【解答】解：根据矩形的性质得到△ABC是直角三角形，因为对角线AC=10cm，AB：BC=3：4，根据勾股定理得到BC2=AC2﹣（BC）2=100﹣BC2解得BC=8，AB=6，故它的周长=2×8+2×6=28cm．故答案为28．【点评】本题考查对矩形的性质以及勾股定理的运用．20．矩形ABCD的两条对角线相交于点O，如果矩形的周长是34cm，又△AOB的周长比△ABC的周长少7cm，则AB=10cm，BC=7cm．【考点】矩形的性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据矩形的对边相等以及所给的三角形的周长可得到和所求线段相关的两个式子，进而求解．【解答】解：设AB=a，BC=b．∴2OA=2OB=AC=，2a+2b=34，即a+b=17．由题意可知△AOB的周长+7=△ABC的周长．∴AB+OA+OB+7=AB+BC+AC．∴a++7=a+b+．即b=7，a=17﹣7=10．即AB=10，BC=7．故答案为，10，7．【点评】本题综合考查了矩形的性质及勾股定理的运用．21．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=110°，则∠OAB=35度．【考点】矩形的性质；三角形内角和定理．【专题】计算题．【分析】根据矩形对角线的性质得到△OAB的形状，进而求得底角的度数．【解答】解：∵矩形的对角线相等且互相平分．∴OA=OC．∴△AOB是等腰三角形．∴∠OAB=∠OBA．∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°．∴2∠OAB+110°=180°．∴∠OAB=35°．故答案为35．【点评】本题考查矩形的性质以及三角形内角和定理．22．如图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则∠FAC=90度，∠FCA= 45度．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案所构成的△AFG≌△CAB，所以AF=AC，∠FAC=90°，∠FCA=45度．【解答】解：由已知△AFG≌△CAB，∴∠AFG=∠CAB，AF=AC∵∠AFG+∠FAG=90°，∴∠CAB+∠FAG=90°，∴∠FAC=90°．又∵AF=AC，∴∠FCA=（180°﹣90°）×=45°．故答案为：90；45．【点评】根据矩形的性质得到全等三角形，进而求得△AFC是等腰直角三角形．23．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F，线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．即DF=BE．（写出一条线段即可）【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据矩形的性质得出AD∥BC，推出∠AFD=∠B，推出∠DAF=∠AEB，根据全等三角形的判定推出△AFD≌△EBA即可．【解答】解：DF=BE，理由是：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE，∴∠B=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠DAF=∠AEB，在△AFD和△EBA中∴△AFD≌△EBA（AAS），∴DF=BE，故答案为：DF=BE．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△AFD≌△EBA，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对边平行．24．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形．若∠CED′=56°，则∠AED的大小是62°．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题；操作型．【分析】易得∠DED′的度数，除以2即为所求角的度数．【解答】解：∵∠CED′=56°，∴∠DED′=180°﹣56°=124°，∵∠AED=∠AED′，∴∠AED=∠DED′=62°．故答案为：62．【点评】考查翻折变换问题；用到的知识点为：翻折前后得到的角相等．25．菱形ABCD的周长为36，其相邻两内角的度数比为1：5，则此菱形的面积为40.5．【考点】菱形的性质．【分析】根据相邻两内角的度数比为1：5，可求出一个30°角，根据周长为36，求出菱形的边长，根据直角三角形里30°角的性质求出高，从而求出面积．【解答】解：作AE⊥BC于E点，∵其相邻两内角的度数比为1：5，∴∠B=180°×=30°，∵菱形ABCD的周长为36，∴AB=BC=×36=9．∴AE=×9=．∴菱形的面积为：BC•AE=9×=40.5．故答案为：40.5．【点评】本题考查菱形的性质，菱形的邻角互补，四边相等．26．已知菱形的两条对角线长为6cm和8cm，菱形的周长是20cm，面积是24cm2．【考点】菱形的性质；勾股定理．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可得到其面积，根据菱形的性质可求得其边长，从而可得到其周长．【解答】解：如图，四边形ABCD是菱形，BD，AC分别是其对角线且BD=6，AC=8，求其面积和周长．∵四边形ABCD是菱形，BD，AC分别是其对角线，∴BD⊥AC，BO=OD=3cm，AO=CO=4cm，∴AB=5cm，∴菱形的周长=5×4=20cm；S菱形=×6×8=24cm2．故本题答案为：20cm；24cm2．【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．27．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是AC⊥BD．【考点】中点四边形．【分析】根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直．【解答】解：如图，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形；要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，即AC⊥BD；故答案为：AC⊥BD．【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理的运用．同时熟记此题中的结论：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．28．已知菱形的两条对角线的长分别是4cm和8cm，则它的边长为2cm．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】根据菱形的性质及勾股定理即可求得其边长的值．【解答】解：菱形的两条对角线分别是4cm，8cm，得到两条对角线相交所构成的直角三角形的两直角边是×4=2和×8=4，那么根据勾股定理得到它的斜边即菱形的边长=2cm．故答案为2【点评】本题考查菱形的性质以及勾股定理．29．若四边形ABCD是平行四边形，使四边形ABCD是菱形，请补充条件此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等（写一个即可）．【考点】菱形的判定．【专题】开放型．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定定理求解即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD或AB=AD时，四边形ABCD是菱形．故答案为：此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等．【点评】此题考查了菱形的判定．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键．30．已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为或．【考点】菱形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论．【解答】解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，∵AD=AB，DP=BP，∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），在直角△ABM中，∠BAM=30°，∴AM=AB•cos30°=3，BM=AB•sin30°=3，∴PM==，∴AP=AM+PM=4；当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点MAP=AM﹣PM=2；当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2矛盾，舍去．AP的长为4或2．故答案为4或2．【点评】本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系AP⊥BD，这是解决本题的关键．31．已知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为AD中点，AB=6cm，P为AC上任一点．求PE+PD的最小值是3．【考点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据菱形的性质，可得AC是BD的垂直平分线，可得AC上的点到D、B点的距离相等，连接BE交AC与P，可得答案．【解答】解：∵菱形的性质，∴AC是BD的垂直平分线，AC上的点到B、D的距离相等．连接BE交AC于P点，PD=PB，PE+PD=PE+PB=BE，在Rt△ABE中，由勾股定理得BE==3，故答案为：3．【点评】本题考查了轴对称，对称轴上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．32．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是5．【考点】轴对称﹣最短路线问题；勾股定理；菱形的性质．【专题】计算题．【分析】AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP 的值最小，根据菱形的性质推出N是AD中点，P与O重合，推出PE+PF=NF=AB，根据勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，∴PN=PE，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，∵E为AB的中点，∴N在AD上，且N为AD的中点，∵AD∥CB，。

《特殊四边形》练习题一．选择题1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE. AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )A．45° B．55° C．60° D．75°2．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分3.下列命题中，真命题是( )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形4．如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．（2016·四川泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．6．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF二．填空题7. （2016·内蒙古包头）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．8. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为．9. 如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．10. 如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7. 点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D 的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 .11. 如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=13a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=13A1B2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n的面积为．三．解答题12.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．13．已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．（1）求证：MD=ME；（2）填空：①若AB=6，当AD=2DM时，DE= ；②连接OD，OE，当∠A的度数为时，四边形ODME是菱形．15．（2016·陕西）问题提出（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．答案：1.C2.B3.C4.C5.B6.B7. 22.5°8. 2﹣2 9. （4，4）10. 52或53.11. 25()9n a12. 解：（1）∵正方形ABCD∴AD=B A，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ（2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ13. （1）解：结论AE=EF=AF．理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF．（2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=2，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2，14. （1）证明：∵∠ABC=90°，AM=MC，∴BM=AM=MC，∴∠A=∠ABM，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠ADE+∠ABE=180°，又∠ADE+∠MDE=180°，∴∠MDE=∠MBA，同理证明：∠MED=∠A，∴∠MDE=∠MED，∴MD=ME．（2）①由（1）可知，∠A=∠MDE，∴DE∥AB，∴=，∵A D=2DM，∴DM：MA=1：3，∴DE=AB=×6=2．故答案为2．②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形．理由：连接OD、OE，∵OA=OD，∠A=60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DE∥AB，∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，∴△ODE，△DEM都是等边三角形，∴OD=OE=EM=DM，∴四边形OEMD是菱形．故答案为60°．15. 解：（1）如图1，△ADC即为所求；（2）存在，理由：作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，交BC于G，交CD于H，连接FG，EH，则F′G=FG，E′H=EH，则此时四边形EFGH的周长最小，由题意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，∴AF′=6，AE′=8，∴E′F′=10，EF=2，∴四边形EFGH的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2+10，∴在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小，最小值为2+10；（3）能裁得，理由：∵EF=FG=，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，∴∠1=∠2，在△AEF与△BGF中，，∴△AEF≌△BGF，∴AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x，∴x2+（3﹣x）2=（）2，解得：x=1，x=2（不合题意，舍去），∴AF=BG=1，BF=AE=2，∴DE=4，CG=5，连接EG，作△EFG关于EG的对称△EOG，则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O为圆心，以EG为半径作⊙O，则∠EHG=45°的点在⊙O上，连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，此时，四边形EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的，∴C在线段EG的垂直平分线设，∴点F，O，H′，C在一条直线上，∵EG=，。

2023中考数学 几何专题：特殊的平行四边形（含答案）例1 矩形的性质（1）如图，l m ∥，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则α=∠________度．（2）矩形边长为10和15，其中一内角平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）A ．6和9B ．5和10C ．4和11D ．7和8（3） 如图，矩形ABCD中，120AOD BC ∠=︒=，，则下列结论：①AOB △是等边三角形②130∠=︒③3cm AB =④6cm AC =⑤2ABCD S =矩形．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②③④C ．②③④⑤D ．①②③④⑤(4) 如图，矩形ABCD 中，O 是两对角线的交点，AE BD ⊥，垂足为E．若2OD OE AE =，则DE 的长为________．【答案】（1）30；（2）B ；（3）D ；（4）3例2 矩形模型 （1）如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE BD ⊥，垂足为E ，:3:1DAE BAE ∠∠=，则EAC ∠的度数为_______．α60°lm DCBAO 1DC BA第14题图E OCBDAA B（2）如图所示，矩形ABCD 内一点P 到A 、B 、C 的长分别是2、3、4，则PD 的长为_______．（3）已知，如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，PE AC ⊥于E ，PF BD ⊥于F ，如果3AB =，4AD =，那么PE+PF=_______．【答案】（1）45︒；（2（3）125例3 矩形的判定（1）在四边形ABCD 中，AB DC =，AD BC =．请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形．你添加的条件是________．（写出一种即可）【答案】AC BD =或AB BC ⊥或90ABC =︒∠（答案不唯一）（2）如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CN ∥AB ，DN 交AC 于点M ，若MA=MC ，∠BAN=90°，求证：四边形ADCN 是矩形．证明：∵CN ∥AB ， ∴∠DAC=∠NCA ， 在△AMD 和△CMN 中，∵∠DAC ＝∠NCA ，MA ＝MC ，∠AMD ＝∠CMN ∴△AMD ≌△CMN （ASA ）， ∴AD=CN ． 又∵AD ∥CN ，∴四边形ADCN 是平行四边形． 又∵∠BAN=90度，∴四边形ADCN 是矩形．（3）如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分PDCBAABCDPEF线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．【答案】∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB CD ∥，AD BC ∥∵AQ 、BN 分别是DAB ∠、ABC ∠的平分线 ∴180BAD ABC ∠+∠=︒ ∴90QPN ∠=︒同理90PQM QMN MNP ∠=∠=∠=︒ ∴四边形PQMN 是矩形．例4 （1）如图，已知菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若6AC =，4BD =，则菱形ABCD 的周长是（ ）A ．24B ．16C．D．（2）如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm 和8cm ，则这个菱形的高DE 为（ ） A ．2.4cmB ．4.8cmC ．5cmD ．9.6cm（3）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，则△DEF 的周长为_______（4）如图，把菱形ABCD 沿AH 折叠，使B 点落在BC 上的E 点处，若70B =︒∠，则AED ∠的大小为（ ）NMQPDCBAODC BAA ．60︒B ．55︒C ．65︒D ．70︒ （5）如图，在菱形ABCD 中，80BAD ∠=︒，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点E ，点F 为垂足，连接DE ，则CDE ∠=（ ）A ．80︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒（6）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=︒，点P 是对角线AC 上的一个动点，点E 是AB 边上的中点，则PB PE +的最小值为（ ）A ．2B．C． D ．4【答案】（1）C ；（2）B ；（3）（4）B ；（5）D ；（6）B能力提升例5 菱形的判定（1）已知：如图，平行四边形的对角线、相交于点，且，，求证：平行四边形是菱形；ABCDEHFABCDEABCD AC BD O 10AB =5AO =BO =ABCD【答案】∵在中，,， ∴ ∴是直角三角形∴平行四边形是菱形．AOB △10AB =5AO=BO =222AB AO BO =+AOB △AC BD ⊥ABCD（2）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD 于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．【答案】∵∠ACB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，DE ⊥AB ， ∴DC=DE ，∠CAD=∠EAD ，∠CDF+∠CAD=90°， ∵CH 是AB 边上的高， ∴CH ⊥AB ，∴CH ∥DE ，∠AFH+∠EAD=90°， ∴∠CDF=∠AFH ， ∵∠CFD=∠AFH ， ∴∠CDF=∠CFD ， ∴CF=DC ， ∴CF=DE ，∴四边形CDEF 是平行四边形， ∴四边形CDEF 是菱形．例6 （1）如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上任意一点，过E 作EF ⊥BC 于F ，作EG ⊥CD 于G ，若正方形ABCD 的周长为m ，则四边形EFCG 的周长为（2）如图，AC 为正方形ABCD 的对角线，E 为AC 上一点，联结EB ，ED ，当126BED ∠=°时，EDA ∠的度数为（ ）A ．54°B ．27°C ．36°D ．18°(3)已知正方形ABCD ，以AB 为边构造等边ABP ∆，那么DCP ∠=HF DECBAEDCB A【答案】（1）2m；（2）D ；（3）15°或75° 例7 下列说法不正确的是（ ） A ．有一个角是直角的菱形是正方形 B ．两条对角线相等的菱形是正方形 C ．对角线互相垂直的矩形是正方形D ．四条边都相等的四边形是正方形【答案】D练1 （1）如图，矩形ABCD 中，3AB =，两条对角线AC 、BD 所夹的钝角为120︒，则对角线BD 的长为________(2) 矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 ．【答案】（1）6 ；（2）10cm练2 （1）下列说法不能判定四边形是矩形的是（ ） A ．三个角是直角的四边形 B ．四个角都相等的四边形 C ．对角线相等的平行四边形 D ．对角线垂直且相等的四边形 【答案】D（2）已知：如图，M 为▱ABCD 的AD 边上的中点，且MB=MC ， 求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ．∵AM=DM ，MB=MC ， ∴△ABM ≌△DCM ． ∴∠A=∠D ． ∵AB ∥CD ，∴∠A+∠D=180°． ∴∠A=90°．∴▱ABCD 是矩形．练3 （1）如图：在菱形ABCD 中，AC=6，BD=8，则菱形的边长为_______；BC 上的高为_____（2）菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较长的对角线的长度为 【答案】（1）5、245；（2）练4 如图．矩形的对角线相交于点．，． ⑴ 求证：四边形是菱形；⑵ 若，菱形的面积为ABCD 的面积．【答案】⑴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是矩形∴（矩形对角线相等且互相平分）∴四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）⑵ABCD S练5 四边形ABCD 是正方形，延长BC 至E ，使CE AC =，连结AE 交CD 于F ，那么AFC ∠的度数为________．【答案】112.5°ABCD O DE AC ∥CE BD ∥OCED 30ACB ∠=︒OCED OEDC BADE AC ∥CE BD ∥OCED ABCD OC OD =OCED 12OCD OCED S S =△菱形FED CBA。

中考数学专题复习：特殊平行四边形1．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN＝1．（1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形；（2）求△BMN面积的最小值．2．如图，四边形PNQM为菱形，延长MP使得PB＝MP，延长NQ使得QD＝NQ，延长BN 使得NC＝BN，延长DM使得DM＝MA，连接AB，CD．（1）求证：四边形BNDM是平行四边形．（2）猜想：四边形ABCD是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想．3．如图1，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC上的动点．（1）当AD＝AE时，OE＝1，OD＝5，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，当OE＝OD时，过点A作CD的垂线，垂足为F，交ED延长线于点G，求证：GE＝AO．4．如图①，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．（1）求证：PD＝PE；（2）如图②，当∠ABC＝90°时，连接DE，则是否为定值？如果是，请求其值；如果不是，请说明理由．5．如图1，菱形ABCD中，∠A＝60°，F，E分别为AD，BD边上的点，且DE＝AF，CF 交BD于点G，AD＝2．（1）求证：CE＝BF；（2）当E点和G点重合时，求DF的长；（3）如图2，延长CE交BF于点H，连接HG，当F为AD的中点时，求证：GH⊥BF．6．在菱形ABCD中，E、F分别是AD和AB的中点，连接BE、DF．（1）如图（1），求证：BE＝DF；（2）如图（2），设BE，DF交于点G，连接AC，EF，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的等腰三角形．7．如图，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC上，且AM ＝CN．（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；（2）若AB⊥AC，求证：四边形EMFN是菱形．8．点E、F分别在菱形ABCD的边BC、CD上，BE＝DF，作FG∥AE，交AC的延长线于点G，连接AF、EG．（1）如图1，求证：四边形AEGF是菱形；（2）如图2，当AF平分∠CAD时，在不添加辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形（不包括腰长等于AB的等腰三角形）．9．如图1，已知平行四边形ABCD中，BD平分∠CBA．（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）如图2，E为边AB上一动点，连接CE，作CE的垂直平分线交CE于F，交DB于G，连接AG、EG，①求证：△AGE为等腰三角形；②若∠CBA＝60°，求的值．10．四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF 是等腰直角三角形．11．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是边BC上一点，以点E为直角顶点，在AE的右侧作等腰直角△AEF．（1）如图1，当点F在CD边上时，求BE的长；（2）如图2，若EF⊥DF，求BE的长．12．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，求矩形ABCD长与宽的比值．13．矩形ABCD，点E在直线CD上，CF⊥AE垂足为F，连接BF、DF．（1）如图1，点E在线段CD上，写出线段BF与DF的位置关系并证明；（2）如图2，点E不在线段CD上，请补全图形，写出线段BF与DF的位置关系并证明．14．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向C、A运动．（1）四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由；（2）若BD＝12cm，AC＝16cm，当四边形DEBF是矩形，求运动时间t为何值？15．如图，四边形ABCD是矩形，∠ACP＝90°，∠APC＝∠P AD+∠PCD．（1）求∠ACD的度数；（2）过点D作DE⊥AP，垂足为点E，延长DE交AC于点F．请补全图形，探究线段AF，CF，PC的数量关系，并证明．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．动点P、Q分别从点D、A同时出发向右运动，点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，当一个点到达终点时两个点都停止运动．设运动的时间为t（s）（1）当t＝2时，PQ的长为________；（2）若PQ＝PB，求运动时间t的值；（3）若BQ＝PQ，求运动时间t的值．17．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E是AB边上一点，连接CE，过点E作EF⊥CE交AD于点F，作∠AEH＝∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N．（1）如图1，当点H与点F重合时，求BE的长；（2）如图2，当点H在线段FD上时，用等式表示线段BE与DN之间的数量关系（其中2＜BE≤3），并证明．18．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°．（1）如图1，求证：△AOB为等边三角形．（2）如图2，若AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，请直接写出图中除等边三角形外的所有等腰三角形．19．如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．20．如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；（2）求证：当∠F AD＝90°时，四边形AFHD为矩形．21．如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE＝AB，DE交BC于点O，连接EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝40°，当∠BOD等于多少度时四边形BECD是矩形，并说明理由．22．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，DE＝BF，连接EF，∠EFB，∠FED的平分线分别交AB，CD边于点M，N，连接ME，NF．（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，他猜想：当M为AB的中点时，四边形EMFN 是矩形，请补全他的证明思路．小明的证明思路：连接MN．由（1）知四边形EMFN是平行四边形．要证▱EMFN是矩形，只要证MN＝EF．故只要证∠FEN＝∠MNE．由已知条件________，故只要证MN∥AD，即证四边形AMND为平行四边形，易证________，故只要证AM＝DN，易证AM＝BM，故只要证________，易证△BMF≌△DNE，即可得证．23．在▱ABCD中，点E、F均在AD边上，AE＝FD．连接BE、CF并延长，它们交于点G，且GB＝GC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是矩形；（2）如图2，连接BF、CE，若EF＝AE，在不添加任何字母和辅助线的前提下，请直接写出所有面积是△GEF面积8倍的四边形．24．如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．（1）求证：△ABM≌△BCN．（2）请判定△OMN的形状，并说明理由．（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），当AK＝时，求△OMN的面积．25．如图1，M为正方形ABCD的对角线BD上一点，过M作BD的垂线交AD于E，连BE，取BE中点O．（1）如图1，连AO、MO，求证：∠AOM＝90°；（2）如图2，若M在对角线DB的延长线上，连接AM，使得∠MAN＝135°，AN与DB的反向延长线相交于点N，求证：2AM 2﹣MB 2＝MN 2﹣BN 2．26．如图，已知正方形ABCD，AB＝2，E是对角线BD上一点，且不与B、D两点重合，F 是射线CB上一点，且EF＝EC．（1）求证：AE＝EF；（2）若BE＝AB，请在图2中补全图形，判断AF与EC的数量关系并加以证明．27．[问题呈现]如图①，点E是正方形ABCD的边CD上的一点，点F是CB的延长线上的一点，且EA⊥AF．求证：DE＝BF．[拓展探究]如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，CD⊥AB，垂足为点D，点E是边AC上的动点，点F是边CB上的一点，且ED⊥DF．（1）直接写出四边形EDFC的面积．（2）若∠CDE＝15°，则四边形EDFC的周长为________．28．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，连接AE，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t（t＞0）．（1）如图1，EF与CD边交于点M，当DM＝EM时，求此时t的值；（2）如图2，当点F恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，请求出所有符合条件的t的值．29．在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段OC上，点F在线段AB 上，连接BE，连接EF交BD于点M，已知∠AEB＝∠OME．（1）如图1，求证：EB＝EF；（2）如图2，点N在线段EF上，AN＝EN，AN延长线交DB于H，连接DF，求证：DF＝AH．30．在正方形ABCD中，E是BC中点，F是CD上一点，且CF＝CD．（1）如图1，求证：∠AEF＝90°；（2）如图2，连接DE，延长FE交AB的延长线于点G，过点B作BH⊥AF交AD于点H，垂足为M，交AE于点N，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等腰三角形．31．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，AE交BD于点F，DG⊥AE于G，∠DGE 的平分线GH分别交BD，CD于点P，H，连接FH．（1）求证：∠DHG＝∠DF A；（2）求证：FH∥BC；（3）求：的值．32．正方形ABCD，点E在射线CD上，连接AE，以AE为斜边，作Rt△AEF，FE＝F A（点F，B在直线AE的两侧），连接DF．（1）如图，点E在线段CD上．①求∠ADF的度数．②求证：CE＝DF．（2）若DE＝2，以A，E，D，F为顶点的四边形的面积为6时，请直接写出DF的长．33．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG 为一边向正方形ABCD外做正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H．（1）求证：BH⊥DE；（2）若正方形ABCD的边长为1，当点H为DE中点时，求CG的长．34．如图，点O为正方形ABCD的中心．DE＝AG，连接EG，过点O作OF⊥EG交AD于点F．（1）连接EF，△EDF的周长与AD的长有怎样的数量关系，并证明；（2）连接OE，求∠EOF的度数；（3）若AF：CE＝m，OF：OE＝n，求证：m＝n2．35．正方形ABCD，点E在AB上，过点E作AD的平行线交CD于点F点G在EF上，CG 平分∠BCD，点H在CG上，HE＝HD．（1）如图（1），求证：HG＝HC；（2）如图（2），连接DE，FH，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图（2）中的所有的等腰直角三角形．36．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．37．点E在正方形AOCD的边AD上，点H在边AO上，AH＝DE．（1）如图1，求证：DH⊥CE；（2）如图2，EF⊥CE，FH⊥AO，垂足为点H．求证：FH＝AH．38．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB＝PE；（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．39．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，FC⊥EC 于点C，且EC＝FC，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE＝，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG ＝BE．40．如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G，求证：BF＝FG+DG．41．如图，正方形ABCD和正方形AEFG有公共点A，点B在线段DG上．（1）判断DG与BE的位置关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，正方形AEFG的边长为，求BE的长．42．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE 交DG的延长线于点H，连接BH．（1）直接写出GF与GC的数量关系：________；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．43．如图1，△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，分别以AB，BC为边向外作正方形ABFG，BCED，连接AD，CF，AD与CF交于点M，AB与CF交于点N．（1）求证：△ABD≌△FBC；（2）如图2，在图1基础上连接AF和FD，若AD＝6，求四边形ACDF的面积．44．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上，点F在CD延长线上，BE＝DF（1）求证：AE＝AF；（2）若BD与EF交于点M，连接AM，试判断AM与EF的数量与位置关系，并说明理由．45．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD 于点E，（1）求DE的长；（2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．46．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45度．则有结论EF＝BE+FD成立；（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由．（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．47．如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，AC，BD相交于点G．过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．（1）求证：△ABC≌△BAD；（2）若AB＝BC，四边形AHBG是什么特殊四边形？请说明理由．48．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．参考答案1．（1）证明：如图所示，连接BD，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴∠ADB＝∠NDB＝60°，故△ADB是等边三角形，∴AB＝BD，又AM+CN＝1，DN+CN＝1，∴AM＝DN，在△AMB和△DNB中，，∴△AMB≌△DNB（SAS），∴BM＝BN，∠MBA＝∠NBD，又∠MBA+∠DBM＝60°，∴∠NBD+∠DBM＝60°，即∠MBN＝60°，∴△BMN是等边三角形；（2）解：过点B作BE⊥MN于点E．设BM＝BN＝MN＝x，则，故，∴当BM⊥AD时，x最小，此时，，．∴△BMN面积的最小值为．2．（1）证明：∵四边形PNQM为菱形，∴MP＝NQ，MP∥NQ，∵PB＝MP，QD＝NQ，∴MB＝DN，∵MP∥NQ，∴四边形BNDM是平行四边形；（2）四边形ABCD是矩形．证明：∵四边形BNDM是平行四边形．∴DM＝BN，∵NC＝BN，∴DM＝NC，∵DM∥NC，∴四边形DMNC是平行四边形．∴MN＝DC，MN∥DC，∵DM＝MA，∴MA＝BN，∴四边形AMNB是平行四边形．∴AB∥MN，AB＝MN，∴AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵四边形PNQM为菱形，∴MQ＝NQ，∵QD＝NQ，∴QD＝NQ＝MQ，∴∠NMD＝90°，∴∠CDM＝90°，∴四边形ABCD是矩形．3．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2DO＝10，∵AD＝AE，∴AD＝AE＝AO+OE＝1+OA，∵AD2＝OD2+AO2，∴（1+OA）2＝25+AO2，∴AO＝12，∴AC＝24，∴菱形ABCD的面积＝＝120；（2）如图，过点G作GH⊥AC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，AD＝CD，∠DAC＝∠DCA，∵OE＝OD，∴∠DEO＝∠EDO＝45°，∵GH⊥AC，∴∠HED＝∠HGE＝45°，∴GH＝HE，GE＝GH，设∠DAC＝∠DCA＝x，∴∠EDC＝45°﹣x＝∠GDF，∵AF⊥CF，∴∠FGD＝90°﹣∠GDF＝45°+x，∵∠DAF＝90°﹣2x，∴∠ADC＝180°﹣∠GAD﹣∠AGD＝45°+x，∴∠ADC＝∠AGD，∴AG＝AD，在△AHG和△DOA中，，∴△AHG≌△DOA（AAS），∴GH＝AO，∴GE＝GH＝AO．4．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，AB∥DC，在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴PB＝PD，∵PE＝PB，∴PD＝PE；（2），理由如下：∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP＝∠CDP，∵PE＝PB，∴∠CBP＝∠E，∵∠CFE＝∠DFP（对顶角相等），∴180°﹣∠DFP﹣∠CDP＝180°﹣∠CFE﹣∠E，即∠DPE＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠ABC，∴∠DPE＝∠ABC＝90°，又∵PD＝PE，∴DE＝PE，∴．5．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，∴AB＝BC＝CD＝DA＝BD，在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴CE＝BF．（2）DF的长是﹣1．（3）证明：∵F为AD的中点，∴BF⊥AD，AF＝DF，∠DBF＝30°，由（1）知：AF＝DE，∴AF＝DF＝DE＝BE，∴CE⊥BD，∴∠BFD＝∠BEH＝90°，∴∠EBH＝∠FBD，∴BH＝，HG＝，由（2）知DF：BC＝DG：BG＝1：2，∴，∴BH2+HG2＝BG2，∴△BHG为直角三角形，∴∠BHG＝90°，∴GH⊥BF．6．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAC＝∠DAC，∵E、F分别是AD和AB的中点，∴AF＝AE＝BF＝DE，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE＝DF；（2）∵AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形，∵AB＝AD＝BC＝CD，∴△ABC，△ADC是等腰三角形，∵AE＝AF，∠BAC＝∠DAC，∴AG垂直平分EF，∴FG＝EG，∴△GEF是等腰三角形．7．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EAM＝∠FCN，∵E、F分别为AD、BC的中点，∴AE＝DE＝BF＝CF，在△AEM和△CFN中，，∴△AEM≌△CFN（SAS），∴EM＝FN，∠AME＝∠CNF，∴∠EMN＝∠FNM，∴EM∥FN，∴四边形EMFN是平行四边形；（2）连接EF交AC于O，如图所示：由（1）得：AE∥BF，AE＝BF，∴四边形AEFB是平行四边形，∴AB∥EF，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠COF＝∠BAC＝90°，∴EF⊥MN，∴四边形EMFN是菱形．8．（1）证明：∵菱形ABCD，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC，∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS）,∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，∴∠EAG＝∠F AG，∵FG∥AE，∴∠EAG＝∠FGA，∴∠F AG＝∠FGA，∴FG＝AF＝AE，∵FG∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AF＝AE，∴四边形AECF是菱形；（2）解：△AEG、△AFG、△CEG、△CFG．理由如下：由（1）及菱形的性质可得△AEG、△AFG是等腰三角形，∴∠F AC＝∠FGA，∵∠DAC＝2∠F AC，∴∠DAC＝2∠FGA，∵AD＝DC,∴∠DAC＝∠DCA，∵∠DCA＝∠FGA+∠CFG，∴2∠FGA＝∠FGA+∠CFG，∴∠FGA＝∠CFG，∴△CFG是等腰三角形，同理可得△CEG是等腰三角形，∴符合要求的等腰三角形为△AEG、△AFG、△CEG、△CFG．9．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠CDB＝∠CBD，∴DC＝BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形；（2）①∵四边形ABCD是菱形，∴DC＝DA，∠CDG＝∠ADG，在△ADG和△CDG中，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴AG＝CG，∵GF是EC的垂直平分线，∴CG＝EG，∴AG＝EG，即△AGE是等腰三角形；②连接AC交BD于O，∵GC＝GE，∴∠GCE＝∠GEC，∵AG＝CG＝GE，∴∠GCA＝∠GAC，∠GAE＝∠GEA，∵∠CBA＝60°，BC＝AB，∴∠CAB＝∠ACB＝60°，∴∠GAC+∠GAE＝60°，∴∠GAC+∠GCA+∠GAE+∠GEA＝120°，∴∠AGC+∠AGE＝240°，∴∠CGE＝120°，∴∠GCE＝30°，∴CG＝2GF，∴AG＝2GF，∴＝．10．证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，CB⊥AE，又∵AC＝EC，∴AB＝BE，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形；（2）∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形，∵EG⊥AC，∴∠E＝∠GAE＝45°，∴GE＝GA，又∵AF＝BE，∴AB＝FE，∴FE＝AD，在△EGF和△AGD中，，∴△EGF≌△AGD（SAS），∴GF＝GD，∠DGA＝∠FGE，∠DGF＝∠DGA+∠AGF＝∠EGF+∠AGF＝∠AGE＝90°，∴△DGF是等腰直角三角形．11．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC，∵EF⊥AE，∠AEF＝90°，∴∠AEB＝∠EFC，∵△AEF是等腰直角三角形，∴EF＝AE，在△ABE和△ECF中，，∴△ABE≌△ECF（AAS），∴CE＝AB，∵AB＝6，∴CE＝6，∵AD＝8，∴BC＝8，∴BE＝BC﹣CE＝2．（2）如图2中，延长DF，BC交于点N，过点F作FM⊥BN于点M，同理可证△ABE≌△EMF，∴AB＝EM，BE＝FM，设BE＝x，则EM＝AB＝6，FM＝BE＝x，EC＝8﹣x，∵EF⊥DF，∴∠NFE＝∠DCB＝90°，∴∠CDF+∠N＝90°，∠FEC+∠N＝90°，∴∠FEC＝∠CDF，在矩形ABCD中，AB＝DC，∴CD＝AB＝EM，在△EFM和△DNC中，，∴△EFM≌△DNC（AAS），∴NC＝FM＝x，EN＝EC+NC＝8，NM＝EN﹣EM＝2，即在Rt△FMN中，FN2＝FM2+NM2＝x2+22，在Rt△EFM中，EF2＝FM2+EM2＝x2+62，在Rt△EFN中，FN2+EF2＝EN2，即x2+22+x2+62＝82，解得x＝2或﹣2舍弃），即BE＝2．12．解：连接DE，如图：∵沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，∴四边形ABEF为正方形，∴∠EAD＝45°，由第二次折叠知，M点正好在∠NDG的平分线上，∴DE平分∠GDC，∴∠GDE＝∠CDE，∵DG为折痕，∴∠DGE＝90°＝∠C，而DE＝DE，∴Rt△DGE≌Rt△DCE（AAS），∴DC＝DG，∵∠EAD＝45°，∠DGA＝90°，∴△AGD为等腰直角三角形，∴AD＝DG＝CD，∴矩形ABCD长与宽的比值为，故答案为．13．解：（1）BF⊥DF，如图1，连接AC，BD交于点O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵CF⊥AE垂足为F，∴∠AFC＝90°，∵在Rt△ACF中，OA＝OC，∴OF＝AC＝OA＝OB＝OD，∴OF＝OB＝OD，∴∠DBF＝∠OFB，∠BDF＝∠OFD，∵∠BFD+∠BDF+∠DBF＝180°，∴∠OFB+∠OFD+∠OFB+∠OFD＝180°，∴∠OFB+∠OFD＝90°，∴∠BFD＝∠OFB+∠OFD＝90°，即BF⊥DF．（2）补全图形如图2或图3，BF⊥DF，连接AC，BD交于点O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵CF⊥AE垂足为F，∴∠AFC＝90°，∵在Rt△ACF，OA＝OC，∴OF＝AC＝OA＝OB＝OD，∴OF＝OB＝OD，∴∠DBF＝∠OFB，∠BDF＝∠OFD，∵∠BFD+∠BDF+∠OFB+∠OFD＝180°，∴∠OFB+∠OFD＝90°，∴∠BFD＝∠OFB+∠OFD＝90°，即BF⊥DF．14．解：（1）是．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC，∵E、F两点移动的速度相同，即AE＝CF，∴OE＝OF，∵OD＝OB，∴四边形DEBF是平行四边形．（2）因为矩形对角线相等，所以EF＝12时，其为矩形，即AE＝CF＝（16﹣12）＝2，或者AE＝CF＝（16+12）＝14，所以当t＝2或14时，四边形DEBF是矩形．15．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝90°，即∠DAP+∠P AC+∠DCA＝90°，∵∠ACP＝90°，∴∠APC+∠CAP＝90°，∵∠APC＝∠P AD+∠PCD．∴∠CAP+∠P AD+∠PCD＝90°，∴∠PCD＝∠ACD，∵∠ACP＝90°，∴∠PCD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝45°；（2）AF＝CF+PC．连接BD，交AC于点O，过点C作CN∥AP交BD于点N，如图．证明：由（1）知，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴AD＝CD，∴矩形ABCD是正方形，∴∠DAO＝∠CDO＝45°，∠AOD＝90°，∵∠ACP＝∠AOD＝90°，∴MN∥PC，∵AP∥CN，∴∠1＝∠2，四边形PCNM为平行四边形，∴PC＝MN，∵∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，∴∠3＝∠4，在△ADF和△DCN中，，∴△ADF≌△DCN（AAS），∴AF＝DN，∵∠7+∠ADE＝90°，∠8+∠ADE＝90°，∴∠7＝∠8，在△ADM和△DCF中，，∴△ADM≌△DCF（ASA），∴DM＝CF，∵AF＝DN，PC＝MN，∴AF＝DN＝DM+MN＝CF+PC．16．解：（1）如图所示：作PH⊥AB于H，由题意得，DP＝4，AQ＝2，则QH＝2，又PH＝AD＝6，由勾股定理的，PQ＝＝＝2，故答案为：2；（2）当PQ＝PB时，如图，QH＝BH，则t+2t＝8，解得，t＝；（3）当PQ＝BQ时，（2t﹣t）2+62＝（8﹣t）2，解得，t＝．17．解：（1）如图，∵EF⊥EC，∴∠NEC＝90°，∴∠AEF+∠BEC＝90°，∵∠AEF＝∠BEC，∴∠BEC＝45°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴BE＝BC，∵BC＝3，∴BE＝3；（2）线段BE与DN之间的数量关系为DN＝2BE﹣4．证明：如图，过点E作EG⊥CN，垂足为点G，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CN，∴∠B＝∠BCG＝90°＝∠EGC，∴四边形BEGC是矩形，∴BE＝CG，∵AB∥CN，∴∠AEH＝∠N，∠BEC＝∠ECN，∵∠AEH＝∠BEC，∴∠N＝∠ECN，∴EN＝EC，∴CN＝2CG＝2BE，∵CD＝AB＝4，∴CN＝2CG＝2BE＝DN+4，∴DN＝2BE﹣4．18．（1）证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形．（2）解∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，∴OA＝OD＝OB＝AB＝OC，∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∴BE＝OB，所以△ABE是等腰三角形，△OAD，△OBC，△BEO是等腰三角形．19．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH＝GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）解：四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：作G关于BC的对称点G′，连接EG′，可得EG′的长度就是EF+FG的最小值．连接AC，∵CG′＝CG＝AE，AB∥CG′，∴四边形AEG′C为平行四边形，∴EG′＝AC．在△EFG′中，∵EF+FG′＞EG′＝AC，∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．20．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，∵∠DCE＝20°，AB∥CD，∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC∥FG，BC＝FG，∵H为FG的中点，∴FH＝FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD＝FH，∴四边形AFHD是平行四边形，∵∠F AD＝90°，∴四边形AFHD为矩形．21．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：若∠A＝40°，当∠BOD＝80°时，四边形BECD是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝40°，∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD，∴OC＝OD，∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形．22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠B＝∠D，∴∠FED＝∠EFB，∵EN，FM分别平分∠FED，∠EFB，∴∠FEN＝∠DEN＝FED，∠EFM＝∠BFM＝EFB，∴∠FEN＝∠EFM，∠DEN＝∠BFM，∴FM∥EN，在△BFM与△DEN中，，∴△BFM≌△DEN（ASA），∴FM＝EN，∴四边形EMFN是平行四边形；（2）连接MN．由（1）知四边形EMFN是平行四边形．要证▱EMFN是矩形，只要证MN＝EF．故只要证∠FEN＝∠MNE．由已知条件EN平分∠FED，故只要证MN∥AD，即证四边形AMND为平行四边形，易证AM∥DN，故只要证AM＝DN，易证AM＝BM，故只要证BM＝DN，易证△BMF≌△DNE，即可得证．故答案为：EN平分∠FED；AM∥DN；BM＝DN．23．（1）证明：∵▱ABCD，∴AD∥BC，∠A+∠D＝180°，∴∠GBC＝∠GEF，∠GCB＝∠GFE，∵GB＝GC，∴∠GBC＝∠GCB，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∠AEB＝∠DFC，∴GB﹣GE＝GC﹣GF，即EB＝FC，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠A＝∠D，又∠A+∠D＝180°，∴∠A＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）∵▱ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠GBC＝∠GEF，∠GCB＝∠GFE，∴S四边形EBCF＝8S△GEF，∵AE＝FD＝EF，∴S△AEB＝S△EFB＝S△EFC＝S△FDC，∴S△AEB+S△BCE＝S△EFC+S△BCE，S△EFB+S△BCF＝S△FDC+S△BCF，即S四边形ABCE＝S四边形EBCF，S四边形EBCF＝S四边形DCBF，∴S四边形ABCE＝S四边形EBCF＝S四边形DCBF＝8S△GEF．面积是△GEF面积8倍的四边形有：四边形ABCE，四边形EBCF，四边形DCBF．24．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBM＝90°，∵AM⊥BM，CN⊥BN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∴∠MAB+∠MBA＝90°，∴∠MAB＝∠CBM，在△ABM和△BCN中，,∴△ABM≌△BCN（AAS）；(2)△OMN是等腰直角三角形，理由如下：如图，连接OB，∵点O是正方形ABCD的中心，∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，∵∠MAB＝∠CBM，∴∠MAB﹣∠OAB＝∠CBM﹣∠OBC，∴∠MAO＝∠NBO，又∵AM＝BN，OA＝OB，∴△AOM≌△BON（SAS），∴MO＝NO，∠AOM＝∠BON，∵∠AON+∠BON＝90°，∴∠AON+∠AOM＝90°，∴∠MON＝90°，∴△MON是等腰直角三角形；解：（3）设AK＝x（0＜x＜1），在Rt△ABK中，BK＝＝, ∵S△ABK＝×AK×AB＝×BK×AM，∴AM＝＝，∴BN＝AM＝,∴BM＝＝,∴MN＝BM﹣BN＝,∵S△OMN＝MN2＝＝（0＜x＜1），将x＝代入得：S△OMN＝＝＝,∴当AK＝时，S△OMN＝．25．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵ME⊥BD，∴∠BME＝90°，∵O是BE的中点，∴AO＝MO＝BE＝BO＝EO，∴∠ABO＝∠BAO，∠OBM＝∠OMB，∴∠AOE＝2∠ABO,∠MOE＝2∠MBO,∴∠AOM＝∠AOE+∠MOE＝2∠ABO+2∠MBO＝2∠ABD＝90°；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°，即∠N+∠DAN＝45°，∵∠MAN＝135°，∴∠MAB+∠DAN＝135°﹣∠BAD＝45°，∴∠MAB＝∠N,又∠M＝∠M,∴MA2＝MN•MB∴2AM2＝MN•2BM＝MN•(BM+BM)＝MN•(MN﹣BN+BM)＝MN2﹣MN((BN﹣BM)＝MN2﹣(BN+BM)•(BN﹣BM)＝MN2﹣BN2+BM2，∴2AM2﹣MB2＝MN2﹣BN2．26．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADB＝∠CDB＝45°，在△ADE与△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝EC，∵EF＝EC，∴AE＝EF；（2）AF＝CE，理由如下：∵AB＝BE＝BC，∠ABD＝∠DBC＝45°，∴∠BAE＝∠AEB＝∠BEC＝∠BCE＝67.5°，∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF＝67.5°，∴∠FEC＝45°，∠BFE＝112.5°，∵∠BAE+∠AEF+∠BFE+∠ABF＝360°，∴∠AEF＝90°，且AE＝EF，∴∠AFE＝45°，∴∠AFE＝∠FEC＝45°，∴AF＝EF,∴AF＝CE．27．证明：[问题呈现]∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝∠D＝∠ABF＝90°．∵EA⊥AF，∴∠F AE＝90°．∴∠DAE+∠BAE＝∠BAF+∠BAE＝90°，∴∠BAF＝∠DAE．在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（ASA），∴DE＝BF．[拓展探究]（1）∵∠ACB＝90°，ED⊥DF，∴∠CED+∠CFD＝180°，∵∠BFD＝∠CFD＝180°，∴∠CED＝∠BFD，又∵AC＝CB＝2，CD⊥AB，∴△ABC为等腰直角三角形，∴CD＝BD＝AD，∠B＝∠DCE＝45°，∴△DCE≌DBF（AAS）．∴S四边形CEDF＝S△CDB＝S△ABC＝AC•BC＝3．（2）作DM⊥AC于点M，则CM＝AM＝DM＝AC＝，∵∠CDE＝15°，∠ACD＝45°，∴∠MED＝∠CDE+∠ACD＝60°，∴ED＝2．∵△DCE≌DBF，∴ED＝FD，EC＝BF，∴四边形EDFC的周长＝ED+FD+EC+BF＝2ED+BC＝4+2．故答案为：4+2．28．解：（1）连接AM，如图，∵正方形AEFG，矩形ABCD，∴∠AEM＝∠ADM＝∠ABE＝90°，AD＝BC＝4，在Rt△AEM和Rt△ADM中，，∴Rt△AEM≌Rt△ADM（HL），∴AE＝AD＝4，在Rt△ABE中，BE＝＝，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴；（2）分四种情况，1°当点F在CD上时，如图，∵矩形ABCD，∴∠ABE＝∠ECF＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°，∵正方形AEFG，∴∠AEF＝90°，AE＝EF，∴∠FEC+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∠AEB＝∠EFC，在△BAE和△CEF中，，∴△BAE≌△CEF（ASA），∴AB＝EC＝3，∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴t＝1；2°当点F落在AD上时，如图，∵AF时正方形AEFG的对角线，∴∠EAF＝45°，∵矩形ABCD，∴∠B＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝45°＝∠AEB，∴BE＝AB＝3，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴t＝3；3°当点F落在AC上时，过点F作FM⊥BC交BC于点M，如图，∵正方形AEFG，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEM＝90°，∵矩形ABCD，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEM，在△BAE和△MEF中，，∴△BAE≌△MEF（AAS），∴FM＝BE，EM＝AB＝3，设FM＝BE＝x，则MC＝4﹣3﹣x＝1﹣x，∵∠FCM＝∠ACM，∠FMC＝∠ABC，∴△FMC～△ABC，∴x＝，即FM＝BE＝，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴；4°当点F落在BD上时，过点F作FM⊥BC交BC于点M，如图，∵正方形AEFG，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEM＝90°，∵矩形ABCD，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEM，在△BAE和△MEF中，，∴△BAE≌△MEF（AAS），∴FM＝BE，EM＝AB＝3，设CE＝a，，则FM＝BE＝4+a，BM＝7+a，∵∠DBC＝∠FBM，∠FMB＝∠BCD＝90°，∴a＝5，∴BE＝4+a＝9，∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，∴t＝9；故所有符合条件的t的值t＝1或t＝3或t＝9或．29．证明：（1）如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，∴在Rt△OME和Rt△OEB中，∠3+∠OME＝∠4+∠OEB＝90°，∵∠OME＝∠OEB，∴∠3＝∠4，∴∠5＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠FBE，∴EF＝EB；（2）连接DE，∵AN＝EN，∴∠3＝∠5，∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠5，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，AC⊥BD，∴∠7＝∠8＝90°，在△AOH和△BOE中，，∴△AOH≌△BOE（ASA），∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠1＝∠2＝45°，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴DE＝BE＝AH＝EF，∵AC⊥BD，∴∠6＝∠AEB，∵∠3＝∠4，∠4+∠AEB＝90°，∴∠3+∠6＝90°，即∠DEF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴．30．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD．∵E是BC中点，∴，EC＝BC＝CD．∴∠BAE＝∠CEF．∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠BEA+∠CEF＝90°．∴∠AEF＝90°．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴∠GBE＝∠C＝90°，AB∥CD．∴∠G＝∠CFE．在△BEG和△CEF中，．∴△BEG≌△CEF（AAS）．∵∠AEF＝90°，∴AE是GF的垂直平分线．∴AG＝AF．∴△AGF为等腰三角形．∴∠GAE＝∠F AE．∵BH⊥AF，∴∠MAH+∠AHM＝90°．∵AD∥BC，∴∠AHM＝∠HBC．∵∠ABC＝90°，∴∠HBC+∠ABH＝90°．∴∠ABH＝∠MAH．∵∠ANH＝∠ABH+∠GAE，∴∠ANH＝∠MAH+∠EAF＝∠NAH．∴HA＝HN．∴△HAN为等腰三角形．∵AD∥BC，∴∠HAN＝∠BEN．∵∠ANH＝∠BNE，∴∠BEN＝∠BNE．∴△BEN为等腰三角形．在△ABE和△DCE中，．∴△ABE≌△DCE（SAS）．∴EA＝ED．∴△AED为等腰三角形．综上，等腰三角形有：△AED，△BEN，△AHN，△AGF．31．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∵DG⊥AE，∴∠DGE＝90°，∵GH平分∠DGE，∴∠DGH＝∠EGH＝45°，∴∠BDC＝∠EGH＝45°，∵∠DPH＝∠GPF，∴∠DHG＝∠DF A．（2）由（1）可知：∠BDC＝∠EGH＝45°，∠DPH＝∠GPF，∴∠DGP＝∠HFP＝45°，又∠DBC＝45°，∴∠DBC＝∠HFP＝45°，∴FH∥BC．（3）连接P A，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DG于N，QP⊥GP交GD于Q，如图所示．由（2）证法，易证∠P AG＝∠PDG，∵PM⊥AE，PN⊥DG，GH平分∠DGE，∴PM＝PN，∴Rt△PMA≌Rt△PND（AAS），∴P A＝PD，∵四边形ABCD是正方形，∠ADB＝45°，∴∠APD＝90°＝∠GPQ，∴∠APG＝∠DPQ，∴△APG≌△DPQ（ASA），∴QD＝AG，∵∠PGQ＝45°，∴△PGQ是等腰直角三角形，∴GQ＝PG，∴DG﹣AG＝DG﹣DQ＝GQ＝PG，∴．32．解：（1）①连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAD＝45°，Rt△AEF中，FE＝F A，∴∠EAF＝45°，即∠CAE＝∠DAF，∴∠ADF＝∠ACE＝45°．∴CE＝DF；（2）①当点E在线段CD上时，则S△ADE+S△ADF＝6，过点F作FH⊥AD，∵∠ADF＝45°，∴HF＝DF，设方形ABCD的边长为a，则CE＝a﹣2，DF＝CE＝（a﹣2），∴2a+a×（a﹣2）×＝6，解得：a＝4，∴CE＝4﹣2＝2，∴DF＝CE＝×2＝，②当点E在CD的延长线上时，则S△ADE+S△AEF＝6，过点F作FM⊥AE，FN⊥AD，连接AC，设正方形ABCD的边长为a，则AE＝＝，MF＝，∴×2a+×＝6，解得a＝2﹣2或a＝﹣2﹣2（舍去），∴CE＝2﹣2+2＝2，∴DF＝CE＝×2＝2，综上所述：DF＝或2．33．（1）证明：∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，同理：CG＝CE，∠GCE＝90°，∴∠BCD＝∠GCE＝90°，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠GBC＝∠CDE，在Rt△DCE中∠CDE+∠CED＝90°，∴∠GBC+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BEH）＝90°，。