全国百强校：江苏省2017-2018学年度高一第二学期期末考试数学试卷+答案
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2017~2018学年度第二学期期末考试
高一数学试卷
参考公式：V柱=Sh，S为底面积，h为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．
1. 直线的倾斜角为____．
2. 在中，角所对的边分别为．已知，则的度数为____．
3. 在等比数列中，公比为，为其前项和．已知，则的值为____．
4. 已知正实数满足，则的最大值为____．
5. 已知点在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为____．
6. 已知一个正三棱柱的侧面积为18，且侧棱长为底面边长的2倍，则该正三棱柱的体积为____．
7. 在等差数列中，公差，且成等比数列，则的值为____．
8. 已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列四个命题中，所有正确命题的序号为____．
① 若，，则； ② 若，，则；
③ 若，，则； ④ 若，，则．
9. 在中，角所对的边分别为．已知，则的面积为____．
10. 若直线与平行，则与之间的距离为____．
11. 已知，，则的值为____．
12. 已知数列满足，，则数列的前项和____．
13. 关于的不等式的解集中恰含有3个整数，则实数的取值集合是____．
14. 在中，若，则的最小值为____．
二、解答题: 本大题共6小题， 共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角所对的边分别为．已知，,． 2 / 16
（1）求的值；
（2）求的值．
16. 如图，在四棱锥中，为的中点．
（1）若，，求证：平面；
（2）若，平面 平面，求证：．
17. 某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，厚度忽略不计．轴截面如图所示，设．（注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．）
（1）用表示圆柱的高；
（2）实践表明，当球心和圆柱底面圆周上的点的距离达到最大时，景观的观赏效
果最佳，求此时的值．
18. 在中，边，所在直线的方程分别为，，已知是边上一点．
（1）若为边上的高，求直线的方程；
（2）若为边的中线，求的面积． 3 / 16
19. 已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若恒成立，求的取值范围．
20. 已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且，.
①求证:数列是等比数列；
②求满足的所有正整数的值．
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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．
1. 直线的倾斜角为____．
【答案】；
【解析】即。设直线的倾斜角为，则。因为，所以
2. 在中，角所对的边分别为．已知，则的度数为____．
【答案】；
【解析】由正弦定理： 可得： ，
由 可得 ，则： .
3. 在等比数列中，公比为，为其前项和．已知，则的值为____．
【答案】2；
【解析】由等比数列前n项和公式可得： ，
解得： .
4. 已知正实数满足，则的最大值为____．
【答案】；
【解析】由均值不等式的结论有： ，解得： ，
当且仅当 时等号成立，即的最大值为.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
5. 已知点在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为____．
【答案】； 5 / 16
6. 已知一个正三棱柱的侧面积为18，且侧棱长为底面边长的2倍，则该正三棱柱的体积为____．
【答案】；
【解析】设底面边长为a，则高为2a，侧面积为： ，
该三棱柱的体积为： .
7. 在等差数列中，公差，且成等比数列，则的值为____．学+科+网...
【答案】3；
【解析】由题意可得： ，即：
整理可得： .
8. 已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列四个命题中，所有正确命题的序号为____．
① 若，，则； ② 若，，则；
③ 若，，则； ④ 若，，则．
【答案】②③；
【解析】逐一考查所给的四个说法： 6 / 16
① 直线垂直于平面内两条相交直线，则直线垂直于平面，若，，则不一定由；该说法错误；
② 由面面平行的定义，若，，则；该说法正确；
③ 由面面垂直的判断法则，若，，则；该说法正确；
④ 若，，不一定由．该说法错误；
综上，正确命题的序号为②③.
9. 在中，角所对的边分别为．已知，则的面积为____．
【答案】；
【解析】由题意可得： ，
则： ，
由海伦公式可得的面积为
10. 若直线与平行，则与之间的距离为____．
【答案】；
【解析】由直线平行的充要条件可得：
，解得： ，直线方程为：
，
则与之间的距离为 .
点睛：在应用两条平行直线间的距离公式时．要注意两直线方程中x，y的系数必须对应相同．
11. 已知，，则的值为____．
【答案】；
【解析】
由题意可得：
，据此有： .
12. 已知数列满足，，则数列的前项和____．学+科+网... 7 / 16
【答案】；
【解析】由题意可得： ，
以上各式相加可得： ，则 ，
裂项求和可得： .
点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
13. 关于的不等式的解集中恰含有3个整数，则实数的取值集合是____．
【答案】；
【解析】很明显 ，不等式的解集为： ，
分类讨论：
当 时，有： ，据此可得： ，
同理讨论： 几种情况可得
实数的取值集合是.
14. 在中，若，则的最小值为____．
【答案】．
【解析】由题意可得： ，
即： ，结合余弦定理：
当且仅当 时等号成立，
综上可得：的最小值为． 8 / 16
二、解答题: 本大题共6小题， 共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角所对的边分别为．已知，,．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）（2）3
【解析】试题分析：
(1)利用题意首先求得，然后结合余弦定理可得．
(2)首先求得，然后结合两角和差的正切公式可得．
试题解析：
（1）法一：因为，，学+科+网...
所以，
所以，
又因为，
所以．
法二：在中，，
又，即，
所以，所以．
（2）由（1）得，，
所以， 9 / 16
所以，
所以．
点睛：运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用.给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可
16. 如图，在四棱锥中，为的中点．
（1）若，，求证：平面；
（2）若，平面 平面，求证：．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：
(1)首先证得，然后结合线面平行的判断定理可得平面．
(2)结合题意可得平面，然后由线面垂直的性质可得．
试题解析：
证明：（1）因为，，为中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形， 10 / 16
故，
又平面，平面，
所以平面．
（2）因为，为中点，
所以，
又平面 平面，平面 平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
17. 某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，厚度忽略不计．轴截面如图所示，设．（注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．）
（1）用表示圆柱的高；
（2）实践表明，当球心和圆柱底面圆周上的点的距离达到最大时，景观的观赏效
果最佳，求此时的值．
【答案】（1）（2）当时，观赏效果最佳．
【解析】试题分析：
(1)做出辅助线，结合图形的特点可得；
(2)结合余弦定理可得结合三角函数的性质有当时，观赏效果最佳.
试题解析： 11 / 16
（1）作于点，则在直角三角形中，
因为，
所以，
因为四边形是等边圆柱的轴截面，
所以四边形为正方形，
所以．
（2）由余弦定理得：
，……8分
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值 ，
所以当时，的最大值为．
答：当时，观赏效果最佳．
18. 在中，边，所在直线的方程分别为，，已知是边上一点．
（1）若为边上的高，求直线的方程；
（2）若为边的中线，求的面积．学+科+网...
【答案】（1）（2）6
【解析】试题分析：
(1)利用题意首先求得BC的斜率，然后由点斜式可得直线的方程为；
