北师大版数学必修二作业12精讲精练
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课时作业(十二)
1．已知直线a、b与平面α，则下列四个命题中错误．．的是( )
A．如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b
B．如果a⊥α，a∥b，那么b⊥α
C．如果a⊥α，b∥α，那么a⊥b
D．如果a⊥α，a⊥b，那么b∥α
答案 D
解析 b∥α或bα.
2．已知直线a、b、c和平面β，具备以下哪个条件时，a∥b成立．( )
A．a∥β，b∥β B．a⊥β，b⊥β
C．a⊥c，b⊥c D．a与c、c与b所成角相等
答案 B
3．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD的中点，则异面直线AE、BC所成角的正切值为( )
A.2
B.22
C．2 D.12
答案 A
解析 取BD中点O，连接OE、OA，则OA⊥BD.
∴OA⊥平面BDC，又OE平面BDC，
∴OA⊥OE，又OE綊12BC，
∴∠AEO即为AE与BC所成的角．
在Rt△AOE中，OA＝22a(设正方形棱长为a)，
OE＝12BC＝a2.tan∠AEO＝OAOE＝22aa2＝2.
4．已知直线l⊥平面α，直线m平面β，下列四个命题中正确的是( )
①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l∥m，则α∥β.
A．③④ B．①③
C．②④ D．①② 答案 B
5．下列命题中错误的是( )
A．若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线
B．若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
C．若一条直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面
D．若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直
答案 C
6.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在(
)
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
答案 A
解析 连接AC1，∵∠BAC＝90°，即BA⊥AC，又∵AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.又平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在平面ABC上的射影必在直线AB上．
7．(2016·课标全国Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；
③如果α∥β，mα，那么m∥β；
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)．
答案 ②③④
解析 对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：
如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确．由平面与平面平行的定义知命题③正确．由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．
8.如图所示，PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB，②EF⊥PC，③AF⊥BC，④AE⊥平面PBC.
其中正确命题的序号是________．
答案 ①③
9.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD＝________．
答案 2
解析 取AB的中点E，连接DE，CE.
由题意知DE⊥AB，
当平面ADB⊥平面ABC时，
DE⊥平面ABC，CE平面ABC，则DE⊥CE. 由已知可得DE＝3，CE＝1.
∴在Rt△DEC中，CD＝DE2＋CE2＝2.
10.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点，求证：
(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
证明 (1)∵AD∥BC，BC面PBC，AD⃘面PBC，
∴AD∥面PBC，又面ADN∩面PBC＝MN，
∴AD∥MN.
又∵BC∥AD，∴MN∥BC.
又N为PB的中点，
∴点M为PC的中点∴MN綊12BC.
又E为AD的中点，∴MN綊DE.
∴四边形DENM为平行四边形．
∴EN∥DM，又DM面PCD，EN⃘面PCD，∴EN∥面PDC.
(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.
又∵PE⊥AD，∴AD⊥面PBE.
又∵AD∥BC，∴BC⊥面PEB.
(3)由(2)知AD⊥面PBE.
又PB面PBE，∴AD⊥PB.
又∵PA＝AB，N为PB的中点，
∴AN⊥PB.∴PB⊥面ADMN. 又∵PB平面PBC，∴平面PBC⊥平面ADMN.
11．(2015·陕西)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为362，求a的值．
解析 (1)在题图1中，因为AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝π2，
所以BE⊥AC.
即在题图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
从而BE⊥平面A1OC，
又CD∥BE，
所以CD⊥平面A1OC.
(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，
又由(1)，A1O⊥BE，
所以A1O⊥平面BCDE，
即A1O是四棱锥A1－BCDE的高．
由题图1知，A1O＝22AB＝22a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2.
从而四棱锥A1－BCDE的体积为V＝13×S×A1O＝13×a2×22a＝26a3，由26a3＝362，得a＝6.
12．如图所示，ABC－A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，P是B1B的中点，O是△ABC的中心．求证：
(1)平面AB1D⊥平面ABB1A1；
(2)OP∥平面AB1D.
分析 (1)转化为证明平面AB1D内的直线DE⊥平面ABB1A1；(2)转化为证明过OP的平面平行于平面AB1D.
证明 (1)如图，取AB1的中点E，连接DE.连接CO并延长交AB于点F，则F是AB的中点，且CF⊥AB.连接EF，则CF∥DE.
由题意，知B1D＝AD.∴DE⊥AB1.
又CF⊥AB，∴DE⊥AB.
∴DE⊥平面ABB1A1.
又DE平面AB1D，
∴平面AB1D⊥平面ABB1A1.
(2)如右图，连接PF，PC.
∵P，F分别为BB1，BA中点，
∴PF∥AB1，PC∥B1D.
∴面CPF∥面AB1D.
又∵PO面PFC，
∴PO∥面AB1D.
