新课标版数学选修2-1作业11高考调研精讲精练

课时作业(二十一)1．到两定点A(0，0)，B(3，4)距离之和为5的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．AB 所在的直线 C ．线段AB D ．无轨迹答案 C解析 ∵|AB|＝5，∴到A ，B 两点距离之和为5的点的轨迹是线段AB.2．若点P 到点F(0，2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y 答案 C解析 由题意知P 到F(0，2)的距离比它到y ＋4＝0的距离小2，因此P 到F(0，2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，所以P 的轨迹方程为x 2＝8y.3．在△ABC 中，已知A(－1，0)，C(1，0)，且|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，则顶点B 的轨迹方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 23＋y 24＝1(x ≠±3) C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) 答案 D解析 ∵|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，∴|BC|＋|BA|＝2|CA|＝4.∴点B 的轨迹是以A ，C 为焦点，半焦距c ＝1，长轴长2a ＝4的椭圆，又B 是三角形的顶点，A ，B ，C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为x 24＋y 23＝1，且x ≠±2.4．已知点F(1，0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线答案 D解析 连接MF ，由中垂线性质知|MB|＝|MF|，即M 到定点F 的距离与它到直线x ＝－1距离相等． ∴点M 的轨迹是抛物线． ∴D 正确．5．设椭圆与双曲线有共同的焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆长轴长是双曲线实轴长的2倍，则椭圆与双曲线的交点轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一个圆 C ．两个圆 D ．两条抛物线答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，||PF 1|－|PF 2||＝2a ，得|PF 1|＝3|PF 2|或|PF 2|＝3|PF 1|，所以是两个圆．6．经过抛物线y 2＝2px 焦点弦的中点的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．直线答案 A解析 点差法，k AB ＝2p y 1＋y 2＝2p 2y ＝k MF ＝yx －p 2，化简得抛物线．7．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C(x ，y)满足AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程________． 答案 x 2＋14y 2＝1解析 设A(a ，0)，B(0，b)，则a 2＋b 2＝9.又C(x ，y)，则由AC →＝2CB →，得(x －a ，y)＝2(－x ，b －y)．即⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2b －2y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，代入a 2＋b 2＝9，并整理，得x 2＋14y 2＝1.8．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________． 答案 y 2＝4(x －2)解析 设直线方程为y ＝k(x －1)，点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P(x ，y)，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)，得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，y ＝y 1＋y 2＝4kk 2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)． 9．已知△ABC 的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB 边上的中线长|CD|＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．答案 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)解析 方法一(直译法)：设A(x ，y)，y ≠0，则D(x 2，y2)．∴|CD|＝（x 2－5）2＋y 24＝3. 化简，得(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点构成三角形，所以A 不能落在x 轴上，即y ≠0. 方法二(定义法)：如右图，设A(x ，y)，D 为AB 的中点，过A 作AE ∥CD 交x 轴于E.∵|CD|＝3，∴|AE|＝6，则E(10，0)，∴A 到E 的距离为常数6.∴A 的轨迹为以E 为圆心，6为半径的圆，即(x －10)2＋y 2＝36，又A ，B ，C 不共线，故A 点纵坐标y ≠0，故A 点轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)． 10．已知抛物线y 2＝nx(n<0)与双曲线x 28－y 2m＝1有一个相同的焦点，则动点(m ，n)的轨迹方程是________． 答案 n 2＝16(m ＋8)(n<0)解析 抛物线的焦点为(n 4，0)，在双曲线中，8＋m ＝c 2＝(n4)2，n<0，即n 2＝16(m ＋8)(n<0)．11.如图，直角三角形ABC 的顶点A(－2，0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点． (1)求BC 边所在直线方程；(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程． 解析 (1)∵k AB ＝－2，AB ⊥BC ， ∴k CB ＝22.∴BC ：y ＝22x －2 2. (2)在上式中，令y ＝0，得C(4，0)．∴圆心M(1，0)．又∵|AM|＝3，∴外接圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵P(－1，0)，M(1，0)，且圆N 过点P(－1，0)，∴PN 是该圆的半径．又∵动圆N 与圆M 内切，∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3.∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆．∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54＝52. ∴轨迹方程为49x 2＋45y 2＝1.12．已知动点P(x ，y)与两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)讨论轨迹C 的形状．解析 (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ.整理，得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)． (2)①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1，0)，(1，0)； ④当λ<－1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)． 13．(2016·课标全国Ⅰ，理)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B(1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解析 (1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB ∥AC ，所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ， 所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义，可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k(x －1)(k ≠0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.所以|MN|＝1＋k 2|x1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3. 过点B(1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到直线m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ|＝242－（2k 2＋1）2＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN||PQ|＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，故四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12，83)．1．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.解析 由已知得圆M 的圆心为M(－1，0)，半径r 1＝1， 圆N 的圆心为N(1，0)，半径r 2＝3. 设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R. (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R ＋r 1)＋(r 2－R)＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP||QM|＝R r 1，可求得Q(－4，0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)，由l 与圆M 相切，得|3k|1＋k2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，y ＝24x ＋2，代入方程x 24＋y 23＝1，并整理，得7x 2＋8x －8＝0， 解得x 1＝－4－627，x 2＝62－47.所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187. 综上，|AB|＝23或|AB|＝187. 2．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在实数m ，使曲线C 上总有不同的两点关于直线y ＝x ＋m 对称？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析 (1)设P(x ，y)是曲线C 上任意一点，那么点P(x ，y)满足：（x －1）2＋y 2－x ＝1(x>0)． 化简得y 2＝4x(x>0)．(2)假设抛物线y 2＝4x(x>0)上存在不同的两点A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，则可设AB 的方程为y ＝－x ＋b 代入y 2＝4x 并整理得x 2－(2b ＋4)x ＋b 2＝0， 则Δ＝(2b ＋4)2－4b 2>0且x ≠0，即b ＋1>0，且b ≠0.设AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝b＋2，y0＝－x0＋b＝－2，又M(b＋2，－2)在y＝x＋m上，∴－2＝b＋2＋m，即b＝－4－m，∴－3－m>0且－4－m≠0，m<－3且m≠－4.∴存在m使曲线C上总有不同的两点关于直线y＝x＋m对称，m的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3)．。

新高中数学学业分层测评11含解析北师大版选修2_1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.如图2­5­7，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1与DM 的夹角为( )图2­5­7A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设D 1C 1＝a ，C 1B 1＝b ，C 1C ＝c .则D 1(0,0,0)，A (0，b ，c )，D (0,0，c )，C (a,0，c )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b ，12c ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12b ，0. 则MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12b ，－12c ，MC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ，12c .∵∠CMN ＝90°，∴MN →·MC →＝0. 即12b 2－14c 2＝0，即b 2＝12c 2. ∴AD 1→·DM →＝(0，－b ，－c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b ，－12c＝－b 2＋12c 2＝0.∴AD 1与DM 的夹角为90°. 【答案】 D2.如图2­5­8，在正四面体A ­BCD 中，E 为棱AD 的中点，则CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为( )图2­5­8A.32B ．23 C.12D ．33【解析】 作AO ⊥平面BCD 于O ，则O 是△BCD 的中心，以O 为坐标原点，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝2，则O (0,0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，263，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－33，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，33，63， ∴OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，263，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，233，63，∴cos 〈OA →，CE →〉＝OA →·CE →|OA →||CE →|＝43263×3＝23.∴CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为23. 【答案】 B3．过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则平面ABC 与平面PCD 所成锐二面角的度数为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30° 【解析】 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，不妨设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)，从而PD →＝(0,1，－1)，CD →＝(－1,0,0)．设平面ABC 与平面PCD 的法向量分别为n 1，n 2，取n 1＝AP→＝(0,0,1)．设n 2＝(x ，y ，z )，由n 2⊥CD →，n 2⊥PD →，可得⎩⎨⎧n 2·CD →＝－x ＝0n 2·PD →＝y －z ＝0，可取n 2＝(0,1,1)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝0＋0＋11×2＝22，所以平面ABC 与平面PCD 所成锐二面角的度数为45°.【答案】 C4．如图2­5­9所示，已知点P 为菱形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则平面CBF 与平面DBF 夹角的正切值为( )图2­5­9A.36 B ．34C.33D ．233【解析】 设AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0.∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，且OC →为平面BDF 的一个法向量．由BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12可得平面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)．∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277.∴tan 〈n ，OC →〉＝233.【答案】 D5．P 是二面角α­AB ­β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM ，PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么α与β的夹角大小为( )【导学号：32550047】A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°【解析】 设PM ＝a ，PN ＝b ，作ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，则因∠BPM ＝∠BPN ＝45°，故PE ＝a 2，PF ＝b2.于是EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN →－PF →)＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF →＝ab cos 60°－a ·b2cos 45°－a2·b cos 45°＋a2·b2＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab2＝0.因为EM ，FN 分别是α，β内的与棱AB 垂直的两条直线，所以EM →与FN →的夹角就是α与β的夹角．【答案】 D 二、填空题6．若平面α的一个法向量为m ＝(3,3,0)，直线l 的一个方向向量为b ＝(1,1,1)，则l 与α所成角的余弦值为________．【解析】 ∵平面α的法向量为m ＝(3,3,0)，直线l 的一个方向向量为b ＝(1,1,1)．则cos 〈m ，b 〉＝m·b |m ||b |＝1×3＋1×3＋032×3＝63，sin 〈m ，b 〉＝33. ∴l 与α所成角的余弦值为33. 【答案】337．正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________．【导学号：32550048】【解析】 建立如图坐标系，设AB ＝1，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，A (0,0,0)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，F (1,0,0)，B (0,1,0)，BF →＝(1，－1,0)．cos θ＝AD →·BF →|AD →|·|BF →|＝12＋0＋01·2＝24.【答案】248．如图2­5­10所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，A 1C 与AB 夹角的余弦值为________，A 1C 1与平面BB 1C 1C 夹角为________，平面A 1BCD 1与平面ABCD 的夹角为________．图2­5­10【解析】 ∠A 1CD 是A 1C 与AB 的夹角，cos ∠A 1CD ＝13＝33； ∠A 1C 1B 1是A 1C 1与面BC 1的夹角，∠A 1C 1B 1＝45°； ∠A 1BA 是面A 1BCD 1与面ABCD 的夹角，∠A 1BA ＝45°. 【答案】3345° 45° 三、解答题9.如图2­5­11，在三棱锥S ­ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29.图2­5­11(1)求证：SC ⊥BC ；(2)求SC 与AB 所成角的余弦值．【解】 (1)证明：如图，取A 为原点，垂直于AB 的直线为x 轴，AB ，AS 分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则有AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，得B (0，17，0)、S (0,0，23)、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21317，417，0， ∴SC →＝⎝⎛⎭⎪⎫21317，417，－23， CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－21317，1317，0. ∵SC →·CB →＝0，∴SC ⊥BC . (2)设SC 与AB 所成的角为α AB →＝(0，17，0)，SC →·AB →＝4，|SC →||AB →|＝417， ∴cos α＝SC →·AB →|SC →||AB →|＝1717，即为所求．10．如图2­5­12，在三棱柱ABO ­A 1B 1O 1中，OA ⊥OB ，且OB ＝3，OA ＝4，BB 1＝4，D 为A 1B 1的中点．P 为BB 1上一点，且OP ⊥BD .图2­5­12求直线OP 与底面AOB 的夹角的正弦值．【解】 以O 点为原点，以OB ，OA ，OO 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由题意，有O (0,0,0)，B (3,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，4，B 1(3,0,4)． 设P (3,0，z )，则BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2，4，OP →＝(3,0，z )． ∵BD ⊥OP ，∴BD →·OP →＝－92＋4z ＝0，解得z ＝98.∵BB 1⊥平面AOB ， ∴BB 1→是底面AOB 的一个法向量，且BB 1→＝(0,0,4)． ∴sin ∠POB ＝|cos ∠BPO |＝|OP →·BB 1→||OP →||BB 1→|＝923738×4＝37373.∴直线OP 与底面AOB 夹角的正弦值为37373.[能力提升]1．平面α的一个法向量为n 1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n 2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为( )A ．－925B ．925 C.725D ．以上都不对【解析】 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－925，∴平面α与平面β夹角的余弦值为925.【答案】 B2．已知四棱锥P ­ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝12，AB ＝1，则AC 与PB 所成的角的余弦值为( )A.55B ．105C.155 D ．255【解析】 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A ­xyz ，则各点坐标为A (0,0,0)，B (0,1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，从而AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，PB →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，－12， 所以cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →|·|PB →|＝105.【答案】 B3．正四棱锥S ­ABCD 中，O 为顶点在底面上的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是________．【解析】 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2，则CA →＝(2a,0,0)，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →(a ，a,0)．设平面PAC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，设BC 与平面PAC 的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈CB →，n 〉|＝12，∴θ＝30°.【答案】 30°4．如图2­5­13，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．【导学号：32550049】图2­5­13(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F ­AB ­P 的余弦值．【解】 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P(0,0,2)由E 为棱PC 的中点，得E (1,1,1)． (1)证明：BE →＝(0,1,1)，DC →＝(2,0,0)， 故BE →·DC →＝0，所以BE ⊥DC .(2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则⎩⎨⎧n ·BD →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0.不妨令y ＝1，可得n ＝(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量． 于是有cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE →|n |·|BE →|＝26×2＝33.所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)BC →＝(1,2,0)，CP →＝(－2，－2,2)，AC →＝(2,2,0)，AB →＝(1,0,0)． 由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →，0≤λ≤1.故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34.即BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，32. 设n 1＝(x ，y ，z )为平面FAB 的法向量，则⎩⎨⎧n 1·AB →＝0，n 1·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3,1)为平面FAB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0,1,0)．则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010，易知，二面角F ­AB ­P 是锐角，所以其余弦值为31010.。

课时作业(三)1．“x>1”是“x 2>x ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 x 2>x 即x(x －1)>0⇒x>1或x<0.2．(2019·上海)已知a ，b ∈R ，则“a 2>b 2”是“|a|>|b|”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 答案 C解析 ∵a 2>b 2等价于|a|2>|b|2，得|a|>|b|， ∴“a 2>b 2”是“|a|>|b|”的充要条件．故选C.3．设原命题“若p ，则q ”假，而逆命题真，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 原命题假，则p q ，而逆命题为真，则q ⇒p. 4．“x>0”是“3x 2>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件 答案 A解析 当x>0时，3x 2>0成立，但当3x 2>0时，得x 2>0，则x>0或x<0，此时不能得到x>0. 5．若向量a ＝(x ，3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当x ＝4时，a ＝(4，3)，则|a |＝5；若|a |＝5，则x ＝±4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分不必要条件．6．设a ，b 为正实数，则“a>b>1”是“log 2a>log 2b>0”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以a>b>1⇔log2a>log2b>log21＝0，所以“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的充要条件．7．对于数列{a n}，“a n＋1＞|a n|(n＝1，2，…)”是“{a n}为递增数列”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析因为a n＋1＞|a n|⇒a n＋1＞a n⇒{a n}为递增数列，但{a n}为递增数列⇒a n＋1＞a n a n＋1＞|a n|，故“a n＋1＞|a n|(n＝1，2，…)”是“{a n}为递增数列”的充分不必要条件．选B.8．设M，N是两个集合，则“M∪N≠∅”是“M∩N≠∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析M∪N≠∅，不能保证M，N有公共元素，但M∩N≠∅，说明M，N中至少有一公共元素，所以M∪N≠∅.故选B.9．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析四个点共面可能这四个点是某一个平行四边形的四个顶点．10．对任意实数a，b，c，下列命题中，属于真命题的是()A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件答案 B11．(2016·天津，文)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 分别判断x>y ⇒x>|y|与x>|y|⇒x>y 是否成立，从而得到答案． 当x ＝1，y ＝－2时，x>y ，但x>|y|不成立； 若x>|y|，因为|y|≥y ，所以x>y.所以“x>y ”是“x>|y|”的必要而不充分条件． 12．x 2<4的必要不充分条件是( ) A ．0<x ≤2 B ．－2<x<0 C ．－2≤x ≤2 D ．1<x<3答案 C解析 x 2<4即－2<x<2，因为－2<x<2⇒－2≤x ≤2，而－2≤x ≤2－2<x<2，所以“x 2<4”的必要不充分条件是“－2≤x ≤2”．13．“m ＝1”是“函数y ＝xm 2－4m ＋5为二次函数”的________条件． 答案 充分不必要解析 若m ＝1，则m 2－4m ＋5＝2，但m 2－4m ＋5＝2⇒m ＝1或m ＝3. 14．若b 2－4ac>0，则“－b ＋b 2－4ac 2a >－b －b 2－4ac2a”的________条件是“a>0”．答案 充要15．“x>y>0”是“1x <1y ”的________条件．答案 充分不必要 解析 1x <1y ⇒xy ·(y －x)<0，即x>y>0或y<x<0或x<0<y.16．“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的一个充分条件可以是________． 答案 a ＝1(或a ＝－1)17．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：a ＋b ＝0；q ：a 2＋b 2＝0. (2)p ：同位角相等；q ：两直线平行． (3)p ：x<－3；q ：x 2>9.(4)p ：0<a<1；q ：y ＝a x 为减函数． 解析 (1)p q ，但q ⇒p.所以p是q的必要不充分条件．(2)同位角相等⇔两直线平行，所以p是q的充要条件．(3)x<－3⇒x2>9，但x2>9x<－3，所以p是q的充分不必要条件．(4)0<a<1⇔y＝a x为减函数．所以p是q的充要条件．1．设原命题“若p，则q”与逆命题皆假，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件答案 D解析p q且q p.2．设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1<a2”是“数列{a n}是递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析设数列{a n}的公比为q，因为a1<a2，且a1>0，所以有a1<a1q，解得q>1，所以数列{a n}是递增数列；反之，若数列{a n}是递增数列，则公比q>1且a1>0，所以a1<a1q，即a1<a2，所以“a1<a2”是“数列{a n}是递增数列”的充分必要条件．3．“|x|＝|y|”是“x＝y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B4．a<0，b<0的一个必要条件为()A．a＋b<0 B．a－b>0C.ab>1 D.ab<－1答案 A5．设M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A6．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A7．a，b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析函数f(x)＝x2a·b－(a2－b2)x－a·b，当函数f(x)是一次函数时必然要求a·b＝0，即a⊥b，但当a⊥b，|a|＝|b|时，函数f(x)不是一次函数．故选B.8．设{a n}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{a n}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 D解析利用公比与等比数列的单调性的关系进行判断．若{a n}为递增数列，则当a1>0时，q>1；当a1<0时，0<q<1.当q>1时，若a1<0，则{a n}为递减数列．故“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.9．0＜x＜5是不等式－2<x<6成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A10．若綈p是綈q的必要条件，则q是p的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B11．下面命题中的真命题是()A．x>2且y>3是x＋y>5的充要条件B．A∩B≠∅是A B的充分条件C．b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R的充要条件D．一个三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形答案 D解析对于A，x>2且y>3⇒x＋y>5，但x＋y>5未必能推出x>2且y>3，如x＝0且y＝6满足x＋y>5但不满足x>2，故A假．对于B，A∩B≠∅未必能推出A B，如A＝{1，2}，B＝{2，3}，故B为假．对于C，“b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R的充要条件”是假命题，如一元二次不等式－2x2＋x－1>0的解集为∅，但满足b2－4ac<0.对于D，是真命题．因为一个三角形的三边满足勾股定理能推出此三角形为直角三角形，条件不仅是必要的，也是充分的，故是充要的．12．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的________条件．答案充要13．“y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过原点”的________条件是“c＝0”．答案充要。

课时作业(十)1．椭圆x 2＋8y 2＝1的短轴的端点坐标是( ) A ．(0，－24)，(0，24) B ．(－1，0)，(1，0) C ．(22，0)，(－22，0) D ．(0，22)，(0，－22)答案 A2．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5，3，0.8 B ．10，6，0.8 C ．5，3，0.6 D ．10，6，0.6答案 B解析 把椭圆的方程写成标准方程x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以2a ＝10，2b ＝6，ca ＝0.8.3．椭圆25x 2＋9y 2＝1的范围为( ) A ．|x|≤5，|y|≤3 B ．|x|≤15，|y|≤13C ．|x|≤3，|y|≤5D ．|x|≤13，|y|≤15答案 B解析 椭圆方程可化为x 2125＋y 219＝1，所以a ＝13，b ＝15，又焦点在y 轴上，所以|x|≤15，|y|≤13.故选B.4．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为( ) A.x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 216＝1 C.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1 D ．以上都不对答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝18，2c ＝6，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝5，b ＝4.又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以椭圆方程为x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1.故选C.5．若椭圆的一个焦点和短轴的两个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32C.33D ．以上都不正确答案 B解析 如图，c a ＝cos30°＝32.6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b 2＝k(k ＞0)具有( )A ．相同的长轴长B ．相同的焦点C ．相同的离心率D ．相同的顶点答案 C解析 a 2k －b 2k a 2k＝a 2－b 2a 2＝c 2a 2.故选C.7．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) A.22B.2－12C ．2－ 2 D.2－1答案 D解析 数形结合：令|F 1F 2|＝1，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝ 2. ∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝12＋1＝2－1.8．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( ) A.22B.33C.12D.13答案 B解析 由题意知P 点坐标为(－c ，b 2a )或(－c ，－b 2a2)．∵∠F 1PF 2＝60°，∴2c b 2a ＝3，即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)，∴3e 2＋2e －3＝0，∴e ＝33或e ＝－3(舍去)．9．已知椭圆2x 2＋y 2＝2的两个焦点为F 1，F 2，且B 为短轴的一个端点，则△F 1BF 2的外接圆方程为( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝4 D ．x 2＋(y －1)2＝4答案 A解析 数形结合，△F 1BF 2为等腰直角三角形，原点为斜边中点．10．(2016·全国乙卷，文)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34答案 B解析 利用椭圆的几何性质列方程求离心率．不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c ，0)，则直线l 的方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc|b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.故选B. 11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析 利用椭圆的定义及性质列式求解． 由e ＝33，得c a ＝33.① 又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，即a ＝3，代入①得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1.12．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8答案 C解析 由椭圆x 24＋y 23＝1，可得点F(－1，0)，点O(0，0)．设P(x ，y)，－2≤x ≤2，则OP →·FP→＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3(1－x 24)＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.13．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(215，0)，则椭圆的标准方程是________． 答案 x 280＋y 220＝1解析 由题知，焦点在x 轴上，设方程为x 24a 2＋y 2a 2＝1，∴4a 2－a 2＝(215)2，∴a 2＝20.∴方程为x 280＋y 220＝1. 14．若椭圆x 2k ＋4＋y 24＝1的离心率为12，则k ＝________．答案 43或－1解析 当焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋4，b 2＝4，所以c 2＝k. 因为e ＝12，所以c 2a 2＝14，即k k ＋4＝14，所以k ＝43.当焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝k ＋4，所以c 2＝－k. 因为e ＝12，所以c 2a 2＝14，所以－k 4＝14，所以k ＝－1.综上可知，k ＝43或k ＝－1.15．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的3倍，且过(3，－1)； (2)椭圆过点(3，0)，离心率e ＝63. 解析 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)．由已知得a ＝3b ，且椭圆过点(3，－1)， ∴32（3b ）2＋1b 2＝1或1（3b ）2＋32b2＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝18，b 2＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝82.b 2＝829.故所求方程为x 218＋y 22＝1或y 282＋x 2829＝1.(2)当椭圆的焦点在x 轴上时，∵a ＝3，c a ＝63，∴c ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3. ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，∵b ＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27. ∴椭圆的方程为x 29＋y 227＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1.16．求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解析 椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m>0)可转化为x 21m 2＋y 214m 2＝1. 因为m 2<4m 2，所以1m 2>14m2.所以椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m .所以椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为(－32m ，0)，(32m，0)，顶点坐标为(1m，0)，(－1m，0)，(0，－12m)，(0，12m)．离心率e＝ca＝32m1m＝32.1．已知P是椭圆x24＋y23＝1上的点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若PF1→·PF2→|PF1→|·|PF2→|＝12，则△F1PF2的面积为()A.33 B. 3C．2 3 D．3 3答案 B解析设∠F1PF2＝θ，则cosθ＝12.∴S△F1PF2＝b2·tanθ2＝ 3.2.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，过F2的直线与圆x2＋y2＝b2相切于点A，并与椭圆C交于不同的两点P，Q，如图，若A，F2为线段PQ的三等分点，则椭圆的离心率为()A.23 B.33C.53 D.73答案 C解析连接PF1，由题意知OA＝b，所以|PF1|＝2b，所以|PF2|＝2a－2b，所以|AF2|＝a－b.在Rt△OAF2中，有b2＋(a－b)2＝c2，①将b2＝a2－c2代入①整理得3a2－3c2－2a a2－c2＝0，即3－3e 2＝21－e 2，即9e 4－14e 2＋5＝0， 解得e 2＝59或e 2＝1(舍去)，所以e ＝53.故选C. 3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，左焦点为F 1，右焦点为F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2为等边三角形，则此椭圆的离心率为( ) A.5＋12B.5－12C.12 D ．2－ 3答案 C4．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3 B.5153或15C. 5D.253或3 答案 D解析 若焦点在x 轴上，则a 2＝5，b 2＝m. 又e ＝105，所以e ＝ca＝1－b 2a2＝1－m 5＝105，所以m ＝3.若焦点在y 轴上，则a 2＝m ，b 2＝5. 所以e ＝ca＝1－b 2a2＝1－5m ＝105，所以m ＝253.故选D. 5．已知点(m ，n)在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是( ) A ．[4－23，4＋23] B ．[4－3，4＋3] C ．[4－22，4＋22] D.[4－2，4＋2]答案 A 解析 由8x 2＋3y 2＝24，得x 23＋y 28＝1. ∴－3≤m ≤3，∴4－23≤2m ＋4≤4＋2 3.6．F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，若OP ∥AB ，如图，则离心率e ＝______．答案22解析 ∵OP ∥AB ，∴△OPF ∽△ABO.∴PF BO ＝FOOA ，即b 2a b ＝c a. ∴b ＝c ，∴a ＝2c.∴e ＝c a ＝c 2c ＝22.7．在△ABC 中，AB ＝BC ，cosB ＝－718，若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝________． 答案 38解析 设AB ＝BC ＝m>0，则由cos B ＝－718，得cos B ＝m 2＋m 2－AC 22m 2＝－718，AC 2＝25m 29，AC ＝5m 3，因此该椭圆的离心率e ＝|AB||CA|＋|CB|＝m 5m 3＋m ＝38.8．已知椭圆的长轴长为20，离心率为35，则该椭圆的标准方程为________．答案 x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1解析 由条件知，2a ＝20，c a ＝35，∴a ＝10，c ＝6，b ＝8.故标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝19．已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6，0)，(6，0)，椭圆的方程为________．答案 x 236＋y 220＝1或x 236＋y 252＝1解析 c ＝4，然后分已知两顶点是长轴顶点还是短轴顶点进行讨论．10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，左焦点为F ，点P 为该椭圆上任意一点．若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e ＝12，则AP →·FP →的取值范围是________．答案 [0，12]解析 因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a ＝2. 因为离心率e ＝12，所以c ＝1，b ＝a 2－c 2＝3，则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，所以点A 的坐标为(－2，0)，点F 的坐标为(－1，0)．设P(x ，y)，－2≤x ≤2，则AP →·FP →＝(x ＋2，y)·(x ＋1，y)＝x 2＋3x ＋2＋y 2.由椭圆的方程得y 2＝3－34x 2，所以AP →·FP →＝x 2＋3x －34x 2＋5＝14(x ＋6)2－4.因为x ∈[－2，2]，所以AP →·FP →∈[0，12]．11．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，且∠F 1PF 2＝π2.记线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，求该椭圆的离心率．解析 依题知，F 1P ⊥F 2P ，所以△F 1QO ∽△F 1F 2P ，因为△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，所以S △F 1OQ S △F 1F 2P ＝13，所以OF 1F 1P ＝13.设椭圆的焦距为2c ，则F 1P ＝3c ，F 2P ＝F 1F 22－F 1P 2＝c ，由椭圆的定义可得3c ＋c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23＋1＝3－1.12．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解析 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴顶点(0，10)，(0，－10)，短轴顶点(－8，0)，(8，0)； ④离心率：e ＝35.13．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆M 上的任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围为[12c 2，3c 2](其中c 2＝a 2－b 2)，求椭圆离心率e 的取值范围．解析 ∵P 是椭圆上一点，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a. ∴2a ＝|PF 1|＋|PF 2|≥2|PF 1|·|PF 2|.即|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝(2a2)2＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号．∴12c 2≤a 2≤3c 2，∴13≤c 2a 2≤2. ∴13≤e 2≤2.∵e>0，∴33≤e ≤ 2. 又∵0<e<1，∴33≤e<1. ∴椭圆离心率的取值范围是[33，1)．。

第一章章末测试卷(A)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若命题“p且q”为假，且綈p为假，则()A．p或q为假B．q假C．q真D．p假答案 B解析綈p为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．故选B.2．若命题p：x＝3且y＝4，则綈p()A．x≠3或y≠4 B．x≠3且y≠4C．x＝3或y≠4 D．x≠3且y＝4答案 A3．命题p：“若a≥b，则a＋b>2 019且a>－b”的逆否命题是()A．若a＋b≤2 019且a≤－b，则a<b B．若a＋b≤2 019且a≤－b，则a>b C．若a＋b≤2 019或a≤－b，则a<b D．若a＋b≤2 019或a≤－b，则a>b答案 C解析根据逆否命题的定义可得命题p：“若a≥b，则a＋b>2 019且a>－b”的逆否命题是：“若a＋b≤2 019或a≤－b，则a<b”．故选C.4．已知命题：p：∃n∈N，2n>1 000，则綈p为()A．∀n∈N，2n≤1 000 B．∀n∈N，2n>1 000C．∃n∈N，2n≤1 000 D．∃n∈N，2n<1 000答案 A解析命题p的否定为：∀n∈N，2n≤1 000.5．(2015·陕西)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由sinα＝cosα⇒cos2α＝cos2α－sin2α＝0，反之由cos2α＝0⇒(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝0⇒sin α＝±cosα.故选A. 6．若x ∈R ，则“－2<x<2”是“lg(x 2－1)<0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 解不等式lg(x 2－1)<0可得{x|－2<x<－1或1<x<2}，是{x|－2<x<2}的真子集，故“－2<x<2”是“lg(x 2－1)<0”成立的必要不充分条件．故选B. 7．下面四个条件中，使a>b 成立的充分不必要条件是( ) A ．a>b ＋1 B ．a>b －1 C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3答案 A解析 a>b ＋1⇒a>b ，a>b a>b ＋1. 8．下列四个命题中的真命题为( ) A ．若sinA ＝sinB ，则A ＝B B ．∀x ∈R ，都有x 2＋1>0 C ．若lgx 2＝0，则x ＝1 D ．∃x 0∈Z ，使1<4x 0<3 答案 B解析 A 中，若sinA ＝sinB ，不一定有A ＝B ，故A 为假命题；B 显然是真命题；C 中，若lgx 2＝0，则x 2＝1，解得x ＝±1，故C 为假命题；D 中，解1<4x 0<3，得14<x 0<34，故不存在这样的x 0∈Z ，故D 为假命题．故选B.9．(2019·北京，理)设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 ∵A ，B ，C 三点不共线，∴|AB →＋AC →|>|BC →|⇔|AB →＋AC →|>|AB →－AC →|⇔|AB →＋AC →|2>|AB →－AC →|2⇔AB →·AC →>0⇔AB →与AC →的夹角为锐角．故“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件．故选C. 10．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0； q ：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p)∧(綈q) C ．(綈p)∧q D ．p ∧(綈q)答案 D解析 先判断命题p 和q 的真假，再判断四个选项中含有简单逻辑联结词的命题的真假． 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x >0恒成立，故p 为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q 为假命题，则p ∧q ，綈p 为假命题，綈q 为真命题，(綈p)∧(綈q)，(綈p)∧q 为假命题，p ∧(綈q)为真命题．故选D.11．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由指数函数的性质知，若3a >3b >3，则a>b>1，由对数函数的性质，得log a 3<log b 3；反之，取a ＝12，b ＝13，显然有log a 3<log b 3，此时0<b<a<1，于是3>3a >3b ，所以“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．故选B.12．已知p ：|x ＋1|>1，q ：x>a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，0] C ．(0，＋∞) D ．[0，＋∞) 答案 D解析 方法一：由|x ＋1|>1得x<－2或x>0，则綈p ：－2≤x ≤0，綈q ：x ≤a ，设A ＝{x|－2≤x ≤0}，B ＝{x|x ≤a}，由题意AB ，所以a ≥0.故选D.方法二：因为綈p 是綈q 的充分不必要条件， 所以q 是p 的充分不必要条件．又p ：|x ＋1|>1⇒x<－2或x>0，所以{x|x>a}{x|x<－2或x>0}． 所以a ≥0.故选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．如果否命题为“若x ＋y ≤0，则x ≤0或y ≤0”，那么相应的原命题是________． 答案 若x ＋y>0，则x>0且y>0解析 否命题是以原命题的条件的否定作为条件，结论的否定作为结论，故原命题为：“若x ＋y>0，则x>0且y>0”．14．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )在直线y ＝2x ＋1上，所以a n ＝2n ＋1，则数列{a n }为等差数列；而{a n }为等差数列，例如a n ＝3n －5是以3为公差，以－2为首项的等差数列，点(n ，a n )却不都在直线y ＝2x ＋1上．15．设a ，b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题q ：(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的________条件．答案 充分不必要 16．给出如下命题：①“a ≤3”是“∃x 0∈[0，2]，x 02－a ≥0”的充分不必要条件；②命题“∀x ∈(0，＋∞)，2x >1”的否定是“∃x 0∈(0，＋∞)，2x 0≤1”； ③若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号) 答案 ①②解析 对于①，由∃x 0∈[0，2]，x 02－a ≥0，可得a ≤4，因此“a ≤3”为“∃x 0∈[0，2]，x 02－a ≥0”的充分不必要条件，①正确；易知②正确；对于③，若“p 且q ”为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，所以③错误．故填①②.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)写出命题：“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． 解析 (1)原命题为真，逆命题：“若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0”，是真命题； 否命题“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1且x ≠2”，是真命题；逆否命题：“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，是真命题． 18．(12分)写出下列命题的否定． (1)∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋2≤0； (2)有的三角形是等边三角形； (3)所有实数的绝对值是正数； (4)菱形是平行四边形．解析 (1)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0； (2)所有的三角形都不是等边三角形； (3)有些实数的绝对值不是正数； (4)有的菱形不是平行四边形．19．(12分)已知集合P ＝{x|－1<x<3}，S ＝{x|x 2＋(a ＋1)x ＋a<0}，且x ∈P 的充要条件是x ∈S ，求实数a 的值．解析 因为S ＝{x|x 2＋(a ＋1)x ＋a<0}＝{x|(x ＋1)(x ＋a)<0}， P ＝{x|－1<x<3}＝{x|(x ＋1)(x －3)<0}， x ∈P 的充要条件是x ∈S ，所以a ＝－3.20．(12分)已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0.命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解析 由题意得p ：－2≤x ≤10.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴p ⇒q ，q p.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m>10，∴⎩⎨⎧m ＞3，m ≥9，或⎩⎨⎧m ≥3，∴m ＞9， 且1－m ≤1＋m ，即m ≥0， 所以实数m 的取值范围为{m|m ≥9}．21．(12分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，q ：不等式x 2－2x ＋m>0的解集为R .若命题“p ∨q ”是假命题，求实数m 的取值范围． 解析 若方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，则m 2－4≥0. ∴m ≤－2或m ≥2.若不等式x 2－2x ＋m>0的解集为R ，则4－4m<0.∴m>1.又“p ∨q ”是假命题，∴p ，q 都是假命题．∴⎩⎨⎧－2<m<2，m ≤1.∴－2<m ≤1. 所以实数m 的取值范围为{m|－2<m ≤1}． 22．(12分)已知函数f(x)＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m 0，使不等式m 0＋f(x)>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由； (2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f(x 0)>0成立，求实数m 的取值范围． 解析 (1)不等式m 0＋f(x)>0可化为m 0>－f(x)， 即m 0>－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m 0>－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立， 只需m 0>－4即可．故存在实数m 0使不等式m 0＋f(x)>0对于任意x ∈R 恒成立，此时需m 0>－4. (2)不等式m －f(x 0)>0可化为m>f(x 0)， 若存在一个实数x 0使不等式m>f(x 0)成立， 只需m>f(x 0)min . 又f(x 0)＝(x 0－1)2＋4， 所以f(x 0)min ＝4，所以m>4.所以所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x>y ，则x>|y|”的逆命题 B ．命题“若x>1，则x 2>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题 答案 A解析 A 中其逆命题为“若x>|y|，则x>y ”，为真命题，B 中否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，当x ＝－2时，命题不成立，C 中否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”当x ＝－2时，命题不成立，D 中，原命题当x ＝－2时，不成立，故其逆否命题也为假命题．故选A. 2．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 条件p ：|x ＋1|>2⇔p ：{x|x>1或x<－3}，所以綈p ：{x|－3≤x ≤1}． 条件q ：5x －6>x 2⇔q ：{x|2<x<3}，所以綈q ：{x|x ≥3或x ≤2}．因为{x|－3≤x ≤1}{x|x ≥3或x ≤2}，所以綈p 是綈q 的充分不必要条件．故选A. 3．命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tanα≠1B ．若α＝π4，则tanα≠1C ．若tanα≠1，则α≠π4D ．若tanα≠1，则α＝π4答案 C解析 原命题的逆否命题为“若tanα≠1，则α≠π4”．故选C.4．给出下列四个命题：①若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2 ②若－2≤x<3，则(x ＋2)(x －3)≤0 ③若x ＝y ＝0，则x 2＋y 2＝0④若x ，y ∈N *，x ＋y 是奇数，则x ，y 中一个是奇数，一个是偶数，那么( ) A ．①的逆命题为真 B ．②的否命题为真 C ．③的逆否命题为假 D ．④的逆命题为假 答案 A解析 ②的逆命题：若(x ＋2)(x －3)≤0，则－2≤x<3为假，故②的否命题为假． ③的原命题为真，故③的逆否命题为真． ④的逆命题显然为真．5．已知命题p ：∃m ∈R ，m ＋1<0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2]解析 因为p ∧q 为假命题，所以p ，q 中至少有一个为假命题．而命题p ：“∃m ∈R ，m ＋1<0”，为真命题，所以命题q ：“∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立”，必定为假命题，所以Δ＝m2－4×1≥0，解得m≤－2或m≥2.又命题p：∃m∈R，m＋1<0为真命题，所以m<－1.故综上可知m≤－2.教师备选卷：第一章章末测试卷(B)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但不是必要条件，则A与B的关系是() A．A B B．B AC．A＝B D．A B且B A答案 A2．若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是()A．命题p是真命题B．命题p的否命题是假命题C．命题p的逆否命题是假命题D．命题p的否命题是真命题答案 B3．下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lgx＝0 B．∃x∈R，tanx＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0答案 C4．(2019·北京，文)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析当b＝0时，f(x)＝cosx＋bsinx＝cosx，f(x)为偶函数；当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)对任意的x恒成立，f(－x)＝cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx－bsinx，cosx＋bsinx＝cosx－bsinx，得bsinx＝0对任意的x恒成立，所以b＝0.所以“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件．故选C.5．已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0，命题q：∀x∈(0，1)，log2x<0，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)答案 C解析由指数函数的图象与性质可知，当x<0时，2x>3x，故p为假命题；由对数函数的图象与性质知，∀x∈(0，1)，log2x<0恒成立，故q为真命题．所以(綈p)∧q为真命题．故选C.6．下列命题是真命题的是()A．a>b是ac2>bc2的充要条件B．a>1，b>1是ab>1的充分条件C．∃x0∈R，ex0≤0 D．若p∨q为真命题，则p∧q为真答案 B解析A项，当c＝0时，ac2＝bc2，故A为假命题；C项，因为e x>0恒成立，故C为假命题；D项，当p，q一真一假时，p∨q为真，而p∧q为假，故D为假命题；而B中，a>1，b>1⇒ab>1，为真命题．故选B.7．下列命题错误的是()A．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”B．“x＝2”是“x2－5x＋6＝0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0答案 C8．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是() A．a<0 B．a>0C．a<－1 D．a>1答案 C9．下列命题中正确的是()A．“m＝12”是“直线(m－75)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互平行”的充分不必要条件B．“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直于平面α”的充分条件C．已知a，b，c为非零向量，则“a·b＝a·c”是“b＝c”的充要条件D ．若p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0 答案 D10．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4 D ．q 2，q 4答案 C11．有下列命题：①p 1：“若x ＋y>0，则x>0且y>0”的否命题； ②p 2：“矩形的对角线相等”的否命题；③p 3：“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题； ④p 4：“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①④ 答案 C解析 ①中p 1的逆命题为“若x>0且y>0，则x ＋y>0”为真，故否命题为真； ②中p 2的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③中p 3的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1”．∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎨⎧m>0，Δ<0，即m>1.∴③是真命题；④中p 4为真，逆否命题也为真．12．命题p ：“∀x ∈[1，2]，2x 2－x －m>0”，命题q ：“∃x 0∈[1，2]，log 2x 0＋m>0”，若“p ∧q ”为真命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－1，＋∞) C ．(－1，1) D ．[－1，1]答案 C解析 若p 为真，则m<2x 2－x 在x ∈[1，2]上恒成立，令f(x)＝2x 2－x ，x ∈[1，2]， 因为f(x)＝2x 2－x ＝2(x －14)2－18在[1，2]上单调递增，所以f(x)min ＝f(1)＝1.所以m<1.对命题q ，因为x 0∈[1，2]时，log 2x 0∈[0，1]，所以－log 2x 0∈[－1，0]．所以由log 2x 0＋m>0得m>－log 2x 0.若q 为真，则m>－1，因为p ∧q 为真，所以p 真且q 真．所以⎩⎨⎧m<1，m>－1，所以－1<m<1.故选C. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知命题p ：“若a>b>0，则log 12a<log 12b ＋1.”则命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为________．答案 214．不等式kx 2＋x ＋k>0恒成立的充要条件是________．答案 k>1215．命题p ：∃α0∈R ，sin α0>1是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定綈p ：________，它是________命题(填“真”或“假”)． 答案 特称命题 假 ∀α0∈R ，sin α≤1 真16．已知在实数a ，b 满足某一前提条件时，命题“若a>b ，则1a <1b”及其逆命题，否命题和逆否命题都是假命题，则实数a ，b 应满足的前提条件是________．答案 ab<0解析 由题意知ab ≠0，当ab>0时，1a <1b ⇔ab ·1a <1b·ab ⇔b<a ，所以四种命题都是正确的．当ab<0时，若a>b ，则必有a>0>b ，故1a >0>1b ，所以原命题是假命题；若1a <1b ，则必有1a <0<1b，故a<0<b ，所以原命题的逆命题也是假命题．由命题的等价性，可知四种命题都是假命题，故填ab<0.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x ∈{x|x>0}，x ＋1x>2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.解析 (1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且为真命题．(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为假命题．(4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，且为真命题．18．(12分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x ＝4或x ＝6，则(x －4)(x －6)＝0；(3)正方形是菱形又是矩形．解析 (1)逆命题：如果会使用电脑，那么就学好了数学；(假)否命题：如果学不好数学，那么就不会使用电脑；(假)逆否命题：如果不会使用电脑，那么就学不好数学．(假)(2)逆命题：若(x －4)(x －6)＝0，则x ＝4或x ＝6；(真)否命题：若x ≠4且x ≠6，则(x －4)(x －6)≠0；(真)逆否命题：若(x －4)(x －6)≠0，则x ≠4且x ≠6.(真)(3)逆命题：既是菱形又是矩形的四边形是正方形；(真)否命题：不是正方形的四边形就不是菱形或者不是矩形；(真)逆否命题：不是菱形或者不是矩形的四边形就不是正方形．(真)19．(12分)已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m>0)．若綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．解析 因为p ：－2≤x ≤10，所以綈p ：A ＝{x|x>10或x<－2}．由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m>0)，解得1－m ≤x ≤1＋m(m>0)，所以綈q ：B ＝{x|x>1＋m 或x<1－m}(m>0)．由綈p 是綈q 的必要而不充分条件可知B A.所以⎩⎨⎧m>0，1－m ≤－2，1＋m>10，或⎩⎨⎧m>0，1－m<－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.所以满足条件的m 的取值范围为[9，＋∞)．20．(12分)已知c>0，设命题p ：y ＝c x 为减函数，命题q ：函数f(x)＝x ＋1x >1c 在x ∈[12，2]上恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围．解析 由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可． 若p 真，由y ＝c x 为减函数，得0<c<1.当x ∈[12，2]时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知，f(x)＝x ＋1x 在[12，2]上的最小值为2. 若q 真，则1c <2，即c>12. 若p 真q 假，则0<c<1，c ≤12，所以0<c ≤12； 若p 假q 真，则c ≥1，c>12，所以c ≥1. 综上可得，c ∈(0，12]∪[1，＋∞)． 21．(12分)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明 充分性：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中得ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b)＝0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0.∴有a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.22．(12分)已知命题：“∀x ∈{x|－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m<0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x －3a)(x －a －2)<0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析 (1)命题：“∀x ∈{x|－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m<0成立”是真命题，得x 2－x －m<0在－1≤x ≤1时恒成立，∴m>(x 2－x)max ，得m>2，即B ＝{m|m>2}．(2)不等式(x －3a)(x －a －2)<0.①当3a>2＋a ，即a>1时，解集A ＝{x|2＋a<x<3a}，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B ，∴2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)．②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝∅，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A B成立．③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a<x<2＋a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A B成立，∴3a≥2，此时a∈[23，1)．综上①②③可得a∈[23，＋∞)．1．若綈A⇔綈B，綈C⇒綈B，则A是C的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由已知可得A⇔B，B⇒C，∴A⇒C.2．下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数答案 A解析由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题．故选A.3．设集合A＝{x|xx－1<0}，B＝{x|0<x<3}，那么“m∈A”是“m∈B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A4．已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z.若“p且q”与“綈q”同时为假命题，则满足条件的x为()A．{x|x≥3或x≤－1，x∉Z} B．{x|－1≤x≤3，x∉Z}C．{－1，0，1，2，3} D．{0，1，2}答案 D5．在横线上分别填上由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的复合命题的真假：p：3×3＝6，q：3＋3＝6，则p∨q________，p∧q________，綈p________．答案真假真6．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；(3)等圆的面积相等、周长相等．解析(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是非p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，时，一元二次方程没有实数根，注意到当Δ＝1＋4m<0，即m<－14因为非p是真命题，所以原命题是一个假命题．(2)这一命题的否定形式是非p：对所有实数x，都有x2＋x＋1>0；利用配方法可以证得非p是一个真命题，所以原命题是一个假命题．(3)这一命题的否定形式是非p：“存在一对等圆其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知非p是一个假命题，所以原命题是一个真命题．。

课时作业(五)1．命题“平行四边形的对边平行且相等”是()A．简单命题B．“(綈p)∧(綈q)”的形式C．“p∧q”的形式D．“p∨q”的形式答案 C2．已知命题p：3≥3，q：34，则下列判断正确的是()A．p∨q为真，p∧q为真，綈p为假B．p∨q为真，p∧q为真，綈p为真C．p∨q为假，p∧q为假，綈p为假D．p∨q为真，p∧q为假，綈p为假答案 D3．命题p：x2＋y2<0(x，y∈R)，命题q：x2＋y2≥0(x，y∈R)，下列结论正确的是() A．“p∨q”真B．“p∧q”为真C．“綈p”为假D．“綈q”为真答案 A解析∵p假q真，∴p∨q真．4．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件，则()A．p真q假B．p∧q为真C．p∨q为假D．p假q真答案 D5．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)答案 D解析依题意知p真，q假，则綈p为假，綈q为真，所以(綈p)∨(綈q)为真．故选D. 6．“p是真命题”是“p∧q为真命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B7．若命题“綈(p∨q)”为假命题，则下列命题中正确的是()A．p，q均为真命题B．p，q中至少有一个为真命题C．p，q均为假命题D．p，q中至多有一个为真命题答案 B解析∵綈(p∨q)为假命题，∴p∨q为真命题．∴p，q中至少有一个为真命题．8．如果原命题的结论是“p∧q”形式，那么否命题的结论形式是()A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∨q D．(綈q)∨p答案 B9．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为() A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q答案 A解析綈p：甲没有降落在指定范围；綈q：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，则綈p或綈q发生．故选A.10．设p，q是两个命题，则命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是()A．p，q中至少有一个为真B．p，q中至少有一个为假C．p，q中有且只有一个为假D．p为真，q为假答案 C11．已知p：函数y＝2|x－1|的图象关于直线x＝1对称；q：函数y＝x＋1x在(0，＋∞)上是增函数．由它们组成的新命题“p∧q”“p∨q”“綈p”中，真命题的个数为() A．0 B．1C．2 D．3答案 B解析由已知得，p真q假．故选B.12．分别用“p∨q”“p∧q”填空．(1)命题“集合A B”是________的形式；(2)命题“（x－1）2＋4≥2”是________的形式；(3)命题“60是10与12的公倍数”是________的形式． 答案 (1)p ∧q (2)p ∨q (3)p ∧q13．命题“若a<b ，则2a <2b ”的否命题为________，命题的否定为________． 答案 若a ≥b ，则2a ≥2b 若a<b ，则2a ≥2b14．设命题p ：12≤x ≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 [0，12]15．设p ：函数f(x)＝|x －a|在区间(4，＋∞)上单调递增；q ：log a 2<1，如果“綈p ”是真命题，“q ”也是真命题，求实数a 的取值范围．解析 p ：f(x)＝|x －a|在区间(4，＋∞)上单调递增，故a ≤4. q ：由log a 2<1＝log a a ⇒0<a<1或a>2.如果“綈p ”为真命题，则p 为假命题，即a>4. 又q 为真，即0<a<1或a>2，由⎩⎨⎧0<a<1或a>2，a>4，可得实数a 的取值范围是a>4. 16．已知命题p ：x 2－x ≥6，命题q ：x ∈Z ，“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，求x 的值． 解析 ∵“非q ”为假命题，∴q 为真命题． 又∵“p 且q ”为假命题，∴p 为假命题． ∴x 2－x<6，即x 2－x －6<0且x ∈Z .解得－2<x<3，且x ∈Z ，∴x ＝－1，0，1，2.1．命题“p”与命题“非p ”( ) A ．可能都是真命题 B ．可能都是假命题 C ．一真一假 D ．只有p 是真命题答案 C2．已知全集S ＝R ，A ⊆S ，B ⊆S ，若命题p ：2∈(A ∪B)，则命题“綈p ”是( ) A.2∉ A B.2∈∁S B C.2∈A ∩B D.2∈(∁S A)∩(∁S B) 答案 D3．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x在R 上为减函数．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4 D ．q 2，q 4答案 C解析 ∵p 1是真命题，则綈p 1为假命题；p 2是假命题，则綈p 2为真命题；∴q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题，q 3：(綈p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(綈p 2)为真命题．∴真命题是q 1，q 4.∴选C.4．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cosx 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真 答案 C解析 命题p ，q 均为假命题，故p ∧q 为假命题．5．已知全集为R ，A ⊆R ，B ⊆R ，若命题p ：x ∈A ∩B ，则“綈p ”是( ) A ．x ∈A B ．x ∈∁R BC ．x ∉(A ∪B)D ．x ∈(∁R A)∪(∁R B) 答案 D6．已知命题p ：若x>y ，则－x<－y ；命题q ：若x>y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q)；④(綈p)∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 答案 C解析 先判断命题p ，q 的真假，再根据真值表求解．当x>y 时，－x<－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题． 当x>y 时，x 2>y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题．由真值表知，①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③p ∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q 为假命题．故选C 项．7．设有2 015个命题p 1，p 2，…，p 2 015，满足：若命题p i 为真命题，则命题p i ＋4为真命题；已知p1∨p4为假命题，p3∨p4为真命题，则p2 015是________命题．答案真8．写出由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”形式的复合命题，并判断其真假．(1)p：4∈{2，3}，q：2∈{2，3}；(2)p：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4<x<2}，q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|x<－4或x>2}．解析(1)p∧q：4∈{2，3}且2∈{2，3}，假；p∨q：4∈{2，3}或2∈{2，3}，真．(2)p∧q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4<x<2}且是{x|x<－4或x>2}，p∨q：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4<x<2}或是{x|x<－4或x>2}．∵不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4<x<2}，∴“p∧q”为假，“p∨q”为真．9．设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集为∅；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．解析对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集为∅，所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.解这个不等式，得－3<a<1.对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，则有a＋1>1，所以a>0.又p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q必是一真一假．当p真q假时有－3<a≤0，当p假q真时有a≥1.综上所述，a的取值范围是(－3，0]∪[1，＋∞)．。

汈A1.11．1.1命题要点1命题：能判断真假的语句叫做命题．要点2真命题：判断为真的命题叫真命题．要点3假命题：判断为假的命题叫假命题．要点4命题的表示：一般用小写英文字母表示，如p，q，r，…1．如何判定一个语句是否是命题？答：①并非所有陈述句都是命题，凡是在陈述句中含有比喻，形容词等词义模糊不清的(即美丽”，“小红长得很．美”，就不不能判断真假)，都不是命题，如：“小红长得象天仙一样．．．．．是命题．②(在陈述句中)有一些科学猜想，如“哥德巴赫猜想”，虽然现在还不能确定其真假，但随着时间的推移，总能确定其真假，所以它们也是命题．③疑问句(如：明天会放假吗？)，祈使句(如：希望明天会放假)，感叹句(如：放假真好呀！)都不是命题.题型一命题的概念例1判断下列语句是不是命题．(1)x2－1＝0，(2)x2＋1＝0，(3)y＝x2(x∈R)是幂函数．(4)《高考调研》是最实用的参考书吗？(5)请给我买本《高考调研》！解析(1)陈述句，但不能判断真假，∴不是命题．(2)陈述句，对所有的实数x，x2＋1一定不为0，能判断真假，∴是命题(假命题)．(3)陈述句，能判断真假，是命题(真命题)．(4)疑问句，不是命题．(5)祈使句，不是命题．探究1判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假，一般地，陈述句“π是有理数”，反意疑问句“难道矩形不是平行四边形吗？”都叫命题；而祈使句“求证2是无理数”，疑问句“π是无理数吗？”感叹句“向抗洪英雄学习！”就不是命题．思考题1判断下列语句是不是命题．(1)（－3）2＝－3.(2)平面内不相交的两直线平行．(3)x>0.(4)数学好学吗？(5)并非所有的学生都喜欢数学．解析(1)是(2)是(3)不是(4)不是(5)是题型二命题真假的判断例2下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．①等边三角形难道不是等腰三角形吗？②垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？③一个实数不是正数就是负数．④大角所对的边大于小角所对的边．⑤若x＋y为有理数，则x、y也都是有理数．解析①通过反意疑问句，对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题．②疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．③是假命题．数0既不是正数也不是负数．④是假命题．没有前提条件在同一个三角形中．⑤是假命题．如x＝3，y＝－ 3.答案①③④⑤，①探究2命题真假性的判断：(1)从方法上判定一命题为真命题需要严格推证，判定一命题为假命题只需举出一个反例即可，解决这类题目的难点是相关知识点的掌握．(2)认真审题，找出被判断对象应满足的条件及满足此条件时会有的结论，为叙述的通顺，必要时可添加一些词语，但不可改变原命题．思考题2判断下列语句，哪些是命题？若是命题，指出是真命题，还是假命题？(1)空集是任何非空集合的真子集．(2)三角函数是周期函数吗？(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0(4)灰太狼真坏呀！(5)3x≤5解析(1)是命题，是真命题．(2)疑问句，没有对三角函数是否是周期函数作出判断，故不是命题．(3)是命题，因为Δ＝16－28＝－12<0，所以是真命题．(4)感叹句，不是命题．(5)不能判断真假，不是命题．题型三命题的结构分析例3指出下列命题的条件与结论．(条件：p，结论：q)(1)负数的平方是正数．(2)正方形的四条边相等．(3)质数是奇数．(4)矩形是两条对角线相等的四边形．解析(1)可表述为“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”，p为：“一个数是负数”；q为：“这个数的平方是正数”．(2)可表述为：“若一个四边形是正方形，则这个四边形的四条边相等”．p为：“一个四边形是正方形”；q为：“这个四边形的四条边相等”．(3)可表述为：“若一个自然数是质数，则它是奇数”．p为：“一个自然数是质数”；q为：“这个自然数是奇数”．(4)可表述为：“若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．”p为：“四边形的两条对角线相等”；q为：“这个四边形是矩形”．探究3一个命题总存在条件和结论两个部分，但是，有的时候条件和结论不是很明显，这时可以把它的表述作适当的改变写成“若p，则q”的形式，其中p为条件，q为结论．思考题3(1)将下列命题改写成“若p，则q”的形式．①奇函数的图像关于原点对称．②当p>0时，p2>p.解析 ①若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称．②若p>0，则p 2>p.(2)将下列命题改成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．①当a>b 时，1a <1b.②在△ABC 中，当sinA ＝sinB 时，A ＝B.解析 ①若a>b ，则1a <1b，假命题．②在△ABC 中，若sinA ＝sinB ，则A ＝B 真命题．1．一般地，判断一个语句是不是命题就是要看它是否符合“陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，只有同时满足这两个条件的才是命题．2．一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能模棱两可无法判断其真假．1.下列语句是命题的是________．①矩形不是平行四边形②lg2是有理数③请坐④2010年7月1日是中国共产党90岁生日答案①②④2．下列语句中，不能成为命题的是()A．5>12B．x>0C．若a⊥b，则a·b＝0D．三角形的三条中线交于一点答案 B3．给出下列四个命题：①梯形的对角线相等；②对任意实数x，均有x＋2>x；③不存在实数x，使x2＋x＋1<0；④有些三角形不是等腰三角形．其中所有真命题的序号为________．答案②③④课时作业(一)1．下列语句中是命题的是( )A ．|x ＋a|B ．0∈ZC ．集合与简易逻辑D ．灰太狼真坏呀！ 答案 B2．下列语句是命题的是( ) A ．偶函数的和是偶函数吗？ B ．sin45°＝ 3.C ．参加2010年南非世界杯的足球队员．D ．x 2－4x －3＝0. 答案 B3．下列语句：①空集是任何集合的真子集；②x>2；③△ABC 的面积；④高一年级的学生．其中不是命题的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④ 答案 D4．若M 、N 是两个集合，则下列命题中真命题是( ) A ．如果M ⊆N ，那么M ∩N ＝M B ．如果M ∩N ＝N ，那么M ⊆N C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝M D ．如果M ∪N ＝N ，那么N ⊆M 答案 A5．(2010·衡水市联考卷)已知直线m ，n 及平面α，β，则下列命题正确的是( ) A.⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αn ∥β⇒α∥β B.⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ∥n ⇒n ∥αC.⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αα⊥β⇒m ∥β D.⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n 答案 D解析 若m ⊆β，n ⊆α，有可能α与β相交，故选项A 错；选项B 中，n 有可能在平面α内；选项C 中，m 有可能在平面β内．故选D.6．(2010·湖北卷)用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b ； 其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 答案 C解析 对于①，由公理“平行于同一直线的两条直线平行”可知，①正确；对于②，如在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，此时AB 平行于CD ，因此②不正确．对于③，如当平面α∥γ时，平面α内的任意两条直线a ，b 都平行于平面γ，显然此时直线a ，b 可能相交，因此③不正确．对于④，由“垂直于同一平面的两条直线平行”可知其正确性．综上所述，其中真命题的序号是①④，选C.7．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a>1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题答案 D8．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．答案①④9．命题：“一个正整数不是合数就是素数”．条件p：________，结论q：________，是________命题．答案一个数是正整数它不是合数就是素数假解析该命题可变为“若一个数是正整数，则它不是合数就是素数”，所以条件p为“一个数是正整数”，结论q为“它不是合数就是素数”．因为正整数1不是合数也不是素数，所以是假命题．10．判断下列命题的真假．(1)在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB.________(2)直线的倾斜角越大，则其斜率也越大．________答案(1)真命题(2)假命题11．如果命题“若x∈A，则y＝log a(x2＋2x－3)为增函数”是真命题，试求集合A满足的条件．解析当a>1时，A⊆(1，＋∞)，当0<a<1时，A⊆(－∞，－3)12．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．(1)相似三角形的对应角相等．(2)当a>1时，函数y＝a x是增函数．解析(1)若两个三角形相似，则它们的对应角相等．条件p：三角形相似，结论q：对应角相等．(2)若a>1，则函数y＝a x是增函数．条件p：a>1结论q：函数y＝a x是增函数．1．1.2量词要点1全称命题：“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．一般地，设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M 中的所有x，p(x)”的命题．用符号简记为∀x∈M，P(x)．要点2存在性命题：“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题．一般地，设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．1．全称命题的特征是什么？答：特征是“全”：全部、所有、任意、每一个等．由于自然语言的不同，同一个全称命题可以有不同的表述方法．如命题：正方形都是矩形．也是全称命题，只不过省去了全称量词“所有”．2．存在性命题的特征是什么？答：特征是“存在”，即有，不是全部．常用的存在量词有：存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某个、有的等．题型一全称命题与存在性命题的辨析例1判断下列命题是否是全称命题或存在性命题．(1)有一个实数a，a不能取对数．(2)所有不等式的解集A，都有A⊆R.(3)有的向量方向不定．(4)自然数的平方是正数．解析因为(1)(3)含有存在量词，所以命题(1)(3)为存在性命题；又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(4)均含有全称量词，故为全称命题．综上所述：(1)(3)为存在性命题，(2)(4)为全称命题．探究1判断命题是全称命题还是存在性命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词，要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．思考题1判断下列命题哪些是全称命题，哪些是存在性命题：(1)对顶角相等．(2)如果方程f(x)＝0有实根，那么函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．(3)负数没有对数．(4)存在a＝1且b＝2使a＋b＝3成立．答案(1)，(2)，(3)是全称命题；(4)是存在性命题题型二全称命题与存在性命题真假的判断例2试判断以下命题的真假：(1)有的正方形不是矩形；(2)有理数是实数；(3)∀x∈R，x2＋2>0；(4)∀x∈N，x4≥1；(5)∃x0∈Z，x03<1；(6)∃x0∈Q，x02＝3.解析(1)假命题，所有的正方形都是矩形．(2)真命题，所有的有理数都是实数．(3)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．(4)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．(5)由于－1∈Z，当x0＝－1时，能使x03<1.所以命题“∃x0∈Z，x03<1”是真命题．(6)由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理数的平方能等于3.所以命题“∃x 0∈Q ，x 02＝3”是假命题．探究2 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p(x 0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．思考题2 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假． (1)p ：所有的单位向量都相等；(2)p ：任一等比数列{a n }的公比q ≠0； (3)p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋3≤0；(4)p ：存在等差数列{a n }，其前n 项和S n ＝n 2＋2n －1.解析 (1)p 是全称命题，是假命题．若两个单位向量e 1，e 2方向不相同时，虽然有|e 1|＝|e 2|，但e 1≠e 2. (2)p 是全称命题，是真命题．根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项a n ≠0，所以其公比q ＝a n ＋1a n≠0(n ＝1，2，3，…)．(3)p 是存在性命题，是假命题．因为对于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2>0恒成立． (4)p 是存在性命题，是假命题．对于任一等差数列{a n }(首项a 1，公差d)，其前n 项和为：S n ＝na 1＋12n(n －1)d ＝d2n 2＋(a 1－d2)n.因此不可能是S n ＝n 2＋2n －1这种形式(含常数项)．1．全称命题与存在性命题的表述方法？同一个全称命题、存在性命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．现列表总结如下．在实际应用中可以灵活选择．1.给出下列几个命题：①末位数是0的整数，能被5整除；②梯形的对角线互相平分；③每个奇函数的图象都过原点；④有些二次函数的图象与x轴相交．其中全称命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C2．下列命题中，是真命题的是( ) A ．每个偶函数的图象都与y 轴相交 B ．∀x ∈R ，x 2>0 C ．∃x 0∈R ，x 02≤0D ．存在一条直线与两个相交平面都垂直 答案 C3．(2010·湖南卷)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3>0 D ．∀x ∈R ，2x >0 答案 C解析 选项A ，lg x ＝0⇒x ＝1；选项B ，tan x ＝1⇒x ＝π4＋kπ(k ∈Z )；选项C ，x 3>0⇒x>0；选项D ，2x >0⇒x ∈R ，故选C.课时作业(二)1．下列全称命题中假命题的个数( ) ①2x ＋1是整数(x ∈R )； ②对所有的x ∈R ，x>3；③对任意一个x ∈Z ，2x 2＋1为奇数； ④任何直线都有斜率．A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 ①②④是假命题．2．下列命题为存在性命题的是( ) A ．偶函数的图象关于y 轴对称 B ．正四棱柱都是平行六面体 C ．不相交的两条直线是平行直线 D ．有大于等于3的实数 答案 D3．(2010·辽宁卷)已知a>0，函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f(x)≤f(x 0)B ．∃x ∈R ，f(x)≥f(x 0)C ．∀x ∈R ，f(x)≤f(x 0)D ．∀x ∈R ，f(x)≥f(x 0) 答案 C解析 由题知：x 0＝－b2a 为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f(x)≥f(x 0)，因此∀x ∈R ，f(x)≤f(x 0)是错误的，选C.4．下列命题正确的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1＝0 B ．∃x ∈R ，－x ＋1≥0 C ．∀x ∈N *，log 2x>0D ．∃x ∈R ，cosx<2x －x 2－3 答案 B解析 ∵x ＝－1时，－x ＋1＝0，故选B.5．下列命题不是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是()A．有一个x∈R，使x2>3B．对有些x∈R，使x2>3C．任选一个x∈R，使x2>3D．至少有一个x∈R，使x2>3答案 C6．下列命题中是全称命题且是真命题的个数是()①每一个二次函数的图象都开口向上②存在一条直线与两个相交平面垂直③存在一个实数x，使不等式x2－3x＋6<0成立A．0 B．1C．2 D．3答案 A7．下列命题中是存在性命题且是真命题的个数是()①∃x∈R，x≤0.②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数．③∃x∈{x|x是无理数}，x3是无理数．A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析①②③均是存在性命题，且都为真命题．故选D.8．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是()A．∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xyB．∃x，y∈R，使x2＋y2≥2xyC．∀x>0，y>0，使x2＋y2≥2xyD．∃x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy答案 A9．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2＝0；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案 A解析①中只有当x＝2或x＝1是方程的根所以①为假命题；②中x＝±2为无理数故②也为假命题；③中方程无解；④中不等式解集为{x|x∈R且x≠1}故选A.10．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题：(1)自然数的平方大于零________；(2)存在一对整数，使2x＋4y＝3________．答案(1)∀x∈N，x2>0；(2) ∃x，y∈Z，使2x＋4y＝311．用量词符号“∀”“∃”表示以下命题．(1)有一个向量a，a的方向不能确定．(2)存在一个函数f(x)，使f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解．解析(1)∃a∈{向量}，使a的方向不能确定．(2)∃f(x)∈{函数}，使f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∀a，b，c，∈R，方程ax2＋bx＋c＝0都有解．12．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y)，∀x∈R，不等式(x－a)⊙(x＋a)<1恒成立，求实数a的取值范围．解析∵(x－a)⊙(x＋a)<1∴(x －a)[1－(x ＋a)]<1 ∴－x 2＋x ＋a 2－a －1<0 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0∵∀x ∈R ，上述不等式恒成立．∴Δ<0即1－4(－a 2＋a ＋1)<0解得－12<a<32，∴ 实数a 的取值范围是(－12，32)．13．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假． (1)a>0且a ≠1，则对任意x ，a x >0；(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tanx 1<tanx 2； (3)∃T ∈R ，使得|sin(x ＋T)|＝|sinx|； (4)∃x 0∈R ，使得x 02＋1<0.答案 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题． 解析 (1)∵a x >0(a>0且a ≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan0＝tan π， ∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期． ∴命题(3)为真命题． (4)对任意x ∈R ，x 2＋1>0. ∴命题(4)是假命题．1．2基本逻辑联结词1．2.1“且”与“或”要点1p且q：用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题p∧q.要点2p或q：用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题p∨q.要点3“且”“或”的真值表p∧qp∨q可简记为：一真即真，同假才假．1．“且”、“或”、分别对应集合中的哪些运算？答：交、并2．对于命题“x2－1＝0的解为x＝±1”，很多人理解为它是由命题p：“x2－1＝0的解是x＝1”与命题q：“x2－1＝0的解是x＝－1”用“或”连结成的新命题p∨q，这样理解正确吗？答：不正确，按此方法p和q都是假命题，∴p∨q是假命题，而原命题应是真命题，导致矛盾．故这样理解是错误的，其原因是原命题是一个整体，它只是一个简单命题，不是p∨q.本题中p∨q应为：“x2－1＝0的解是x＝1”或“x2－1＝0的解是x＝－1”．题型一含“且”、“或”命题的写法及真假的判定例1分别写出由下列各组命题的构成的“p∧q”，“p∨q”形式的命题，并判断真假．(1)p：2是无理数，q：2大于1(2)p：6<6，q：6＝6(3)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线互相平分(4)p：奥巴马是白人，q：奥巴马是联合国秘书长解析(1)p∧q：2是无理数且大于1，真命题p∨q：2是无理数或大于1，真命题(2)p∧q：6<6且6＝6，假命题p∨q：6≤6，真命题(3)p∧q：平行四边形的对角线相等且互相平分，假命题p∨q：平行四边形的对角线相等或互相平分，真命题(4)p∧p：奥巴马是白人且是联合国秘书长，假命题p∨q：奥巴马是白人或是联合国秘书长，假命题探究1利用“且”、“或”连结两个简单命题p、q，即可组成新命题“p∧q”或“p∨q”，其真假的判定依据真值表．思考题1分别指出下列命题构成的“p或q”“p且q”形式命题的真假．①p：x2≥0；q：3>5；②p：4是27的约数；q：1是x2－3x＋2＝0的根；③p：x2－x＋1≥0；q：|x|－b<0(b>0)的解集是{x|－b<x<b}．解析①因p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假．②因p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假．③因p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真．例2指出下列命题的形式及真假．(1)24是8和6的倍数；(2)2≤3；(3)1既不是质数也不是合数；(4)斜三角形的内角是锐角或是钝角．解析(1)“p∧q”形式．其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．真命题(2)是“p∨q”形式，其中p：2<3，q：2＝3.真命题(3)是“p∧q”形式，其中p：1不是质数，q：1不是合数．真命题(4)是“p∨q”形式，其中p：斜三角形的内角是锐角．q：斜三角形内角是钝角．假命题探究2判断含有“且”“或”的命题的真假的方法步骤为：(1)分析命题的结构，找出组成它的命题p和q；(2)利用数学知识，判断命题p和q的真假；(3)利用真值表判定该命题的真假．思考题2写出下面命题的形式并判断真假．(1)a2－a＋1≥0，(2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；(3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．解析(1)p∨q：p：a2－a＋1>0，q：a2－a＋1＝0，真命题．(2)p∨q：p：集合A是A∩B的子集；q：集合A是A∪B的子集．因为命题q是真命题，所以命题p∨q是假命题．(3)p∨q：p：周长相等的两个三角形全等；q：面积相等的两个三角形全等．因为命题p、q都是假命题，所以命题p∨q是假命题．题型三利用命题的真假求参数范围例3命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．思路分析解答本题可先求p ，q 中的a 的范围，再利用p ∨q 为真，p ∧q 为假，构造关于a 的不等式组，求出适合条件的a 的范围．解析 设g(x)＝x 2＋2ax ＋4.由于关于x的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a<2，所以命题p ：－2<a<2. 函数f(x)＝－(5－2a)x 是减函数． 则有5－2a>1，即a<2. 所以命题q ：a<2.又由于p ∨q 为真，p ∧q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎨⎧－2<a<2a ≥2，此不等式组无解，(2)若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ≤－2或a ≥2a<2，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为{a|a ≤－2}．探究3 (1)利用命题的真假求参数，实际就是已知命题p ∧q 真，p ∨q 真等不同的条件，求命题中涉及的参数的范围．(2)分清p ∧q ，p ∨q 的不同情况，p ∧q 为真，则p 真，q 也真；若p ∨q 为真，则p 、q 中至少有一个为真，若p ∧q 为假，则p 、q 中至少有一个为假．思考题3 已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根，命题q ：不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋1<0对任意的实数x 恒成立．若“p ∨q ”为假，求实数m 的取值范围．解析 p ：∵x 2＋mx ＋1＝0有两不等根∴Δ>0即：m 2－4>0，∴m<－2或m>2 设A ＝{m|m<－2或m>2}q ：∵mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋1<0恒成立．∴①若m ＝0，－2x ＋1<0不恒成立．②若m ≠0，则⎩⎨⎧m<0Δ<0⇒x<－1，综上m<－1.记B ＝{m|m<－1}．∵p ∨q 为假，∴p 假q 假∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ≤2m ≥－1，∴－1≤m ≤2.1．真值表是根据简单命题的真假来判断p∧q，p∨q型命题真假的依据．2．利用真值表与电路联系，加强对真值表的理解．3．给出一个复合命题能说出构成它的简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”，能判断其真假，并能利用真值表判断复合命题的真假. 1.命题“△ABC是等腰直角三角形”的形式是________．答案p∧q解析△ABC是等腰直角三角形是由△ABC是等腰三角形与△ABC是直角三角形用“且”联结而成，是p∧q命题．2．“ab≠0”是指()A．a≠0且b≠0B．a≠0或b≠0C．a、b至少有一个不为0 D．a、b不都是0答案 A解析当a＝0时不合题意，b＝0也不合题意，∴a≠0且b≠0.3．设有2011个命题p1，p2，…，p2011，满足：若命题p i为真命题，则命题p i＋4为真命题；已知p1∧p4为假命题，p3∨p4为真命题，则p2011是________命题．答案真解析2011除以4余3，∴p2011与p3真假相同，由已知p1，p4均为假命题，再由p3∨p4为真命题，知p3为真命题．4．若p：∅{∅}，q：∅∈{∅}，写出由其构成的“p∨q”“p∧q”形式的新命题，并判断其真假．分析写出“p∨q”“p∧q”形式的新命题，就是把命题p、q用联结词“或”“且”联结起来；要判断“p∨q”“p∧q”的真假，关键是看p、q的真假，然后利用真值表判断“p∨q”“p∧q”的真假．解析p∨q：∅{∅}或∅∈{∅}；因为∅∈{∅}为真命题，所以“p∨q”为真．p∧q：∅{∅}且∅∈{∅}；因为p、q都为真命题，所以“p∧q”为真．课时作业(三)1．对命题p ：A ∩Ø＝Ø，命题q ：A ∪Ø＝A ，下列判断正确的是( ) A ．p 且q 为假 B ．p 或q 为假C ．p 且q 为真；p 或q 为假D ．p 且q 为真；p 或q 为真 答案 D解析 由题意知，p 真，q 也真．故p 且q 为真，p 或q 为真． 2．下列为假命题的是( ) A ．3是7或9的约数B ．两向量平行，其所在直线平行或重合C ．菱形的对角线相等且互相垂直D ．如果x 2＋y 2＝0，则x ＝0且y ＝0 答案 C解析 菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故对于“且”形式的命题C ，其一为假必为假．A 、B 、D 皆真．3．下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③命题“若a>b ，则a ＋c>b ＋c ”；其中假命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 A解析 命题①②③都正确．4．若命题p ：0是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列结论中正确的是( ) A ．“p ∨q ”为假 B ．“p ∨q ”为真 C ．“p ∧q ”为真 D ．以上都不对 答案 B解析 ∵p 为真，q 为假，∴“p ∨q ”为真，故选B. 5．如果命题p ∨q 为真命题，“p ∧q ”为假命题，那么( ) A ．命题p ，q 都是真命题 B ．命题p ，q 都是假命题C ．命题p ，q 只有一个是真命题D ．命题p ，q 至少有一个是真命题 答案 C解析 “p ∨q ”为真，则至少p 、q 有一真，p ∧q 为假，则至少p 、q 有一假，∴p 、q 一真一假，故选C.6．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ”，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1 答案 A解析 ∵x 2－a ≥0在x ∈[1，2]上恒成立， ∴a ≤x min 2，∴p ：a ≤1；由Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，∴q ：a ≥1或a ≤－2.若p ∧q 为真，则⎩⎨⎧a ≤1a ≥1或a ≤－2，∴a ＝1或a ≤－2，故选A.7．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，则使“p ∧q ”为真命题的一个点P(x ，y)是( )A ．(0，－3)B ．(1，2)C ．(1，－1)D ．(－1，1) 答案 C解析 点p(x ，y)满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3y ＝－x2，可验证各选项中，只有C 成立．8．选用“∧”、“∨”填空，使下列命题成为真命题．(1)x ∈(A ∪B)，则x ∈A________x ∈B ；(2)x ∈(A ∩B)，则x ∈A________x ∈B ； 答案 ∨；∧9．命题p ：如果两三角形全等，则这两个三角形相似；q ：如果两三角形相似，则这两三角形全等．在命题“p ∧q ”“p ∨q ”中，真命题是________，假命题是________．答案 p ∨q ，p ∧q 解析 由题意知，p 真q 假．10．分别用“p ∨q ”、“p ∧q ”填空：(1)命题“集合A B ”是________的形式；(2)命题“（x －1）2＋4≥2”是________的形式； (3)命题“60是10与12的公倍数”是________的形式 . 答案 (1)p ∧q (2)p ∨q (3)p ∧q11．若命题p ：a ∈{a ，b}，q ：{a}⊆{a ，b}，则：①p ∨q 为真；②p ∨q 为假；③p ∧q 为真；④p ∧q 为假．以上对复合命题的判断正确的是________．答案 ①③解析 因为命题p ：a ∈{a ，b} 是真命题，命题q ：{a}⊆{a ，b}是真命题，所以p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题．12．已知命题p ：1∈{x|x 2<a}，q ：2∈{x|x 2<a} (1)当a 为何值时，“p 或q ”为真命题； (2)当a 为何值时，“p 且q ”为真命题 .解析 当a>1时，1∈{x|x 2<a}成立，命题p 为真； 当a ≤1时，p 为假；当a>4时，2∈{x|x 2<a}成立，q 为真； 当a ≤4时，q 为假． ∴(1)当a>1时，p 或q 为真；(2)当a>4时，p 且q 为真．13．命题p ：函数g(x)＝lg(x 2＋2ax ＋4)的值域为R . 命题q ：函数f(x)＝－(5－2a)x 是增函数． 若p 或q 为假，求实数a 的取值范围． 解析 ∵p 或q 为假，∴p 假q 假 p 为假，则4a 2－4×4<0，∴a 2<4 即－2<a<2；q 为假，则5－2a>1，∴a<2，∴－2<a<2. ∴实数a 的取值范围(－2，2)．1．2.2“非”(否定)要点1对一个命题p否定，就得到一个新命题綈p，读作“非p”或“p的否定”．要点2真值表：p与綈p真假性相反，一个为真，另一个必为假．要点3存在性命题的否定．存在性命题p：∃x∈A，p(x)，它的否定是綈p：∀x∈A，綈p(x)，即否定存在性命题时，将存在量词变为全称量词，再否定它的性质，即存在性命题的否定是全称命题．要点4全称命题的否定．全称命题q：∀x∈A，q(x)，它的否定是綈q，∃x∈A，綈q(x)，即否定全称命题时，将全称量词变为存在量词，再否定它的性质，即全称命题的否定是存在性命题．1．“x＝0或x＝1”的否定是“x≠0或x≠1”吗？答：不是，应是“x≠0且x≠1”．2．“x，y全为0”的否定是“x，y全不为0”吗？答：不是，应是“x，y不全为0”．题型一命题的否定例1写出下列命题的否定．(1)3是9的约数或18的约数；(2)菱形的对角线相等且互相垂直；(3)方程x2＋x－1＝0有两实根符号相同或绝对值相等；(4)a>0或b≤0.解析(1)命题的否定是：3不是9的约数，也不是18的约数；(2)命题的否定是：菱形的对角线不相等或不互相垂直；(3)方程x2＋x －1＝0的两实数根符号不相同且绝对值不相等；(4)a≤0且b>0.探究1“p∨q”命题的否定为“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”命题的否定为“(綈p)∨(綈q)”．思考题1写出下列命题的否定．(1)a2＋b2<0或a2＋b2≥0；(2)集合中的元素是确定的且是无序的；(3)8是12的约数或9是质数；(4)∅＝{0}且∅⊆∅.解析(1)a2＋b2≥0且a2＋b2<0；(2)集合中的元素是不确定的或是有序的；(3)8不是12的约数且9不是质数；(4)∅≠{0}或∅⃘∅.题型二全称命题的否定例2(1)写出下列全称命题的否定．p：∀x>1，log2x>0.(2)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0(3)已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则()A．綈p：∃x∈R，sinx≥1B．綈p：∀x∈R，sinx≤1C．綈p：∃x∈R，sinx>1D．綈p：∀x∈R，sinx>1。

课时作业(十二)1．设a>0，则椭圆x 2＋2y 2＝2a 的离心率是( ) A.12 B.22C.13 D ．与a 的取值有关答案 B2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 答案 D3．若椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为( ) A.32B.233 C.932 D.2327 答案 A4．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( ) A.2－1 B.2＋12 C ．2 2 D.22答案 A解析 依题意知，|PF 2|＝|F 1F 2|，即b 2a ＝2c ，所以b 2＝2ac ，所以a 2－c 2＝2ac ，即1－e 2＝2e ，解得e ＝2－1(负值舍去)．故选A.5．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－32B ．2－ 3C.3－12D.3－1答案 D解析 在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1.所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.故选D.6．直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，椭圆上的点P 使△ABP 的面积等于12，这样的点P 共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 B解析 可求出|AB|＝5，设P(4cosθ，3sinθ)，则P 点到AB 的距离为d ＝|12（cosθ＋sinθ）－12|5＝245.∴θ＝π或3π2，∴这样的点P 有两个．7．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(0，12]C ．(0，22) D ．[22，1) 答案 C解析 依题意，得c<b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2，2c 2<a 2.故离心率e ＝c a <22，又0<e<1，所以0<ca <22. 8．过点M(－2，0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( ) A ．2B ．－2C.12 D ．－12答案 D解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，x 2)，P(x ，y)，则⎩⎨⎧x 122＋y 12＝1， ①x 222＋y 22＝1. ②①－②，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.即2x·（x 1－x 2）2＋2y(y 1－y 2)＝0.∴k 1·k 2＝－12.9．已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2的外接圆半径为4，则△F 1PF 2的面积是( ) A.433B ．4 3C ．4 D.433或4 3答案 D 解析|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2R ＝8，∴sin ∠F 1PF 2＝32.由|PF 1|＋|PF 2|＝8，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠P ＝|F 1F 2|2. ∴|PF 1||PF 2|＝16或163. ∴S △＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝433或4 3.10．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·(OF 1→＋OP →)＝0(O 为坐标原点)，若|PF 1→|＝2|PF 2→|，则椭圆的离心率为( ) A.6－ 3 B.6－32 C.6－ 5 D.6－52答案 A解析 根据向量加法的平行四边形法则，以OF 1，OP 为邻边作平行四边形，由PF 1→·(OF 1→＋OP →)＝0知，此平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形，∴|OP →|＝|OF 1→|，∴△F 1PF 2是直角三角形，即PF 1⊥PF 2.设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，结合椭圆的性质和勾股定理，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x ＝2a ，（2x ）2＋x 2＝（2c ）2，∴e ＝c a ＝32＋1＝6－ 3.故选A. 11．与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________． 答案 x 215＋y 210＝112．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________． 答案 x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1解析 依题意可得a ＝2c ，a －c ＝3，∴c ＝ 3. ∴a ＝23，b 2＝9.故椭圆方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.13．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．答案35解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. 所以弦长|MN|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54×（4＋24）＝35. 14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(－2，1)，长轴长为25，过点C(－1，0)且斜率为k的直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B. (1)求椭圆的方程；(2)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线l 的斜率．解析 (1)∵椭圆长轴长为25，∴2a ＝2 5.∴a ＝ 5.又∵椭圆过点(－2，1)，代入椭圆方程，得（－2）25＋1b2＝1.∴b 2＝53.∴椭圆方程为x 25＋y 253＝1，即x 2＋3y 2＝5.(2)∵直线l 过点C(－1，0)且斜率为k ，∴设直线方程为y ＝k(x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝5，y ＝k （x ＋1），得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0. ∵直线与椭圆相交，∴Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)>0，即12k 2＋5>0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，∵线段AB 中点的横坐标是－12，∴x 1＋x 2＝2×(－12)＝－1.即x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1＝－1，解得k ＝±33.15．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．解析 (1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝2 3.又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 的中点为E(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4.因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB. 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB|＝3 2.此时，点P(－3，2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322.所以△PAB 的面积S ＝12|AB|·d ＝92.1．已知F 1、F 2为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0<b<10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点，若∠F 1PF 2＝60°且△F 1PF 2的面积为6433，则椭圆的离心率为( )A.35B.45C.925D.1625答案 A解析 因为S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝6433，所以|PF 1|·|PF 2|＝2563.又|PF 1|＋|PF 2|＝20，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝400，① 由余弦定理知，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2 ＝4c 2＝4(100－b 2)，② ①－②得，3|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，所以b 2＝64，所以c 2＝100－64＝36，所以c ＝6. 又a ＝10，所以e ＝35.故选A.2．如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为( ) A ．e －1 B ．1－e C ．e 2－1 D ．1－e 2 答案 C解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0， 又x 12a 2＋y 12b 2＝1，① x 22a 2＋y 22b 2＝1，②①－②并整理可得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2a 2·x 0y 0，又k OM ＝y 0x 0，所以k AB ·k OM ＝－b 2a 2.又e ＝1－b 2a 2，所以－b 2a2＝e 2－1，即k AB ·k OM ＝e 2－1.故选C.3．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2＝2∠PF 2F 1，则这个椭圆的离心率是( ) A.3－1 B ．2－ 3 C.3－12D.2－32答案 A解析 依题意知，∠F 1PF 2＝90°.又∠PF 1F 2＝2∠PF 2F 1，所以∠PF 1F 2＝60°，∠PF 2F 1＝30°. 所以|PF 1|＝c ，|PF 2|＝3c.又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝(3＋1)c ，所以e ＝c a ＝23＋1＝3－1.故选A.4．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为e ＝12，右焦点为F(c ，0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P(x 1，x 2)( ) A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情形都有可能答案 A解析 ∵e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2.∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a )2＋2c a ＝3c 24c 2＋1＝74<2. 5．2013年我国载人航天飞船“神舟”十号飞行获得圆满成功．已知“神舟”十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200 km ，350 km.设地球半径为R km ，则此时飞船轨道的离心率为________．(结果用R 的式子表示) 答案75275＋R解析 由题意得a －c ＝200＋R ，a ＋c ＝350＋R ，求得a ＝275＋R ，c ＝75.所以离心率e ＝c a ＝75275＋R.6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点F(c ，0)关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________． 答案22解析 设左焦点为F 1，由F 关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ|＝|OF|.又|OF 1|＝|OF|，所以F 1Q ⊥QF.不妨设|QF 1|＝ck ，则|QF|＝bk ，|F 1F|＝ak ，因此2c ＝ak.又2a ＝ck ＋bk ，由以上二式可得2c a ＝k ＝2a b ＋c，即c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，所以b ＝c ，e ＝22.7．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上，与两焦点张角为90°的点可能有________个．(应填出所有可能情况)答案 0或2或4解析 设该点为P ，则|PF 1|＝a ＋ex ，|PF 2|＝a －ex. |PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|＝2a 2＋2c 2a 2x 2＝4c 2.∴x 2＝2a 2－a 4c 2≥0. ∴当a 2＞2c 2时，该点不存在；当a 2≤2c 2时，该点存在，且当a 2＝2c 2时这样的点有2个，当c 2<a 2<2c 2时有4个点． 8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a ＞b ＞0)过点(1，32)，且长轴长等于4，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．解析 (1)∵2a ＝4，∴a ＝2. ∴设椭圆方程为x 24＋y 2b 2＝1.∵椭圆C 过点(1，32)，∴14＋94b 2＝1.∴b 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵直线l 与⊙O 相切设C 到l 的距离为d ，则d ＝r. 即|m|1＋k 2＝1，∴m 2＝1＋k 2.①由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 设A ，B 坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－123＋4k 2.∴y 1·y 2＝k 2x1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝7m 2－12k 2－123＋4k 2.②将①代入②，得x 1x 2＋y 1y 2＝－5－5k 23＋4k 2.∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－32，∴－5－5k 23＋4k 2＝－32，∴k ＝±22.9．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线x ＋y ＝1交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，其中O 为坐标原点．(1)求1a 2＋1b 2的值；(2)若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴长的取值范围． 解析 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由OP ⊥OQ ，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，∵y 1＝1－x 1，y 2＝1－x 2，代入上式，得2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0.①又将y ＝1－x 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0.∵Δ＞0，∴x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2.x 1x 2＝a 2（1－b 2）a 2＋b 2代入①化简，得1a 2＋1b 2＝2.(2)∵e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2，∴13≤1－b 2a 2≤12，∴12≤ b 2a 2≤23.又由(1)知b 2＝a 22a 2－1，∴12≤12a 2－1≤23，∴54≤ a 2≤32，∴52≤a ≤62. ∴长轴长2a ∈[5，6]．9.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为(3，0)，且经过点(－1，32)，点M 是x 轴上的一点，过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)． (1)求椭圆C 的方程；(2)若|AM|＝2|MB|，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求|MN|的长．解析 (1)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝c 2＝3，（－1）2a 2＋（32）2b2＝1， 解得a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M(m ，0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． 由|AM|＝2|MB|，得y 1＝－2y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，∴y 1＋y 2＝－2tm t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.∵y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2，∴y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2， 即m 2－4t 2＋4＝－2(－2tm t 2＋4)2，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2. ∵直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，原点O 到直线l 的距离d ＝|m|1＋t 2，∴|m|1＋t 2＝47，即t 2＝74m 2－1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧（m 2－4）（t 2＋4）＝－8t 2m 2，t 2＝74m 2－1，消去t 2，得21m 4－16m 2－16＝0，即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，满足Δ>0， 此时M(±233，0)，在Rt △OMN 中，|MN|＝43－47＝42121， ∴|MN|的长为42121.。

课时作业(二)1．在命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是()A．原命题与逆命题B．原命题与逆否命题C．逆命题与否命题D．上述四个命题答案 B2．以下说法错误的是()A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必定为真命题B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定是真命题C．原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题答案 B3．若命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q是r的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．以上都不正确答案 B4．若命题“若p，则q”的逆命题是真命题，则下列命题一定为真命题的是()A．若p，则q B．若綈p，则綈qC．若綈q，则綈p D．以上均不对答案 B解析因为逆命题与否命题互为逆否命题，有相同的真假性．所以由逆命题为真可知否命题“若綈p，则綈q”为真命题．5．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0答案 C6．有下列四个命题．①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“若lga>lgb，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2＋x－6≥0”的否命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析①对，②对，③错．7．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题答案 C解析由题意知原命题是真命题，其逆否命题也为真命题．8．“若x，y∈R且x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是()A．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y全不为0B．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y不全为0C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2＋y2＝0D．若x，y∈R且xy≠0，则x2＋y2≠0答案 B解析命题的否命题就是要把原命题的条件和结论都否定，x，y∈R且x2＋y2＝0的否定是x，y∈R且x2＋y2≠0；x，y全为0的否定是x，y不全为0.故选B.9．互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性．我们用“↔”表示同真或同假，把它叫做“连连看”．已知命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，命题p的逆命题是t，则下列同真同假的“连连看”中，正确的一组是()A．p↔r，s↔t B．p↔t，s↔rC．p↔s，r↔t D．p↔r，s↔r答案 C解析因为命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，所以命题p与s互为逆否命题，故有p↔s；又由于命题p的否命题是r，命题p的逆命题是t，故命题r，t也是互为逆否命题，即r↔t.10．用反证法证明“在△ABC中，若∠C为直角，则∠B一定是锐角”，其反设正确的是() A．∠B是直角B．∠B是钝角或直角C．∠B是钝角D．∠B不是钝角答案 B11．用反证法证明“若ab不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设________．答案a，b中至少有一个是偶数12．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有________个．答案 213．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．解析逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2.假命题．否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b.假命题．逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.假命题．14．已知a，b，c是一组勾股数，即a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．证明假设a，b，c都是奇数．∵a，b，c是一组勾股数，∴a2＋b2＝c2.①∵a，b，c都是奇数，∴a2，b2，c2也都是奇数．∴a2＋b2是偶数，这样①式的左边是偶数右边是奇数，产生矛盾．∴a，b，c不可能都是奇数．15．已知f(x)是(－∞，＋∞)内的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解析(1)逆命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)内的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0. (用反证法证明)假设a＋b<0，则有a<－b，b<－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与题设中f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故假设不成立．从而a＋b≥0成立．逆命题为真．(2)逆否命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)内的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.原命题为真，证明如下： ∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数， ∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－b)＋f(－a)＝f(－a)＋f(－b)． ∴原命题为真命题． ∴其逆否命题也为真命题．1．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是( ) A ．若a ∉M ，则b ∉M B ．若b ∉M ，则a ∈M C ．若a ∉M ，则b ∈M D ．若b ∈M ，则a ∉M答案 D2．给定下列命题：①若k>0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实根；②“若a>b ，则a ＋c>b ＋c ”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为0”的否命题． 其中真命题的序号是________． 答案 ①②④3．证明：如果直线l 和两条平行线a ，b 中的直线a 是异面直线，且不与直线b 相交，那么直线l 与直线b 也是异面直线．证明 如图所示，假设l 与b 不是异面直线，则l 与b 共面，即l 与b 可能相交，也可能平行．若l 与b 相交，这与已知相矛盾．若l 与b 平行，即l ∥b ，又a ∥b ，得l ∥a ，这与l 与a 是异面直线相矛盾．综上可知，l 与b 是异面直线．4．证明：已知x>0，y>0，若x ＋y>2，则1＋x y 与1＋yx至少有一个小于2.证明 将“已知x>0，y>0，若x ＋y>2，则1＋x y 与1＋yx 至少有一个小于2”视为原命题，则要证原命题为真，只需证明其逆否命题为真，即证明：已知x>0，y>0，若1＋x y 与1＋yx 都不小于2，则x ＋y ≤2为真．若1＋x y ≥2，1＋yx≥2，则1＋x ≥2y ，1＋y ≥2x ，所以1＋x ＋1＋y≥2y＋2x，所以x＋y≤2，这就证明了逆否命题的正确性，所以原命题为真得证．。

课时作业(一)1．以下语句中：①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2>x；④集合{x|x2＋1＝0}是空集吗？命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3答案 B解析①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．2．已知集合A＝{x|x2<2}，若a∈A是真命题，则a的取值范围是()A．a< 2 B．a>－ 2C．－2<a< 2 D．a<－2或a> 2答案 C解析∵a∈A是真命题，故a2<2.∴－2<a< 2.3．下列命题中为假命题的是()A．若a>0，则2a>1B．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列D．若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列答案 C解析对于A，由指数函数y＝2x的性质可知，当a>0时，2a>1，故A为真命题；对于B，∵x2≥0，y2≥0对任意实数x，y恒成立，∴当x2＋y2＝0时，一定有x＝y＝0，故B为真命题；对于C，当b2＝ac时，a，b，c可能同时为0，此时a，b，c不成等比数列，故C为假命题；对于D，当a＋c＝2b时，一定有b－a＝c－b，则a，b，c成等差数列，故D为真命题．故选C.4．用p和q分别表示原命题的条件和结论，下面关于四种命题形式的说法不正确的是() A．原命题：若p，则q B．逆命题：若q，则pC．否命题：若綈p，则q D．逆否命题：若綈q，则綈p答案 C解析C项中，否命题应该是“若綈p，则綈q”．5．命题“若p，则綈q”的逆否命题是()A．若p，则q B．若綈p，则qC．若q，则綈p D．若綈q，则綈p答案 C6．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．等价命题答案 A7．命题“若x>y，则x2>y2”的否命题是()A．若x≤y，则x2>y2B．若x>y，则x2<y2C．若x≤y，则x2≤y2D．若x<y，则x2<y2答案 C解析否命题是条件、结论一齐否．8．下列命题中正确的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④答案 B解析①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．假命题．③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m<0.∴m<－14≤0.真命题．④原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”．∵x不是无理数，∴x是有理数．又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数．真命题．故正确的命题为①③④.故选B.9．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．答案①④10．“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题是________．答案若xy≠0，则x，y都不为011．“若a＋5是有理数，则a是无理数”的逆否命题为________，是________命题．(填“真”或“假”)答案若a不是无理数，则a＋5不是有理数真12．(1)命题“等腰三角形的两内角相等”的逆命题是“________________________”．(2)命题“两个奇数之和一定是偶数”的否命题是“________________________”．(3)命题“正方形的四个角相等”的逆否命题是“________________________”．答案(1)若一个三角形的两个内角相等，则这个三角形是等腰三角形(2)若两个数不都是奇数，则它们的和不一定是偶数(3)四个角不全相等的四边形不是正方形13．给出下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，它是假命题．②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，它是真命题．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，它是真命题．14．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．(1)相似三角形的对应角相等；(2)当a>1时，函数y＝a x是增函数．解析(1)若两个三角形相似，则它们的对应角相等．条件p：三角形相似，结论q ：对应角相等．(2)若a>1，则函数y ＝a x 是增函数． 条件p ：a>1，结论q ：函数y ＝a x 是增函数．15．已知A ：5x －1>a ，B ：x>1，若利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”是真命题，求a 的取值范围．解析 若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若5x －1>a ，则x>1”，由命题为真命题知1＋a5≥1，即a ≥4；若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x>1，则5x －1>a ”， 由命题为真命题知1＋a5≤1，即a ≤4.故任取一个实数a 均可利用A ，B 构造出一个真命题．16．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． (1)如果两圆外切，那么圆心距等于两圆半径之和； 逆命题： 否命题： 逆否命题：(2)奇数不能被2整除． 逆命题： 否命题： 逆否命题：解析 (1)逆命题：如果圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切．真命题． 否命题：如果两圆不外切，那么圆心距不等于两圆半径之和．真命题． 逆否命题：如果圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切．真命题． (2) 逆命题：不能被2整除的数是奇数．假命题． 否命题：不是奇数的数能被2整除．假命题． 逆否命题：能被2整除的数不是奇数．真命题．1．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( ) A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b |B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b答案 D解析原命题的条件是a＝－b，结论是|a|＝|b|，所以逆命题是：若|a|＝|b|，则a＝－b. 2．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题为()A．①②B．②③C．①③D．③④答案 C3．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是()A．若A∪B≠A，则A∩B≠B B．若A∩B＝B，则A∪B＝AC．若A∩B≠B，则A∪B≠A D．若A∪B≠A，则A∩B＝B答案 A4．(2015·山东)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是() A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0答案 D解析由原命题和逆否命题的关系可知D项正确．5．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”答案 B解析其逆命题是“若一个数的相反数是正数，是它是负数”．6．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题答案 D解析A项应写成“若p，则q”的形式；B项是命题；C项是假命题；当a>4时，Δ＝16－4a<0，∴方程x2－4x＋a＝0无实根，所以D项是假命题．故选D.7．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M 中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析由题意知集合M不是集合P的子集，故②、④正确．故选B.8．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是________．答案若A⃘B，则A∩B≠A9．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________．答案若a≤b，则2a≤2b－110．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．答案若a>0，则a>1若a≤0，则a≤111．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为________________________________________________________________________．答案若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除．12．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，结论q：________．它是________命题(填“真”或“假”)．答案a>0二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)真13．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若x＋y<5，则x<2或y<3；(2)命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”．解析(1)逆命题：若x<2或y<3，则x＋y<5.假命题．否命题：若x＋y≥5，则x≥2且y≥3.假命题．逆否命题：若x≥2且y≥3，则x＋y≥5.真命题．(2)逆命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d.假命题．否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a 与b ，c 与d 不都相等，则a ＋c ≠b ＋d.假命题． 逆否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d ，则a 与b ，c 与d 不都相等．真命题． 依据四种命题之间的关系，因为原命题正确，所以逆否命题正确，因为逆命题为假，所以否命题为假．14．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若b 2－4ac>0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根； (2)若x －y ＝0，则(x －y)(x ＋y)＝0.解析 (1)逆命题：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，则b 2－4ac>0； 否命题：若b 2－4ac ≤0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有两个不相等的实根； 逆否命题：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有两个不相等的实根，则b 2－4ac ≤0. (2)逆命题：若(x －y)(x ＋y)＝0，则x －y ＝0； 否命题：若x －y ≠0，则(x －y)(x ＋y)≠0； 逆否命题：若(x －y)(x ＋y)≠0，则x －y ≠0. 15．设p(x)：2x >x 2.试问： (1)p(5)是真命题吗？ (2)p(－1)是真命题吗？(3)x 取哪些整数值时，p(x)是真命题？解析 (1)∵25＝32，52＝25，∴25>52是真命题． (2)∵2－1＝12，(－1)2＝1，∴2－1>(－1)2不是真命题．(3)如图所示，由22＝22，24＝42及(1)(2)，得x ∈{0，1}∪{x|x ≥5且x ∈Z }时，2x >x 2，即p(x)为真命题．16．设命题p：若m<0，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实根．(1)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题；(2)判断命题p及其逆命题、否命题、逆否命题的真假．(直接写出结论)解析(1)p的逆命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实根，则m<0.p的否命题：若m≥0，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)无实根．p的逆否命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)无实根，则m≥0.(2)命题p及其逆否命题是真命题，命题p的逆命题和否命题是假命题．17．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解析(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．(2)“若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．p：一个函数是奇函数；q：函数的图象关于原点对称．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．。