高一数学必修四月考试题
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理科1 原阳一中高一月考数学试卷（理科）
命题人：陈光现 2013-5-9
一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1、7cos3=( )
A.12 B.32 C.12 D.32
2、设,xyR，向量(,1),(1,),(2,4)axbyc且cbca//,，则=ab( )
A.5 B.25 C.10 D. 10
3、sin135cos15cos45sin15的值为（ ）
A. 32 B. 12 C. 12 D. 32
4、如图在四边形ABCD中，设ABa，ADb，BCc，则DC （ ）
（A）cba （B）cba
（C）cba （D）cba
5、下列命题中，正确的是（
）
A．baba B．对于任意向量,,ba有baba
C．若ba，则ba或ba D．对于任意向量,,ba有baba
6、若,2,53cos则2sin的值是（ ）
（A）53 （B）53 （C）54 （D）54
7、扇形OAB的半径为2，圆心角060AOB，点D是弧AB的中点，点C在线段OA上，且3OC，则CDOB的值为( ) C
B A D
(第4题图)
理科2
A．23 B．33 C．3 D．2
8、若3,0，则sinlog33等于（ ）
A sin B sin1 C sin D cos1
9、 若为锐角且2coscos1，则1coscos的值为（ ）
A 22 B 6 C 6 D 4
10、若(cos)cos2fxx,则(sin15)f等于 ( )
A．32 B．32 C．12 D． 12
11、设O为△ABC的外心，平面上的点P使OPOAOBOC，则点P是 △ABC的（ ）
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
12、已知方程,02cxbxa其中cba、、是非零向量，且ba、不共线，则该方程( )
A．至少有一个解 B．至多有一个解
C．至多有两个解 D．可能有无数个解
二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）
13、已知扇形AOB的周长是6，圆心角是1弧度，则该扇形的面积为________.
14、已知点4,2A，向量4,3a，且aAB2，则点B的坐标为 。
15、若1sin(),63πα则)32cos(
16.已知动点p(x,y)满足sin1cos2yx,20,则动点p所表示的曲线
长度为 。
理科3 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）
17、（本题满分10分）
已知02,4sin5.
(1).求tan的值；
(2).求cos2sin()2的值.
18、（本题满分12分）
已知4||a，2||b，且a与b夹角为120，
求(1).ab； (2).a与ab的夹角.
19、（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为31025,105．
（1）求tan()的值；
（2）求的值．
B
A
x y
O
理科4
20、（本题满分12分） 已知三个点)4,1(),2,3(),1,2(DBA,
（1）求证：ABAD;
（2）要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.
21、（本题满分12分）
如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为3的扇形，A是扇形弧PQ上的动点，//ABOQ，OP与AB交于点B，//ACOP，OQ与AC交于点C.记=AOP.当角取何值时，能使平行四边形ABOC的面积最大.并求出最大面积.
22、（本题满分12分）
已知向量]2,0[),2sin,2(cos),23sin,23(cosxxxbxxa且，求
（Ⅰ）||baba及；
（Ⅱ）若||2)(babaxf的最小值是23，求实数的值．
高一数学月考试题答案
ACDDB CCBAA BB（文C）
13. 2 14. 12,8 15. 13 (文) 3 16. 2(文) ②④
理科5 17.解：（1）因为02，4sin5， 故3cos5，
所以4tan3. ………5分
（2）23238cos2sin()12sincos1225525. …………10分
18解：
（1）222223ababaabb …………………6分
（2）设a与ba的夹角为，则23||||)(cos•baabaa， ………………………10分
又1800，所以30，a与ba的夹角为30。 …………12分
文科18.解：∵ 3a＋5b与4a－3b垂直，
∴ （3a＋5b）·（4a－3b）＝0， 即 12|a|2＋11a·b－15|b|2＝0，
由于|a|＝3，|b|＝2，∴
a·b＝－4811，
则 cos,||||ababab＝－811， 故a与b的夹角余弦值是811. …………12分
19、解：（1）由题可知：310cos10，25cos5。 2分
由于，为锐角，则105sin,sin105
4分
故11tan,tan32。则11tantan132tan()11tantan716
6分
（2）由上得1132tan()1116αβ 或 2cos()2αβ 9分
又0,αβπ故4
12分
文科1322rpq 71(,)22C
20（1）(2,1),(3,2),(1,4),(1,1),(3,3)ABDABAD…………………2分
又1(3)130ABAD，ABAD ……………4分
理科6 （2）ABAD，要使四边形ABCD为矩形，ABDC…………………………6分
设C点坐标为(,)xy，则(1,1)(1,4)xy，1141xy …………………7分
解得0,5xy，C点坐标为(0,5)…………………………………8分
由于(2,4),(4,2)ACBD……………………………9分
设AC与BD夹角为，则164cos05||||2525ACBDACBD，……10分
所以矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值为45
…………………………12分
文科20．解：
（Ⅰ）1cossin3cos)(2xxxxf
12sin2322co1xxs23)32cos(x． …………3分
由kxk2322，得632kxk（Zk）．
∴函数)(xf的单调递增区间是]6,32[kk（Zk）．………… 6分
（Ⅱ）∵65)(f，∴6523)32cos(x，32)32cos(．…………8分
∵323，，∴)35,(32， 35)32(cos1)32(sin2．
…………10分
∴)32cos(23)32sin(21)332sin(2sin6532…12分
21.解如图，连结OA，设∠AOP=α，过A作AH⊥OP，垂足为H，
在Rt△AOH中，AH=sinα,OH=cosα.
在Rt△ABH中，AHtan3,BH3所以3BHsin,3
所以3OBOHBHcossin.3
设平行四边形ABOC的面积为S，则
3SOBAH(cossin)sin3=
理科7 23sincossin3=13sin2(1cos2)26
=133sin2cos2266=33sin(2)366 ………8分
因为0,3 所以52,666
所以当262,即6时，max3S6,
所以当6时，平行四边形ABOC的面积最大，max3S6.……12分
22、解：（Ⅰ） a·b=,2cos2sin23sin2cos23cosxxxxx ………2分
| a+b|=xxxxxx222cos22cos22)2sin23(sin)2cos23(cos
∵]2,0[x， ∴,0cosx ∴|a+b|=2cosx. ………4分
（Ⅱ）,cos42cos)(xxxf
即.21)(cos2)(22xxf --------------6分
∵]2,0[x， ∴.1cos0x
01当、时，当且仅当)(,0cosxfx时取得最小值－1，这与已知矛盾．
101当、时，当且仅当)(,cosxfx时取最小值.212
由已知得23212，解得.21
11当、时，当且仅当)(,1cosxfx时取得最小值,41
由已知得2341，解得85，这与1相矛盾．
综上所述，21为所求．--------------12分
