【宁夏银川一中】2017届高三上学期第二次月考数学(文科)试卷

银川一中2024届高三年级第四次月考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{05}A xx =<<∣，104x B x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.[]1,4- B.[)1,5- C.(]0,4 D.()0,4【答案】D 【解析】【分析】由分式不等式的解法，解出集合B ，根据集合的交集运算，可得答案.【详解】由不等式104x x +≤-，则等价于()()1404x x x ⎧+-≤⎨≠⎩，解得14x -≤<，所以{}14B x x =-≤<，由{}05A x x =<<，则{}04A B x x ⋂=<<.故选：D.2.复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（）A.正数 B.负数C.实部不为零的虚数D.纯虚数【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标写出对应复数，然后判断即可.【详解】由题意可设()()0,0OZ a a =≠，所以对应复数为()i 0a a ≠，此复数为纯虚数，故选：D.3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.20B.32C.203D.323所以该几何体的体积为【答案】D 【解析】【分析】先根据几何体的三视图得出该几何体的直观图，再由几何体的特征得出几何体的体积.【详解】解：如图，根据几何体的三视图可以得出该几何体是底面为矩形的四棱锥E -ABCD ，该几何体的高为EF ，且EF =4，13224433E ABCD V -=⨯⨯⨯=，故选：D.4.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足3cos 5α=，则这块四边形木板周长的最大值为（）A.20cmB.C. D.30cm【答案】D 【解析】【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值.【详解】由题图（2)cm =.设截得的四边形木板为ABCD ，设A α∠=，AB c =，BD a =，AD b =，BC n =，CD m =，如下图所示.由3cos 5α=且0πα<<可得4sin 5α=，在ABD △中，由正弦定理得sin aα=，解得a =在ABD △中，由余弦定理，得2222cos a b c bc α=+-.，所以，()()()()222222616168055545b c b c b c bc b c b c ++=+-=+-≥+-⨯=，即()2400b c +≤，可得020b c <+≤，当且仅当10b c ==时等号成立.在BCD △中，πBCD α∠=-，由余弦定理可得()222226802cos π5a m n mn m n mn α==+--=++()()()()22224445545m n m n m n mn m n ++=+-≥+-⨯=，即()2100m n +≤，即010m n <+≤，当且仅当5m n ==时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为30cm .故选：D.5.若13α<<，24β-<<，则αβ-的取值范围是（）A.31αβ-<-<B.33αβ-<-<C.03αβ<-<D.35αβ-<-<【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质求解.【详解】∵24β-<<，∴04β≤<，40β-<-≤，又13α<<，∴33αβ-<-<，故选：B.6.已知向量(1,1)a = ，(,1)b x =- 则“()a b b +⊥”是“0x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程求得0x =或=1x -，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由向量(1,1)a = ，(,1)b x =-，可得(1,0)a b x +=+r r ，若()a b b +⊥，可得()(1)0a b b x x +⋅=+= ，解得0x =或=1x -，所以()a b b +⊥是0x =的必要不充分条件.故选：B.7.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（）A.8π-B.8π-C.16π-D.16π-【答案】A 【解析】【分析】求出正三角形的面积和弓形的面积，进而求出“莱洛三角形”的面积.【详解】正三角形的面积为21π4sin 23⨯=圆弧的长度为π4π433l =⨯=，故一个弓形的面积为18π423l ⨯-=-，故“莱洛三角形”的面积为8π38π3⎛-+=- ⎝.故选：A8.若数列{}n a 满足11a =，1121n n a a +=+，则9a =（）A.10121- B.9121- C.1021- D.921-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由递推公式可得数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，即可得到数列{}n a 的通项公式，从而得到结果.【详解】因为11a =，1121n n a a +=+，所以111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又1112a +=，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，所以112n n a +=，即121n n a =-，所以99121a =-.故选：B9.如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD ，点M ，N 分别在上、下底面圆上，2NB AN =，2CM MD =，2AB =，3BC =，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（）A.10B.4C.5D.20【答案】D 【解析】【分析】作出异面直线AM 与CN 所成角，然后通过解三角形求得所成角的余弦值.【详解】连接,,,,DM CM AN BN BM ，设BM CN P ⋂=，则P 是BM 的中点，设Q 是AB 的中点，连接PQ ，则//PQ AM ，则NPQ ∠是异面直线AM 与CN 所成角或其补角.由于 2NB AN =， 2CMDM =，所以ππ,36BAN NBA ∠=∠=，由于2AB =，而AB 是圆柱底面圆的直径，则AN BN ⊥，所以1,AN BN ==，则122AM PQ AM ====，12CN PN CN ====，而1QN =，在三角形PQN中，由余弦定理得1010313144cos 20NPQ +-+-∠==.故选：D10.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且70a >，690a a +<则（）A.数列{}n a 为递增数列B.80a <C.n S 的最大值为8SD.140S >【答案】B 【解析】【分析】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，所以公差870d a a =-<，所以17n ≤≤时0n a >，8n ≥时0n a <，逐项分析判断即可得解.【详解】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，故B 正确；所以公差870d a a =-<，数列{}n a 为递减数列，A 错误；由0d <，70a >，80a <，所以17n ≤≤，0n a >，8n ≥时，0n a <，n S 的最大值为7S ，故C 错误；114147814()7()02a a S a a +==+<，故D 错误.故选：B11.银川一中的小组合作学习模式中，每位参与的同学都是受益者，以下这道题就是小组里最关心你成长的那位同桌给你准备的：中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -的外接球的体积为3，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（）A.15πB.16πC.17πD.18π【答案】C 【解析】【分析】因条件满足“墙角”模型，故可构建长方体模型求解外接球半径，利用公式即得.【详解】如图，因PA ⊥平面ABCE ，AD DE ⊥,故可以构造长方体ADEF PQRS -,易得：长方体ADEF PQRS -的外接球即鳖臑P ADE -的外接球，设球的半径为1R ，PA x =，由12PE R ==，且314π33R =,解得:1R =, 3.x =又因四边形ABCD 为正方形，阳马P ABCD -的外接球即以,,PA AB AD为三条两两垂直的棱组成的正四棱柱的外接球，设其半径为2R22R ==,解得：2172R =故阳马P ABCD -的外接球的表面积为2224π4π(17π.2R =⨯=故选：C.12.若曲线ln y x =与曲线22(0)y x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（）A.(ln 21,)--+∞B.[ln 21,)--+∞C.(ln 21,)-++∞D.[ln 21,)-++∞【答案】A 【解析】【分析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，由()ln f x x =，得1()f x x '=，所以公切线的斜率为11x ，所以公切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ，化简得111(ln 1)y x x x =⋅+-，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，由2()2(0)g x x x a x =++<，得()22g x x '=+，则公切线的斜率为222x +，所以公切线方程为22222(2)(22)()y x x a x x x -++=+-，化简得2222(1)y x x x a =+-+，所以21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，由1>0x ，得210x -<<，令2()ln(22)1(10)F x x x x =-+--<<，则1()201F x x x '=-<+，所以()F x 在(1,0)-上递减，所以()(0)ln 21F x F >=--，所以由题意得ln 21a >--，即实数a 的取值范围是(ln 21,)--+∞，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数,x y 满足约束条件4,2,4,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则2z x y =-+的最大值为________．【答案】4【解析】【分析】依题意可画出可行域，并根据目标函数的几何意义求出其最大值为4.【详解】根据题意，画出可行域如下图中阴影部分所示：易知目标函数2z x y =-+可化为2y x z =+，若要求目标函数z 的最大值，即求出2y x z =+在y 轴上的最大截距即可，易知当2y x =（图中虚线所示）平移到过点A 时，截距最大，显然()0,4A ，则max 4z =，所以2z x y =-+的最大值为4.故答案为：414.已知偶函数()f x 满足()()()422f x f x f +=+，则()2022f =__________．【答案】0【解析】【分析】由偶函数的定义和赋值法，以及找出函数的周期，然后计算即可．【详解】令2x =-，则()()()2222f f f =-+，又()()22f f -=，所以()20f =，于是()()()422f x f x f +=+化为：()()4f x f x +=，所以()f x 的周期4T =，所以()()()20225054220f f f =⨯+==．故答案为：0.15.在ABC 中，已知3AB =，4AC =，3BC =，则BA AC ⋅的值为________.【答案】8-【解析】【分析】根据数量积的定义结合余弦定理运算求解.【详解】由题意可得：cos ⋅=-⋅=-⋅∠uu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu rBA AC AB AC AB AC A22222291698222+-+-+-=-⋅⨯=-=-=-⋅AB AC BC AB AC BC AB AC AB AC ，即8BA AC ⋅=-.故答案为：8-.16.将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()f x ，已知函数()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围为__________.【答案】150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】根据函数图像平移变换，写出函数()y f x =的解析式，再由函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，列出不等式组求出ω的取值范围即可【详解】将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍（纵坐标不变），得到函数()πsin 4y f x x ω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象， 函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以3ππ242T ≥-，即ππ4ω≥，解得04ω<≤，①又πππ3ππ24444x ωωω+<+<+，所以πππ2π2423πππ2π442k k ωω⎧+≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得3184233k k ω-+≤≤+，②由①②可得150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故答案为:150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1AA ，11C D 的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面1111D C B A 相交于直线l ．（1）画出直线l 的位置，保留作图痕迹，不需要说明理由；（2）求三棱锥D MNA -的体积．【答案】（1）答案见解析（2）324a 【解析】【分析】（1）延长DM 与11D A 的延长线交于E ，连接NE 即为所求；（2）根据D MNA N DAM V V --=结合三棱锥的体积公式求解出结果.【小问1详解】如图所示直线NE 即为所求：依据如下：延长DM 交11D A 的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为直线l 的位置．11E DM D A ∈ ，E DM ∴∈⊂平面DMN ，11E D A ∈⊂平面1111D C B A ，E ∴∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，又由题意显然有N ∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，EN ∴⊂平面DMN ⋂平面1111D C B A ，则NE 即为直线l 的位置．【小问2详解】因为D MNA N DAM V V --=，所以3111112332224D MNA DAMa aa V ND S a -⨯=⨯⨯=⨯⨯= .18.已知数列{}n a 是等比数列，满足13a =，424a =，数列{}nb 满足14b =，422b =，设n n nc a b =-，且{}n c 是等差数列.（1）求数列{}n a 和{}n c 的通项公式；（2）求{}n b 的通项公式和前n 项和n T .【答案】18.13·2n n a -=，2n c n =-19.1322n n b n -=⋅+-，21332322=⋅-+-n n T n n 【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解；（2）先写出数列{}n b 的通项公式，再分组求和即可求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为13a =，34124a a q ==，所以2q =，即132n n a -=⋅，设等差数列{}n c 公差为d ，因为1111c a b =-=-，444132c a b c d =-=+=，所以1d =，即2n c n =-.【小问2详解】因为n n n c a b =-，所以n n n b a c =-,由（1）可得1322n n b n -=⋅+-，设{}n b 前n 项和为n T ，()()131242212-=⋅+++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+n n T n n 21232122n n n n -+=⋅+--21332322n n n =⋅-+-.19.为践行两会精神，关注民生问题，某市积极优化市民居住环境，进行污水排放管道建设.如图是该市的一矩形区域地块ABCD ，30m AB =，15m AD =，有关部门划定了以D 为圆心，AD 为半径的四分之一圆的地块为古树保护区.若排污管道的入口为AB 边上的点E ，出口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与古树保护区边界相切，EF 右侧的四边形BCFE 将作为绿地保护生态区. 1.732≈，长度精确到0.1m ，面积精确到20.01m ）（1）若30ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入口E 在AB 上什么位置时，生态区的面积最大?最大是多少?【答案】（1）17.3m（2）AE =2255.15m 【解析】【分析】（1）根据DH HE ⊥得Rt Rt DHE DAE ≅ ，然后利用锐角三角函数求出EF 即可；（2）设ADE θ∠=，结合锐角三角函数定义可表示,AE HF ，然后表示出面积，结合二倍角公式化简，再利用基本不等式求解.【小问1详解】设切点为H ，连结DH ，如图.15DH DA == ，DA AE ⊥，DH HE ⊥，Rt Rt DHE DAE ∴≅△△；30HDE ADE HDF ∴∠=∠=∠=︒；15tan 3015tan 3017.3m EF EH HF ∴=+=︒+︒≈.【小问2详解】设ADE θ∠=，则902EDH θ∠=︒-，15tan AE θ∴=，()15tan 902HF θ︒=-.()1111515tan 1515tan 1515tan 902222ADE DHE DHF AEFD S S S S θθθ=+=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯︒-△△△梯形 2225111tan 31225tan 225tan 225tan 2tan 222tan 44tan θθθθθθθ⎛⎫-⎛⎫=+=+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22513tan 4tan 2θθ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭，当且仅当tan 3θ=，即30θ=︒时，等号成立，30152ABCD BCFE AEFD S S S ∴=-=⨯-梯形梯形矩形，15tan AE θ∴==时，生态区即梯形BCEF 的面积最大，最大面积为2450255.15m 2-≈.20.已知向量()π2cos ,cos21,sin ,16a x x b x ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设函数()1,R 2f x a b x =⋅+∈ .（1）求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；（2）将()f x 图象向左平移π4个单位长度得到()g x 图象，若方程()21g x n -=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解12,x x ，求实数n 的取值范围，并求()12sin2x x +的值.【答案】（1）()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）实数n的取值范围是)1,1-，()12sin22x x +=【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换的公式化简即可;（2）利用函数的平移求出()g x 的解析式，然后利用三角函数的图像和性质求解即可.【小问1详解】由题意可知()1π1112cos sin cos212cos sin cos cos2262222f x a b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅+--+=⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos211cos cos cos2=sin2cos22222x x x x x x x +=⋅+--+--1πsin2cos2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()πsin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤-≤+∈，可得ππππ,Z 63k x k k -+≤≤+∈，∴函数()f x 的单调增区间为()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】()ππππsin 2sin 24463g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，πππ2π22π,Z 232k x k k -+<+<+∈ ，得5ππππ,Z 1212k x k k -+<<+∈，()πsin 23g x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在区间()5πππ,πZ 1212k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，同理可求得()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()π7ππ,πZ 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上单调递减，且()g x 的图象关于直线ππ,Z 122k x k =+∈对称，方程()21g x n -=，即()12n g x +=，∴当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,x x ，由()g x 单调性知，()g x 在区间π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()πππ0,1,,261222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当31122n +≤<时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,,x x11n -≤<，实数n 的取值范围是)1,1-.又()g x 的图象关于直线π12x =对称，12π212x x +∴=，即()1212π3,sin262x x x x +=∴+=.21.已知函数()ln 1,R f x x ax a =-+∈.（1）若0x ∃>，使得()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：对任意的2222*22221223341N ,e,e 112233k k k k k+++++∈⨯⨯⨯⨯<++++ 为自然对数的底数.【答案】（1）1a ≤；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）变形不等式()0f x ≥，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得.（2）由（1）的信息可得ln 1(1)x x x <->，令221(N )x k k k k k*+∈+=+，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得.【小问1详解】函数()ln 1f x x ax =-+，则不等式()ln 10ln 1x f x ax x a x +≥⇔≤+⇔≤，令ln 1()x g x x+=，求导得2ln ()xg x x'=-，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 递增，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 递减，因此当1x =时，max ()1g x =，依题意，1a ≤，所以实数a 的取值范围是1a ≤.【小问2详解】由（1）知，当1x >时，()(1)g x g <，即当1x >时，ln 1x x <-，而当N k *∈时，222111111()11k k k k k k k k ++=+=+->+++，因此2211111ln 1()111k k k k k k k k ++<+--=-+++，于是222222221223341ln ln ln ln 112233k k k k +++++++++++++ 11111111(1)()()()112233411k k k <-+-+-++-=-<++ ，即有222222*********ln()1112233k k k k +++++⨯⨯⨯⨯<++++ ，所以222222*********e 112233k k k k+++++⨯⨯⨯⨯<++++ .【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义区间为D ，(1)若x D ∀∈，总有()m f x <成立，则min ()m f x <；(2)若x D ∀∈，总有()m f x >成立，则max ()m f x >；(3)若x D ∃∈，使得()m f x <成立，则max ()m f x <；(4)若x D ∃∈，使得()m f x >成立，则min ()m f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ．（1）求C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 是C 上的一点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【答案】（1）C 的普通方程2212x y -=；直线l0y +=（2【解析】【分析】（1）利用消参法求C 的普通方程，根据极坐标可知直线l 表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，进而可得斜率和直线方程；（2）设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，利用点到直线的距离结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），两式平方相减得22223312x y t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 的普通方程2212x y -=；又因为直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ，表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，可得直线l的斜率2πtan 3k ==，所以直线l的直角坐标方程y =0y +=.【小问2详解】由题意可设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设点33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭到直线l0y +=的距离为d ，则d =当且仅当))311t t+=，即(232t=-时，等号成立，所以点P 到直线l .【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()22f x x x =-++.（1）求不等式()24f x x ≥+的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥.【答案】（1）(,0]-∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分<2x -、22x -≤≤和2x >三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得()f x 的最小值，再利用基本不等式可证得所证不等式成立.【小问1详解】由题意可知：2,2()224,222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，①当<2x -时，不等式即为224x x -≥+，解得1x ≤-，所以<2x -；②当22x -≤≤时，不等式即为424x ≥+，解得0x ≤，所以20x -≤≤；③当2x >时，不等式即为224x x ≥+，无解，即x ∈∅；综上所示：不等式()24f x x ≥+的解集为(,0]-∞.【小问2详解】由绝对值不等式的性质可得：()22(2)(2)4=-++≥--+=f x x x x x ，当且仅当22x -≤≤时，等号成立，所以()f x 取最小值4，即4k =，可得()4+=a b c ，即4ab ac +=，所以()()22222222228a b c a bac ab ac ++=+++≥+=当且仅当22224ab ac a b b c +=⎧⎪=⎨⎪=⎩，即a b c ===时，等号成立.。

宁夏银川一中2015届高三第四次月考数学（文）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{x N x U *∈=＜}6，集合{}{}5,3,3,1==B A ，则()B A C U ⋃等于A.{}4,1B.{}5,1 C.{}02,4，D.{}4,22．已知i 是虚数单位，且复数2121,21,3z z i z bi z 若-=-=是实数，则实数b 的值为 A ．6B ．6-C ．0D ．613．下列各式正确的是 A ．a b =a b ⋅B ．()222a b=a b ⋅⋅C ．若()a b-c ,⊥则a b=a c ⋅⋅ D ． 若a b=a c ⋅⋅则b=c4．已知3sin cos ,cos sin 842ππααααα=<<-且，则的值是 A ．12B ．12-C ．14-D ．12±5．已知等差数列｛a n ｝的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于 A ．－10 B ．－8 C ．－6 D ．－4 6．下列命题错误的是A ．命题“21,11x x <<<若则-”的逆否命题是若1x ≥或1x ≤-，则12≥x B ．“22am bm <”是”a b <”的充分不必要条件C．命题：存在,使得，则： 任意,都有D．命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题 7．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图 如图所示,则其侧视图的面积为 A．B C ．2D 8．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩（如图），要测算两点的距离，测量人员p R x ∈001020<++x x p ⌝R x ∈012≥++x x p q p q ,A B ,A BA ．B ．C ．9．已知函数()y xf x '=-的图象如图(其中()f x '是函数()f x 的导函数),下面四个图象中,()y f x =的图象可能是10．已知直线,l m ，平面,αβ，且,l m αβ⊥⊂，给出四个命题：①若α∥β，则l m ⊥； ②若l m ⊥，则α∥β； ③若αβ⊥，则l ∥m ； ④若l ∥m ，则αβ⊥． 其中真命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．111．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(2,)2()(x x x a x f x 满足对任意的实数21x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f 成立,则实数a 的取值范围为 A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．]2,(-∞ D ．)2,813[12．已知[1,1]x ∈-，则方程2cos 2πxx -=所有实数根的个数为A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设变量,x y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则目标函数1y z x +=的最小值为 .14. 已知，若2282y x m m x y+>+恒成立，则实数的取值范围是 . 15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直底面,所有顶点都在球面上,21==AA AB AC=1,oBAC 60=∠,则球的表面积为_________.m m m 0,0x y >>m16．下面四个命题：①已知函数(),0,,0,x f x x =<≥ 且()()44f a f +=，那么4a =-；②要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只要将sin 2y x =的图象向左平移3π单位； ③若定义在()∞+∞，- 上的函数)(-1()(x f x f x f =+）满足，则)(x f 是周期函数；④已知奇函数()f x 在(0,)+∞为增函数，且(1)0f -=，则不等式()0f x <的解集{}1x x <-. 其中正确的是__________________.三、解答题:本大题共5小题，共计70分。

银川一中2019届高三年级第五次月考文 科 数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|1}N x x =<，{}31x N x =，则M N ⋂=A. ΦB. {|01}x x <<C. {|0}x x <D. {}1x x <2.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )条件.A. 充分B. 必要C. 充要D. 既不充分也不必要3.四名同学根据各自的样本数据研究变量x y ，之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且y 2.347x 6ˆ.423=-； ② y 与x 负相关且y 3.476x 5ˆ.648=-+；③ y 与x 正相关且y 5.437x 8ˆ.493=+； ④ y 与x 正相关且y 4.326x 4ˆ.578=--．其中一定错误的结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④4.设向量(1,4),(2,),a b x c a b ===+r r r r r ．若//a c r r,则实数x 的值是A. -4B. 2C. 4D. 85.设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图象可能是( )6.按照如图程序运行，则输出 k 的值是A. 3B. 4C. 5D. 67.若复数cos sin z i θθ=+且22()1z z +=，则2sin θ＝A. 14B. 12C. 34D. 1 8.如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( )A.117B. 217C. 317D. 417 9.已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A. 110 B. 100 C. 55 D. 010.斜率为2的直线l过双曲线2222=1x ya b-(0,0)ab>>的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是()A. 2e< B. 13e<<C. 15e<< D. 5e>11.若点P在平面区域22021030x yx yx y++≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，点Q在圆x2＋(y＋2)2＝1上，则|PQ|的最小值为A. 5－1B.5－1 C. 22－1 D. 2－112.若函数2()1f x x=+的图象与曲线C:()()10xg x ae a=+>存在公共切线，则实数a的取值范围为A.240,e⎛⎤⎥⎝⎦B.280,e⎛⎤⎥⎝⎦C.22e，⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. 26e，⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91．现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为．14.设{}n a是首项为1a，公差为1的等差数列，n S为其前n项和．若124,,S S S成等比数列，则1a的值为______．15.已知抛物线C：2y x=的焦点为F,点(),A m n是抛物线C上一点，54AF m=，则m=______．16.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE＝λ，B1F＝μ．若平面BEF与正方体的截面是五边形，则λ＋μ的取值范围是________．。

绝密★启用前银川一中2023届高三下学期5月第三次模拟理科数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}1,3,5,7A =，},31|{*N x x x B ∈<<-=，则A B ⋃中的元素个数为 A ．6B ．5C ．4D ．32．已知R a ∈，复数)31)((i i a -+是实数，则=a A ．31B ．31-C ．3D ．3-3．命题“有一个偶数是素数”的否定是 A ．任意一个奇数是素数B ．任意一个偶数都不是素数C ．存在一个奇数不是素数D ．存在一个偶数不是素数4．如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文． 铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅 兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文 字记载．“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量， 该组合体的高约为40cm ，上口的直径约为28cm ，圆柱的高和 底面直径分别约为24cm ，18cm ，则“何尊”的体积大约为 A ．40933 cm π B ．40823 cm πC ．40633 cm πD ．42823 cm π5．已知54sin =α，α是第一象限角，且tan()1αβ+=，则tan β的值为 A ．34-B ．34 C ．17-D ．176．已知两条不同的直线l ，m 及三个不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出//αβ的是A ．l 与α，β所成角相等B ．αγ⊥，βγ⊥C ．l α⊥，m β⊥，//l mD ．l ⊂α，m β⊂，//l m7．函数m x x x f ++=22log )(在区间(2,4)上存在零点．则实数m 的取值范围是A ．)18,(--∞B ．),5(+∞C ．)18,5(D ．)5,18(--8．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将△POA 的面积 表示为x 的函数f （x ），则y =f （x ）在[﹣π，π]上的图象大 致为A B9．在ABC 中，9030C B ∠=︒∠=︒，，BAC ∠的平分线交BC 于点D ．若AD AB AC λμ=+(,)λμ∈R ，则λμ= A ．13B ．12C ．2D ．310．已知双曲线)0(15:22>=-m mx y C 的上、下焦点分别为1F ，2F ，若存在点(,)M λλ， 使得52||||12=-MF MF ，则实数m 的取值范围为 A ．(1,+∞)B ．(1,5)C ．(5,+∞)D ．(0,5)11．英国数学家泰勒1712年提出了泰勒公式，这个公式是高等数学中非常重要的内容之一.其正弦展开的形式如下：357211sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n --=-+-++-+-，（其中x ∈R ，*N n ∈），则111111(1)2!4!6!(22)!n n --+-++-+-的值约为（1弧度57≈︒）A ．sin57︒B ．sin57-︒C ．sin33-︒D ．sin33︒yxOAP12．已知关于x 的不等式e ax x b ≥+对任意x R ∈恒成立，则ba的最大值为 A ．12B ．1C ．2e D ．e二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则n =__________.14．若函数2()ln 2x f x x =-在区间)31,(+m m 上不单调，则实数m 的取值范围为________．15．已知直线l ：220kx y k --+=被圆C ：16)1(22=++y x 所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l 有______________条.16．已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，所对的角分别为A 、B 、C ，且满足cb ac b b a ++=+++311，且△ABC 的外接圆的面积为π3，则1s i n )(42c os )(+++=x c a x x f 的最大值的取值范围为___________．三、共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分) 17．(12分)已知公差不为零的等差数列{}n a 的首项为1，且125,,a a a 是一个等比数列的前三项，记数列{}n a 的前n 项和为n S ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}(1)nn S -的前20项的和．18．(12分)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB BC ⊥，且1AB AP BC ===，2AD =.(1)求证：CD ⊥平面PAC ；(2)若E 为PC 的中点，求PD 与平面AED 所成角 的正弦值.为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设，某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x (单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图：(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x 和样本方差2s (同一组的数据用该组区间中点值代表)；(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x 大致服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .①一般正态分布),(2σμN 的概率都可以转化为标准正态分布()0,1N 的概率进行计算：若()2~,X N μσ，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N ，且()a P X a P Y μσ-⎛⎫≤=≤⎪⎝⎭.利用直方图得到的正态分布，求()10P X ≤；②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z 表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z 的均值.403≈，若()~0,1Y N ，则()0.750.7734P Y ≤=.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，有两个不同的点P 、Q 在椭圆C 上运动，且PF 的最小值为-P 不在x 轴上时点P 与椭圆C 的左、右顶点连线的斜率之积为12-.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线:20l x y -=与椭圆C 在第一象限交于点A ，若PAQ ∠的内角平分线的斜率不存在.探究：直线PQ 的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.21．(12分)已知函数()()()()e 0=+->xf x x b a b 在()()1,1f --处的切线方程为()e 1e e 10x y -++-=．(1)求a ，b 的值；(2)若方程()f x m =有两个实数根12,x x①证明：12m >-;②当0<m 时，12||12+>-m x x 是否成立？如果成立，请简要说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]下图所示形如花瓣的曲线G 称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为2cos 2ρθ=．(1)若射线l ：6πθ=与G 相交于异于极点O 的点P ，G 与极轴的交点为Q ，求PQ ；(2)若A ，B 为G 上的两点，且23AOB π∠=， 求AOB 面积S 的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]设函数()2221f x x x =-++． (1)解不等式()4f x x ≤+；(2)令()f x 的最小值为T ，正数a ，b ，c 满足a b c T ++=．2023届高三下学期5月第三次模拟数学(理科)参考答案13．5 14．<m<1 15．9 16．（12，24]三、解答题 17．【答案】(1)21n a n =-，N n *∈ (2)210 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，所以()11n a n d =+-．因为125,,a a a 是一个等比数列的前三项，所以2125a a a =．即214(1)d d +=+又0d ≠，所以2d =所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，N n *∈（2）由（1）知数列{}n a的前n 项和21212n n S n n +-=⨯= 所以2(1)(1)n n n S n -=-，数列{}(1)n n S -的前20项的和为 ()()()2222221201234192012341920202102+-++-+++-+=++++++=⨯= 18.【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）作CF AD ⊥，垂足为F ，易证，四边形ABCF 为正方形. 所以1CF AF DF ===，CD =又AC =因为222AC CD AD +=，所以AC CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 又AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， 所以CD ⊥平面PAC .（2）以点A 为坐标原点，以,,AB AD AP 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,0,1P ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭.则(0,2,0)AD =，(0,2,1)PD =-，111(,,)222AE =.设平面AED 的法向量为(),,n x y z =，由00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，令1z =，可得平面AED 的一个法向量为()1,0,1n =-. 设PD 与平面AED 所成角为θ，则sin cos ,2n PD n PD n PDθ⋅-====⨯⋅19.【答案】(1)9x =，21.78s =；(2)①0.7734；②4.532. 【详解】（1）根据频率分布直方图知，阅读时间在区间[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10,5),[10.5,11.5),[11.5,12.5] 内的频率分别为0.03,0.1,0.2,0.35,0.19,0.09,0.04，60.0370.180.290.35100.19110.09120.049x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 222222(69)0.03(79)0.1(89)0.2(99)0.35(109)0.19s -⨯+-⨯+-⨯+-⨯⨯=+-22(119)0.09(129)0.04 1.78+-⨯+-⨯=，所以样本平均数x 和样本方差2s 分别为9，1.78.（2）①由题意知9μ=，2 1.78σ=，则有(9,1.78)X N ，43σ≈，109(10)()(0.75)0.773443P X P Y P Y -≤=≤=≤=， ②由①知(10)1(10)0.2266P X P X >=-≤=，可得(20,0.2266)Z B ， 所以Z 的均值()200.2266 4.532EZ =⨯=.20．【答案】(1)22163x y +=(2)直线PQ 的斜率为定值1，理由见解析【详解】（1）设()11,P xy ，椭圆C 的左、右顶点坐标分别为(),0a -，(),0a ，故221222111222221111112x b a y y y b x a x a x a x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅===-=--+--， 即222a b =，则2222c a b b =-=，又a c -b -=b =a即椭圆C 的方程为22163x y +=.（2）联立2216312x y y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，又A 在第一象限，所以()2,1A ，由题意知PAQ ∠的内角平分线的斜率不存在，即该角平分线与x 轴垂直， 设直线AP 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为k -，设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线AP 的方程为()12y k x -=-，即12y kx k =+-， 由2212163y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()222214128840k x k k x k k ++-+--=，因为P 、A 为直线AP 与椭圆的交点，所以212884221k k x k --=+，即21244221k k x k --=+，把k 换为k -得22244221k k x k +-=+，所以212821k x x k -=+， 所以()()()212112*********ky y kx k kx k k x x k -=-++-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+，所以直线PQ 的斜率21211y y k x x -==-，即直线PQ 的斜率为定值1. 21．【答案】(1)1a =，1b = (2)①证明见解析，②成立，理由见解析（1）解：()()1e xf x x b a =++-'，因为函数()f x 在()()1,1f --处的切线方程为()e 1e e 10x y -++-=，所以()111e e b f a '-=-=-，()()1110e f b a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭， ∴1a =，1b =或1e=a ，2e b =-（舍），所以1a =，1b =；（2）①证明：由（1）可知()()()1e 1x f x x =+-，()()2e 1xf x x '=+-， 令()()()2e 1xg x f x x '==+-，则()()3e xg x x '=+，令()0g x '=，得3x =-，所以函数()g x 在(),3-∞-上递减，在()3,-+∞上递增， 所以()()min 3g x g =-，即()()3min 3e 10f x f -''=-=--<，又x →+∞，()f x '→+∞，3x <-，()0f x '<，且()010f '=>，()1110ef '-=-<，∴()01,0x ∃∈-，使得()00f x '=，即()002e 10xx +-=，即001e 2x x =+， 当0x x <时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x ¢>， 所以函数()f x 在()0,x -∞上递减，在()0,x +∞上递增，所以()()()()()0000min 011e 1112xf x f x x x x ⎛⎫==+-=+-⎪+⎝⎭()()()()()22000000211122222x x x x x x +-⎡⎤+⎡⎤⎣⎦=-=-=-++-⎢⎥+++⎣⎦， ∵()01,0x ∈-，∴()021,2x +∈，令()()1,1,2h x x x x =+∈，则()()2110,1,2h x x x'=->∈ ，所以函数()h x 在()1,2上递增，故()001522,22x x ⎛⎫++∈ ⎪+⎝⎭， 所以()001122,022x x ⎡⎤⎛⎫-++-∈-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦， 即()min 12f x >-， ∴12m >-；②解：成立，理由如下：当直线过()1,0-，()()00,x f x 时割线方程为()()()00112x y x mx +=-+=+，得()()030211m x x x -+=-+， 当直线过()0,0，()()00,x f x 时割线方程为()()200012x y x m x x -+==+，得()()0042021mx x x x -+=+， ∴()()()0124320002112111222m x mx x x x m x x x +->-=+=+>++++-+.选考题【详解】（1）将6πθ=代入方程2cos 2ρθ=，得，2cos13P πρ== ，则P 的极坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭. 又G 与极轴的交点为Q 的极坐标为()2,0.则PQ =（2）不妨设()(),0A A ρθθπ≤≤，2,3B B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则2cos 2A ρθ=，42cos 23B πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以，AOB的面积12sin 23A B A B S πρρρ==414cos 2cos 22cos 2232πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+=⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)2332sin 2cos 21cos 4sin 424θθθθθ=+=++41cos 4416πθθθ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 所以，当3462ππθ-=，即512πθ=时，max S =所以，AOB 面积S23．【答案】(1)35,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)证明见解析【详解】（1）解：因为()41,1122213,12114,2x x f x x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-++=-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，所以不等式()4f x x ≤+，即1414x x x >⎧⎨-≤+⎩或11234x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪≤+⎩或12144x x x⎧<-⎪⎨⎪-≤+⎩，解得513x <≤或112x -≤≤或3152x -≤<-，综上可得原不等式的解集为35,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）解：由（1）可得函数()f x 的图象如右所示：所以()min 3f x =，即3T =，所以3a b c ++=，又0a >，0b >，0c >，)1122a b a c a b c ⎫≤+++=++=⎪⎝⎭当且仅当1324b c a ===.。