2.4.1等比数列第一课时一、教学目标1.核心素养通过学习等比数列提高从数学角度发现和提出、分析和解决问题的能力,锻炼数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）由特殊到一般,理解并会判断等比数列.（2）掌握等比数列通项公式及证明.（3）应用等比数列知识解决相应问题.3.学习重点（1）等比数列定义及判断.（2）通项公式的推导.4.学习难点会用等比数列解决相应问题.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材,思考:什么是等比数列?任务2观察等比数列,总结等比数列的规律,前后两项的比值可以是任意实数吗?任务3结合之前的探索,能写出其通项公式吗?等比数列何时递增,递减,或者变成等差数列?2．预习自测1．数列4,16,64,256…是什么数列?第五项是多少?答案:等比数列；1024.【知识点:等比数列】【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=2．在等比数列{}n a 中,472,16,a a ==则n a ＝________．.23-n 答案：【知识点:等比数列通项公式】【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=,由题意求出n 和q 3．已知x ,y ,z ∈R ,若－1,x ,y ,z ,－3成等比数列,则xyz 的值为（ ） A ．－3 B ．±3 C ．－3 3 D ．±3 3 答案:C【解析】∵-1,x,y,z ,-3成等比数列,∴2y =xz =（-1）×（-3）=3,且2x y =-＞0,即y”的什么条件？有都”是“对任意正整数是公比，则“是首项，等比数列中n n a a n q a q a >>>+111,1,0,.4答案:充分不必要条件.【知识点:等比数列通项公式,充要条件的判断；数学思想:推理论证能力】【解析】充分不必要条件.由q >1,得1n n q q ->,又10a >得111n n a q a q -⋅>⋅即1n a +>n a 反之不然.取11n n a a q -==)21(n-,可得 1n a +>n a ,但1a =21-（二）课堂设计 1．知识回顾 （1）等差数列概念.（2）等差数列通项公式及推导. 2．问题探究问题探究一 借助等差数列的定义,类比得到等比数列定义 ●活动一 回顾旧知,夯实基础.之前我们学习了等差数列,我们是怎样定义并且判断等差数列?如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示． 数学语言表达式:1n n a a d +-= (n ∈N *,d 为常数),或1n n a a d --= (2,n d ≥为常数)． ●活动二 探索规律,发现新知. 类比于等差数列,观察以下几个数列2,4,8,16,32…；1,1,1,1,1…；1,-1,1,-1,1,-1…；1,0,1,0,1,0,…；3,9,27,81,243,…；它们都有着怎样的规律 ●活动二 新旧整合,得出结论.结合活动一与活动二,能给出等比数列定义吗?如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式:1n n a q a -=(2,n ≥q 为非0常数),或1n naq a +=(n ∈N *,q 为非0常数)．问题探究二 类比等差数列通项公式及性质,结合等比数列定义得到等比数列通项公式和性质,●活动一 温故知新,迎难而上. 回忆等差数列,写出通项公式.通项公式:()11n a a n d =+-．推广:()n m a a n m d =+-(m,n ∈N *)． ●活动二 类比旧知得出新知.在等比数列中,是否只需确定某些量就可以写出通项公式?只需确定首项与公比即可得到通项公式11n n a a q -=.推广: n m n m a a q -=,公比为非0常数.●活动三 思维谨慎,扎实前进. 能否给出通项公式证明?借助定义,a na n －1＝q (n ≥2,q 为非0常数),列出n -1个式子,累乘后得到通项公式. ●活动四 夯实基础,勇于探索.等差数列中,公差大于0时,数列递增；反之递减.等比数列也有相似结论吗?请归纳总结.首相大于0,公比大于1时递增;公比大于0小于1时递减；首项小于0时,公比大于0小于1时递增,公比大于1时递减；首项不等于0,公比等于1时,既是等差又是等比；公比小于0时,为摆动数列.问题探究三●活动一 初步运用 基础知识的掌握例1.在等比数列{}n a 中,253618,9,1n a a a a a +=+==,则n ＝________． 【知识点:等比数列通项公式】 答案:6例2.在等比数列{}n a 中, 1a <0, 若对正整数n 都有1n n a a +<,那么公比q 的取值范围是?【知识点:等比数列通项公式】答案:由1n n a a +<得1111,,01n n n n a q a q q q q --<∴>∴<< ●活动二 能力提升 通项公式性质的运用例1. 数列{}n a 是等差数列,若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列,则q ＝________.【知识点:等比数列性质】 答案:1.例2.在正项等比数列{}n a 中, 1n n a a +>,28466,5a a a a ⋅=+=,则57a a ＝（ ） A.56 B.65 C.23D.32【知识点:等比数列性质】 答案:D 3．课堂总结 【知识梳理】（1）等比数列定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q (q ≠0)表示． 数学语言表达式:1n n a q a -= (n ≥2,q 为非0常数),或1n naq a +=(n ∈N *,q 为非0常数)．（2）等比数列通项公式: 11n n a a q -=；通项公式的推广: n m n m a a q -=. 【重难点突破】（1）等比数列通项公式运用时为了减少计算量可以尝试使用其推广式. （2）公比0≠q 这是必然的,不存在公比为0的等比数列,还可以理解为等比数列中,不存在数值为0的项,各项不为0的常数列既是等差数列又是等比数列；至于等比数列的增减,则可以从首项与公比的正负及范围,通过列不等式进行确定. （3）等比数列的定义中有“从第二项起”“同一个常数”的描述应与等差数列中的描述理解一致.（4）等比数列的通项公式可以用迭代法累乘法推导,其中累乘法与累加法相似,可做一做比较,便于掌握. 4．随堂检测 一、选择题1.在等比数列{}n a 中,64,852==a a ,则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案:A.解析：【知识点:等比数列的通项公式】 二、解答题1.求下列各等比数列的通项公式: （1）21-=a ,83-=a . （2）51=a ,且12+n a n a 3-=. （3）51=a ,且11+=+n na a n n . 答案:（1）n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=--或.（2）1)23(5--⨯=n n a .（3）na n a n 311==.解析：【知识点:等比数列通项公式】 2.求以下等比数列的第4项与第5项: （1）5,－15,45,……. （2）1.2,2.4,4.8,…….（3）213,, (328).答案:（1）1354-=a ,4055=a . （2）6.94=a ,2.195=a . （3）4a =329,5a =12827. 解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】3.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数. 答案:这四个数为0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】 设四个数依次为x,y,12-y,16-x ．依题意,有 x +(12−y )=2y ①()()21612y x y -=-②由①式得x =3y -12 ③将③式代入②式得y （16-3y +12）=（12-y ）2,整理得y 2-13y +36=0,解得124,9y y ==,代入③式得120,15x x ==.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 5.(1)已知{}n a 是等比数列,且2435460,225n a a a a a a a >++=, 求53a a +.(2)c a ≠,三数c a ,1,成等差数列,22,1,c a 成等比数列,求22ca ca ++. 答案:(1) 3a ＋55=a . (2)3122=++c a c a .解析：【知识点:等差数列的性质,等比数列】(1)∵{}n a 是等比数列,∴()224354635225a a a a a a a a ++=+=.又0n a >, ∴355a a +=.（三）课后作业基础型自主突破 一、填空题1.已知等比数列{}n a 的公比为正数,且248522,1,a a a a ⋅==则1a = .答案: 1a =解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设等比数列{}n a 的公比为q ,∵ 2482a a a ⋅=211a a ==,∴ 1a =2.设数列{}n a 是首项为1,公比为-3的等比数列12345||||||a a a a a ++++=______． 答案:121.解析：【知识点:等比数列】∵数列{}n a 是首项为1,公比为-3的等比数列,∴()1113n n n a a q --==-,∴123451,3,9,27,81,a a a a a ==-==-=∴则12345||||||1392781121a a a a a ++++=++++=． 3.等比数列{}214n +的公比为 ______ ． 答案:16.解析：【知识点:等比数列的通项公式】 等比数列的通项公式是：11n n a a q -=4.若1、a 、b 、c 、9成等比数列,则b = ______ ． 答案:3.解析：【知识点:等比数列】利用等比数列通用公式11n n a a q -=求出相应的值421531,9,3a a q a q b ======,3b ∴=5.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116,a a =,则210log a = ______ ． 答案:5.解析：【知识点:等比数列通项公式,对数的运算性质】∵公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116,a a =,∴7a =4,∴1a •26=4,解得1a =42-,∴9495101222a a q -==⨯=,∴52102log log 25a ==. 故答案为：5．能力型师生共研 一、选择题1.在数列{}n a 中,1111,,4n n a a a +==则99a =________. A.125504B.2500C.124504D.2401 答案:B解析:【知识点:等比关系的确定;数学思想:推理论证能力】 二、填空题1.设{}n a 为公比1q >的等比数列,若2004a 和2005a 是方程24830x x ++=的两根,则=+20072006a a _________. 答案:-18解析:【知识点:等比数列,根与系数的关系】根据{}n a 为公比q ＞1的等比数列, 2004a 和2005a 是方程4x 2+8x +3=0的两根,可得2004a =-2005=2006+2007a =-18． 三、证明题1.已知:b 是a 与c 的等比中项,且c b a ,,同号,求证:3a b c ++等比数列答案:见解析解析:【知识点:等比数列】 由题设:ac b =2得:22333)3(333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=⨯++=⨯++ ∴3,3,3abc ca bc ab c b a ++++也成等比数列.探究型多维突破一、选择题1.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（ ）A ．1(0,2+B ．C ．D ．)251,251(++- 答案:D.解析:【知识点:等比关系的确定,解三角形;数学思想:推理论证能力】 设三边:a 、qa 、2q a 、q ＞0则由三边关系:两短边和大于第三边a +b ＞c ,即 （1）当q ≥1时a +qa ＞2q a ,等价于解二次不等式:21q q --＜0,由于方程2q q --（2）当q ＜1时,a 为最大边,qa +2q a ＞a 即得2q q --⎭故选D ． 二、证明题1.设d c b a ,,,均为非零实数,()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ,求证:c b a ,,成等比数列且公比为d答案:见解析解析:【知识点:等比关系的确定;数学思想:推理论证能力,运算求解能力,创新意识,应用意识】证明:证一:关于d 的二次方程()()0222222=+++-+c b d c a b d b a 有实根, ∴()()0442222≥+-+=∆b a c a b ,∴()022≥--ac b则必有:02=-ac b ,即ac b =2,∴c b a ,,成等比数列设公比为q ,则aq b =,2aq c =代入()()024********=+++-+q a q a d aq a aq d q a a∵()0122≠+a q ,即0222=+-q qd d ,即≠=q d证二:∵()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ∴()()022222222=+-++-c bcd d b b abd d a∴()()022=-+-c bd b ad ,∴b ad =,且c bd =∵d c b a ,,,非零,∴d bca b == 自助餐 一、选择题1.等比数列{}n a 中,6a 和10a 是方程2620x x ++=的两根,则8a =（ ）A.2±B.答案:C.解析:【知识点:等比数列,根与系数的关系】等比数列{}n a 中,6a 和10a 是方程2620x x ++=的两根, 6106a a +=-,可得261082a a a ⋅==,6a 和10a 都是负数,可得8a =-2.．故选:C ．2.已知等比数列{}n a 的公比为正数,且248522,1,a a a a ⋅==则1a =（ ）A. 0.5B. 22答案:C.解析:【知识点:等比数列】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即q 2=2,又因为等比数列{}n a 的公比为正数,所以q =2.22=,故选C.2.等比数列{}n a 的首项为1,项数是偶数,所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170,则10a =（ ）A.32 64.B C.512 D.1024 答案:C.解析:【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设等比数列的项数为2n ,∵所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170, ∴S 奇:S 偶=1:2．∵S 奇=1321...n a a a -+++,S 偶=242...n a a a +++=q S 奇由题意可得,q =2,∴9910112512a a q ==⨯=．故选:C ．3.在等比数列{}n a 中, 11,2,32n a q a ===,则n =（ ）A.5B.6C.7D.8 答案:B.解析:【知识点:等比数列的通项公式】11n n a a q -=,求得n =84.等比数列{}n a 中, 385,2a a ==,则数列{}lg n a 的前10项和等于（ ）A.2B.5C.1050D.lg答案:B.解析:【知识点:等比数列的通项公式,对数的运算性质】由题意得,等比数列{}n a 中, 385,2a a ==,所以385610,a a a a ⋅=⋅=,由等比数列的性质得, ()551231056...10a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅=,所以数列{}lg n a 的前10项和1210l g l g ...l g 5n S a a a =+++=,故选:B ． 6.数列{}n a 的首项1,数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=,若10112b b ⋅=,则21a =（ ） A.20 B.512 C.1013 D.1024 答案.D.解析:【知识点:等比数列的通项公式】由1n n n a b a +=可知202120232121,,,a a b a a b a a b === ,所以202123122021a a a a a a b b b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ,又数列{}n b 为等比数列,所以1202191011b b b b b b ===L ,于是有121102a a =,即110212a a =,又11=a ,所以102421021==a ,故答案选D. 二、填空题1．已知数列{}n a 为等比数列,且5a =4,9a =64,则7a =____________． 答案:16.解析:【知识点:等比数列的通项公式】11n n a a q -=,由已知条件求出通项公式1124n n a -=⋅,所以716a =.2．数列{}n a 中, 112,n n a a a cn +==+（c 是常数,n =1,2,3,…）,且123,,a a a 成公比不为1的等比数列．则c 的值是 ______ ．答案:2.解析:【知识点:等比数列】∵112,n n a a a cn +==+,∴232,23,a c a c =+=+又∵123,,a a a 成公比不为1的等比数列,∴()()22c 223c +=+,即c 2-2c=0解得c=2,或c=0,故答案为23.若公比不为1的等比数列{}n a 满足()21213•13log a a a ⋯=,等差数列{}n b 满足77b a =,则1213b b b +⋯+的值为 ______ ． 答案:26.解析:【知识点:等比数列通项公式,等差数列前n 项和】 ∵公比不为1的等比数列{a n }满足()21213•13log a a a ⋯=,∴()()()13212132727•1313log a a a log a log a ⋯===,解得7772,2,a b a ===,由等差数列的性质可得777121372,2,...1326a b a b b b b ===+++==,故答案为:26 三、解答题1.在等比数列{}n a 中, 5142-=15,-=6a a a a ,求3a 和q ． 答案:见解析解析:【知识点:等比数列通项公式】，6=-，15=-}中中在等比数列{2415a a a a a n 答案：．4=,1=时，2=q 当31a a2.设{}n a 是一个公差为d （d ≠0）的等差数列,它的前10项和10110S =且124,,a a a 成等比数列,求数列{}n a 的通项公式． 答案: n a =2n .解析:【知识点:等差数列前n 项和,等比数列】∵124,,a a a 成等比数列,∴2214a a a =又∵{an}是等差数列,∴2141,3a a d a a d =+=+, ∴()()21113a d a a d +=+,即222111123a a d d a a d ++=+,化简可得1a d =,∵101101092110S a d =+⨯=,∴11045110a d +=．又∵1a d =,∴55d =110,∴d =2, ∴()112n a a n d n =+-=3.已知数列{}n a 的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,公差与公比均为2,并且2415798,a a a a a a a +=++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使得1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++成立的所有正整数m 的值． 答案:见解析解析:【知识点:等比数列,等比数列通项公式】31517142622,4,6,2,4a a a a a a a a a a =+=+=+==Q 2415798,a a a a a a a +=++=2211212124,2642a a a a a a a a ∴+=+++++=++121,2a a ∴==∴na =⎩⎨⎧为奇数为偶数n n n n,,22； （2）∵1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++成立, ∴由上面可以知数列{}n a 为:1,2,3,4,5,8,7,16,9,… 当m =1时等式成立,即1+2+3=-6=1×2×3；等式成立． 当m =2时等式成立,即2×3×4≠2+3+4；等式不成立. 当m =3、4时等式不成立； 当m ≥5时,∵12m m m a a a ++⋅⋅为偶数, 12m m m a a a ++++为奇数, ∴可得m 取其它值时,不成立, ∴m =1时成立．。
