2020-2021学年河南省郑州外国语学校高二(上)期中(文科)数学试卷 (解析版)

2020-2021学年河南省郑州外国语学校高二（上）期中数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题）.

1．（5分）在△ABC中，，，BC＝7，则AC＝（ ）

A．9 B． C． D．8

2．（5分）下列函数中，最小值为2的是（ ）

A． B．

C．y＝3x+3﹣x（x∈R） D．

3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x﹣3y的最小值为（ ）

A．1 B．﹣3 C．﹣9 D．﹣10

4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“△ABC为等腰三角形”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（5分）我国现代著名数学家徐利治教授曾指出，圆的对称性是数学美的一种体现．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2，直线l：a2x+b2y﹣1＝0，若圆C上任一点关于直线l的对称点仍在圆C上，则点（a，b）必在（ ）

A．一个离心率为的椭圆上

B．一条离心率为2的双曲线上

C．一个离心率为的椭圆上

D．一条离心率为的双曲线上

6．（5分）已知数列{an}，{bn}都是等差数列，记Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＝（ ） A． B． C． D．

7．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2B+2sinAsinC＝1，则B的最大值为（ ）

A． B． C． D．

8．（5分）已知数列{an}满足an＝（n∈N*），且对任意的n∈N*都有an+1＞an，则实数p的取值范围是（ ）

A．（1，） B．（1，） C．（1，2） D．（，2）

9．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5＝64，a4＝16，则的最小值为（ ）

A．4 B．8 C．16 D．32

10．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A为双曲线C左支上一点，AF与y轴交于点M，且满足|OA|＝|OF|＝3||（其中O为坐标原点），则该双曲线C的离心率为（ ）

A． B． C． D．

11．（5分）已知数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，a2＝5，S5＝35．数列的前n项和为Tn，若对一切n∈N+都有2m+1＞Tn恒成立，则m能取到的最小整数为（ ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

12．（5分）设点P为椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，如果|PF1|：|PF2|＝2：3，那么△GPF1的面积为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣，若＝，则a2•a4＝ ． 14．（5分）若关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集是

．

15．（5分）已知椭圆，过点（4，0）的直线交椭圆E于A，B两点．若AB中点坐标为（2，﹣1），则椭圆E的离心率为 ．

16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3bcosC+3ccosB＝5asinA，且A为锐角，则当取得最小值时，的值为 ．

三、解答题（本大题共有6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[0，2]，2x﹣4x+a≤0均成立”，命题q：“函数f（x）＝ln（x2+ax+2）定义域为R”．

（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

（2）若命题“p∨q“为真命题，命题“p∧q“为假命题，求实数a的取值范围．

18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（bcosC﹣a）＝csinB，b＝2．

（1）求B；

（2）若a+c＝4，求△ABC的面积．

19．（12分）已知函数．

（1）当a＝4时，求函数f（x）在x∈（0，+∞）上的最小值；

（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立．试求实数a的取值范围；

（3）若a＞0时，求函数f（x）在[2，+∞）上的最小值．

20．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，nan+1﹣（n+1）an＝n（n+1），设．

（1）求证数列{bn}为等差数列，并求{bn}的通项公式；

（2）若，求数列{cn}的前n项和．

21．（12分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足70台时，p（x）＝+40x（万元）；当月产量不小于70台时，p（x）＝（万元）．若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完． （Ⅰ）求月利润y（万元）关千月产量x（台）的函数关系式；

（Ⅱ）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．

22．（12分）设O为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线l：y＝kx+m（m＞0）与C交于A，B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点P（0，1），，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）在△ABC中，，，BC＝7，则AC＝（ ）

A．9 B． C． D．8

解：因为，

故，

由正弦定理．

故选：D．

2．（5分）下列函数中，最小值为2的是（ ）

A． B．

C．y＝3x+3﹣x（x∈R） D．

解：对于选项A：，设，

所以，所以，所以函数f（t）单调递增，所以，故选项A错误；

对于选项B：由于1＜x＜10，所以＝2（当且仅当x＝10等号成立），由于1＜x＜10，故选项B错误；

对于选项C：＝2，当且仅当x＝0时，等号成立．故选项C正确；

对于选项D：，当且仅当x＝时，等号成立，由于，故选项D错误． 故选：C．

3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x﹣3y的最小值为（ ）

A．1 B．﹣3 C．﹣9 D．﹣10

解：在坐标系中画出变量x，y满足约束条件可行域，如图所示

由z＝x﹣3y可得y＝x﹣z，则﹣z表示直线z＝x﹣3y在y轴上的截距，截距越大，z越小

平移直线3x﹣2y＝0经过点A时，z最小，

由可得A（3，4），

此时最小值为：﹣9，

则目标函数z＝x﹣3y的最小值为﹣9．

故选：C．

4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“△ABC为等腰三角形”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解：在△ABC中，若“，由正弦定理可得＝＝， ∴tanA＝tanB＝1，

∴A＝B＝，

∴△ABC为等腰三角形，

反之△ABC为等腰三角形，则不一定成立，

∴“”是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件，

故选：A．

5．（5分）我国现代著名数学家徐利治教授曾指出，圆的对称性是数学美的一种体现．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2，直线l：a2x+b2y﹣1＝0，若圆C上任一点关于直线l的对称点仍在圆C上，则点（a，b）必在（ ）

A．一个离心率为的椭圆上

B．一条离心率为2的双曲线上

C．一个离心率为的椭圆上

D．一条离心率为的双曲线上

解：根据条件可知圆心C（2，1），因为圆C上任一点关于直线l的对称点仍在圆C上，

所以直线l过点（2，1），则2a2+b2＝1，

即有点（a，b）必在椭圆2x2+y2＝1上，所以a＝1，b＝，所以c＝＝，

则离心率e＝＝．

故选：C．

6．（5分）已知数列{an}，{bn}都是等差数列，记Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＝（ ）

A． B． C． D．

解：数列{an}，{bn}都是等差数列，记Sn，Tn分别为{an}，{bn}的前n项和，且＝，

则＝＝＝＝＝＝， 故选：D．

7．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2B+2sinAsinC＝1，则B的最大值为（ ）

A． B． C． D．

解：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2B+2sinAsinC＝1，

∴sinAsinC＝sin2B，∴ac＝b2，

∴cosB＝＝+﹣≥2﹣＝，当且仅当a＝c时，取等号，

∴B的最大值为 ，

故选：C．

8．（5分）已知数列{an}满足an＝（n∈N*），且对任意的n∈N*都有an+1＞an，则实数p的取值范围是（ ）

A．（1，） B．（1，） C．（1，2） D．（，2）

解：由题可知，将数列分为两部分进行研究：

（1）在a1到a6上，an＝（2﹣p）n﹣2，

若数列为递增数列，则2﹣p＞0，

解得：p＜2，

（2）在a7到an（n＞7）上，

若数列为递增数列，则p＞1，

（3）数列为递增数列，则a7＞a6，

即：p＞（2﹣p）×6﹣2，

解得：，

综上可知，p的取值范围为，

故选：D．

9．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5＝64，a4＝16，则的最小值为（ ） A．4 B．8 C．16 D．32

解：设等比数列{an}的公比为q＞0．

∵a1a5＝64，a4＝16，

∴q4＝64，a1q3＝16，

∴q＝2，a1＝2．

∴an＝2n，Sn＝＝2（2n﹣1）．

则＝＝（2n++16）≥×（2+16）＝8．当且仅当n＝3时取等号．

∴的最小值为8．

故选：B．

10．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A为双曲线C左支上一点，AF与y轴交于点M，且满足|OA|＝|OF|＝3||（其中O为坐标原点），则该双曲线C的离心率为（ ）

A． B． C． D．

解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A为双曲线C左支上一点，AF与y轴交于点M，且满足|OA|＝|OF|＝3||（其中O为坐标原点），左焦点F′，

可得M（0，c），tan∠MFO＝，所以tan∠AOF′＝＝，

所以A（﹣c，），代入双曲线方程可得：，

可得，e＞1，解得e2＝，