课 题： 3．3函数的和、差、积、商的导数(1) 教学目的：
1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．
2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数 教学重点：用定义推导函数的和、差、积的求导法则
教学难点：函数的积的求导法则的推导．
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x
y ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即
x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切
线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-
3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，
4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导
5. 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.
6. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆
（2）求平均变化率x
x y ∆=∆∆（3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x
y x ∆∆→∆0lim 7. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=
二、讲解新课：
法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 '')'(v u v u ±=±
证明：令)()()(x v x u x f y ±==，
)]
()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆
v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，
∴ x
v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆， x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim
即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 '')'(uv v u uv +=
证明：令)()()(x v x u x f y ==，则
=∆y )(x x u ∆+)(x x v ∆+-)()(x v x u
)(x x u ∆+=)(x x v ∆+-)(x u )(x x v ∆++)(x u )(x x v ∆+-)()(x v x u ，
=∆∆x y x x u x x u ∆-∆+)()()(x x v ∆++)(x u x
x v x x v ∆-∆+)()( 因为)(x v 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→∆x 时，)()(x v x x v →∆+，从而
0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x x x u x x u ∆-∆+)()()(x x v ∆++)(x u 0lim →∆x x
x v x x v ∆-∆+)()( )(')()()('x v x u x v x u +=，
即 ='y '')'(uv v u uv +=．
说明：⑴'')'(v u uv ≠，'')'(v u uv +≠；
⑵∵ ''0'')'(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=
∴ 常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．
⑶两个可导函数的和、差、积一定可导；两个不可导函数和、差、积不一定不可导．
三、讲解范例：
例1 求y =x 3+sin x 的导数.
解：y ′=(x 3+sin x )′=(x 3)′+(sin x )′=3x 2+cos x
例2 求y =x 4－x 2－x +3的导数.
解：y ′=(x 4－x 2－x +3)′=(x 4)′－(x 2)′－x ′+3′=4x 3－2x －1，
例3求453223-+-=x x x y 的导数．
解： 63'2
+-=x x y 例4求2(23)(32)y x x =+-的导数．
解： )'23)(32()23()'32('2
2-++-+=x x x x y 3)32()23(42⋅+++=x x x 9818
2
+-=x x 例5 y =3x 2+x cos x ，求导数y ′.
解：y ′=(3x 2+x cos x )′=(3x 2)′+(x cos x )′
=3·2x +x ′cos x +x (cos x )′=6x +cos x +x sin x 例6 y =5x 10sin x －2
x cos x －9，求y ′. 解：y ′=(5x 10sin x －2x cos x －9)′=(5x 10sin x )′－(2x cos x )′－9′
=5(x 10)′sin x +5x 10(sin x )′－［2(x )′·cos x +2x (cos x )′］－0
