章末检测卷（一）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是( ) A．(－1,3) B．(－1，－3)
C．(－2，－3) D．(－2,3)
答案 B
解析∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1.
f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.
∴M(－1，－3)．
2．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间是( )
A．(－∞，－1)和(0,1) B．(－1,0)和(1，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)和(1，＋∞)
答案 A
解析y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A. 3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析f′(x)＝3x2＋2ax＋3.∵f(x)在x＝－3时取得极值，
即f′(－3)＝0，∴27－6a＋3＝0，∴a＝5.
4．函数y＝ln 1
|x＋1|
的大致图象为( )
答案 D
解析函数的图象关于x＝－1对称，排除A、C，当x>－1时，y＝－ln(x＋1)为减函数，故选D.
5．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)作的功为( )
A.3J
B.
23
3
J C.43
3
J D ．23J
答案 C
解析 由于F (x )与位移方向成30°角．如图：F 在位移方向上的分力F ′＝F ·cos 30°，
W ＝?2
1(5－x 2
)·cos 30°d x ＝
32
?21(5－x 2
)d x ＝
32(5x －13x 3)|21＝32×83＝433
(J)． 6．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点所在象限是( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 答案 C
解析 ∵y ＝f ′(x )的图象过第一、二、三象限，故二次函数y ＝f (x )的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限．
7．已知函数f (x )＝－x 3
＋ax 2
－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3]∪3，＋∞)
B ．－3，3]
C ．(－∞，－3]∪3，＋∞)
D ．－3，3] 答案 B
解析 在f ′(x )＝－3x 2
＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a 2
－12≤0?－3≤a ≤ 3. 8．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝1
2x ＋2，f (1)＋f ′(1)的值等
于( )
A ．1 B.5
2 C ．
3 D ．0
答案 C
解析 由已知切点在切线上，所以f (1)＝12＋2＝5
2
，切点处的导数为切线斜率，所以f ′(1)
＝12
， 所以f (1)＋f ′(1)＝3.
9．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π
2所围成的平面区域的面积为( )
A ．π20
?(sin x －cos x )d x B ．2π40
?(sin x －cos x )d x C ．π20
?(cos x －sin x )d x D ．2π40
?(cos x －sin x )d x
答案 D
解析 如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于0 4阴影部分面积的2 倍．故选D. 10．设函数f (x )＝1 3x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( ) A ．在区间(1 e ，1)，(1，e)内均有零点 B ．在区间(1 e ，1)，(1，e)内均无零点 C ．在区间(1 e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点 D ．在区间(1 e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 答案 C 解析 由题意得f ′(x )＝ x －3 3x ，令f ′(x )>0得x >3；令f ′(x )<0得0 3e ＋1>0. 11．方程2x 3 －6x 2 ＋7＝0在(0,2)内根的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B 解析 令f (x )＝2x 3 －6x 2 ＋7， ∴f ′(x )＝6x 2 －12x ， 由f ′(x )>0得x >2或x <0；由f ′(x )<0得0 ∴方程在(0,2)内只有一实根． 12．设曲线y ＝x n ＋1 (n ∈N * )在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 014x 1＋log 2 014x 2 ＋…＋log 2 014x 2 015的值为( ) A ．－log 2 0142 013 B ．－1 C ．(log 2 0142 013)－1 D ．1 答案 B 解析 ∵y ′|x ＝1＝n ＋1， ∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－ 1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1 . 所以log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013 ＝log 2 014(x 1·x 2·…·x 2 013) ＝log 2 014? ????12·2 3·…·2 0132 014＝log 2 01412 014＝－1. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________. 答案 －1 解析 ∵y ′＝k ＋1 x ，∴y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，∴k ＝－1. 14．已知函数f (x )＝－x 3 ＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≥3 解析 由题意应有f ′(x )＝－3x 2 ＋a ≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2 ，x ∈(－1,1)恒成立，故a ≥3. 15．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3 －10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________ 答案 (－2,15) 解析 y ′＝3x 2 －10＝2?x ＝±2，又点P 在第二象限内，∴x ＝－2，得点P 的坐标为(－2,15) 16．函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋bx ＋a 2 ，在x ＝1时有极值10，那么a ，b 的值分别为________． 答案 4，－11 解析 f ′(x )＝3x 2 ＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f (1)＝a 2 ＋a ＋b ＋1＝10， ????? 2a ＋b ＝－3a 2＋a ＋b ＝9 ，解得??? ?? a ＝－3 b ＝3 ，或??? ? ? a ＝4 b ＝－11 ，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11. 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)设函数f (x )＝2x 3 －3(a ＋1)x 2 ＋6ax ＋8，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极值． (1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )在点A (1,16)处的切线方程． 解 (1)f ′(x )＝6x 2 －6(a ＋1)x ＋6a . ∵f (x )在x ＝3处取得极值， ∴f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0， 解得a ＝3. ∴f (x )＝2x 3 －12x 2＋18x ＋8. (2)A 点在f (x )上， 由(1)可知f ′(x )＝6x 2 －24x ＋18， f ′(1)＝6－24＋18＝0， ∴切线方程为y ＝16. 18．(12分)已知f (x )＝log 3x 2＋ax ＋b x ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a 、b ，使f (x )同时满 足下列两个条件：(1)f (x )在(0,1)上是减函数，在1，＋∞)上是增函数；(2)f (x )的最小值是1，若存在，求出a 、b ，若不存在，说明理由． 解 设g (x )＝x 2＋ax ＋b x ，∵f (x )在(0,1)上是减函数，在1，＋∞)上是增函数， ∴g (x )在(0,1)上是减函数，在1，＋∞)上是增函数， ∴??? ?? g ′(1)＝0g (1)＝3 ，∴??? ? ? b －1＝0a ＋b ＋1＝3 ，解得??? ?? a ＝1 b ＝1 经检验，a ＝1，b ＝1时，f (x )满足题设的两个条件． 19．(12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为1 2，求a 的值． 解 函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －1 2－x ＋a . (1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2 ＋2 x (2－x )， 所以f (x )的单调递增区间为(0，2)， 单调递减区间为(2，2)． (2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝ 2－2x x (2－x ) ＋a >0， 即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝1 2 . 20．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x 元时，产品一年的销售量为k e x (e 为自然对数的底数)万件．已知每件产品的售价为40元时， 该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价x 最低不低于35元，最高不超过41元． (1)求分公司经营该产品一年的利润L (x )(万元)与每件产品的售价x 的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L (x )最大？并求出L (x )的最大值． 解 (1)由于年销售量为Q (x )＝k e x ，则k e 40＝500， 所以k ＝500e 40 ，则年售量为Q (x )＝500e 40 e x 万件， 则年利润L (x )＝(x －a －30)500e 40 e x ＝500e 40 · x －a －30 e x (35≤x ≤41)． (2)L ′(x )＝500e 40 ·31＋a －x e x . ①当2≤a ≤4时，33≤a ＋31≤35， 当35≤x ≤41时，L ′(x )≤0； 所以x ＝35时，L (x )取最大值为500(5－a )e 5 . ②当4 令L ′(x )＝0，得x ＝a ＋31，易知x ＝a ＋31时，L (x )取最大值为500e 9－a . 综上所述，当2≤a ≤4，每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a )e 5 万元；当4 9－a 万元． 21．(12分)设f (x )＝a (x －5)2 ＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2 ＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x . 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －16a ＝(6－8a )(x －1)， 由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝1 2. (2)由(1)知，f (x )＝12 (x －5)2 ＋6ln x (x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝ (x －2)(x －3) x . 令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3. 当0 故f (x )在(0,2)和(3，＋∞)上为增函数； 当2 由此可知，f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝9 2＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3. 22．(12分)已知函数f (x )＝ax 3 －32x 2＋1(x ∈R )，其中a >0. (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若在区间－12，1 2]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3 －32 x 2＋1，f (2)＝3. f ′(x )＝3x 2－3x ，f ′(2)＝6，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －3＝6(x －2)，即y ＝6x －9. (2)f ′(x )＝3ax 2 －3x ＝3x (ax －1)． 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1 a . 以下分两种情况讨论： ①若0 2 . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： 单调递增 单调递减 当x ∈－12 ，1 2 ]时， f (x )>0等价于????? f (－1 2 )>0，f (1 2)>0， 即????? 5－a 8>05＋a 8>0. 解不等式组得－52，则0<1a <1 2 . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： 单调递增 单调递 减 单调递 增 当x ∈－2，2]时， f (x )>0等价于????? f (－1 2 )>0，f (1 a )>0，即????? 5－a 8>01－1 2a 2 >0