数学：2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT课件(新人教A版必修4)

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

教学目的：

1.掌握平面向量数量积运算规律；

2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；

3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.

教学重点：平面向量数量积及运算规律.

教学难点：平面向量数量积的应用

教学过程：

一、复习引入：

1．平面向量数量积（内积）的定义：

2．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.

1 ea = ae =|a|cos； 2 ab  ab = 0

3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或aaa||

4cos =||||baba ； 5|ab| ≤ |a||b|

3．练习：

（1）已知|a|=1，|b|=2，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）

A.60° B.30° C.135° D.４５°

（2）已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为3，那么向量m=a-4b的模为（ ）

A.2 B.23 C.6 D.12

二、讲解新课：

探究：已知两个非零向量),(11yxa，),(22yxb，怎样用a和b的坐标表示ba？.

1、平面两向量数量积的坐标表示

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即ba2121yyxx

2. 平面内两点间的距离公式

（1）设),(yxa，则222||yxa或22||yxa.

（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx， 那么221221)()(||yyxxa(平面内两点间的距离公式)

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

考试标准

课标要点 学考要求 高考要求

数量积的坐标表示 c c

两个向量夹角

的坐标运算 b b

平面向量模

的坐标运算 b b

知识导图

学法指导

1.学习了本节后，我们在用向量处理平面图形问题时就有了两种方法，通过一题两解，体会基底法和坐标法的优劣及选择依据．

2．通过数形结合，对向量平行与垂直条件的坐标表示的类比，培养学生联想的记忆方法.

1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2

两个向量垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0

状元随笔 对数量积的坐标表示的理解

(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；

(2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强；

(3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题，用向量的坐标运算来实现几何问题的求解，数形结合的思想在数量积的应用中将体现更多． 2．三个重要公式

向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝

x21＋y21 两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12

向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22

状元随笔 对向量模长公式的理解

(1)模长公式是数量积的坐标表示a→·b→＝x1x2＋y1y2的一种特例，当a→＝b→时，则可得|a→|2＝x21＋y21；

(2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，所以|AB→|＝x2－x12＋y2－y12，即|AB→|的实质是A，B两点间的距离或线段AB的长度，这也是模的几何意义．

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

一、|a·b|≤|a||b|的应用

若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则平面向量的数量积的性质|a·b|≤|a||b|的坐标表示为x1x2+y1y2≤2212122222121)(yyxxyxyx≤(x12+y12)(x22+y22).

不等式(x1x2+y1y2)2≤(x12+y12)(x22+y22)有着非常广泛的应用,由此还可以推广到一般(柯西不等式):

(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn).

例1 已知实数x,y满足x+y-4=0,则x2+y2的最小值是______;

(2)已知实数x,y满足(x+2)2+y2=1,则2x-y的最大值是_______.

解析:(1)令m=(x,y),n=(1,1).

∵|m·n|≤|m||n|,∴|x+y|≤222yx,

即2(x2+y2)≥(x+y)2=16.∴x2+y2≥8,故x2+y2的最小值是8.

(2)令m=(x+2,y),n=(2,-1),2x-y=t.

由|m·n|≤|m||n|,得|2(x+2)-y|≤5|4|,55)2(22tyx即

解得4554t.故所求的最大值是5-4.

答案:(1)8 (2)5-4

例2 已知a,b∈R,θ∈(0,2),试比较2222sincosba与(a+b)2的大小.

解:构造向量m=(sin,cosba),n=(cosθ,sinθ),由|m·n|≤|m||n|得

(sinsincoscosba)2≤(2222sincosba)(cos2θ+sin2θ),

∴(a+b)2≤sincos22ba.

同类变式:已知a,b∈R,m,n∈R,且mn≠0,m2n2>a2m2+b2n2,令M=baNnm,22,比较M、N的大小.

2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

考点 学习目标 核心素养

向量数量积的坐标表示 掌握平面向量数量积的坐标表示，

会用向量的坐标形式求数量积 数学运算

平面向量的模与夹

角的坐标表示 能根据向量的坐标计算向量的模、

夹角及判定两个向量垂直 数学运算、逻辑推理

问题导学

预习教材P106－P107，并思考下列问题：

1．平面向量数量积的坐标表示是什么？

2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？

1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示

设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．

数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2

两个向

量垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0

■名师点拨

公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．

2．三个重要公式

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )

(2)|AB→|的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．( )

答案：(1)× (2)√

已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b的值是( )

A．23 B．7 C．－23 D．－7

答案：D

已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，2)，若a⊥b，则x＝( )

A．1 B．2 C．4 D．－4

答案：C

已知a＝(3，1)，b＝(－3，1)，则向量a，b的夹角θ＝______.

答案：120°

数量积的坐标运算

向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( )

A．－1 B．0

C．1 D．2

【解析】 因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，

所以(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.