2-2-2 椭圆的简单几何性质(1)

2.2.2 椭圆的简单几何性质（2）

一、选择题

1．将椭圆C1∶2x2＋y2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C2，则C2与C1有( )

A．相等的短轴长 B．相等的焦距 C．相等的离心率 D．相等的长轴长

1.[答案] C

[解析] 把C1的方程化为标准方程，即C1：x22＋y24＝1，从而得C2：x22＋y2＝1.

因此C1的长轴在y轴上，C2的长轴在x轴上．e1＝22＝e2，故离心率相等，选C.

2．若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是( )

A.14 B.12 C.22 D.32

2.[答案] D [解析] △ABF1为等边三角形，∴2b＝a，∴c2＝a2－b2＝3b2。

∴e＝ca＝c2a2＝3b24b2＝32.

3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )

A.45 B.35 C.25 D.15

3.[答案] B [解析]设法把条件转化为含a，b，c的方程式，消去b得到关于e的方程，由题意得：4b＝2(a＋c)⇒4b2＝(a＋c)2⇒3a2－2ac－5c2＝0⇒5e2＋2e－3＝0(两边都除以a2)⇒e＝35或e＝－1(舍)，故选B.

4．已知椭圆2x2＋y2＝2的两个焦点为F1，F2，且B为短轴的一个端点，则△F1BF2的外接圆方程为( )

A．x2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝4 C．x2＋y2＝4 D．x2＋(y－1)2＝4

4.[答案] A [解析] 椭圆的焦点为F1(0,1)，F2(0，－1)，短轴的一个端点为(1,0)，于是△F1BF2的外接圆是以原点为圆心，以1为半径的圆，其方程为x2＋y2＝1.

5．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( )

A．[6,10] B．[6,8] C．[8,10] D．[16,20]

5.[答案] C [解析] 由题意知a＝10，b＝8，设椭圆上的点M(x0，y0)，

由椭圆的范围知，|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，点M到椭圆中心的距离d＝x20＋y20.

又因为x20100＋y2064＝1，所以y20＝64(1－x20100)＝64－1624x20，则d＝x20＋64－1625x20＝925x20＋64，因为0≤x20≤100，所以64≤925x20＋64≤100，所以8≤d≤10.

6．椭圆C1：x225＋y29＝1和椭圆C2：x29－k＋y225－k＝1 (0

A．等长的长轴 B．相等的焦距 C．相等的离心率 D．等长的短轴

6.[答案] B [解析] 依题意知椭圆C2的焦点在y轴上，对于椭圆C1：焦距＝225－9＝

8，对于椭圆C2：焦距＝2(25－k)－(9－k)＝8，故答案为B.

7．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为( )

A.22 B.32 C.53 D.63

7.[答案] A [解析] 由题意知b＝c，∴a＝2c，∴e＝ca＝22.

8．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为

( )

A.x24＋y26＝1 B.x26＋y24＝1 C.x236＋y232＝1或x232＋y236＝1 D.x236＋y232＝1

8.[答案] C [解析] ∵长轴长2a＝12，∴a＝6，又e＝13∴c＝2，

∴b2＝a2－c2＝32，∵焦点不定，∴方程为x236＋y232＝1或x232＋y236＝1.

9．已知点(3,2)在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，则( )

A．点(－3，－2)不在椭圆上 B．点(3，－2)不在椭圆上

C．点(－3,2)在椭圆上 D．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上

9.[答案] C [解析] ∵点(3,2)在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，∴由椭圆的对称性知，点(－3,2)、(3，－2)、(－3，－2)都在椭圆上，故选C.

10．椭圆x2a2＋y2b2＝1和x2a2＋y2b2＝k(k>0)具有 ( )

A．相同的长轴 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的离心率

10.[答案] D [解析] 椭圆x2a2＋y2b2＝1和x2a2＋y2b2＝k(k>0)中，不妨设a>b，椭圆x2a2＋y2b2＝1的离心率e1＝a2－b2a，椭圆x2a2k＋y2b2k＝1(k>0)的离心率e2＝ka2－b2ka＝a2－b2a.

二、填空题

11．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．

11. [答案] x236＋y29＝1

[解析] 设椭圆G的标准方程为x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)，半焦距为c，则

 2a＝12ca＝32，∴ a＝6c＝33，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9，∴椭圆G的方程为x236＋y29＝1.

12．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．

12.[答案] 2 120° [解析] 依题知a＝3，b＝2，c＝7，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝6，

∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2.又|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝27.在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－12，∴∠F1PF2＝120°.

13．椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点到两焦点的距离分别为d1、d2，焦距为2c，若d1、2c、d2成等差数列，则椭圆的离心率为________．

13.[答案] 12 [解析] 由题意得4c＝d1＋d2＝2a，∴e＝ca＝12.

14．经过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________．

14.[答案] 2b2a [解析] ∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x＝±c，

由 x＝±cx2a2＋y2b2＝1，得y2＝b4a2，∴|y|＝b2a，故弦长为2b2a.

三、解答题

15．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝32，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．

15.[解析] 椭圆方程可化为x2m＋y2mm＋3＝1，∵m－mm＋3＝m(m＋2)m＋3>0，∴m>mm＋3.

即a2＝m，b2＝mm＋3，c＝a2－b2＝m(m＋2)m＋3.由e＝32得，m＋2m＋3＝32，∴m＝1.

∴椭圆的标准方程为x2＋y214＝1，∴a＝1，b＝12，c＝32.

∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1(－32，0)，F2(32，0)；四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1(0，－12)，B2(0，12)．

16．已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为10－5，求这个椭圆的方程．

16.[解析] 由于椭圆中心在原点，焦点在x轴上，可设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．

由椭圆的对称性知，|B1F|＝|B2F|，又B1F⊥B2F，因此△B1FB2为等腰直角三角形，于是|OB2|＝|OF|，即b＝c.又|FA|＝10－5即a－c＝10－5，且a2＋b2＝c2.

三式联立，得方程组， b＝ca－c＝10－5a2＝b2＋c2解得 a＝10b＝5所求椭圆方程是x210＋y25＝1.

17．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程．

17.[解析] 由e＝ca＝32，得3a2＝4c2，再由c2＝a2－b2，得a＝2b.

由题意可知12×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组 a＝2b，ab＝2，得a＝2，b＝1，

所以椭圆的方程为x24＋y2＝1.