2-1-2 椭圆的简单几何性质
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基础巩固强化
一、选择题
1．椭圆x 216＋y 2
8＝1的离心率为( ) A.13 B.12 C.33 D.22
[答案] D
[解析] ∵a 2＝16，b 2＝8， ∴c 2＝a 2－b 2＝8， ∴c ＝22，
∴离心率e ＝c a ＝224＝2
2.
2．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3,0.8 B ．10,6,0.8 C ．5,3,0.6 D ．10,6,0.6 [答案] B
[解析] 椭圆方程化为标准方程为y 225＋x 2
9＝1， ∴椭圆的长轴长等于2a ＝10，短轴长等于2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝4
5＝0.8.
3．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2
25－k ＝1(0<k <9)的关系为( )
A ．有相等的长、短轴
B ．有相等的焦距
C ．有相同的焦点
D ．x ，y 有相同的取值范围
[答案] B
[解析] ∵0<k <9，∴0<9－k <9,16<25－k <25， ∴25－k －9＋k ＝16， 故两椭圆有相等的焦距．
4．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( )
A.14
B.12 C ．2 D ．4
[答案] A
[解析] 由题意y 21m ＋x 2
＝1，且
1
m ＝2， ∴m ＝1
4.故选A.
5．(2012～2013学年度浙江宁波市重点中学高二期末测试)已知焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 2＝1，其离心率为3
2，则实数m 的值是( )
A ．4 B.14 C ．4或1
4 D.12 [答案] B
[解析] 由题意，得a 2＝1，b 2＝m ， ∴c 2＝a 2－b 2＝1－m ， ∴离心率e ＝c a ＝1－m ＝3
2，
∴m ＝14.
6．椭圆的焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为( )
A.x 236＋y 2
16＝1 B.x 216＋y 2
36＝1 C.x 26＋y 2
4＝1 D.y 26＋x 2
4＝1
[答案] A
[解析] 由题意得c ＝25，a ＋b ＝10， ∴b 2＝(10－a )2＝a 2－c 2＝a 2－20，
解得a 2＝36，b 2＝16，故椭圆方程为x 236＋y
216＝1.
二、填空题
7．椭圆x 2＋6y 2＝6的短轴长等于________． [答案] 2
[解析] 椭圆方程化为标准方程为x 26＋y 2
＝1，故其短轴长等于2. 8．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________．
[答案] y 225＋x 2
20＝1
[解析] 依题意得椭圆的焦点坐标为(0，5)，(0，－5)． 故c ＝ 5.又∵2b ＝45， ∴b ＝25，a 2＝b 2＋c 2＝25， 故所求椭圆的标准方程为y 225＋x 2
20＝1.
9．已知B 1、B 2为椭圆短轴的两个端点，F 1、F 2是椭圆的两个焦
点，若四边形B 1F 1B 2F 2为正方形，则椭圆的离心率为________．
[答案] 2
2
[解析] 如图，由已知得b ＝c ＝2
2a ， ∴e ＝c a ＝22.
三、解答题
10．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率e ＝3
2，求椭圆的方程．
[解析]
由题意，得⎩⎨⎧
4a ＝16
c a ＝3
2
，∴a ＝4，c ＝2 3.
∴b 2＝a 2－c 2＝4，所求椭圆方程为x 216＋y
2
4＝1.。
