湛江二中2011-2012学年高二上学期第一学段考试(数学)

1 湛江二中2011-2012学年高二上学期第一学段考试

数学

第一部分(选择题,共50分)

一．选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集RU,}03|{xxxA,}1|{xxB,那么右图中阴影部分表示的集合为( )

A.}0|{xx B.}03|{xx

C.}13|{xx D.}1|{xx

2.某校高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法从高中生中抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( )

A.45,75,15 B.45,45,45 C.30,90,15 D.45,60,30

3.给定空间中的直线l及平面,条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的( )

A.充要条件 B.充分非必要条件

C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

4.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如右图).由图中数据可知身高在[120,130]内的学生人数为( )

A.20 B.25 C.30 D.35

5.如图,一个空间几何体的主视图和侧视图都是边长为1的正三角形,俯视图是一个圆,该几何体的全面积为( )

A.21 B.412

C.4122 D.43

6.已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定0、1表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标;因为射击4次,故以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了20组随机数:

5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698

0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281

据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( )

A.0.85 B.0.8192 C.0.8 D.0.75

7.命题:Rpx,函数2()2cos3sin23fxxx,则( ) 2 A.p是假命题；:Rpx,2()2cos3sin23fxxx

B.p是假命题；:Rpx,2()2cos3sin23fxxx

C.p是真命题；:Rpx,2()2cos3sin23fxxx

D.p是真命题；:Rpx,2()2cos3sin23fxxx

8.若直线)0,(02babyax始终平分圆082422yxyx的周长,则ba39的最小值为( )

A.2 B.6 C.32 D.13

9.ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2ABACAO,且||||OAAC,则向量BA在向量BC方向上的投影为( )

A.32 B.32 C.12 D.32

10.已知函数()yfx(Rx)满足(2)()fxfx且[1,1]x时,2()1fxx,函数lg (0)()1 (0)xxgxxx,则函数()()()hxfxgx在区间[5 , 5]内零点的个数为( )

A.5 B.7 C.8 D.10

第二部分(非选择题,共100分)

二．填空题:本大题共四小题,每小题5分,共20分.

11.命题“,11abab若则”的否命题．．．是_________.

12.一个样本容量为7的样本数据,它们组成一个公差不为0的等差数列na,若38a,且137 , , aaa成等比数列,则此样本的中位数是_________.

13.阅读右侧的程序框图,输出的结果S的值为______.

14.已知}0,0,6|),{(yxyxyx,

}0,4,02|),{(yxyxyxE,若向区

域内随机投一点P,则点P落入区域E

的概率为_________.

3 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分12分)ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量)1,1(m,)23sinsin,cos(cosCBCBn,且nm.

(1)求A的大小;

(2)若1a,(31)2bc,求ABC的面积.

16.(本小题满分13分)有这样一则公益广告:“人们在享受汽车带来的便捷与舒适的同时,却不得不呼吸汽车排放的尾气”,汽车已是城市中碳排放量比较大的行业之一.某市为响应国家节能减排,更好地保护环境,决定将于2013年起取消2CO排放量超过130g/km的M1型新车挂牌.检测单位对目前该市保有量最大的甲类M1型品牌车随机抽取6辆进行了2CO排放量检测,记录如下(单位:g/km).

序号 1 2 3 4 5 6

2CO排放量 100 x 120 145 115 160

(1)已知125x,求x的值及样本标准差;(计算结果可保留根号)

(2)从被检测的甲类品牌车中任取2辆,则至少有一辆不符合2CO排放量的概率是多少?

17.(本小题满分13分)已知0a且1a,设命题p:函数xyalog在),0(x内单调递减,命题q:曲线1)32(2xaxy与x轴交于不同的两点,若命题""qp为假命题,""qp为真命题,试求实数a的取值范围.

18.(本小题满分14分)如图,四边形ABCD为矩形,且ABCDPAABAD平面,1,2,

1PA,E为BC的中点.

(1)求证:PEDE;

(2)求三棱锥PDEC的体积;

(3)(文科考生做)探究在PA上是否存在点G,使得PCDEG平面//,并说明理由.

(3)(理科考生做)在线段BC上存在点N,使得二面角ANDP的平面角大小为4.试确定点N的位置.

19.(本小题满分14分)已知数列na中,112,202,nnaaannnN.

(1)写出32,aa的值;

(2)求数列na的通项公式;

(3)设12321111nnnnnbaaaa,求nb的最大值.

4 20.(本小题满分14分)已知曲线2:Cyx与直线:20lxy交于两点(,)AAAxy和(,)BBBxy,且ABxx.记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D.设点(,)Pst是L上的任一点,且点P与点A和点B均不重合.

(1)若点Q是线段AB的中点,试求线段PQ的中点M的轨迹方程;

(2)若曲线22251:24025Gxaxyya与D有公共点,试求a的最小值.

5 参考答案

整理得:2622,2,2bbc „„„„10分

所以1162131sin222224ABCSbcA „„„„12分

16．（本小题满分13分）

解: (1)因为1001201451151601256xx,

所以110x „„„„3分

因为2222(100)(110)(160)130063xxxS

所以样本标准差为10393 „„„„6分

(2)从被检测的6辆甲类品牌车中任取2辆,共有15种不同的2CO排放量结果:

(100,110)、(100,115)、(100,120)、(100,145)、(100,160)、

(110,115)、(110,120)、(110,145)、(110,160)、

(115,120)、(115,145)、(115,160) 、

(125,145)、(125,160)、

(145,160) „„„„„„9分 6

②若p不正确,q正确,

即函数xyalog在),0(上不是单调递减,曲线1)32(2xaxy与x轴交于两点

因此25211aaa或,所以),25(a. „„„„„„11分

综上所述,a的取值范围为:),25()1,21[. „„„„„„13分

18．（本小题满分14分）

解:(1)证明:连结AE,∵E为BC的中点,1ECCD,∴DCE为等腰直角三角形,

则45DEC,同理可得45AEB,∴90AED,∴DEAE, „„„„2分

又PAABCD平面,且DEABCD平面, ∴PADE, „„„„„„„3分

又∵AEPAA,∴DEPAE平面,又PEPAE平面,∴DEPE.„„„5分

(2)由(1)知DCE为腰长为1的等腰直角三角形,

∴211121DCES,而PA是三棱锥DCEP的高,

∴611213131PASVVDCEDCEPPDEC.„„„8分

(3)(文科考生做)

在PA上存在中点G,使得PCDEG平面//.理由如下: