三角形的中位线[下学期]--华师大版

美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登！为自己加油！ 2017-2018学年（新课标）华东师大版七年级下册

9.1.2三角形的角平分线，中线和高线

一．选择题（共8小题）

1．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）

A． B．

C． D．

2．在△ABC所在的平面内存在一点P，它到A、B、C三点的距离都相等，那么点P一定是（ ）

A． △ABC三边中垂线的交点 B． △ABC三边上高线的交点

C． △ABC三内角平分线的交点 D． △ABC一条中位线的中点

3．已知BD是△ABC的中线，AB=4，AC=3，BD=5，则△ABD的周长为（ ）

A． 12 B．10.5 C．10 D． 8.5

4．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ）

A． 角平分线 B．中位线 C．高 D． 中线

美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登！为自己加油！ 5．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6 cm，则AB与AC的差为（ ）

A． 2cm B．3cm C．6cm D． 12cm

6．下列说法正确的是（ ）

①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部．

A． ①②③ B．①② C．②③ D． ①③

7．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）

A． 锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D． 不能确定

8．下列说法错误的是（ ）

A． 三角形的中线、高、角平分线都是线段

B． 任意三角形内角和都是180°

C． 三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和等腰三角形

D． 直角三角形两锐角互余

二．填空题（共6小题）

三角形中位线定理

【学习目标】

1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．

2. 掌握中点四边形的形成规律.

【要点梳理】

要点一、三角形的中位线

1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.

（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.

（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.

要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.

（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.

（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.

（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.

（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.

【典型例题】

类型一、三角形的中位线

1、（2016•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．

（1）求证：BM=MN；

（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．

（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．

【答案与解析】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，

∴MN∥AD，MN=AD，

在RT△ABC中，∵M是AC中点，

∴BM=AC，

栾川县陶湾中学教学单 九年级（上）数学 备课人： 段长江 备课时间：2013，10，16 累计课时：17

1 EDABCDFEABC华师大版九年级（上）数学 24.4三角形中位线

【教学目标】

知识与

技能

学习内容 学习水平

记忆 解释 探究

相似三角形的判定 √

相似三角形的性质 √

三角形中位线定理 √

三角形中位线的应用 √

三角形的重心 √

过程与

方法 经历三角形中位线定理及重心的形成过程，从而掌握运用知识的能力。

情感态度与价值 在向学生渗透知识形成的过程中培养其严谨的数学态度，在学以致用中让学生感受获得新知的乐趣。

重点: 三角形中位线的应用

难点: 三角形重心的应用

【教学流程】

【学习导航】 一、 学习准备：

1.如图：在△ABC和△ADE中，若

（添加一个条件），则△ABC∽△ADE

2. 如图：若△ADE和△ABC的相似比为1：3，则DE:BC=

S△ABC: S△ADE=

二、新课探索：

1. 填一填：

（1）如右图，在△ABC中，若DE//BC,则有△ ∽△

（2）在（1）的前提下，若D是AB的中点，则有

ABAD （填比值）ACAE

由此可得点E是

2．议一议： 如右图，在△ABC中，已知D是AB的中点，E是AC的中点，猜想DE与BC的关系：

3.证一证：（和大家分享

4.想一想： 本题都运用了我们所学的哪些知识？

5.概括：我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．．．，由以上求证可得：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

三、新识拓展

如右图，在△ABC中，F、D、E分别是AB、BC、AC的中点，则

△FDE △CAB，理由是

浅谈三角形中位线定理的几种证法

康园中学校 张瑜

摘要：华师大数学九年级上册第23章中，学生学习了三角形中位线定理，对于三角形中位线定理的证明方法我与学生进行了深入地研究，总结了十种类型的方法，下面将三角形中位线定理的这些证法与大家共同分享。共有十种不同的类型：动手操作法、相似法、倍长法、平行法、翻折法、作高法、构造法、旋转法、同一法、反证法。

关键词：三角形中位线定理、二十八种不同的证法。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。

如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。求证：DE‖BC，DE=21BC。

一、类型一：动手操作法

方法1：度量法

华师大初中数学教材的编写是呈螺旋式上升的，七年级和八年级上册重点培养学生的合情推理能力（即学生的动手操作和简单的说理验证），八年级下册和九年级重点培养学生的演绎推理能力（即严格地利用定理进行证明）。因此运用合情推理，可以采用度量的方法来证明三角形中位线定理。首先用直尺分别量出DE、BC的长，看是否满足DE=21BC，再用量角器分别量出∠ADE和∠B的度数，看是否相等，从而判断是否平行。

二、类型一：相似法

方法2：相似法一

根据AD=21AB，AE=21AC，∠DAE=∠BAC，从而得到△ADE∽△ABC。于是∠ADE=∠ABC，DE:BC=AD:AB=1:2。轻松得到DE‖BC，DE=21BC。

方法3：相似法二

过点D作DF⊥AC于F，过点B作BG⊥AC于G，则DF//BG，于是△ADF∽△ABG，得到DF=21BG，AF=FG。因为AE=EC，所以FE=21GC。根据DF:BG=FE:GC，∠DFE=∠BGC=900，得到△DFE∽△BGC，从而命题得证。

A

B C D E

A

B C D E F

GA

D E

B C F A