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. 一．平面几何
1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．
2． 射影定理（欧几里得定理）
3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC的边BC的中点为P，则有)(22222BPAPACAB；
中线长：222222acbma
4． 垂线定理：2222BDBCADACCDAB
高线长：CbBcAabccpbpappahasinsinsin))()((2
5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．
如△ABC中，AD平分∠BAC，则ACABDCBD；（外角平分线定理）
角平分线长：2cos2)(2Acbbcapbcpcbta（其中p为周长一半）
6． 正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin，（其中R为三角形外接圆半径）
7． 余弦定理：Cabbaccos2222
8． 张角定理：ABDACACBADADBACsinsin sin
9． 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC＝BC·DC·BD
10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）
11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角
12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）
13． 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边
14． 点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．
平面几何的几个重要的定理
一、梅涅劳斯定理:
定理1：若直线l不经过 ABC的顶点，并且与
的延长线分别交于 P、Q、R,贝U
BP CQ AR 1 PC QA RB
证：设hA、hB、hC分别是A、B、C到直线
l的垂线的长度，贝u：
BP CQ AR hB hC hu 』 1 PC QA RB hC hA hB
注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的
线段成比例的条件;
例1：若直角 ABC中，CK是斜边上的高，
在AK上，D是AC的中点， F是DE与CK的交点，证明:KF BK ——=—— FC BE
KF BK ——=一 KC KE
FKB CKE BF //CECE是 ACK的平分线， E点
BF // CE。
证：在
则： EBC中，作 B"分线BH
EBC ACK
HBC ACE
HBC HCB ACE HCB 90
即：BH CE
EBC为等腰三角形
作BC上的高EP,则:
对丁 ACK和三点D、 CK EP
E、F依梅涅劳斯定理有:
CD AE KF , 1 DA EK FC 匚曰KF EK CK 『是——=一 一 FC AE AC EP BP BK AC BC BE 依分比定理有: ABC的三边BC、CA、AB或它们
【练习1从点K引四条直线，另两条直
-一 一 、…AC
和 A1、B1、C1、D1,试证： -------
1 1 1 BC 线分别交这四条直线丁 A、B、C、D
AD
BD
定理2：设P、Q、R分别是 ABC的三边 BC、 CA、AB上或它们的延长线上的
P、Q、R三点中，位于 ABC边上的点的个数为 0或2,这时若 既 PC 三点，并且
CQ AR
QA RB 1,
求证：P、Q、R三点共线;
证：设直线PQ与直线AB交丁 R', 丁是由定理
BP CQ AR _ __ ' PC QA R B
乂 BP CQ AR
PC QA RB
由丁在同一直线上的 _ ' ____ AR AR 1,则：^―=—— R B RB
平面几何的中线定理与高线定理
平面几何是几何学的基础，涉及到平面上的各种图形以及它们之间的关系和性质。在平面几何中，中线定理和高线定理是两个重要的定理，它们揭示了各种图形内部线段或线的关系，对于解题和证明来说具有重要意义。
一、中线定理
中线定理是指在一个三角形中，连接两个顶点并经过对边中点的线段，称为中线。中线定理则是指连接三角形两个顶点并经过第三个顶点所在中线的长度等于一半的对边长度。
对于一个任意的三角形ABC，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点。根据中线定理可得：
AD = 1/2 * BC
BE = 1/2 * AC
CF = 1/2 * AB
这个定理的几何意义是，一个三角形的各个中线经过同一个点，这个点称为三角形的重心。
二、高线定理
高线定理是指在一个直角三角形中，两条直角边上的高分别为这两条直角边的乘积除以斜边的长。 对于一个直角三角形ABC，AB为斜边，AD、BE分别为BC、AC上的高。根据高线定理可得：
AD = (AC * AB) / BC
BE = (BC * AB) / AC
这个定理的几何意义是，直角三角形两条直角边上的高的长度与这两条直角边的乘积成正比。
综上所述，中线定理和高线定理是平面几何中两个重要的定理。通过这两个定理，我们可以更深入地理解和应用于解题和证明中。这些定理为我们研究和了解平面图形的性质提供了有力的工具，同时也为我们提供了思维的启发和指导。在实际应用中，中线定理和高线定理也经常被用于解决测量、建模和设计等问题。
需要注意的是，无论是中线定理还是高线定理，在使用时都需要根据具体情况选择合适的表达方式和计算方法。根据定理的内容和提供的条件，我们可以灵活运用相关的公式和推理方法，对不同的几何问题进行分析和解决。
总之，平面几何的中线定理和高线定理是基础而重要的定理，它们帮助我们揭示了图形内部线段和线的关系，为我们的学习和研究提供了坚实的基础。深入理解这些定理的原理和应用，将对我们在几何学中的学习和研究起到积极的促进作用。
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★
20、"以任意三角形ABC的边
B
C、C
A、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△
B
DC、△
C
EA、△AFB，则△DEF是正三角形，
21、"爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段
A
D、B
E、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
22、"爱尔可斯定理2：若△
A
BC、△
D
EF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。★2
3、"梅涅劳斯定理：
设△ABC的三边
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B
C、C
A、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BP/PC×CQ/QA×AR/RB=1★2
4、"梅涅劳斯定理的逆定理：
（略）★2
5、"梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。
★2
6、"梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点
A、
B、C作它的外接圆的切线，分别和
B
C、C
A、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线★2
7、"塞瓦定理：
设△ABC的三个顶点
A、
B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边
B
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C、C
A、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BP/PC×CQ/QA×AR/RB=
1."★
28、"塞瓦定理的应用定理：
设平行于△ABC的边BC的直线与两边
A
B、AC的交点分别是
D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M★2
9、"塞瓦定理的逆定理：
（略）★3
0、"塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点★3
1、"塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边
B
C、C
A、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。
