2016线性变换习题库

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线性变换习题

1、设三维线性空间V上的线性变换在基123,,下的矩阵为33ijAa，则在基231,,下的矩阵为 。

解：设基123,,到基231,,下的矩阵为X，即有231123(,,)(,,)X。而123123(,,)(,,)A，231231(,,)(,,)B，则1BXAX，得到

222321323331121311aaaBaaaaaa。

2、设是n维线性空间V上的线性变换，Im与ker分别表示的值域与核，证明下列条件等价：

（1）ImkerV；

（2）Imker0；

（3）若12,,,r是Im的一组基，则12(),(),,()r是2Im的一组基；

（4）秩()=秩2().

（注：表示Imker直和）

证明：1)2)显然成立

2)1)令dimkerr，设ker的一组基为1,,r，并扩充为V的一组基11,,,,,rrn，1Im(,,)rnL。由于Imker，

dimImdimkern，则dimImnr，即1,,rn线性无关，从而11,,,,,rrn线性无关。则11(,,,,,)rrnVL，故1）成立。

1)3)令110rrkk，则11()0rrkk。存在ker，使得11rrkk。又因为12,,,r是Im的一组基，则存在12,,,r，满足 2 ii，1,,ir。把12,,,r扩充为V的一组基11,,,,,rrn，则1,,rn为ker的一组基。即11rrnnll，从而

11110rrrrnnkkll，故110rrnkkll，则1,,r线性无关。又因为2ImIm，则2dimImdimImr，故2dimImr，从而1,,r为2Im的一组基。

1)3)见第4题。

3、设是n维线性空间V上的线性变换，记Im()|V，ker|()0V。求证下列命题等价：

（1）ImkerV；

（2）Imker0；

（3）2ker()ker()；

（4）2Im()Im()。

证明：见第2题。

4、设A为n维线性空间V的线性变换关于某基的矩阵，证明：2A的秩＝A的秩当且仅当1()(0)VV。

证明：设1()(0)VV。因为2()VVV，且对于V，存在V，使得。设12，其中1V，12V。即

22121()()()V，V。即2VV。从而有2VV，故2A的秩＝A的秩2dimdimVV。

反过来，设秩2A=秩A，则秩11dim(0)dimdim(0)AVn,

即221dimdim()(0)V秩221dim()(0)A。于是121dim(0)dim()(0)，但121(0)()(0)，从而121(0)()(0)。 3 又因为1(0)V，存在V，有，且0，即20。211()(0)(0)，则0，即1(0){0}V，即证。

5、 给定R上二维线性空间V的线性变换A，A在一组基下的矩阵表示为

0110Aa，0a。求A的不变子空间。

解：由1EAa。

当1a时，特征值为11a，21a。对应的特征向量分别为1(1,1)'a，2(1,1)'a。故A不变子空间有{0}，1()L，2()L，12(,)L。

当1a时，不存在特征根，则A不变子空间为{0}。

6、 设V是数域P上的一个n维线性空间，12,,,naaa是的一个基，用1V表示由12naaa生成的线性子空间，令

211{|0,}nniiiiiiVkakkP

（1） 证明2V是V的子空间

（2） 证明12VVV，

（3） 设V上线性变换在基12,,,naaa下的矩阵A是置换矩阵（即：A的每一行与每一列都只有一个元素为1，其余元素全为0），证明1V与2V都是的不变子空间。

证明：（1）2,V，lP

则222111()()()()nnniiiiiiiiiiVVkakbkabV，

2211()()nniiiiiVlklalkalV，故2V是V的子空间。

（2）12112212(,,,)nnnVLaaalalalaVV，而 4 1211221122(1)(1)(1)nnnnnaaalalalalalalaV，

则12VVV。

若12,VV有交集的话，则12nkkk，而120nkkk这时矛盾的。则12{0}VV，从而12VVV。

（3）1212(,,,)(,,,)nnaaaaaaA，不妨设置换矩阵111A，则

11，22，，nn。1V，则

12121()nnaaaaaaV；

2V，则112211222()nnnnkakakakakakaV。故1V与2V都是的不变子空间。

7、设是n维线性空间V上可逆线性变换，

（1） 试证的逆变换1可表成的多项式。

（2） 如令()f为的特征多项式，试证当多项式()g与()f互素时，()g是可逆线性变换。

证明：（1）1110()nnnfEAaaa，0(1)0naAA（是可逆变换）。又因为()0f，则11211()nnnnaaa，故112111()nnnnaaa。

（2）((),())1gf，则存在(),()uv，使得()()()()1ugvf，即()()()()ugvf，故()()ug，则()g是可逆线性变换。

8、 设1V与2V是向量空间V的子空间，且有12VVV（即V是1V与2V的直和），若定义映射：

11212122::ff

其中V，11V，22V. 5 证明：1）12,ff是V的线性变换；

2）211ff，222ff

3） 12210ffff（零变换）， 12Vffid（V的恒等变换）。

证明：1）12V，12V，则

11111111111()()()()()fffffV，

111111()()()fkkkfkfV

则1f是V的线性变换。同理可得2f是V的线性变换。

2）V，21111111(())()()fffff，则211ff，同理可证222ff。

3）12V，且1122,VV，121212()()()ffff，则12Vffid。又由于12121212()()(0)0ffffff，其中10V，21212121()()(0)0ffffff，其中20V，从而12210ffff。

9、已知2P中线性变换对基0,1,1,121的作用为1,1,1,021AA.则在21,下的矩阵为 .

解：121212((),())(,)(,)A，则01111110A，即1112A。

10、P为数域 为22VP的线性变换，0aAVcd,且对任VX,有AXXA，求的全部特征值。若da，V中是否存在一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵?为什么?

解：令11122122aaXaa，由AXXA，得

111112121211212122122222aaaacaaaacadaaacacadada，即101acd，故101Ac。

特征多项式为2(1)EA，则1为全部特征值。 6 若da，又由于()()EAad，线性变换有两个不同的特征值，故V中存在一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵。

11、设11223313232xxxxxxxx，其中1323xxRx为任意3维实向量，则线性变换在1000,1,0001下的矩阵表示为___________.

解：103020012。

12、设12,,,neee是n维线性空间nV的一组基，对任意n个向量12,,,nnV，证明：存在唯一的线性变换T使得(),1,2,,iiTein。

证明：设1122nnxexexe，定义线性变换1122nnTxxx。

令1122nnbebebe，1122nncecece，则

111222()()()nnnbcebcebce，1122nnkkbekbekbe

111222()()()()nnnTbcbcbcTT，

1122()nnTkkbkbkbkT，则T是一个线性变换。

又100iineeee，100iiinTee，即存在唯一的线性变换T使得(),1,2,,iiTein。

13、设V是数域P上的3维线性空间，线性变换:fVV在V的基123,,eee下的矩阵为212533102

（1） 求线性变换f在V的基11213,,eeeee下的矩阵

（2） 求线性变换f的特征值和特征向量