河南省郑州、平顶山、濮阳市2017届高三第二次质量预测(二模)数学(理)试题 Word版含答案

- 1 - 2017年高中毕业年级第二次质量预测

数学（理科）试题卷

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.

1.已知复数nfninN，则集合|zzfn的元素个数为

A. 4 B. 3 C. 2 D.无数

2.设0.533,log2,cos2xyz，则

A. zxy B. yzx C. zyx D.xzy

3.要计算1111232017的结果，下面的程序框图中的判断框内可以填入的是

A. 2017n B. 2017n C. 2017n D.2017n

4.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是扇形，则该几何体的体积为

A. 163 B. 3 C. 29 D. 169

5.下列命题是真命题的是

A. xR，函数sin2fxx都不是偶函数

B.,R,使得coscoscos

C. 向量2,1,1,0ab，则a在b方向上的投影是2

D.“1x”是“1x”的既不充分也不必要条件

6.在区间1,e上任取实数a，在区间0,2上任取实数b，使函数214fxaxxb有两个相异零点的概率为

A. 121e B. 141e C. 181e D.1161e

7.已知数列na满足11122,,,nnnnaaanamanS为数列na的前n项和，则2017S的值为 - 2 - A. 2017nm B. 2017nm C.m D.n

8.已知实数,xy满足261yxxyx，则22zxy的最小值是

A. 6 B. 5 C. 4 D.3

9.已知空间四边形ABCD满足3,7,11,9ABBCCDDA，则ACBD的值为

A. -1 B. 0 C. 212 D.332

10.将数字124467重新排列后得到不同的偶数的个数为

A. 72 B. 120 C. 192 D.240

11.已知P为双曲线2214yx上任意一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A,B则PAPB的值为

A. 4 B.5 C. 45 D.与点P的位置有关

12.已知函数sin2cosxfxx，如果当0x时，若函数fx的图象恒在直线ykx的下方，则k的取值范围是

A. 13,33 B.1,3 C. 3,3 D. 33,33

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.正方体的八个顶点中，有四个恰好为一个正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为 .

14.已知幂函数yx的图象过点3,9，则8axx的展开式中x的系数为 .

15.过点1,0P作直线与抛物线28yx相交于A,B两点，且2PAAB，则点B到该抛物线焦点的距离为 .

16.等腰ABC中，,ABACBD为边AC上的中线，且3BD，则ABC的面积的最大值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17.（本题满分12分） - 3 - 已知数列na的前n项和为nS，12a，且满足111.2nnSannN

（1）求数列na的通项公式；

（2）若3log1nnba，设数列21nnbb的前n项和为nT，求证：3.4nT

18.（本题满分12分）如图，三棱柱111ABCABC中，各棱长均相等，,,DEF分别是棱11,,ABBCAC的中点.

（1）求证：//EF平面1ACD；

（2）若三棱柱111ABCABC为直三棱柱，求直线BC与平面1ACD所成角的正弦值.

19.（本题满分12分）某公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标，有测量结果得到如下所示的频率分布直方图：

（1）求直方图中a的值；

（2）偶频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布2200,12.2N，试计算数据落在187.8,212.2上的概率；

（3）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系0.4,2050.880,205xxyxx，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试求生产成本的平均值.

- 4 - 20.（本题满分12分）

已知椭圆2220xymm，以椭圆内一点2,1M为中点作弦AB,设线段AB的中垂线与椭圆相交于C,D两点；

（1）求椭圆的离心率；

（2）试判断是否存在这样的m,使得A,B,C,D在同一圆上，并说明理由.

21.（本题满分12分）已知函数2ln,.2afxxxxgxxaxaR

（1）若fx和gx在0,上有相同的单调区间，求a的取值范围；

（2）令hxfxgxaxaR，若hx在定义域内有两个不同的极值点.

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）设两个极值点分别为12,xx，证明:212xxe.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系

已知直线l的极坐标方程为sin03，以极点为坐标原点O，极轴为x轴的正半轴平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为2cos22sinxy（为参数）

（1）求直线l被曲线C截得的弦长；

（2）从极点作曲线C的弦，求各弦中点的极坐标方程.

23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数21,.fxxgxxa

（1）当0a时，解不等式fxgx；

（2）若存在xR，使得fxgx成立，求实数a的取值范围.

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数学（理科） 参考答案

一、选择题

1. A．2.C 3.B 4.D 5.B 6.A 7.C 8.C 9.B 10.D 11.C 12.B

二、填空题

13.14．112；15.5；16．6.

三、解答题

17.（Ⅰ），由，得，

两式相减得，………………3分

由得到，又

所以为以-3为首项以3为公比的等比数列

故………………6分

（Ⅱ），…………9分

………………12分

18．(Ⅰ)证明：在三棱柱中，，且

连结，在中，因为D, E分别为棱AB, BC的中点. 所以.

又为的中点，可得，所以，………………2分

因此四边形为平行四边形，所以,

又， - 6 - 所以.………………4分

(Ⅱ)证明：由于底面ABC是正三角形，为的中点，所以,

又，又，所以………………6分

在平面内，过点作，交直线于，连结,

，由此得，为直线与所成的角.

设三棱柱的棱长为，可得，由∽，所以,

在中，.

所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.………………12分

19.详细分析：（I）………………4分

（II）由（I）知，，从而

………………6分

由题设条件及食品的质量指标的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：

组号 1 2 3 4 5 6 7

分组

频率 0.02 0.09 0.22 0.33 0.24 0.08 0.02 - 7 - ………………9分

根据题意，生产该食品的平均成本为

………………12分

20.详细分析：（Ⅰ）将椭圆化成标准方程，………………3分

（Ⅱ）由题意，设，直线的斜率存在，设为，联立

得：

，此时由得，………………6分

则为，则为………………8分

则得故的中点为

由弦长公式可得到

，若存在圆，则圆心在上，

的中点到直线的距离为………………10分

又 - 8 - 存在这样的，使的在同一个圆上. ………………12分

21．解：（Ⅰ）函数的定义域为，

当时，；当时，.

所以，在上单调递减；在上单调递增. ………………2分若在上单调递减；在上单调递增，

则………………4分

(Ⅱ) （ⅰ）依题意，函数的定义域为，

所以方程在有两个不同根.

即，方程在有两个不同根. ………………5分

转化为，函数与函数

的图像在上有两个不同交点，如图.

可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，

只须. ………………6分

令切点，所以，又，所以，

解得，，于是，所以. ………………8分

（ⅱ）由（i）可知分别是方程的两个根，

即，，不妨设，作差得，，即.

原不等式等价于 - 9 - 令，则， ……10分

设，，

∴函数在上单调递增，∴，即不等式成立，故所证不等式成立．……12分

22．解：（Ⅰ）直线的直角坐标方程是，曲线C的普通方程是

易得圆心到直线l的距离d=1，所以所求的弦长为………………5分

（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，各弦中点得轨迹的极坐标方程为.…………10分

23.解(Ⅰ)当时，由得，两边平方整理得，

解得或∴原不等式的解集为 ………………5分

（Ⅱ）由得，令，则

故，从而所求实数的范围为………………10分