2019-2020学年北京市朝阳区高考二模数学模拟试题(文)有答案

2019-2020年高三二模试卷文科数学含答案数 学（文科） xx.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合，集合，则（ ） （A ） （B ）（C ）（D ）2．在复平面内，复数对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．直线为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线的离心率是（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）4．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） （A ） ，且 （B ），且 （C ） ，且 （D ），且5．设平面向量，，均为非零向量，则“”是“”的（ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件正(主)视图俯视图侧(左)视图（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件6．在△ABC中，若，，，则（）（A）（B）（C）（D）7. 设函数若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）8.设为平面直角坐标系中的点集，从中的任意一点作轴、轴的垂线，垂足分别为，，记点的横坐标的最大值与最小值之差为，点的纵坐标的最大值与最小值之差为.如果是边长为1的正方形，那么的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在等差数列中，，，则公差_____；____.10．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且点的横坐标为2，则 .11．执行如图所示的程序框图，输出的a值为______．12．在平面直角坐标系中，不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤所表示的平面区域是，不等式组所表示的平面区域是. 从区域中随机取一点，则P 为区域内的点的概率是_____．13．已知正方形ABCD ，AB =2，若将沿正方形的对角线BD 所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体的体积的最大值是____.14．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}Mx y x y N N 上的一个映射，正整数数对在映射f下的象为实数z ，记作. 对于任意的正整数，映射由下表给出：则__________，使不等式成立的x 的集合是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A ，B 两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A 班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.B 班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？ （Ⅱ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明） （Ⅲ）根据数据推断A 班全班40名学生中有几名学生的视力大于4.6?17．（本小题满分14分）如图，在正方体中，，为的中点，为的中点. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）设为正方体棱上一点，给出满足条件的点的 个数，并说明理由.18．（本小题满分13分）已知函数，其中.（Ⅰ）若，求函数的定义域和极值；（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并证明.19．（本小题满分14分）设分别为椭圆的左、右焦点，斜率为的直线经过右焦点，且与椭圆W 相交于两点. （Ⅰ）求的周长；（Ⅱ）如果为直角三角形，求直线的斜率.20．（本小题满分13分）在无穷数列中，，对于任意，都有，. 设， 记使得成立的的最大值为.（Ⅰ）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值； （Ⅱ）若为等比数列，且，求的值；1（Ⅲ）若为等差数列，求出所有可能的数列.北京市西城区xx 高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） xx.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．A 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9． 10． 11． 12． 13． 14． 注：第9，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：2()sin cos cos 1f x x x x =-+……………… 4分， ……………… 6分所以函数的最小正周期为. ……………… 7分 （Ⅱ）解：由 ，得.所以 ， ……………… 9分所以1π1)2242x-+≤≤1，即 . ………11分当，即时，函数取到最小值；…12分当，即时，函数取到最大值. …………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：A班5名学生的视力平均数为A4.3+5.1+4.6+4.1 4.9==4.65x +，…………2分B班5名学生的视力平均数为B5.1+4.9+4.0+4.0 4.5==4.55x +. ……………3分从数据结果来看A班学生的视力较好. ………………4分（Ⅱ）解：B班5名学生视力的方差较大. ………………8分（Ⅲ）解：在A班抽取的5名学生中，视力大于4.6的有2名，所以这5名学生视力大于4.6的频率为．………………11分所以全班40名学生中视力大于4.6的大约有名，则根据数据可推断A班有16名学生视力大于4.6．………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在正方体中，因为平面，平面，所以平面平面. ……………… 4分（Ⅱ）证明：连接，，设，连接.因为为正方体，所以，且，且是的中点，又因为是的中点，所以，且，所以，且，即四边形是平行四边形，所以，1又因为 平面，平面，所以 平面. ……………… 9分 （Ⅲ）解：满足条件的点P 有12个. ……………… 12分理由如下： 因为 为正方体，， 所以 .所以 . ……………… 13分 在正方体中， 因为 平面，平面， 所以 ， 又因为 ，所以 ， 则点到棱的距离为，所以在棱上有且只有一个点（即中点）到点的距离等于， 同理，正方体每条棱的中点到点的距离都等于， 所以在正方体棱上使得的点有12个. ……… 14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数的定义域为，且. ……………… 1分22e (1)e e ()(1)(1)x x x x xf x x x +-'==++. ……………… 3分 令，得，当变化时，和的变化情况如下：……………… 4分故的单调减区间为，；单调增区间为．所以当时，函数有极小值. ……………… 5分 （Ⅱ）解：结论：函数存在两个零点.证明过程如下： 由题意，函数，因为 22131()024x x x ++=++>， 所以函数的定义域为. ……………… 6分求导，得22222e (1)e (21)e (1)()(1)(1)x x x x x x x x g x x x x x ++-+-'==++++， ………………7分令，得，，当变化时，和的变化情况如下：故函数的单调减区间为；单调增区间为，． 当时，函数有极大值；当时，函数有极小值. ……………… 9分 因为函数在单调递增，且，所以对于任意，. ……………… 10分 因为函数在单调递减，且，所以对于任意，. ……………… 11分 因为函数在单调递增，且，，所以函数在上仅存在一个，使得函数， ………… 12分故函数存在两个零点（即和）. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：椭圆的长半轴长，左焦点，右焦点， … ……… 2分 由椭圆的定义，得，，所以的周长为1212||||||||4AF AF BF BF a +++== ……………… 5分（Ⅱ）解：因为为直角三角形，所以，或，或， 当时，设直线的方程为，，， ……………… 6分由 221,2(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得 2222(12)4220k x k x k +-+-=， ……………… 7分所以 ，. ……………… 8分 由，得， ……………… 9分 因为，，所以11121212()1F A F B x x x x y y ⋅=++++2121212()1(1)(1)x x x x k x x =++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =++-+++2222222224(1)(1)101212k k k k k k k-=+⨯+-⨯++=++， ……………10分 解得. ……………… 11分当（与相同）时，则点A 在以线段为直径的圆上，也在椭圆W 上，由22221,21,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得，或， ……………… 13分 根据两点间斜率公式，得，综上，直线的斜率，或时，为直角三角形. ……………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：，，. ……………… 3分 （Ⅱ）解：因为为等比数列，，，所以， ……………… 4分 因为使得成立的的最大值为， 所以，，，， ，， ……………… 6分所以12350243b b b b ++++=. ……………… 8分（Ⅲ）解：由题意，得1231n a a a a =<<<<<，结合条件，得. ……………… 9分 又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，所以，. ……………… 10分 设，则.假设，即， 则当时，；当时，. 所以，.因为为等差数列， 所以公差， 所以，其中. 这与矛盾，所以. ……………… 11分 又因为123n a a a a <<<<<，所以，由为等差数列，得，其中. ……………… 12分 因为使得成立的的最大值为， 所以，由，得. ……………… 13分.。

北京市朝阳区2019-2020学年高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】B 【解析】 【分析】可判断函数()f x 在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>，所以c b a <<.【详解】12()111e e x x xf x e -==-++Q 在R 上单调递增，且0.30.30.3210.20log 2>>>>， 所以c b a <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力.2．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =L 是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．6【答案】B 【解析】 【分析】先找到与平面11A C B 平行的平面，利用面面平行的定义即可得到. 【详解】共有22623321C C C ++=， 故选：B. 【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.3．如图所示，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||2||BF AF =，则双曲线C 的离心率是（ ）.A ．33B ．72C 3D 7【答案】C 【解析】 【分析】易得||2AF a =，||4BF a =，又1()2FO FB FA =+u u u r u u u r u u u r，平方计算即可得到答案.【详解】设双曲线C 的左焦点为E ，易得AEBF 为平行四边形， 所以||||||||2BF AF BF BE a -=-=，又||2||BF AF =，故||2AF a =，||4BF a =，1()2FO FB FA =+u u u r u u u r u u u r，所以2221(41624)4c a a a a =+-⨯，即223c a =，故离心率为3e =故选：C. 【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，是一道中档题.4．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断： ①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离； ②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D 【解析】 【分析】对于①，利用抛物线的定义，利用12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=可判断； 对于②，设直线DE 的方程为2x my =+，与抛物线联立，用坐标表示直线OB 与直线OE 的斜率乘积，即可判断；对于③，将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，利用韦达定理可得242||164832BE m m =++，再由222||||2BE r MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可用m 表示2r ，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，可得a ，即可判断. 【详解】如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ， 显然B ，E ，F 三点不共线， 则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以①正确． 由题意可设直线DE 的方程为2x my =+， 代入抛物线C 的方程，有2480y my --=． 设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则124y y m +=，128y y =-．则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以②正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-．根据抛物线的对称性可知，A ，E 两点关于x 轴对称，所以过点A ，B ，E 的圆的圆心N 在x 轴上．由上，有124y y m +=，21244x x m +=+，则()()2224212121212||44164832BE x x x x y y y y m m =+-++-=++．所以，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，所以224a m =+．于是，222222421212||||244128222BE x x y y r MN m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入21244x x m +=+，124y y m +=，得24241612r m m =++，所以()()22224224416124a r m mm -=+-++=．所以③正确． 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.5．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（ ） A ．0.2 B ．0.3C ．0.7D ．0.8【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可得出()()02P X P X <=>，进而可得出结果. 【详解】()1,4X N Q :，所以，()()020.3P X P X <=>=.故选：B. 【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.6．已知函数2,()5,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是A ．(0,1)[5,)+∞UB ．6(0,)[5,)5+∞U C ．(1,5] D ．6(,5]5【答案】A 【解析】 【分析】分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果. 【详解】作出2y x x =-和5y x =-，4y x =的图像如下所示：函数()()4g x f x x =-有三个零点， 等价于()y f x =与4y x =有三个交点， 又因为0a >，且由图可知，当0x ≤时()y f x =与4y x =有两个交点,A O ， 故只需当0x >时，()y f x =与4y x =有一个交点即可. 若当0x >时，()0,1a ∈时，显然y =y (y )与y =4|y |有一个交点y ，故满足题意； 1a =时，显然y =y (y )与y =4|y |没有交点，故不满足题意；()1,5a ∈时，显然y =y (y )与y =4|y |也没有交点，故不满足题意； [)5,a ∈+∞时，显然()y f x =与4y x =有一个交点C ，故满足题意.综上所述，要满足题意，只需a ∈(0,1)[5,)+∞U .本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题.7．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．0,3⎛ ⎝⎭C ．0,5⎛ ⎝⎭D ．0,6⎛ ⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--， 当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点， 则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，()0f x ≤Q ，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.8．已知()3,0A -，)3,0B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =u u u r u u u r，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．2x ≥【答案】A 【解析】 【分析】由题意得2MB MA BQ OP -==，即可得点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线，根据双曲线的性质即可得解. 【详解】如图，连接OP ，AM ，由题意得22MB MA BQ OP -===，∴点M 的轨迹为以A ，B 为左、右焦点，1a =的双曲线， ∴1x ≥.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.9．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】X 可以是{}{}{}{}5,1,5,3,5,1,3,5共4个，选D.10．已知点2F 为双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的右焦点，直线y kx =与双曲线交于A ，B 两点，若223AF B π∠=，则2AF B V 的面积为（ ） A ．2B ．3C ．42D ．43【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，设1122,AF r AF r ==，得222121242cos3c r r r r π=+-，求出12r r 的值，即得解.【详解】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ， 由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形， 所以122AF F AF B S S =V V ，123F AF π∠=.π又122r r a -=.故212416rr b ==， 所以12121sin 4323AF F S r r π==V . 故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 【答案】D 【解析】 【分析】A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI 一篮子商品中，还是在食品中即可.D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%. 【详解】A. CPI 一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.D. 猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%，故错误. 故选：D 【点睛】12．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．()722+πB ．()1022+πC ．()1042+πD ．()1142+π【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥, 几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯⨯=+， 故选：C 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年北京朝阳区高三二模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分）1、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第1题5分已知集合A={x|x>1}，B={x|x(x−2)<0}，则A∪B=（）．A. {x|x>0}B. {x|1<x<2}C. {x|1⩽x<2}D. {x|x>0且x≠1}2、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第2题5分复数i(1+i)的虚部为（）．A. −1B. 0C. 1D. √23、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第3题5分已知a=log3e，b=ln⁡3，c=log32，则a，b，c的大小关系是（）．A. c>a>bB. c>b>aC. a>b>cD. b>a>c4、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第4题5分2019年北京朝阳区高三二模理科第3题5分在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算．根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示，执行该程序框图，输出s的值为（）．A. 4B. 83C. 5215D. 3041055、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第5题5分2021年辽宁大连金州区大连市一零三中学高三一模第5题5分已知平面向量a→，b→的夹角为2π3，且|a→|=1，|b→|=2，则|a→+b→|=（）．A. 3B. √3C. 7D. √76、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第6题5分2019年北京朝阳区高三二模理科第5题5分已知等差数列{a n}的首项为a1，公差d≠0．则“a1，a3，a9成等比数列”是“a1=d”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第7题5分已知函数f(x)={2x,x⩾a−x,x<a，若函数f(x)存在零点，则实数a的取值范围是（）．A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,1)D. (1,+∞)8、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第8题5分2019年北京朝阳区高三二模理科第7题5分2018~2019学年北京海淀区北京市十一学校高二下学期期末（IIAS）第9题5分2019~2020学年3月北京大兴区大兴区第一中学高三下学期周测D卷第9题4分在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为线段CD和A1B1上的动点，且满足CE=A1F，则四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）．A. 有最小值32B. 有最大值52C. 为定值3D. 为定值2二、填空题（本大题共6题，每小题5分，共计30分）9、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第9题5分2019~2020学年7月陕西西安雁塔区唐南中学高三下学期月考文科（十七模）第14题5分函数f(x)=2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x的最小正周期为．10、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第10题5分2019~2020学年12月山东菏泽牡丹区山东省菏泽第一中学高三上学期月考第13题5分已知点M(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，则p=；点M到抛物线C的焦点距离是．11、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第11题5分2018~2019学年海南海口琼山区海南中学高一下学期期末第14题5分圆C:x2+(y−1)2=1上的点P到直线l:x−2y−3=0的距离的最小值是．12、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第12题5分某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第13题5分2019年北京朝阳区高三二模理科第12题5分已知实数x，y满足{x⩾1 y⩾xx+y⩽4，能说明“若z=x+y的最大值是4，则x=1,y=3”为假命题的一组(x,y)值是．14、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第14题5分设全集U={1,2,3,⋯,20}，非空集合A，B满足以下条件：①A∪B=U，A∩B=∅；②若x∈A，y∈B，则x+y∉A且xy∉B．当7∈A，1B（填∈或∉），此时B中元素个数为．三、解答题（本大题共6题，共计80分）15、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第15题13分2020年陕西高三二模文科第17题12分在等差数列{a n}中，已知a1+a3=12，a2+a4=18，n∈N∗．(1) 求数列{a n}的通项公式．(2) 求a3+a6+a9+⋯+a3n．16、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第16题13分2019~2020学年12月黑龙江哈尔滨宾县宾县第一中学高三上学期月考文科第17题10分2019~2020学年广东深圳南山区深圳市第二高级中学高二上学期段考（一）第17题10分2019~2020学年北京西城区北京市第十三中学高三上学期期中第18题12分如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=90°．已知AD=√3，BD=√6．(1) 求sin⁡∠ABD的值．(2) 若CD=2，且CD>BC，求BC的长．17、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第17题13分某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播，比赛现场由5名专家组成评委给每位参赛选手评分，场外观众也可以通过网络给每位参赛选手评分，每位选手的最终得分需要综合考虑专家评分和观众评分，某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表．另有约数万名场外观众参与评分，将观众评分按照[7,8)，[8,9)，[9,10)分组，绘成频率分布直方图．(1) 求a的值并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率．(2) 从现场专家中随机抽取2人，求其中评分高于9分的至少有1人的概率．(3) 考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：计算所有专家与观众评分的平均数x作为该选手的最终得分．作为该选手的最终得分．方案二：分别计算专家评分的平均数x1，和观众评分的平均数x2，用x1+x22请直接写出x与x1+x2的大小关系．218、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第18题13分如图1，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠BAD=90°，AB=4，AD=2，DC=3，点E在CD 上，且DE=2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE（如图2），G为AE中点．(1) 求证：DG⊥平面ABCE．(2) 求四棱锥D−ABCE的体积．(3) 在线段BD上是否存在点P，使得CP//平面ADE？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由．19、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第19题14分2020年湖北高三二模理科第19题12分2019~2020学年3月北京大兴区大兴区第一中学高三下学期周测D卷第20题14分2019年北京朝阳区高三二模理科第19题14分已知椭圆C：x 2a2+y2=1(a>1)的离心率为√63．(1) 求椭圆C的方程．(2) 设直线l过点M(1,0)且与椭圆C相交于A，B两点．过点A作直线x=3的垂线，垂足为D．证明：直线BD过x轴上的定点．20、【来源】 2019年北京朝阳区高三二模文科第20题14分2019~2020学年福建福州闽侯县福建省福州第一中学高三上学期期末文科第21题12分已知函数f(x)=(m+1)x+ln⁡x(m∈R)．(1) 当m=1时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程．(2) 求函数f(x)的单调区间．(3) 若函数g(x)=12x2+1x−f(x)在区间(1,2)内有且只有一个极值点，求m的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 C;3 、【答案】 D;4 、【答案】 C;5 、【答案】 B;6 、【答案】 C;7 、【答案】 B;8 、【答案】 D;9 、【答案】π;10 、【答案】2;2;11 、【答案】√5−1;;12 、【答案】9+π213 、【答案】(2,2)（答案不唯一）;14 、【答案】∈;18;15 、【答案】 (1) a n=3n,n∈N∗.;(n2+n).(2) a3+a6+a9+⋯+a3n=92;16 、【答案】 (1) √6．4;(2) BC=1．;17 、【答案】 (1) 1．2;(2) 910.;(3) x<x1+x22．;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 53√2．;(3) 存在，BPBD =34．;19 、【答案】 (1) x23+y2=1.;(2) 证明见解析．;20 、【答案】 (1) 3x−y−1=0．;(2) 当m⩾−1时，f(x)的单调增区间为(0,+∞)，无单调减区间；当m<−1时，f(x)的单调增区间为(0,−1m+1)，单调减区间为(−1m+1,+∞)．;(3) −2<m<14．;。

北京市朝阳区2019届高三数学第二次（5月）综合练习（二模）试题 文（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，则A B =( )A. {|0}x x >B. {|12}x x <<C. {|12}x x ≤<D. {|0x x >且1}x ≠【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解法得B={x|0＜x ＜2}，然后根据并集的定义“由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合叫做并集”进行求解即可． 【详解】根据不等式的解法，易得B={x|0＜x ＜2}， 又有A={x|x ＞1}，则A ∪B={x|x ＞0}． 故选：A ．【点睛】本题考查并集的运算，注意结合数轴来求解，属于容易题．2.复数(1)i i +的虚部为（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 【答案】C 【解析】 【分析】将复数化简成a+bi 的形式，从而可得到复数的虚部.【详解】i(1+i)=i 11+i －＝－， 所以复数的虚部为1，故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的乘法运算，考查复数的有关概念，属于简单题.3.已知3log a e =，ln3b =，3log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. c a b >> B. c b a >> C. a b c >> D. b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性比较大小即可.【详解】32.7182o 8l g e x y ⋯＝，＝是增函数， 所以33log e >log 2，即a c ＞，33log e <log 31a ==， ln 3log 3log 1e e b e ==>=，所以b a c ＞＞, 故选：D 【点睛】解决大小关系问题，一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间(,0),(0,1),(1,)-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答.4.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算．根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如图所示．执行该程序框图，输出s 的值为（ ）A. 4B. 83C.5215D.304105【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图进行模拟运算即可． 【详解】第一次，4,1,3s k k ==≥否，第二次，484,2,333s k k =-==≥否， 第三次，8452,3,33515s k k =+==≥是， 程序终止，输出s=5215，故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．比较基础．5.已知平面向量,a b 的夹角为23π，且1,2a b ==，则a b +=（ ）A. 3 C. 7【答案】B 【解析】【分析】将a b +平方,利用向量的数量积公式计算可得答案. 【详解】22221||||||2||||cos14212332a b a b a b π⎛⎫+=++=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,所以a b +=故选:B.【点睛】本题考查向量的数量积公式的应用，考查向量的模的求法，属于简单题.6.已知等差数列{}n a 首项为1a ，公差0d ≠. 则“139,,a a a 成等比数列” 是“1a d =”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设数列{}n a 的公差为d ，从充分性与必要性的角度分析“139,,a a a 成等比数列”和“1a d =”的关系，综合即可得答案． 【详解】根据题意，设数列{}n a 的公差为d ，若139,,a a a 成等比数列，则2319a a a =，即（a 1+2d ）2=a 1•（a 1+8d ），变形可得：a 1=d ，则“139,,a a a 成等比数列”是“a 1=d”的充分条件；若a 1=d ，则a 3=a 1+2d=3d ，a 9=a 1+8d=9d ，则有2319a a a =，则“139,,a a a 成等比数列”是“a 1=d”的必要条件；综合可得：“139,,a a a 成等比数列”是“1a d =”充要条件； 故选：C ．【点睛】本题考查等差、等比数列的定义以及判断，涉及充分必要的定义与判断，属于基础题．7.已知函数2,(),x x af x x x a⎧≥=⎨-<⎩若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),0-∞B. ()0,∞+C. (),1-∞D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】分析函数f(x)解析式可知函数存在唯一零点x=0,则只需()0,a ∈-∞，从而得到a 的范围. 【详解】指数函数20xy =>，没有零点，y x =-有唯一的零点0x ＝，所以若函数()f x 存在零点，须()()f x x x a =-<有零点，即()0,a ∈-∞， 则0a >， 故选：B.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.8.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）A. 有最小值32B. 有最大值52C. 为定值3D. 为定值2【答案】D【解析】【分析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．【详解】依题意，设四边形D 1FBE 的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D 1FBE 在上面，后面，左面的投影分别如上图． 所以在后面的投影的面积为S 后=1×1=1， 在上面的投影面积S 上=D'E'×1=DE×1=DE， 在左面的投影面积S 左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四边形D 1FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S 后+S 上+S 左=1+DE+CE=1+CD=2． 故选：D ．【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.函数()2sin cos cos2f x x x x =+的最小正周期为______. 【答案】π 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将函数f(x)进行化简，然后由正弦函数的周期公式可得答案.【详解】函数()sin 2cos 2222224f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭,所以，最小正周期22T ππ==， 故答案为：π【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式的应用，考查正弦函数周期的求法，属于简单题.10.已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则p =______；点M 到抛物线C 的焦点的距离是______.【答案】 (1). 2 (2). 2 【解析】 【分析】将点M 坐标代入抛物线方程可得p 值，然后由抛物线的定义可得答案. 【详解】点(1,2)M 代入抛物线方程得：2221p =⨯，解得：2p ＝；抛物线方程为：24y x =，准线方程为：1x ＝-， 点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离：112--=（） 故答案为：2,2【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题.11.圆22:(1)1C x y +-=上的点P 到直线:230l x y --=的距离的最小值是______.1 【解析】 【分析】求圆心到直线的距离，用距离减去半径即可最小值. 【详解】圆C 的圆心为C(0,1)，半径为1R ＝，圆心C 到直线的距离为：d ==11【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离的最值，若圆心距为d ，圆的半径为r 且圆与直线相离，则圆上的点到直线距离的最大值为d+r ，最小值为d-r.12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.【答案】92π+【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体由上部四棱柱、下部圆柱组成的组合体,由柱体体积公式计算可得答案.【详解】由三视图可知，该几何体由上部四棱柱、下部圆柱组成的组合体，四棱柱的底面为边长为3的正方形，高为1，故体积为：13319V ⨯⨯＝＝， 圆柱的底面圆直径为1，高为2，故体积为：221V 222ππ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭， 所求体积为12V 92V π+=+，故答案为：92π+【点睛】本题以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后结合相应的公式求解．13.实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“若z x y =+的最大值是4，则1,3x y ==”为假命题的一组(,)x y 值是_________. 【答案】()2,2（答案不唯一） 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，目标函数取得最大值的直线，然后求解即可．【详解】实数x ，y 满足1 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，的可行域以及x+y=4的直线方程如图：能说明“若z=x+y 的最大值为4，则x=1，y=3”为假命题的一组（x ，y ）值是（2，2）． 故答案为：（2，2）．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键．14.设全集{1,2,3,,20}U =，非空集合A ，B 满足以下条件：①A B U ⋃=，A B ⋂=∅；②若x A ∈，y B ∈，则x y A +∉且xy B ∉当7A ∈时，1______B （填R ∆或∉），此时B 中元素个数为______.【答案】 (1). R ∆ (2). 18 【解析】 【分析】先假设1∈A ，推出与条件矛盾，得1∈B ，然后根据条件以及进行讨论求解即可． 【详解】（1）因为A B U ⋃=，A B ⋂=∅；所以，11A B ∈∈，有且只有一个成立， 若1A ∈，对于任一个x B ∈， 1·x x B =∈，与若x A ∈，y B ∈，则xy B ∉矛盾， 所以，1A ∈不成立，只有1B ∈； （2）因为7,1B A ∈∈， 所以，718B,717A +=∈⨯=∈，若6A ∈，则617B +=∈与7A ∈矛盾，所以，6B ∈， 由7A,6B ∈∈，可得：7613B +=∈， 同理71320B +=∈，若2A ∈，因为8B ∈，所以，2810B,21020A +=∈⨯=∈，与20B ∈矛盾，所以，2∈B ， 因为2∈B ，所以，729B,7816B,2714A +=∈+=∈⨯=∈，7A,10B ∈∈，可推得：3B,71017B ∈+=∈，若4A ∈，由3B ∈，可得：437B +=∈，与7A ∈矛盾，所以，4B ∈， 所以，7411B,71118B +=∈+=∈，若5A ∈，由2∈B ，可得：527B +=∈，与7A ∈矛盾，所以，5B ∈， 所以，7512B,71219B +=∈+=∈， 所以，A {7,14}=，B {1,2,8,4,5,6,,8,,19,20}=，共有18个。

北京市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|0≤x≤1}2．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=B．y= C．y=log0.5x D．y=e x3．过圆C：x2+（y﹣1）2=4的圆心，且与直线l：3x+2y+1=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=0 C．2x+3y+3=0 D．2x+3y﹣3=04．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为DC上一点，且=3，则•（）A．20 B．16 C．15 D．126．设a∈R，“cos2α=0”是“sinα=cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=（）x﹣1．则不等式f（x）﹣x2≥0的解集是（）A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．小王的手机使用的是每月300M流量套餐，如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是（）A．1日﹣10日这10天的平均流量小于9.0M/日B．11日﹣30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M，这个月总流量就不会超过套餐流量C．从1日﹣10日这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日，4日，5日这三天的流量的方差最大D．从1日﹣10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日，9日，10日这三天的流量的方差最小二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．复数的虚部为______．10．在△ABC中，已知AB=2，BC=5，cosB=，则△ABC的面积是______．11．若x，y满足，则z=2x+y的最大值为______．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，则抛物线C的方程为______；若某双曲线的一个焦点与抛物线C的焦点重合，且渐近线方程为y=±x，则此双曲线的方程为______．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是______．14．为了促进公民通过“走步”健身，中国平安公司推出的“平安好医生”软件，最近开展了“步步夺金”活动．活动规则：①使用平安好医生APP计步器，每天走路前1000步奖励0.3元红包，之后每2000步奖励0.1元红包，每天最高奖励不超过3元红包．②活动期间，连续3天领钱成功，从第4天起走路奖金翻1倍（乘以2），每天最高奖励不超过6元红包．某人连续使用此软件五天，并且每天领钱成功．这五天他走的步数统计如下：三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．16．在等比数列{a n}中，a1=1，a4=8（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，求|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|（n ∈N*）．17．2015年秋季开始，本市初一学生开始进行开放性科学实践活动，学生可以在全市范围内进行自主选课类型活动，选课数目、选课课程不限．为了了解学生的选课情况，某区有关部门随机抽取本区600名初一学生，统计了他们对于五类课程的选课情况，用“+”表示选，“﹣”表示不选．结果如表所示：（2）估计学生在五项课程中，选了三项课程的概率；（3）如果这个区的某学生已经选了课程二，那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大？18．如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=2，M是PC的中点，点G为线段DM上一点（端点除外），平面APG与BD交于点H．（Ⅰ）求证：PA∥GH；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDM；（Ⅲ）求几何体M﹣BDC的体积．19．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），g（x）=lnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．20．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP；（Ⅲ）设△ABC的面积与△APC的面积之比为q，求q的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】根据集合交集的概念求解即可．【解答】解：∵B={x||x|≤1}={x|﹣1≤x≤1}，∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选A．2．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=B．y=C．y=log0.5x D．y=e x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的性质判断选项中函数的单调性即可．【解答】解：对于A，y=是定义域[0，+∞）上的增函数，不满足题意；对于B，y=在（﹣∞，1）和（1，+∞）上是单调减函数，不满足题意；对于C，y=log0.5x在（0，+∞）是单调减函数，满足题意；对于D，y=e x在（﹣∞，+∞）是单调增函数，不满足题意．故选：C．3．过圆C：x2+（y﹣1）2=4的圆心，且与直线l：3x+2y+1=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=0 C．2x+3y+3=0 D．2x+3y﹣3=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的标准方程．【分析】算出直线3x+2y+1=0的斜率k=﹣，结合题意可得所求垂线的斜率为k'=．求出已知圆的圆心C的坐标，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到经过已知圆心与直线3x+2y+1=0垂直的方程．【解答】解：圆x2+（y﹣1）2=4，∴圆心的坐标为C（0，1），∵直线3x+2y+1=0的斜率k=﹣，∴与直线3x+2y+1=0垂直的直线的斜率为k'=．因此，经过圆心C且与直线3x+2y+1=0垂直的直线方程是y﹣1=x，整理得2x﹣3y+3=0．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】首先分析程序框图，循环体为“当型“循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的S．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1满足条件i＜4，执行循环体，S=2，i=2满足条件i＜4，执行循环体，S=6，i=3满足条件i＜4，执行循环体，S=14，i=4不满足条件i＜4，S=4，输出S的值为4．故选：B．5．如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为DC上一点，且=3，则•（）A．20 B．16 C．15 D．12【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意把用表示，代入•，展开后由向量的数量积运算得答案．【解答】解：∵ABCD为边长是4正方形，∴，∵=3，∴，∴，则•==．故选：D．6．设a∈R，“cos2α=0”是“sinα=cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=0，即cosα﹣sinα=0或c osα+sinα=0，即cosα=sinα或cosα=﹣sinα，∴“cos2α=0”是“sinα=cosα”的必要不充分条件，故选：B．7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=（）x﹣1．则不等式f（x）﹣x2≥0的解集是（）A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】设g（x）=f（x）﹣x2，由题意可得g（x）是定义在R上的偶函数，求出x≥0，不等式f（x）﹣x2≥0等价于（）x﹣1≥x2，可得0≤x≤1，即可解不等式．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣x2，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴g（x）是定义在R上的偶函数，∴x≥0，不等式f（x）﹣x2≥0等价于（）x﹣1≥x2，∴0≤x≤1∴不等式f（x）﹣x2≥0的解集为[﹣1，1]．故选：B．8．小王的手机使用的是每月300M流量套餐，如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是（）A．1日﹣10日这10天的平均流量小于9.0M/日B．11日﹣30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M，这个月总流量就不会超过套餐流量C．从1日﹣10日这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日，4日，5日这三天的流量的方差最大D．从1日﹣10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日，9日，10日这三天的流量的方差最小【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】求出平均数判断A，求出估计的总流量判断B，通过图象判断C、D．【解答】解：对应A：（6.2+12.4+14+11.6+4.8+6.2+5.5+9.5+10+11.2）=9.14，故A错误；对于B：11×20+91.4=311.4＞300，这个月总流量就超过套餐流量，故B错误；对于C、D，结合图象C正确，D错误；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．复数的虚部为 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】对所给的复数分子和分母同乘以1+i，再由i 的幂运算性质进行化简即可．【解答】解：∵==i，∴它的虚部是1，故答案为：1．10．在△ABC中，已知AB=2，BC=5，cosB=，则△ABC的面积是3．【考点】正弦定理．【分析】根据同角的三角公式求得sinB，再由三角形面积公式可求得结果．【解答】解：cosB=，sinB==，△ABC的面积S=AB•BC•sinB=×2×5×=3．故答案为：3．11．若x，y满足，则z=2x+y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出平面区域，利用目标函数的几何意义求z的最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：当直线y=﹣2x+z经过C时z最大，并且C（2，3），所以z的最大值为2×2+3=7；故答案为：712．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，则抛物线C的方程为y2=8x ；若某双曲线的一个焦点与抛物线C的焦点重合，且渐近线方程为y=±x，则此双曲线的方程为=1 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，求出p，可得抛物线的方程，确定抛物线的性质，利用双曲线的性质，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，∴p=4，∴抛物线C的方程为y2=8x；抛物线的焦点坐标为（2，0），∴c=2，∵渐近线方程为y=±x，∴=，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为=1．故答案为：y2=8x；=1．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是放倒一个直三棱柱，由三视图求出几三棱柱底面边长、高，由三棱柱的结构特征和面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个直三棱柱、底面在左右，由侧视图知，底面是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是2，则斜边是2，由正视图知，三棱柱的高是3，∴该几何体的表面积S==，故答案为：．14．为了促进公民通过“走步”健身，中国平安公司推出的“平安好医生”软件，最近开展了“步步夺金”活动．活动规则：①使用平安好医生APP计步器，每天走路前1000步奖励0.3元红包，之后每2000步奖励0.1元红包，每天最高奖励不超过3元红包．②活动期间，连续3天领钱成功，从第4天起走路奖金翻1倍（乘以2），每天最高奖励不超过6元红包．某人连续使用此软件五天，并且每天领钱成功．这五天他走的步数统计如下：为 1.0 元，为8.0 元．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据题意得到第1、2、3天的奖励红包都是0.3+×0.1；第4、5天的奖励红包都是2（0.3+×0.1）．【解答】解：因为每2000步奖励0.1元红包，所以依（x﹣1000）是2000的整数倍，依题意得：第1天红包奖励：0.3+×0.1=0.9（元）．第2天红包奖励：0.3+×0.1=1.0（元）．第3天红包奖励：0.3+×0.1=1.1（元）．第4天红包奖励：2×（0.3+×0.1）=2.4（元）．第5天红包奖励：2×（0.3+×0.1）=2.6（元）．所以这5天的红包奖励为：0.9+1.0+1.1+2.4+2.6=8.0（元）．故答案是：1.1；8.0．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．【考点】正弦函数的图象．【分析】（I）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+），再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的最值．【解答】解：（I）根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得=﹣，求得ω=2，∴最小正周期T==π．再根据五点法作图可得2•+φ=π，求得φ=．（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+），在区间[﹣，]上，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，当2x+=﹣时，即x=﹣，函数f（x）取得最小值为﹣．当2x+=时，即x=，函数f（x）取得最大值为1．16．在等比数列{a n}中，a1=1，a4=8（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，求|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|（n ∈N*）．【考点】等比数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q．由a1=1，a4=8，求出q=2，问题得以解决；（II）先等差数列{b n}的通项公式b n=b1+（n﹣1）d=﹣26+6（n﹣1）=6n﹣32，可得当n≤5时b n≤0且当n≥6时b n≥0．因此分两种情况讨论，并利用等差数列的求和公式加以计算，可得|b1|+|b2|+…+|b n|的表达式．【解答】解：（I）设等比数列的公比为q．由a1=1，a4=8所以a4=a1q3=8所以q=2所以等比数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1，n∈N*．（II）因为a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，所以b6=a3=4，b8=a5=16，设等差数列{b n}的公差为d解得，b1=﹣26，d=6，所以等差数列{b n}的通项公式b n=b1+（n﹣1）d=﹣26+6（n﹣1）=6n﹣32因为当6n﹣32≤0时，n≤5．（1）当n≤5时，可得|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=﹣（b1+b2+…+b n）=﹣3n2+29，（2）当n≥6时，|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=﹣（b1+b2+…+b5）+b6+b7+…+b n=70+（3n2﹣29n+70）=3n2﹣29n+140；综上所述：|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=17．2015年秋季开始，本市初一学生开始进行开放性科学实践活动，学生可以在全市范围内进行自主选课类型活动，选课数目、选课课程不限．为了了解学生的选课情况，某区有关部门随机抽取本区600名初一学生，统计了他们对于五类课程的选课情况，用“+”表示选，“﹣”表示不选．结果如表所示：（2）估计学生在五项课程中，选了三项课程的概率；（3）如果这个区的某学生已经选了课程二，那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大？【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）根据图表求得既选课程三，又选了课程四的人数，与总人数的比值；（2）观察图表查出选3项课程的总人数，与600的比值；（3）分别求得选课程一、三和四的概率，进行比较，选出最大的概率．【解答】解：（1）学生既选了课程三，又选了课程四的概率为：=，（2）学生在五项课程中，选了三项课程的概率为：=，（3）某学生已经选了课程二，再选课程一的概率为：=；再选课程三的概率为：=；再选课程四的概率为：=；所以，某学生已经选了课程二，那么该学生选择课程四的可能性最大．18．如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=2，M是PC的中点，点G为线段DM上一点（端点除外），平面APG与BD交于点H．（Ⅰ）求证：PA∥GH；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDM；（Ⅲ）求几何体M﹣BDC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）连接MO，则MO∥PA，于是PA∥平面BDM，根据面面平行的性质得出PA∥GH；（II）计算DO，MO，DM，根据勾股定理的逆定理得出DO⊥MO，又DO⊥AC，得出DO⊥平面PAC，于是平面PAC⊥平面BDM；（III）由勾股定理的逆定理得出PA⊥PC，于是MO⊥PC，利用平面PAC⊥平面BDM的性质得出CM⊥平面BDM，于是V M﹣BDC=V C﹣BDM=【解答】（I）证明：连接MO．∵四边形ABCD是菱形，∴O为AC的中点，∵点M为PC的中点，∴MO∥PA．又MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA∥平面BDM．又∵平面APG∩平面平面BDM=GH，PA⊂平面APG，∴PA∥GH．（II）证明：∵△PCD是边长为2的等边三角形，M是PC的中点．∴DM=．∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△ABD是边长为2的等边三角形，∴DO=BD=1，又MO==，∴DO2+MO2=DM2，∴BD⊥MO．∵菱形ABCD中，BD⊥AC，又MO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，MO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．又BD⊂平面BDM，∴平面PAC⊥平面BDM．（III）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，∴AC=2AO=2．在△PAC中，∵PA=2，AC=2，PC=2，∴PA2+PC2=AC2，∴PA⊥PC，∵MO∥PA，∴PC⊥MO，又平面PAC⊥平面BDM，平面PAC∩平面BDM=MO，PC⊂平面PAC，∴PC⊥平面BDM．∴V M﹣BDC=V C﹣BDM====．19．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），g（x）=lnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（I ）令f′（x ）=0求出f （x ）的极值点，得出f （x ）的单调性与单调区间，从而得出f （x ）的极值；（II ）对x 和a 的范围进行讨论得出f （x ），g （x ）在（0，+∞）上的单调性，利用单调性及最值判断f （x ），g （x ）的零点个数，从而得出h （x ）的零点个数． 【解答】解：（ I ）f′（x ）=3ax 2﹣6x=3x （ax ﹣2）． 令f′（x ）=0，得x 1=0，x 2=． ∵a ＞0，x 1＜x 2，f′（x ）及f （x ）符号变化如下， ，） （，∴f （x ）的极大值为f （0）=1，极小值为f （）=﹣+1=﹣+1．（ II ）令g （x ）=lnx=0，得x=1．当0＜x ＜1时，g （x ）＜0；x=1时，g （x ）=0；当x ＞1时，g （x ）＞0． （1）当x ＞1时，g （x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）上无零点． 所以h （x ）=max{f （x ），g （x ）}在（1，+∞）上无零点． （2）当x=1时，g （1）=0， 所以1为g （x ）的一个零点． f （1）=a ﹣2，①当a=2时，1是f （x ）的一个零点．所以当a=2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}有一个零点． ②当0＜a ＜2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}有一个零点． ③当a ＞2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}无零点．（3）当0＜x ＜1时，g （x ）＜0，g （x ）在（0，1）上无零点．所以h （x ）=max{f （x ），g （x ）}在（0，1）上的零点个数就是f （x ）在（0，1）上的零点个数．当a ＞0时，由（ I ）可知f （x ）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，且f （0）=1，f （1）=a ﹣2，f （）=﹣+1=．①当，即0＜a＜2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a﹣2＜0，f（0）=1＞0．所以f（x）在（0，1）上有1个零点，即h（x）有1个零点．②当，即a=2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a﹣2=0，所以f（x）在（0，1）上无零点，即h（x）无零点．③当，即a＞2时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，1）上为增函数，f（）=﹣+1=＞0，所以f（x）在（0，1）上无零点．即h（x）无零点．综上，当0＜a＜2时，h（x）有2个零点，当a=2时，h（x）有1个零点，当a＞2时，h（x）无零点．20．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP；（Ⅲ）设△ABC的面积与△APC的面积之比为q，求q的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意知c=1，b=，求得a=2，进而得到椭圆方程和离心率；（II）设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），将A，P代入椭圆方程．两式相减，由点B，C，P三点共线，可得直线PB，BC的斜率相等，化简整理求得k AB•k PA=﹣1，即可得证；或求得k PA•k PB=﹣，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．（III）方法一、设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP，BP方程解得x1，将k=代入得x1，q===3+（﹣1），运用y0的范围，即可得到所求范围；方法二、设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP，BP方程解得x1，将=k代入x1，可得q===3+，由k的范围，即可得到所求范围．【解答】解：（I）由题意知c=1，b=，则a2=b2+c2=4，所以椭圆M的方程为+=1，椭圆M的离心率为e==；（II）证明：设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），由点A，P在椭圆上，所以+=1①，+=1②点A不是椭圆M的顶点，②﹣①可得=﹣，法一：又k PB=，k BC==，且点B，C，P三点共线，所以=，即=，所以k AB•k PA=•=•==•（﹣）=﹣1．即AB⊥AP．法二：由已知AB，AP的斜率都存在，k PA•k PB=•==﹣，又k PB=k BC=，可得k PA=﹣，则k AB•k PA=•（﹣）=﹣1，即AB⊥AP．（III）法一：设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP与BP方程，解得x1=，将k=代入得x1==．q=====3+（﹣1），因为y02∈（0，3），所以q∈（3，+∞）．法二：设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP与BP方程：，解得x1===x0（1+），q====3+，因为k2∈（0，+∞），所以q∈（3，+∞）．。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类） 第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|320A x x x =-+<，{}|1B x x =≥，则A B =U （ ） A ．(2]-∞， B ．(1)+∞， C ．(12)， D ．[1)+∞， 2.计算2(1)i -=（ ）A ．2iB ．2i -C ．2i -D ．2i +3.已知x ，y 满足不等式220101x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪⎩，，≤≥≤则3z y x =-的最小值是（ ）A ．1B ．3-C ．1-D ． 72-4.在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（ ）A ．62+ B ．62- C.6 D ．25.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6.如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．sin()αβ-B ．sin()αβ+ C.cos()αβ- D ．cos()αβ+7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0)+∞，上单调递减，且0a b +>，0b c +>，，0a c +>，则()()()f a f b f c ++的值（ ）A ．恒为正B ．恒为负 C.恒为0 D ．无法确定8.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（ ）A ．4B ．5 C.6 D ．7第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9.执行如图所示的程序框图，则输出的S = .10.双曲线22143x y -=的焦点坐标是 ；渐近线方程是 .11.已知0x >，0y >，且满足4x y +=，则lg lg x y +的最大值为 . 12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .13.在平面直角坐标系xOy 中，点P （不过原点）到x 轴，y 轴的距离之和的2倍等于点P 到原点距离的平方，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是 ．14.如图，已知四面体ABCD 的棱AB ∥平面α，且2AB 1.四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α上方.如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为 ；()S x 的最小正周期为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(1)2π，，a ∈R .（1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若当[0]2x π∈，时，求函数()f x 的最小值.16.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn =+（p ，q ∈R ，*n ∈N ）且13a =，424S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 17. 年份 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 侧柏 3200 3600 3300 3900 3500 3300 3900 3600 4100 4000 银杏3400330036003600370042004400370042004200（2）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数列比银杏数量多的概率.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD .PBC △是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，AB DC ∥，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =（1）求证：AB ∥平面PDC ；（2）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积；（3）请在图中所给的五个点P ，A ，B ，C ，D 中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线BC 垂直，并给出证明.19. 已知椭圆W ：22221x y a b+=（0a b >>3，其左顶点A 在圆O ：224x y +=上（O 为坐标原点）.（1）求椭圆W 的方程；（2）过点A 作直线AQ 交椭圆W 于另外一点Q ，交y 轴于点R ，P 为椭圆W 上一点，且OP AQ ∥，求证：2AQ AR OP⋅为定值.20. 已知函数()x f x xe =，()1g x ax =+，a ∈R .（1）若曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线与直线()y g x =垂直，求a 的值； （2）若方程()()0f x g x -=在(22)-，上恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围；（3）若对任意1[22]x ∈-，，总存在唯一的2(2)x ∈-∞，，使得21()()f x g x =，求a 的取值范围.。

高三数学试卷 第1页（共14页）北京市朝阳区高三年级高考练习二数 学 2020.6（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）函数()ln 1=-f x xx 的定义域为 (A ) (0,)+∞ (B ) (0,1)(1,)+∞U (C ) [0,)+∞ (D ) [0,1)(1,)+∞U （3）若a ，b ，∈c R 且a b c >>，则下列不等式一定成立的是（A ）22ac bc > （B ）222a b c >> （C ）2a c b +> （D ）->-a c b c （4）圆心在直线0-=x y 上且与y 轴相切于点(0,1)的圆的方程是（A ）22(1)(1)1-+-=x y （B ）22(1)(1)1+++=x y （C ）22(1)(1)2-+-=x y（D ）22(1)(1)2+++=x y（5）直线l 过抛物线22=y x 的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ．若123+=x x ，则弦AB 的长是 （A ）4（B ）5 （C ）6 （D ）8（6）设等差数列{}n a 的公差为d ，若2=n an b ，则“0<d ”是“{}n b 为递减数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件高三数学试卷 第2页（共14页）（7）已知函数π()sin(2)6f x x =-，则下列四个结论中正确的是 （A ）函数()f x 的图象关于5π(,0)12中心对称 （B ）函数()f x 的图象关于直线π8x =-对称 （C ）函数()f x 在区间(π,π)-内有4个零点（D ）函数()f x 在区间π[,0]2-上单调递增 （8）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC ）为26.5o ，夏至正午太阳高度角（即∠ADC ）为73.5o ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（A ）sin532sin 47a o o （B ）2sin 47sin53a oo （C ）tan 26.5tan 73.5tan 47a o o o （D ）sin 26.5sin73.5sin 47a o oo（9）在平行四边形ABCD 中，π=3∠A ，=2AB ，1=AD ，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||=u u u u r u u u ru u ur u u u r BM CN BC CD ，则⋅u u u u r u u u r AM AN 的最大值为 （A ）2（B ）4 （C ）5 （D ）6（第8题图）高三数学试卷 第3页（共14页）（10）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m （m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：①()3=f x x ； ②()3=xf x ； ③3()log =f x x ； ④()tan =f x x ．其中，在其定义域上具有性质ψm 的函数的序号是 （A ）①③ （B ） ①④ （C ）②③ （D ） ②④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市朝阳区2019-2020学年高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（ ）A ．6B ．1C ．32D ．32- 【答案】A【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解.【详解】 ()4,2a →=Q ，(),3b x →=，//a b →→， 432x ∴⨯=，即6x =，故选：A【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.2．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 【答案】A【解析】【分析】【详解】 由()f x 的最小正周期是π，得2ω=， 即()sin(2)4f x x π=+ cos 224x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ cos 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos 2()8x π=-， 因此它的图象向左平移8π个单位可得到()cos2g x x =的图象．故选A ． 考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．【名师点睛】三角函数图象变换方法：3．已知双曲线222:1(0)3-=>y x C a a 的一个焦点与抛物线28x y =的焦点重合，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B 3C ．3D ．4 【答案】A【解析】【分析】根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得234a +=，解可得1a =，由离心率公式计算可得答案．【详解】根据题意，抛物线28x y =的焦点为(0,2)， 则双曲线22213y x a -=的焦点也为(0,2)，即2c =， 则有234a +=，解可得1a =，双曲线的离心率2c e a==. 故选：A ．【点睛】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．4．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)x x x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．(,1]-∞ C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[ln 2,1]【答案】C【解析】【分析】 求导分析函数在ln2x ≥时的单调性、极值，可得ln2x ≥时，()f x 满足题意，再在ln2x <时，求解()2f x e ≤+的x 的范围，综合可得结果.【详解】当ln2x ≥时，()()()'12x f x x e =---， 令()'0f x >，则ln21x <<；()'0f x <，则1x >，∴函数()f x 在()ln2,1单调递增，在()1,+∞单调递减.∴函数()f x 在1x =处取得极大值为()12f e =+，∴ln2x ≥时，()f x 的取值范围为(],2e -∞+，∴ln2m 1≤≤又当ln2x <时，令()322f x x e =-≤+，则12e x -≥，即1x ln22e -≤<， ∴1e 22m ln -≤< 综上所述，m 的取值范围为1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选C.【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.5．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．5(,]2-∞-B ．1(,]2-∞-C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞-【答案】B【解析】【分析】依据线性约束条件画出可行域，目标函数0010x my ++≤恒过()1,0D -，再分别讨论m 的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中()2,6A ，直线10x my ++=过定点()1,0D -，当0m =时，不等式10x +≤表示直线10x +=及其左边的区域，不满足题意；当0m >时，直线10x my ++=的斜率10m-<， 不等式10x my ++≤表示直线10x my ++=下方的区域，不满足题意；当0m <时，直线10x my ++=的斜率10m->， 不等式10x my ++≤表示直线10x my ++=上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，只需直线10x my ++=的斜率12AD k m -≤=，解得12m ≤-. 综上可得实数m 的取值范围为1(,]2-∞-，故选：B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题6．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ）A ．14B ．13C ．532D ．316【答案】A【解析】【分析】首先求出样本空间样本点为5232=个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】样本空间样本点为5232=个，具体分析如下：记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”，有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是224⨯=，但合并计算时会有重复，重复数量为224+=，事件的样本点数为：444228++--=个．故不同的样本点数为8个，81324=. 故选：A【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题7．下列与函数y =定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．14y x = 【答案】C【解析】【分析】分析函数y =的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【详解】函数y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2x y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.B 选项，21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，不符合. C 选项，21log y x =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，14y x =的定义域为[)0,+∞，不符合.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.8．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先根据函数奇偶性排除B ，再根据函数极值排除A ；结合特殊值即可排除D ，即可得解.【详解】函数2()ln(1)x xe ef x x --=+， 则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项； 当x →+∞时，2()ln xe f x x≈→+∞，所以排除A 选项； 当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+，排除D 选项； 综上可知，C 为正确选项，故选：C.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题.9．52mx x ⎫+⎪⎭的展开式中5x 的系数是-10，则实数m =( ) A ．2 B ．1 C ．-1 D ．-2【答案】C【解析】【分析】利用通项公式找到5x 的系数，令其等于-10即可.【详解】 二项式展开式的通项为155********()()r r r r r r r TC x mx m C x ---+==，令55522r -=，得3r =， 则33554510T m C x x ==-，所以33510m C =-，解得1m =-.故选：C【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.10．斜率为1的直线l 与椭圆22x y 14+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )A ．2B ．CD 【答案】C【解析】【分析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y ，根据判别式大于0求得t 的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t 的范围求得|AB|的最大值．【详解】 解：设直线l 的方程为y ＝x+t ，代入24x +y 2＝1，消去y 得54x 2+2tx+t 2﹣1＝0， 由题意得△＝（2t ）2﹣1（t 2﹣1）＞0，即t 2＜1．弦长|AB|＝≤． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．C D ．2【答案】B【解析】【分析】求出圆心，代入渐近线方程，找到a b 、的关系，即可求解.【详解】解：()1,2E -，()2222:10,0x y C a b a b-=>>一条渐近线b y x a =- ()21b a=-⨯-，2a b = ()222222+b ,2,c a c a a e ==+=故选：B【点睛】利用a b 、的关系求双曲线的离心率，是基础题. 12．已知平面向量a b r r ，满足21a b a r r r ＝，＝,与b r 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥r r r r +－，则实数λ的值为（ ） A ．7-B ．3-C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】 由已知可得()()20a b a b λ+-=⋅r r r r ，结合向量数量积的运算律，建立λ方程，求解即可. 【详解】 依题意得22113a b cos π⋅=⨯⨯=-r r 由()()20a b a b λ+-=⋅r r r r ，得()222210a b a b λλ-+-⋅=r r r r 即390λ-+=，解得3λ=.故选:D .【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年北京市朝阳区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.复数所对应的点位于复平面的A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.函数的定义域为A. B. C. D.3.若a，b，且，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D.4.圆心在直线上且与y轴相切于点的圆的方程是A. B.C. D.5.直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，，若，则弦AB的长是A. 4B. 5C. 6D. 86.设等差数列的公差为d，若，则“”是“为递减数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知函数，则下列四个结论中正确的是A. 函数的图象关于中心对称B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在区间内有4个零点D. 函数在区间上单调递增8.圭表如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿称为“表”和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺称为“圭”当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角即为，夏至正午太阳高度角即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离即DB的长为a，则表高即AC的长为A. B.C. D.9.在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的最大值是A. 2B. 3C. 4D. 510.设函数的定义域为D，如果对任意，都存在唯一的，使得为常数成立，那么称函数在D上具有性质现有函数：；；；．其中，在其定义域上具有性质的函数的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知平面向量，，若，则______．12.在的展开式中，常数项为______用数字作答．13.某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为______．14.已知双曲线C的焦点为，，实轴长为2，则双曲线C的离心率是______；若点Q是双曲线C的渐近线上一点，且，则的面积为______．15.颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量单位：，表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量单位：某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值2，，2，3，．该研究小组得到以下结论：在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高；在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高；在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高；在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共71.0分）16.已知是公差为d的等差数列，其前n项和为，且，__________若存在正整数n，使得有最小值．Ⅰ求的通项公式；Ⅱ求的最小值．从，，这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答．17.如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD是正方形，，，，且．Ⅰ求证：平面CDEF；Ⅱ求直线BD与平面ADE所成角的正弦值；Ⅲ设M是CF的中点，棱AB上是否存在点G，使得平面ADE？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．18.近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程单位：万公里将这些汽车分为4组：，，，并整理得到如图的频率分布直方图：Ⅰ求a的值；Ⅱ该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X的分布列和数学期望；Ⅲ设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为；若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为有同学认为，你认为正确吗？说明理由．19.已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C经过点Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ已知过点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线交于点Q，设，，求证：为定值．20.已知函数．Ⅰ若曲线在点处的切线的斜率为1．求a的值；证明：函数在区间内有唯一极值点；Ⅱ当时，证明：对任意，．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，它对应的点的坐标是，位于第二象限故选：B．先进行复数的乘法运算，得到，再由复数的几何意义得出其对应的复平面中的点的坐标，即可得出复数对应的点所在的象限本题考查复数乘法运算及复数的几何意义，解题的关键是熟练掌握乘法的运算规则及复数的几何意义2.答案：B解析：解：函数，，解得且，的定义域为．故选：B．根据函数的解析式，求出使解析式有意义的自变量取值范围即可．本题考查了根据解析式求函数定义域的应用问题，是基础题．3.答案：D解析：解：对于选项A：当时，，故选项A错误．对于选项B：当，，时，错误．对于选项C：当，，时，错误．对于选项D，直接利用不等式的基本性质的应用求出故选项D正确．故选：D．直接利用赋值法和不等式的基本性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4.答案：A解析：解：根据题意，要求圆的圆心在圆心在直线上，则设要求圆的圆心的坐标为，又由要求圆与y轴相切于点，则圆心在直线上，则，要求圆的半径，故要求圆的方程为；故选：A．根据题意，设要求圆的圆心的坐标为，由圆的切线的性质可得圆心在直线上，即可得m的值，进而可得要求圆的半径，将圆心坐标和半径代入圆的标准方程即可得答案．本题考查圆的标准方程，涉及直线与圆相切的性质，属于基础题．5.答案：A解析：解：抛物线，，由抛物线的定义可知，，故选：A．由题意可知，再结合抛物线的定义得，，代入数据即可得解．本题考查直线与抛物线的位置关系，熟练运用抛物线的定义是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：“”等差数列单调递减，又，数列为递减数列，反之也成立．“”是“为递减数列”的充要条件．故选：C．“”等差数列单调递减，又，利用复合函数的单调性即可判断出结论．本题考查了等差数列的单调性、指数函数的单调性、复合函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：对于函数，令，求得，故函数的图象不关于中心对称，故排除A；令，求得，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故排除B；在区间上，，当，，0，时，，故函数在区间内有4个零点，故C正确；在区间上，，没有单调性，故D错误，故选：C．根据三角函数的周期性，对称性以及最值性分别进行判断即可．本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，涉及三角函数的周期性、对称性以及最值问题，结合三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．8.答案：D解析：解：由题可知：，在中，由正弦定理可知：，即，则，又在中，，所以，故选：D．先求出，然后利用正弦定理求出AD，再在中，求出AC．本题考查了解三角形，考查了学生数学建模思想，属于基础题．9.答案：D解析：解：设，建立如图所示的坐标系．，，，，由，，可得，同理可得，，，的最大值是5，当且仅当M、N与点C重合时取得最大值．故选：D．设，建立如图所示的坐标系．，，，，由，，可得，同理可得，再利用数量积运算性质和二次函数的单调性即可得出．本题考查了数量积运算性质和二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10.答案：A解析：解：的定义域为R，函数的值域为R，对任意，都存在唯一的，对于任意m，，恒成立，其定义域上具有性质的函数．的定义域R，值域，对任意，都存在唯一的，使得为常数不恒成立，例如，，不存在唯一的，故不是定义域上具有性质的函数．的定义域为，函数的值域是R，而且是单调增函数，所以对任意，都存在唯一的，对于任意m，，恒成立，其定义域上具有性质的函数．的定义域为R，值域是R，不是单调函数，是周期函数，对任意，都存在的，使得为常数，恒成立，但是不唯一，所以在其定义域上不具有性质的函数故选：A．对各个选项分别加以判断：根据“性质的函数”的定义，列出方程可以解出关于表达式且情况唯一的选项是和，而和通过解方程发现不符合这个定义，从而得出正确答案．本题着重考查了抽象函数的应用，属于基础题．充分理解各基本初等函数的定义域和值域，是解决本题的关键．11.答案：解析：解：平面向量，，若，则，解得．故答案为：．根据平面向量的坐标表示与共线定理，列方程求出m的值．本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理应用问题，是基础题．12.答案：15解析：解：展开式的通项为，令得，故展开式的常数项为．故答案为：15利用二项展开式的通项公式求出第项，令x的指数为0求出常数项．本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．13.答案：12解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为下底面为等腰梯形，高为5的四棱锥体．如图所示：所以：．故答案为：12．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.答案：2 2解析：解：由题意可得，即，所以双曲线的离心率，所以，所以双曲线的方程为：，所以渐近线的方程为：，设为一条渐近线的点，由可得，即，可得，所以，所以，故答案分别为：2，2．由题意可得c，a的值，进而求出双曲线的离心率，进而求出双曲线的方程，再求出渐近线的方程，设渐近线上的点的坐标Q，由可得可得Q的纵坐标，进而求出的面积．本题考查双曲线的性质及直线出垂直于数量积的关系，和面积的求法，属于中档题．15.答案：解析：解：分别将原点O与各点相连，设表示线段的斜率，则，故越小，颗粒物过滤效果越好．由图可知：，在第1种口罩的4次测试中，第1次测试时的颗粒物过滤效率最高，故错误；由图可知：，在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，故正确；由图可知：，，，，在第一次和第二次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高，在第三次和第四次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低，故错误，正确．故答案为：．比较各点与原点连线的斜率，从而得出各次测试中的颗粒物过滤效果的高低．本题考查了函数图象，属于基础题．16.答案：解：时，根据题意得，，解得，Ⅰ，Ⅱ所以当或4时，．时，根据题意得，ⅠⅡ，所以当时，，时，根据题意得，ⅠⅡ所以当时，．解析：分别选择，然后结合等差数列的通项公式及求和公式及已知条件进行求解即可判断．本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式的简单应用，属于基础试题．17.答案：Ⅰ证明：是正方形，，又，，平面CDEF；Ⅱ解：以D为坐标原点，分别以DA，DC所在直线为x，y轴，过A作底面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系．则0，，0，，1，，4，，，，．设平面ADE的一个法向量为，由，取，得．设直线BD与平面ADE所成角为，则．直线BD与平面ADE所成角的正弦值为；Ⅲ解：假设棱AB上存在点G，使得平面ADE，设t，，则．平面ADE，，即．3，，则．故棱AB上存在点G，满足，使得平面ADE．解析：Ⅰ由ABCD是正方形，得，再由，利用直线与平面垂直的判定可得平面CDEF；Ⅱ以D为坐标原点，分别以DA，DC所在直线为x，y轴，过A作底面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系．求出平面ADE的一个法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线BD与平面ADE所成角的正弦值；Ⅲ假设棱AB上存在点G，使得平面ADE，设t，，求出的坐标，由求得，可得3，，故棱AB上存在点G，满足，使得平面ADE．本题考查直线与平面垂直、直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18.答案：解：Ⅰ由题意可得可得；Ⅱ组无人驾驶汽车的数量比为：1：2：4：3；若使用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在这一组的无人驾驶汽车有辆，行驶里程在这一组的无人驾驶汽车有辆，由题意可知X的可能取值为：0，1，2；，，，X012P所以X的数学期望：．Ⅲ这种说法不正确．理由如下：由于样本具有随机性，故、是随机变量，受抽样结果影响，因此有可能更接近，也有可能更接近，所以不恒成立，所以这种说法不正确．解析：Ⅰ利用频率分布直方图列出关系式，求解a；Ⅱ求出X的可能取值为：0，1，2；求出概率，得到X的分布列然后求解数学期望；Ⅲ判断有可能更接近，也有可能更接近，说明不恒成立，说明结果即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，频率分布直方图的应用，是基本知识的考查，中档题．19.答案：解：Ⅰ由题意可得：，解得：，，所以椭圆的方程为：；Ⅱ证明：由题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：，设，，直线与联立可得，直线与椭圆联立，整理可得：，，即，，，因为，，即，，所以，，所以，所以可证得为定值0．解析：Ⅰ由由题意可得：，求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；Ⅱ设直线AB的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再与联立求出Q的坐标，再由，求出，的表达式，进而求出的表达式，将两根之和及两根之积代入可得为定值．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及由向量可得，与点的坐标的关系，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ，，曲线在点处的切线的斜率为1，，即．由可知，，令，，当时，，单调递增，即单调递增；当时，，单调递减，即单调递减，而，，，存在唯一的，使得，且当时，，当时，．函数在处取得极大值，故函数在区间内有唯一极值点．Ⅱ由Ⅰ可知，当时，单调递增；当时，单调递减，，，由于，若即，则，在上恒成立，即在上单调递增，，符合题意．若即，则，，存在，使得，且当时，，单调递增；当时，，单调递减．，且，符合题意．综上所述，当时，对任意，．解析：Ⅰ对函数求导得，则，可解得；令，则，可得在上的单调性，也是在上的单调性，而，，，所以存在唯一的是的变号零点，故函数在区间内有唯一极值点；Ⅱ由Ⅰ可知，当时，单调递增；当时，单调递减，因为，所以，由于，所以分两类讨论：若，易证在上单调递增，所以，符合题意；若，可设存在，使得当时，单调递增；当时，单调递减，故，且，符合题意．本题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性、极值和恒成立问题，构造新函数、虚设零点、灵活运用零点存在定理是解题的关键，考查学生的转化与化归能力、逻辑推理能力和运算能力，属于难题．。