抽象函数解析式的几种常用求法

抽象函数题的解法及技巧

随着高考改革的不但深入，对基本初等函数中的抽象函数部分考查又有所提高，其题型包括抽象函数的定义域值域问题，抽象函数的单调性和奇偶性问题，求解析式及对称性问题，现就结合着近几年高考出现的体型对抽象函数部分题的解法及技巧总结如下，供备考同学们参考使用。

类型一：求抽象函数的定义域。

例题1．（2013高考大纲版数学（理））已知函数f(x）的定义域为（-1,0）,则函数f（2x-1）的定义域为 (A)（-1,1） (B)（-1，21） (C)（-1,0） (D)（21，1）

解析：因为原函数的定义域为（﹣1，0），所以﹣1＜2x﹣1＜0，解得﹣1＜x＜．

所以则函数f（2x﹣1）的定义域为（-1，21）．故选B．

变式1：已知f（2x-1）定义域是2,1，则函数)(xf的定义域为 答案：[1,3]

变式2：已知已知f(2x-1)定义域是2,1，则函数)12(xf的定义域为 答案：[0,1]

解题技巧：抽象函数是没有解析式的函数，解决此类问题的方法是抓住这种类型题的本质，像例题1这种题型的本质是解不等式，变式1题型的本质就是求函数的值域，变式2这种题型的本质就是解不等式和求值域的结合。解决这类问题的技巧搞清本质抓住两个小括号的范围要对应起来，是解决的技巧所在。

类型二：抽象函数的求值问题：

例2.对任意实数x,y，均满足f(2x+y)=2[f2)(x]+f(y)且f（1）0，则f2014）=_______.

解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：令x=1，y=n，得f（n+1）=f（n）+22)]1([f, 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=21,即f（n+1）-f（n）=21，f（n）=2n，所以，f(2014)=22014=1007.

抽象函数定义域三种题型及解法

抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，

特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义

域问题的四种题型及求法．

一、已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域

其解法是：若f(x)的定义域为a≤x≤b，则f[g(x)]中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围

即为f[g(x)]的定义域．

例1 已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求f(x2

－3x－5)的定义域．

分析：这个函数是由u＝x2

－3x－5和f(u)构成的复合函数，其中x是自变量，u(或x2

－

3x－5)是中间变量，由于f(x)，f(u)是同一个函数，因此这里是已知－1≤u≤5，即－1≤x2

－3x－5≤5，要求x的取值范围．

解：由－1≤x2

－3x－5≤5，得

2

23100

340xx

xx







，即25

4 1x

xx





或

∴－2≤x≤－1或4≤x≤5．

∴函数f(x2

－3x－5)的定义域是[－2，－1]∪[4，5]．

二、已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域

其解法是：若f[g(x)]的定义域为m≤x≤n，则由m≤x≤n确定g(x)的范围即为f(x)的定

义域．

例2 已知函数f(x2

－2x＋2)的定义域是[0，3]，求函数f(x)的定义域．

分析：设u＝x2

－2x＋2，则f(x2

－2x＋2)＝f(u),由于f(u)，f(x)是同一函数，因此这里是

已知0≤x≤3，求x2

－2x＋2的取值范围.

解：由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，即0≤(x－1)2

≤4，1≤(x－1)2

＋1≤5即1≤x2

－2x

＋2≤5．

设u＝x2

－2x＋2，则f(x2

－2x＋2)＝f(u)，又f(u)与f(x)是同一个函数，1≤u≤5，即是1

≤x≤5．

∴f(x) 的定义域是[1，5]．

三、已知f[g(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域

常见抽象函数类型及解题策略

没有给出具体解析式的函数xfy，称为抽象函数。

抽象函数问题将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数、周期性等性质和图象集于一身，所以这类问题可以全面综合考查我们对于函数概念和性质的理解。

常见抽象函数类型 具体函数

cyfxfyxf（c为常数） bkxy

yfxfxyf xy

yfxfxyf xyalog

yfxfyxf xay

nxfxf（n为周期） xysin，xycos，xytan.

常用方法：①特殊值法，如1,1,0fff；②“凑”（转化）的方法；③同时借助于函数的单调性、奇偶性等性质.

例题：

一，cyfxfyxf型 （bkxy）

1，函数xf的定义域为R，Ryx,，有yfxfyxf；且当0)(0xfx时，，且21f，求xf在区间3,3上的最大值和最小值.

2，函数xf，Ryx,，满足条件yxfyfxf2；2)(0xfx时，；

53f，求不等式3222aaf的解.

二，yfxfxyf型 （xy）

3，函数xf，Ryx,，满足yfxfxyf，且00f，试判断xf的奇偶性.

三，yfxfxyf型 （xyalog）

4，已知xf的定义域为R，Ryx,，yfxfxyf.求证：xf是偶函数.

5，xf是定义在,0上的单调增函数，满足yfxfxyf，13f，

① 求1f； ② 若28xfxf，求x的取值范围.

四，yfxfyxf型 （xay）

1 微专题08 函数解析式的求解策略

【方法技巧与总结】

函数解析式的求解策略有：

（1）直接法：已知()fx的解析式，求(())fgx的解析式类型，直接将()gx整体代入()fx中的x；

（2）待定系数法：即由已知函数类型设出函数解析式（通常是一次函数和二次函数类型），再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（或方程组）求出待定系数，进而得出函数的解析式；

（3）换元法（或者叫配凑法）：已知抽象函数(())fgx的解析式求()fx的解析式，这个方法可以看成代入法的逆向思维，即令()gxt，反解出x，然后代入(())fgx中得到()ft，进而得到()fx的解析式；

（4）解方程组法：该方法是针对含有关于两个不同变量的函数，而这两种变量存在某种特定的关系，在中学阶段这种关系通常是互为相反数或者互为倒数，然后“互换”两个变量建立一个新的关于这两个变量的关系，通过解方程组消去一个变量，从而得到只含一个f的解析式，最后可以得到()fx的解析式；

（5）赋值法：赋值法是很常用的处理抽象函数之间的一种方法，对涉及任意量词（含x，y）题目，要特别注意可以通过赋特殊的值，求出特殊的值对应函数值，进而求出函数的解析式．

【题型归纳目录】

题型一：已知函数类型求解析式

题型二：已知(())fgx求解析式

题型三：求抽象函数的解析式

题型四：求解析式中的参数值

题型五：函数方程组法求解析式

【典型例题】

题型一：已知函数类型求解析式

例1．（2022·全国·高一课时练习）已知()fx是一次函数，2(2)3(1)5ff，2011ff，则()fx（ ）

A．32x B．32x C．23x D．23x

【答案】D

【解析】依题意，设(),0fxkxbk，则有2(2)3()52()1kbkbbkb，解得2,3kb，

所以()23fxx.

故选：D