北师大版第二章《函数》同步单元练习五

新北师大版九年级下册数学第二章 二次函数同步练习题一、单选题1、若将抛物线y=22x 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到一个新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是( ) A ．(-2,1) B ．(-2,-1) C ．(2,1) D ．(2,-1)2、若二次函数1)(2--=m x y ，当x 1≤时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）A ．m=1 B ．m>1 C ．m 1≥ D ．m 1≤3、已知二次函数)(2o a c bx ax y ≠++=的图象如图所示, 其中对称轴为：x=1，则下列4个结论中正确的结论有（ ）个①abc<0； ②a+c>b ；③2a+3b>0； ④a+b>am 2 +bm(m )1≠；⑤ c<-2a.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，在下列说法中：①abc>0；②a+b+c>0；③4a-2b+c>0；④当x>1时，y 随着x 的增大而增大．正确的说法个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45、抛物线122--=x x y 的顶点坐标是( )A ．（1，－1）B ．（－1，2）C ．（－1，－2）D ．（1，－2） 6、下列函数中，当x=0时，y=0的是（ ）A ．2y x= B ．21y x =- C ．253y x x =- D ．y=-3x+77、若二次函数2y ax bx c =++的顶点在第一象限，且经过点(0,1)，(-1,0)， 则S=a+b+c 的变化范围是 ( ) A ．02s <<; B ．s>1; C ．1<s<2; D ．-1<s<18、如图，抛物线y ＝x 2－12x －32与直线y ＝x －2交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），动点P 从A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．若使点P 运动的总路径最短，则点P 运动的总路径的长为（ ）．A.2 B. 3C.52D. 539、二次函数y=2ax bx c ++与一次函数y=ax+c 在同一直角坐标系中图象大致是（ ）10、函数y=2x 2+4x+1①；y=2x 2－ 4x+1②的图象的位置关系是( )A ．②在①的上方；B ．②在①的下方；C ．②在①的左方；D ．②在①的右方。

解：(1)设 y1＝k1x＋80.把点(1,95)代入，得 95＝k1＋80，解得 k1＝15，∴y1＝15x ＋80(x≥0)；设 y2＝k2x.把点(1,30)代入，得 30＝k2，即 k2＝30，∴y2＝30x(x≥0)． (2) 当 y1＝y2 时，15x＋80＝30x，解得 x＝136；当 y1＞y2 时，15x＋80＞30x，解得 x＜136； 当 y1＜y2 时，15x＋80＜30x，解得 x＞136.∴当租车时间为136小时，选择甲、乙公司 费用一样；当租车时间小于136小时，选择乙公司合算；当租车时间大于136小时，选 择甲公司合算．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A．①③
B．①④
C．①③④
D．①②③④
11
▪ 6．小华和爸爸比赛跑步，爸爸每秒跑5 m，小华每秒跑4 m， 爸爸让小华先跑30 m．爸爸跑的路程y1(m)与y1时＝5t间t(s)之间的 函数关系式是__________；小华y2跑＝4t的＋3路0 程y2(m)与t<3时0 间t(s)之 间的函数关系t＝式30是_________________t>_30；当__________ 时，小华跑在前面；当__________时，爸爸追上小华；当 __________时，爸爸跑在前面．
18
象易得，当x＜62 500时，采用从广告公司直接购买宣传单 便宜；当x＝62 500时，采用从广告公司直接购买宣传单与 租赁印刷机器印刷制作宣传单费用相等，两种方案均可；当x ＞62 500时，采用租赁印刷机器印刷制作宣传单便宜．
4
基础过关
▪ 1．“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事．如图表示了寓 言中的龟、兔的路程s和时间t的关系(其中直线段表示乌龟C， 折线段表示兔子)．下列叙述正确的是( )

§5简单的幂函数(二)学习目标1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题．知识点一函数奇偶性的几何特征思考下列函数图像中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？★答案☆ ①②关于y 轴对称，③④关于原点对称．梳理 一般地，图像关于y 轴对称的函数叫作偶函数，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．知识点二 函数奇偶性的定义思考1 为什么不直接用图像关于y 轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？★答案☆ 因为很多函数图像我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断． 思考2 利用点对称来刻画图像对称有什么好处？★答案☆ 好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y 轴(原点)对称，则图像关于y 轴(原点)对称，反之亦然．(2)可操作：要判断点是否关于y 轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可，不知道函数图像也能操作．梳理 函数奇偶性的概念(1)偶函数：如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫作偶函数．其实质是函数f (x )上任一点(x ，f (x ))关于y 轴的对称点(－x ，f (x ))也在f (x )图像上． (2)奇函数：如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫作奇函数．其实质是函数f (x )上任一点(x ，f (x ))关于原点的对称点(－x ，－f (x ))也在f (x )图像上． (3)由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x ，其相反数－x 必须也在定义域内，所以判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．知识点三 奇偶性与单调性思考 观察偶函数y ＝x 2与奇函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？★答案☆ 偶函数y ＝x 2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同．梳理(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M.(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)知道了函数的奇偶性，我们可以先研究函数的一半，再利用对称性了解其另一半，从而减少工作量．1．关于y轴对称的图形都是偶函数的图像．(×)2．若f(x)是奇函数，f(1)＝2，则f(－1)＝－2.(√)3．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．(√)4．有些函数既非奇函数，又非偶函数．(√)类型一判断函数的奇偶性例1判断并证明下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3－x 2x －1；(2)f (x )＝(x ＋1)(x －1)； (3)f (x )＝1－x 2＋x 2－1. 考点 函数奇偶性的判定与证明 题点 判断简单函数的奇偶性证明 (1)因为函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f (x )＝x 3－x 2x －1既非奇函数又非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因为函数f (x )＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，又f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，所以函数为偶函数．(3)函数的定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为偶函数．又f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定属于定义域． 跟踪训练1 判断并证明下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x －2)2＋x2－x； (2)f (x )＝x |x |；(3)f (x )，g (x )是定义在R 上的奇函数，试判断y ＝f (x )＋g (x )，y ＝f (x )g (x )，y ＝f [g (x )]的奇偶性． 考点 函数奇偶性的判定与证明 题点 判断函数的奇偶性解 (1)由2＋x 2－x ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因为f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以函数为奇函数． (3)∵f (x )，g (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＋g (－x )＝－f (x )－g (x )＝－[f (x )＋g (x )]，y ＝f (x )＋g (x )是奇函数． f (－x )g (－x )＝[－f (x )][－g (x )]＝f (x )g (x )，y ＝f (x )g (x )是偶函数． f [g (－x )]＝f [－g (x )]＝－f [g (x )]，y ＝f [g (x )]是奇函数．类型二 奇偶性的应用命题角度1 奇(偶)函数图像的对称性的应用例2 定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上的图像如图所示．(1)画出f(x)的图像；(2)解不等式xf(x)>0.考点函数图像的对称性题点中心对称问题解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图像如图．(2)xf(x)>0即图像上横坐标、纵坐标同号．结合图像可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．引申探究把例2中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解(1)f(x)的图像如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思与感悟鉴于奇(偶)函数图像关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图像如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图像；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．考点函数图像的对称性题点中心对称问题解(1)如图，在[0,5]上的图像上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.∴使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．命题角度2应用函数奇偶性求解析式例3函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式解设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴当x<0时，f(x)＝－x－1.反思与感悟利用函数的奇偶性求函数解析式已知函数f(x)在区间[a，b]上的解析式，求函数f(x)在区间[－b，－a]上的解析式的一般方法：(1)设：设－b≤x≤－a，则a≤－x≤b.(2)求f(－x)：根据已知条件f(x)在区间[a，b]上的解析式可求得f(－x)的解析式．(3)求f(x)：根据函数f(x)的奇偶性来实现函数的解析式在f(x)与f(－x)之间的相互转化．跟踪训练3已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2.求y＝f(x)的解析式．考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式解 设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝－[2(－x )－(－x )2]＝2x ＋x 2. 因为y ＝f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，2x －x 2，x >0.命题角度3 奇偶性对单调性的影响例4 设f (x )是偶函数，在区间[a ，b ]上是减函数，试证f (x )在区间[－b ，－a ]上是增函数． 考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性 证明 设x 1，x 2是区间[－b ，－a ]上任意两个值， 且有x 1<x 2.∵－b ≤x 1<x 2≤－a ， ∴a ≤－x 2<－x 1≤b . ∵f (x )在[a ，b ]上是减函数， ∴f (－x 2)＞f (－x 1)．∵f (x )为偶函数，即f (－x )＝f (x )， ∴f (－x 2)＝f (x 2)，f (－x 1)＝f (x 1)． ∴f (x 2)＞f (x 1)，即f (x 1)<f (x 2)．∴函数f (x )在区间[－b ，－a ]上是增函数．反思与感悟 与求解析式一样，证哪个区间上的单调性，设x 1，x 2属于哪个区间．同样，求哪个区间上的最值，也设x 属于哪个区间．跟踪训练4 已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．考点 单调性与奇偶性的综合应用 题点 利用奇偶性、单调性解不等式 ★答案☆ (－1,3) 解析 ∵f (x )为偶函数， ∴f (x －1)＝f (|x －1|)，又f (2)＝0，∴f (x －1)>0，即f (|x －1|)>f (2)， ∵|x －1|,2∈[0，＋∞)， 且f (x )在[0，＋∞)上单调递减． ∴|x －1|<2，即－2<x －1<2， ∴x 的取值范围为(－1,3).1．下列函数为偶函数的是()A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x考点函数的奇偶性概念题点判断函数的奇偶性★答案☆D解析D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．2．函数f(x)＝x(－1<x≤1)的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数考点函数奇偶性的判定与证明题点判断函数的奇偶性★答案☆C3．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)等于()A．－1 B．1 C．－5 D．5考点函数图像的对称性题点轴对称问题★答案☆D解析函数y＝f(x)＋x是偶函数，∴x＝±2时函数值相等．∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5，故选D.4．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－1，则当x<0时f(x)等于() A．x＋1 B．x－1 C．－x－1 D．－x＋1考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式★答案☆A5．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得()A．a<b B．a>bC．|a|<|b| D．0≤a<b或a>b≥0考点单调性与奇偶性的综合应用题点利用奇偶性、单调性解不等式★答案☆C1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图像关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图像关于y轴对称．3．证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了．4．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．5．具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.一、选择题1．已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于()A．－1 B．1 C．0 D．2考点函数的奇偶性概念题点函数奇偶性概念的理解★答案☆A解析因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋(－2)＝－1，故选A.2．(2017·葫芦岛检测)下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图像是()考点 函数图像的对称性题点 中心对称问题★答案☆ B解析 D 不是函数；A ，C 不关于原点对称．3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3考点 函数图像的对称性题点 中心对称问题★答案☆ A解析 ∵f (x )是奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.4．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是() A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数考点 函数奇偶性的判定与证明题点 判断抽象函数的奇偶性★答案☆ A解析 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )，由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )，故|g (x )|为偶函数，∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－12考点 函数图像的对称性题点 对称问题综合★答案☆ B解析 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)，∴a ＝13，则a ＋b ＝13.6．函数f (x )＝|x ＋1|－|x －1|为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数考点 函数奇偶性的判定与证明题点 判断函数的奇偶性★答案☆ A解析 f (x )的定义域为R ，对于任意x ∈R ，f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (－1)≠f (1)，∴f (x )不是偶函数．7．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (3)＝0，则不等式f (x )－f (－x )2>0的解集为( ) A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)考点 函数图像的对称性题点 对称问题综合★答案☆ A解析 ∵f (x )为奇函数，f (3)＝0，∴f (－3)＝0.又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在(－∞，0)上也为增函数，∴f (x )－f (－x )2＝f (x )>0， ①当x >0时，则f (x )>f (3)＝0，∴x >3；②当x <0时，则f (x )>f (－3)＝0，∴－3<x <0，综上可得，原不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．二、填空题8．已知函数y ＝f (x )为偶函数，其图像与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________．考点 函数图像的对称性题点 轴对称问题★答案☆ 0解析 由于偶函数的图像关于y 轴对称，所以偶函数的图像与x 轴的交点也关于y 轴对称，因此，四个交点中，有两个在x 轴的负半轴上，另外两个在x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x <0，x (1＋x )，x >0为________．(填“奇函数”或“偶函数”) 考点 函数奇偶性的判定与证明题点 判断分段函数的奇偶性★答案☆ 奇函数解析 定义域关于原点对称，且f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x (1＋x )，－x <0，－x (1－x )，－x >0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (1＋x )，x >0，－x (1－x )，x <0 ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．10．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是________．考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 利用奇偶性、单调性解不等式★答案☆ ⎝⎛⎭⎫13，23解析 由于f (x )是偶函数，因此f (x )＝f (|x |)，∴f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13，再根据f (x )的单调性，得|2x －1|<13，解得13<x <23. 11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，g (x )，x <0为奇函数，则f (g (－1))＝________. 考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数值★答案☆ －15解析 当x <0时，－x ＞0，又f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝(－x )2－2x ＝x 2－2x ，所以f (x )＝－x 2＋2x .即g (x )＝－x 2＋2x ，因此，f (g (－1))＝f (－3)＝－9－6＝－15.三、解答题12．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1. 考点 函数奇偶性的判定与证明题点 判断函数的奇偶性解 (1)函数的定义域为R .∵f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数．13．已知函数y ＝f (x )的图像关于原点对称，且当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.(1)试求f (x )在R 上的解析式；(2)画出函数的图像，根据图像写出它的单调区间．考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式解 (1)因为函数f (x )的图像关于原点对称，所以f (x )为奇函数，则f (0)＝0.设x <0，则－x >0，因为x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3.于是有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.(2)先画出函数在y 轴右侧的图像，再根据对称性画出y 轴左侧的图像，如图．由图像可知函数f (x )的单调区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，[－1,0)，(0,1]，其中f (x )在前两个区间上是增加的，在后两个区间上是减少的．四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________. 考点 函数图像的对称性题点 中心对称问题★答案☆ 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝x x 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43. 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上是增加的，求实数a 的取值范围． 考点 函数图像的对称性题点 对称问题综合解 (1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即1－m ＝－(－1＋2)，解得m ＝2.经检验m ＝2时函数f (x )是奇函数．所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上是增加的，结合f (x )的图像(图略)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1， 所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．。

北师大版九年级数学下册第二章二次函数同步练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、从图形运动的角度研究抛物线, 有利于我们认识新的拋物线的特征. 如果将拋物线22y x =+绕着原点旋转180°，那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，下列法正确的是（ ）A ．它们的开口方向相同B ．它们的对称轴相同C ．它们的变化情況相同D ．它们的顶点坐标相同 2、对于二次函数()21y x =--的图象的特征，下列描述正确的是（ ）A ．开口向上B ．经过原点C ．对称轴是y 轴D ．顶点在x 轴上3、在同一平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝2x 与二次函数2y ax a =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4、下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．21y x =B ．211y x x=++C ．221y x =-D ．y 5、如图，抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-，对称轴l 如图所示，则下列结论：①0abc >；②0a b c -+=；③0a b c ++>；④420a b c ++<，其中所有正确的结论是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④6、已知抛物线()20y ax bx c a =++<经过()1,A x m ，()21,B x m -，()2,C x p ，()11,D x q -，若12x x <时，则m ，p ，q 的大小关系是（ ）A ．m p q <<B ．m p q <=C ．p q m =<D ．p q m <<7、将抛物线21y x =-向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）A ．2(3)2y x =++B ．2(2)2y x =++C ．2(2)1y x =++D ．2(2)2y x =-+8、在求解方程20(a 0)++=≠ax bx c 时，先在平面直角坐标系中画出函数2y ax bx c =++的图象，观察图象与x 轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（ ）A ．13x =-，22x =B ．13x =-，23x =C ．12x =-，22x = D ．12x =-，23x = 9、将二次函数()2524y x =--的图象沿x 轴向左平移2个单位长度，再沿y 轴向上平移3个单位长度，得到的函数表达式是（ ）A ．()2727y x =--B ．()2721y x =-- C ．()2327y x =-- D ．()2321y x =-- 10、已知点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）为抛物线y ＝﹣ax 2+4ax +c （a ≠0）上两点，且x 1＜x 2，则下列说法正确的是（ ）A ．若x 1+x 2＜4，则y 1＜y 2B ．若x 1+x 2＞4，则y 1＜y 2C ．若a （x 1+x 2﹣4）＞0，则y 1＞y 2D ．若a （x 1+x 2﹣4）＜0，则y 1＞y 2第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知某函数当0x >时，y 随x 的增大而减小，则这个函数解析式可以为________．2、已知A （12-，1y ），B （1，2y ），C （4，3y ）三点都在二次函数()22y x k =--+的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系为_______． 3、将抛物线2y x 向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为____________．4、抛物线23(1)2y x =--+的顶点坐标是_________．5、已知抛物线y ＝a （x +1）2+k （a ＞0）上有三点(﹣3，y 1)，B (12，y 2)，C (2，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系是_____（用“＜”连接）．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知抛物线25y ax bx =+-经过点M （﹣1，1），N （2，﹣5）．（1）求a ，b 的值；（2）若P （4，1y ），Q （m ，2y ）是抛物线上不同的两点，且2122y y =-，求m 的值．2、如图，在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A - 和 点()3,0B ，与y 轴交于点C , 顶点为D ．（1）求该抛物线的表达式的顶点D 的坐标；（2）将抛物线沿y 轴上下平移, 平移后所得新拋物线顶点为M , 点C 的对应点为E ．①如果点M 落在线段BC 上, 求DBE ∠的度数；②设直线ME 与x 轴正半轴交于点P , 与线段BC 交于点Q , 当2PE PQ =时, 求平移后新抛物线的表达式．3、某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x 件．已知产销两种产品的有关信息如表：其中a 为常数，且5≤a ≤7．（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为1y 万元、2y 万元，直接．．写出1y 、2y 与x 的函数关系式；（注：年利润=总售价﹣总成本﹣每年其他费用）（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．4、已知关于x 的一元二次方程：2240x x k ++=．（1）当1k =时，解方程：（2）若2240x x k ++=的一个解是1x =-，求k ；（3）若抛物线224y x x k =++与x 轴无交点，试确定k 的取值范围．5、商场出售一批进价为2元的贺年卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x （元）与日销售量y （张）之间有如下关系：（1）写出y 关于x 的函数关系式：____________；（2）设经营此贺年卡的日销售利润为w （元），试求出w 关于x 的函数解析式；（3）求出当日销售单价x 定为多少元时，才能获得最大日销售利润，并求出最大日销售利润．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据旋转的性质及抛物线的性质即可确定答案．【详解】抛物线22y x =+的开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，2)，将此抛物线绕原点旋转180°后所得新抛物线的开口向下，对称轴仍为y 轴，顶点坐标为(0，－2)，所以在四个选项中，只有B 选项符合题意．故选：B【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质等知识，掌握这两方面的知识是关键．2、D【分析】根据二次函数2()y a x h =-的性质判断即可．【详解】在二次函数()21y x =--中，∵10a =-<，∴图像开口向下，故A 错误；令0x =，则2(01)10y =--=-≠，∴图像不经过原点，故B 错误；二次函数()21y x =--的对称轴为直线1x =，故C 错误； 二次函数()21y x =--的顶点坐标为(1,0)，∴顶点在x 轴上，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数2()y a x h =-的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键．3、C【分析】先由一次函数的性质判断，然后结合二次函数中a ＞0时，a ＜0时，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：∵一次函数y ＝2x ，∴一次函数的图像经过原点，且y 随x 的增大而增大，故排除A 、B 选项； 在二次函数2y ax a =-中，当a ＞0时，开口向上，且抛物线顶点在y 的负半轴上，当a ＜0时，开口向下，且抛物线顶点在y 的负半轴上，∴D 不符合题意，C 符合题意；故选：C【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数图象，利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解．4、C【分析】根据二次函数的定义依次判断．【详解】解：A 、21y x =不是二次函数，不符合题意； B 、211y x x =++，不是二次函数，不符合题意；C 、221y x =-，是二次函数，符合题意；D 、y =故选：C ．【点睛】此题考查二次函数的定义：形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数是二次函数，解题的关键是正确掌握二次函数的构成特点．5、D【分析】 根据图像可知二次函数对称轴b x 02a=->，0a <，0c >可得0b >；有①0abc <；②当1x =-时，0y a b c =-+=；③当1x =时，0y a b c =++>；④当2x =时，420y a b c =++<；进而得出结果．【详解】解：由图像可知0a <，0c >，b x 02a=->， ∴0b >∴0abc <；故①错误． 当1x =-时，0y a b c =-+=；故②正确．当1x =时，0y a b c =++>；故③正确．当2x =时，420y a b c =++<；故④正确．故选D ．【点睛】本题考察了二次函数．解题的关键在于求出系数的取值范围，以及一些特殊取值时函数值的大小．6、C【分析】由()1,A x m ，()21,B x m -纵坐标相同可以看出AB 关于对称轴对称，即对称轴为1212x x x +-=，再结合C 、D 坐标可得C 、D 关于对称轴对称，再根据12x x <，比较m 和p 的大小即可．【详解】∵()1,A x m ，()21,B x m - ∴对称轴为1212x x x +-=∴()2,C x p ，()11,D x q -关于对称轴对称，即p q =∵12x x < ∴12122212222x x x x x x +-+<<= ∴()2,C x p 在对称轴右边当()1,A x m 也在对称轴右边时此时由()20y ax bx c a =++<y 随x 的增大而减小，∵12x x <，∴p q m =<当()21,B x m -在对称轴右边时此时由()20y ax bx c a =++<y 随x 的增大而减小，∵221x x -<，∴p q m =<∴p q m =<故选：C【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据AB 纵坐标相同可以看出A 、B 关于对称轴对称．7、B【分析】直接根据平移规律作答即可．【详解】解：将抛物线21y x =-向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后所得抛物线解析式为2(2)13y x =+-+，即2(2)2y x =++；故选：B ．【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．8、D【分析】由题意观察2y ax bx c =++的图象，进而根据与x 轴的两个交点的横坐标进行分析即可.【详解】解：因为两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，两个交点的横坐标为：12x =-，23x =， 所以方程的近似解是12x =-，23x =.故选：D.【点睛】本题考查二次函数图象与x 轴的交点问题，熟练掌握并结论方程思想可知与x 轴的两个交点的横坐标可以看作是方程20(a 0)++=≠ax bx c 的近似解进行分析.9、D【分析】根据二次函数的平移方法“左加右减，上加下减”可直接进行排除选项．【详解】解：由二次函数()2524y x =--的图象沿x 轴向左平移2个单位长度，再沿y 轴向上平移3个单位长度，得到的函数表达式是()()2252243321y x x =-+-+=--；故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．10、C【分析】先求出抛物线的对称轴为2x =，然后结合二次函数的开口方向，判断二次函数的增减性，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线y ＝﹣ax 2+4ax +c ， ∴抛物线的对称轴为：422a x a=-=-， 当点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）恰好关于2x =对称时，有1222x x +=， ∴124x x +=，即1240x x +-=，∵x 1＜x 2，∴122x x <<；∵抛物线的开口方向没有确定，则需要对a 进行讨论，故排除A 、B ；当0a >时，抛物线y ＝﹣ax 2+4ax +c 的开口向下，此时距离2x =越远，y 值越小；∵a （x 1+x 2﹣4）＞0，∴1240x x +->，∴点P 2（x 2，y 2）距离直线2x =较远，∴12y y >；当0a <时，抛物线y ＝﹣ax 2+4ax +c 的开口向上，此时距离2x =越远，y 值越大；∵a （x 1+x 2﹣4）＞0，∴1240x x +-<，∴点P 1（x 1，y 1）距离直线2x =较远，∴12y y >；故C 符合题意；D 不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行分析．二、填空题1、y x =-或21y x =-或1y x=（答案不唯一） 【分析】根据题意可得这个函数可能是一次函数或二次函数或反比例函数，再由函数的增减性即可得出函数解析式．【详解】解：某函数当0x >时，y 随x 的增大而减小，∵未明确是一次函数、二次函数还是反比例函数，∴这个函数可能是一次函数或二次函数或反比例函数，根据其性质可得：这个函数为y x =-或21y x =-或1y x=， 故答案为：y x =-或21y x =-或1y x=（答案不唯一）． 【点睛】 题目主要考查一次函数和二次函数、反比例函数的基本性质，熟练掌握三个函数的基本性质是解题关键．2、y 1＜y 3＜y 22＞y 3＞y 1【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小．【详解】解：∵二次函数2(2)y x k =--+的图像开口方向向下，对称轴是x =2，∴A （12-，1y ）距对称轴的距离是52，B （1，2y ）距对称轴的距离是1，C （4，3y ）距对称轴的距离是2， ∵5212>>， ∴231y y y >>故答案为：231y y y >>．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当a ＞0时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当a ＜0时，距离对称轴越远的点，函数值越小．3、23y x =-##【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将抛物线2y x 向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为23y x =-故答案为：23y x =-【点睛】本题考查了抛物线的平移，掌握平移规律是解题的关键．4、（1，2）【分析】直接根据顶点公式的特点求顶点坐标即可得答案．【详解】∵23(1)2y x =--+是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法．解题的关键是熟知顶点式的特点． 5、y 2＜y 1＜y 3【分析】根据题目中的抛物线的解析式可以得到该抛物线的对称轴、开口方向，从而可以判断出y 1、y 2、y 3的大小关系，本题得以解决．【详解】解：∵抛物线解析式为y ＝a （x +1）2+k （a ＞0），∴该函数开口向上，对称轴是直线x ＝-1，当x ＞-1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，即函数图像上的点离对称轴越远其函数值越大，∵|-3-（-1）|＝2，|12-（-1）|＝1.5，|2-（-1）|＝3，点A （-3，y 1）、B （12，y 2）、C （2，y 3）是图象上的三个点，∴y 2＜y 1＜y 3，故答案为：y 2＜y 1＜y 3．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．三、解答题1、（1）24a b =⎧⎨=-⎩ （2）2m =-【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）判断出点P （4，1y ），Q （m ，2y ）是抛物线2245y x x =--上的对称点，利用二次函数的对称性，即可求解．（1）解：由抛物线25y ax bx =+-经过M （﹣1，1），N （2，﹣5）两点，得 514255a b a b --=⎧⎨+-=-⎩， 解这个方程组，得24a b =⎧⎨=-⎩； （2）解： ∵P （4，1y ），Q （m ，2y ）是抛物线2245y x x =--上不同的两点，且2122y y =-∴212444511y =⨯-⨯-= ，2122221111y y =-=-=，∴ 12y y =∴点P （4，1y ），Q （m ，2y ）是抛物线2245y x x =--上的对称点，∵抛物线2245y x x =--的对称轴为4122x -=-=⨯， ∴2m =-．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．2、（1）2y x 2x 3=-++，()1,4D ；（2）①45DBE ∠=︒；②232.2y x x =-+- 【分析】（1）把点()1,0A - 和 点()3,0B 代入抛物线的解析式。