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求解股票期权定价问题的差分方法

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收稿日期:2003󰀁08󰀁29基金项目:辽宁省自然科学基金资助项目(20022021)󰀁作者简介:张󰀁铁(1956-),男,辽宁沈阳人,东北大学教授󰀁第25卷第2期2004年2月东北大学学报(自然科学版)JournalofNortheasternUniversity(NaturalScience)Vol󰀁25,No.2Feb.2004

文章编号:1005󰀁3026(2004)02󰀁0190󰀁04

求解股票期权定价问题的差分方法

张󰀁铁,李明辉(东北大学理学院,辽宁沈阳󰀁110004)

摘󰀁󰀁󰀁要:期权是最重要的金融衍生工具,期权理论的核心是期权定价问题󰀁对于美式期权的价格,不存在解析公式也无法求得精确解󰀁因此,研究各种计算美式期权价格的数值方法具有重要意义󰀁研究美式股票看跌期权定价问题的差分方法󰀁对美式期权所遵循的变分不等式方程建立了向后欧拉全离散差分逼近格式,利用能量方法进行了差分解的稳定性和收敛性分析,并给出最优阶误差估计󰀁数值计算表明该算法是一个高效和收敛的算法󰀁关󰀁键󰀁词:美式看跌期权;股票期权;变分不等式;差分逼近;稳定性;收敛性;数值计算中图分类号:F224.9󰀁󰀁󰀁文献标识码:A

期权是最重要的金融衍生工具之一,它是一种赋予持有者在将来某一确定时间以某一确定价格购买或出售标的资产的权利󰀁对于欧式期权,Black和Scholes早已给出解析形式的定价公式[1,2]󰀁然而,对于美式期权的价格,并不存在这样的解析公式,也无法求得精确解󰀁因此,发展各种计算美式期权价格的数值方法具有重要的实际意义󰀁美式期权定价问题的数学模型一般可归结为自由边值问题或相应的线性互补偏微分方程󰀁作者在文献[3]中已经讨论了美式股票期权定价问题的有限元方法󰀁本文将进一步研究相应问题的有限差分方法,建立了向后欧拉全离散差分逼近格式,论证了差分解的存在唯一性和稳定性,并给出了最优阶误差估计󰀁最后,用数值计算例验证了本文方法的有效性󰀁为明确起见,本文假定期权的标的资产为股票󰀁用S表示股票价格,E为期权的执行价格,P为期权价格,T为期权执行日期,󰀁为股票价格的波动率,r为无风险利率(假定为常数)󰀁进一步假设世界是风险中性的,在期权有效期内股票无红利支付󰀁在这样假设下,美式股票看跌期权的价格P=P(t,S)将满足如下线性互补偏微分方程[4]󰀁P󰀁t+12󰀁2S2󰀁2P󰀁2S+rS󰀁P󰀁S-rP󰀁

(P-G(S))=0,(1)󰀁P󰀁t+12󰀁2S2󰀁2P󰀁2S+rS󰀁P󰀁S-rP󰀁0,

P󰀁G(S),(2)G(S)=max(E-S,0),󰀁󰀁0󰀁S󰀁󰀁,0

1󰀁有限差分逼近

首先对问题(1)~(3)进行化简,目的是将变系数方程化为常系数方程,将反向时间问题化为正向时间问题󰀁引进变量变换

S=Eex,t=T-󰀁12󰀁2,

P(t,S)=Ee-12(k-1)xu(󰀁,x)󰀁(4)

其中,k=r12󰀁2󰀁在此变换下,直接计算可知问题(1)-(3)转化为如下问题󰀁u󰀁󰀁-󰀁2u󰀁x2+14(k+1)2u(u-g)=0,

0<󰀁󰀁T1,(5)󰀁u󰀁󰀁-󰀁2u󰀁x2+14(k+1)2u󰀁0,u󰀁g󰀁(6)

其中,T1=12󰀁2T,

g(x)=1Ee12(k-1)xG(S)=e12kxmax(e-12x-e12x,0)󰀁

为了便于构造数值方法,还需将上述问题限制在有界区域上,并根据原问题的性质给定相应的边界条件󰀁首先考虑到股票价格S既不可能上升为无限大,也不可能下降为零,因此可限制变量x󰀁[-a,a],a>0充分大󰀁又由于当股票价格S远大于执行价格E时,看跌期权价格P(t,S)=0,因此可令u(󰀁,a)=0󰀁其次,原问题(1)~(3)来源于自由边值问题,也即存在自由边界S*=S*(t)>0,且当0󰀁S

󰀁(7)现在建立问题(5)~(7)的有限差分近似󰀁剖分空间区域[-a,a]:-a=x0

󰀁2xunj=1h2(unj+1-2unj+unj-1),

那么可有󰀁u󰀁t(tn,xj)=󰀁tunj+󰀁t2utt(󰀁k,xj),

uxx(tn,xj)=󰀁2xunj+h212u(4)x(tn,󰀁j)

󰀁(8)

则在剖分节点(tn,xj)处,方程(5)~(7)可离散为

(󰀁tunj-󰀁2xunj+14(k+1)2unj+󰀁nj)(unj-gj)=0,

(9)

(󰀁tunj-󰀁2xunj+14(k+1)2unj+󰀁nj)󰀁0,

unj󰀁gj,(10)u0j=gj,unj=g0,unN=0,n=1,2,󰀁,M,󰀁j=1,2,󰀁,N-1󰀁(11)其中,gj=g(xj),截断误差󰀁nj=O(󰀁t+h2)󰀁根据式(9)~(11),定义期权定价问题(5)~(7)的向后欧拉有限差分近似为:求Unj使满足

(󰀁tUnj-󰀁2xUnj+14(k+1)2Unj)(Unj-gj)=0,

(12)󰀁tUnj-󰀁2xUnj+14(k+1)2Unj󰀁0,Unj󰀁gj,

(13)U0j=gj,Unj=g0,UnN=0,n=1,2,󰀁,M,j=1,2,󰀁,N-1󰀁(14)记N维向量Un=(Un0,󰀁,UnN-1)T,G=(g0,󰀁,gN-1)T引进RN中的闭凸子集󰀁N={U󰀁RN󰀁U󰀁G,U0=g0}󰀁那么差分方程(12)~(14)的矩阵方程形式为:求Un󰀁󰀁N,U0=G使满足(Un-Un-1+󰀁tAUn,Un-G)=0,(15)Un-Un-1+󰀁tAUn󰀁0,n=1,2,󰀁,M󰀁(16)其中,(󰀁,󰀁)表示向量欧式内积,用󰀁󰀂󰀁表示相应的范数,A=(aij)为对称正定的三对角矩阵,其元素为

aii=2h2+14(k+1)2,ai,i󰀁1=-1h2󰀁

2󰀁差分方程的适定性和误差分析

为了研究差分方程(15)~(16)解的存在惟一性、稳定性和收敛性,需要将其转化为等价的变分方程形式󰀁定理1󰀁Un为差分方程(15)~(16)解的充要条件是Un󰀁󰀁N,U0=G满足如下线性变分不等式方程(Un-Un-1+󰀁tAUn,V-Un)󰀁0,󰀁V󰀁󰀁N󰀁(17)证明󰀁设Un为(15)~(16)的解󰀁利用方程(16),对任意V󰀁󰀁N(注意V󰀁G)可得(Un-Un-1+󰀁tAUn,V-G)󰀁0,再减去式(15)推得方程(17)成立󰀁反之,设Un󰀁󰀁N为方程(17)的解󰀁在方程(17)中取V=Un+C,向量C󰀁0,则得到(Un-Un-1+󰀁tAUn,C)󰀁0,由向量C󰀁0的任意性知方程(16)成立󰀁再取C=Un-G得到(Un-Un-1+󰀁tAUn,Un-G)󰀁0󰀁在方程(17)中取V=G,结合此式推得方程(15)成立,证毕󰀁方程(17)可进一步改写为:求Un󰀁󰀁N,U0=G使满足(BUn-Un-1,V-Un)󰀁0,󰀁V󰀁󰀁N,(18)其中,B=I+󰀁tA󰀁这是与问题(15)~(16)等价的RN中线性变分不等式方程󰀁由于B是对称正定的,因此它的解Un󰀁󰀁N惟一存在󰀁关于问题(17)的各种求解方法可参见文献[5~10]󰀁下面进行稳定性和收敛性分析󰀁定理2󰀁差分方程(15)~(16)按向量A󰀁范数󰀁U󰀁A=(AU,U)是绝对稳定的,即191第2期󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁张󰀁铁等:求解股票期权定价问题的差分方法󰀁Un󰀁A󰀁󰀁U0󰀁A,n=0,1,󰀁,M󰀁证明󰀁在方程(17)中取V=(Un+Un+1)/2󰀁󰀁N,利用柯西不等式得到󰀁Un-Un-1󰀁2+12󰀁t󰀁Un󰀁2A󰀁12󰀁t󰀁

(AUn,Un-1)󰀁12󰀁t󰀁Un󰀁A󰀁Un-1󰀁A,

由此推得定理2结论成立󰀁设精确解u(t,x)在tn时间层的节点值向量un=(u(tn,x0),󰀁,u(tn,xN-1))T,误差向量󰀁n󰀁(󰀁n0,󰀁,󰀁nN-1)T󰀁那么由方程(9)~(11),完成类似定理1的证明,可知un󰀁󰀁N,u0=G满足(un-un-1+󰀁tAun+󰀁n,v-un)󰀁0,󰀁v󰀁󰀁N󰀁(19)定理3󰀁设u(t,x)为问题(5)~(7)解,Unj为(12)~(14)定义的差分近似解,则成立如下误差估计󰀁un-Un󰀁h󰀁2aT1(󰀁t/2+h2/12)󰀁maxt,x(|utt(t,x)|+|u(4)x(t,x)|),n=1,2,󰀁,

这里󰀁un󰀁h=󰀁N-1j=0h|unj|2表示离散L2󰀁范数󰀁

证明󰀁记误差向量en=un-Un,则有(en,en)+󰀁t(Aen,en)=(un,un-Un)+󰀁t(Aun,un-Un)-(Un,un-Un)-󰀁t(AUn,un-Un)󰀁(20)由un和Un所满足的方程(17)和(19)可知(un,un-v)+󰀁t(Aun,un-v)󰀁(un-1-󰀁t󰀁n,un-v),v󰀁󰀁N,(21)(Un,Un-V)+󰀁t(AUn,Un-V)󰀁(Un-1,Un-V),V󰀁󰀁N,(22)在式(21)和(22)中分别取v=Un,V=un结合式(20)~(22)得到󰀁en󰀁2+󰀁t󰀁en󰀁2A󰀁(un-1-󰀁t󰀁n,en)-(Un-1,en)=(en-1,en)-󰀁t(󰀁n,en)󰀁(󰀁en-1󰀁+󰀁t󰀁󰀁n󰀁)󰀁en󰀁󰀁由此式得到󰀁en󰀁h󰀁󰀁en-1󰀁h+󰀁t󰀁󰀁n󰀁h,n=1,2,󰀁关于n求和,注意e0=0,n󰀁t󰀁T1,得到

󰀁en󰀁h󰀁󰀁t󰀁nk=1󰀁󰀁k󰀁h󰀁T1max1󰀁k󰀁n󰀁󰀁k󰀁h,

由式(8)且注意hN=2a,可得到󰀁󰀁n󰀁h󰀁2a(󰀁t/2+h2/12)󰀁maxt,x(|utt(t,x)|+|u(4)x(t,x)|),从而定理3得证󰀁3󰀁数值计算例

考虑由差分方程导出的线性变分不等式方程(17)的求解󰀁为了处理x0点的边值条件,引进N

-1维向量b=󰀁th2g(x0),0,󰀁,0T󰀁采用投影

SOR方法[11]求解变分不等式方程(17),记1<󰀁<2为超松弛因子󰀁主要计算步骤如下:(1)计算U0=G=(g(x1),g(x2),󰀁,g(xN-1))T,F0=U0+b;(2)对n=0,1,󰀁,M-1循环执行步(3)到步(6);(3)V0=max(G,Un);(4)对i=1,2,󰀁,N-1计算,Vi=(Fni-ai,i-1Vi-1-ai,i+1V0i+1)/aii,Vi=max(gi,V0i+󰀁(Vi-V0i));(5)如果󰀁V-V0󰀁󰀂󰀁执行步(6);否则,置V0=V转步(4);(6)置Un+1=V,Fn+1=Un+1+b󰀁利用上述计算程序计算出中间变量xi,Un

后,再利用变换(4)即可求出tn=T-n󰀁t12󰀁2

时刻与股票价格Si=Eexi相应的期权值

P(tn,Si)=Ee-12(k-1)xiUni󰀁现在考虑一个在期权执行内不付红利的美式看跌股票期权的估值󰀁设相关数据为E=60,r=0󰀁10,󰀁=0󰀁30,期权执行期分别为T=3,6,9,12个月󰀁假设当前时刻股票价格为S=60,下面将对不同的执行期T,计算当前时刻与S=60相应的期权值󰀁取计算区域(x,t)󰀁[-a,a]󰀁[0,T1],a=

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美式分期付款期权定价模型的有限差分法

美式分期付款期权定价模型的有限差分法

第３ｏ卷第６期　工　程　数　学　学　报　ｖ０１．３０　Ｎｏ．６　２０１３￣ｚ１２３　ＣＨＩＮＥＳＥ　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｄｅｃ．２０１３　

ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００５－３０８５．２０１３．０６．００１　文章编号：１００５—３０８５（２０１３）０６—０７９１—１３　

美式分期付款期权定价模型的有限差分法米　

顾锋娟，岑仲迪，乐安波　

（浙江万里学院数学研究所，宁波３１５１００）　

摘要：由于Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ微分算子是对流占主的微分算子，对其在等距网格上应用中心差分　格式离散会导致数值解产生非物理震荡．本文对连续支付美式分期付款期权定价模型　构造了基于自适应网格的有限差分策略，它采用中心差分格式离散空间变量导数项，　构造分片一致网格使得与离散算子相应的系数矩阵为Ｍ一阵，以保证所构造差分策略　对于任意波动率和任意利率都是无穷模意义下稳定的．应用光滑化技巧来有效处理终　值条件的不光滑性，通过区分不同网格点集，在相应的网格点集上应用极大模原理来　直接导出误差估计，证得此有限差分策略是关于标的资产价格二阶收敛的，并且利用　数值解求得美式分期付款期权的最优执行边界和最优终止边界，数值实验证实了理论　结果的准确性．　

关键词：分期付款期权；美式期权；线性互补问题；中心差分；分片一致网格　

分类号：ＡＭＳ（２０００）６５Ｍ０６；６５Ｍ１２；６５Ｍ５０　中图分类号：Ｏ２４１．８２　文献标识码：Ａ　

１　引言　

连续支付美式分期付款期权是一种新型期权，与标准的美式期权不同，连续支付美式　

分期付款期权的期权金不是在初始时刻一次性支付，而是首先在期初支付一部分期权金，　

然后每隔单位时间以一定的分期付款率支付余下的期权金．期权持有人可以在任意付款期　终止付款，一旦在某个付款期终止了付款，就表示持有人放弃了该份期权．持有人只有按　期支付期权金，才能获得到期日或者到期日之前实施期权的权利．因此，连续支付美式分　

期权定价公式的二叉树推导与分析

期权定价公式的二叉树推导与分析

期权定价公式的二叉树推导与分析

期权作为金融衍生品的重要组成部分，对于投资者和风险管理师来说具有重要意义。期权的价值取决于多种因素，包括标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率、波动率等。期权的定价是金融领域的一个重要问题，准确的期权定价可以帮助投资者更好地进行投资决策和风险管理。本文将介绍期权的定价公式，并通过二叉树的方法推导期权的价格，最后对各种情况下期权定价的计算方法与特点进行分析。

期权的定价公式是由费雪·布莱克、迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿提出的布莱克-斯科尔斯模型。该模型基于一些假设，例如无摩擦市场、无套利机会等，通过 Black-Scholes方程求解期权的定价。具体公式如下：

C = SₐN(d1) - XₐN(d2)

其中， C为期权的公允价值； Sₐ为标的资产当前的价格； Xₐ为期权的行权价格； N(d1)和 N(d2)分别为正态分布变量的累积分布函数；

d1和 d2分别为： d1 = (ln(Sₐ/Xₐ) + (r + σ²/2)T) / (σ√T) d2

= d1 - σ√T T为期权的剩余到期时间，以年为单位； r为无风险利率； σ为标的资产的年波动率。 二叉树方法是一种常用的期权定价模型，它可以用来推导期权的预期价格。二叉树方法的思路是将期权的到期时间划分为若干个时间段，并假设标的资产在每个时间段内只有两种可能的价格，即上涨或下跌。基于这个假设，我们可以构建一个二叉树来描述标的资产的价格变动情况。

假设初始时刻为 t0，标的资产的价格为 S0，行权价格为 X。在每个时间段 Δt内，标的资产的价格有两种可能的变化：上涨到 Su = S0

× u，或者下跌到 Sd = S0 × d，其中 u > 1，d < 1，u和 d分别为标的资产的上涨和下跌因子。假设该期权的剩余到期时间为 T，共分为 n个时间段。那么在 t0时，该期权的预期价格为：

C0 = ∑CN(d1, d2, u, d) × (u × S0 - X)^+ × Δt

第08章 期权定价的数值方法

第08章 期权定价的数值方法

第八章 期权定价的数值方法

在前面几章中，我们得到了期权价值所满足的偏微分方程，并且解出了一些精确的期权解析定价公式。但是在很多情形中，我们无法得到期权价值的解析解，这时人们经常采用数值方法（Numerical Procedures）为期权定价，其中包括二叉树方法（Binomial Trees）、蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）和有限差分方法（Finite Difference Methods）。当期权收益依赖于标的变量所遵循的历史路径时（如我们将在第九章看到的路径依赖期权），或是期权价值取决于多个标的变量的时候，可以用蒙特卡罗模拟为期权定价。而二叉树图和有限差分方法则比较适用于有提前执行可能性的期权。在这一章里，我们将介绍如何借助上述三种数值方法来为期权定价。为了便于表达，本章中统一假设当前时刻为零时刻，表示为0。

第一节 二叉树期权定价模型

二叉树期权定价模型是由J. C. Cox、S. A. Ross和M. Rubinstein于1979年首先提出的，已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以加以应用。

一、二叉树模型的基本方法

我们从简单的无收益资产期权的定价开始讲解二叉树模型，之后再逐步加以扩展。

二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔t，并假设在每一个时间间隔t内证券价格只有两种运动的可能：从开始的S上升到原先的u倍，即到达Su；下降到原先的d倍，即Sd。其中，1u，1d，如图8.1所示。价格上升的概率假设为p，下降的概率假设为1p。

pSuS1-pSd

图8.1 t时间内资产价格的变动

相应地，期权价值也会有所不同，分别为uf和df。

注意，在较大的时间间隔内，这种二值运动的假设当然不符合实际，但是当时间间隔非常小的时候，比如在每个瞬间，资产价格只有这两个运动方向的假设是可以接受的。因此，二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动。

期权定价理论与方法综述

期权定价理论与方法综述

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期权定价理论与方法综述

期权定价理论是现代金融学基础之一。在对金融衍生品研究中，期权定价的模型与方法是最重要、应用最广泛、难度最大的一种。1973年，被誉为“华尔街第二次革命” B-S-M期权定价模型正式提出，随之成为现代期权定价研究的基石。这与现代期权在1973年的上市一起，标志着金融衍生品发展的关键转折。现代期权定价的理论和方法在国外经过三十多年的发展已经日趋成熟。随着沪深300股指期权的积极推进，国内金融市场或将迎来期权这一全新金融工具。因此，国内期权定价的研究会更具发展前景和现实意义。

期权最重要的用途之一是管理风险，要对风险进行有效的管理，就必须对期权进行正确的估价。期权定价理论和方法的产生和完善对于推动期权市场的发展起到了巨大的作用。期权定价研究得出的基本原理和方法被广泛应用于宏观、微观的经济和管理问题的分析和决策，其中在财务方面的应用最为集中，以及在投资决策等方面都有广泛的应用。

本文主要是对期权定价的综述，内容包括两个方面：

1 期权定价理论模型

1.1 B-S-M模型之前的期权定价理论

1.2 B-S-M模型

1.3 B-S-M模型之后的期权定价理论

2 期权定价数值方法

2.1 树形方法

2.2 蒙特卡洛模拟

2.3 有限差分方法

2.4 新兴方法：神经网络

2.5 非完全市场下的期权定价方法

1. 期权定价理论模型的发展

1.1. B-S-M模型之前的期权定价理论

历史上的期权交易可以追溯到古希腊时期，并于17世纪荷兰“郁金香投机泡沫”和18世纪美国农产品交易中相继出现。期权定价的理论模型的历史却比较短。期权定价理论的研究始于1900年，由法国数学家巴舍利耶（L.Bachelier）2 / 12

在博士论文《投机理论》中提出。他首次引入了对布朗运动的数学描述，并认为股票价格变化过程就是一个无漂移的标准算术布朗运动。这一发现沉寂了五十年后才被金融界所接受，被称为“随机游走”或“酒鬼乱步”。巴舍利耶在此基础上，通过高斯概率密度函数将布朗运动和热传导方程联系起来，得出到期日看涨期权的期望值公式：