椭圆中焦点三角形的性质及应用

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简证性质2：
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三、典例解读
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三、考察焦点直角三角形
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四、考察焦点三角形的面积
例
1:已知点 F1 、F2 分别是椭圆
x2 2
y2Байду номын сангаас1
1 的左、右
焦点，过
F2
作倾斜角为
4
的直线交椭圆于
A、B
两点，
求 △F1 AB 的面积.
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椭圆的焦点三角形的 性质
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1
一、定义：
• 椭圆上一点和两焦点 组成的三角形叫焦点 三角形；有一个角为 直角的焦点三角形叫 焦点直角三角形
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2
二、几个性质结论
• 1：该三角形一边长为焦距，另两边的和为 定值。
• 2：椭圆焦点三角形中，顶点在椭圆上的点 到另两点的张角中，以短轴端点到这两点 的张角最大。
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|｜PF｜2 ｜PF｜1
a
ex
(a
ex)
2ex
2
4 5
x
，
5
x
0
，
∴0＜|F2N|＜8，∴0＜|OM|＜4．
若 P 在椭圆的右半部分时，同样可得出 0＜|OM|＜4，故选：B．
方法二 极限法，当 P 在左端点时，|OM|=4，在 P 上顶点时，|OM|=0，∴0＜|OM|＜4．
三 课后练习：
1.(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为23，
x2
令椭圆方程为
a2
y2 b2
1(a b 0)
则由椭圆的定义有 | PF1 | | PF2 | 2a , | F1F2 | 2c ,
∴
| PF1 | | PF2 |
| F1F2 | 2c
sin PF2F1 sin PF1F2 sin F1PF2
又 ∵ PF1F2 5PF2F1 ， ∴ PF1F2 750 ， PF2F1 150 ，
4．(2019
南昌模拟)P
为椭圆 x2 ＋y2＝1 25 9
上一点，F1，F2
分别是椭圆的左、右焦点，过
P
点作
PH⊥F1F2
于
点 H，若 PF1⊥PF2，则|PH|＝( )
A.25
B.8
4
3
C．8
D.9
4
解析：选 D 由椭圆 x2 ＋y2＝1 得 a2＝25，b2＝9， 25 9
则 c＝ a2－b2＝ 25－9＝4，∴|F1F2|＝2c＝8.由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
A. (0, 3 ] 2

思路
1：当 F1PF2 最大时，由面积公: SF1PF2
b2tan 2源自可知，焦点三角形的面积也达到最大.
所以焦点三角形的面积最大时，P 在短轴的端点处.
思路 2： S 1 ×底×高. 点 P 的纵坐标的绝对值
2
F1F2 2c
当 P 点在椭圆上运动时，纵坐标的绝对值在短轴的端点处取得最大值，
所以 P 在短轴端点处焦点三角形取得面积的最大值.
证明：在 F1PF2 中，由余弦定理得：
cos
PF12 PF22 F1F22 2PF1 • PF2
(PF1 PF2 )2 2PF1 • PF2 4c2 2PF1 • PF2
4a2 4c2 2PF1 • PF2
1 2a2 2c2 PF1 • PF2
1
2a2 2c2 ( PF1 PF2 )2
1. 建构数学
椭圆的焦点三角形：
(1)定义：椭圆上任意一点(异于长轴端点)与椭 圆的两个焦点所组成的三角形叫椭圆的焦点三 角形.
（2）焦点三角形构成要素之间的关系
以椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 为例，两焦点分别为 F1, F2 , 椭圆上
任意一点为 P，设焦点三角形 PF1F2
①焦点三角形的构成： 三边：两条焦半径 PF1, PF2 ，焦距 F1F2 ， 三角：设 F1PF2 , PF1F2 , PF2F1 .
1时，点
P
个数为
0
个
② max
90,
2b2 a2
1时，点
P
个数为
2
个
③ max
90,
2b2 a2
1时，点
P
个数为
4

椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

与焦点三角形的有 关问题有意地考查了定义、三角形中的的正 (余)弦定理、内角和定理、面积公式等一•焦点三角形的形状判定及周长、面积计算2 2例1椭圆 ・ 1 1上一点P 到焦点F 「F 2的距离之差为2，试判断：PF 1F 2的形状. 16 12 性质一： 2 2已知椭圆方程为 笃•爲=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2,设焦点三角形 a bPF 1F 2 中. F 1PF 2 ",则 S -F 1PF 2 形PF 1F 2，若一 F 1 PF 2最大，则点P 为椭圆短轴的端点。

性质三：h 厶 过椭圆焦点的所有弦中通径 (垂直于焦点的弦)最短，通径为2 b a 性质四： 2 2已知椭圆方程为 务•每=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2,设焦点三角形a b2PF 1F 2 中 FfF 2- V,则 COST 一1 — 2e . 2 2一x y 例2 (2000年高考题)已知椭圆 — 2 =1(a b 0)的两焦点分别为F-F 2,若椭圆上a b存在一点P,使得三F 1PF 2二12。

0,求椭圆的离心率e 的取值范围。

二 b 2 tan —。

2 性质二：已知椭圆方程为 2 2+着 x 2 = 1(a b ■ 0),左右两焦点分别为F 1, F 2,设焦点三角例3已知椭圆的焦点是F i( —1, 0)、F2(1 , 0) , P为椭圆上一点，且| IF1F2 I 是 | PF I 和PR丨的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且/ PFF2= 120°,求tan F1PF2.欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

一
２ ． 故 答 案 为 Ｄ．
２ 、ｆ ２
所以 ｌ Ｐ Ｆ ． １ 『 Ｐ Ｆ 。 Ｉ ＝ （ 『 Ｐ Ｆ 『 ＋『 Ｐ Ｆ 。 Ｉ ） －４ ｃ
２ （ １ ＋Ｃ Ｏ Ｓ ０ ）
４ｎ ２— ４ｃ ２ ｂ
性质 四： 已 知 椭 圆 方 程 为 ＋ 一 ｌ （ ｎ＞ ６＞ ｏ） ・ 两 焦 点 分 别 为 Ｆ ， Ｆｚ ， 设 焦 点 三 角 形 ＰＦ Ｆ 中 Ｆ ＰＦ 一 ０， 则
（ 异 于 长 轴 的 端 点） ，则 称
△Ｆ ＰＦ 为 椭 圆 的 焦 点 三
证明 ： 设 Ｐ（ 。 ， Ｙ 。 ） ， 由焦 半 径公 式可 知 ： ｌ Ｐ Ｆ ｌ 一口＋
ｅ ｏ ， ｌ ＰＦ１ 口一ｅ １ ． Ｔ ｏ ．
角形 ．
性质一 ： 过椭圆焦点 的所 有弦 中通 径 （ 垂 直于焦 点的 弦 ） 最短。 通 径 为 ．
ｙ ａ
在
一
一
刚一
一 ４ ｂ
半
一 一
例 １ 设 椭 圆ｘ ｚ
十
一１ （ ｃ ￡ ＞６ ＞０ ） 的右 焦点 为 Ｆ ， 右 准
（ １ Ｐ Ｆ Ｉ ＋ｌ Ｐ Ｆ ： ｛ ） 。 一２ Ｉ Ｐ Ｆ Ｉ Ｉ Ｐ Ｆ ｌ 一４ ｃ ２ ｌ Ｐ Ｆ Ｉ ｌ Ｐ Ｆ
６ ｚ ｔ ａ ｎ 要一 ｔ ａ ｎ ， 所 以 当 △ Ｆ Ｐ Ｆ 的 面 积 最 大 时 ， ０ 为 最 大 ，
这 时 点 Ｐ 为 椭 圆 短 轴 的端 点 ， ０ —１ ２ ０ 。 ．
所 以Ｐ Ｆｌ ・ＰＦ ２ 一ｌ Ｐ Ｆｌ Ｉ・ｆ Ｐ Ｆ ｚ Ｊ Ｃ Ｏ Ｓ ０ 一Ⅱ Ｃ Ｏ Ｓ １ ２ ０ 。 一
ｃ ｏ ｓ ８ ≥１ —２ ｅ 。 ．

m2 n2 4c2
2 PF1 PF2
2mn
(m n)2 2mn 4c2 4a2 2mn 4c2 4b2 2mn 2b2
1
2mn
2mn
2mn mn
2b2 1 2b2 1
(m n)2
a2
2
(当且仅当m n,即P点与短轴端点重合时" "成立)
考点2 有关角的问题：
例2
椭圆
x2 9
x2 8
y2 4
1的焦点,
在C上满足PF1 PF2的点P的个数为______
椭圆与圆的交点
y F1
P
F2xຫໍສະໝຸດ 考点3 有关离心率的问题：
例3 变式 :（09江西）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1 MF2 0
的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 _______
0e 2 2
变式 ：已知，椭圆 x 2 y 2 1(a>b>0) 上任意一点P，
1 3
OF1
．
（Ⅰ）证明a 2b；（Ⅱ）略
归纳小结:
基本概念
焦点三角形
性质及应用
思想方法
性质一：当点P从右至左运动时，F1PF2 由锐角变成直角， 又变成钝角,过了Y轴之后,对称地由钝角变成直角 再变成
锐角，并且发现当点P与短轴端点重合时，F1 PF2 达到最大。
结论： 椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点对椭圆 两焦点所成张角中最大的角
观看演示：
cos
PF1 2
PF2 2 F1F2 2
则点P到 x 轴的距离为（ ）
A. 9 B. 9 7 C. 9 D. 9 或 9 7
5
7
4

考点4 有关面积的问题：
例4
x2 y 2 P是椭圆 1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点， 5 4
若F1 PF2

3
, 则PF1 F2的面积等于 _______ 。
怎样改动，使上面Байду номын сангаас是一个错题？
x2 y2 一：P是椭圆 1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点， 5 4 若F1 PF2
解: 设 PF1 m， 2 n，由余弦定理得 PF
m n 2mn cos F1 F2
2 2 2
4c 2 ①
由椭圆定义得m n 2a② 2( a 2 c 2 ) 2b 2 由①得：mn 1 cos 1 cos 1 sin 2 2 S F1PF2 mn sin b b tan 2 1 cos 2
x2 y 2 例3 已知椭圆 2 2 1(a b 0)的两焦点分别为F1 , F2 , a b 若椭圆上存在一点P, 使得F1 PF2 1200 , 求椭圆的离心率e 的取值范围。
由前面考点二的分析，你能得出cos F1 PF2
与离心率e的关系吗？
性质二：已知椭圆方程为
x2 y2 2 1(a b 0), 两焦点分别 2 a b
变式：
1. 2006四川） （ 如图把椭圆的长轴AB分成8分， 过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分 于P , P2 , P7 七个点，F是椭圆的一个焦点， 1 则 P F P2 F P7 F _________ 1
x2 y 2 2. 已知F1、F2是椭圆 1的左, 右焦点, 点P在 25 9 椭圆上运动,则 PF1 PF2 的最大值是_______
2

2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆。

θcos 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PFθθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c PF PF PF PF 1222121sin sin tan 21cos 2F PF b S PF PF b θθθθ∆∴===+ 性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。

证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ∆中，2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122222--ox e a b a x a ≤≤-0 22a x o ≤∴性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。

椭圆中的“焦点三角形”性质及应用
章显军
【期刊名称】《中学教学参考》
【年(卷),期】2013(000)014
【摘要】“焦点三角形”问题是考试中比较常见的考题．椭圆“焦点三角形”的定义为：椭圆上的任意一点（除长轴端点外）与两个焦点构成的三角形．通常“焦点三角形”的问题都有意地考查了椭圆的定义、三角形中的正弦、余弦定理、三角形的面积、内角大小等知识，现笔者就椭圆“焦点三角形”的性质及应用举例分析如下．
【总页数】1页(P39)
【作者】章显军
【作者单位】浙江苍南县钱库高级中学 325804
【正文语种】中文
【相关文献】
1.椭圆中焦点三角形的性质及应用探究
2.椭圆焦点三角形的性质探究与应用——椭圆的“第三定义”
3.一个椭圆焦点三角形内心的定值性质、拓展与应用
4.一个椭圆焦点三角形内心的定值性质、拓展与应用
5.椭圆或双曲线中焦点三角形的一个性质及应用
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椭圆焦点三角形性质的探究及应用
李生兵
【期刊名称】《数学教育研究》
【年(卷),期】2014(000)002
【摘要】在椭圆中，以椭圆x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的两个焦点F1，F2，及椭圆上任意一点P（除长轴上两个端点外）为顶点的△F1PF2叫椭圆的焦点三角形．在△F1PF2中，由椭圆的定义知｜PF1｜＋｜PF2｜=2a（2a〉2c）和焦距｜F1F2＋=2c都是常数．与焦点三角形有关的问题是高考的热点，题型灵活多样，主要考查椭圆定义、三角形中的的正（余）弦定理、内角和定理、面积公式等，以下探究几个一般性的性质．
【总页数】2页(P63-64)
【作者】李生兵
【作者单位】甘肃省高台县第一中学,734300
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.椭圆中焦点三角形的性质及应用探究 [J], 任双宝
2.椭圆焦点三角形性质的探究及应用 [J], 李生兵
3.从一道预赛试题探究椭圆焦点三角形外接圆的性质 [J], 陈良骥
4.椭圆焦点三角形的性质探究与应用——椭圆的“第三定义” [J], 洪汪宝
5.中职数学问题探究"学与教"实践研究——以椭圆焦点三角形性质为例 [J], 王统增
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椭圆焦点三角形性质是椭圆的一个重要性质，它是椭圆的一种特殊的三角形，它的特点是它的三个顶点都在椭圆的焦点上。

椭圆焦点三角形的性质有以下几点：1、椭圆焦点三角形的三个顶点都在椭圆的焦点上，这是椭圆焦点三角形的最大特点。

2、椭圆焦点三角形的三条边都是椭圆的椭圆轴，也就是说，椭圆焦点三角形的三条边都是椭圆的椭圆轴。

3、椭圆焦点三角形的三个内角都是相等的，也就是说，椭圆焦点三角形的三个内角都是相等的。

4、椭圆焦点三角形的三条边都是等长的，也就是说，椭圆焦点三角形的三条边都是等长的。

5、椭圆焦点三角形的三个外角都是相等的，也就是说，椭圆焦点三角形的三个外角都是相等的。

6、椭圆焦点三角形的三个顶点都在椭圆的焦点上，这意味着椭圆焦点三角形的三个顶点都在椭圆的焦点上，而不是在椭圆的椭圆轴上。

7、椭圆焦点三角形的三条边都是等腰的，也就是说，椭圆焦点三角形的三条边都是等腰的。

8、椭圆焦点三角形的三个外角都是相等的，也就是说，椭圆焦点三角形的三个外角都是相等的。

9、椭圆焦点三角形的三个内角都是相等的，也就是说，椭圆焦点三角形的三个内角都是相等的。

10、椭圆焦点三角形的三条边都是等腰的，也就是说，椭圆焦点三角形的三条边都是等腰的。

椭圆焦点三角形的性质是椭圆的一个重要性质，它是椭圆的一种特殊的三角形，它的特点是它的三个顶点都在椭圆的焦点上，而不是在椭圆的椭圆轴上。

椭圆焦点三角形的三条边都是等长的，三个内角和三个外角都是相等的，这是椭圆焦点三角形的特点。

椭圆焦点三角形的性质在几何学中有着重要的应用，它可以用来求解椭圆的焦点，以及椭圆的椭圆轴的长度等问题。

此外，椭圆焦点三角形的性质也可以用来求解椭圆的面积，以及椭圆的周长等问题。

总之，椭圆焦点三角形的性质是椭圆的一个重要性质，它的特点是它的三个顶点都在椭圆的焦点上，而不是在椭圆的椭圆轴上，它的三条边都是等长的，三个内角和三个外角都是相等的，它在几何学中有着重要的应用。

椭圆的焦点三角形关键信息项：1、椭圆的方程及相关参数2、焦点三角形的定义及构成要素3、焦点三角形的边长关系4、焦点三角形的面积计算公式5、与焦点三角形相关的几何性质及应用6、涉及焦点三角形的常见题型及解题方法1、椭圆的基本概念11 椭圆的标准方程焦点在 x 轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$）焦点在 y 轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$）其中，＄a$为椭圆的长半轴，＄b$为椭圆的短半轴，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 b^2$。

12 椭圆的焦点焦点在 x 轴上时，焦点坐标为$（＼pm c, 0)＄焦点在 y 轴上时，焦点坐标为$（0, ＼pm c)＄2、焦点三角形的定义21 焦点三角形是指以椭圆的两个焦点$F_1$，＄F_2$和椭圆上任意一点$P$（不与焦点重合）为顶点所构成的三角形，记为$＼triangleF_1PF_2$。

3、焦点三角形的边长关系31 根据椭圆的定义，＄｜PF_1| ＋｜PF_2| ＝ 2a$32 在$＼triangle F_1PF_2$中，由余弦定理可得：＄｜F_1F_2|＾2 ＝｜PF_1|＾2 ＋｜PF_2|＾2 2|PF_1| ｜PF_2| ＼cos ＼theta$，其中$＼theta$为$＼angle F_1PF_2$。

4、焦点三角形的面积计算公式41 ＄S_{＼triangle F_1PF_2} ＝ b^2 ＼tan\frac{＼theta}｛2}＄42 也可以表示为$S_{＼triangle F_1PF_2} ＝＼frac{1}｛2} ｜PF_1| ｜PF_2| ＼sin ＼theta$5、与焦点三角形相关的几何性质及应用51 当点$P$为短轴端点时，＄＼angle F_1PF_2$最大。

52 焦点三角形的内切圆半径$r$与三角形面积和周长之间的关系。

, dmin 2 2
F1
O
F2
x
x2 (2)已知直线l : x y m 0与椭圆C : y 2 1, 4 交于A, B两点，求|AB | 的最大值.
4 10 5
(2)当F 1PF 2 60 时，求F 1PF 2的面积；
4 3 3

y
F1
o
F2
x
x2 y 2 变式：已知椭圆 2 2 1 (a b 0), 焦点坐标为F1 , F2 , 点P为椭圆上的动点， a b 2 S△ PF1F2 b tan 若F1PF2 时，求F1PF2的面积； 2
2
xp2
yp2
F1
o
P F2
x
PF1 PF2 2 cos F1PF2 0 PF1 PF2 0 ( 5 x p )( 5 x p ) y p 0 | PF1 || PF2 |
4 2 9 3 5 3 5 2 x ( , ) xp 5 y p 0 x p 5 4 x p 0 x p p 9 5 5 5
3. 椭圆上一点到定直线的距离的最值问题
x2 y 2 例1：已知椭圆 1，直线L : 4 x 5 y 40 0， 25 9 椭圆上是否存在一点，它到直线L的距离最小？ 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l， 则l可写成： 4x 5 y k 0
4 x 5 y k 0 2 2 由方程组 x y 1 25 9 2 2 消去y，得25x 8kx k - 225 0
x2 y 2 2.在椭圆 C： 2 2 1（ a b 0 ）中， F1 和 F2 是椭圆的两个焦 a b

椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法焦点三角形的定义与常用性质1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。

一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立12+AF AF ，2212+AF AF ，12AF AF 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（设12∠F AF 为 ）2、常用性质性质1：122+=AF AF a ，122+=BF BF a （两个定义）拓展：12∆AF F 的周长为121222++=+AF AF F F a c1∆ABF 的周长为12124+++=AF AF BF BF a性质2：222212121242cos ==+-c F F AF AF AF AF θ（余弦定理）性质3：当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大推导：由性质2得，()222221212121212244c cos 22+--+-==AFAF AF AF c AF AF AF AF AF AF θ()222121212224221--==-a AF AF cb AF AF AF AF .∵212212+=22⎛⎫≤ ⎪⎝⎭AF AF AF AF a ，当且仅当12=AF AF 时，即点A 是短轴端点时取等号，∴2221222cos 11=-≥-b b AF AF aθ.又∵cos =y θ在()0,π上单调递减，∴当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大。

性质4：122121sin tan 22∆===AF F A S AF AF b c y θθ当=A y b ，即A 为短轴的端点时，12∆AF F 的面积最大，最大值为bc推导：由性质3的推导过程得2122cos 1=-b AF AF θ∴21221cos =+b AF AF θ，∴122221222sincos 11222sin sin tan 221cos 22cos 2∆==⋅⋅=⋅=+AF F b S AF AF b b θθθθθθθ题型一椭圆中焦点三角形的周长问题【例1】已知∆ABC 的顶点B ，C 在椭圆2211216x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则∆ABC的周长是（）A．23B．3C．8D．16【变式1-1】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2∆ABF 的周长为16，则=a （）A．2B．4C．6D．8【变式1-2】椭圆C ：2221(0)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于左右顶点的任意一点，1PF 、2PF 的中点分别为M 、N ，O 为坐标原点，四边形OMPN 的周长为4，则12∆PF F 的周长是_____．【变式1-3】已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF 的周长的最小值为______．题型二椭圆中焦点三角形的面积问题【例2】椭圆C ：2214924x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若18PF =，则12PF F △的面积为（）A．48B．40C．28D．24【变式2-1】设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A．6B．C．8D．【变式2-2】已知1F 、2F 为椭圆22:14x y Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）B．2C．D．4【变式2-3】已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为（）B．155题型三椭圆中焦点三角形的个数问题【例3】已知点1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若点P 为椭圆上一动点，则使得123F PF π∠=的点P 的个数为（）A．0B．2C．4D．不能确定【变式3-1】设椭圆22:184x y Γ+=的左、右两焦点分别为1F ，2F ，P 是Γ上的点，则使得12PF F △是直角三角形的点P 的个数为_________.【变式3-2】已知1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且12MF F △的内切圆的周长等于π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．0D．不确定【变式3-3】若1F 、2F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的任意一点，且12MF F △的内切圆的周长为3π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．6D．不确定题型四椭圆中焦点三角形的顶点坐标问题【例4】已知1F 、2F 为双曲线C :221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，21PF F ∠=︒60，则P 到x 轴的距离为（）A.2B.2【变式4-1】已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若12PF F △为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为（）或94B．3D．94【变式4-2】椭圆22194x y +=的焦点F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（）A．B．）C．（﹣5，5）D．（﹣5，5）【变式4-3】椭圆22:14x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，点M 为其上的动点，当12F MF ∠为钝角时，点M 的纵坐标的取值范围是____________.题型五椭圆中焦点三角形的中位线问题【例5】设1F ，2F 为椭圆22194x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（）A．513B．45C．27D．49【变式5-1】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）B．D．【变式5-2】已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则AN BN +的值为（）A．6B．12C．18D．24【变式5-3】如图，若P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，()F -为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与PF 相切于中点，则椭圆C 的方程为___________.题型六椭圆中焦点三角形的角平分线问题【例6】已知1F ，2F 是椭圆C ：22214x y b+=的左、右焦点，离心率为12，点A 的坐标为3(1,)2，则12F AF ∠的平分线所在直线的斜率为（）A．2B．1【变式6-1】已知12F F ，是椭圆221369x y+=的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（）A．5B．4C．3D．2【变式6-2】已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，2MF 是角21PF F ∠的外角平分线，则1MPF 与2MPF 的面积之和为()A．1B．32C．2D．3【变式6-3】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，P 是椭圆上任一点，从2F 引12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．圆B．两个圆C．椭圆D．两个椭圆。