椭圆中焦点三角形的性质及应用

椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

与焦点三角形的有 关问题有意地考查了定义、三角形中的的正 (余)弦定理、内角和定理、面积公式等一•焦点三角形的形状判定及周长、面积计算2 2例1椭圆 ・ 1 1上一点P 到焦点F 「F 2的距离之差为2，试判断：PF 1F 2的形状. 16 12 性质一： 2 2已知椭圆方程为 笃•爲=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2,设焦点三角形 a bPF 1F 2 中. F 1PF 2 ",则 S -F 1PF 2 形PF 1F 2，若一 F 1 PF 2最大，则点P 为椭圆短轴的端点。

性质三：h 厶 过椭圆焦点的所有弦中通径 (垂直于焦点的弦)最短，通径为2 b a 性质四： 2 2已知椭圆方程为 务•每=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2,设焦点三角形a b2PF 1F 2 中 FfF 2- V,则 COST 一1 — 2e . 2 2一x y 例2 (2000年高考题)已知椭圆 — 2 =1(a b 0)的两焦点分别为F-F 2,若椭圆上a b存在一点P,使得三F 1PF 2二12。

0,求椭圆的离心率e 的取值范围。

二 b 2 tan —。

2 性质二：已知椭圆方程为 2 2+着 x 2 = 1(a b ■ 0),左右两焦点分别为F 1, F 2,设焦点三角例3已知椭圆的焦点是F i( —1, 0)、F2(1 , 0) , P为椭圆上一点，且| IF1F2 I 是 | PF I 和PR丨的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且/ PFF2= 120°,求tan F1PF2.欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆。

θcos 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PFθθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c PF PF PF PF 1222121sin sin tan 21cos 2F PF b S PF PF b θθθθ∆∴===+ 性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。

证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ∆中，2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122222--ox e a b a x a ≤≤-0 22a x o ≤∴性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。

椭圆中的“焦点三角形”性质及应用
章显军
【期刊名称】《中学教学参考》
【年(卷),期】2013(000)014
【摘要】“焦点三角形”问题是考试中比较常见的考题．椭圆“焦点三角形”的定义为：椭圆上的任意一点（除长轴端点外）与两个焦点构成的三角形．通常“焦点三角形”的问题都有意地考查了椭圆的定义、三角形中的正弦、余弦定理、三角形的面积、内角大小等知识，现笔者就椭圆“焦点三角形”的性质及应用举例分析如下．
【总页数】1页(P39)
【作者】章显军
【作者单位】浙江苍南县钱库高级中学 325804
【正文语种】中文
【相关文献】
1.椭圆中焦点三角形的性质及应用探究
2.椭圆焦点三角形的性质探究与应用——椭圆的“第三定义”
3.一个椭圆焦点三角形内心的定值性质、拓展与应用
4.一个椭圆焦点三角形内心的定值性质、拓展与应用
5.椭圆或双曲线中焦点三角形的一个性质及应用
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椭圆焦点三角形性质的探究及应用
李生兵
【期刊名称】《数学教育研究》
【年(卷),期】2014(000)002
【摘要】在椭圆中，以椭圆x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的两个焦点F1，F2，及椭圆上任意一点P（除长轴上两个端点外）为顶点的△F1PF2叫椭圆的焦点三角形．在△F1PF2中，由椭圆的定义知｜PF1｜＋｜PF2｜=2a（2a〉2c）和焦距｜F1F2＋=2c都是常数．与焦点三角形有关的问题是高考的热点，题型灵活多样，主要考查椭圆定义、三角形中的的正（余）弦定理、内角和定理、面积公式等，以下探究几个一般性的性质．
【总页数】2页(P63-64)
【作者】李生兵
【作者单位】甘肃省高台县第一中学,734300
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.椭圆中焦点三角形的性质及应用探究 [J], 任双宝
2.椭圆焦点三角形性质的探究及应用 [J], 李生兵
3.从一道预赛试题探究椭圆焦点三角形外接圆的性质 [J], 陈良骥
4.椭圆焦点三角形的性质探究与应用——椭圆的“第三定义” [J], 洪汪宝
5.中职数学问题探究"学与教"实践研究——以椭圆焦点三角形性质为例 [J], 王统增
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