高中数学椭圆焦点三角形面积公式

椭圆三角形面积计算公式什么是椭圆三角形？椭圆三角形是由一个椭圆和一条直线所组成的图形。

这个直线被称为椭圆的切线，切点分别为 A、B 两点。

同时，椭圆还有两个焦点，分别为 F1、F2。

将 A、B 分别与焦点 F1、F2 连接，形成的两条直线与椭圆切线所围成的区域，就是椭圆三角形。

如何计算椭圆三角形的面积？椭圆三角形的面积计算公式如下：S = (a * b * sinθ) / 2其中，a、b 分别代表椭圆的长轴、短轴长度；θ 代表 A、B、F1 三点所围成的角度。

这个公式看起来比较复杂，但是只要掌握了它的计算方法，其实也不难。

首先，我们需要求出三个参数：a、b 和θ。

1、求 a、b 的长度由于椭圆是一个标准的二次曲线，因此我们可以通过以下公式求出椭圆的半轴长度：a² = x² / cos²α + y² / sin²αb² = x² / sin²α + y² / cos²α其中，x 和 y 分别代表椭圆切点 AB 的坐标，α 代表椭圆长轴与 AB 的夹角。

2、求θ角的大小θ 角的大小可以通过以下公式求出：θ = arccos (d1 / d2)其中，d1 代表 F1 到 AB 的距离，d2 代表 F2 到 AB 的距离。

3、计算面积然后，我们就可以使用前面提到的公式进行计算了。

将 a、b 和θ带入公式中，即可得到椭圆三角形的面积。

需要注意的是，椭圆三角形的面积只有在 F1、F2、AB 所构成的三角形面积小于椭圆面积时才存在。

如果三角形面积大于椭圆面积，那么椭圆三角形的面积就为零。

总结椭圆三角形的面积计算公式虽然有些复杂，但只要按照上述计算方法进行计算，就能轻松得出答案。

掌握了这个公式，不仅可以让我们更好地了解椭圆三角形的性质，同时也可以在实际问题中更加准确地进行面积计算，具有非常重要的指导意义。

微重点 椭圆、双曲线的二级结论的应用椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．考点一 焦点三角形核心提炼焦点三角形的面积公式：P 为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F 1，F 2且∠F 1PF 2＝θ， 则椭圆中12PF F S △＝b 2·tan θ2，双曲线中12PF F S △＝b 2tan θ2.例1 (2022·临川模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率为e ＝12，点P 为该椭圆上一点，且满足∠F 1PF 2＝π3，已知△F 1PF 2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 答案 D解析 由e ＝12，得c a ＝12，即a ＝2c .①设△F 1PF 2的内切圆的半径为r ， 因为△F 1PF 2的内切圆的面积为3π， 所以πr 2＝3π，解得r ＝3(舍负)，在△F 1PF 2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式， 知12F PF S △＝b 2tan ∠F 1PF 22＝12r (2a ＋2c )，即33b 2＝3(a ＋c )，② 又a 2＝b 2＋c 2，③联立①②③得c ＝3，a ＝6，b ＝33， 所以该椭圆的长轴长为2a ＝2×6＝12. 易错提醒 (1)要注意公式中θ的含义．(2)椭圆、双曲线的面积公式不一样，易混淆．跟踪演练1 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析 设双曲线C 2的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1，则有a 22＋b 22＝c 22＝c 21＝4－1＝3.又四边形AF 1BF 2为矩形， 所以△AF 1F 2的面积为b 21tan 45°＝b 22tan 45°， 即b 22＝b 21＝1.所以a 22＝c 22－b 22＝3－1＝2.故双曲线的离心率e ＝c 2a 2＝32＝62. 考点二 焦半径的数量关系核心提炼焦半径的数量关系式：直线l 过焦点F 与椭圆相交于A ，B 两点，则1|AF |＋1|BF |＝2ab 2，同理，双曲线中，1|AF |＋1|BF |＝2ab 2.例2 已知双曲线C 的左、右焦点分别为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，过F 2的直线与C 的右支交于A ，B 两点．若AF 2--→＝2F 2B --→，|AB |＝|F 1B |，则双曲线C 的方程为________． 答案 x 23－y 24＝1解析 如图，令|F 2B |＝t ，则|AF 2|＝2t ，∴|AB |＝3t ，|F 1B |＝3t ， 又1|AF 2|＋1|BF 2|＝2a b2， ∴12t ＋1t ＝2a b 2， 即32t ＝2a b2， 又|F 1B |－|F 2B |＝2a ，∴3t －t ＝2a ，∴2t ＝2a ，∴t ＝a ， ∴32a ＝2ab 2，即3b 2＝4a 2， 又c ＝7，∴a 2＋b 2＝7， 解得b 2＝4，a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 24＝1.易错提醒 公式的前提是直线AB 过焦点F ，焦点F 不在直线AB 上时，公式不成立． 跟踪演练2 已知椭圆C ：x 216＋y 24＝1，过右焦点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AF 2|＝2，则|AB |＝______，cos ∠F 1AB ＝________. 答案 83 －13解析 由椭圆方程知a ＝4，b ＝2，|AF 2|＝2，又1|AF 2|＋1|BF 2|＝2a b2， 即12＋1|BF 2|＝84， 解得|BF 2|＝23，∴|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝83，由椭圆定义知|AF 1|＝8－2＝6，|BF 1|＝8－23＝223，在△AF 1B 中，由余弦定理，得 cos ∠F 1AB ＝62＋⎝⎛⎭⎫832－⎝⎛⎭⎫22322×6×83＝－13.考点三 周角定理核心提炼周角定理：已知点P 为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A ，B 为长轴(或实轴)端点，则椭圆中k P A ·k PB ＝－b 2a 2，双曲线中k P A ·k PB ＝b 2a2.例3 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左、右两个顶点为A ，B ，点M 1，M 2，…，M 5是AB 的六等分点，分别过这五点作斜率为k (k ≠0)的一组平行线，交椭圆C 于P 1，P 2，…，P 10，则直线AP 1，AP 2，…，AP 10，这10条直线的斜率乘积为( ) A ．－116B ．－132C.164D.11 024答案 B解析 由椭圆的性质可得11·AP BP k k＝22·AP BP k k ＝－b 2a2＝－12.由椭圆的对称性可得11010111012·.BP AP BP AP AP AP k k k k k k =-＝，＝，同理可得293847561····=.2AP AP AP AP AP AP AP AP k k k k k k k k -＝＝＝∴直线AP 1，AP 2，…，AP 10这10条直线的斜率乘积为⎝⎛⎭⎫－125＝－132. 规律方法 周角定理的推广：A ，B 两点为椭圆(双曲线)上关于原点对称的两点，P 为椭圆(双曲线)上异于A ，B 的任一点，则椭圆中k P A ·k PB ＝－b 2a 2，双曲线中k P A ·k PB ＝b 2a2.跟踪演练3 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别为A ，B ，直线AF 2与该椭圆交于A ，M 两点，若∠F 1AF 2＝90°，则直线BM 的斜率为( ) A.13 B.12 C ．－1 D ．－12 答案 B解析 ∵∠F 1AF 2＝90°，∴△F 1AF 2为等腰直角三角形，∴b ＝c ， ∴a 2＝2b 2＝2c 2， ∴b 2a 2＝12， 且∠AF 2O ＝45°，∴k MA ＝－1， 又k MA ·k MB ＝－b 2a 2＝－12，∴k MB ＝12.考点四 过圆锥曲线上点的切线方程核心提炼已知点P (x 0，y 0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P 与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中x 0xa 2＋y 0y b 2＝1，双曲线中x 0x a 2－y 0y b2＝1.例4 已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1.如图，设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝R 2(1<R <2)相切于点A ，与椭圆C 相切于点B ，则|AB |的最大值为________．答案 1解析 连接OA ，OB ，如图所示．设B (x 0，y 0)，所以过点B 与椭圆相切的直线方程为x 0x4＋y 0y ＝1，即x 0x ＋4y 0y －4＝0， 又R 2＝|OA |2＝16x 20＋16y 20， R 为圆半径，R ∈(1,2)，|AB |2＝|OB |2－R 2＝x 20＋y 20－16x 20＋16y 20， 又x 24＋y 20＝1， 所以x 20＝4－4y 20， 所以|AB |2＝4－3y 20－43y 20＋1＝5－(3y 20＋1)－43y 20＋1≤5－24＝1， 当且仅当3y 20＋1＝43y 20＋1， 即y 20＝13，x 20＝83时，等号成立， 所以|AB |max ＝1， 此时R 2＝16x 20＋16y 20＝2， 即R ＝2∈(1,2)， 故当R ＝2时，|AB |max ＝1.规律方法 (1)该切线方程的前提是点P 在圆锥曲线上．(2)类比可得过圆(x －a )2＋(y －b )2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )·(y －b )＝1.跟踪演练4 已知F 为椭圆C ：x 23＋y 22＝1的右焦点，点A 是直线x ＝3上的动点，过点A 作椭圆C 的切线AM ，AN ，切点分别为M ，N ，则|MF |＋|NF |－|MN |的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 D解析 由已知可得F (1,0)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (3，t )则切线AM ，AN 的方程分别为x 1x 3＋y 1y2＝1，x 2x 3＋y 2y2＝1， 因为切线AM ，AN 过点A (3，t )， 所以x 1＋ty 12＝1，x 2＋ty 22＝1，所以直线MN 的方程为x ＋ty2＝1，因为F (1,0)， 所以1＋t ×02＝1，所以点F (1,0)在直线MN 上， 所以M ，N ，F 三点共线， 所以|MF |＋|NF |－|MN |＝0.专题强化练1．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点P 作双曲线C 的切线l ，若直线OP 与直线l 的斜率均存在，且斜率之积为25，则双曲线C 的离心率为( )A.295B.303C.355D.305答案 C解析 设P (x 0，y 0)，由于双曲线C 在点P (x 0，y 0)处的切线方程为xx 0a 2－yy 0b 2＝1，故切线l 的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0，因为k ·k OP ＝25，则b 2x 0a 2y 0·y 0x 0＝25，则b 2a 2＝25， 即双曲线C 的离心率e ＝1＋25＝355. 2．(2022·保定模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx (k ≠0)与C 交于M ，N 两点，且四边形MF 1NF 2的面积为8a 2.若点M 关于点F 2的对称点为M ′，且|M ′N |＝|MN |，则C 的离心率是( ) A. 3 B. 5 C ．3 D ．5 答案 B解析 如图，由对称性知MN 与F 1F 2互相平分，∴四边形MF 2NF 1为平行四边形， ∵F 2为MM ′的中点，且|MN |＝|M ′N |， ∴NF 2⊥MF 2，∴四边形MF 2NF 1为矩形， ∴1224NF F S a △＝，又12NF F S △＝b 2tan π4＝4a 2，即b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2，即c 2＝5a 2，即e ＝ca＝ 5.3．椭圆C ：x 29＋y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 2--→＝2F 2B --→，则△AF 1B 的外接圆面积为( ) A.5π2 B ．4π C ．9π D.25π4答案 D解析 如图，a ＝3，b ＝2，c ＝5，令|F 2B |＝t ，则|AF 2|＝2t ， ∵1|AF 2|＋1|BF 2|＝2a b2， ∴1t ＋12t ＝32⇒t ＝1， ∴|BF 2|＝1，|AF 2|＝2，由椭圆定义知|BF 1|＝5，|AF 1|＝4，∴△ABF 1中，|AB |＝3，|AF 1|＝4，|BF 1|＝5， ∴AF 1⊥AB ，∴△ABF 1外接圆半径R ＝|BF 1|2＝52，其面积为25π4.4．(2022·石家庄模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过原点O 的直线交C 于A ，B两点(点B 在右支上)，双曲线右支上一点P (异于点B )满足BA →·BP →＝0，直线P A 交x 轴于点D ，若∠ADO ＝∠AOD ，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 答案 A 解析 如图，∵BA →·BP →＝0，∴BA ⊥BP ，令k AB ＝k ， ∵∠ADO ＝∠AOD ， ∴k AP ＝－k AB ＝－k ， 又BA ⊥BP ，∴k PB ＝－1k ，依题意知k PB ·k P A ＝b 2a 2，∴－1k ·(－k )＝b 2a 2，∴b 2a2＝1，即e ＝ 2. 5．(多选)(2022·济宁模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是C 上异于A 1，A 2的一点，则下列结论正确的是( )A ．若C 的离心率为12，则直线P A 1与P A 2的斜率之积为－43B ．若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为b 2C ．若C 上存在四个点P 使得PF 1⊥PF 2，则C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，22 D ．若|PF 1|≤2b 恒成立，则C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，35 答案 BD解析 设P (x 0，y 0)，所以x 20a 2＋y 20b2＝1，∵e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，∴a 2＝43b 2，∴12·PA PA k k ＝－b 2a 2＝－34， ∴选项A 错误；若PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为b 2tan π4＝b 2，∴选项B 正确；若C 上存在四个点P 使得PF 1⊥PF 2，即C 上存在四个点P 使得△PF 1F 2的面积为b 2， ∴12·2c ·b >b 2，∴c >b ，∴c 2>a 2－c 2， ∴e ∈⎝⎛⎭⎫22，1，∴选项C 错误；若|PF 1|≤2b 恒成立，∴a ＋c ≤2b ， ∴a 2＋c 2＋2ac ≤4b 2＝4(a 2－c 2)， ∴5e 2＋2e －3≤0，∴0<e ≤35，∴选项D 正确．6．(多选)(2022·广州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，P 为双曲线的左支上一点，且直线P A 1与P A 2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是( ) A ．双曲线C 的离心率为2B ．若PF 1⊥PF 2，且12PF F S △＝3，则a ＝2C ．以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆外切D ．若点P 在第二象限，则∠PF 1A 2＝2∠P A 2F 1 答案 ACD解析 对于A ，设P (x ，y )，则y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫x 2a 2－1，因为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，所以12·PA PA k k ＝b 2a 2＝3， 得e ＝1＋b 2a2＝2，故A 正确； 对于B ，因为c a＝2， 所以c ＝2a ，根据双曲线的定义可得|PF 2|－|PF 1|＝2a ，又因为PF 1⊥PF 2，所以△PF 1F 2的面积为b 2tan π4＝b 2＝3， 又b 2a2＝3，所以a ＝1，故B 错误； 对于C ，设PF 1的中点为O 1，O 为原点．因为OO 1为△PF 1F 2的中位线，所以|OO 1|＝12|PF 2|＝12(|PF 1|＋2a )＝12|PF 1|＋a ， 则可知以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆外切，故C 正确；对于D ，设P (x 0，y 0)，则x 0<－a ，y 0>0.因为e ＝2，所以c ＝2a ，b ＝3a ，则渐近线方程为y ＝±3x ，所以∠P A 2F 1∈⎝⎛⎭⎫0，π3， ∠PF 1A 2∈⎝⎛⎭⎫0，2π3. 又tan ∠PF 1A 2＝y 0x 0＋c ＝y 0x 0＋2a， tan ∠P A 2F 1＝－y 0x 0－a， 所以tan 2∠P A 2F 1＝－2y 0x 0－a 1－⎝⎛⎭⎫y 0x 0－a 2 ＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－y 20 ＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－b 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－3a 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1 ＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－3(x 20－a 2) ＝y 0x 0＋2a ＝tan ∠PF 1A 2， 因为2∠P A 2F 1∈⎝⎛⎭⎫0，2π3， 所以∠PF 1A 2＝2∠P A 2F 1，故D 正确． 7．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在两点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，且线段MN 中点的纵坐标为－13，则椭圆的离心率e ＝________. 答案 32解析 如图，设MN 的中点为Q ，∴y Q ＝－13， ∴x Q ＝y Q －1＝－43， ∴Q ⎝⎛⎭⎫－43，－13，∴k OQ ＝14， M ，N 关于直线l 对称，∴MN ⊥l ，∴k MN ＝－1，由点差法可得k MN ＝－b 2a 2·x Q y Q， 又k OQ ＝y Q x Q， ∴k OQ ·k MN ＝－b 2a2， ∴14×(－1)＝－b 2a 2，∴b 2a 2＝14， 即a 2＝4b 2＝4(a 2－c 2)，即3a 2＝4c 2，∴e ＝32. 8.(2022·成都模拟)经过椭圆x 22＋y 2＝1中心的直线与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在第一象限)，过点M 作x 轴的垂线，垂足为点E ，设直线NE 与椭圆的另一个交点为P ，则cos ∠NMP 的值是________．答案 0解析 设M (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，P (x 0，y 0)，则N (－x 1，－y 1)，E (x 1，0)，所以k MN ＝y 1x 1，k PN ＝k EN ＝y 1＋y 0x 1＋x 0＝y 12x 1， k PM ＝y 1－y 0x 1－x 0， k PN ×k PM ＝y 1－y 0x 1－x 0·y 1＋y 0x 1＋x 0＝y 21－y 20x 21－x 20＝－12， 所以k PN ＝－12k PM ＝y 12x 1， 所以k PM ＝－x 1y 1. 所以k MN ×k PM ＝y 1x 1×⎝⎛⎭⎫－x 1y 1＝－1， 所以MN ⊥MP ，所以cos ∠NMP ＝cos π2＝0.。

椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程一、椭圆中的焦点三角形面积公式1、公式：)2tan(221αb S F PF =∆． 2、推导过程： 设椭圆的标准方程为：）（012222>>=+b a by a x ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依椭圆的定义及余弦定理，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+==+=αcos 2222122212212222121PF PF PF PF F F c b a aPF PF cF F ⇒)cos 1(2)(21221221α+-+=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α+-=PF PF a c ）（⇒ααcos 12cos 1(222221+=+-=bc a PF PF ）)2tan()2(cos 22cos 2sin 2cos 1sin sin cos 1221sin 21222222121αααααααααb b b b PF PF S F PF =⨯=+⨯=⨯+⨯==∆ 即)2tan(221αb S F PF =∆．二、双曲线中的焦点三角形面积公式1、公式：1-2)2tan(21αb S F PF =∆． 2、推导过程：设双曲线的标准方程为：），（001-2222>>=b a by a x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上异于实轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依双曲线的定义及余弦定理，有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+===αcos 22-22122212212222121PF PF PF PF F F b a c a PF PF cF F ⇒ )cos 1(2)(21221221α-+-=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α-+=PF PF a c ）（⇒ ααcos 12cos 1(222221-=--=b a c PF PF ）12222221)2(tan )2(sin 22cos2sin 2cos 1sin sin cos 1221sin 2121-∆=⨯=-⨯=⨯-⨯==αααααααααb b b b PF PF S F PF 即1-2)2tan(21αb S F PF =∆．。

圆锥曲线的焦点三角形面积问题比较常见，这类题目常以选择题、填空题、解答题的形式出现.圆锥曲线主要包括抛物线、椭圆、双曲线，每一种曲线的焦点三角形面积公式也有所不同，其适用情形和应用方法均不相同.在本文中,笔者对圆锥曲线的焦点三角形面积公式及其应用技巧进行了归纳总结，希望对读者有所帮助.1.椭圆的焦点三角形面积公式：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2若椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），∠F 1PF 2=θ，则三角形ΔF 1PF 2的面积为：S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2.对该公式进行证明的过程如下：如图1，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，图1可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2，①由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2，②①-②可得：2||PF 1||PF 2(1+cos θ)=4b 2，所以||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF 1F2=12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ，=b 22sin θ2cos 2θ22cos 2θ2=b 2tan θ2.若已知椭圆的标准方程、短轴长、两焦点弦的夹角，则可运用椭圆的焦点三角形面积公式S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2来求椭圆的焦点三角形面积.例1.（2021年数学高考全国甲卷理科）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且||PQ =||F 1F 2，则四边形PF 1QF 2的面积为________．解析：若采用常规方法解答本题，需根据椭圆的对称性、定义以及矩形的性质来建立关于||PF 1、||PF 2的方程，通过解方程求得四边形PF 1QF 2的面积.而仔细分析题意可发现四边形PF 1QF 2是一个矩形，且该矩形由两个焦点三角形构成，可利用椭圆的焦点三角形面积公式求解.解：S 四边形PF 1QF 2=2S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=2×4×tan π2=8.利用椭圆的焦点三角形面积公式，能有效地简化解题的过程，有助于我们快速求得问题的答案.例2.已知F 1，F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的两个焦点，P 为曲线C 上一点，O 为平面直角坐标系的原点.若PF 1⊥PF 2，且ΔF 1PF 2的面积等于16，求b的值.解：由PF 1⊥PF 2可得∠F 1PF 2=π2，因为ΔF 1PF 2的面积等于16，所以S ΔPF 1F 2=b 2tan θ2=b 2tan π2=16，解得b =4.有关圆锥曲线的焦点三角形面积公式的思路探寻48的面积，2.则ΔF 1PF 如|||PF 1-|得：|||PF 2cos θ即|由②所以则S Δ夹角、例3.双曲线C 是().A.72且)设双曲F 1，F 2，离△PF 1F 2=1.本题.运用该=p 22sin θ，且与抛S ΔAOB =图3下转76页）思路探寻49考点剖析abroad.解析：本句用了“S+Vt+动名词”结构，能用于此结构的及物动词或词组有mind ，enjoy ，finish ，advise ，consider ，practice ，admit ，imagine ，permit ，insist on ，get down to ，look forward to ，put off ，give up 等。

课题1：焦点三角形的性质12F PF S=12F PF S=2（△ABF 2，AB |AB|=4a得证特别地，当＝时，②当P 为右支上一点时，记（），由双曲线的定义得，在△中，由余弦定理得：代入得求得。

得证性质二：双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。

证明：设双曲线2222x y 1a b-=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -=，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212A A FF A x A ,A ∴在双曲线上，又在上，是双曲线与轴的交点即点性质三：双曲线离心率为e ，其焦点三角形PF 1F 2的旁心为A ，线段PA 的延长线交F 1F 2的延长θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121c a c b c c a b F F r S PF F +=⋅+⋅==∆θ︒90a cb S PF F 221=∆2211||,||r PF r PF ==21r r >a r r a r r 2,21221-==-21PF F .cos 44221221r c r c r =-+θ.)2(cos 44211221a r c r c r -=-+θa c b r -=θcos 21a c c b c a c b F F r S PF F -=⋅-⋅==∆θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121线于点B，则|BA |e |AP |=证明：由角平分线性质得12121212|FB||F B ||FB ||F B ||BA |2c e |AP ||FP ||F P ||FP ||F P |2a -=====- 性质四：双曲线的焦点三角形PF 1F 2中，1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β当点P 在双曲线右支上时，有e 1tancot ;22e 1αβ-⋅=+ 当点P 在双曲线左支上时，有e 1cot tan 22e 1αβ-⋅=+证明：由正弦定理知2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()==αβα+β由等比定理，上式转化为2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()-=α-βα+β 2a 2csin sin sin()2sin cos sin sin cos cos sin c sin()2222222a sin sin 2cos sin sin sin cos cos sin 2222222⇒=α-βα+βα+βα+βα+βαβαβ⋅+α+β⇒====α+βα-βα-βαβαβα-β⋅-分子分母同除以cossin 22αβ，得【2014•广西理】已知椭圆C 1a x 2222=+b y （a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．123x 22=+yB ．1y 3x 22=+C ．1812x 22=+y D ．1412x 22=+y 【答案】 A 【解析】 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a=43， ∴a=3，∵离心率为33， ∴c=1， ∴b=22a c -=2， ∴椭圆C 的方程为123x 22=+y ． 【2011新课标理14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2。

与椭圆有关的面积问题，侧重于考查椭圆的方程、定义、几何性质，三角形的面积公式，弦长公式，以及直线与椭圆的位置关系.而求解与椭圆有关的面积问题主要用到两种三角形的面积公式：（1）S =12ab ⋅sin θ；（2）S =12×底×高.在解题时，需要根据图形的形状来选择合适的公式进行求解.一、焦点三角形的面积问题若P 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上异于长轴端点的点，F 1F 2为两个焦点，则ΔF 1PF 2称作焦点三角形．（1）若∠F 1PF 2=θ，由椭圆的定义知||F 1F 2=2c ，||PF 1+||PF 2=2a ，可得||PF 12+2||PF 1||PF 2+||PF 22=4a 2①，由余弦定理可得||PF 12+||PF 22-2||PF 1||PF 2cos θ=4c 2②.由①②可得：||PF 1||PF 2=2b 21+cos θ，则S ΔPF F =12|PF 1||PF 2|sin θ=12×2b 21+cos θsin θ=b 2tan θ2.（2）若∠F 1PF 2=θ是未知或不可求的，则需先根据椭圆的定义求得||F 1F 2=2c ；然后将P 点的纵坐标的绝对值看作焦点三角形的高，根据公式S =12×底×高，求焦点三角形的面积.例1.已知P 为椭圆x 2a 2+y 264=1上的一点，F 1和F 2是椭圆的左右焦点.若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为______.解：因为∠F 1PF 2=60°，即α=60°，b 2=64，由S △F 1PF 2=b 2tan α2知，△F 1PF 2的面积为6433.对于本题，由于∠F 1PF 2=60°，且椭圆的方程已知，所以可以直接运用焦点三角形面积公式S △F 1PF 2=b 2tanα2进行求解.例2.已知F 1，F 2分别为椭圆x 29+y 2b2=1(0<b <3)的左右焦点，点P 在椭圆上，点I 为△PF 1F 2的内心，若PI =29PF 1+49 PF 2，则△PF 1F 2的面积为______.解：延长PI ，交x 轴于点Q ，设 PI =xPQ ，则 PI =x PQ =29 PF 1+49 PF 2，PQ =29x PF 1+49xPF 2，因此29x +49x =1，得x =23，因此 PI =23PQ ．设P ()x 0,y 0，y 0≠0，则△PF 1F 2内切圆的半径r =13||y 0．又S △P F 1F 2=12||F 1F 2||y 0=12r ()||PF 1+||PF 2+||F 1F 2,所以c ||y 0=r (a +c )=13(a +c )||y 0，即a =2c ．因为a =3，所以||PF 1+||PF 2=6，由 PQ =13 PF 1+23PF 2可得 PQ - PF 1=2() PF 2- PQ ，即 F 1Q =2 QF 2，所以||F 1Q =2||F 2Q ，由角平分线的性质可得||PF 1=2||PF 2，因此||PF 1=2||PF 2=4，||F 1F 2=3，由余弦定理得cos∠F 1PF 2=||PF 12+||PF 22-||F 1F 222||PF 1||PF 2=1116，因此sin∠F 1PF 2=1-cos 2∠F 1PF 2=31516，所以S △PF F =12||PF 1⋅||PF 2⋅sin∠F 1PF 2=3154，故△PF 1F 2的面积为3154．本题较为复杂，需先根据三角形内心的性质以及角平分线的性质得出a 、c 的值；然后利用椭圆的定义、余弦定理求得||PF 1⋅||PF 2以及sin∠F 1PF 2，即可根据三角形的面积公式S =12ab ⋅sin θ求得问题的答案.二、非焦点三角形的面积问题非焦点三角形的面积问题往往可以通过分割，将转化为三角形的面积问题.主要有两种情形：（1）若三角形的一个顶点在坐标轴上，则可用该坐标轴将三角形分为两部分，分别将该坐标轴上的线段看作两个三角形的底边，另外两个定点的横（纵）坐标的绝对值看作高线长，利用S =12×底×高求三角形的面积；（2）若三角形的三个顶点均不在坐标轴上，需先求出三角形一条边AB 所在直线的方程；然后根据点到直线的距离公式求得另一个顶点到AB 的距离d ，则三角形的面积为S =12×||AB×d .例3.如图1，已知椭圆x 2a 2+y2b2=1()a >b >0的离心率左右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，坐标原点O 到考点透视38直线AD 的距离为255.（1）求椭圆的方程；（2）过A 点作两条互相垂直的直线AP ，AQ ，分别与椭圆交于P ，Q 两点，求△BPQ 面积的最大值.解：（1）椭圆的方程为x 24+y 2=1.（过程略）（2）设PQ 的直线方程为x =ty +m ，P ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，联立方程得ìíîx =ty +m ,x 2+4y 2-4=0,得()t 2+4y 2+2mty +m 2-4=0，所以y 1+y 2=-2mt t 2+4，y 1y 2=m 2-4t 2+4，因为AP ⊥AQ ，则A ()-2,0，所以()x 1+2()x 2+2+y 1y 2=0，得x 1x 2+2()x 1+x 2+4+y 1y 2=0，即()t 2+1y 1y 2+()mt +2t ()y 1+y 2+(m +2)2=0.所以()t 2+1⋅m 2-4t 2+4+()mt +2t ⋅-2mt t 2+4+(m +2)2=0.整理得5m 2+16m +12=0，解得m =-65或m =-2（舍去），故y 1+y 2=12t 5()t 2+4，y 1y 2=-6425()t 2+4，则S △BPQ =12⋅()2+65||y 1-y 253225令25t 2+64=u ()u ≥8，则S △BPQ =3225⋅u u 2-6425+4=32u +36u ≤328+368=6425,此时△BPQ 最大值为6425.我们需先将直线与椭圆的方程联立，构造一元二次方程，根据韦达定理求得y 1+y 2、y 1y 2的表达式；然后用x轴将△BPQ 拆分为两部分，以x 轴上的线段为底边，P 、Q的纵坐标的绝对值为高线长，利用S =12×底×高求三角形的面积.图1图2例4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，（1）求椭圆C 的方程；（2）如图2，过点P (-2,1)的直线与椭圆C 交于不同的两点D ,E ，点D 在第二象限，直线AD ,AE 分别与x 轴交于M ,N ，求四边形DMEN 面积的最大值．解：（1）椭圆方程为x 24+y 2=1；（过程略）（2）由题意可知直线DE 的斜率存在，设直线DE 的方程为y -1=k (x +2)，k <0，D ()x 1,y 1,x 1<0,y 1>0，则E ()x 2,y 2,y 2<y 1，y 1=kx 1+2k +1，y 2=kx 2+2k +1，联立方程得ìíîy =kx +2k +1,x 2+4y 2-4=0,可得()1+4k 2x 2+8k (2k +1)x +16k 2+16k =0，需满足Δ>0，可得x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k 2，x 1⋅x 2=16k (k +1)1+4k 2，又l AD :y =y 1-1x 1x +1，则x M =x 11-y 1，同理可得x N =x 21-y 2，故S DMEN =12||x N -x M ×()y 1-y 2=12||||||||x 21-y 2-x 11-y 1×()y1-y 2=16k 2(2k +1)2-16k (k +1)()4k 2+14k 2+1=-164k +1k=16-4k +()-1k≤1624=4，当且仅当-4k =()-1k ，即k =-12时等号成立，故四边形DMEN 面积的最大值为4.对于四边形面积问题，通常可将四边形合理拆分为两个易于求面积的三角形.对于本题，我们将四边形DMEN 拆分为三角形NMD 与三角形MNE ，并以MN 为底，D 、E 两点的纵坐标的绝对值为高线长，即可运用S =12×底×高求三角形的面积.由此可见，求解与椭圆有关的面积问题，关键是根据图形的形状，选择合适的三角形面积公式，并利用弦长公式、点到直线的距离公式、韦达定理、余弦定理求三角形的边长、底边长、高线长、夹角.（作者单位：贵州省遵义市绥阳中学）考点透视39。

椭圆中焦点三角形的面积问题
椭圆中焦点三角形的面积问题可以通过以下步骤来解决：
步骤1：确定椭圆的焦点和顶点。

椭圆有两个焦点，分别记为F1和F2，以及两个顶点，分别记为A和B。

步骤2：连接焦点F1和F2与顶点A和B，得到两条线段AF1、AF2和BF1、BF2。

步骤3：计算三角形AF1F2的面积。

根据三角形面积公式，可以使用以下公式计算三角形面积：面积= 底边长度×高÷2。

在这种情况下，底边是线段F1F2的长度，高是从线段F1F2到顶点A的垂直距离。

步骤4：计算三角形BF1F2的面积。

同样地，使用相同的面积公式计算三角形BF1F2的面积，其中底边是线段F1F2的长度，高是从线段F1F2到顶点B的垂直距离。

步骤5：将步骤3和步骤4得到的两个三角形的面积相加，即可得到椭圆中焦点三角形的总面积。

请注意，以上步骤是基于椭圆的简化模型，假设椭圆的焦点和顶点已知，并且椭圆是对称的。

实际情况可能更为复杂，需要更多的几何计算和测量才能得到准确的结果。

椭圆的焦点三角形公式椭圆是我们在数学学习中经常会碰到的一个重要图形，而椭圆的焦点三角形则有着一些独特的公式和有趣的性质。

先来说说啥是椭圆的焦点三角形。

想象一下，椭圆上有一个点 P，然后连接椭圆的两个焦点 F₁和 F₂，这样就形成了一个三角形，这个三角形就叫做焦点三角形。

在焦点三角形中，有几个重要的公式。

比如说，焦点三角形的周长公式是 2a + 2c ，其中 a 是椭圆的长半轴，c 是椭圆的半焦距。

还有一个特别常用的公式是在焦点三角形 PF₁F₂中，设∠F₁PF₂ = θ，那么三角形的面积 S = b² × tan(θ/2) ，这里的 b 是椭圆的短半轴。

那这些公式到底有啥用呢？我给您讲个事儿您就明白了。

记得有一次我给学生们上课，讲完这些公式后，我出了一道题让他们做。

题目是这样的：已知椭圆方程为 x²/25 + y²/16 = 1 ，点 P 在椭圆上，∠F₁PF₂ = 60°，求焦点三角形 PF₁F₂的面积。

大多数同学看到题目就开始埋头苦算，又是设坐标，又是用距离公式的，算得那叫一个费劲。

但有个聪明的同学就不一样啦，他马上想到了我们刚讲的面积公式S = b² × tan(θ/2) 。

这个椭圆里，b² = 16 ，θ = 60°，所以tan(θ/2) = √3/3 ，那面积 S 一下子就算出来是16√3/3 。

这时候其他同学都恍然大悟，原来用对了公式能这么轻松地解决问题。

从那以后，同学们对这些公式的印象可深刻了，遇到类似的题目也不再害怕。

咱们再回到焦点三角形的公式上来。

这些公式的推导其实也挺有意思的。

就拿面积公式来说吧，它是通过余弦定理和一些巧妙的代数变形得到的。

在学习和运用这些公式的时候，一定要注意理解每个字母代表的含义，还要多做一些练习题来巩固。

比如说，给您一个椭圆方程，让您求焦点三角形的周长或者面积，您就得能迅速判断出要用哪个公式，然后准确地代入数值计算。

椭圆焦点三角形面积公式的应用定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.典题妙解例1 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ记.||,||2211r PF r PF == 点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ .336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例 2 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若21||||2121=⋅PF PF PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C.3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21||||cos 2121=⋅=PF PF θ，.60︒=∴θ .3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F故选答案A.例3（04湖北）已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A.59 B. 779 C. 49 D. 49或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆ 97=∴h ，.779=h 故答案选D.金指点睛1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1B ．31 C ．34 D ．32 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35，求椭圆的标准方程. 6．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，21||||2121-=⋅PF PF ，△21PF F 的面积是3，准线方程为334±=x ，求椭圆的标准方程.参考答案1. 解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PF F .故答案选D.2. 解：设θ=∠21PF F ， 12tan2tan221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF .故答案选A. 3. 解：3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan2tan221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ.故答案选D.4． 解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PF F ， 又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 故答案选C.5. 解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，又 3522=-==a b a a c e ， ∴95122=-a b ，即952012=-a.解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y . 6．解：设θ=∠21PF F ，∴︒=-=⋅=120,21||||cos 2121θθPF PF PF PF .3360tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b .又 3342=c a ，即33333411222+==+=+=+c c c c c b c . ∴3=c 或33=c . 当3=c 时，222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为1422=+y x ；当33=c 时，33222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为13422=+y x ；但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，θ为最大，︒=60θ，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为1422=+y x .。