湖南省长郡中学2017_2018学年高二数学下学期期末考试试题文201808280352

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）与命题“若a∈A，则b∉A”的真假性相同的命题是（）A．a∈A或b∉A B．若b∉A，则a∈AC．若a∉A，则b∈A D．若b∈A，则a∉A2．（3分）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）A．=﹣10x+200B．=10x+200C．=﹣10x﹣200D．=10x﹣2003．（3分）设复数z1=1﹣3i，z2=3﹣2i，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（3分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．06．（3分）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2B．C．1D．7．（3分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内的极大值点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）设椭圆+=1和双曲线﹣x2=1的公共焦点分别为F1，F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）A．3B．C．D．9．（3分）在等差数列{a n}中，若a n＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）A．b4+b8＞b5+b7B．b5+b7＞b4+b8C．b4+b7＞b5+b8D．b4+b5＞b7+b810．（3分）若a，b，c均为正实数，则三个数（）A．都不大于2B．都不小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于211．（3分）函数f（x）=﹣2x2+7x﹣6与函数g（x）=﹣x的图象所围成的封闭图形的面积为（）A．B．2C．D．312．（3分）若函数f（x）=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3C．﹣2＜k＜2D．不存在这样的实数k13．（3分）假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到小明家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是（）A．B．C．D．14．（3分）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B．126C．90D．5415．（3分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16B．14C．12D．10二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．（3分）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有．（用数字作答）17．（3分）在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥成立．猜想在n边形中，不等式成立．18．（3分）如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为．19．（3分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．20．（3分）已知函数，g（x）=e x﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n ﹣m的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.21．（8分）已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点A（0，4），离心率为；（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．22．（8分）设曲线在点（1，f（1））处的切线方程为（其中，a，b∈R，e是自然对数的底数）．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．23．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．24．（8分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，倾斜角为45°的直线l 过点F与抛物线C交于A，B两点，△OAB的面积为（O为坐标原点）．（1）求p；（2）设点E为直线与抛物线C在第一象限的交点，过点E作C的斜率分别为k1，k2的两条弦EM，EN，如果k1+k2=﹣1，证明直线MN过定点，并求出定点坐标．25．（8分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式（其中e为自然数对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）与命题“若a∈A，则b∉A”的真假性相同的命题是（）A．a∈A或b∉A B．若b∉A，则a∈AC．若a∉A，则b∈A D．若b∈A，则a∉A【解答】解：由于逆否命题是等价命题，则与命题“若a∈A，则b∉A”的真假性相同的命题是若b∈A，则a∉A，故选：D．2．（3分）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）A．=﹣10x+200B．=10x+200C．=﹣10x﹣200D．=10x﹣200【解答】解：由x与y负相关，可排除B、D两项，而C项中的=﹣10x﹣200＜0不符合题意．故选：A．3．（3分）设复数z1=1﹣3i，z2=3﹣2i，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z1=1﹣3i，z2=3﹣2i∴===+（﹣）i∴在复平面内对应的点为（，﹣）且此点为第四象限故选：D．4．（3分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．5．（3分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A．B．C．D．0【解答】解：以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）∴=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1）设异面直线A1E与GF所成角的为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=0，故选：D．6．（3分）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2B．C．1D．【解答】解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x﹣3项的系数为84，所以T r==，+1令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：C．7．（3分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内的极大值点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，可得：函数f（x）在（a，b）内的极大值点为A，C，共有2个．故选：B．8．（3分）设椭圆+=1和双曲线﹣x2=1的公共焦点分别为F1，F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）A．3B．C．D．【解答】解：∵椭圆和双曲线的公共焦点分别为F1、F2，∴m﹣2=3+1∴m=6∴|PF1|+|PF2|=2，||PF1|﹣|PF2||=2两式平方相减可得，4|PF1|•|PF2|=12∴|PF1|•|PF2|=3故选：A．9．（3分）在等差数列{a n}中，若a n＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）A．b4+b8＞b5+b7B．b5+b7＞b4+b8C．b4+b7＞b5+b8D．b4+b5＞b7+b8【解答】解：在等差数列{a n}中，a n＞0，公差为d＞0，所以{a n}为各项为正数的递增数列，由于4+6=3+7时有a4•a6＞a3•a7，而在等比数列{bn}中，b n＞0，q＞1，则{bn}为各项为正数的递增数列，由于4+8=5+7，所以应有b4+b8＞b5+b7，∴b4+b8＞b5+b7．故选：A．10．（3分）若a，b，c均为正实数，则三个数（）A．都不大于2B．都不小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2【解答】解：由题意，∵a，b均为正实数，∴当且仅当a=b时，取“=”号若，则结论不成立，∴，至少有一个不小于2∴至少有一个不小于2故选：D．11．（3分）函数f（x）=﹣2x2+7x﹣6与函数g（x）=﹣x的图象所围成的封闭图形的面积为（）A．B．2C．D．3【解答】解：由得和∴函数f（x）=﹣2x2+7x﹣6与函数g（x）=﹣x的图象所围成的封闭图形的面积S=∫13（f（x）﹣g（x））dx=∫13（﹣2x2+8x﹣6）dx=（﹣x3+4x2﹣6x）|13=（﹣18+36﹣18）﹣（﹣+4﹣6）=故选：C．12．（3分）若函数f（x）=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3C．﹣2＜k＜2D．不存在这样的实数k【解答】解：由题意得，f′（x）=3x2﹣12 在区间（k﹣1，k+1）上至少有一个实数根，而f′（x）=3x2﹣12=0的根为±2，区间（k﹣1，k+1）的长度为2，故区间（k﹣1，k+1）内必须含有2或﹣2．∴k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，∴1＜k＜3 或﹣3＜k＜﹣1，故选：B．13．（3分）假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到小明家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y，记小明爸爸离家前能看到报纸为事件A；以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示小明爸爸离家时间，建立平面直角坐标系，小明爸爸离家前能得到报纸的事件构成区域如图示：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示小明爸爸在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P（A）=，故选：C．14．（3分）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B．126C．90D．54【解答】解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，故选：B．15．（3分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16B．14C．12D．10【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．（3分）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有34．（用数字作答）【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1=34种；故答案为34．17．（3分）在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥成立．猜想在n边形中，不等式成立．【解答】解：在△ABC中，不等式++≥成立；在四边形ABCD中，不等式+++≥成成立；在五边形ABCDE中，不等式++++≥成立．…归纳可得：在n边形A1A2A3…A n中，；故答案为：；18．（3分）如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为．【解答】解：由条件，知，．所以=+2+2+2=62+42+82+2×6×8cos120°=68所以CD=2．故答案为：2．19．（3分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．20．（3分）已知函数，g（x）=e x﹣2，若g（m）=f（n）成立，则n ﹣m的最小值为ln2．【解答】解：根据题意，g（m）=f （n）即e m﹣2=ln+，∴m=2+ln（ln+），∴n﹣m=n﹣2﹣ln（ln+），=lne n﹣2﹣ln（ln+），=ln，设h（x）=，则h′（x）=，令h′（x）=0，得ln+﹣=0，由x＞0，可得ln+﹣递增，当x=2时，h′（x）=0，x＞2时，h′（x）＞0，h（x）递增；0＜x＜2时，h′（x）＜0，h（x）递减．可得x=2处取得极小值且为最小值h（2）=2，则n﹣m的最小值为ln2．故答案为：ln2．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.21．（8分）已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点A（0，4），离心率为；（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．【解答】解：（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（0，4），则b=4，椭圆离心率为e===，则a=5，∴C的方程为+=1；（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为y=（x﹣3），设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入C的方程，得x2﹣3x﹣8=0，解得：x1=，x2=，∴AB的中点M（x 0，y0）坐标x0==，y0==（x1+x1﹣6）=﹣，即中点为（，﹣）．22．（8分）设曲线在点（1，f（1））处的切线方程为（其中，a，b∈R，e是自然对数的底数）．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．【解答】解：（1），依题可得：，∴a=3．又，∴b=0．∴a=3，b=0．（2），，令f′（x）=0，解得x=0或2．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．故f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值为max{f（﹣3），f（2）}=f（﹣3）=27e3，最小值为min{f（0），f（3）}=f（0）=0．23．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．24．（8分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，倾斜角为45°的直线l 过点F与抛物线C交于A，B两点，△OAB的面积为（O为坐标原点）．（1）求p；（2）设点E为直线与抛物线C在第一象限的交点，过点E作C的斜率分别为k1，k2的两条弦EM，EN，如果k1+k2=﹣1，证明直线MN过定点，并求出定点坐标．【解答】解：（1）y2=2px（p＞0）的焦点为，则直线l的方程为，代入抛物线方程得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3p，根据抛物线定义，，所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4p．坐标原点O到直线l的距离，所以△OAB的面积为，解得p=2；（2）证明：抛物线方程为y2=4x，直线，即x=1，解得E（1，2）．设M（x3，y3），N（x4，y4）．根据题意，显然k1，k2都不等于零，直线EM：y﹣2=k1（x﹣1），即，代入抛物线方程得．由于点E（1，2）在抛物线上，依据根与系数的关系得，所以．同理．而直线MN的方程为，因为M，N也在抛物线上，所以，，代入上述方程并整理得，，．令，则y3+y4=﹣4t﹣4，y3y4=4（6t+1），代入MN的方程得，整理得t（y+6）+（x+y+1）=0，若上式对任意变化的t恒成立，则，解得．故直线MN经过定点（5，﹣6）．25．（8分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式（其中e为自然数对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，依题意：在（0，+∞）上恒成立．即：在（0，+∞）上恒成立．∴．∴实数a的取值范围是（﹣∞，]；（2）依题意：对任意的a∈（﹣2，0]，不等式都成立，即对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2me a（a+1）﹣a2﹣4a﹣2＞0都成立，记h（a）=2me a（a+1）﹣a2﹣4a﹣2，由h（0）＞0⇒2m＞2⇒m＞1，且．∴对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2me a（a+1）﹣a2﹣4a﹣2＞0都成立的必要条件为m∈（1，e2]．又h'（a）=2me a（a+1）+2me a﹣2a﹣4=2（a+2）（me a﹣1），由h'（a）=0，得a=﹣2或a=﹣lnm．∵a∈（﹣2，0]，∴2（a+2）＞0，①当1＜m＜e2时，﹣lnm∈（﹣2，0），且a∈（﹣2，﹣lnm）时，h'（a）＜0，a∈（﹣lnm，0）时，h'（a）＞0，∴h（a）min=h（﹣lnm）=lnm•（2﹣lnm）＞0，∴a∈（﹣2，0]时，h（a）＞0恒成立；②当m=e2时，h'（a）=2（a+2）（e a+2﹣1），∵a∈（﹣2，0]，∴h'（a）＞0，此时h（a）单调递增，且h（﹣2）=2e2e﹣2（﹣1）﹣4+8﹣2=0，∴a∈（﹣2，0]时，h（a）＞h（﹣2）=0成立．综上，m的取值范围是（1，e2]．。

湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高二12月月考(第二次模块检测）数学（文）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 已知集合A=｛1，2，3，4｝，，则A∩B=( )A．｛1,4｝B．｛2，3｝C．{9，16} D．｛1,2}2. 某公司位员工的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，B．，C．，D．，3. 设的实部与虚部相等，其中为实数，则（）A．?3 B．?2 C．2 D．34. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是（）A．B．C．D．5. 已知双曲线的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6. 已知直线，平面，则是的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7. 若实数满足条件，则的最大值是（）A．B．C．D．8. 函数（且）的图象可能为（）A．B．C．D．9. 若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）A．B．C．D．10. 根据右边的图，当输入为时，输出的（）A．28 B．10 C．4 D．211. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若，则b+c最大值为（）A．B．2 C．D．412. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题13. 设向量，，且，则_______.14. 已知，则__________．15. 设点为函数图象上的任一点，且在点处的切线的倾斜角为，则取值范围为_________．16. 已知直角梯形，沿折叠成三棱锥，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为__________．三、解答题17. 在极标坐系中，已知圆的圆心，半径（1）求圆的极坐标方程；（2）若，直线的参数方程为（t为参数），直线交圆于两点，求弦长的取值范围.18. 等差数列中，，数列中，.（1）求数列，的通项公式；（2）若，求的最大值.19. 如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB＝60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA＝1，AD＝AB＝QD＝2.(1)求证：平面PAB⊥平面QBC；(2)求该组合体QPABCD的体积．20. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就日期1月102月103月104月105月106月10日日日日日日昼夜温差10 11 13 12 8 6就诊人数22 25 29 26 16 12 (个）该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验；（Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出关于的线性回归方程；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？附：对于一组数据，，…，（，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， .21. 已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）已知点的坐标为（-3,0），记直线、的斜率分别为，，证明：为定值.22. 已知函数 .（1）求的单调区间；（2）若对一切恒成立，求的取值范围.。

2，
∴
������
=
1
2，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得
出．
本题考查了函数的性质、方程的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档
题．
9. 命题“数列{������������}前 n 项和是������������ = ������������2 + ������������的形式命题，逆否命
>
0，
∴ ������在第二象限，
故选：B． 将复数的分子分母同乘以1 ‒ 2������，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标，判断出所在的象限．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．
2. 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方
⃗ ⊥ ⃗ ⃗,⃗ ③已知������ ������，则������ ������与任何向量不构成空间的一个基底；
{⃗,⃗,⃗}
⃗,⃗
⃗ =⃗+⃗
④已知 ������ ������ ������ 是空间的一个基底，则基向量������ ������可以与向量������ ������ ������构成空间另一个基底．
7. 给出下列命题： ⃗ ⊥ ⃗ ⃗ ⋅ (⃗ + ⃗) + ⃗ (⃗ ‒ ⃗) = ⃗ ⋅ ⃗
①已知������ ������，则������ ������ ������ ������ ⋅ ������ ������ ������ ������；
⃗, ⃗ ,⃗ ②������、B、M、N 为空间四点，若������������ ������������ ������������不构成空间的一个基底，则 A、B、M、N 共面；

2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，若f(1)＝1，则f(3)－f(4)＝( )A．－1 B．1 C．－2 D．2参考答案：A略2. 展开式中的中间项是( )A. B. C. D.参考答案：C3. 展开式中，含项的系数为（）A. 45B. 30C. 75D. 60参考答案：C【分析】考虑展开式中及系数可得所求的系数.【详解】在中，，因此展开式项的系数是.故选C.【点睛】二项展开式中指定项的系数，可利用赋值法来求其大小，也可以利用二项展开式的通项结合多项式的乘法来求．4. 已知函数，则f（x）的图象（）A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于x轴对称D．关于直线y=x对称参考答案：A【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】先利用奇函数和偶函数的定义，判断出函数f（x）为奇函数，结合奇函数的图象关于原点对称，即可得到答案．【解答】解：∵函数，∴函数f（x）的定义域为R，又f（﹣x）==﹣=﹣f（x），根据奇函数的定义可知，f（x）为R上的奇函数，又∵奇函数的图象关于原点对称，∴f（x）的图象关于原点对称．故选：A．【点评】本题考查了函数奇偶性的判断．利用奇函数和偶函数的定义即可确定函数的奇偶性，有关函数奇偶性的问题要注意，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．本题解题的关键就是判断函数的奇偶性．属于中档题．5. 设，则下列不等式中正确的是（）A. B.C. D.参考答案：B略6. 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（A）6 （B）5 （C）4 （D）3参考答案：D略7. 已知函数的定义域为，且为偶函数，则实数的值为（）A．3或－1 B．0或2 C．0 D．－1参考答案：D8. 已知平面，，直线，，且有，，则下列四个命题正确的个数为（）．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；A．B．C．D．参考答案：A若，则，又由，故，故①正确；若，，则或，故②错误；若，则与相交、平行或异面，故③错误；若，则与相交，平行或，故④错误．故四个命题中正确的命题有个．故选．9. 已知函数，且，则下列命题成立的是( ) A．在区间上是减函数B．在区间上是减函数C．在区间上是增函数D．在区间上是增函数参考答案：B略10. “是无限不循环小数，所以是无理数”，以上推理的大前提是（）A．实数分为有理数和无理数 B．不是有理数C．无理数都是无限不循环小数 D．有理数都是有限循环小数参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1、O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为_____．参考答案：8π【分析】根据题意求出圆柱的底面圆半径和高，再计算圆柱的侧面积即可．【详解】如图所示，设圆柱的底面圆半径为，由截面为正方形可知圆柱的高，所以该圆柱的轴截面面积为，解得，该圆柱的侧面积为．故答案为：．【点睛】本题考查圆柱的结构特征，考查圆柱侧面积的求法，属于基础题.12. 设x,y满足约束条件，则P=x+y的范围是▲ .参考答案：13. 一船以每小时12海里的速度向东航行，在处看到一个灯塔在北偏东60°，行驶4小时后到达处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔相距__________海里.参考答案：本题主要考查正弦定理.根据题意，可得出，在中，根据正弦定理得：海里，则这时船与灯塔的距离为海里，故本题正确答案是.14. 不等式组所表示的平面区域的面积等于____参考答案：15. 在等差数列{a n}中，若mp+np=mk+nt（m，n，p，q，k，t∈N*），则ma p+na q=ma k+na t；类比以上结论，在等比数列{b n}中，若mp+nq=mk+nt（m，n，p，q，k，t∈N*），则．参考答案：ma p?na q=ma k?na t结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此等比数列类比到等差数列的：若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），则a m?a n=a p?a q．解：类比上述性质，在等比数列{a n}中，若mp+nq=mk+nt（m，n，p，q，k，t∈N*），则ma p?na q=ma k?na t，故答案为：ma p?na q=ma k?na t．16. 设函数f（x）=x3+（1+a）x2+ax有两个不同的极值点x1，x2，且对不等式f（x1）+f （x2）≤0恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：≤a≤2或a≤﹣1【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】把x1，x2代入到f（x）中求出函数值代入不等式f（x1）+f（x2）≤0中，在利用根与系数的关系化简得到关于a的不等式，求出解集即可．【解答】解：因f（x1）+f（x2）≤0，故得不等式x13+x23+（1+a）（x12+x22）+a（x1+x2）≤0．即（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+（1+a）[（x1+x2）2﹣2x1x2]+a（x1+x2）≤0．由于f′（x）=3x2+2（1+a）x+a．令f′（x）=0得方程3x2+2（1+a）x+a=0．△=4（a2﹣a+1）≥4a＞0，x1+x2=﹣（1+a），x1x2=，代入前面不等式，并化简得（1+a）（2a2﹣5a+2）≥0．解不等式得≤a≤2或a≤﹣1，因此，实数a的取值范围是≤a≤2或a≤﹣1．故答案为：≤a≤2或a≤﹣1．【点评】本题考查学生求导数及利用导数研究函数极值的能力，灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决数学问题的能力．17. 幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=．参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。