二次函数
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（3）∵S△ABD=S△ABC，点D在第一象限，
∴点C、D关于二次函数对称轴对称．
∵由二次函数解析式可得其对称轴为x=1，点C的坐标为（0，3），
∴点D的坐标为（2，3）．
六、一元二次不等式：
一元二次不等式其实就是在一元二次方程的基础上进行的。其所有的都是围绕一元二次方程与X轴的交点问题进行。下面我们以y=ax2+bx+c（a>0）为例进行探讨。
在解答题甚至填空题时往往不会很直白的告诉你三个点的坐标，而是与我们已经学过的一次函数或者反比例函数联立使用，告诉我们二次函数与一次函数或者反比例函数相交，或者顶点坐标在其上面。例如二次函数与一次函数y=kx+b相交，则交点既在二次函数上也在一次函数上。因此在没有给定交点时，我们可以设点坐标为（x,kx+b）后，再带入求解。
解：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
展开，得y＝ax2＋2ax－3a，
顶点的纵坐标为 ，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，
∴|－4a|＝2，即a＝ ．
所以，二次函数的表达式为y＝ ，或y＝－
三、二次函数与一次函数或者反比例函数的联立计算。
列表描述如下：
一元二次不等式 的解集：
设相应的一元二次方程 的两根为 ， ，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数
（ ）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
任意解
无解
无解
例：解关于x的不等式
解：原不等式可以化为：
若 即 则 或
若 即 则
若 即 则 或
练习：
1、抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a> ；
③:△<0，此时方程与坐标轴无交点，即对于任意的X均可以使y>0。
我们可以给出一个求一元二次不等式时的常见步骤，仍然以y=ax2+bx+c>0（a ）,为例：
（1）、令y=ax2+bx+c=0，进而求出方程与坐标轴的交点（x1,0）和（x2,0）。
（2）、判断a的值确定函数的开口方向。
（3）、大致画出函数图像，判断取值范围。X轴上半部分，y值大于0；X轴下半部分y值小于0。
y>0,即ax2+bx+c>0。
①:△=b2-4ac>0，则说明方程y=ax2+bx+c与x轴有两个交点（x1,0）（x2,0）且x1<x2。再由图像可知ax2+bx+c>0的解就是x<x1或x>x2
②:△=0，此时方程与x轴仅有一个交点(x0,0)，故对此要使ax2+bx+c>0，则x x0,即可。
二次函数解题方法归纳
一、对于给定的一个二次函数y=ax2+bx+c，我们首先要观察判断以下三点：
（1）a值，a的正负决定了开口方向，|a|的大小决定了二次函数开口大小。即a>0，开口向上，a<0开口向下。|a|越大，二次函数越扁平。
（2）顶点坐标。顶点坐标给了我们两个信息，一是对称轴x= ，对称轴可以用来判断y随x的变化而变化趋势。二是在X取全体实数的情况下，函数的最值。
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．
解：（1）将（3，0）代入二次函数解析式，得
-32+2×3+m=0．解得，m=3．
（2）二次函数解析式为y=-x2+2x+3，令y=0，得
-x2+2x+3=0 解得x=3或x=-1． ∴点B的坐标为（-1，0）．
令y=ax2+bx+c（a>0），
在解答这类问题中，还是一点看对称轴，x= 与X的取值范围的关系：
①x= ,则对称轴在 的左侧，此时y随x的增大而增大，因此当x=a时，函数取最小值，而当x=b时，函数取最大值。
② ，即当 时，函数取得最小值，而对于最大值，则分别取x=a,和x=b带入计算，哪个对应的函数值较大，哪个就是最大值。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA.BC，求△ABC的面积．
7、已知不等式 的解是 求不等式 的解．
同时还要关注点的坐标求法。例如，直线x=5上的点横坐标均为5，这个要灵活应用，真的是要练才行。像此类题目多数是二次函数与一次函数联立，或者二次函数上有一动点的问题。
例：如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；（2）求点B的坐标；
4、已知抛物线 （ ＞0）的对称轴为直线 ，且经过点 ，试比较 和 的大小： _ （填“>”，“<”或“=”）
5、已知抛物线 与x轴没有交点．
(1)求c的取值范围；
(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．
6、如图，已知二次函数y＝- x2＋bx＋c的图象经过A（2，0）、B（0，—6）两点．
由于当1≤x≤16时，G随x的增大而增大，故当x=4时，即第4年可收回投资．
五、二次函数习题中面积求解。
在二次函数解题中涉及到面积求解时，所求面积肯定不是我们所知道的特殊图形面积。因此我们需要将所求面积分割，通常是沿坐标轴方向分割要么垂直做直线，要么竖直做垂线，或者延长图中直线与坐标轴相交。总之，目的只要一个，要把图形中的底和高Байду номын сангаас做成垂直坐标轴的，以便于计算。
③ 时，即对称轴在 的右侧，此时y随x的增大而减小，因此当x=a时取得最大值，当x=b时取得最小值。
例3：某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万．该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+bx，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元．
因为题目中往往不会很直白的给定三点坐标，而是仅给出一些特殊点的坐标，比如二次函数与横坐标的交点，此时我们可以设二次函数方程为截距式。因为这样设方程之后将点带入，即可化为仅含有一个字母的函数表达式。此后再利用题目给定的信息，便于计算。
例：已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
④b<1．其中正确的结论是______
第一题 第二题
2、如图，已知正方形ABCD的边长为4 ，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF， EF交DC于F, 设BE= ，FC= ，则当点E从点B运动到点C时, 关于 的函数表达式__________
3、已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标是(5，0)，(－2，0)，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是_____
（1）求y的解析式；
（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？
解：（1）由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=2+4=6，分别代入y=ax2+bx，得a+b=2，
4a+2b=6，解得，a=1，b=1，所以y=x2+x．
（2）设G＝33x－100－x2－x，则G=－x2+32x－100=－(x－16)2+156．
（3）函数与坐标的交点。函数与y轴的交点坐标即为（0，C）。函数与X轴的坐标为（X1,0）和（X2，0），可以通过ax2+bx+c=0计算得来。其中对称轴x= = 。
二、二次函数的表达式
（1）三点式，即已知任意的三个坐标点时可以设二次函数表达式为y=ax2+bx+c，进而带入求解。设方程时有个技巧要注意当已知二次函数与y轴交点时，比如该点为（0,5）可以直接设方程为y=ax2+bx+5，然后再带入其他两个点即可，简化我们的工作量。
例2已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．
分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
（2）顶点式，当已知坐标轴顶点时，可设方程为y=a(x+ )2+k。之后再有一个点即可求出二次函数表达式。其实有时候题目中也会给出已知两点坐标和对称轴类的题型，在这种题型下我们依然可以设为顶点式或者也可以用一般式。其实顶点式就一般式的变形。
（3）截距式，即当已知二次函数与横坐标（X1,0）和（X2,0）时，可设方程为y=a(x-x1)(x-x2)。此后再已知一点即可求出函数表达式。
∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y＝x＋1上，
所以，2＝x＋1，∴x＝1．
∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为 ，
∵二次函数的图像经过点（3，－1），
∴ ，解得a＝－2．
∴二次函数的解析式为 ，即y＝－2x2＋8x－7．
四、关于二次函数求最值。
在x取全体实数时，函数的最值就是顶点纵坐标。但是，更多的情况下，X是有一定的取值范围的，尤其是在实际问题中求取最值是最常见的。下面就二次函数给定取值范围的情况下判断最值点，如下：
∴点C、D关于二次函数对称轴对称．
∵由二次函数解析式可得其对称轴为x=1，点C的坐标为（0，3），
∴点D的坐标为（2，3）．
六、一元二次不等式：
一元二次不等式其实就是在一元二次方程的基础上进行的。其所有的都是围绕一元二次方程与X轴的交点问题进行。下面我们以y=ax2+bx+c（a>0）为例进行探讨。
在解答题甚至填空题时往往不会很直白的告诉你三个点的坐标，而是与我们已经学过的一次函数或者反比例函数联立使用，告诉我们二次函数与一次函数或者反比例函数相交，或者顶点坐标在其上面。例如二次函数与一次函数y=kx+b相交，则交点既在二次函数上也在一次函数上。因此在没有给定交点时，我们可以设点坐标为（x,kx+b）后，再带入求解。
解：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
展开，得y＝ax2＋2ax－3a，
顶点的纵坐标为 ，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，
∴|－4a|＝2，即a＝ ．
所以，二次函数的表达式为y＝ ，或y＝－
三、二次函数与一次函数或者反比例函数的联立计算。
列表描述如下：
一元二次不等式 的解集：
设相应的一元二次方程 的两根为 ， ，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数
（ ）的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
任意解
无解
无解
例：解关于x的不等式
解：原不等式可以化为：
若 即 则 或
若 即 则
若 即 则 或
练习：
1、抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a> ；
③:△<0，此时方程与坐标轴无交点，即对于任意的X均可以使y>0。
我们可以给出一个求一元二次不等式时的常见步骤，仍然以y=ax2+bx+c>0（a ）,为例：
（1）、令y=ax2+bx+c=0，进而求出方程与坐标轴的交点（x1,0）和（x2,0）。
（2）、判断a的值确定函数的开口方向。
（3）、大致画出函数图像，判断取值范围。X轴上半部分，y值大于0；X轴下半部分y值小于0。
y>0,即ax2+bx+c>0。
①:△=b2-4ac>0，则说明方程y=ax2+bx+c与x轴有两个交点（x1,0）（x2,0）且x1<x2。再由图像可知ax2+bx+c>0的解就是x<x1或x>x2
②:△=0，此时方程与x轴仅有一个交点(x0,0)，故对此要使ax2+bx+c>0，则x x0,即可。
二次函数解题方法归纳
一、对于给定的一个二次函数y=ax2+bx+c，我们首先要观察判断以下三点：
（1）a值，a的正负决定了开口方向，|a|的大小决定了二次函数开口大小。即a>0，开口向上，a<0开口向下。|a|越大，二次函数越扁平。
（2）顶点坐标。顶点坐标给了我们两个信息，一是对称轴x= ，对称轴可以用来判断y随x的变化而变化趋势。二是在X取全体实数的情况下，函数的最值。
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．
解：（1）将（3，0）代入二次函数解析式，得
-32+2×3+m=0．解得，m=3．
（2）二次函数解析式为y=-x2+2x+3，令y=0，得
-x2+2x+3=0 解得x=3或x=-1． ∴点B的坐标为（-1，0）．
令y=ax2+bx+c（a>0），
在解答这类问题中，还是一点看对称轴，x= 与X的取值范围的关系：
①x= ,则对称轴在 的左侧，此时y随x的增大而增大，因此当x=a时，函数取最小值，而当x=b时，函数取最大值。
② ，即当 时，函数取得最小值，而对于最大值，则分别取x=a,和x=b带入计算，哪个对应的函数值较大，哪个就是最大值。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连结BA.BC，求△ABC的面积．
7、已知不等式 的解是 求不等式 的解．
同时还要关注点的坐标求法。例如，直线x=5上的点横坐标均为5，这个要灵活应用，真的是要练才行。像此类题目多数是二次函数与一次函数联立，或者二次函数上有一动点的问题。
例：如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；（2）求点B的坐标；
4、已知抛物线 （ ＞0）的对称轴为直线 ，且经过点 ，试比较 和 的大小： _ （填“>”，“<”或“=”）
5、已知抛物线 与x轴没有交点．
(1)求c的取值范围；
(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．
6、如图，已知二次函数y＝- x2＋bx＋c的图象经过A（2，0）、B（0，—6）两点．
由于当1≤x≤16时，G随x的增大而增大，故当x=4时，即第4年可收回投资．
五、二次函数习题中面积求解。
在二次函数解题中涉及到面积求解时，所求面积肯定不是我们所知道的特殊图形面积。因此我们需要将所求面积分割，通常是沿坐标轴方向分割要么垂直做直线，要么竖直做垂线，或者延长图中直线与坐标轴相交。总之，目的只要一个，要把图形中的底和高Байду номын сангаас做成垂直坐标轴的，以便于计算。
③ 时，即对称轴在 的右侧，此时y随x的增大而减小，因此当x=a时取得最大值，当x=b时取得最小值。
例3：某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万．该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+bx，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元．
因为题目中往往不会很直白的给定三点坐标，而是仅给出一些特殊点的坐标，比如二次函数与横坐标的交点，此时我们可以设二次函数方程为截距式。因为这样设方程之后将点带入，即可化为仅含有一个字母的函数表达式。此后再利用题目给定的信息，便于计算。
例：已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
④b<1．其中正确的结论是______
第一题 第二题
2、如图，已知正方形ABCD的边长为4 ，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF， EF交DC于F, 设BE= ，FC= ，则当点E从点B运动到点C时, 关于 的函数表达式__________
3、已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标是(5，0)，(－2，0)，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是_____
（1）求y的解析式；
（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？
解：（1）由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=2+4=6，分别代入y=ax2+bx，得a+b=2，
4a+2b=6，解得，a=1，b=1，所以y=x2+x．
（2）设G＝33x－100－x2－x，则G=－x2+32x－100=－(x－16)2+156．
（3）函数与坐标的交点。函数与y轴的交点坐标即为（0，C）。函数与X轴的坐标为（X1,0）和（X2，0），可以通过ax2+bx+c=0计算得来。其中对称轴x= = 。
二、二次函数的表达式
（1）三点式，即已知任意的三个坐标点时可以设二次函数表达式为y=ax2+bx+c，进而带入求解。设方程时有个技巧要注意当已知二次函数与y轴交点时，比如该点为（0,5）可以直接设方程为y=ax2+bx+5，然后再带入其他两个点即可，简化我们的工作量。
例2已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．
分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
（2）顶点式，当已知坐标轴顶点时，可设方程为y=a(x+ )2+k。之后再有一个点即可求出二次函数表达式。其实有时候题目中也会给出已知两点坐标和对称轴类的题型，在这种题型下我们依然可以设为顶点式或者也可以用一般式。其实顶点式就一般式的变形。
（3）截距式，即当已知二次函数与横坐标（X1,0）和（X2,0）时，可设方程为y=a(x-x1)(x-x2)。此后再已知一点即可求出函数表达式。
∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y＝x＋1上，
所以，2＝x＋1，∴x＝1．
∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为 ，
∵二次函数的图像经过点（3，－1），
∴ ，解得a＝－2．
∴二次函数的解析式为 ，即y＝－2x2＋8x－7．
四、关于二次函数求最值。
在x取全体实数时，函数的最值就是顶点纵坐标。但是，更多的情况下，X是有一定的取值范围的，尤其是在实际问题中求取最值是最常见的。下面就二次函数给定取值范围的情况下判断最值点，如下：
