二次函数与坐标轴的交点问题
预习导入：
一次函数36
=+与x轴的交点坐标为；与y轴的交
y x
点坐标为。
思考问题：你能求出下列二次函数与x轴，y轴的交点坐标吗？请试一试。
1、223
y x x
=-+
=-+ 3、2610 =-- 2、244
y x x
y x x
归纳：二次函数2
=++的图像与x轴的位置关系：
y ax bx c
1、2
当时，抛物线与轴有个交点；
∆>=++
0y ax bx c x
2、2
∆==++
当时，抛物线与轴有个交点；
0y ax bx c x
3、2
当时，抛物线与轴个交点；
0y ax bx c x
∆<=++
例：若抛物线221
y x x m x
=-+-与轴有交点,求m的取值范围。
练习：1、抛物线2
=--+与坐标轴有个交点，
y x x
34
2、抛物线2
=++与x轴有两个交点，则m的取值范围
2
y x x m
3、已知抛物线22
y x m x m
=+-+与x轴只有一个交点，求m的值。
(21)
4、已知二次函数25
=-+-，求证：不论k为何实数，此函数图像与x
y x kx k
轴都有两个交点。
拓展探索：
1、已知抛物线2
=++与x轴的两个交点坐标分别为（-1,0）
y ax bx c
（5,0），那么一元二次方程20
++=的根是。
ax bx c
2、二次函数的图像如图所示，你能写出图像与x轴的
另外一个交点的坐标吗？请写下来。
二次函数基本式y=ax²+bx+c（a≠0）二次函数交点式二次函数顶点式y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)二次函数顶点坐标（一）二次函数图象与a、b、c之间的关系（二）二次函数的平移规则当函数为基本式y=ax²+bx+c（a≠0）将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c+n将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c-n将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x+m)2+b(x+m)+c将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x-m)2+b(x-m)+c将抛物线向左平移m个单位长度后, 再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x+m)2+b(x+m)+c+n当函数为顶点式y=a(x-h)²+k左右平移：在括号里做变化，左加右减如：将y=a(x-h)²+k向左平移m个单位，y=a(x-h+m)²+k将y=a(x-h)²+k向右平移m个单位，y=a(x-h -m)²+k上下平移：K处做变化，下加下减如：将y=a(x-h)²+k向上平移n个单位，y=a(x-h)²+k+n将y=a(x-h)²+k向下平移n个单位，y=a(x-h )²+k-n将y=a(x-h)²+k向左平移m个单位，再向上平移n个单位，y=a(x-h+m)²+k+n注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平移h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平移|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平移h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平移h个单位，再向下移动|k|个单位得到y=a(x-h)²+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平移|h|个单位，再向上移动k个单位得到y=a(x-h)²+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平移|h|个单位，再向下移动|k|个单位得到y=a(x-h)²+k的图象（三）二次函数图象对称关系对于一般式：①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称③y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx+c-b2/2a关于顶点对称④y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称。
二次函数的定义及特点二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的数学函数，其中a、b、c都是实数且a ≠ 0。
特点一：二次函数的图像是抛物线。
抛物线可以是开口向上的，也可以是开口向下的，这取决于二次项系数a的正负。
特点二：二次函数的对称轴垂直于x轴，具有形如x=-b/(2a)的垂直线对称轴方程。
特点三：二次函数的顶点是抛物线的最高或最低点，具有形如(-b/(2a),f(-b/(2a)))的坐标。
特点四：二次函数的自变量x在整个实数范围内都有定义，即定义域为全体实数R。
特点五：二次函数的值域的范围是根据二次项系数a的正负而定。
若a>0，则值域为[f(-b/(2a)),+∞)，即抛物线开口向上的情况；若a<0，则值域为(-∞,f(-b/(2a))]，即抛物线开口向下的情况。
特点六：根据二次函数的图像，可以分析二次函数的零点和极值。
零点是函数图像与x轴的交点，是方程ax² + bx + c = 0的根；极值则是函数图像的最高或最低点，是顶点坐标的纵坐标值。
特点七：二次函数的导数是一次函数，导数函数f'(x) = 2ax + b，而且对于开口向上的二次函数，导数恒大于0；对于开口向下的二次函数，导数恒小于0。
特点八：二次函数的最大值或最小值是在其顶点处取得的，与一次函数不同，二次函数的最大值或最小值唯一存在。
特点九：二次函数与x轴的交点个数根据二次方程ax² + bx + c = 0的判别式来确定。
若判别式Δ = b² - 4ac > 0，则有两个不同实根，即抛物线与x轴有两个交点；若Δ = 0，则有一个重根，即抛物线与x 轴有一个交点；若Δ < 0，则无实根，即抛物线与x轴无交点。
特点十：二次函数的图像可以通过平移图像、伸缩图像、翻转图像等操作来得到其他二次函数的图像。
根据平移、伸缩和翻转的参数不同，可以得到不同形状和位置的抛物线图像。
