二次函数与X轴的交点题库

中考数学总复习《二次函数图像与坐标轴的交点问题》练习题-附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；②4a+c＞2b；③4a+b=0；④当x＞-1时y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（）A．1B．-1C．2D．-2 3．已知二次函数y=x2−x+14m−1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m≤5B．m≥2C．m<5D．m>2 4．二次函数y=x2-2x-2与坐标轴的交点个数是（）A．0B．1C．2D．3 5．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时y随x增大而增大．其中结论正确的是（）A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于（-1，0），（3，0），则下列判断错误的是（）．A．图象的对称轴是直线x＝1B．当x>1时y随x的增大而减小C．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是-1和3D．当y<0时x<-17．若抛物线y=x2﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＜1C．m＞﹣1D．m＞1 8．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X﹣1013y﹣1353①ac＜0；②当x＞1时y的值随x值的增大而减小．③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；④当﹣1＜x＜3时ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是（）A．m≥﹣2B．m≥2C．m≥0D．m＞4 10．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4 11．已知抛物线y＝ax2﹣2ax＋a﹣c（a≠0）与y轴的正半轴相交，直线AB∥x轴，且与该抛物线相交于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，当x＝x1＋x2时函数值为p；当x＝x1+x2q.则p﹣q的值为（）2时函数值为A．a B．c C．﹣a＋c D．a﹣c 12．函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根二、填空题(共6题；共6分)13．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．14．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x+m）2+n的顶点在线段AB上，与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标的最大值为．15．若抛物线y=x2与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），则方程x2﹣x﹣2=0的解为．16．已知二次函数y=x2－2x－3与x轴交于A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且∥ABC的面积等于10，则C点坐标为．17．抛物线y＝（m﹣1）x2+2x+ 12m图象与坐标轴有且只有2个交点，则m＝．18．若二次函数y=kx2−4x+3的函数值恒大于0，则k取值范围是.三、综合题(共6题；共56分)19．已知二次函数y＝x2－（m＋2）x＋2m－1（1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）若该函数的图象与y轴交于点（0，3）．①求函数图象与x轴的交点坐标；②当0＜x＜5时求y的取值范围．20．（1）解方程：x2−x+13=3(x2+1)+5x；（2）求二次函数y=2x2−5x的图象与x轴的交点坐标．21．已知二次函数y=mx2﹣5mx+1（m为常数，m＞0），设该函数的图象与y轴交于点A，该图象上的一点B与点A关于该函数图象的对称轴对称．（1）求点A，B的坐标；（2）点O为坐标原点，点M为该函数图象的对称轴上一动点，求当M运动到何处时∥MAO的周长最小．22．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标．23．已知函数y=mx2﹣6x+1（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．24．已知二次函数y=ax2﹣4ax+1（1）写出二次函数图象的对称轴：；（2）如图，设该函数图象交x轴于点A、B（B在A的右侧），交y轴于点C．直线y=kx+b经过点B、C．①如果k=﹣13，求a的值②设点P在抛物线对称轴上，PC+PB的最小值为√13，求点P的坐标．参考答案1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】A12．【答案】C13．【答案】0或114．【答案】815．【答案】﹣1或216．【答案】（4，5）或（－2，5）17．【答案】﹣1或2或018．【答案】k>4 319．【答案】（1）解：令y=0，则x2−(m+2)x+2m−1=0，∴△=[−(m+2)2]−4(2m−1)=m2+4m+4−8m+4=m2−4m+8=(m−2)2+4≥4∴△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴总有两个交点；（2）解：①∵函数的图象与y轴交于点（0，3）．∴2m−1=3，∴m=2，∴抛物线的解析式为：y=x2−4x+3，当x2−4x+3=0，∴(x−1)(x−3)=0，∴x1=1，x2=3，所以抛物线与x 轴的交点坐标为：(−1，0)，(−3，0). ②∵y =x 2−4x +3=(x −2)2−1，∴ 抛物线的开口向上，当x =2时函数的最小值为−1， 当x =0时 当x =5时∴ 当0＜x ＜5时y 的取值范围为：−1≤y ＜8.20．【答案】（1）解：将方程化为一般式，得x 2+3x −5=0．∵Δ=b 2−4ac =32−4×1×(−5)=29>0．∴x =−3±√292×1=−3±√292．解得x 1=−3+√292，x 2=−3+√292．（2）解：把y =0代入y =2x 2−5x 中得2x 2−5x =0． 解得x 1=0，x 2=52．∴二次函数y =2x 2−5x 的图象与x 轴的交点坐标是(0，0)和(52，0)．21．【答案】（1）解：当x=0时y=1，则点A 的坐标为（0，1）∵抛物线对称轴为x= 5m 2m = 52∴B 点坐标为（5，1）（2）解：设直线OB 解析式为y=kx ，把B （5，1）代入可得5k=1，解得k= 15 ∴直线OB 解析式为y= 15 x由轴对称的性质可知当点M 运动到直线OB 与二次函数对称轴的交点时∥MAO 的周长最小．当x= 52时y= 12∴M 点的坐标为（ 52， 12 ）22．【答案】（1）解：由顶点A （﹣1，4），可设二次函数关系式为y=a （x+1）2+4（a≠0）．∵二次函数的图象过点B （2，﹣5） ∴点B （2，﹣5）满足二次函数关系式 ∴﹣5=a （2+1）2+4 解得a=﹣1．∴二次函数的关系式是y=﹣（x+1）2+4（2）解：令x=0，则y=﹣（0+1）2+4=3∴图像与y轴的交点坐标为（0，3）；令y=0，则0=﹣（x+1）2+4解得x1=﹣3，x2=1故图像与x轴的交点坐标是（﹣3，0）、（1，0）23．【答案】（1）解：当x=0时y=1．所以不论m为何值，函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）；（2）解：①当m=0时函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点；②当m≠0时若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2﹣6x+1=0有两个相等的实数根所以∥=（﹣6）2﹣4m=0，m=9．综上，若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9 24．【答案】（1）直线x=2（2）解：①当x=0时y=1∴点C的坐标为（0，1）．将（0，1）代入y=kx+b，得：b=1．∵k= −1 3∴y=−13x+1当y=0时有−13x+1=0解得：x=3∴点B的坐标为（3，0）．将B（3，0）代入y=ax2﹣4ax+1，得：9a﹣12a+1=0解得：a=3；②当PC+PB取最小值时点P是直线BC与直线x=2的交点，且PC+PB的最小值=BC= √13．∵OC=1∴在Rt∥OBC中OB= 2√3∴此时点B的坐标为(2√3，0)将点B的坐标代入y=kx+1得：2√3k+1=0解得：k=−√36∴此时直线BC的解析式为：y=−√36x+1∵当x=2时.∴点P的坐标为(2，3−√33)。

中考数学《二次函数图像与坐标轴的交点问题》专项练习题(附答案)一、单选题1．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a>0；②b2−4ac＞0；③4a+b=0；④不等式ax2+（b−1）x+c＜0的解集为1≤ x＜3，正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．42．若抛物线y=x2−2x+m2−1的顶点在x轴上，则m的值是（）A．1B．√2C．−√2D．±√23．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5 个结论：①4a+2b+c＞0；②abc＜0；③b＜a+c；④3b＞2c；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1 的实数）；其中正确结论的个数为（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个4．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列说法中，错误的是（）A．对称轴是直线x=12B．当−1<x<2时C．a+c=b D．a+b>−c5．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O'A'B'，且点O′，点A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为（）A．y＝x B．y＝x+1C．y＝x+ 12D．y＝x+26．如图，二次函数y=﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A和点B，顶点为C，则sin△ABC=（）A．2√55B．√55C．2D．127．二次函数y=x2+x-6的图象与x轴交点的横坐标是（）A．2和-3B．-2和3C．2和3D．-2和-3 8．二次函数y=x2﹣3x+2的图象与x轴的两个交点坐标是（）A．1和2 B．﹣1和﹣2C．（﹣1，0）和（﹣2，0）D．（1，0）和（2，0）9．对于二次函数y=2（x﹣1）2﹣3，下列说法正确的是（）A．图象开口向下B．图象和y轴交点的纵坐标为﹣3 C．x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x=﹣1 10．下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．对应边成比例的四边形是相似四边形C．二次函数y=x2+bx−1（b为常数）的图象与x轴有两个交点D．若代数式√x+1在实数范围内有意义，则x≥−111．已知二次函数y＝kx2﹣5x﹣5的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．x＞−54B．x≥−54且k≠0C．x≥−54D．x＞−54且k≠012．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，其对称轴是x=−1,且过点(−3,0),则下列选项中错误的是（）A．2a−b=0B．a+b+c=0C．abc>0D．b2≥4ac二、填空题13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是．14．若二次函数的图象经过点（﹣2，0），且在x轴上截得的线段长为4，那么这个二次函数图象顶点的横坐标为．15．如图，抛物线的对称轴是x=1，与x轴有两个交点，与y轴的交点坐标是（0，3），把它向下平移2个单位长度后，得到新的抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，以下四个结论：①b2﹣4ac＜0，②abc＜0，③4a+2b+c=1，④a﹣b+c＞0中，其中正确的是（填序号）．16．某二次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），（4，0）且它的形状与y＝﹣x2形状相同．则这个二次函数的解析式为．17．抛物线y=(k−1)x2−4x−4和x轴有公共点，则k的取值范围是．18．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的图象，有下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2．其中正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）三、综合题19．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，且点P在x轴上方．若S△PAB=8，请求出此时P点的坐标．20．抛物线y=−x2−2x+3与x轴交与点A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C，且点D 为抛物线的顶点，连接BD，CD（1）求四边形BOCD的面积.（2）求△BCD的面积.21．二次函数的图象与x轴一交点为（﹣1，0），顶点（1，﹣4）．（1）求二次函数的解析式．（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）所求二次函数图象可以由什么抛物线经过怎样的平移得到？22．如图，二次函数y=﹣2（x﹣2）2+2的图象．（1）由图象直接写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；直接写出抛物线与x轴的交点坐标．（2）将该图象绕顶点旋转180度后，再沿着x轴向左平移3个单位，沿着y轴向下平移3个单位，画出运动后的图象，并写出最后的解析式．23．如图，已知抛物线y=−x2+2x+m，抛物线过点A(3，0)，与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；（2）在第一象限内的该抛物线有一点D(x，y)，且S△ABD=14S△ABC，求点D的坐标．24．如图，已知抛物线y=x2+x﹣6与x轴两个交点分别是A、B（点A在点B的左侧）．（1）求A、B的坐标；（2）利用函数图象，写出y＜0时，x的取值范围．参考答案1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】D5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】D13．【答案】-214．【答案】﹣4或015．【答案】②③④16．【答案】y＝﹣x2+3x+4或y＝x2﹣3x﹣417．【答案】k≥0且k≠118．【答案】①②④19．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3∴﹣1+3=﹣b﹣1×3=c∴b=﹣2，c=﹣3∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3（2）解：∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4∴抛物线的对称轴直线x=1，顶点坐标（1，﹣4）（3）解：设P的纵坐标为|y P|∵S△PAB=8∴12AB•|y P|=8∵AB=3+1=4∴|y P|=4∴y P=±4∵点P在x轴上方，∴y P=4把y P=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3解得，x=1±2 √2∴点P在该抛物线上滑动到（1+2 √2，4）或（1﹣2 √2，4）20．【答案】（1）解：令y=-x2-2x+3中的x=0，得y=3∴C（0，3）∴OC=3.令y=-x2-2x+3中的y=0，得x1=-3，x2=1∴B（-3，0）∴OB=3.∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4∴D（-1，4）.过点D作DE△AB于点E，则DE=4，BE=2，OE=1∴S四边形BOCD=S△BED+S梯形EOCD=12×2×4+12×(3+4)×1=4+3.5=7.5.（2）解：∵S△BCD=S四边形BOCD-S△BOC∴S△BCD=7.5-12×3×3=3.21．【答案】（1）解：设y=a（x﹣1）2﹣4，把点（﹣1，0）代入得：a=1∴函数解析式y=（x﹣1）2﹣4（2）解：∵抛物线对称轴为x=1∴当x＞1时，y随x的增大而增大（3）解：函数y=（x﹣1）2﹣4图象可以由y=x2先向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到22．【答案】（1）解：由图可知，x＞2时，y随x的增大而减小抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）（2）解：运动后图象如图所示二次函数y=﹣2（x﹣2）2+2的顶点坐标为（2，2）∵绕顶点旋转180度后，再沿着x轴向左平移3个单位，沿着y轴向下平移3个单位2﹣3=﹣12﹣3=﹣1∴平移后的函数图象顶点坐标为（﹣1，﹣1）∴函数解析式为y=2（x+1）2+1．23．【答案】（1）解：∵抛物线y=−x2+2x+m过点A(3，0)∴−9+6+m=0，解得m=3∴抛物线为y=−x2+2x+3令x=0，则y=3∴B(0，3)∵对称轴为直线x=−22×(−1)=1∴点A(3，0)关于对称轴的对称点为(−1，0)∴C(−1，0)；（2）解：∵抛物线有一点D(x．y)∴D(x，−x2+2x+3)过D点作DE⊥x轴，交直线AB与E∴E(x，−x+3)∵A(3，0)，B(0，3)∴SΔABC=12×(3+1)×3=6∴SΔABD=14SΔABC=32∵SΔABD=SΔADE+SΔBDE∴12(−x2+2x+3+x−3)×3=32解得x=3±√52∴y=−x2+2x+3=5±√52∴D(3−√52，5+√52)，(3+√52，5−√52)．24．【答案】（1）解：令y=0，即x2+x﹣6=0解得x=﹣3或x=2∵点A在点B的左侧∴点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（2，0）（2）解：∵当y＜0时，x的取值范围为：﹣3＜x＜2。

二次函数与X 轴的交点 1.已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根是（ ）．A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝1，x 2＝2C ．x 1＝1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝32.方程0132=-+x x 的根可视为函数3+=x y 的图象与函数x y 1=的图象交点的横坐标，则方程3210x x +-=的实根0x 所在的范围是（ ）．A ．4100<<xB ．31410<<xC ．21310<<xD ．1210<<x 3.二次函数y=x 2-3x 的图象与x 轴两个交点的坐标分别为（ ）A.(0，0)，(0，3)B.(0，0)，(3，0)C.(0，0)，(-3，0)D.(0，0)，(0，-3)4．抛物线的图象与轴交点为（ ）A ．二个交点B ．一个交点C ． 无交点D ．不能确定5.若二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值必为 ( )A ． 0或2B ． 0C ． 2D ． 无法确定6．若抛物线的所有点都在x 轴下方，则必有 （ ）A. B.C. D.7.下列二次函数中有一个函数的图像与轴有两个不同的交点，这个函数是（ ）Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．8.如图所示，函数的图像与轴只有一个交点，则交点的横坐标．22n mx x y --=)0(≠mn x c bx ax y ++=204,02>-<ac b a 04,02>->ac b a 04,02<-<ac b a 04,02<->ac b a x 2y x =24y x =+2325y x x =-+2351y x x =+-2(2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =Ｏ9．抛物线与y 轴的交点坐标为 ，与x 轴的交点坐标为 ．10．已知方程的两根是，-1，则二次函数与x 轴的两个交点间的距离为 ．11.（1）已知抛物线，当k= 时，抛物线与x 轴相交于两点．（2）已知二次函数的图象的最低点在x 轴上，则a= ．12.已知二次函数，试说明：不论m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点。

2019备战中考数学专题-二次函数图像与坐标轴的交点问题〔含解析〕一、单项选择题1.二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有两个交点，那么k的取值范围是〔〕A.k<3B.k<0且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠02.如图图形中阴影部分的面积相等的是〔〕A.①②B.②③C.①③D.①②③3.在如下图的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，大伟同学观察后得出了以下四条结论：①a＜0，b＞0，c＞0；②b2﹣4ac=0；③ ＜c；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根，你认为其中正确的结论有〔〕A.1条B.2条C.3条D.4条4.假设函数的图象与坐标轴有三个交点，那么的取值范围是〔〕A. B. C.D.5.二次函数y=〔x﹣1〕〔x﹣2〕﹣1与x轴的交点x1，x2，x1＜x2，那么以下结论正确的选项是〔〕A.x1＜1＜x2＜2B.x1＜1＜2＜x2C.x2＜x1＜1D.2＜x1＜x26.对某个函数给定如下定义：假设存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足|y|≤M，那么称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其中最小值称为这个函数的边界值．现将有界函数〔0 x m，1≤m≤2〕的图象向下平移m个单位，得到的函数边界值是t，且≤t≤2，那么m的取值范围是〔〕A.1≤m≤B.≤m≤C.≤m≤D.≤m≤27.二次函数y=x2－〔m－1〕x+4的图像与x轴有且只有一个交点，那么m的值为〔〕A.1或－3B.5或－3C.－5或3D.以上都不对8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=α〔x﹣1〕2+k与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点．CD∥x轴与抛物线交于D点且A〔﹣1，0〕那么OB+CD=〔〕A.4B.5C.6D.79.“一般的，假如二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．﹣﹣苏科版?数学?九年级〔下册〕P21〞参考上述教材中的话，判断方程x2﹣2x= ﹣2实数根的情况是〔〕A.有三个实数根B.有两个实数根C.有一个实数根D.无实数根10.二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有两个交点，那么k的取值范围为〔〕A.k＞-B.k＞-且k≠0C.k≥-D.k≥-且k≠011.抛物线y=ax2+bx+c〔a＞0〕的对称轴为x=1，它与x轴的一个交点的坐标为〔﹣3，0〕，那么它与x轴另一个交点的坐标为〔〕A.〔﹣2，0〕B.〔﹣1，0〕C.〔2，0〕D.〔5，0〕二、填空题12.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是〔﹣1，0〕，〔3，0〕，那么关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是________．13.二次函数y=kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，那么k的取值范围是________．14.二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象在x轴上截得的线段长为________．15.y=﹣x2+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，那么∥ABC的面积为________．16.二次函数y=ax2+bx+c 〔a≠0〕〔a≠0，a，b，C为常数〕的图象，假设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=m有实数根，那么m的取值范围是________．17.正整数a满足不等式组〔x为未知数〕无解，那么a的值为________；函数y=〔3﹣a〕x2﹣x﹣3图象与x轴的交点坐标为________18.抛物线y＝ax2＋bx＋c〔a≠0〕与x轴的两个交点的坐标分别是〔－3，0〕，〔2，0〕，那么方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕的解是________.三、解答题19.使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0可得x=1，我们说1是函数y=x﹣1的零点．函数y=x2﹣2mx﹣2〔m+3〕〔m为常数〕〔1〕当m=0时，求该函数的零点．〔2〕证明：无论m取何值，该函数总有两个零点．20.在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分别交于点A〔2，0〕、点B〔点B在点A的右侧〕，与轴交于点C，tan∥CBA=．〔1〕求该抛物线的表达式；〔2〕设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；〔3〕设抛物线上的点E在第一象限，∥BCE是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标．四、综合题21.二次函数为y=x2﹣2x+m〔1〕写出它的图象的开口方向，对称轴；〔2〕m为何值时，其图象顶点在x轴上方？22.在平面直角坐标系内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为〔3，0〕，与y轴相交于点C；〔1〕求抛物线的表达式；〔2〕求∥ABC的面积．23.二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点〔A在B的左边〕，与y轴交于点C．〔1〕求出点A、B、C的坐标．〔2〕求S∥ABC〔3〕在抛物线上〔除点C外〕，是否存在点N，使得S∥NAB=S∥ABC，假设存在，求出点N 的坐标，假设不存在，请说明理由．答案解析部分一、单项选择题1.【答案】D【考点】抛物线与x轴的交点【解析】【分析】利用kx2-6x+3=0有实数根，根据判别式可求出k取值范围。

中考数学总复习《二次函数图像与坐标轴的交点问题》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x=1。

下列结论中：①abc>0；②2a+b=0；③4a-2b+c=0；④若点M(m，n)在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c，其中正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个2．二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且…-3-2-1012345…a≠0)中的x与y的部分对应值如下表xy…1250-3-4-30512…①二次函数y=ax2+bx+c 有最小值，最小值为-3；②抛物线与y轴交点为（0，-3）；③二次函数y=ax2+bx+c 的图像对称轴是x=1；④本题条件下，一元二次方程ax2+bx+c的解是x1=-1,x2=3.其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．13．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4A．4B．3C．2D．14．已知函数y=x2+2x﹣3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是A．−4B．0C．2D．35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO= 12，CO=BO，AB=3．则下列判断中正确的是（）A．此抛物线的解析式为y=x2+x﹣2B．在此抛物线上的某点M，使∠MAB的面积等于4，这样的点共有三个C．此抛物线与直线y=﹣94只有一个交点D．当x＞0时，y随着x的增大而增大6．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x−1013y−3131x<2时，函数值y随x 的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＝0；④a﹣b+c＞2.其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．48．已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-3的一个根为x=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为()A．(2，-3)B．(2，1)C．（2 , 3）D．(3，2)9．不论x为何值，函数y=ax2+bx+c(a≠0）的值恒大于0的条件是()A．a>0，Δ>0B．a>0，Δ<0C．a<0，Δ<0D．a<0，Δ>0 10．已知二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m（m≠0），一次函数y2＝2x﹣2，有下列结论：①当x＞﹣2时，y1随x的增大而减小；②二次函数y1＝mx2+4mx﹣5m（m≠0）的图象与x轴交点的坐标为（﹣5，0）和（1，0）；③当m＝1时，y1≤y2；④在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y2≤y1均成立，则m =1 3 .其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．311．直线y=x+2m经过第一、三、四象限，则抛物线y=x2+2x+1−m与x轴的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个12．函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c-2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根二、填空题(共6题；共6分)13．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：①c＞0；②若B（﹣32，y1），C（﹣14，y2）为图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b＝0；④4ac−b 24a＜0，其中正确的结论是 ．14．关于x 的函数 y =ax 2−2x +1 与x 轴有唯一交点，则a 的值是 .15．若二次函数y=ax 2+3x ﹣1与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是 ． 16．若二次函数 y =x 2−2ax −1 （ a 为常数）的图象在 −2≤x ≤5 的部分与 x 轴有两个公共点，则 a 的取值范围是 .17．如图，二次函数Y=﹣ 12 x 2﹣ 32x+2象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点D （m ，n ）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA 的面积的最大值是 ．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =−x 2+2x +c 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴，交抛物线于另一点D ，若AB +CD =3，则c 的值为 ．三、综合题(共6题；共66分)19．已知函数y =x 2−mx +m −3．（1）求证：无论m 为任何实数，此二次函数的图象与x 轴都有两个不同的交点； （2）若函数图象不经过第三象限，求m 的范围；（3）求证：无论m 为何实数，此二次函数的图象一定经过第四象限．20．已知二次函数y=- 12x 2+bx+c 的图象经过A(2，0)，B(0，-6)两点.（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求∠ABC的面积和周长. 21．如图，抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与y轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴相较于点C，顶点为D.（1）直接写出A、B、C三点的坐标；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∠DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示PF的长，并求出当m为何值时四边形PEDF为平行四边形？②设∠BCF的面积为S，求S与m的函数关系式.22．已知抛物线y=ax2+bx+c=0与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，-3)，顶点为D。

中考数学专项复习《二次函数图像与坐标轴的交点问题》练习题及答案一、单选题1．抛物线y=kx2−7x−7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k≥−74B．k≥−74且k≠0C．k>−74D．k>−74且k≠02．下列二次函数的图象与x轴没有交点的是（）A．y＝－3x2＋2x B．y＝x2－3x－4C．y＝x2－4x＋4D．y＝x2＋4x＋53．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点为（﹣1，0）和（3，0），与y轴交点为（0，﹣2），则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根为（）A．x1=﹣1，x2=3B．x1=﹣2，x2=3C．x1=1，x2=﹣3D．x1=﹣1，x2=﹣24．关于x的函数y=(a−2)x2+2x−1与x轴有交点，则a的取值范围是（）A．a≥1B．a>1C．a>1且a≠2D．a≥1且a≠25．抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的交点个数是（）A．0B．1C．2D．36．如图，抛物线y=−x2+bx+c的部分图象如图所示，若y>0，则x的取值范围是（）A．−4<x<1B．−3<x<1C．x<−4或x>1D．x<−3或x>1 7．已知二次函数y=2(x+1)(x－a)，其中a>0，若当x≤2时，y随x增大而减小，当x≥2时y随x增大而增大，则a的值是A．3B．5C．7D．不确定8．二次函数y=ax2﹣bx的图象如图，若方程ax2﹣bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．-3B．3C．-6D．09．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x=1.给出下列结论：①abc＞0；②b2>4ac；③4a+2b+c>0；④3a+c>0，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中x与y的部分对应值如下表：x﹣2﹣101234y50﹣3﹣4﹣305y＜0，则x的取值范围是0＜x＜2；（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧，则其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．311．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＞0D．b2-4ac＞012．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)形状如图，下列结论：①b>0；②a-b+c=0；③当x<-1或x>3时，y>0．④一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根。

中考数学总复习《二次函数图像与坐标轴的交点问题》专题测试卷带答案班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题(共12题；共24分)1．抛物线y =x 2−2x +1与坐标轴的交点个数为（ ）A ．无交点B ．1个C ．2个D ．3个2．如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x ＝1.下列结论：①abc ＞0；②4a ＋2b ＋c ＞0；③4ac ﹣b 2＞8a ；④13<a <23； ⑤b ＞c.其中含所有正确结论的选项是（ ） A ．①②③B ．②③④C ．①④⑤D ．①③④⑤3．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0，a ，b ，c 为常数）的y 与x 的部分对应值如下表：x 3.23 3.24 3.25 3.26 y﹣0.06﹣0.08﹣0.030.09判断方程ax 2+bx+c=0的一个解x 的取值范围是（ ） A ．3＜x ＜3.23 B ．3.23＜x ＜3.24 C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25＜x ＜3.264．已知抛物线y =−3x 2+bx +c 与x 轴只有一个交点，且过点A(m −2，n)和B(m +4，n)，则n 的值为（ ） A ．-9B ．-16C ．-18D ．-275．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x=-1，点B 的坐标为（1，0），则下列结论：①AB=4；②b 2-4ac ＞0；③ab ＜0；④a 2-ab+ac ＜0，其中正确的结论有（ ）个．A．3B．4C．2D．16．坐标平面上某二次函敷图形的顶点为(2，-1)，此函数图形与x轴相交于P、Q两点，且PQ=6若此函数图形通过(1，a)、(3，b)、(-1，c)、(-3，d)四点，则下列结论错误的是() A．a=b B．d>c C．c>a D．d<07．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列判断中错误的是()A．图象的对称轴是直线x＝1；B．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－1、3；C．当x＞1时，y随x的增大而减小；D．当－1＜x＜3时，y＜0.8．如图，已知抛物线l：y= 12（x-2）2-2与x轴分别交于0、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果山抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（）A．y= 12（x-2）2+4B．y= 12（x-2）2+3C．y= 12（x-2）2+2D．y= 12（x-2）2+19．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y=﹣112x2+ 23x+ 53，则该运动员此次掷铅球的成绩是（）A．6m B．12m C．8m D．10m10．已知函数y= x2+2x-3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是（）.A．-4B．0C．2D．311．对于二次函数y=（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x=﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题(共6题；共6分)13．如图，抛物线y=a(x−4)(x+1)(a>0)与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）与y轴交于点C，连接BC，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点E，交y轴于点D，则ADDE的值为.14．已知抛物线y＝2x2+bx﹣1与x轴的交点坐标分别是（﹣3，0）和（2，0），那么关于x的一元二次方程2x2+bx﹣1＝0的根是．15．抛物线y=(x+2)2+3上的点到x轴最短的距离是．16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0）．有下列结论：①图象的对称轴为直线：x＝1；②a：b：c＝﹣1：2：3；③若0＜x＜4，则5a＜y＜﹣3a；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根分别为﹣1和13，其中正确的结论有（填序号）．17．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）对于下列命题：①b﹣2a＝0；②abc＜0；③a﹣2b＋4c＜0④8a＋c＜0，其中正确的有．18．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(1，0)、点B，与y轴相交于点C(0，3)，下列结论：①b=−2﹔②B点坐标为(−3，0)，③抛物线的顶点坐标为(−1，3)，④直线y=ℎ与抛物线交于点D、E，若DE<2，则h的取值范围是3<ℎ<4﹔⑤在抛物线的对称轴上存在一点Q，使△QAC的周长最小，则Q点坐标为(−1，2)．其中正确的有．三、综合题(共6题；共75分)19．已知二次函数y=x2−mx+m−2．（1）求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点；（2）若此函数y有最小值−54，求这个函数表达式．20．已知y=x2−(m+2)x+(2m−1)是关于x的抛物线解析式.（1）求证：抛物线与x轴一定有两个交点；（2）点A(−2,y1)、B(1,y2)和C(4,y3)是抛物线上的三个点，当抛物线经过原点时，判断y1、y2和y3的大小关系.21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12（x﹣1）2﹣2与x轴交于点A和点B（点A在点B 的左侧），第一象限内的点C在该抛物线上．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）若△ABC的面积为12，求点C坐标；（3）在（2）问的条件下，直线y＝mx+n经过点A、C，12（x﹣1）2﹣2＞mx+n时，直接写出x的取值范围．22．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．23．如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（－1，0）和B（0，3），其顶点为D．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E，求⊥ODE的面积；抛物线的对称轴上是否存在点P使得⊥PAB的周长最短．若存在请求出点P的坐标，若不存在说明理由．24．已知，如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0, 5)，且经过点(1, 8)（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴.（3）求△ABC的面积S△ABC.参考答案1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】D 10．【答案】B 11．【答案】B 12．【答案】B 13．【答案】1514．【答案】x 1＝−3，x 2＝2 15．【答案】3 16．【答案】①②④ 17．【答案】③18．【答案】①②④⑤19．【答案】（1）证明： Δ=(−m)2−4(m −2)=m 2−4m +8=(m −2)2+4 ，不论 m 为何值时，都有 Δ>0此时二次函数图象与 x 轴有两个不同交点．（2）解： ∵4ac−b 24a =4(m−2)−m 24=−54， m 2−4m +3=0 ， ∴m =1 或 m =3所求函数式为 y =x 2−x −1 或 y =x 2−3x +1 ．20．【答案】（1）证明：y=x 2﹣（m+2）x+（2m ﹣1）.∵⊥=[﹣（m+2）]2﹣4×1×（2m ﹣1）=（m －2）2+4＞0，∴抛物线与x 轴一定有两个交点 （2）解：∵抛物线y=x 2﹣（m+2）x+（2m ﹣1）经过原点，∴2m ﹣1=0.解得：m =12 ，∴抛物线的解析式为y=x 2−52x.当x=﹣2时，y1=9；当x=1时，y2=－3.5；当x=4时，y3=6，∴y2＜y3＜y121．【答案】（1）解：令y=0，则12（x-1）2-2=0解得x1=−1，x2=3∴A（-1，0），B（3，0）（2）解：∵A（-1，0），B（3，0）∴AB=4∵S△ABC=12AB·yC=12∴12×4×y C=12解得y C=6∴12(x−1)2−2=6解得x1=5，x2=−3（不符题意，舍去）∴C（5，6）（3）解：由图象可知，当12(x−1)2−2>mx+n时，x的取值范围是x＜-1或x＞522．【答案】（1）解：∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出∴抛物线y=a（x-6）2+h过点（0，2）∴2=a（0-6）2+2.6解得：a=- 1 60故y与x的关系式为：y=- 160（x-6）2+2.6（2）解：当x=9时，y=- 160（x-6）2+2.6=2.45＞2.43所以球能过球网；当y=0时解得：x1=6+2 √39＞18，x2=6-2 √39（舍去）故会出界；（3）解：当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：{2=36a+ℎ0=144a+ℎ解得： {a =−154ℎ=83此时二次函数解析式为：y=- 154 （x-6）2+ 83此时球若不出边界h≥ 83当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a （x-6）2+h 还过点（0，2），代入解析式得：{2.43=a(9−6)2+ℎ2=a(0−6)2+ℎ解得： {a =−432700ℎ=19375此时球要过网h≥19375故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是：h≥ 83．23．【答案】（1）解：根据题意得{−1−b +c ＝0c ＝3 ，解得 {b ＝2c ＝3∴抛物线解析式为y=-x 2+2x+3； （2）解：当y=0时，-x 2+2x+3=0解得x 1=-1，x 2=3，则E （3，0）； y=-（x-1）2+4，则D （1，4）， ∴S ⊥ODE = 12×3×4=6；连接BE 交直线x=1于点P ，如图，则PA=PE ， ∴PA+PB=PE+PB=BE ， 此时PA+PB 的值最小， 易得直线BE 的解析式为 y=-x+3， 当x=1时，y=-x+3=3， ∴P （1，2）．24．【答案】（1）解：∵二次函数 y =−x 2+bx +c 的图象经过点 (0, 5) 和 B(1, 8)∴{c =5−1+b +c =8 解这个方程组，得 {b =4c =5∴该二次函数的解析式是 y =−x 2+4x +5 ； （2）解： y =−x 2+4x +5=−(x −2)2+9 ∴顶点坐标是 (2, 9) ；对称轴是x=2；（3）解：∵二次函数y=−x2+4x+5的图象与x轴交于A，B两点∴−x2+4x+5=0解这个方程得：x1=−1即二次函数y=−x2+4x+5与x轴的两个交点的坐标为A(−1, 0)和B(5, 0).∴△ABC的面积S△ABC=12AB×OC=12×|5−(−1)|×5=15.。

中考数学专项复习《二次函数图像与坐标轴的交点问题》练习题附答案一、单选题1．若函数y=x2−2x+b的图象与x轴有两个交点，则b的取值范围是（）A．b≤1B．b＞1C．0＜b＜1D．b＜12．二次函数与y=kx2−8x+8的图象与x轴有交点，则k的取值范围是() A．k<2B．k<2且k≠0C．k≤2D．k≤2且k≠03．函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根4．已知二次函数y=2(x+1)(x－a)，其中a>0，若当x≤2时，y随x增大而减小，当x≥2时y随x增大而增大，则a的值是（）A．3B．5C．7D．不确定5．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的（）A．ac＞0B．b2﹣4ac＜0C．4a+2b+c＜0D．b＝2a6．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0，其中错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．若二次函数y＝（m﹣1）x2+2x+1的图象与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（）A．m≤2B．m＜2C．m≤2且m≠1D．m＜2且m≠18．如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A，B，C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）A．a+b=﹣1B．a﹣b=﹣1C．b＜2a D．ac＜09．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，在下列代数式中（1）a+b+c＞0；（2）﹣4a＜b＜﹣2a（3）abc＞0；（4）5a﹣b+2c＜0；其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确个数有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个11．二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠012．如图，一次函数y1＝2x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣2）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题13．已知函数y= 12(m+3)x2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为. 14．如图，是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，它与x轴的一个交点为A（3，0），根据图象，可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是．15．如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是．16．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣6x﹣16，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y 轴截得的线段CD的长为.17．已知：y关于x的函数y=k2x2−(2k−1)x+1的图象与坐标轴只有两个不同的交点A、B，P 点坐标为(3,2)，则△PAB的面积为.18．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(−1,2)，与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，则以下结论：①b2−4ac<0；②a+b+c<0；③c−a=2；④方程ax2+bx+c−2=0有两个不相等的实数根，其中正确结论为.三、综合题19．设二次函数y1=2x2+bx+c(b，c是常数)的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数y)的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成心=2(x-h)2-2(h是常数)的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2=x-m(m是常数)，若函数y1的表达式还可以写成y1=2(x-m)(x-m-2)的形式，当函数y=y1-y2的图象经过点(x0，0)时，求x0-m的值．20．已知函数y＝x2-2kx＋k2+1.（1）求证：不论k取何值，函数y>0；（2）若函数图象与y轴的交点坐标为（0，10），求函数图象的顶点坐标.21．已知二次函数y=x2+2bx−3b．（1）当该二次函数的图象经过点A(1，0)时，求该二次函数的表达式；（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；（3）若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．22．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若抛物线y=x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0与x轴有两个交点都在x轴正半轴上，求m的取值范围；（3）填空：若x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0的两根都大于1，则m的取值范围是．23．函数y＝mx2﹣2mx﹣3m是二次函数．（1）如果该二次函数的图象与y轴的交点为（0，3），那么m＝；（2）在（1）的条件下，结合图象当0＜x＜3时，求y的取值范围．24．已知抛物线y＝ax2﹣bx＋3经过点A（1，2），B（2，3）.（1）求此抛物线的函数解析式.（2）写出该抛物线与坐标轴的交点坐标.参考答案1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】D12．【答案】A13．【答案】m=﹣1或m=﹣314．【答案】3或﹣115．【答案】x＜﹣1或x＞316．【答案】2017．【答案】1或1218．【答案】②③19．【答案】（1）解：由题意，得y1=2(x-1)(x-2)．图象的对称轴是直线x= 3 2（2）解：由题意，得y1=2x2-4hx+2h2-2∴b+c=2h2-4h-2=2(h-1)2-4∴当h=1时，b+c的最小值是-4.（3）解：由题意，得y=y1-y2=2(x-m)(x-m-2)-(x-m)=(x-m)[2(x-m)-5]∵函数y的图象经过点(x0，0)∴(x0-m)[2(x0-m)-5]=0∴x0-m=0，或x0-m= 52.20．【答案】（1）解：y＝（x-k）2+1∵不论k取何值，（x-k）2≥0∴（x-k）2+1＞0；即不论k取何值，函数y＞0；（2）解：∵二次函数图象与y轴交于点（0，10）∴当x＝0时，y＝10∴k2+1＝10，解得k＝±3∴y＝x2±9x+10＝（x±3）2+1∴顶点坐标为（3，1）或（﹣3，1）.21．【答案】（1）解：把A(1，0)代入y=x2+2bx−3b 得：0=12+2b−3b，解得：b=1∴该二次函数的表达式为：y=x2+2x−3；（2）解：令y=0代入y=x2+2x−3得：0=x2+2x−3解得：x1=1或x2=−3令x=0代入y=x2+2x−3得：y=-3∴A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t∴BP=4-2t过点M作MQ△x轴∵OB=OC=3∴△OBC=45°∴△BMQ是等腰直角三角形∴MQ= √22BQ= √22t∴△BPQ的面积= 12BP⋅MQ=12(4−2t)⋅√22t= −√22(t−1)2+√22∴当t=1时，△BPQ面积的最大值= √22；（3）解：抛物线y=x2+2bx−3b的对称轴为：直线x=-b，开口向上设y=f(x)=x2+2bx−3b∵对x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立∴{−b≤1f(1)≥0或{−b>1f(−b)≥0∴-1≤b≤1或-3≤b＜-1∴-3≤b≤1．22．【答案】（1）证明：∵△=[﹣（m+2）]2﹣4（2m﹣1）=m2+4m+4﹣8m+4=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4∵（m﹣2）2≥0∴（m﹣2）2+4＞0∴无论m取何实数时，此方程都有两个不相等的实数根（2）解：设抛物线y=x2﹣（m+2）x+2m﹣1=0与x轴两个交点的横坐标是x1，x2则x1+x2=m+2，x1•x2=2m﹣1．根据题意，得{m+2>02m−1>0解得m＞1 2．即m的取值范围是m＞1 2（3）m＞223．【答案】（1）-1（2）解：由（1）可知函数的解析式为y=−x2+2x+3∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4∴顶点坐标为（1，4）列表如下：x…-2-101234…y…-503430-5…描点、连线，函数图象如下：结合图象当 0<x <3 时， 0<y <3 ．24．【答案】（1）解：将点A （1，2），B （2，3）代入y ＝ax 2﹣bx ＋3得 {a −b +3=24a −2b +3=3 解得 {a =1b =2∴抛物线的函数解析式为y ＝x 2−2x ＋3 （2）解：当x=0时，y ＝x 2−2x ＋3=3 ∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3） 当y ＝0时，x 2−2x ＋3=0 解得x 1=3，x 2=-1∴抛物线与x 轴的交点坐标为（3，0）和（-1，0）.故抛物线与坐标轴的交点坐标为（0，3）、（3，0）、（-1，0）.。

2023年九年级数学下册中考数学复习练习题：二次函数图像与坐标轴的交点问题一、单选题1．已知二次函数的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）y =(k−3)x 2+2x +1A ．且B ．且C ．D ．k ≤4k ≠3k <4k ≠3k <4k ≥42．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过点（-1，0），对称轴为：直线x=1，则下列结论中正确的是：（ ）A ．a ＞0B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大C ． ＜0D ．x=3是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的一个根3．如图，抛物线 与 轴交于点 ，其对称轴为直线，结合图y =ax 2+bx +c(a ≠0)x (3,0)x =12象分析下列结论，其中正确的结论是（ ）A ．abc >0B ．b 2−4ac <0C ．当 时， 随 的增大而减小x <0y xD ．3a +c >04．如图，直线y=kx+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 的图像都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD ．直线y=kx+c 与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）①abc ＞0； ②3a+b ＞0； ③﹣1＜k ＜0； ④4a+2b+c ＜0； ⑤a+b ＜k ．A ．①②③B ．②③⑤C ．②④⑤D ．②③④⑤5．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x ＝1，其图象的一部分如图所示，下列说法中：①abc ＜0；②2a+b ＝0；③当﹣1＜x ＜3时，y ＞0；④a﹣b+c ＜0；⑤2c﹣3b ＞0．其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．经过点A （m ，n ），点B （m﹣4，n ）的抛物线y ＝x 2+2cx+c 与x 轴有两个公共点，与y 轴的交点在x 轴的上方，则当m ＞﹣时，n 的取值范围是（ ）12A ．B ．C ．D ．14<n <412<n <218<n <814<n <27．抛物线y ＝x 2+2x 与x 轴的交点坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（2，0）C ．（0，0）或（﹣2，0）D ．（0，0）或（2，0）8．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，y =ax 2+bx +c(a ≠0)(−1，0)x =2下列结论：①；4a +b =0②；9a +c >3b ③；8a +7b +2c >0④若点、点、点在该函数图象上，则；A(−3，y 1)B(−12，y 2)C(72，y 3)y 1<y 3<y 2⑤若方程的两根为和，且，则；a(x +1)(x−5)=−3x 1x 2x 1<x 2x 1<−1<5<x 2其中正确的结论是（ ）A．①③⑤B．①④⑤C．①②④D．①⑤9．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x 轴( )A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧D．无交点10．若m、n(m＜n)是关于x的一元二次方程3﹣(x﹣a)(x﹣b)＝0的两个根，且a＜b，则m，n，b，a 的大小关系是( )A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．b＜n＜m＜a D．n＜b＜a＜my=ax2+bx+c A(3， 0)11．如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，二次函数图象对x=1bc>0a+b+c<0x<1称轴为直线，给出五个结论：①；②；③当时，y随x的增大ax2+bx+c=0x1=−1x2=34a−2b+c>0而增大；④方程的根为，；⑤其中正确结论是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．③④⑤12．二次函数y=x 2－4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，△ABC 的面积为( )A ．1B ．3C ．4D ．6二、填空题13．已知抛物线y=﹣x 2﹣2mx+4m+6，当实数m 的值为　 时，抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点所组成的三角形面积最小，其最小值是 ．14．已知二次函数 的图象与坐标轴只有两个交点，则 　．y =mx 2+2x−m +2m =15．已知抛物线与x 轴有两个不同的交点，求c 的取值范围 y =12x 2+x +c16．已知抛物线经过原点及点（ ， ），且抛物线与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该抛物线的解析式为　　．17．如图，抛物线y=－x 2+ 4x+c 交y 轴正半轴于点A ，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于另一点C ，点B 在x 轴上，点D 在AC 上方的抛物线上．当四边形ABCD 是菱形时，则c 的值为 ．18．已知二次函数 的图象与两坐标轴共有2个交点,则 ．y =x 2+4x +c c =三、综合题19．抛物线C 1：y 1＝x 2﹣1﹣2t （x﹣1）（t≠1）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）①填空：当t ＝﹣2时，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为　　；当t ＝0时，点A 的坐标为　 ，点B 的坐标为　　；②随t 值的变化，抛物线C 1是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由 ；（2）若将抛物线C 1经过适当平移后，得到抛物线C 2：y 2＝（x﹣t ）2+t﹣1，A ，B 的对应点分别为D （m ，n ），E （m+2，n ），求抛物线C 2的解析式；（3）设抛物线C 1的顶点为P ，当t ＞0，△APB 为直角三角形时，求方程x 2﹣1﹣2t （x﹣1）＝0（t≠1）的根　　．20．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点（0，3），且当x=1时，y 有最小值2．（1）求a ，b ，c 的值（2）设二次函数y=k （2x+2）﹣（ax 2+bx+c ）（k 为实数），它的图象的顶点为D ．①当k=1时，求二次函数y=k （2x+2）﹣（ax 2+bx+c ）的图象与x 轴的交点坐标；②请在二次函数y=ax 2+bx+c 与y=k （2x+2）﹣（ax 2+bx+c ）的图象上各找出一个点M ，N ，不论k 取何值，这两个点始终关于x 轴对称，直接写出点M ，N 的坐标（点M 在点N 的上方）；③过点M 的一次函数y=﹣x+t 的图象与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交于另一点P ，当k 为何值34时，点D 在∠NMP 的平分线上？④当k 取﹣2，﹣1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线y=k （2x+2）﹣（ax 2+bx+c ）的顶点分别为（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？21．已知二次函数y=﹣ x 2+bx+c 的图象经过A （0，3），B （﹣4，﹣ ）两点．31692（1）求b ，c 的值．（2）二次函数y=﹣ x 2+bx+c 的图象与x 轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明316情况．22．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y=a （x-6）2+h ．已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ．（1）当h=2.6时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．23．已知二次函数y=﹣ x 2+bx+c 的图象经过A （2，0），B （0，﹣6）两点．12（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积．24．已知二次函数y ＝x 2﹣6x ＋5（1）将其配方成顶点式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、 对称轴；（2）求出抛物线与x 轴的交点坐标.答案解析部分1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】B 10．【答案】A 11．【答案】B 12．【答案】B 13．【答案】﹣2；2 14．【答案】 或 1215．【答案】c <1216．【答案】y= x 2+ x 或y=x 2+x17．【答案】418．【答案】0或419．【答案】（1）（﹣5，0）；（1，0）；（﹣1，0）；（1，0）；会．由x﹣1＝0得x ＝1，代入得y 1＝0， ∴抛物线C 1会经过一个定点，定点为（1，0）．（2）解：由x 2﹣1﹣2t （x﹣1）＝0得x 1＝1，x 2＝2t﹣1， ∴AB ＝|（2t﹣1）﹣1|＝|2t﹣2|，∵A ，B 的对应点分别为D （m ，n ），E （m+2，n ），∴AB ＝DE ＝m+2﹣m ＝2，|2t﹣2|＝2，解得t ＝0或t ＝2．∴抛物线C 2的解析式为：y ＝x 2﹣1或y ＝（x﹣2）2+1．（3）x ＝1或x ＝520．【答案】（1）解：设y=a （x﹣1）2+2，将（0，3）代入，得a=1，∴y=（x﹣1）2+2，即y=x 2﹣2x+3，∴a=1，b=﹣2，c=3（2）解：①当k=1时，y=﹣x 2+4x﹣1，令y=0，﹣x 2+4x﹣1=0，解得x=2±，即图象与x 轴的交点3坐标（2+，0），（2﹣，0）；②y=k （2x+2）﹣（ax 2+bx+c ）当经x=﹣1时，y=ax 2+bx+c 与33y=k （2x+2）﹣（ax 2+bx+c ）的图象上点M ，N ，不论k 取何值，这两个点始终关于x 轴对称，∴M （﹣1，6），N （﹣1，﹣6），③y=﹣x+t ，经过（﹣1，6），得t=，∴y=﹣x+，则A （7，0），3421434214∵MN ⊥x 轴，∴E 点的横坐标为﹣1，∴AE=8，∵ME=6，∴MA=10．如图1，设MD 交AE 于点B ，作BC ⊥AM 于点C ，∵MD 平分∠NMP ，MN ⊥x 轴，∴BC=BE ，设BC=x ，则AB=8﹣x ，显然△ABC ∽△AME ，∴=，则x=3．得点B （2，0），x 8−x 35∴MD 的函数表达式为y=﹣2x+4．∵y=ax 2+bx+c 与y=k （2x+2）﹣（ax 2+bx+c ）=﹣[x﹣（k+1）]2+（k+1）2+2k﹣3．把D （k+1，k 2+2k+1+2k﹣3），代入y=﹣2x+4．得k=﹣3±，由y=k （2x+2）13﹣（ax 2+bx+c ）有意义可得k=﹣3+，13④是．当顶点的横坐标大于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而增大，当顶点的横坐标小于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而减小．21．【答案】（1）解：把A （0，3），B （﹣4，﹣ ）分别代入y=﹣ x 2+bx+c ，92316得 ，{c =3−316×16−4b +c =−92解得 {b =98c =3（2）解：由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣ x 2+ x+3，31698△=（ ）2﹣4×（﹣ ）×3= ＞0，9831622564所以二次函数y=﹣ x 2+bx+c 的图象与x 轴有公共点，316∵﹣ x 2+ x+3=0的解为：x 1=﹣2，x 2=8，31698∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）22．【答案】（1）解：∵h=2.6，球从O 点正上方2m 的A 处发出，∴抛物线y=a （x-6）2+h 过点（0，2），∴2=a （0-6）2+2.6，解得：a=- ，160故y 与x 的关系式为：y=- （x-6）2+2.6，160（2）解：当x=9时，y=- （x-6）2+2.6=2.45＞2.43，160所以球能过球网；当y=0时，，−160(x−6)2+2.6=0解得：x 1=6+2 ＞18，x 2=6-2 （舍去）3939故会出界；（3）解：当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a （x-6）2+h 还过点（0，2），代入解析式得：，{2=36a +ℎ0=144a +ℎ解得：，{a =−154ℎ=83此时二次函数解析式为：y=- （x-6）2+ ，15483此时球若不出边界h≥ ，83当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a （x-6）2+h 还过点（0，2），代入解析式得：，{2.43=a(9−6)2+ℎ2=a(0−6)2+ℎ解得：，{a =−432700ℎ=19375此时球要过网h≥ ，19375故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是：h≥ ．8323．【答案】（1）解：把A （2，0），B （2，﹣6）代入y=﹣ x 2+bx+c 得 ，解得12{−2+2b +c =0c =−6 ，{b =4c =−6所以抛物线解析式为y=﹣ x 2+4x﹣612（2）解：抛物线的对称轴为直线x=﹣=4，则C （4，0），42×(−12)所以△ABC 的面积= ×（4﹣2）×6=61224．【答案】（1）解：原二次函数可化为：y=（x-3）2-4；∵a =1>0∴开口方向向上，顶点坐标（3，−4），对称轴：直线x=3（2）解：对于y ＝x 2﹣6x ＋5，令y=0，得x 2﹣6x ＋5=0， 解得， ， x 1=1x 2=5∴抛物线与x 轴的交点坐标为（1，0）， （5，0）.。

中考数学总复习《二次函数图像与坐标轴的交点问题》专项测试卷(含答案)一、单选题(共12题；共24分)1．已知二次函数y=x2−2bx+2b2−4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1-b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c的值（）A．3B．2C．1D．-12．已知二次函数y=x2﹣x+a（a＞0），当自变量x取p时的函数值小于0，那么当自变量x取p﹣1时的函数值（）A．小于0B．大于0C．等于0D．与0的大小关系不确定3．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x ＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4A．4B．3C．2D．14．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c<0；②b2－4ac<0；③b+2a<0；④ c<0.其中所有正确结论的序号是()A．③④B．②③C．①④D．①②5．坐标平面上某二次函敷图形的顶点为(2，-1)，此函数图形与x轴相交于P、Q两点，且PQ=6若此函数图形通过(1，a)、(3，b)、(-1，c)、(-3，d)四点，则下列结论错误的是() A．a=b B．d>c C．c>a D．d<06．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X﹣1013y﹣1353下列结论：⑴ac＜0；⑴当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．⑴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；⑴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a<0 ②b<0 ③c>0 ④4a+2b+c=0，⑤b+2a=0 ⑥ b2-4ac>0其中正确的个数是(）A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．49．二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是( ) A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠010．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么abc，b2 -4ac，2a+b，a+b+c这四个代数式中，值为正数的有()A．4个B．3个C．2个D．1个11．对抛物线y=－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是()A．与x轴有两个交点B．开口向上C．与y轴交点坐标是(0，3)D．顶点坐标是(1，-2)12．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于(m，0)，(n，0)两点，且过A(0，a)，B(4，b)两点.若0<m<n<3，则ab的取值范围为（）A．0<ab<6B．0<ab<8C．0<ab<12D．0<ab<16二、填空题(共6题；共7分)13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2mx+m-2(m为常数，且m>0)与直线y=2交于A、B 两点．若AB=2，则m的值为14．如图，已知二次函数y= 13x2+ 23x−1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是抛物线上的一个动点，记⑴APC的面积为S，当S=2时，相应的点P的个数是.15．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线p=ax2-10ax+8（a＞0）经过点C、D，则点B的坐标为．16．已知二次函数y=x2+2x+k的图象的顶点在x轴上方，则实数k的取值范围是．17．已知二次函数y=﹣x2+4x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则⑴ABC的面积为．18．二次函数y＝－3x2＋6x＋9的图象的开口方向，它与y轴的交点坐标是．三、综合题(共6题；共60分)19．已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求⑴MCB的面积S⑴MCB．20．已知抛物线：y＝x2﹣2x﹣3，抛物线图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边）．（1）求AB两点间的距离及抛物线的顶点坐标．（2）若将该抛物线沿垂直方向向上平移1个单位，再沿水平方向向右平移若干个单位后，新的抛物线刚好经过点B．求平移后新的抛物线表达式．21．已知抛物线y=−2x2+(m−3)x−8.（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；（2）若抛物线的顶点在x正半轴上，求顶点坐标.22．已知二次函数的表达式为y=x2+mx+n．（1）若这个二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），求实数m，n的值；（2）若⑴ABC是有一个内角为30°的直角三角形，⑴C为直角，sinA，cosB是方程x2+mx+n=0的两个根，求实数m，n的值．23．已知抛物线y=x2−6x+k的顶点在直线y=−2x−1上（1）求k的值；（2）请判断抛物线与x轴交点的个数，并说明理由．24．已知抛物线y＝2x2﹣4x﹣6与x轴交于点A、B（A在B的的左侧），与y轴交于点C．（1）分别求出点A、B、C的坐标；（2）如果该抛物线沿x轴向右平移2个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为点D，求四边形ABDC的面积．参考答案1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】D 10．【答案】B 11．【答案】D 12．【答案】D13．【答案】√21−1214．【答案】2 15．【答案】（4，0） 16．【答案】k >1 17．【答案】2 √218．【答案】向下；（0，9）19．【答案】（1）解：依题意： {a −b +c =0a +b +c =8c =5解得 {a =−1b =4c =5∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+4x+5（2）解：令y=0，得（x ﹣5）（x+1）=0，x 1=5，x 2=﹣1 ∴B （5，0）．由y=﹣x 2+4x+5=﹣（x ﹣2）2+9，得M （2，9） 作ME⑴y 轴于点E可得S ⑴MCB =S 梯形MEOB ﹣S ⑴MCE ﹣S ⑴OBC = 12 （2+5）×9﹣ 12 ×4×2﹣ 12×5×5=15．20．【答案】（1）解：当y=0时x2﹣2x﹣3=0解之：x1=3，x2=-1.∴点A（-1，0），点B（3，0）∴点A，B之间的距离为|-1-3|=4；y=x2﹣2x﹣3=（x-1）2-4∴顶点坐标为（1，-4）.（2）解：设将该抛物线沿垂直方向向上平移1个单位，再沿水平方向向右平移n个单位后的抛物线的解析式为y=（x-n）2-4+1=（x-n）2-3∵平移后的抛物线经过点B（3，0）∴（3-n）2-3=0解之：n=3±√3∴平移后新的抛物线的解析式为y=（x-3-√3）2-3或y=（x-3+√3）2-3.21．【答案】（1）解：∵抛物线y=−2x2+(m−3)x−8的对称轴为y轴∴−m−32×(−2)=0解得即m的值是3（2）解：∵抛物线y=−2x2+(m−3)x−8的顶点在x正半轴上∴{−m−32×(−2)>04×(−2)×(−8)−(m−3)24×(−2)=0解得∴y=−2x2+8x−8=−2(x−2)2∴该函数的顶点坐标为(2,0)22．【答案】（1）解：将A（1，0）、B（3，0）代入y=x2+mx+n中{1+m +n =09+3m +n =0 ，解得： {m =−4n =3 ∴实数m=﹣4、n=3．（2）解：当⑴A=30°时，sinA=cosB= 12∴﹣m= 12 + 12 ，n= 12 × 12∴m=﹣1，n= 14；当⑴B=30°时，sinA=cosB= √32∴﹣m= √32 + √32 ，n= √32 × √32∴m=﹣ √3 ，n= 34．综上所述：m=﹣1、n= 14 或m=﹣ √3 、n= 3423．【答案】（1）解：∵y =x 2−6x +k =x 2−6x +9−9+k =(x −3)2+k −9∴顶点坐标为(3，k −9)∵抛物线y =x 2−6x +k 的顶点在直线y =−2x −1上 ∴k −9=−2×3−1 解得k =2；（2）解：当k =2时，y =x 2−6x +2Δ=(−6)2−4×1×2=36−8=28>0∴抛物线与x 轴有两个交点．24．【答案】（1）解：由y ＝2x 2﹣4x ﹣6令 y =0 ，即 2x 2−4x −6=0 即 (x −3)(x +1)=0 解得 x 1=−1，x 2=3 ∵ A 在B 的的左侧∴A(−1，0)，B(3，0)令 x =0 ，则 y =−6∴C(0，−6)（2）解： y =2x 2−4x −6=2(x −1)2−8∴顶点坐标为(1，−8)∵该抛物线沿x轴向右平移2个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为点D∴D(3，−8)∵A(−1，0)，B(3，0)∴BD∥OC则四边形OCDB是直角梯形∴AO=1，CO=6，BO=3，BD=8∴四边形ABDC的面积=S△AOC+S梯形BDCO=12AO⋅OC+12(OC+BD)OB=12×1×6+12×(6+8)×3=3+21=24。

二次函数交点式练习题一、选择1.如果抛物线y=x 2-6x+c-2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于（）（A ）8（B ）14（C ）8或14（D ）-8或-142.二次函数y=x 2-(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y随着x 的增大而减小，则k 的值应取（）（A ）12（B ）11（C ）10（D ）93.若0<b ，则二次函数12-+=bx x y 的图象的顶点在（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4.不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的值恒大于0的条件是()A.a>0,△>0B.a>0,△<0C.a<0,△<0D.a<0,△<05.若抛物线22y x x a =++的顶点在x 轴的下方，则a 的取值范围是（ ） Ａ．1a > Ｂ．1a <Ｃ．1a ≥ Ｄ．1a ≤二、填空1、已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y =均相同，且与x 轴的交点坐标是（-2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是.2.已知一条抛物线的形状与22x y =相同，但开口方向相反，且与x 轴的交点坐标是（1,0）、（4,0），则该抛物线的关系式是.3.已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为3，其中一个交点坐标是（1,0）、则另一个交点坐标是，该抛物线的对称轴是.4.二次函数()()43---=x x y 与x 轴的交点坐标是，对称轴是.5.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是-3.则该抛物线开口向，当x 时，y 随的增大而增大.6.请写出一个开口向下、与x 轴的交点坐标是（1,0）、（-3,0）的二次函数关系式：./7、把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为（???）．8.已知二次函数)1(3)1(2-++-=a a x x a y 的图象过原点则a 的值为9.二次函数432--=x x y 关于Y 轴的对称图象的解析式为 关于X轴的对称图象的解析式为 关于顶点旋转１８０度的图象的解析式为10.二次函数y=2(x+3)(x-1)的x 轴的交点的个数有__个，交点坐标为_______。

二次函数与x 轴的交点情况及与一元二次方程根与系数练习一【基础练习】一、填空题：1. 若抛物线y = ax 2 + x + c 与x 轴一个交点的横坐标是 -1，则a + c = ；2. 已知二次函数y = ax 2 +bx + c 的图象与x 轴有两个交点，那么，一元二次方程ax 2 +bx + c = 0的根的情况是 ；3. 如果抛物线y = (m 2 -1)x 2 – (2m +1)x +1与x 轴有公共点，那么，m 的取值范围是 .二、选择题：1. 已知二次函数y = x 2 + (3m -1)x + 2m 2 –m ，则其图象与x 轴（ ）；A. 一定有两个交点B. 只有一个交点C. 没有交点D. 有一个交点或两个交点2. 若抛物线y = x 2 +2x – m +1与x 轴没有交点，则方程x 2 + mx +12m –1 = 0的根的情况是（ ）.A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根D. 不能确定三、解答题：1. 求下列二次函数的图象与x 轴的交点坐标，并画出图象进行验证.（1）y = 2x 2 – 4x – 6； （2）y = 3121312++-x x .2. 已知二次函数y = ax 2 –2的图象经过点（1，-1），试判断该函数图象与x 轴的交点个数.【综合练习】3.如图2-15，这是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图，固定目标B 的坐标是（7，94），位于地面O 点正上方A 处的直升飞机向目标B 发射导弹，导弹的高度h （km ）可用公式h = 35321212++-x x （x 是导弹离开O 点的水平距离）表示.（1）导弹能否击中目标B ，为什么？（2）点A 离地面有多高？（3）说明方程35321212++-x x = 0的根的实际意义.4．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0（1）证明原方程有两个不相等的实数根；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x1﹣x2|）练习21.函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x 的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜23.（2011•江西，6，3）已知二次函数y=x2+bx﹣2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是（）A、（1，0）B、（2，0）C、（﹣2，0）D、（﹣1，0）4.(2011襄阳，12，3分)已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()A．k＜4B．k≤4 C．k＜4且k≠3D．k≤4且k≠38．（2011湖北黄石，9,3分）设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（）A．1＜α＜β＜2B．1＜α＜2＜βC．α＜1＜β＜2D．α＜1且β＞2 9.（2011•黔南，9，4）分二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=（）A、1B、﹣1C、﹣2D、0考点：抛物线与x轴的交点。

初三数学二次函数与x轴的交点专题训练一．选择题（共32小题）1．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（1，0）（4，0）两点，则一元二次方程ax2+bx+c ＝0的解为（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣4 B．x1＝1，x2＝4C．x1＝﹣1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝﹣42．抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则它与x轴的另一个交点坐标为（）A．（4，0）B．（3，0）C．（2，0）D．（1，0）3．二次函数y＝x2+x+1与x轴的交点情况是（）A．一个交点B．两个交点C．三个交点D．没有交点4．二次函数y＝ax2+bx+c如图，则ax2+bx+c+2＝0的根的情况是（）A．无实根B．有两个不相等的实根C．有两个相等的实根D．有两个同号不等实根5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，△＝b2﹣4ac，则下列四个选项正确的是（）A．b＜0，c＜0，Δ＞0B．b＞0，c＜0，Δ＞0C．b＞0，c＜0，Δ＞0D．b＜0，c＞0，Δ＜06．关于二次函数y＝x2﹣2x﹣3，下列说法错误的是（）A．顶点坐标为（1，﹣4）B．对称轴为x＝1C．抛物线与x轴有两个交点D．x＝2与x＝﹣2时函数值一样大7．抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，当y ＞0时，则x的取值范围是（）A．x＜﹣3B．x＞1C．﹣3＜x＜1D．x＜﹣3或x＞18．若函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的根的情况为（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根9．二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，它的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D．且A（﹣1，0），则下列结论不正确的是（）A．a＝2B．它的图象与y轴的交点坐标C为（0，﹣3）C．图象的顶点坐标D为（1，﹣4）D．当x＞0时，y随x的增大而增大10．若一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则二次函数y＝ax2+bx+c与x轴（）A．只有一个交点B．至少有一个交点C．有两个交点D．无交点11．抛物线y＝2（x﹣3）（x+4）与x轴交点的横坐标分别为（）A．﹣3，﹣4B．3，4C．﹣3，4D．3，﹣412．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的一个交点是（﹣1，0），那么抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A．（0，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣3）13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y ＜0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2B．x＞4C．﹣2＜x＜4D．x＜﹣2或x＞4 14．如图是二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象，使y≥0成立的x的取值范围是（）A．﹣3≤x≤1B．x≥1C．x＜﹣3或x＞1D．x≤﹣3或x≥1 15．对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点16．二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜3C．x＞3D．x＜﹣1或x＞317．已知二次函数y＝x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（4，0）C．（5，0）D．（﹣6，0）18．已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k≥﹣1D．k≥﹣1且k≠019．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知方程ax2+bx+c＝0的根是（）A．x1＝﹣1，x2＝5B．x1＝﹣2，x2＝4C．x1＝﹣1，x2＝2D．x1＝﹣5，x2＝520．已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（）A．k ＞﹣B．k ≥﹣且k≠0C．k ＜﹣D．k ＞﹣且k≠021．若二次函数y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k≤1且k≠0C．k＜﹣1D．k≥﹣1且k≠022．二次函数y＝4x2﹣x+1的图象与x轴的交点个数是（）A．1个B．2个C．0个D．无法确定23．已知二次函数y＝mx2+（2m+1）x+m﹣1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（）A．m ＜B ．C．m ＞﹣且m≠0D．m ≤且m≠024．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠025．抛物线y＝x2+4x﹣m2+2（m是常数）与坐标轴交点的个数为（）A．0B．1C．3D．2或3 26．抛物线y＝x2﹣2x﹣1的图象与x轴交点有（）A．两个交点B．一个交点C．无交点D．无法确定27．若二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m＞1且m≠0D．m＜1且m≠028．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式为Δ＝b2﹣4ac，则下列四个选项正确的是（）A．b＜0，c＜0，Δ＞0B．b＞0，c＞0，Δ＞0C．b＞0，c＜0，Δ＞0D．b＜0，c＞0，Δ＜029．二次函数y＝x2﹣2x﹣2与x轴的交点个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个30．函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根31．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（）A．﹣4＜x＜1B．﹣3＜x＜1C．﹣2＜x＜1D．x＜132．二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣3B．x＞0C．﹣3＜x＜1D．x＞1二．填空题（共28小题）33．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），则一元二次方程x2+bx+c ＝0的根为．34．二次函数y＝x2﹣3x+c的图象与x轴有且只有一个交点，c＝．35．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为．36．若函数y＝x2+x+c的图象与x轴有两个交点，则c 的取值范围是．37．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，图象过点A（﹣3，0）对称轴为直线x＝﹣1，求另一个与x轴的交点坐标是．38．若抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴的一个交点为（3，0），则与x轴的另一个交点的坐标为．39．二次函数y＝﹣x2+3x﹣2与x轴的交点坐标是．40．若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣6，0）和（4，0），则该抛物线的对称轴是．41．二次函数y＝x2﹣4x+k的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是．42．如果抛物线y＝x2+bx+c经过原点，且它的对称轴是直线x＝2，那么抛物线与x轴的另一个交点坐标是．43．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根是x1＝2，且二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则此方程ax2+bx+c＝0的另一个解为．44．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是．45．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是46．二次函数y＝﹣x2+4x+1的图象与x轴有个交点．47．已知二次函数y＝2x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则m＝．48．已知二次函数y＝ax2﹣2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则a的值是．49．二次函数y＝x2﹣3x+2的图象与x轴的交点坐标是．50．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0），B（3，0）两点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c ＝0的解是51．若二次函数y＝x2+2x+a的图象与x轴有两个不相同的交点，则a的取值范围是．52．抛物线y＝3（x﹣1）2+k与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），则另一个交点坐标是．53．若抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有两个交点，则m的值为．54．若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，则m的取值范围是．55．抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，则A、B两点之间的距离是．56．抛物线y＝ax2﹣3ax﹣2与x轴交于两点，分别是（m，0）、（n，0），则m+n的值为．57．关于x的函数y＝ax2﹣2x+1与x轴有唯一交点，则a的值是．58．若二次函数y＝ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点坐标为（3，0），则关于x的方程ax2﹣2ax+c＝0的实数根是．59．已知二次函数y＝ax2+6ax+c（a≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为﹣1，则与x轴的另一个交点的横坐标为．60．抛物线y＝﹣2x2+2（k+1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是．。

中考数学总复习《二次函数图像与坐标轴的交点问题》练习题(有答案)班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图，抛物线y=﹣112x2+ 23x+ 53与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（）A．（4，3）B．（5，3512）D．（5，3）C．（4，3512）2．如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(3， 0)，二次函数图象对称轴为直线x=1，给出五个结论：①bc>0；②a+b+c<0；③当x<1时，y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0的根为x1=−1，x2=3；⑤4a−2b+c>0其中正确结论是（）A．①②③B．①③④C．②③④D．③④⑤3．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是()A．－1＜x＜4B．－1＜x＜3C．x＜－1或x＞4D．x＜－1或x＞34．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①abc<0；②b2−4ac>0；③a+b+c<0；④2a+b=0；其中结论正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知二次函数y=mx2−3mx−4m(m≠0)的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且∠ACB=90°，则m的值为（）A．±2B．±4C．±12D．±1 46．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个7．在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点，函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点，则（）A．M=N−1或M=N+1B．M=N−1或M=N+2C．M=N或M=N+1D．M=N或M=N−18．已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个实数根是（）A．x1=1，x2=﹣1B．x1=﹣1，x2=2C．x1=﹣1，x2=0D．x1=1，x2=39．若函数y= x2+2x-b的图像与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是()A．b>1且b≠0B．b<1且b≠0C．b≤1且b≠0D．b≥-1且b≠010．已知函数y=ax2-2ax-1（a≠0），下列四个结论：①当a =1时，函数图象经过点（-1，2）；②当a = -2时，函数图象与x轴没有交点；③函数图象的对称轴是x = -1；④若a＞0，则在对称轴的右侧，y 随x的增大而增大．其中正确的是（）A．①④B．②③C．①②D．③④11．对于抛物线y=x2−2x−3 ，下列判断错误的是（）A．对称轴是直线x=−1B．与x轴有两个交点C．开口向上D．与y轴在的交点在x轴下方12．已知二次函数y=x2+x+m，当x取任意实数时，都有y＞0，则m的取值范围是（）A．m ≥14B．m <14C．m ≤14D．m＞14二、填空题13．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（a，0），则代数式a2﹣a+2018的值为．14．如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y= 32x2﹣32，则图中CD的长为．15．如图是二次函数y＝﹣x2+4x的图象，若关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t＝0（t为实数）在1＜x ＜5的范围内有解，则t的取值范围是．16．二次函数y=x2+2x−3的图像与x轴有个交点．17．抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1，0）两点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c= 0的解是.18．如图，抛物线y= -12x2+ 32x+2与x轴交于点A，B(点B在点A的左侧），与y轴交于点C，连接BC，AC.（1）△ACB的度数是º；（2）若点P是AC上一动点，则OP的最小值为.三、综合题19．如果过抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y的交点作y轴的垂线与该抛物线有另一个交点，并且这两点与该抛物线的顶点构成正三角形，那么我们称这个抛物线为正三角抛物线．（1）抛物线y=2x2+3√3x正三角抛物线；（填“是”或“不是”）（2）如图，已知二次函数y=−x2+2mx+3m2（m > 0）的图像是正三角抛物线，它与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，点E在y轴上，当△AEB=2△ABE时，求出点E的坐标．20．如图，利用函数y=x2−4x+3的图象，直接回答：（1）方程x2−4x+3=0的解是；（2）当x时，y随x的增大而减小；（3）当x满足时，函数值大于0；（4）当0<x<5时，y的取值范围是.21．已知二次函数y=x2﹣2x﹣8．（1）求此二次函数的图象与x轴的交点坐标．（2）将y=x2的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数y=x2﹣2x﹣8的图象．22．已知抛物线y=12x2+x+c与x轴有两个不同的交点．（1）求c的取值范围；（2）抛物线y=12x2+x+c与x轴两交点的距离为2，求c的值．23．已知关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）=0．（1）求证：无论k为任何实数，方程总有实数根．（2）若抛物线y=kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两段，且线段AB=2，求k的值．24．已知抛物线y=mx2+(1−2m)x+m与x轴有两个不同的交点.（1）求m的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过某一定点P，并求出该定点的坐标.参考答案1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】B 10．【答案】A 11．【答案】A 12．【答案】D 13．【答案】2019 14．【答案】5215．【答案】﹣5＜t≤4 16．【答案】217．【答案】x 1=−3，x 2=1 18．【答案】（1）90°（2）4√5519．【答案】（1）不是（2）解：设抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，过点C 作CM△y 轴交抛物线于点M.C （0，3m 2）D （m ，4m 2） M （2m ，3m 2）易知： m m2=1√3 解得 m =√3 .∴A （ −√3 ，0） B （ 3√3 ，0）.连接BE 交抛物线对称轴于点H ，连接AH ，则AH=BH ∴AE=AH.由 HG EO =2m 3m =23，设 EO =3ℎ ， GH =2ℎ ，（h > 0）由勾股定理得：(3ℎ)2+(√3)2=(2ℎ)2+(2√3)2，解得：ℎ=3√55E点的坐标为（0，9√55）或（0，−9√55）.20．【答案】（1）x1=1（2）x<2（3）x<1或x>3（4）−1≤y<821．【答案】（1）解：二次函数的解析式y=x2﹣2x﹣8令y=0，得到x2﹣2x﹣8=0解得：x1=4，x2=﹣2；则此二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）.（2）解：将二次函数y=x2﹣2x﹣8化为顶点式为y=（x﹣1）2﹣9∴将y=x2的图象先向右平移1个单位，再向下平移9个单位，可得到二次函数y=x2﹣2x﹣8的图象22．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点∴Δ>0，即1−2c>0解得c<1 2（2）解：设抛物线y=12x2+x+c与x轴的两交点的横坐标为x1，x2，∵两交点间的距离为2∴x1−x2=2由题意，得x1+x2=−2解得x1=0，x2=−2∴c=x1x2=0即c的值为023．【答案】（1）证明：k=0时，方程为x﹣2=0，方程有实数根．k≠0时，方程为一元二次方程△=（3k﹣1）2﹣8k（k﹣1）=k2+2k+1=（k+1）2∵（k+1）2≥0∴一元二次方程有实根∴无论k为任何实数，方程总有实根（2）解：解方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）=0得：x= 3k−1±(k+1)2k，即x2=2，x2= k−1k．∵AB=2∴2﹣k−1k=2或k−1k﹣2=2∴k=1或k= −1 3．∴k的值为1或﹣1 324．【答案】（1）解：∵y=mx2+(1−2m)x+m是二次函数，∴m≠0. ∵抛物线与x轴相交于不同的两点∴Δ=(1−2m)2−4m2=−4m+1>0，∴m<14.∴m的取值范围是m<14且m≠0；（2）解：y=mx2+(1−2m)x+m=mx2+x−2mx+m=m(x2−2x+1)+x故只要x2−2x+1=0，那么y的值便与m的取值无关，也就是说抛物线必过定点由x2−2x+1=0，得（x-1）2=0∴x1=x2=1当x=1时，y=m+1−2m+m=1，即P(1，1)∴该抛物线一定经过点P，点P的坐标为(1，1)。

中考数学总复习《二次函数图像与坐标轴的交点问题》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x−1013y−3131x<2时，函数值y随x 的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（）A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）B．顶点坐标是（1，﹣3）C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）D．当x＜0时，y随x的增大而减小3．已知抛物线y=ax2+bx+c(a＜0）过A（-3，0）、O（1，0）、B（-5，y1）、C（5，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1<y2D．不能确定4．已知二次函数y=−x2+2mx−m2−m+1(m为常数)的图象与x轴有交点，且当x<−3时，y随x 的增大而增大，则m的取值范围是（）A．−3≤m<1B．−3≤m≤1C．−3<m<1D．m≤−3或m≥15．二次函数y=x2－4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为() A．1B．3C．4D．66．如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：x 6.17 6.18 6.19 6.20y＝ax2+bx+c﹣0.03﹣0.010.020.04A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.207．抛物线y=x2−6x+m与x轴只有一个交点，则m的值为（）A．－6B．6C．3D．98．关于二次函数y=−4(x+6)2−5的图象，下列说法正确的是（）A．对称轴是直线x=6B．顶点坐标为(−6，5)C．图象与y轴交点的坐标是(0，−5)D．当x<−6时，y随x的增大而增大9．已知a，b是抛物线y＝（x﹣c）（x﹣c﹣d）﹣3与x轴交点的横坐标，a＜b，则|a﹣c|+|c﹣b|化简的结果是（）A．b﹣a B．a﹣b C．a+b﹣2c D．2c﹣a﹣b10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c如图所示，则下列结论中，正确的是（）A．a＞0B．a－b＋c＞0C．b2－4ac＜0D．2a＋b＝011．抛物线y=x2−2x+1与坐标轴的交点个数为（）A．无交点B．1个C．2个D．3个12．如图，抛物线y=2x2−52x+a与x轴正半轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴正半轴交于C，且∠OCA=∠OBC，则点B的坐标是（）A．(14，0)B．(1，0)C．(4，0)D．(3√3，0)二、填空题13．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为直线x＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④若点B（−52，y1），C（−12，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确结论是．14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的上方，顶点为C．直线y=kx+m（k≠0）经过点C、B．则下列结论：①b＞a；②2a﹣b＞﹣1；③2a+c＜0；④k＞a+b；⑤k＜﹣1. 其中正确的结论有（填序号）15．已知抛物线y=x2+2x−n与x轴交于A，B两点，抛物线y=x2−2x−n与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为.16．已知抛物线y=x2−2kx+k2+k−2的顶点在坐标轴上，则k=．17．抛物线y=x2+3x−4与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是.18．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的部分对应值如表：则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1，x2的取值范围是．x﹣1-120121322523y﹣2﹣14142741﹣14﹣219．已知二次函数y=−x2−2x+3．（1）求这个二次函数图象与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标．（2）画出这个二次函数图象．20．已知二次函数y＝ax2＋bx－4(a，b是常数，且a≠0)的图象过点(3，－1)．（1）判断点(2，2－2a)是否也在该函数的图象上，并说明理由．（2）若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数的表达式．（3）已知点(x1，y1)和(x2，y2)在该函数图象上，且当x1＜x2≤23时，始终有y1＞y2，求a的取值范围．21．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示．（1）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；（2）根据图象回答：当x取何值时，y＞0？当x取何值时，y＜0？22．抛物线y=﹣2x2+8x﹣6．（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（2）x取何值时，y随x的增大而减小？（3）x取何值时，y=0；x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0．23．如图，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C（1）分别求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积．24．已知：抛物线y=−x2+2x+m．（1）若抛物线过点A(3,0)，与y轴交于点B，与x轴的另一个交点是点C．①求这个抛物线的解析式，并求出点B，C的坐标；②若该抛物线有一点D(x,y)，且点D与点B不重合，若S△ABC=S△ACD，求点D的坐标．（2）若M(−1,3)，N(4,3)，抛物线y=−x2+2x+m与线段MN有两个不同交点，则m 的取值范围是．参考答案1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】A10．【答案】D11．【答案】C12．【答案】B13．【答案】①④14．【答案】①⑤15．【答案】816．【答案】0或217．【答案】（0,4）；（-4,0），（1,0）18．【答案】﹣12＜x1＜0，2＜x2＜5219．【答案】（1）解：∵y=−x2−2x+3∴当x=0时∴这个二次函数图象与y轴的交点坐标是(0，3)∵令y=0，即−x2−2x+3=0解得：x1=−3，x1= 1∴图象与x轴的交点坐标为(−3，0)（2）解：正确列表x…−4−3−2−1012…y…−503430−5…20．【答案】（1）解：当x＝3，y＝－1时，有3a＋b－1＝0，所以b＝－3a＋1．把x＝2与b＝－3a＋1同时代入y＝ax2＋bx－4 得y=-2a-2≠2-2a所以点(2，2－2a)不在该函数的图象上；（2）解：因为二次函数y＝ax2＋(－3a＋1)x－4与x轴只有一个交点∴△＝0，即(－3a＋1)2＋16a＝0解得a＝－1或a＝－19所以y＝－x2＋4x－4或y＝－19x2＋43x－4；（3）解：y1－y2＝a(x1－x2)(ax1＋ax2－3a＋1)>0因为x1－x2<0，所以a(x1＋x2)－3a＋1<0因为x1＜x2≤ 23时，始终有y1＞y2，所以a>0因为抛物线的对称轴直线为x=3a−12a所以x1＋x2< 3a－1a＝3−1 a因为x1＋x2< 43，所以3−1a≤ 43即a≥ 3 5．21．【答案】（1）解：令x＝0，则y＝-3∴抛物线与y轴的交点为（0，-3）令y＝0，则x2-2x-3＝0解得：x1＝-1，x2＝3∴抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0）.（2）解：由图象以及抛物线与x轴的交点坐标可知当x＞3或x＜-1时，y＞0；当-1＜x＜3时，y＜0．22．【答案】（1）解：∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2∴顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x=2（2）解：∵a=﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=2∴当x＞2时，y随x的增大而减小（3）解：令y=0，即﹣2x2+8x﹣6=0，解得x=1或3，抛物线开口向下∴当x=1或x=3时，y=0；当1＜x＜3时，y＞0；当x＜1或x＞3时，y＜023．【答案】（1）在y＝x2﹣4x+3中当y＝0时，x2﹣4x+3＝0解得x＝1或3则A（1，0）、B（3，0）当x＝0时，y＝3则C（0，3）（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）．故△ABC的面积为：12×（3﹣1）×3＝3．24．【答案】（1）解：①∵y=−x2+2x+m过点A(3,0)∴0=−9+6+m∴m=3∴y=−x2+2x+3当x=0时∴B(0,3)当y=0时∴x1=3∵A(3,0)∴C(−1,0)②∵S△ABC=S△ACD∴点D的纵坐标为3或−3当y=3时∴x2−2x=0∴x1=0∵点D与点B不重合∴D1(2,3)当y=−3时∴x2−2x−6=0∴x1=1−√7∴D2(1−√7,−3)，D3(1+√7,−3)；（2）2<m⩽6。

中考数学总复习《二次函数图像与坐标轴的交点问题》专项测试卷-附参考答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共12题；共24分)1．抛物线y=x2+kx+1与y=x2-x-k相交，有一个交点在x轴上，则k的值为（）．A．0B．2C．-1D．142．已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c-8=0的根的情况是（）A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根.3．如图，函数y=ax2+bx+c的图象过点(−1，0)和(m，0)，请思考下列判断：①abc<0；②4a+c<2b；③b c=1−1m；④am2+(2a+b)m+a+b+c<0；⑤|am+ a|=√b2−4ac.正确的是（）A．①③⑤B．①③④C．①②③④⑤D．①②③⑤4．抛物线y=x2+8x+q与x轴有交点，则q的取值范围是（）A．q<16B．q>16C．q≤16D．q≥165．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0，其中错误的有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，从地面坚直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=30t-5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是()A．6s B．4s C．3s D．2s7．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）x…﹣2012…y…7﹣1﹣2﹣1…A．抛物线开口向下B．抛物线的对称轴是y轴C．当x＜2时，y随x的增大而减小D．抛物线与y轴交于正半轴8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A．无实根B．有两相等的实根C．有两不相等且同号的实根D．有两不相等且异号的实根9．关于二次函数y=(x+1)2−2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．与x轴有两个交点C．顶点坐标是(1，−2)D．它可由y=x2−2向右平移一个单位得到10．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的（）A．ac＞0B．b2﹣4ac＜0C．4a+2b+c＜0D．b＝2a11．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA=OC，则（）A．ac+1=b B．ab+1=c C．bc+1=a D．以上都不是12．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…从上表可知，下列说法正确的个数是（）①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是x=1；④a+b=0A．1B．2C．3D．4二、填空题(共6题；共6分)13．已知二次函数y＝（k－3）x 2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是．14．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，则一元二次方程的两根分别为．15．已知关于x的方程（x+1）（x-3）+m＝0（m＜0）的两根为a和b，且a＜b，用“＜”连接-1、3、a、b的大小关系为．16．已知关于x的二次函数y=ax2+（a2-1）x-a的图象与轴的一个交点的坐标为（m,0），若2<m<3，则a的取值范围是.17．如图，抛物线y=－x2+ 4x+c交y轴正半轴于点A，过点A作AC∥x轴交抛物线于另一点C，点B在x轴上，点D在AC上方的抛物线上．当四边形ABCD是菱形时，则c的值为．18．抛物线y=x2−2x−3与x轴交点坐标是．三、综合题(共6题；共71分)19．已知二次函数y=﹣12x2+bx+c的图象经过A（2，0），B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求∥ABC的面积．20．如图，抛物线y= 12x2﹣x+a与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点在直线y=﹣2x上．（1）求a的值；（2）求A，B的坐标；（3）以AC，CB为一组邻边作ACBD，则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上？请说明理由．21．已知二次函数为：y=x2−4x−12（1）求它的图象与y轴的交点坐标；（2）求它的图象与x轴的交点坐标；（3）求其对称轴及最值.22．新定义：如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点（-1，0），那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”（1）试判断二次函数y=2x2−5x−7的图象是否为“定点抛物线”（2）若定点抛物线y=x2−mx+2−k与x轴只有一个公共点，求k的值.23．如图，抛物线y＝ax2﹣4ax与x轴交于O，A两点，点P（0，﹣6）为y轴上一点，直线PC平行于x轴，交抛物线于点B，C（点C在点B右侧），点C关于y轴的对称点为D.（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标.（2）若BC＝2BD，求抛物线的解析式.24．已知二次函数y= 12x2﹣x﹣32．（1）用配方法将此二次函数化为顶点式；（2）在所给的坐标系上，画出这个二次函数的图象；（3）观察图象填空，使y＞0的x的取值范围是．参考答案1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】A 12．【答案】C13．【答案】k≤4且k≠3 14．【答案】x 1=﹣1 x 2=3 15．【答案】a ＜-1＜3＜b 16．【答案】-3<a<-2 13 <a< 1217．【答案】418．【答案】（3，0） （-1，0）19．【答案】（1）解：把A （2，0），B （2，﹣6）代入y=﹣ 12 x 2+bx+c 得 {−2+2b +c =0c =−6 ，解得{b =4c =−6所以抛物线解析式为y=﹣ 12x 2+4x ﹣6（2）解：抛物线的对称轴为直线x=﹣ 42×(−12) =4，则C （4，0）所以∥ABC 的面积= 12×（4﹣2）×6=620．【答案】（1）解：∵抛物线y= 12x 2﹣x+a 其顶点在直线y=﹣2x 上．∴抛物线y= 12x 2﹣x+a= 12 （x 2﹣2x ）+a = 12 （x ﹣1）2﹣ 12 +a ∴顶点坐标为：（1，﹣ 12 +a ）∴y=﹣2x ，﹣ 12 +a=﹣2×1∴a=﹣ 32（2）解：二次函数解析式为：y= 12 x 2﹣x ﹣ 32 ∵抛物线y= 12 x 2﹣x ﹣ 32 与x 轴交于点A ，B ∴0= 12 x 2﹣x ﹣ 32整理得：x 2﹣2x ﹣3=0 解得：x=﹣1或3 A （﹣1，0），B （3，0）（3）解：作出平行四边形ACBD ，作DE∥AB 在∥AOC 和∥BDE 中 ∵{∠DEB =∠AOC ∠DBE =∠CAO BD =AC∴∥AOC∥∥BED （AAS ） ∵AO=1 ∴BE=1∵二次函数解析式为：y= 12 x 2﹣x ﹣ 32∴图象与y 轴交点坐标为：（0，﹣ 32）∴CO= 32 ，∴DE= 32D 点的坐标为：（2， 32）∴点D 关于x 轴的对称点D′坐标为：（2，﹣ 32）代入解析式y= 12 x 2﹣x ﹣ 32∵左边=﹣ 32 ，右边= 12 ×4﹣2﹣ 32 =﹣ 32∴D′点在函数图象上．21．【答案】（1）解：令x=0，则y=-12∴它的图象与y轴的交点坐标为（0，-12）；（2）解：令y=0，则x2−4x−12=0解得：x1=−2∴它的图象与x轴的交点坐标为（-2，0），（6，0）；（3）解：y=x2−4x−12对称轴为直线x= −−42×1=2∵1＞0∴函数图象开口向上∴函数有最小值，且为22−4×2−12= −16. 22．【答案】（1）解：当x＝−1时y＝2＋5−7＝0∴抛物线y＝2x2−5x−7经过点（1，0）∴二次函数图象为“定点抛物线”.（2）解：∵y＝x2−mx＋2−k与x轴只有一个公共点∴（−1，0）是抛物线顶点∴抛物线解析式为y＝（x＋1）2＝x2＋2x＋1∴2−k＝1∴k＝1.23．【答案】（1）解：∵y＝ax2﹣4ax∴抛物线的对称轴为：直线x=−−4a2a=2令y=0 ，代入y＝ax2﹣4ax，可得：0＝ax2﹣4ax解得：x1=0，x2=4∴点A的坐标（4，0）；（2）解：∵点P（0，﹣6）为y轴上一点，直线PC平行于x轴，交抛物线于点B，C，点C关于y轴的对称点为D∴PD=PC∵BD=PD-PB，BC=PC+PB，BC＝2BD∴PC+PB=2（PD-PB），即：PC+PB=2（PC-PB）∴3PB=PC令y=-6，代入y＝ax2﹣4ax∴-6＝ax2﹣4ax，即：ax2﹣4ax+6=0设B（x1，y1），C（x2，y2）∴x2=-3 x1，x1+ x2= −−4a a=4∴x1=-2，x2=6∴x1∙x2= 6a=−12，解得：a= −12∴y＝−12x2+2x24．【答案】（1）解：y= 12（x2﹣2x）﹣32= 12（x﹣1）2﹣2（2）解：如下图所示：（3）x＜﹣1或x＞3。

初中数学专题复习（二次函数图像与坐标轴交点问题）1．二次函数y＝（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a﹣4的图象与x轴有两个公共点，a取满足条件的最小整数，将图象在x 轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，则k的值不可能是（）A．﹣1B．﹣2C．1D．2解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a﹣4的图象与x轴有两个公共点，则△＞0且a≠1，当△＝（﹣2a+3）2﹣4（a﹣1）（a﹣4）＝8a﹣7＞0时，解得a＞，∵a取满足条件的最小整数，而a≠1，故a＝2，当a＝2时，y＝（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a﹣4＝x2﹣x﹣2，设原抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C，将图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，如下图所示，对于y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，则y＝x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或2，令x＝0，则y＝﹣2，故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（2，0）、（0，﹣2），由直线y＝kx﹣2知，该直线过点C，①当k＞0时，∵直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，则此时直线过点B、C，将点B的坐标代入y＝kx﹣2得：0＝2k﹣2，解得k＝1；②当k＜0时，∵直线y＝kx﹣2与新图象恰有三个公共点时，则此时直线过A、C点或直线与y＝x2﹣x﹣2只有一个交点，当直线过点A、C时，将点A的坐标代入直线表达式得：0＝﹣k﹣2，解得k＝﹣2，当直线与y＝x2﹣x﹣2只有一个交点时，联立直线和抛物线的表达式得：x2﹣x﹣2＝kx﹣2，即x2﹣（k+1）x＝0，则△＝（﹣k﹣1）2﹣4×1×0＝0，解得k＝﹣1，综上，k＝1或﹣2或﹣1，答案：D．2．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A．（，0）B．（3，0）C．（，0）D．（2，0）解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，即x2﹣1＝2，得x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），答案：B．3．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（）①abc＞0；②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．A．①③B．①②③C．①④D．②③④解：依照题意，画出图形如下：∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．∴a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①正确，∵对称轴为x＝﹣1，∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；∵顶点为（﹣1，n），∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，联立方程组可得：，可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，∵无法判断△是否大于0，∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；当﹣3≤x≤3时，当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确，答案：C．4．关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（）A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5B．当x＝12时，y有最小值a﹣9C．x＝2对应的函数值比最小值大7D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，表达式为：，若过点（4，5），则，解得：a＝﹣5，故选项正确；B、∵，开口向上，∴当x＝12时，y有最小值a﹣9，故选项正确；C、当x＝2时，y＝a+16，最小值为a﹣9，a+16﹣（a﹣9）＝25，即x＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；D、△＝，当a＜0时，9﹣a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，答案：C．5．对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（）A．0＜＜1B．＞1C．0＜＜1D．＞1解：由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，画出函数的图象草图如下：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣5，∴x3＜x1＜﹣5，由图象可知：0＜＜1一定成立，答案：A．6．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O'A'B'，且点O'，A'落在抛物线的对称轴上，点B'落在抛物线上，则直线A'B'的表达式为（）A．y＝x B．y＝x+1C．y＝x+D．y＝x+2解：如图，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，令y＝0，解得x＝﹣1或3，令x＝0，求得y＝﹣3，∴B（3，0），A（0，﹣3），∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴A′的横坐标为1，设A′（1，n），则B′（4，n+3），∵点B'落在抛物线上，∴n+3＝16﹣8﹣3，解得n＝2，∴A′（1，2），B′（4，5），设直线A'B'的表达式为y＝kx+b，∴，解得∴直线A'B'的表达式为y＝x+1，答案：B．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（）A．﹣2或0B．﹣4或2C．﹣5或3D．﹣6或4解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，∴这两个整数根是﹣4或2，答案：B．8．在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0解：A、错误．由M1＝2，M2＝2，可得a2﹣4＞0，b2﹣8＞0，取a＝3，b2＝12，则c＝＝4，此时c2﹣16＝0．故A错误．B、正确．理由：∵M1＝1，M2＝0，∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，∵a，b，c是正实数，∴a＝2，∵b2＝ac，∴c＝b2，对于y3＝x2+cx+4，则有△＝c2﹣16＝b4﹣16＝（b4﹣64）＝（b2+8）（b2﹣8）＜0，∴M3＝0，∴选项B正确，C、错误．由M1＝0，M2＝2，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＞0，取a＝1，b2＝18，则c＝＝18，此时c2﹣16＞0．故C错误．D、由M1＝0，M2＝0，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＜0，取a＝1，b2＝4，则c＝＝4，此时c2﹣16＝0．故D错误．答案：B．二．填空题（共7小题）9．我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为（1，0）、（2，0）和（0，2）．解：根据题意，令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，△＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0，∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有两个根，且m≠2，由求根公式可得x＝，x＝，x1＝＝1，x2＝＝＝，当m＝1时符合题意；此时x2＝2；所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）和（0，2）；故答案为：（2，0），（1，0）和（0，2）．10．抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是2．解：∵抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数），∴当y＝0时，0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k，∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4×2×（﹣k）＝4k2+4＞0，∴0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k有两个不相等的实数根，∴抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴有两个交点，故答案为：2．11．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是k＞﹣1．解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，∴△＝4﹣4×（﹣1）•k＞0，解得：k＞﹣1，故答案为：k＞﹣1．12．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为：﹣3＜x＜1．13．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为4．解：∵点A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，∴，解得，b＝﹣4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∵将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，∴n的最小值是4，故答案为：4．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc ＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为①④．解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，符合题意；②△ABC的面积＝AB•y C＝AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图象不符，故②错误，不符合题意；③函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故③错误，不符合题意；④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，故④正确，符合题意；故答案为：①④．15．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是①③（填写序号）．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x1＝2，x2＝﹣4，故①正确；该抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，函数图象开口向下，若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2，故②错误；当x＝﹣1时，函数取得最大值y＝a﹣b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a﹣b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b，故③正确；对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为﹣3和1或﹣2和0或﹣1和﹣1，故p的值有三个，故④错误；故答案为：①③．三．解答题（共5小题）16．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把C（0，2）代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得：﹣4a＝2．解得a＝﹣．则该抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2．由于y＝﹣x2+x+2＝﹣（x+1）（x﹣4）．故A（﹣1，0），B（4，0）；（2）存在，理由如下：由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，∴CD∥EG，∴＝．∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）．∴CD＝2﹣1＝1．∴＝EG．设BC所在直线的解析式为y＝mx+n（m≠0）．将B（4，0），C（0，2）代入，得．解得．∴直线BC的解析式是y＝﹣x+2．设E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），其中0＜t＜4．∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣（t﹣2）2+2．∴＝﹣（t﹣2）2+2．∵＜0，∴当t＝2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）．17．如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一点．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．解：（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），设抛物线表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2），将C代入得：4＝﹣2a，解得：a＝﹣2，∴该抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+1）（x﹣2）＝﹣2x2+2x+4；（2）连接OP，设点P坐标为（m，﹣2m2+2m+4），m＞0，∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），可得：OA＝1，OC＝4，OB＝2，∴S＝S四边形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB＝×1×4+×4m+×2×（﹣2m2+2m+4）＝﹣2m2+4m+6＝﹣2（m﹣1）2+8，当m＝1时，S最大，最大值为8．18．如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．（1）求b的值；（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．解：（1）直线与抛物线的对称轴交于点D（2，﹣3），故抛物线的对称轴为x＝2，即﹣b＝2，解得：b＝﹣4，（2）∵b＝﹣4∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x；把y＝﹣3代入y＝x2﹣4x并解得x＝1或3，故点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2，∵四边形PBCQ为平行四边形，∴PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2，故|（x12﹣4x1）﹣（x22﹣4x2）|＝2，|x1+x2﹣4|＝1．∴x1+x2＝5或x1+x2＝3，由，解得；由，解得．19．阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，∴，解得：，∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3）＝﹣6，∴点C的坐标为（0，﹣6）．当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，解得：a＝﹣2，过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．解：（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴A（2，1），∵对称轴为直线x＝2，B，C关于x＝2对称，∴C（3，0），∴当y＞0时，1＜x＜3．（2）∵D（0，﹣3），∴点D平移到点A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．。

二次函数图像与x轴交点类问题1．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）A．﹣或﹣12B．﹣或2C．﹣12或2D．﹣或﹣12 2．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（）A．0B．﹣C．2D．﹣23．如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于B、D两点．若直线y＝kx﹣k与C1、C2共有3个不同的交点，则k的最大值是（）A．B．2﹣6C．6+4D．6﹣44．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M ﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3．则a﹣b+c的最小值是（）A．﹣15B．﹣12C．﹣4D．﹣25．如图，一段抛物线y＝﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l（x轴除外）与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），t＝x1+x2+x3，则t的取值范围是（）A．0≤t＜2或10＜t≤12B．0≤t≤2或10≤t≤12C．0≤t＜2或6＜t≤8D．0≤t≤2或6≤t≤86．如图，抛物线y＝x2﹣7x+与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣＜m＜﹣B．﹣＜m＜﹣C．﹣＜m＜﹣D．﹣＜m＜﹣7．如图，抛物线S1与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），将它向右平移2个单位得新抛物线S2，点M，N是抛物线S2上两点，且MN∥x轴，交抛物线S1于点C，已知MN＝3MC，则点C的横坐标为（）A．B．C．D．18．二次函数y1的图象与x轴交于A，O两点，顶点为点B（﹣1，﹣1），将函数y1的图象向上、向右平移得到y2的图象，点B的对应点B′在x轴上，点A的对应点A′在y轴上，y1与y2的图象交于点C，下列四个结论中错误的是（）A．△OCB′不是直角三角形B．当y2＞y1＞0时，x＜2C．P（m，n）为y1图象上一点，则P点在y2图象上的对应点P′（m+2，n+1）D．二次函数y2的图象的对称轴为直线x＝l9．如图，已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），M为顶点．将抛物线C1绕点A旋转180°，得抛物线C2，点B，M旋转后的对称点为D，E．若四边形DMBE为矩形，则b2﹣4ac的值是（）A．6B．9C．12D．1810．如图，抛物线y＝﹣2x2+4x与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设△PCD的面积为S，则用m表示S正确的是（）A．（m2﹣4）B．m2﹣2C．（4﹣m2）D．2﹣m211．平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点．（1）当m＝﹣2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B 的左侧），对称轴与x轴交于点（3，0），且AB＝4．（1）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线C1平移，得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1，C2围成的封闭图形为M．直线l：y＝kx+m（k≠0）经过点B．若直线l 与图形M有公共点，求k的取值范围．13．已知函数y＝x2+（b﹣1）x+c（b，c为常数），这个函数的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0）和B（x2，0）．若x1，x2满足x2﹣x1＞1；（1）求证：b2＞2（b+2c）；（2）若t＜x1，试比较t2+bt+c与x1的大小，并加以证明．14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A 在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．15．如图，已知二次函数的顶点为（2，﹣1），且图象经过A（0，3），图象与x轴交于B、C两点．（1）求该函数的解析式；（2）连结AB、AC，求△ABC面积．16．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．17．如图，二次函数y＝+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点，连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD、DE，求△BDE的面积．18．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC．求点P的坐标．19．如图，二次函数y＝﹣2x2+x+m的图象与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．（1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上是否有一点D（x，y）使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．20．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，C两点，与y轴交于B点，抛物线的顶点为点D，已知点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．（2）求△ACD的面积．试题解析1．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）A．﹣或﹣12B．﹣或2C．﹣12或2D．﹣或﹣12解：如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新抛物线也有三个公共点，令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0），将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，△＝49﹣4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣，当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣；故选：A．2．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（）A．0B．﹣C．2D．﹣2解：当y＝0时，x2﹣3x＝0，解得：x1＝0，x2＝3，∴点A1的坐标为（3，0）．由旋转的性质，可知：点A2的坐标为（6，0）．∵2020＝336×6+4，∴当x＝4时，y＝m．由图象可知：当x＝2时的y值与当x＝4时的y值互为相反数，∴m＝﹣（2×2﹣3×2）＝2．故选：C．3．如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于B、D两点．若直线y＝kx﹣k与C1、C2共有3个不同的交点，则k的最大值是（）A．B．2﹣6C．6+4D．6﹣4解：抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，则点A、B的坐标为：（1，0）、（3，0），由抛物线从C1：y＝﹣x2+4x﹣3平移得到抛物线C2，则容易得到其的方程为：y＝﹣（x ﹣4）2+1，（3≤x≤5）．直线y＝kx﹣k过点A（1，0），当直线m与C2只有一个交点和在x轴的位置时，直线y＝kx﹣k与C1、C2共有3个不同的交点，而直线为m时，k值最大，联立C2与直线的表达式可得：kx﹣k＝y＝﹣（x﹣4）2+1△＝0，即k2﹣12k+4＝0，解得：k＝6±4（k＜0），取k＝6﹣4．故选：D．4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M ﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3．则a﹣b+c的最小值是（）A．﹣15B．﹣12C．﹣4D．﹣2解：由题意得：当顶点在M处，点A横坐标为﹣3，则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2+4，将点A坐标（﹣3，0）代入上式得：0＝a（﹣3+1）2+4，解得：a＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c，顶点在N处时，y＝a﹣b+c取得最小值，顶点在N处，抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣3）2+1，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝﹣（﹣1﹣3）2+1＝﹣15，故选：A．5．如图，一段抛物线y＝﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l（x轴除外）与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），t＝x1+x2+x3，则t的取值范围是（）A．0≤t＜2或10＜t≤12B．0≤t≤2或10≤t≤12C．0≤t＜2或6＜t≤8D．0≤t≤2或6≤t≤8解：y＝﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，则点A0、A1的坐标分别为：（﹣2，0）、（2，0），点的D1（0，4），则下方图象与x轴另外一个交点坐标为：（6，0），而点D2（4，﹣4），将点D1、D2的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线D1D2的函数表达式为：y＝﹣2x+4，①当直线l在x轴的上方时，当直线l过点D1时，x1+x2＝0，x3＝0，则t＝0，当直线l在轴上时，x3＝2，则t＝2，故0≤t＜2；②当直线l在x轴的下方时，当直线l过点D2时，x1＝x2＝x3＝4，则t＝12，当直线l在轴上时，x1＝2，x2＝6，x3＝2，则t＝10，故10≤t≤12；故选：A．6．如图，抛物线y＝x2﹣7x+与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣＜m＜﹣B．﹣＜m＜﹣C．﹣＜m＜﹣D．﹣＜m＜﹣解：∵抛物线y＝x2﹣7x+与x轴交于点A、B∴B（5，0），A（9，0）∴抛物线向左平移4个单位长度∴平移后解析式y＝（x﹣3）2﹣2当直线y＝x+m过B点，有2个交点∴0＝+mm＝﹣当直线y＝x+m与抛物线C2相切时，有2个交点∴x+m＝（x﹣3）2﹣2x2﹣7x+5﹣2m＝0∵相切∴△＝49﹣20+8m＝0∴m＝﹣如图∵若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，∴﹣＜m＜﹣故选：C．7．如图，抛物线S1与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），将它向右平移2个单位得新抛物线S2，点M，N是抛物线S2上两点，且MN∥x轴，交抛物线S1于点C，已知MN＝3MC，则点C的横坐标为（）A．B．C．D．1解：∵抛物线S1与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），∴抛物线S1的对称轴为直线x＝＝﹣1，∵抛物线S1向右平移2个单位得新抛物线S2，点M，N是抛物线S2上两点，且MN∥x 轴，交抛物线S1于点C，MN＝3MC，∴CN＝2MC，CN＝2，∴MN＝3，∴点C与在抛物线S1上的对称点的距离为3，∴点C的横坐标为：﹣1+＝，故选：B．8．二次函数y1的图象与x轴交于A，O两点，顶点为点B（﹣1，﹣1），将函数y1的图象向上、向右平移得到y2的图象，点B的对应点B′在x轴上，点A的对应点A′在y轴上，y1与y2的图象交于点C，下列四个结论中错误的是（）A．△OCB′不是直角三角形B．当y2＞y1＞0时，x＜2C．P（m，n）为y1图象上一点，则P点在y2图象上的对应点P′（m+2，n+1）D．二次函数y2的图象的对称轴为直线x＝l解：二次函数y1的图象的对称轴为直线x＝﹣1，则A（﹣2，0），设y1的解析式为y＝ax（x+2），把B（﹣1，﹣1）代入得a×（﹣1）×（﹣1+2）＝﹣1，解得a＝1，∴y1的解析式为y＝x2+2x，∴函数y1的图象向上平移1个单位、向右平移2个单位得到y2的图象，∴A′（0，1），B′（1，0），∴y2的解析式为y＝（x﹣1）2，即y＝x2﹣2x+1，解方程x2+2x＝x2﹣2x+1，解得x＝，当x＝时，y＝（x﹣1）2＝，则C（，），∵OC＝＝，CB′＝＝，OB′＝1，∴OC2+CB′2≠OB′2，∴△OCB′不是直角三角形，所以A选项的说法正确；当y2＞y1＞0时，0＜x＜或x＜﹣2，所以B选项的说法错误；当P（m，n）为y1图象上一点，则P点在y2图象上的对应点P′（m+2，n+1），所以C 选项的说法正确；二次函数y2的图象的对称轴为直线x＝l，所以D选项的说法正确．故选：B．9．如图，已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），M为顶点．将抛物线C1绕点A旋转180°，得抛物线C2，点B，M旋转后的对称点为D，E．若四边形DMBE为矩形，则b2﹣4ac的值是（）A．6B．9C．12D．18解：如图连接EM．作MH⊥AB于H．∵四边形DMBE是矩形，∴对角线DB与EM互相平分，∵DA＝AB，∴EM经过点A．∴AB＝AM，根据对称性可知：AM＝MB，∴AB＝AM＝BM，∴△ABM是等边三角形，∵M（﹣，），A（，0），B（），∵△ABM是等边三角形，∴MH＝HB，∴||＝••，整理得：b2﹣4ac＝12，故选：C．10．如图，抛物线y＝﹣2x2+4x与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设△PCD的面积为S，则用m表示S正确的是（）A．（m2﹣4）B．m2﹣2C．（4﹣m2）D．2﹣m2解：抛物线的对称轴为：x＝1，令y＝0代入y＝﹣2x2+4x，∴0＝﹣2x2+4x，∴x＝0或x＝2，∴A（2，0）∴OA＝2，设P关于x＝1的对称点为Q，且设P的横坐标为x1，Q的横坐标为x2，∴，∵抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度，∴PQ＝m，∴x1﹣x2＝m，∴解得：x1＝，x2＝把x1＝代入y＝﹣2x2+4x∴y＝2﹣＜0∴在△PCD中，CD边上的高为：﹣2，∵OA＝CD＝2，∴S△PCD＝×2×（）＝﹣2故选：B．11．平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+2的图象与x轴有两个交点．（1）当m＝﹣2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），求m的范围；（3）在（2）的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．解：（1）当m＝﹣2时，抛物线解析式为：y＝x2+4x+2令y＝0，则x2+4x+2＝0解得x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣抛物线与x轴交点坐标为：（﹣2+，0）（﹣2﹣，0）（2）∵y＝x2﹣2mx+m2+2m+2＝（x﹣m）2+2m+2∴抛物线顶点坐标为A（m，2m+2）∵二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上）∴当直线l在x轴上方时不等式无解当直线l在x轴下方时解得﹣3＜m＜﹣1（3）由（1）点A在点B上方，则AB＝（2m+2）﹣（m﹣1）＝m+3△ABO的面积S＝（m+3）（﹣m）＝﹣∵﹣∴当m＝﹣时，S最大＝12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B 的左侧），对称轴与x轴交于点（3，0），且AB＝4．（1）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线C1平移，得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1，C2围成的封闭图形为M．直线l：y＝kx+m（k≠0）经过点B．若直线l 与图形M有公共点，求k的取值范围．解：（1）∵抛物线C1的对称轴与x轴交于点（3，0），∴抛物线C1的对称轴为直线x＝3．又∵AB＝4，∴A（1，0），B（5，0）．∴解得∴抛物线C1的表达式为y＝x2﹣6x+5．即y＝（x﹣3）2﹣4．∴抛物线C1的顶点为D（3，﹣4）．（2）∵平移后得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），∴抛物线C2的表达式为y＝x2﹣1．∴抛物线C1的对称轴x＝3与抛物线C2的交点为E（3，8）①当直线l过点B（5，0）和点D（3，﹣4）时，得解得k BD＝2．②当直线l过点B（5，0）和点E（3，8）时，得解得k BE＝﹣4，∴结合函数图象可知，k的取值范围是﹣4≤k≤2且k≠0．13．已知函数y＝x2+（b﹣1）x+c（b，c为常数），这个函数的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0）和B（x2，0）．若x1，x2满足x2﹣x1＞1；（1）求证：b2＞2（b+2c）；（2）若t＜x1，试比较t2+bt+c与x1的大小，并加以证明．证明：（1）∵令y＝x2+（b﹣1）x+c中y＝0，得到x2+（b﹣1）x+c＝0，∴x＝，又x2﹣x1＞1，∴，∴b2﹣2b+1﹣4c＞1，∴b2＞2（b+2c）；（2）由已知x2+（b﹣1）x+c＝（x﹣x1）（x﹣x2），∴x2+bx+c＝（x﹣x1）（x﹣x2）+x，∴t2+bt+c＝（t﹣x1）（t﹣x2）+t，t2+bt+c﹣x1＝（t﹣x1）（t﹣x2）+t﹣x1＝（t﹣x1）（t﹣x2+1），∵t＜x1，∴t﹣x1＜0，∵x2﹣x1＞1，∴t＜x1＜x2﹣1，∴t﹣x2+1＜0，∴（t﹣x1）（t﹣x2+1）＞0，即t2+bt+c＞x1．14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A 在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．解：（1）令y＝0，则﹣，解得，x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），由函数图象得，当y≥0时，﹣2≤x≤6；（2）由题意得，B1（6，m），B2（6﹣n，m），B3（﹣n，m），函数图象的对称轴为直线，∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，∴，∴n＝1，∴，∴m，n的值分别为，1．15．如图，已知二次函数的顶点为（2，﹣1），且图象经过A（0，3），图象与x轴交于B、C两点．（1）求该函数的解析式；（2）连结AB、AC，求△ABC面积．解：（1）设该二次函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）．∵顶点为（2，﹣1），∴y＝a（x﹣2）2﹣1．又∵图象经过A（0，3）∴a（0﹣2）2﹣1＝3，即a＝1，∴该抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1；（2）当y＝0时，（x﹣2）2﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴C（3，0），B（1，0），∴BC＝3﹣1＝2，∴S△ABC＝BC•OA＝×2×3＝3．16．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．解：（1）将点（﹣1，0），（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得．∴y＝﹣x2+2x+3．（2）令y＝0，解方程﹣x2+2x+3＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，抛物线开口向下，∴当﹣1＜x＜3时，y＞0．17．如图，二次函数y＝+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点，连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD、DE，求△BDE的面积．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过A（2，0），B（8，6）∴，解得∴二次函数解析式为：y＝x2﹣4x+6，（2）由y＝x2﹣4x+6，得y＝（x﹣4）2﹣2，∴函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），∵点A，D是y＝x2+bx+c与x轴的两个交点，又∵点A（2，0），对称轴为x＝4，∴点D的坐标为（6，0）．（3）∵二次函数的对称轴交x轴于C点．∴C点的坐标为（4，0）∵B（8，6），设BC所在的直线解析式为y＝kx+b′，∴，解得，∴BC所在的直线解析式为y＝x﹣6，∵E点是y＝x﹣6与y＝x2﹣4x+6的交点，∴x﹣6＝x2﹣4x+6解得x1＝3，x2＝8（舍去），当x＝3时，y＝﹣，∴E（3，﹣），∴△BDE的面积＝△CDB的面积+△CDE的面积＝×2×6+×2×＝7.5．18．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC．求点P的坐标．解：（1）∵对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x＝﹣1对称，∵点A的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）；（2）∵a＝1时，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，∴＝﹣1，解得b＝2．将B（1，0）代入y＝x2+2x+c，得1+2+c＝0，解得c＝﹣3．则二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC＝3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC＝4S△BOC，∴×3×|x|＝4××3×1，∴|x|＝4，x＝±4．当x＝4时，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21；当x＝﹣4时，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5．∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）．19．如图，二次函数y＝﹣2x2+x+m的图象与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．（1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上是否有一点D（x，y）使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．解：（1）把A（1，0）代入y＝﹣2x2+x+m，得﹣2×12+1+m＝0，解得m＝1；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣2x2+x+1．令y＝0，则﹣2x2+x+1＝0，故x＝＝，解得x1＝﹣，x2＝1．故该抛物线与x轴的交点是（﹣，0）和（1，0）．∵点为A（1，0），∴另一个交点为B是（﹣，0）；（3）∵抛物线解析式为y＝﹣2x2+x+1，∴C（0，1），∴OC＝1．∵S△ABD＝S△ABC，∴点D与点C的纵坐标的绝对值相等，∴当y＝1时，﹣2x2+x+1＝1，即x（﹣2x+1）＝0解得x＝0或x＝．即（0，1）（与点C重合，舍去）和D（，1）符合题意．当y＝﹣1时，﹣2x2+x+1＝﹣1，即2x2﹣x﹣2＝0解得x＝．即点（，﹣1）和（，﹣1）符合题意．综上所述，满足条件的点D的坐标是（，1）或（，﹣1）或（，﹣1）．20．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，C两点，与y轴交于B点，抛物线的顶点为点D，已知点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．（2）求△ACD的面积．解：（1）把（﹣1，0），（0，﹣3）分别代入y＝x2+bx+c，得：．解得：b＝﹣2，c＝﹣3．故该二次函数解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；由于y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则其顶点坐标是（1，﹣4）；（2）由y＝x2﹣2x﹣3知，C（0，﹣3）．所以AC＝4．∴S△ACD＝AC•|y D|＝＝8．∴△ACD的面积是8。

二次函数图象与X 轴的交点一 、选择题（本大题共1小题）1.对于每个非零自然数n ，抛物线()()221111n y x x n n n n +=-+++与x 轴交于n n A B 、两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B +++…的值是（ ） A ．20092008 B ．20082009 C ．20102009 D ．20092010二 、解答题（本大题共4小题）2.已知：关于x 的方程()213210ax a x a --+-=（1）当a 取何值时，二次函数()21321y ax a x a =--+-的对称轴是2x =-； （2）求证：a 取任何实数时，方程总有实数根.3.已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 是正整数）的图象经过点()14A -，和()21B ，，且与x 轴有两个不同的交点，求b c +的最大值．4.已知二次函数2(1)1y x m x m =-++-（1）求证：不论m 为任何实数，这个函数的图象与x 轴总有交点， （2）m 为何实数时，这两个交点间的距离最小？这个最小距离是多少？5.设二次函数()2f x ax bx c =++满足条件；()02f =，()11f =-，且其图象在x 轴上所截得的线段长012)31(2=-+--a x a ax二次函数图象与X 轴的交点答案解析一 、选择题1.D二 、解答题2.考查二次函数的对称轴的性质，以及函数图象与坐标轴交点的情况．(1)解：∵二次函数()21321y ax a x a =--+-的对称轴是2x =- ∴()11322a a--=- 解得1a =-经检验1a =-是原分式方程的解.所以1a =-时，二次函数()21321y ax a x a =--+-的对称轴是2x =-； （2）1）当0a =时，原方程变为10x --=，方程的解为1x =-；2）当0a ≠时，原方程为一元二次方程，， 当240b ac -≥时，方程总有实数根 ∴()()2134210a a a ----≥⎡⎤⎣⎦ 整理得，2210a a -+=,()210a -≥ ∵0a ≠时 ()210a -≥总成立所以a 取任何实数时，方程总有实数根.3.由函数经过点()14A -，，()21B ，，则有 4421a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，解得132b a c a =--⎧⎨=-⎩． 因为二次函数与x 轴有两个不同的交点，则240b ac ∆=->，即()()24320a a a a ---->，整理为()()9110a a -->，解得19a <或1a >．由于a 为正整数，所以2a ≥．又因为324b c a +=-+-≤，且当2a =、3b =-、1c =-时，满足题意，故b c +的最大值为4-．012)31(2=-+--a x a ax 012)31(2=-+--a x a ax4.（1）当0y =时，2(1)10x m x m -++-=∵222(1)4(1)25(1)440m m m m m ∆=+--=-+=-+≥>， ∴不论m 为任何实数，方程都有两个不等的实数根. ∴不论m 为任何实数，这个函数的图象与x 轴总有交点. （2）设12x x ，是方程2(1)10x m x m -++-=的两个根，∴121x x m +=+，121x x m ⋅=-，且1x ，2x 是这个函数图象与x 轴交点的横坐标， ∴这两个交点间的距离为12x x -.∵12x x -==∴当1m =时，12x x -的值最小，最小值为2.5.()242f x x x =-+，或者()2912277f x x x =--+；本题一方面学生要理解()f x 的表示，另一方面要会应用在x 轴上截取线段的应用。