【精品】2016年福建省福州八中高一上学期期末数学试卷

2014-2015学年福建省福州市八县一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．（5.00分）用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（）A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体2．（5.00分）已知A（﹣1，3）、B（3，﹣1），则直线AB的倾斜角为（）A．45°B．60°C．120° D．135°3．（5.00分）已知直线l1：y=2x+1，若直线l2与l1关于直线x=1对称，则l2的斜率为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．24．（5.00分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面5．（5.00分）在空间直角坐标系中一点P（1，3，4）到x轴的距离是（）A．5 B． C． D．6．（5.00分）若两条平行线l1，l2的方程分别是2x+3my﹣m+2=0，mx+6y﹣4=0，记l1，l2之间的距离为d，则m，d分别为（）A．m=2，d=B．m=2，d=C．m=2，d=D．m=﹣2，d= 7．（5.00分）设l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列论述正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l∥α，l∥β，则α∥βC．若l∥m，l⊥α，则m⊥αD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β8．（5.00分）直线y=﹣x绕原点按逆时针方向旋转90°后所得直线与圆（x﹣2）2+y2=1的位置关系是（）A．直线过圆心B．直线与圆相交，但不过圆心C．直线与圆相切D．直线与圆没有公共点9．（5.00分）平面α的斜线l与平面α所成的角是45°，则l与平面α内所有不过斜足的直线所成的角中，最大的角是（）A．45°B．90°C．135° D．60°10．（5.00分）一个正八面体的八个顶点都在同一个球面上，如果该正八面体的棱长为．则这个球的表面积为（）A．πB．2πC．4πD．11．（5.00分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=112．（5.00分）设集合A={（x，y）|y=x}与集合B={（x，y）|x=a+，a∈R}，若A∩B的元素只有一个，则实数a的取值范围是（）A．a=±B．﹣1＜a＜1或a=±C．a=或﹣1≤a＜1 D．﹣1＜a≤1或a=﹣二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置上.）13．（4.00分）若直线y=3x+b过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则b=．14．（4.00分）已知圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积等于．15．（4.00分）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD 的中点，则=．16．（4.00分）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①B，E，F，C四点共面；②直线BF与AE异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD；．⑤折线B→E→F→C是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的一条最短路径．其中正确的有．（请写出所有符合条件的序号）三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）17．（12.00分）已知直线l：kx﹣y+1﹣2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，且|OA|=|OB|，求k的值．18．（12.00分）有100件规格相同的铁件（铁的密度是7.8g/cm3），该铁件的三视图如图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成（图中单位cm）．（1）指出该几何体的形状特征；（2）根据图中的数据，求出此几何体的体积；（3）问这100件铁件的质量大约有多重（π取3.1，取1.4）？19．（12.00分）已知点M（2，0），两条直线l1：2x+y﹣3=0与l2：3x﹣y+6=0，直线l经过点M，并且与两条直线l1•l2分别相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，若A与B重合，求直线l的方程，若x1+x2=0，求直线l的方程．20．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．21．（12.00分）如图，已知正三角形ABC的边长为6，将△ABC沿BC边上的高线AO折起，使BC=3，得到三棱锥A﹣BOC．动点D在边AB上．（1）求证：OC⊥平面AOB；（2）当点D为AB的中点时，求异面直线AO、CD所成角的正切值；（3）求当直线CD与平面AOB所成角最大时的正切值．22．（14.00分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4my+4m2=0，圆C1：x2+y2=25，以及直线l：3x﹣4y﹣15=0．（1）求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；（2）当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l；（3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．2014-2015学年福建省福州市八县一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．（5.00分）用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（）A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体【解答】解：∵各个截面都是圆，∴这个几何体一定是球体，故选：C．2．（5.00分）已知A（﹣1，3）、B（3，﹣1），则直线AB的倾斜角为（）A．45°B．60°C．120° D．135°【解答】解：∵A（﹣1，3）、B（3，﹣1），∴k AB==﹣1，∴直线AB的倾斜角α=135°．故选：D．3．（5.00分）已知直线l1：y=2x+1，若直线l2与l1关于直线x=1对称，则l2的斜率为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【解答】解：∵直线l1：y=2x+1，直线l2与l1关于直线x=1对称，作出图象，如图，结合图象，得直线l2与l1的倾斜角互补，∵直线l1：y=2x+1的斜率k=2，∴l2的斜率为k′=﹣2．故选：A．4．（5.00分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选：B．5．（5.00分）在空间直角坐标系中一点P（1，3，4）到x轴的距离是（）A．5 B． C． D．【解答】解：∵点（x，y，z）到x轴的距离d等于：d=．∴点P（1，3，4）到x轴的距离d等于：d==5．故选：A．6．（5.00分）若两条平行线l1，l2的方程分别是2x+3my﹣m+2=0，mx+6y﹣4=0，记l1，l2之间的距离为d，则m，d分别为（）A．m=2，d=B．m=2，d=C．m=2，d=D．m=﹣2，d=【解答】解：两条平行线l1，l2的方程分别是2x+3my﹣m+2=0，mx+6y﹣4=0，可得：，解得m=2，两条平行线l1，l2的方程分别是2x+6y=0，2x+6y﹣4=0，平行线之间的距离为：d==．故选：B．7．（5.00分）设l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列论述正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l∥α，l∥β，则α∥βC．若l∥m，l⊥α，则m⊥αD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【解答】解：由l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，知：若l∥α，m∥α，则l与m相交、平行或异面，故A错误；若l∥α，l∥β，则α与β平行或相交，故B错误；若l∥m，l⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理知m⊥α，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l相交β、平行或l⊂β，故D错误．故选：C．8．（5.00分）直线y=﹣x绕原点按逆时针方向旋转90°后所得直线与圆（x﹣2）2+y2=1的位置关系是（）A．直线过圆心B．直线与圆相交，但不过圆心C．直线与圆相切D．直线与圆没有公共点【解答】解：把直线y=﹣x绕原点按逆时针方向旋转90°后所得直线与原直线垂直，所得直线的斜率为，故所得直线的方程为y=x，即x﹣3y=0．再根据圆心（2，0）到所得直线x﹣3y=0的距离为=1，正好等于圆的半径，故所得直线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，故选：C．9．（5.00分）平面α的斜线l与平面α所成的角是45°，则l与平面α内所有不过斜足的直线所成的角中，最大的角是（）A．45°B．90°C．135° D．60°【解答】解：因为一个斜线跟平面上的直线所成的角要小于等于90°，在平面α任意做一条垂直于该斜线在平面α内的射影的直线，该直线与斜线成90°为最大角．故选：B．10．（5.00分）一个正八面体的八个顶点都在同一个球面上，如果该正八面体的棱长为．则这个球的表面积为（）A．πB．2πC．4πD．【解答】解：由题意正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则其中四点所组成的截面在球的一个大圆面上，因为正八面体的棱长为，所以底面四点组成的正方形的对角线的长为2，球的半径是1所以此球的表面积4π．故选：C．11．（5.00分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1【解答】解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选：A．12．（5.00分）设集合A={（x，y）|y=x}与集合B={（x，y）|x=a+，a∈R}，若A∩B的元素只有一个，则实数a的取值范围是（）A．a=±B．﹣1＜a＜1或a=±C．a=或﹣1≤a＜1 D．﹣1＜a≤1或a=﹣【解答】解：由x=a+，得（x﹣a）2+y2=1，（x≥a），即集合B表示圆心在（a，0），半径为1的圆的右半部分，由图象知当直线y=x经过点A（a，1）时，直线和半圆有一个交点，此时a=1，当直线y=x经过点B（a，﹣1）时，直线和半圆有2个交点，此时a=﹣1，当直线和半圆相切时，圆心（a，0）到直线y=x的距离d=，交点a=（舍）或a=﹣，若A∩B的元素只有一个，则a=﹣或﹣1＜a≤1，故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置上.）13．（4.00分）若直线y=3x+b过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则b=5．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0 即圆（x+1）2+（y﹣2）2 =5，它的圆心为（﹣1，2），再根据直线y=3x+b过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，可得2=﹣3+b，求得b=5，故答案为：5．14．（4.00分）已知圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积等于2π．【解答】解：∵圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，∴底面半径=1，底面周长=2π，∴圆锥的侧面积=×2π×2=2π，故答案为：2π．15．（4.00分）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD 的中点，则=10．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设|CA|=a，|CB|=b，则A（a，0），B（0，b）∵点D是斜边AB的中点，∴，∵点P为线段CD的中点，∴P∴===∴|PA|2+|PB|2==10（）=10|PC|2∴=10．故答案为：1016．（4.00分）如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①B，E，F，C四点共面；②直线BF与AE异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD；．⑤折线B→E→F→C是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的一条最短路径．其中正确的有①②③．（请写出所有符合条件的序号）【解答】解：根据几何体的平面展开图，画出它的直观图如下：①根据已知，EF∥AD∥BC；∴EF∥BC；∴B，E，F，C四点共面；∴该结论正确；②由图可看出BF和AE异面；∴该结论正确；③由①EF∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC；∴EF∥平面PBC；∴该结论正确；④分别取AD，EF，BC的中点G，H，M，并连接GH，HM，MG，则GH⊥EF，HM⊥EF；而EF是平面BCE和平面PAD的交线；∴∠GHM为平面BCE与平面PAD形成的二面角的平面角；若设该几何体的侧棱长为2，则：GH=，HM=，MG=2；显然GH2+HM2≠MG2；∴∠GHM≠90°；∴平面BCE与平面PAD不垂直；∴该结论错误；⑤把该正四棱锥沿底面各边及侧棱PD剪开，得到的展开图如下：BH⊥PA，∴B到侧棱PA的最短距离为BE，BE=；过E作EN⊥PD，则EN是点E到PD的最短距离，且EN=，NP=；而N到C的最短距离便是线段NC的长，NC=；∴从B点出发，绕过PAD面到达C点的最短距离为；而BE+EF+FC=；∴该结论错误；综上得正确的结论为①②③．故答案为：①②③．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）17．（12.00分）已知直线l：kx﹣y+1﹣2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，且|OA|=|OB|，求k的值．【解答】（1）证明：设直线过定点（x0，y0），则kx0﹣y0+1﹣2k=0对任意k∈R 恒成立，即（x0﹣2）k﹣y0+1=0恒成立，∴x0﹣2=0，﹣y0+1=0，解得x0=2，y0=1，故直线l总过定点（2，1）．…（6分）（2）解：因直线l的方程为y=kx﹣2k+1，则直线l在y轴上的截距为1﹣2k，在x轴上的截距为2﹣，依题意：1﹣2k=2﹣＞0解得k=﹣1 或k=（经检验，不合题意）所以所求k=﹣1 …（12分）18．（12.00分）有100件规格相同的铁件（铁的密度是7.8g/cm3），该铁件的三视图如图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成（图中单位cm）．（1）指出该几何体的形状特征；（2）根据图中的数据，求出此几何体的体积；（3）问这100件铁件的质量大约有多重（π取3.1，取1.4）？【解答】解：（1）由三视图可知，该几何体是个组合体；上部分是个正三棱锥，其三条侧棱两两垂直；下部分为一个半球，并且正三棱锥的一个侧面与半球的底面相切．…（3分）（2）由图可知：…（5分）球半径…（6分）…（8分）所以该几何体体积V=…（9分）（3）这100件铁件的质量m：…（11分）答：这批铁件的质量超过694g．…（12分）19．（12.00分）已知点M（2，0），两条直线l1：2x+y﹣3=0与l2：3x﹣y+6=0，直线l经过点M，并且与两条直线l1•l2分别相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，若A与B重合，求直线l的方程，若x1+x2=0，求直线l的方程．【解答】解：（1）若A与B重合，则直线过l1•l2的交点N，联立2x+y﹣3=0与3x﹣y+6=0可解得x=且y=，∴直线过点M（2，0）和N（，），∴直线的斜率k MN==，∴直线的方程为y﹣0=（x﹣2），即21x+13y﹣42=0；（2）①直线l过点M且斜率不存在时，不满足x1+x2=0；②直线l过点M且斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣2），联立y=k（x﹣2）和2x+y﹣3=0可解得x1=（k≠﹣2），联立y=k（x﹣2）和3x﹣y+6=0可解得x2=（k≠3），∵x1+x2=0，∴+=0，解得k=或k=﹣1，可得方程为x+y﹣2=0或3x+4y﹣6=0；综合①②可得直线的方程为：21x+13y﹣42=0或x+y﹣2=0或3x+4y﹣6=020．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE．∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O，∴BD⊥平面PAC．∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．21．（12.00分）如图，已知正三角形ABC的边长为6，将△ABC沿BC边上的高线AO折起，使BC=3，得到三棱锥A﹣BOC．动点D在边AB上．（1）求证：OC⊥平面AOB；（2）当点D为AB的中点时，求异面直线AO、CD所成角的正切值；（3）求当直线CD与平面AOB所成角最大时的正切值．【解答】解：（1）证明：根据条件，AO⊥OB，AO⊥OC，OB∩OC=O；∴AO⊥底面BCO，OC⊂平面BCO；∴AO⊥OC，即OC⊥AO；又OB=OC=3，BC=3；∴OB2+OC2=BC2；∴OC⊥OB，AO∩OB=O；∴OC⊥平面AOB；∴OC，OB，OA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：O（0，0，0），A（0，0，3），B（0，3，0），C（3，0，0）；D为AB中点，∴D（0，）；∴，；设异面直线AO，CD所成角为θ，则cosθ=|cos|=；∴，tan；即异面直线AO、CD所成角的正切值为；（3）由（1）知，为平面AOB的法向量，设直线CD与平面AOB 所成角为α，D（0，），（），则：sin==；∴时，sinα取最大值，此时α最大；∴此时cosα=，tanα=；∴当直线CD与平面AOB所成角最大时的正切值为．22．（14.00分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4my+4m2=0，圆C1：x2+y2=25，以及直线l：3x﹣4y﹣15=0．（1）求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；（2）当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l；（3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为圆的圆心O（0，0），半径r=5，所以，圆心O到直线l：3x﹣4y﹣15=0的距离d：，由勾股定理可知，圆被直线l截得的弦长为．…（4分）（2）圆C与圆C1的公共弦方程为2x﹣4my﹣4m2﹣25=0，因为该公共弦平行于直线3x﹣4y﹣15=0，则≠，解得：m=…（7分）经检验m=符合题意，故所求m=；…（8分）（3）假设这样实数m存在．设弦AB中点为M，由已知得|AB|=2|PM|，即|AM|=|BM|=|PM|所以点P（2，0）在以弦AB为直径的圆上．…（10分）设以弦AB为直径的圆方程为：x2+y2﹣2x+4my+4m2+λ（3x﹣4y﹣15）=0，整理得x2+（3λ﹣2）x+y2+（4m﹣4λ）y+4m2﹣15λ=0，则圆心坐标为（﹣，﹣），即M（，），则消去λ得：100m2﹣144m+216=0，25m2﹣36m+54=0因为△=362﹣4×25×54=36（36﹣25×6）＜0 所以方程25m 2﹣36m +54=0无实数根，赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数yxoM 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．所以，假设不成立，即这样的圆不存在． …（14分）。

2015-2016学年福建省福州一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）函数的定义域为（）A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x|x＞1且x≠2}D．{x|x≥1且x≠2} 2．（4分）图中阴影部分表示的集合是（）A．B∩（∁U A）B．A∩（∁U B）C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）3．（4分）已知函数，则f（2）的值等于（）A．4 B．3 C．2 D．无意义4．（4分）若全集U={1，2，3}且∁U A={2}，则集合A的真子集共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（4分）函数g（x）=lnx﹣的零点所在区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）6．（4分）下列大小关系正确的是（）A．0.43＜30.4＜log40.3 B．0.43＜log40.3＜30.4C．log40.3＜0.43＜30.4D．log40.3＜30.4＜0.437．（4分）下列函数中，满足“f（xy）=f（x）•f（y）”且为单调递增函数的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=log3x C．f（x）=x﹣1D．f（x）=x38．（4分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象大致为（）A．B．C．D．9．（4分）已知函数在（0，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2） C．[2，+∞）D．（1，+∞）10．（4分）已知两条直线l1：y=m和，l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为（）A．32 B．16 C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）11．（3分）幂函数f（x）的图象经过点（2，8），则f（﹣1）的值为．12．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与的图象关于直线y=x对称，而函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值等于．13．（3分）已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集．14．（3分）对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f（x）=x﹣[x]，则下列命题中正确的是（填题号）①函数f（x）的最大值为1；②函数f（x）的最小值为0；③函数有无数个零点；④函数f（x）是增函数．三、解答题（本大题共有5题，共48分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）15．（8分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，，C={x|x＞m}．（1）求A∩B，（∁R A）∪B；（2）若A∪C=C，求实数m的取值范围．16．（10分）已知函数为奇函数．（1）求f（﹣1）以及实数m的值；（2）写出函数f（x）的单调递增区间；（3）若f（a）=1，求a的值．17．（10分）已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数，e≈2.718…）（1）设函数g（x）=f（x2）﹣f（x﹣k），k∈R，讨论函数g（x）的零点个数；（2）若x∈[﹣2，+∞）时，不等式f（x2﹣mx+3）＞f（mx﹣1）恒成立，求m 的取值范围．18．（10分）有时可用函数，描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增加量g（x）=f（x+1）﹣f（x）总是下降；（2）根据经验，学科甲，乙，丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]，当学习某学科知识5次时，掌握程度是70%，请确定相应的学科．（参考数据：，，）19．（10分）对于定义域分别是A，B的函数y=f（x），y=g（x），规定：现给定函数（1）若，写出函数h（x）的解析式；（2）当0≤x≤2时，求问题（1）中函数h（x）的值域；（3）请设计一个函数g（x），使得函数h（x）为偶函数且不是常数函数，并予以证明．2015-2016学年福建省福州一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）函数的定义域为（）A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x|x＞1且x≠2}D．{x|x≥1且x≠2}【解答】解：由，解得x≥1且x≠2．∴函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选：D．2．（4分）图中阴影部分表示的集合是（）A．B∩（∁U A）B．A∩（∁U B）C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）【解答】解：由韦恩图可以看出，阴影部分是B中去A那部分所得，即阴影部分的元素属于B且不属于A，即B∩（C U A）故选：A．3．（4分）已知函数，则f（2）的值等于（）A．4 B．3 C．2 D．无意义【解答】解：函数，则f（2）=f（2+3）=f（5）==2．故选：C．4．（4分）若全集U={1，2，3}且∁U A={2}，则集合A的真子集共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：因为U={1，2，3}且∁U A={2}，所以A={1，3}．所以A的真子集有∅，{1}，{3}，共有三个．故选：B．5．（4分）函数g（x）=lnx﹣的零点所在区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵函数g（x）=lnx﹣，∴g（1）=﹣1＜0，g（2）=ln2﹣=ln＞ln1=0，故有g（1）g（2）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数g（x）=lnx﹣的零点所在区间是（1，2），故选：B．6．（4分）下列大小关系正确的是（）A．0.43＜30.4＜log40.3 B．0.43＜log40.3＜30.4C．log40.3＜0.43＜30.4D．log40.3＜30.4＜0.43【解答】解：∵0＜0.43＜0.40=1，30.4＞30=1，log40.3＜log0.41=0∴log40.3＜0.43＜30.4故选：C．7．（4分）下列函数中，满足“f（xy）=f（x）•f（y）”且为单调递增函数的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=log3x C．f（x）=x﹣1D．f（x）=x3【解答】解：A．f（xy）═3xy，f（x）f（y）=3x+y，f（xy）≠f（x）f（y），A不正确．B．f（xy）=log2（xy）=log2x+log2y=f（x）+f（y），则f（xy）=f（x）f（y）不成立．C．f（x）f（y）=x﹣1（y﹣1）=（xy）﹣1，f（xy）=（xy）﹣1，则f（xy）=f（x）f（y）成立．f（x）=x﹣1是减函数，所以C不正确；D．f（x）f（y）=x3y3=（xy）3=f（xy），且函数f（x）为增函数，满足条件．故选：D．8．（4分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；在函数g（x）=a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；故选：A．9．（4分）已知函数在（0，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2） C．[2，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：由题意函数在（0，+∞）上是增函数，，∴1＜a，则实数a的取值范围是（1，+∞）故选：D．10．（4分）已知两条直线l1：y=m和，l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为（）A．32 B．16 C．D．【解答】解：根据题意，设A，B，C，D各点的横坐标分别为x A，x B，x C，x D，直线l1：y=m与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B；则有﹣log2x A=m，log2x B=m；则有x A=2﹣m，x B=2m，直线l1：y=与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C，D；则有﹣log2x C=，log2x D=；则有x C=，x D=，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，则a=|x A﹣x C|，b=|x B﹣x D|，则=||=2m×=，又由m＞0，则m+≥2=4，则≥24=16；故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）11．（3分）幂函数f（x）的图象经过点（2，8），则f（﹣1）的值为﹣1．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，其图象经过点（2，8），∴2α=8，解得α=3；∴f（x）=x3，∴f（﹣1）=（﹣1）3=﹣1．故答案为：﹣1．12．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与的图象关于直线y=x对称，而函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值等于﹣2．【解答】解：根据题意，函数y=g（x）的图象与的图象关于直线y=x对x，称，则g（x）==﹣log又由函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于y轴对称，则f（x）=g（﹣x）=﹣log2（﹣x），若f（m）=﹣1，则﹣log2（﹣m）=﹣1，解可得m=﹣2；故答案为：﹣213．（3分）已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集（﹣2，﹣1）∪（1，2）．．【解答】解：∵xf（x）＜0①当x＞0时，f（x）＜0，结合函数的图象可得，1＜x＜2，（2）x＜0时，f（x）＞0，根据奇函数的图象关于原点对称可得，﹣2＜x＜﹣1，∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2）．故答案为：（﹣2，﹣1）∪（1，2）．14．（3分）对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f（x）=x﹣[x]，则下列命题中正确的是②③（填题号）①函数f（x）的最大值为1；②函数f（x）的最小值为0；③函数有无数个零点；④函数f（x）是增函数．【解答】解：∵函数f（x）=x﹣[x]，∴函数f（x）的最大值小于1，故①不正确；函数f（x）的最小值为0，故②正确；函数每隔一个单位重复一次，所以函数有无数个零点，故③正确；函数f（x）有增有减，故④不正确．故答案为：②③．三、解答题（本大题共有5题，共48分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）15．（8分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，，C={x|x＞m}．（1）求A∩B，（∁R A）∪B；（2）若A∪C=C，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣x﹣2≤0，解得﹣1≤x≤2，∴A={x|﹣1≤x≤2}；由，解得﹣2＜x＜1，∴B={x|﹣2＜x＜1}；∴A∩B={x|﹣1≤x＜1}，∴∁R A={x|x＜﹣1或x＞2}，∴（∁R A）∪B={x|x＜1或x＞2}；（2）由A∪C=C，得A⊆C，又C={x|x＞m}，且A={x|﹣1≤x≤2}；∴实数m的取值范围是m＜﹣1．16．（10分）已知函数为奇函数．（1）求f（﹣1）以及实数m的值；（2）写出函数f（x）的单调递增区间；（3）若f（a）=1，求a的值．【解答】解：（1）根据题意，函数，则f（1）=﹣1+2=1，又由f（x）为奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，则有（﹣1）2+m•（﹣1）=﹣1得m=2；（2）函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，1）（3）由f（a）=1，当a＞0时，﹣a2+2a=1得a=1当a=0时，f（a）=0不符题意；当a＜0时，a2+2a=1得（舍去），因此，a的值为1或．17．（10分）已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数，e≈2.718…）（1）设函数g（x）=f（x2）﹣f（x﹣k），k∈R，讨论函数g（x）的零点个数；（2）若x∈[﹣2，+∞）时，不等式f（x2﹣mx+3）＞f（mx﹣1）恒成立，求m 的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=e x是单调增函数，由g（x）=f（x2）﹣f（x﹣k）=0，得f（x2）=f（x﹣k），∴x2=x﹣k（*），问题等价于方程（*）解的个数，方程（*）的判别式△=1﹣4k，因此：当时，方程（*）无解，函数g（x）的零点个数为0；当时，方程（*）有两个相等实数根，函数g（x）的零点个数为1；当时，方程（*）有两个不相等实数根，函数g（x）的零点个数为2；（2）由f（x）=e x是单调递增函数，所以f（x2﹣mx+3）＞f（mx﹣1）可化为x2﹣2mx+4＞0在x∈[﹣2，+∞）时恒成立．分情况讨论：（1）m≥﹣2时，y=x2﹣2mx+4在x=m时取得最小值﹣m2+4，由﹣m2+4＞0得﹣2＜m＜2；（2）m＜﹣2时，y=x2﹣2mx+4在x=﹣2时取得最小值4m+8，由4m+8＞0得m ＞﹣2，无解，综上所述：m的取值范围是﹣2＜m＜2．18．（10分）有时可用函数，描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增加量g（x）=f（x+1）﹣f（x）总是下降；（2）根据经验，学科甲，乙，丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]，当学习某学科知识5次时，掌握程度是70%，请确定相应的学科．（参考数据：，，）【解答】（1）证明：当x≥7时，设x1＞x2≥7，则═因为x1＞x2≥7，所以g（x1）＜g（x2）因为x1＞x2≥7，所以当x≥7时，掌握程度的增加量g（x）=f（x+1）﹣f（x）总是下降．（2）解：由题意可知得所以，得a≈130∈（127，133]，因此，该学科为丙学科．19．（10分）对于定义域分别是A，B的函数y=f（x），y=g（x），规定：现给定函数（1）若，写出函数h（x）的解析式；（2）当0≤x≤2时，求问题（1）中函数h（x）的值域；（3）请设计一个函数g（x），使得函数h（x）为偶函数且不是常数函数，并予以证明．【解答】解：（1）因为的定义域为R，的定义域为（﹣∞，1）所以；（2）1≤x≤2时，；0≤x≤1时，，令，因为0≤x ≤1，所以4x ∈（1，4]，所以，所以，综上所述，当0≤x ≤2时，h （x ）∈（﹣∞，log 217]；（3）g （x ）=﹣x ，此时g （x ）为奇函数，函数h （x ）为偶函数且不是常数函数． 证明如下：g （﹣x ）=x=﹣g （x ），所以g （x ）为奇函数； 又因为的定义域为R ，g （x ）=﹣x 的定义域为R ．所以，所以g （x ）=﹣x 时，函数h （x ）为偶函数且不是常数函数．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。

2014-2015学年福建省福州八中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x﹣2≤0}，则M∩N=（）A．（1，2） B．[1，2） C．（1，2]D．[1，2]2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．y= D．y=x|x|3．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．（﹣3，0]B．（﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0]D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]4．（5分）设f（x）=，g（x）=，则f（g（π））的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．π5．（5分）函数的图象（）A．关于原点对称B．关于主线y=﹣x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称6．（5分）设a=log0.34，b=log0.30.2，（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a7．（5分）若函数f（x）=的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]8．（5分）函数f（x）=（）x﹣x3﹣2的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．（5分）函数f（x）=x2+mx﹣m在区间（3，+∞）上是增函数，则实数m的取值范围是（）A．m≥﹣6 B．m＞﹣6 C．m≤﹣6 D．m≥﹣310．（5分）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b=，则函数f （x）=（x）*log 2x的值域为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0]D．[0，+∞）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，满分16分）11．（4分）若幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（x）=．12．（4分）化简lg0.01+ln﹣=．13．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2+4x+3，则f（x）的解析式为．14．（4分）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，当x∈[0，5]时，函数y=f（x）的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为．三、解答题（共34分．解答题应写出推理、演算步骤）15．（10分）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f（x）都满足f（xy）=yf（x）+xf（y）．（1）求f（1），f（﹣1）的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性．16．（10分）已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．（Ⅰ）若a=3，求M∩（∁R N）；（Ⅱ）若M∪N=M，求实数a的取值范围．17．（14分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）．（1）当a=时，判断并证明f（x）的单调性；（2）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值．一、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）18．（5分）若集合A={x|x≥}，则∁R A=（）A．（﹣∞，0]∪（，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，0]∪[，+∞）D．[，+∞）19．（5分）已知偶函数f（x）满足f（﹣1）=0，且在区间[0，+∞）上为减函数，不等式f（log2x）＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．D．20．（5分）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．221．（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共2个小题，每小题4分，满分8分）22．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为．23．（4分）设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，存在唯一的y∈D，使=C（C为常数）成立．则称函数f（x）在D上的“均值”为C．已知四个函数：①y=x3（x∈R）；②y=（x∈R）；③y=lnx（x∈（0，+∞））；④y=上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是．（填入所有满足条件函数的序号）三、解答题24．（10分）已知函数f（x）=x2﹣ax+，x∈[0，1]，求f（x）的最小值g（a）的表达式，并求出g（a）的最大值．25．（12分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f （x）的上界．已知函数f（x）=1+a•+，（1）当a=﹣时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围．2014-2015学年福建省福州八中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x﹣2≤0}，则M∩N=（）A．（1，2） B．[1，2） C．（1，2]D．[1，2]【解答】解：M={x|lgx＞0}={x|lgx＞lg1}={x|x＞1}，N={x|x﹣2≤0}={x|x≤2}，则M∩N={x|1＜x≤2}．故选：C．2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．y= D．y=x|x|【解答】解：A．y=x+1为非奇非偶函数，不满足条件．B．y=﹣x2是偶函数，不满足条件．C．y=是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．D．设f（x）=x|x|，则f（﹣x）=﹣x|x|=﹣f（x），则函数为奇函数，当x＞0时，y=x|x|=x2，此时为增函数，当x≤0时，y=x|x|=﹣x2，此时为增函数，综上在R上函数为增函数．故选：D．3．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．（﹣3，0]B．（﹣3，1]C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0]D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]【解答】解：根据题意：，解得：﹣3＜x≤0∴定义域为（﹣3，0]4．（5分）设f（x）=，g（x）=，则f（g（π））的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．π【解答】解：∵π是无理数∴g（π）=0则f（g（π））=f（0）=0故选：B．5．（5分）函数的图象（）A．关于原点对称B．关于主线y=﹣x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称【解答】解：函数f（x）=，f（﹣x）==﹣1=﹣=﹣f（x）函数为奇函数，图象关于原点对称．故选：A．6．（5分）设a=log0.34，b=log0.30.2，（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a【解答】解：由指数和对数函数的性质得：＜1，b=log0.30.2＞1，而y=log0.3x为底数是0.3＜1的对数函数且是减函数，由4＞0.2得到，log0.30.2＞log0.34，所以b＞c＞a，故选：B．7．（5分）若函数f（x）=的定义域为实数集R，则实数a的取值范围A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【解答】解：函数f（x）=的定义域为实数集R，则x2+ax+1≥0恒成立，即△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，即实数a的取值范围是[﹣2，2]，故选：D．8．（5分）函数f（x）=（）x﹣x3﹣2的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵函数f（x）=（）x﹣x3﹣2，∴函数f（x）=（）x﹣x3﹣2在R上单调递减，∵f（0）=1﹣0﹣2=﹣1＜0，f（﹣1）=2+1﹣2=1＞0，∴函数f（x）=（）x﹣x3﹣2的零点个数1个．故选：B．9．（5分）函数f（x）=x2+mx﹣m在区间（3，+∞）上是增函数，则实数m的取值范围是（）A．m≥﹣6 B．m＞﹣6 C．m≤﹣6 D．m≥﹣3【解答】解：∵函数f（x）=x2+mx﹣m在区间（3，+∞）上是增函数，则有﹣≤3，解得m≥﹣6，故选：A．10．（5分）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b=，则函数f （x）=（x）*log 2x的值域为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0]D．[0，+∞）【解答】解：由定义可得，当x≥1时，log 2x≥x，此时f（x）=x，x≥1，当0＜x＜1时，log 2x＜x，此时f（x）=log2x，0＜x＜1，作出函数f（x）的图象，则函数的值域为（﹣∞，0]，故选：C．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，满分16分）11．（4分）若幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（x）=．【解答】解：设幂函数为f（x）=x a，∵幂函数f（x）的图象过点（2，），∴，解得a=，∴f（x）=．故答案为：．12．（4分）化简lg0.01+ln﹣=．【解答】解：原式=lg10﹣2+﹣3==﹣．故答案为：﹣．13．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2+4x+3，则f（x）的解析式为f（x）=．．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0．又因为当x≤0时，f（x）=x2+4x+3，所以f（﹣x）=（﹣x）2+4（﹣x）+3=x2﹣4x+3，又因为f（﹣x）=f（x）．所以x＞0时，f（x）=x2﹣4x+3．所以f（x）=．故答案为f（x）=．14．（4分）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，当x∈[0，5]时，函数y=f（x）的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为（﹣2，0）∪（2，5）．【解答】解：由原函数是奇函数，所以y=f（x）在[﹣5，5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f（x）在[0，5]上的图象，得它在[﹣5，0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y＜0的x的取值集合为（﹣2，0）∪（2，5）．故答案为（﹣2，0）∪（2，5）三、解答题（共34分．解答题应写出推理、演算步骤）15．（10分）已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f（x）都满足f（xy）=yf（x）+xf（y）．（1）求f（1），f（﹣1）的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性．【解答】解（1）因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）=yf（x）+xf（y），所以令x=y=1，得f（1）=0，令x=y=﹣1，得f（﹣1）=0；（2）令y=﹣1，有f（﹣x）=﹣f（x）+xf（﹣1），代入f（﹣1）=0得f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数．16．（10分）已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤2a+1}．（Ⅰ）若a=3，求M∩（∁R N）；（Ⅱ）若M∪N=M，求实数a的取值范围．【解答】（本小题满分9分）解：（1）∵a=3，∴N={x|4≤x≤7}，C R N={x|x＜4或x＞7}．又∵M={x|﹣2≤x≤5}，∴M∩（C R N）={x|x＜4或x＞7}∩{x|﹣2≤x≤5}={x|﹣2≤x＜4}．（4分）（2）若M≠∅，由M∪N=M，得N⊆M，所以解得0≤a≤2；（7分）当M=∅，即2a+1＜a+1时，a＜0，此时有N⊆M，所以a＜0为所求．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．（9分）17．（14分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）．（1）当a=时，判断并证明f（x）的单调性；（2）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值．【解答】解：（1）当a=时，f（x）==x+2+=x++2．设x1，x2是[1，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=（x1﹣x2）+（﹣）=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣）=（x1﹣x2）•．因为1≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1•x2＞0，x1x2﹣＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．（2）当a=﹣1时，f（x）=x﹣+2．因为函数y1=x和y2=﹣在[1，+∞）上都是增函数，所以f（x）=x﹣+2在[1，+∞）上是增函数．当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1﹣+2=2，即函数f（x）的最小值为2．一、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）18．（5分）若集合A={x|x≥}，则∁R A=（）A．（﹣∞，0]∪（，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，0]∪[，+∞）D．[，+∞）【解答】解：∵x≥，∴x≥，∴0＜x，∴∁R A=（﹣∞，0]∪（，+∞）．故选：A．19．（5分）已知偶函数f（x）满足f（﹣1）=0，且在区间[0，+∞）上为减函数，不等式f（log2x）＞0的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．D．【解答】解：根据题意，不等式f（log2x）＞f（1），∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）上为减函数，∴转化为﹣1＜log2x＜1或log2x＞﹣1，∴＜x＜2，故选：C．20．（5分）已知函数f（x）=（a∈R），若f[f（﹣1）]=1，则a=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：∵f[f（﹣1）]=1，∴f[f（﹣1）]=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a•22=4a=1∴．故选：A．21．（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由对数函数的图象知，此函数图象过点（3，1），故有y=log a3=1，解得a=3，对于A，由于y=a﹣x是一个减函数故图象与函数不对应，A错；对于B，由于幂函数y=x a是一个增函数，且是一个奇函数，图象过原点，且关于原点对称，图象与函数的性质对应，故B正确；对于C，由于a=3，所以y=（﹣x）a是一个减函数，图象与函数的性质不对应，C错；对于D，由于y=log a（﹣x）与y=log a x的图象关于y轴对称，所给的图象不满足这一特征，故D错．故选：B．二、填空题：（本大题共2个小题，每小题4分，满分8分）22．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）．【解答】解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）23．（4分）设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，存在唯一的y∈D，使=C（C为常数）成立．则称函数f（x）在D上的“均值”为C．已知四个函数：①y=x3（x∈R）；②y=（x∈R）；③y=lnx（x∈（0，+∞））；④y=上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是①③．（填入所有满足条件函数的序号）【解答】解：∵y=x3在R上是增函数，且其值域为R，∴对∀x∈R，若=1，则f（y）=2﹣f（x）有且只有一个y∈R成立；故①正确；∵y=的值域为（0，+∞），∴若x＜﹣1，则f（y）=2﹣f（x）＜0，故没有y∈R使之成立；故②不正确；∵y=lnx在（0，+∞）上单调递增，且值域为R，∴对∀x∈R，f（y）=2﹣f（x）有且只有一个y∈R成立；故③正确；∵y=的值域为[0，+∞），且单调递增，故当x＞4时，则f（y）=2﹣f（x）＜0，故没有y∈[0，+∞）使之成立；故④不成立．故答案为：①③．三、解答题24．（10分）已知函数f（x）=x2﹣ax+，x∈[0，1]，求f（x）的最小值g（a）的表达式，并求出g（a）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣ax+=+﹣，x∈[0，1]，∴当∈[0，1]时，f（x）的最小值g（a）=f（）=﹣；当＜0时，函数f（x）在[0，1]上增函数，f（x）的最小值g（a）=f（0）=；当＞1时，函数f（x）在[0，1]上减函数，f（x）的最小值g（a）=f（1）=1﹣．综上可得，g（a）=，画出函数g（a）的图象，如图所示：显然，函数g（a）在x=1处取得最大值为g（1）=．25．（12分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f （x）的上界．已知函数f（x）=1+a•+，（1）当a=﹣时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当时，，令，∵x＜0，∴t＞1，；∵在（1，+∞）上单调递增，∴，即f（x）在（﹣∞，1）的值域为，故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数；（2）由题意知，|f（x）|≤4对x∈[0，+∞）恒成立．即：﹣4≤f（x）≤4，令，∵x≥0，∴t∈（0，1]∴对t∈（0，1]恒成立，∴，设，，由t∈（0，1]，由于h（t）在t∈（0，1]上递增，P（t）在t∈（0，1]上递减，H（t）在t∈（0，1]上的最大值为h（1）=﹣6，P（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=2∴实数a的取值范围为[﹣6，2]．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

2015-2016学年福建省福州八中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．（5分）已知sinα=，且α是第二象限角，那么tanα的值为（）A．B．C．D．2．（5分）一个半径为R的圆中，60°的圆心角所对的弧长为（）A．60R B．R C．R D．R3．（5分）已知||=3，在方向上的投影为，则•=（）A．3 B．C．2 D．4．（5分）已知向量，，满足||=1，||=2，=，⊥，则与的夹角等于（）A．120°B．60°C．30°D．90°5．（5分）函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为（）A．﹣3，1 B．﹣2，2 C．﹣3，D．﹣2，6．（5分）要将y=sin（2x+）的图象转化为某一个偶函数图象，只需将y=sin （2x+）的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位7．（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2 C．3 D．48．（5分）关于x的方程x2﹣（cosAcosB）x﹣cos2=0有一个根为1，则△ABC 一定是（）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．（5分）计算：=．10．（5分）在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC=，则AC=．11．（5分）设平面向量=（﹣2，1），=（λ，﹣1），若与的夹角是钝角，则λ的范围是．12．（5分）tan70°+tan50°﹣=．三、解答题（本大题共有4个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13．（10分）已知非零向量，满足||=1，且（﹣）•（+）=．（1）求||；（2）当•=时，求向量与+2的夹角θ的值．14．（10分）已知向量=（sinθ，﹣2）与=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．（Ⅰ）求sinθ和cosθ的值；（Ⅱ）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求cosφ的值．15．（10分）在锐角三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且（tanA ﹣tanB）=1+tanA•tanB．（1）求A﹣B的大小；（2）已知＜B＜，向量=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），求|3﹣2|的取值范围．16．（10分）设函数f（x）=•，其中向量=（2cos x，1），=（cos x，sin 2x+m）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．（Ⅱ）当时，﹣4＜f（x）＜4恒成立，求实数m的取值范围．四、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）A．B．C．2 D．418．（4分）在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为120°；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．319．（4分）如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且BF=2FA，DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则的值是（）A．B．﹣ C．﹣ D．不确定20．（4分）已知f（x）=sin（2015x+）+cos（2015x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．五、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）21．（4分）四边形ABCD中，==（1，1），+=，则四边形ABCD的面积是．22．（4分）已知α，β∈（0，），=，且3sin β=sin（2α+β），则α+β=．六、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或23．（13分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），=（2，1），且cosx≠0．（Ⅰ）若∥，求•的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，求函数f（A）的值域．24．（13分）岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10海里的速度前往拦截．（I）问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？（II）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．2015-2016学年福建省福州八中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）1．（5分）已知sinα=，且α是第二象限角，那么tanα的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinα=，且α是第二象限角∴cosα=﹣=即tanα=故选：A．2．（5分）一个半径为R的圆中，60°的圆心角所对的弧长为（）A．60R B．R C．R D．R【解答】解：60°=rad，∴60°的圆心角所对的弧长=．故选：D．3．（5分）已知||=3，在方向上的投影为，则•=（）A．3 B．C．2 D．【解答】解：∵已知||=3，在方向上的投影为，∴•=||||cos＜＞=3×=；故选：B．角等于（）A．120°B．60°C．30°D．90°【解答】解：∵⊥，=，∴∴∴与的夹角等于1200故选：A．5．（5分）函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为（）A．﹣3，1 B．﹣2，2 C．﹣3，D．﹣2，【解答】解：∵，∴当时，，当sinx=﹣1时，f min（x）=﹣3．故选：C．6．（5分）要将y=sin（2x+）的图象转化为某一个偶函数图象，只需将y=sin （2x+）的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：设将函数y=sin（2x+）的图象向左平移m个单位，所得图象为偶函数．由于平移后函数图象所对应的函数解析式为：y=sin[2（x+m）+]=sin （2x+2m+），由于：所得图象为偶函数，解得：m=+，k∈Z，所以：当k=0时，m=，即将y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，图象转化为某一个偶函数图象，故选：B．7．（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2 C．3 D．4【解答】解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．8．（5分）关于x的方程x2﹣（cosAcosB）x﹣cos2=0有一个根为1，则△ABC 一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【解答】解：∵关于x的方程有一个根为1，∴1﹣cosAcosB﹣=0，∴cosC+2cosAcosB=1，∴﹣cosAcosB+sinAsinB+2cosAcosB=1，cosAcosB+sinAsinB=1，即cos（A﹣B）=1．∵﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，故△ABC一定是等腰三角形，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．（5分）计算：=．故答案为：10．（5分）在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC=，则AC=．【解答】解：∵∠BAC=60°，∠ABC=45°，∴BC=由正弦定理可得，可得AC===故答案为：11．（5分）设平面向量=（﹣2，1），=（λ，﹣1），若与的夹角是钝角，则λ的范围是．【解答】解：∵与的夹角是钝角，∴=﹣2λ﹣1＜0，且．解得，且λ≠2．故答案为：12．（5分）tan70°+tan50°﹣=﹣．【解答】解：因为：tan70°+tan50°﹣=tan（70°+50°）（1﹣tan70°tan50°）﹣tan70°tan50°=﹣（1﹣tan70°tan50°）﹣tan70°tan50°=﹣+tan70°tan50°﹣tan70°tan50°=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（本大题共有4个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）13．（10分）已知非零向量，满足||=1，且（﹣）•（+）=．（1）求||；（2）当•=时，求向量与+2的夹角θ的值．【解答】解：（1）因为（﹣）•（+）=，即﹣=，即||2﹣||2=，所以，||2=||2﹣=1﹣=，故||=．…（4分）（2）因为||2 =||2+4+|2|2=1﹣1+1=1，故||=1．…（6分）又因为•（）=||2+2=1﹣=，…（8分）∴cos θ=═，…（10分）又0°≤θ≤180°，故θ=60°．…（12分）14．（10分）已知向量=（sinθ，﹣2）与=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．（Ⅰ）求sinθ和cosθ的值；（Ⅱ）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求cosφ的值．【解答】解：（1）∵与互相垂直，则，即sinθ=2cosθ，代入sin2θ+cos2θ=1得，又，∴（2）∵0＜φ＜，，∴﹣＜θ﹣φ＜，则cos（θ﹣φ）==，∴cosφ=cos[θ﹣（θ﹣φ）]=cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ）=．15．（10分）在锐角三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且（tanA ﹣tanB）=1+tanA•tanB．（1）求A﹣B的大小；（2）已知＜B＜，向量=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），求|3﹣2|的取值范围．【解答】解：（1）∵（tanA﹣tanB）=1+tanA•tanB，又△ABC为锐角三角形∴=，即tan（A﹣B）==，∵0＜A＜，0＜B＜，∴﹣＜A﹣B＜，则A﹣B=．（2）∵=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），∴||=1，||=1，•=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B），则|3﹣2|2=9||2+4||2﹣12•=13﹣12sin（A+B）=13﹣12sin（2B+），∵＜B＜，∴＜2B+＜，∴sin（2B+）∈（，1），12sin（2B+）∈（6，12），13﹣12sin（2B+）∈（1，7），则|3﹣2|∈（1，）∴|3﹣2|的取值范围是（1，）．16．（10分）设函数f（x）=•，其中向量=（2cos x，1），=（cos x，sin 2x+m）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．（Ⅱ）当时，﹣4＜f（x）＜4恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数=2cos2x+=cos2x++1=2sin （2x+）+m+1．故函数f（x）的最小正周期为=π．区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．故在[0，π]上的单调递增区间为[0，]、[，π]．（Ⅱ）当时，≤2x+≤，故有≤sin（2x+）≤1，故m+2≤f（x）≤m+3．再由﹣4＜f（x）＜4恒成立，可得m+2＞﹣4且m+3＜4，解得﹣6＜m＜1，故实数m的取值范围为（﹣6，1）．四、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）17．（4分）求值：cos cos=（）A．B．C．2 D．4【解答】解：cos cos===．故选：A．18．（4分）在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为120°；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①如图示：，由=，得：sinA=，∴A=arcsin＞60°，∴C只能是锐角，该三角形有且只有一个解，故①错误；②不妨设：三角形的三边是：a=3，b=5，c=7，∴∠C最大，由cosC==﹣，∠C=120°，故②正确；③由cosA＞0，cosB＞0且cosC＞0，结合余弦定理知，正确，故选：C．19．（4分）如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且BF=2FA，DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则的值是（）A．B．﹣ C．﹣ D．不确定【解答】解：∵=，=，∴=（）•（）=+++=+•（）+．∵由题意可得=0，=﹣1，||=||=，∴=+0﹣1=﹣，故选：B．20．（4分）已知f（x）=sin（2015x+）+cos（2015x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）=sin（2015x+）+cos（2015x﹣）=sin2015xcos+cos2015xsin+cos2015xcos+sin2015xsin=sin2015x+cos2015x+cos2015x+sin2015x=sin2015x+cos2015x=2（sin2015x+cos2015x）=2sin（2015x+），∴f（x）的最大值为A=2；由题意得，|x1﹣x2|的最小值为=，∴A|x1﹣x2|的最小值为．故选：B．五、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）21．（4分）四边形ABCD中，==（1，1），+=，则四边形ABCD的面积是．【解答】解：∵==（1，1），∴四边形ABCD是平行四边形．又+=，∴四边形ABCD是菱形．上式两边平方可得：1+1+2cosB=3，∴cosB=．∴四边形ABCD的面积S===．故答案为：．22．（4分）已知α，β∈（0，），=，且3sin β=sin（2α+β），则α+β=．【解答】解：∵=，整理可得：tan2+4tan﹣1=0，解得tan=﹣2，∵α∈（0，），∈（0，），∴tan=﹣2．∵3sin β=sin（2α+β），可得：3sin[（α+β）﹣α]=sin[（α+β）+α]，∴3sin （α+β）cosα﹣3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，∴可得：sin （α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，∴可得：tan（α+β）=2tanα=2tan（2×）=2×=2×=1，∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，），∴α+β=．故答案为：．六、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）23．（13分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），=（2，1），且cosx≠0．（Ⅰ）若∥，求•的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，求函数f（A）的值域．【解答】解：（Ⅰ）若，得sinx=2cosx，因为cosx≠0，所以tanx=2，所以，（Ⅱ）∵△ABC中，2sinAcosB+cosBsinC=﹣sinBcosC∴2sinAcosB=﹣（cosBsinC+sinBcosC）=﹣sin（B+C）=﹣sinA又sinA＞0得：，因为0＜B＜π，所以．则．又．所以因为，所以，所以，所以，即函数f（A）的值域为．24．（13分）岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10海里的速度前往拦截．（I）问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？（II）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．【解答】解：（I）依题意得∠BAC=45°，∠ABC=75°，BC=10，∴∠ACB=60°，…2分在△ABC中，由正弦定理得：=…3分∴AB====5．答：海监船接到通知时，距离岛A5海里…5分（II）设海监船航行时间为t小时，则BD=10t，CD=10t，…6分又∵∠BCD=180°﹣∠ACB=180°﹣60°=120°，∴BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcos120°，…7分∴300t2=100+100t2﹣2×10×10t•（﹣），∴2t2+t﹣1=0，解得t=1或t=﹣（舍去）…9分∴CD=10，∴BC=CD，∴∠CBD=（180°﹣120°）=30°，∴∠ABD=75°+30°=105°，…11分答：海监船的方位角105°航行，航行时间为1个小时…12分赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。