2017年山东省济南市高考数学二模试卷及答案(理科)

2017年山东济宁理科高三二模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第1题5分设复数z在满足(1+i)z=|√3+i|，其中i为虚数单位，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）．A. (√2,−√2)B. (1,−1)C. (1,−i)D. (2,−2i)2、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第2题5分已知集合A={x|y=log2(3−x)}，B={x||2x−1|>1}，则A∩B=（）．A. {x|1<x<3}B. {x|−1<x<3}C. {x|x<0或0<x<3}D. {x|x<0或1<x<3}3、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第3题5分2016~2017学年10月北京西城区北京师范大学第二附属中学高三上学期月考理科第2题5分“a<−2”是“函数f(x)=ax+3在区间[−1,2]上存在零点x0”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第4题5分2018年内蒙古赤峰高三一模理科第4题5分2018年内蒙古赤峰高三一模文科第4题5分2018年四川南充高三零模理科第3题5分我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）．A. 104人B. 108人C. 112人D. 120人5、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第5题5分2017年安徽黄山高三二模理科第6题5分过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆推的体积为（）．A. 1B. 2π3C. 4π3D. 8π36、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第6题5分2017年安徽黄山高三二模文科第6题5分在区间[0,8]上随机取一个x的值，执行如图的程序框图，则输出的y⩾3的概率为（）．A. 13B. 12C. 23D. 347、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第7题5分在△ABC中，点M为边BC上任意一点，点N为AM的中点，若AN→=λAB→+μAC→（λ，μ∈R），则λ+μ的值为（）．A. 12B. 13C. 14D. 158、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第8题5分2016年天津河北区高三一模理科第7题5分2016年天津河北区高三二模文科第7题5分2016年天津河北区高三二模理科第7题5分已知函数y=f(x)是R上的偶函数，当x1，x2∈(0,+∞)时，都有(x1−x2)⋅[f(x1)−f(x2)]< 0．设a=ln⁡1π，b=(ln⁡π)2，c=ln⁡√π，则（）．A. f(a)>f(b)>f(c)B. f(b)>f(a)>f(c)C. f(c)>f(a)>f(b)D. f(c)>f(b)>f(a)9、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第9题5分已知M(x,y) 为平面区域D ：{x −y ⩾0y −1x ⩽0y ⩾a,(0<a <1)内的一个动点，若z =y+1x的最大值为3 ，则区域D 的面积为（ ）．A. ln⁡2+58B. ln⁡2−12C. ln⁡2+18D. ln⁡2−3810、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第10题5分2017年四川宜宾高三二模文科第12题5分2017年山东济宁高三二模文科第10题5分已知点A(0,−1) 是抛物线C ：x 2=2py （p >0 ）准线上的一点，点F 是抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上且满足|PF |=m |PA | ，当m 取最小值时，点P 恰好在以原点为中心，F 为焦点的双曲线上，则此双曲线的离心率为（ ）．A. √2B. √3C. √2+1D. √3+1二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第11题5分为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关，对本班50 人进行了问卷调查，得到如下2×2 列联表：经计算得到随机变量K 2 的观测值为8.333 ，则有 %的把握认为喜爱打篮球与性别有关（临界值参考表如下）．12、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第12题5分2015年高考真题江苏卷第8题2017~2018学年广东广州增城区高一下学期期末第15题5分2019~2020学年福建福州鼓楼区福州延安中学高一上学期期末第15题5分2018~2019学年12月江苏南京鼓楼区金陵中学高三上学期月考第5题5分已知tan⁡α=−2，tan⁡(α+β)=17，则tan⁡β的值为．13、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第13题5分2018~2019学年广东广州荔湾区广州市南海中学高二下学期期末理科第13题5分2018~2019学年广东广州番禺区广东仲元中学高二下学期期末理科第13题5分在(2x2−√x )6的展开式中，含x7的项的系数是．14、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第14题5分2018~2019学年天津河东区天津市第五十四中学高三上学期期末理科第13题5分x2+y2+2ax+a2−4=0和x2+y2−4by−1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则1a2+1b2的最小值为．15、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第15题5分已知函数f(x)={cos⁡(x−π2),x∈[0,π]log2017xπ,x∈(π,+∞)若存在三个不相等的实数a，b，c使得f(a)=f(b)=f(c)，则a+b+c的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第16题12分已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若向量π→=(a +c,sin⁡B)，n →=(b −c,sin⁡A −sin⁡C)，且π→//n →．(1) 求角A 的大小．(2) 设函数f(x)=tan⁡Asin⁡ωxcos⁡ωx −cos⁡Acos⁡2ωx （ω>0 ），已知其图象的相邻两条对称轴间的距离为π2 ，现将y =f(x) 的图象上各点向左平移π6 个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍，得到函数y =g(x) 的图象，求g(x) 在[0,π] 上的值域．17、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第17题12分如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥ 平面EAB ，CB//DA ，EA =DA =AB =2CB ，EA ⊥AB ，M 是EC 上的点（不与端点重合），F 为DA 上的点，N 为BE 的中点．(1) 若M 是EC 的中点，AF =3FD ，求证：FN// 平面MBD ．(2) 若平面MBD 与平面ABD 所成角（锐角）的余弦值为13 ，试确定点M 在EC 上的位置．18、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第18题12分甲、乙、丙三人玩抽红包游戏，现将装有5 元、3 元、2 元的红包各3 个，放入一不透明的暗箱中并搅拌均匀，供3人随机抽取．(1) 若甲随机从中抽取3个红包，求甲抽到的3个红包中装有的金额总数小于10 元的概率．(2) 若甲、乙、丙按下列规则抽取：①每人每次只抽取一个红包，抽取后不放回；②甲第一个抽取，甲抽完后乙再抽取，丙抽完后甲再抽取…，依次轮流；③一旦有人抽到装有5元的红包，游戏立即结束．求甲抽到的红包的个数X的分布列及数学期望．19、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第19题12分已知数列{a n}的前n项和S n=32(a n−1)，数列{b n}满足b n+2=2b n+1−b n，且b6=a3，b60=a5，其中n∈N∗．(1) 求数列{a n}，{b n}的通项公式．(2) 若c n=(−1)n b n b n+1，求数列{c n}的前n项和T n．20、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第20题13分已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P(1,√22)在椭圆上，连接PF1交y轴于点Q，点Q满足PQ→=QF1→．直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个交点A，B．(1) 求椭圆C的标准方程．(2) 已知点M(54,0)，若直线l过椭圆C的右焦点F2，证明：MA→⋅MB→为定值．(3) 若直线l过点(0,2)，设N为椭圆C上一点，且满足OA→+OB→=λON→，求实数λ的取值范围．21、【来源】 2017年山东济宁高三二模理科第21题14分已知函数f(x)=e xx −m(ln⁡x+1x)（m为实数，e=2.71828…是自然对数的底数）．(1) 当m>1时，讨论f(x)的单调性．(2) 若g(x)=x2f′(x)−xe x在(32,3)内有两个零点，求实数m的取值范围．(3) 当m=1时，证明：xf(x)=xln⁡x+1>x+ln⁡(x+1)x．1 、【答案】 B;2 、【答案】 D;3 、【答案】 A;4 、【答案】 B;5 、【答案】 D;6 、【答案】 B;7 、【答案】 A;8 、【答案】 C;9 、【答案】 D;10 、【答案】 C;11 、【答案】99.5;12 、【答案】3;13 、【答案】240;14 、【答案】1;15 、【答案】(2π,2018π);16 、【答案】 (1) A=π．3;,1]．(2) g(x)在[0,π]上的值域为[−12;17 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 点M是EC的中点或EC上靠近点C的四等分点．;18 、【答案】 (1) 13．42;(2) X的分布列为：E(X)=54．;19 、【答案】 (1) a n=3n，b n=4n+3．;(2) T n={6n2+21n,n为偶数−10n2−31n−36,n为奇数．;20 、【答案】 (1) 椭圆的标准方程：x22+y2=1．;(2) 证明见解析．;(3) λ∈(−2,2)．;21 、【答案】 (1) 当m=e时，f(x)在(0,+∞)递增；当m>e时，f(x)在(ln⁡m,+∞)，(0,1)递增，在(1,ln⁡m)递减；当1<m<e时，f(x)在(1,+∞)，(0,ln⁡m)递增，在(ln⁡m,1)递减．;(2) 实数m的取值范围为(−12e2,−e2)．;(3) 证明见解析．;。

2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. D3. A4. D5.C6.B7. D8. A9. C 10. A 11. A 12. C简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的共轭复数及复数运算.【试题解析】B (12)(12)5z z i i ⋅=+-=. 故选B.2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D 由{|13},{|0,A x x B x x =-<<=<或1}x >，故{|10,A B xx =-<< 或13}x <<. 故选D.3. 【命题意图】本题考查祖暅原理及简易逻辑等知识.【试题解析】A 根据祖暅原理容易判断q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，再利用命题的等价性， 故p 是q 的充分不必要条件. 故选A. 4. 【命题意图】本题考查抛物线的相关知识.【试题解析】D 抛物线22y x =上的点到焦点的最小距离是2p ，即18. 故选D.5. 【命题意图】本题主要考查等差数列.【试题解析】 C {}n a 是以2为公差的等差数列，12627,||||||n a n a a a =-+++53113518=+++++=. 故选C.6. 【命题意图】本题主要考查线性规划问题.【试题解析】B 不等式组所表示的平面区域位于直线03=-+y x 的上方区域和直线10x y -+=的上方区域，根据目标函数的几何意义确定4≤z . 故选B.7. 【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】D 四棱锥的体积为. 382431=⨯⨯=V . 故选D. 8. 【命题意图】本题考查概率相关问题.【试题解析】A 由已知1151(),4216nn -≥≥. 故选A. 9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的相关知识.【试题解析】C令26t x π=+，从而7[,]66t ππ∈，由于方程有两个解，所以12122()3t t x x ππ+=++=，进而123x x π+=. 故选C.10. 【命题意图】本题主要考查程序框图.【试题解析】A 第一次执行循环体有，33,,1,||0.522m b a a b ===-=；第二次执行循环 体有，535,,,||0.25424m b a a b ===-=；第三次执行循环体有， 11311,,,||0.125828m b a a b d ===-=<. 故选A.11. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】A 由已知22(3,3),||(3)(3)OC m n m n OC m n m n =+-=++-2210m n =+，由0,0,12m n m n >>≤+≤，有22222m n ≤+<，则5||210OC ≤<. 故选A.12. 【命题意图】本题是考查函数的应用.【试题解析】C ①当2m =时显然成立；②当2m >时，2()[1,1]3m f x m -∈+-，只要 22(1)13m m -+>-即可，有25m <<，；③当2m <时，2()[1,1]3m f x m -∈-+，只要 21213m m -+<-即可，有725m <<. 故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 4814. x y =15. 30 16.233简答与提示：13. 【命题意图】本题考查排列组合相关知识.【试题解析】甲乙二人的票要连号，故424248A A =. 14. 【命题意图】本题考查导数的几何意义.【试题解析】()(sin cos ),(0)1,xf x e x x f ''=+=切线方程为x y =. 15. 【命题意图】本题考查等比数列.【试题解析】由条件可求得12,2,q a ==所以430S =.16. 【命题意图】本题考查双曲线问题.【试题解析】法一：由||1||2AF BF =可知，||1||2OA OB =，则Rt OAB ∆中，3AOB π∠=，渐近线OA 的斜率3tan 63b k a π===，即离心率2231()3b e a =+=. 法二：设过左焦点F 作x a b y -=的垂线方程为)(c x bay +=联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x a b y c x b a y )(，解得，c ab y A =联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=x a b y c x b a y )(，解得，22a b abc y B -= 又||1||2AF BF = A B y y 2-=∴ 223a b =∴所以离心率2231()3be a=+=. 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角函数性质及正弦定理等. 【试题解析】（Ⅰ）(3,1),(3cos ,1sin )OP QP x x ==--， （2分）()33cos 1sin 42sin()3f x x x x π=-+-=-+， （4分）)(x f 的周期为π2. （5分）（Ⅱ）因为()4f A =，所以23A π=， （6分）又因为3BC =，由正弦定理，23sin ,23sin AC B AB C ==， （8分）所以三角形周长为323sin 23sin 323sin()3B C B π++=++ （10分）因为03B π<<，所以3sin()(,1]32B π+∈， 所以三角形周长最大值为323+. （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】（Ⅰ）解：女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：（3分）由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大. （4分）（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于 90分的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于90分的人数为X ，则X 取值为1,2,3，12423641(1)205C C P X C ====；214236123(2)205C C P X C ====； 评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 50评分频率组距100908070600.0350.0250.020.0150.010.0050.030.04O 5032423641(3)205C C P X C ====. （9分）所以X 的分布列为X1 2 3 P1535151632555EX =++=.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以四棱锥为载体，考查直线与平面垂直，以及二面角问题等. 【试题解析】（Ⅰ）⊥PA 平面ABCD ,⊂AB 平面ABCD ,AB PA ⊥∴,平面ABCD 为矩形，AD AB ⊥∴ , A AD PA = ,⊥∴AB 平面PAD , （2分）⊂PD 平面PAD , PD AB ⊥∴, AD PA = , E 为PD 中点⊥∴=⊥∴PD A AB AE AE PD ,平面ADE （4分） （Ⅱ）以A 为原点，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A BDP -，令||2AB =，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(1,0,0)F ，(1,0,2)PF =-，(2,2,2)PM λλλ=-，(2,2,22)M λλλ- （6分）设平面PFM 的法向量111(,,)m x y z =，=0=0m PF m PM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即202220x z x y z λλλ-+=⎧⎨+-=⎩，(2,1,1)m =- （8分）设平面BFM 的法向量222(,,)n x y z =，=0=0n BF n FM ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即()()0212220x x y z λλλ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩，(0,1,)n λλ=- （10分） ()2213|cos ,|3||||61m nm n m n λλλλ⋅-+<>===+-，解得12λ=. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的的位置关系，考查学生的逻辑思维 能力和运算求解能力.【试题解析】（Ⅰ）由已知222=a ，2=a ，记点)(0,0y x P ，1PA OM k k = ，2202000000122ax ya x y a x y k k k k PA PA M PA -=-⨯+=⨯=⨯∴， （2分） 又)(0,0y x P 在椭圆上，故1220220=+by a x ，212202-=-=⨯∴a b k k M PA ，2122=∴a b ，∴12=b ，∴椭圆的方程为1222=+y x . （4分）（Ⅱ）设直线)1(:+=x k y l ，联立直线与椭圆方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=12)1(22y x x k y 得0224)12(2222=-+++k x k x k ，记),(),,(2211y x B y x A由韦达定理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⨯+-=+122212422212221k k x x k k x x ，可得122)2(22121+=++=+k kx x k y y ， （6分） 故AB 中点)12,122(222++-k kk k Q ， QN 直线方程：121)122(1122222+--=++-=+-k k x k k k x k k ky （8分） )0,12(22+-∴k k N ，已知条件得：<-4101222<+-k k ，∴ 1202<<k ， （10分） )1211(212122112224)124(12222222222++=+++=+--+-+=∴k k k k k k k k kAB ， 1121212<+<k，)22,223(∈∴AB . （ 12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函 数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（Ⅰ）21ln ()xf x x -'=， (0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 当x e =时，()f x 取极大值为1e，无极小值. （3分）（Ⅱ）要证)()(x e f x e f ->+，即证：xe x e x e x e -->++)ln()ln(，只需证明：)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-.（5分）设)ln()()ln()()(x e x e x e x e x F -+-+-=，222222222222()4()l n ()[2l n ()]0e x x F x e x e xe xe x+'=--=--+>--， （7分）0)0()(=>∴F x F .故)ln()()ln()(x e x e x e x e -+>+-，即)()(x e f x e f ->+. （8分） （III ）不妨设21x x <，由（Ⅰ）知210x e x <<<，e x e <-<∴10，由（Ⅱ）得)()()]([)]([2111xf x f x e e f x e e f ==-->-+， （10分） 又e x e >-12，e x >2，且)(x f 在),(+∞e 上单调递减， 122e x x ∴-<，即e x x 221>+，e x x x >+=∴2210，0)(0<'∴x f . （12分） 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.【试题解析】 (I) 由221:40,C x y x +-=:230l x y +-=.（5分）（II ）(,22),4P π直角坐标为(2,2)，1(2cos ,sin ),(1cos ,1sin )2Q M αααα++， M 到l 的距离|1cos 2sin 3|10|sin()|545d ααπα+++-==+，从而最大值为105. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】(I)因为2b a -<，所以3,()|||2|=,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++--++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，显然()f x 在(,]2b -∞上单调递减，()f x 在[,)2b+∞上单调递增，所以()f x 的最小值为()22b b f a =+，所以12ba +=，22ab +=. （5分）(II)因为2a b tab +≥恒成立，所以2a bt ab+≥恒成立， 212121122()(2)(14)22a b a b a b ab b a b a b a +=+=++=+++1229(142)22a b b a ≥++⋅= 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92，所以92t ≥，即实数t 的最大值为92. （10分）。

山东省泰安市2017届高三第二次模拟考试数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于实数a 、b 、c ，“a ＞b ”是“2ac ＞2bc ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知复数z 满足()i i z -=+11（i 为虚数单位），则z 等于A.iB.i -C.i -2D.i +23.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为A.35B.25C.15D.7 4.下列命题中的真命题是 A.23cos sin ,=+∈∃x x R x B.()x x sin ,,0π∈∀＞x cos C.()x x 2,0,∞-∈∃＜x3D.()x e x ,,0+∞∈∀＞1+x5.对于平面α和直线m 、n ，下列命题是真命题的是 A.若n m ,与α所成的角相等，则m//n B.若,//,//ααn m 则m//n C.若n m m ⊥⊥,α，则α//nD. 若αα⊥⊥n m ,，则n m // 6. 如图给出的是计算20121614121+⋅⋅⋅+++的值的程序框图，其中判断框内应填入的是 A.2012≤i B.i ＞2012C.1006≤iD.i ＞10067.若点()n m ,在直线01034=-+y x 上，则22n m +的最小值是 A.2 B.22 C.4D. 328.如图曲线2x y =和直线41,1,0===y x x 所围成的图形（阴影部分）的面积为A.32 B.31 C.21D.41 9.在ABC ∆中，60=∠BAC °，，E，F ，AC AB 12==为边BC 的三等分点，则AFAE ⋅等于A.35B.45 C.910D.815 10.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有 A.288个 B.240个 C.144个 D.126个 11.已知A ，B ，C ，D ，E 是函数()ϕω+=x y sin (ω＞0，0＜ϕ＜⎪⎭⎫2π一个周期内的图像上的五个点，如图所示，⎪⎭⎫⎝⎛-0,6πA ，B 为y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，在x 轴上的投影为12π，则ϕω,的值为 A.6,2πϕω==B.3,2πϕω==C.3,21πϕω==D.12,21πϕω==12.已知()x x f x3log 21-⎪⎭⎫⎝⎛=，实数a 、b 、c 满足()()()c f b f a f ＜0，且0＜a ＜b ＜c ，若实数0x 是函数()x f 的一个零点，那么下列不等式中，不可能．．．成立的是 A.0x ＜aB.0x ＞bC.0x ＜cD.0x ＞c二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13.设()x f 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，()()x x x f -=12，则=⎪⎭⎫⎝⎛-25f ▲ . 14.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，各侧面均为正方形，侧面AA 1C 1C 的对角线相交于点A ，则BM 与平面AA 1C 1C 所成角的大小是 ▲ .15.已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤,0,2,y y x x y 那么目标函数y x z 3+=的最大值是 ▲ .16.给出下列四个命题：①若直线l 过抛物线22x y =的焦点，且与这条抛物线交于A 、B 两点，则AB 的最小值为2；②双曲线1916:22-=-y x C 的离心率为35；③若⊙,02:221=++x y x C ⊙012:222=-++y y x C ，则这两圆恰有2条公切线；④若直线06:21=+-y x a l 与直线()0934:2=+--y a x l 互相垂直，则.1-=a 其中正确命题的序号是 ▲ .（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6个小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置. 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，它的前n 项和为n S ，若,355=S 且2272,,a a a 成等比数列. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前n 项和为T n ，求T n .18.（本小题满分12分）已知函数().2sin 22cos 2sin 22x x x x f -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（I ）若()332=x f ，求sin2x 的值； （II ）求函数()()()()x f x f x f x F 2+-⋅=的最大值与单调递增区间.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，1,2===AD AB PA ，点E 是棱PB 的中点.（I ）求证：平面ECD ⊥平面PAD ；（II ）求二面角A —EC —D 的平面角的余弦值.20.（本小题满分12分）形状如图所示的三个游戏盘中（图（1）是正方形，M 、N 分别是所在边中点，图（2）是半径分别为2和4的两个同心圆，O 为圆心，图（3）是正六边形，点P 为其中心）各有一个玻璃小球，依次水平摇动三个游戏盘，当小球静止后，就完成了一局游戏。

2017年山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，若，则z 1+z 2等于（等于（ ） A ．4i B ．﹣4i C ．2D ．﹣22．（5分）已知命题p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，则下列命题一定是真命题的是（的是（ ） A ．pB ．（￢p ）∧（￢q ）C ．qD ．（￢p ）∨（￢q ）3．（5分）若集合M={x |x 2﹣x ＜0}，N={y |y=a x （a ＞0，a ≠1）}，R 表示实数集，则下列选项错误的是（则下列选项错误的是（ ） A ．M ∩N=MB ．M ∪N=RC ．M ∩∁R N=φD ．∁R M ∪N=R4．（5分）函数f （x ）=cosx ，（﹣＜x ＜）的图象大致是（）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（5分）已知二次函数f （x ）=ax 2﹣2x +c 的值域为的值域为[[0，+∞），则的最小值为（为（ ） A ．3B ．6C ．9D ．126．（5分）《算学启蒙》值中国元代数学家朱世杰撰写的一部数学启蒙读物，包括面积、括面积、体积、体积、体积、比例、比例、比例、开方、高次方程等问题，开方、高次方程等问题，《算学启蒙》《算学启蒙》中有关于中有关于“松竹并生”的问题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等”，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入a ，b 分别为8，2，则输出的n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77．（5分）已知圆，圆分别为圆C 1和C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则轴上的动点，则||PM |+|PN |的最小值为（的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．10D ．138．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r 的圆，若该几何体的体积为9π，则它的表面积是（，则它的表面积是（ ）A ．27πB ．36πC ．45πD ．54π9．（5分）某化肥厂用三种原料生产甲乙两种肥料，生产1吨甲种肥料和生产1吨乙种肥料所需三种原料的吨数如右表所示：已知生产1吨甲种肥料产生的利润2万元，生产1吨乙种肥料产生的利润为3万元，现有A 种原料20吨，B 种原料36吨，C 种原料32吨，在此基础上安排生产，则生产甲乙两种肥料的利润之和的最大值为（和的最大值为（ ）A B C 甲 2 4 2 乙448A ．17万元万元B ．18万元万元C ．19万元万元D ．20万元 10．（5分）已知函数f （x ）=，若f （x 1）=f （x 2）=f （x 3）（x 1＜x 2＜x 3），则的取值范围是（的取值范围是（ ）A ．（﹣1，0）B ．（﹣2，﹣1）C ．（﹣∞，0）D ．（1，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..11．（5分）已知△ABC ，AB=，则△ABC 外接圆的直径为 ．12．（5分）某公司未来对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元） 4 5 6 7 8 9 销量y （件） 90 84 83 80 75 68 由表中数据，求得线性回归方程为，当产品销量为76件时，产品定价大致为大致为元． 13．（5分）已知△ABC 是正三角形，O 是△ABC 的中心，D 和E 分别是边AB 和AC 的中点，若，则x +y= ．14．（5分）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从0，1，2，3，4，5，6，7，这个数字中任取3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 个（用数字作答）15．（5分）抛物线x 2=2my （m ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线有两个交点A ，B ，若∠AFB=120°，则双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知向量，且，函数y=f（x）的图象过点．（1）求w的值及函数f（x）的最小正周期；（2）将y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x ）的图象，已知，求的值．17．（12分）在如图所示的几何体ABCDEF中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=BC=1，DE⊥平面ABCD，BF∥DE，DE=2BF，M，N分别是EF、BC的中点．（1）求证：BD⊥平面MAN；（2）已知直线BE与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣BE﹣C 的余弦值．18．（12分）市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了500名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如表所示：月收入（单位：百元）[10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70）频数 25 100 150 155 50 20赞成人数10 70 120 150 35 15 （1）从月收入在）从月收入在[[60，70）的20人中随机抽取3人，求3人中至少2人对对该措施持赞成态度的概率；（2）根据用样本估计总体的思想，以样本中事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在本市随机采访3人，用X表示3人中对该项措施持赞成态度的人数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）数列分）数列{{a n}的前项和记为S n，a1=t，点（a n+1，S n）在直线上n ∈N+．是等比数列？并求数列{{a n}的通项公式；为何值时，数列{{a n}是等比数列？并求数列（1）当实数t为何值时，数列（2）若f（x）=[x]（[x]表示不超过x的最大整数），在（1）的结论下，令，求{{c n}的前n项和T n．，求20．（13分）已知椭圆，其上顶点B与左焦点F所在的直线的倾斜角为，O为坐标原点，OBF三角形的周长为．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右顶点为A，不过点A的直线l与椭圆E相交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标． 21．（14分）已知函数f（x）=（x﹣1）2e x，且f（x）在x=x0处取得极小值，函数g（x）=1+kx﹣lnx．（1）若曲线y=g（x）在点（e，g（e））处切线恰好经过点P（x0，f（x0）），求实数k的值；（2）讨论函数g（x）的极值；（3）已知函数F（x）=min{f（x），g（x）|（min{p，q}表示p，q中最小值），若在（0，+∞）上函数F（x）恰有三个零点，求实数k的取值范围．2017年山东省潍坊市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，若，则z 1+z 2等于（等于（ ） A ．4i B ．﹣4i C ．2 D ．﹣2 【解答】解：===﹣1+2i ，∵复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称， ∴z 2=﹣1﹣2i 则z 1+z 2=﹣2． 故选：D ．2．（5分）已知命题p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，则下列命题一定是真命题的是（的是（ ） A ．pB ．（￢p ）∧（￢q ）C ．qD ．（￢p ）∨（￢q ）【解答】解：∵命题p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题， ∴p ，q 一真一假，当p 真，q 假时，命题（￢p ）∧（￢q ），B 为假命题，命题（￢p ）∨（￢q ）为真命题；当p 假，q 真时，命题（￢p ）∧（￢q ），B 为假命题，命题（￢p ）∨（￢q ）为真命题；故命题（￢p ）∨（￢q ）一定为真命题； 故选：D3．（5分）若集合M={x |x 2﹣x ＜0}，N={y |y=a x （a ＞0，a ≠1）}，R 表示实数集，则下列选项错误的是（则下列选项错误的是（ ） A ．M ∩N=MB ．M ∪N=RC ．M ∩∁R N=φD ．∁R M ∪N=R【解答】解：∵集合M={x |x 2﹣x ＜0}=（0，1），N={y |y=a x （a ＞0，a ≠1）}=（0，∴M ∩N=M ，M ∪N=（0，+∞），∁R N=（﹣∞，0]，∁R M=（﹣∞，0]∪[1，+∞）， ∴M ∩∁R N=∅，∁R M ∪N=R 故选：B ．4．（5分）函数f （x ）=cosx ，（﹣＜x ＜）的图象大致是（）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：﹣＜x ＜时，y=cosx 是偶函数，并且y=cosx ∈（0，1]，函数f （x ）=cosx ，（﹣＜x ＜）是偶函数，cosx ∈（0，1]时，f （x ）≥0．∴四个选项，只有C 满足题意． 故选：C ．5．（5分）已知二次函数f （x ）=ax 2﹣2x +c 的值域为的值域为[[0，+∞），则的最小值为（为（ ） A ．3B ．6C ．9D ．12【解答】解：f （x ）=ax 2﹣2x +c 的值域为的值域为[[0，+∞）， ∴a ＞0，△=4﹣4ac=0，∴=+a ≥6（当a=3时成立），故选B ．6．（5分）《算学启蒙》值中国元代数学家朱世杰撰写的一部数学启蒙读物，包括面积、体积、比例、开方、括面积、体积、比例、开方、高次方程等问题，高次方程等问题，《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等”，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入a ，b 分别为8，2，则输出的n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：模拟程序的运行，可得a=8，b=2，n=1 a=12，b=4不满足条件a ≤b ，执行循环体，n=2，a=18，b=8 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n=3，a=27，b=16 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n=4，a=40.5，b=32 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n=5，a=60.75，b=64 满足条件a ≤b ，退出循环，输出n 的值为5． 故选：B ．7．（5分）已知圆，圆分）的最小值为（别为圆C1和C2上的动点，P为x轴上的动点，则轴上的动点，则||PM|+|PN|的最小值为（A．7 B．8 C．10 D．13【解答】解：圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（﹣6，﹣5），半径为2，圆C2的圆心坐标（2，1），半径为1，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：﹣3=7．故选：A．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r的圆，若该几），则它的表面积是（何体的体积为9π，则它的表面积是（A．27π B．36π C．45π D．54π【解答】解：几何体为圆柱中挖去一个半球，圆柱底面半径和高均为r，半球的半径为r，∴几何体的体积V=π×r2•r﹣==9=9ππ，∴r=3．=π×2r×r=2πr2=18π，S底=π×r2=9π，S半球==2πr2=18π，∴S侧=18π+9π+18π=45π．∴几何体的表面积为S表面积故选：C．9．（5分）某化肥厂用三种原料生产甲乙两种肥料，生产1吨甲种肥料和生产1吨乙种肥料所需三种原料的吨数如右表所示：已知生产1吨甲种肥料产生的利润2万元，生产1吨乙种肥料产生的利润为3万元，现有A种原料20吨，B种原料36吨，C 种原料32吨，在此基础上安排生产，则生产甲乙两种肥料的利润之和的最大值为（和的最大值为（ ）AB C 甲 242 乙 4 4 8A ．17万元万元B ．18万元万元C ．19万元万元D ．20万元 【解答】解：设生产甲种肥料和生产乙种肥料分别为x ，y 吨，则x ，y 满足的条件关系式为：，再设生产甲乙两种肥料的利润之和为z ，则z=2x +3y ． 由约束条件作出可行域如图：联立，解得A （8，1），作出直线2x +3y=0，平移至B 时，目标函数z=2x +3y 有最大值为19．∴当生产甲种肥料8吨，乙种肥料1吨时，利润最大，最大利润为19万元． 故选：C ．10．（5分）已知函数f （x ）=，若f （x 1）=f （x 2）=f （x 3）（x 1＜x 2＜x 3），则的取值范围是（的取值范围是（ ）A ．（﹣1，0）B ．（﹣2，﹣1）C ．（﹣∞，0）D ．（1，+∞） 【解答】解：函数f （x ）=，∴函数fʹ（x）=，故当x＜0时，函数为增函数，且f（x）＜，当0≤x＜1时，函数为增函数，且0≤f（x）＜，当x≥1时，函数为减函数，且0＜f（x）≤，若f（x1）=f（x2）=f（x3）（x1＜x2＜x3），则f（x1）=f（x2）=f（x3）∈（0，），即﹣＜x1＜﹣，故==1+∈（﹣1，0），故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..11．（5分）已知△ABC，AB=，则△ABC外接圆的直径为外接圆的直径为 2 ．【解答】解：∵AB=，∴由余弦定理可得：BC===，∵设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得：R===， ∴△ABC外接圆的直径为2．故答案为：2．12．（5分）某公司未来对一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元） 4 5 6 7 8 9销量y（件） 90 84 83 80 75 68由表中数据，求得线性回归方程为，当产品销量为76件时，产品定价大致为大致为 7.5 元．【解答】解：=6.5，=80， ∴=80﹣（﹣4）×6.5a=106， ∴回归方程为=﹣4x +106． y=76时，76=﹣4x +106，∴x=7.5， 故答案为7.5．13．（5分）已知△ABC 是正三角形，O 是△ABC 的中心，D 和E 分别是边AB 和AC 的中点，若，则x +y= 4 ．【解答】解：∵O 是△ABC 的中心，D 和E 分别是边AB 和AC 的中点，∴=+=+=+（﹣），++=0∴=2﹣， 同理可得=2﹣， ∴2=2+2﹣（+）， ∴=2+2﹣（++）=2+2，∴x=y=2， ∴x +y=4， 故答案为：4．14．（5分）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从0，1，2，3，4，5，6，7，这个数字中任取3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 91 个（用数字作答） 【解答】解：根据题意，分2种情况讨论： ①、取出的3个数字中不含0，先在1，2，3，4，5，6，7中任取3个数，有C 73=35种取法， 把最大的数放在十位，剩下的2个数全排列，放在百位、个位，有A 22=2种情况，则此时一共有35×2=70个“伞数”， ②、取出的3个数字中含有0，需要在1，2，3，4，5，6，7中任取2个数，有C72=21种取法，把最大的数放在十位，0放在个位，剩下的数放在百位，有1种情况，则此时一共有21×1=21个“伞数”，则一共有70+21=91个“伞数”，故答案为：91．15．（5分）抛物线x2=2my（m＞0）的焦点为F，其准线与双曲线3 ．，则双曲线的离心率为有两个交点A，B，若∠AFB=120°，则双曲线的离心率为【解答】解：由题意，F（0，），准线方程为y=﹣，代入双曲线，可得x=±，∵准线与双曲线有两个交点A，B，∠AFB=120°，∴=，∴m=2n，∴双曲线的离心率为=3．故答案为3．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知向量，且，函数y=f（x）的图象过点．（1）求w的值及函数f（x）的最小正周期；（2）将y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，已知，求的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵向量，且，∴y=2sin（ωx+）cosωx=3sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+=sin（2ωx+）+，…4分∴f（x）=sin（2ωx+）+，∵函数y=f（x）的图象过点．∴sin（ω+）=0，∴ω+=kπ，可得：ω=（k∈Z），∵0＜ω＜2，∴ω=1，…6分∴f（x）=sin（2x+）+，∴T=…7分（2）g（x）=f（x﹣）=sin（2x﹣）+，…9分∴g（）=sin（α﹣）+=，解得sin（α﹣）=，…10分∴cos（2α﹣）=1﹣2sin2（）=…12分17．（12分）在如图所示的几何体ABCDEF中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=BC=1，DE⊥平面ABCD，BF∥DE，DE=2BF，M，N分别是EF、BC的中点．（1）求证：BD⊥平面MAN；（2）已知直线BE与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）连结DN，∵N为BC的中点，CD=BC，∴CD=CN，∵∠DCN=60°，∴△DNC为正三角形，∴∠DNC=60°，DN=DC ， ∵∠ABC=60°，AB=DC ， ∴AB ∥DN ，AB=DN ，∴四边形ABND 为平行四边形，又AB=BN ，∴平行四边形ABND 为菱形， ∴BD ⊥AN ，设AN ∩BD=H ，则H 为BD 中点， ∵M 为EF 中点，BF ∥DE ，∴MN ∥DE ， ∵DE ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥平面ABCD ， ∵BD ⊂平面ABCD ，∴MH ⊥BD ， ∵MH ∩AN=H ，MH 、AN ⊂平面MAN ， ∴BD ⊥平面MAN ．解：（2）∵∠ABC=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°， 又AB=AD=1，∴∠ADH=30°，∴∠BDC=120°﹣30°30°=90°=90°， ∴BD ⊥CD ，且BD=，∵DE ⊥平面ABCD ，∴∠DHE 是直线BE 与平面ABCD 所成的角，∴∠DBE=45°，∴DE=BDtan ，以点D 为原点，直线DB 、DC 、DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则B （，0，0），C （0，1，0），A （，﹣，0），E （0，0，），=（，，0），=（﹣），=（﹣），设平面ABE 的法向量=（x ，y ，z ），则，取x=1，得=（1，﹣，1），设平面BCE 的一个法向量=（a ，b ，c ）， 则，取a=1，得平面BCE 的一个法向量=（1，，1），∴cos ＜＞===﹣，由图形知二面角A﹣BE﹣C为锐角，∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值为．18．（12分）市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了500名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如表所示：月收[10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） 入（单位：百元）频数 25 100 150 155 50 2010 70 120 150 35 15 赞成人数）从月收入在[[60，70）的20人中随机抽取3人，求3人中至少2人对对该（1）从月收入在措施持赞成态度的概率；（2）根据用样本估计总体的思想，以样本中事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在本市随机采访3人，用X表示3人中对该项措施持赞成态度的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）从20人中任意选取3人，共有中取法，且这种取法的可能性相同，恰有2人持赞成态度的概率p1==，恰有3人持赞成态度的概率P2==，∴3人中至少2人对对该措施持赞成态度的概率p=p1+p2==．（2）∵500人中持赞成的频率p 3==，∴可估计市民对该项政策持赞成态度的概率为p=， X 的可能取值为0，1，2，3，且X ～B （3，）， P （X=0）==， P （X=1）==， P （X=2）==， P （X=3）==，∴X 的分布列为：X 0 1 2 3 PEX==．19．（12分）数列分）数列{{a n }的前项和记为S n ，a 1=t ，点（a n +1，S n ）在直线上n∈N ++．（1）当实数t 为何值时，数列为何值时，数列{{a n }是等比数列？并求数列是等比数列？并求数列{{a n }的通项公式； （2）若f （x ）=[x ]（[x ]表示不超过x 的最大整数），在（1）的结论下，令，求，求{{c n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）由题意得S n =a n +1﹣1，∴Sn﹣1=a n﹣1，两式相减得a n =a n +1﹣a n ， 即a n +1=3a n ，∴当n ≥2时，数列时，数列{{a n}是等比数列，要使n ≥1时，数列时，数列{{a n }是等比数列， 则只需要=3，∵a 1=a 2﹣1， ∴a 2=2a 1+2，∴=3，解得t=2，∴实数t=2时，数列时，数列{{a n}是等比数列，a n=2•3n﹣1， （2）∵b n=f（log3a n）+1=[log3（2×3n﹣1）]，∵3n﹣1＜2×3n﹣1＜3n，∴n﹣1＜log3（2×3n﹣1）＜n，∴b n=n﹣1+1=n，∴c n=a n+=2×3n﹣1+=2×3n﹣1+（﹣），∵{a n}的前n项和为=3n﹣1，{}的前n项和为（1﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣∴T n=3n﹣1+﹣═3n﹣﹣20．（13分）已知椭圆，其上顶点B与左焦点F所在的直线的倾斜角为，O为坐标原点，OBF三角形的周长为．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右顶点为A，不过点A的直线l与椭圆E相交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标．【解答】解：（1）由题意可得：=tan，a+b+c=3+，又a2=b2+c2，联立解得：a=2，b=，c=1．∴椭圆E的方程为+=1．（2）证明：A（2，0）．设直线l的方程为：my+t=x，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为：（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12=0，∴y1+y2=，y1•y2=，（*）∵以PQ为直径的圆经过点A，∴⊥，∴•=0，∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，即（my1+t﹣2）（my2+t﹣2）+y1y2=0，化为：（m2+1）y1y2+（mt﹣2m）（y1+y2）+（t﹣2）2=0，把（*）代入可得：（m2+1）•+（mt﹣2m）•+（t﹣2）2=0，化简可得：t=2或．t=2舍去．代入直线l的方程：my+t=x，可得：my+=x．可得直线l经过定点：．21．（14分）已知函数f（x）=（x﹣1）2e x，且f（x）在x=x0处取得极小值，函数g（x）=1+kx﹣lnx．（1）若曲线y=g（x）在点（e，g（e））处切线恰好经过点P（x0，f（x0）），求实数k的值；（2）讨论函数g（x）的极值；（3）已知函数F（x）=min{f（x），g（x）|（min{p，q}表示p，q中最小值），若在（0，+∞）上函数F（x）恰有三个零点，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）fʹ（x）=（x2﹣1）e x，令fʹ（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1， 令fʹ（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增，在（﹣1，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，f（x）在x=1处取极小值，f（1）=0，故P（1，0），由gʹ（x）=k﹣，故gʹ（e）=k﹣，且g（e）=ke，则y=g（x）在点（e，g（e））处切线y﹣ke=（k﹣）（x﹣e），由P（1，0）在切线方程，代入切线方程解得：k=﹣1，故实数k的值﹣1；（2）g（x）=1+kx﹣lnx．（x＞0），gʹ（x）=k﹣，当k≤0时，gʹ（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，故g（x）无极值，当k＞0时，由gʹ（x）=0，解得：x=，当x∈（0，）时，gʹ（x）＜0，当x∈（，+∞）时，gʹ（x）＞0，则g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）单调递增，此时g（x）存在极小值g（）=2+lnk，无极大值，（3）由（2）可知：k≤0时，g（x）在（0，+∞）单调递减，g（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，故k≤0，不符合题意，k＞0时，g（x）极小值=g（）=2+lnk，即为g（x）的最小值，（i）当g（）=0时，则k=e﹣2，g（x）只有一个零点，不满足题意，（ii）当k＞e﹣2，g（）＞0时，g（x）在（0，+∞）上无零点，不满足题意；（iii）当0＜k＜e ﹣2时，g（）＜0，又g（1）=1+k＞0，故g（）•g（1）＜0，∴g（x）在（1，）上有一个零点，设为x1，即g（x1）=0，由＞e 2，取x=，则g（）=1+k﹣，下面证明g（）=1+k﹣＞0，令h（x）=x﹣lnx2，x＞2，∴hʹ（x）=1﹣＞0，故h（x）在（2，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（2）=2（1﹣ln2）＞0，即x＞lnx2，∴e x＞x2，令x=，则＞，∴g（）=1+k﹣＞1+k•﹣=1＞0，∴g（）•g（）＜0，∴g（x）在（，）上有一个零点，设为x2，则g（x2）=0∵g（1）=k+1，f（x1）＞0，f（x2）＞0，故F（x）=min{f（x），g（x）}中，有：F（1）=f（1）=0＜g（1）=1+k，F（x1）=g（x1）=0＜f（x1），F（x2）=g（x2）=0＜f（x2），即函数F（x）有三个零点；综上，满足题意的k的取值范围是（0，e﹣2）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；的长；（2） 当∠APB＝90°时，若AB=45，四边形APBC的面积是36，求△ACB的周长.PC BA2.已知：如图，B 、C 、E 三点在一条直线上，AB ＝AD ，BC ＝CD . （1）若∠B ＝90°，AB ＝6，BC ＝23，求∠A 的值；的值； （2）若∠BAD ＋∠BCD ＝180°，cos ∠DCE ＝35，求AB BC 的值.EDABC3.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠DAB=∠BCD=90°， （1）若AB =3，BC +CD =5，求四边形ABCD 的面积的面积（2）若p = BC +CD ，四边形ABCD 的面积为S ，试探究S 与p 之间的关系。